力学

y
y
d yv y gdy ydy yv d yv dt
g y d y yv d yv
y 2 yv 0 0
1 3 1 2 gy yv 3 2 2 12 v gy 3
t 质点系动量定理 I
动量守恒定律
t0
ex Fi dt pi pi 0
2 0

v
v0
vdv gl sin d
0

v FT m( 2 g 3g cos ) l
2 0
例3 如图所示（圆锥摆），长为 l 的细绳一端固 定在天花板上，另一端悬挂质量为 m 的小球，小球经 推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速度 为 的匀速率圆周运动 . 问绳和铅直方向所成的角 度 为多少？空气阻力不计.
，故
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量.

t2
t1
I p p0
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度
v g 0 vb0 0 mb 2mg
且方向相反
推开后速度 v g 2vb
推开前后系统动量不变
p p0
则 p0 0 则 p 0
t1
2 1
t2
t I I xi I y j I z k I y t Fy dt mv2 y mv1 y
I z Fz dt mv2 z mv1z
t1
t2
二 质点系的动量定理
t2
t1 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 t2 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20
m1 m 2
a1 ar a
m2 g FT m2a2
m1 m2 ar ( g a) m1 m2
2m1m2 FT ( g a) m1 m2
0 y FT FT
a2
a1
a2 ar a
P1 y
P2 0
例2 如图长为 l 的轻绳，一端系质量为 m 的小球, 另一端系于定点 o ， t 0 时小球位于最低位置，并具 有水平速度 v0 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力.
解
FT mgcos man mgsin mat
dv mg sin m dt dv dv d v dv dt d dt l d
FT mgcos mv2 / l
o
FT e

n
v0 m g
et
v
v v 2lg (cos 1)
FB Fr
F0 (b /m )t v ［ e 1 ］ b t , vL F0 / b（极限速度）
当
y
F0 b
P
v
t 3m b 时
v
t
v vL (1 0.05) 0.95vL
一般认为
t 3 m b , v vL
o
若球体在水面上是具有竖直向 下的速率 v0 ，且在水中的重力与 浮力相等， 即 FB P . 则球体在 水中仅受阻力 Fr bv 的作用
dp(t ) F (t ) , p(t ) mv(t ) dt
当
v c 时，m 为常量
F (t ) ma (t )
瞬时关系 牛顿定律的研究对象是单个物体（质点） 力的叠加原理
a a1 a2 a3
F Fx i Fy j Fz k a ax i a y j az k
一般情况
0
一
惯性参考系 地面参考系：
N
F P N 0 ma
（小球保持匀速运动）
P
a v
F P N 0 ma
车厢参考系：
车厢由匀速变为加速运动
（小球加速度为 a ）
定义：适用牛顿运动定律的参考系叫做惯性参考
mg FB 6πrv ma
令
F0 mg FB
b 6 πr dv F0 bv m dt F0 dv b (v ) dt m b
FB Fr
y
P
v

v
0
dv b t dt v ( F0 b) m 0
F0 dv b (v ) dt m b
t1
质点系
F1
F21 F12
m1
F2
m2
因为内力

t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
n n ex F dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1
F12 F21 0
i i i
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F Fi 0
则系统的总动量守恒，即
p pi
保持不变 .
i
ex 力的瞬时作用规律 F
i dp ex , F 0, P C dt
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系 统内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相 对于同一惯性参考系 .
系；反之，叫做非惯性参考系 . （ 在研究地面上物体的运动时，地球可近似地看 成是惯性参考系 . ）
二
力学相对性原理
o o＇ F ma ma＇ F＇ ut x＇ z z＇ 结论
为常量 a a＇ u
v v＇ u
y
y＇ u
x
P
x x＇
1）凡相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考 系都是惯性系 . 2）对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相 同的形式，与惯性系的运动无关 . 伽利略相对性原理
解题的基本思路
1）确定研究对象进行受力分析； （隔离物体，画受力图）
2）取坐标系；
3）列方程（一般用分量式）；
4）利用其它的约束条件列补充方程；
动量定理常应用于碰撞问题
t1 mv2 mv1 F t2 t1 t2 t1
注意
t2
Fdt
mv
mv1
F
mv2
t 越小，则 F 越大 .
在 p 一定时
F
Fm
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
F
o
力的累积效应
F (t ) 对 t 积累 p , I F 对 r 积累 W , E
一 冲量 质点的动量定理 动量
p mv
Fdt dp d (mv)
dp d (mv) F dt dt
t2 冲量 力对时间的积分（矢量） I Fdt
t
t1
t2
例 1 一质量为0.05kg、速率为10m·-1的刚球,以与 s 钢板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率 和角度弹回来 .设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所 受到的平均冲力 F . 解 建立如图坐标系, 由动量定理得
Fx t mv2 x mv1x mv cos (mv cos )
Fx max
F F1 F2 F3
Fy may Fz maz
两个物体之间作用力 F 和反作 用力 F＇ 沿同一直线, 大小相等, ,
F12 F21
三
牛顿第三定律
方向相反, 分别作用 在两个物体上 .
（物体间相互作用规律）
T＇ T m P P＇
FB Fr
dv m bv dt
y

v dv b t dt v0 v m 0
P
v

v0
v
t
v v0e
( b / m) t
o
教学基本要求
一 掌握牛顿定律的基本内容及其适用条件 . 二 熟练掌握用隔离体法分析物体的受力情 况, 能用微积分方法求解变力作用下的简单质点 动力学问题 .
5）先用文字符号求解，后带入数据计算结果.
例1 阿特伍德机 （1）如图所示滑轮和绳子的质量均 不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与 轴间的摩擦力均不计.且 m1 m2 . 求 重物释放后，物体的加速度和绳的张力. 解 以地面为参考系 画受力图、选取坐标如图
m1
m2
a m1 g FT m1a m2 g FT m2 a a m1 m2 2m1m2 a g FT g P2 0 P1 y m1 m2 m1 m2
ex in i 当 F F 时，可 略去外力的作用, 近似地
0 FT
y FT
（2）若将此装置置于电梯顶部，当 电梯以加速度 相对地面向上运动时， 求两物体相对电梯的加速度和绳的张力. 解 以地面为参考系
a
ar
a a
r
设两物体相对于地面的加速度分别 为 a1、 2 ，且相对电梯的加速度为ar a
m1 g FT m1a1
t1

t2
t1
Fdt p2 p1 mv2 mv1

t2
t1
Fdt p2 p1 mv2 mv1
动量定理 在给定的时间内，外力作用在质点 上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量 . 分量形式
I x Fx dt mv2 x mv1x
g
FT cos P FT m l
mg g cos 2 2 m l l