高中数学新教材必修第二册专题9.3 统计案例(解析版)

9.3 统计案例【例1】（2019·山东高考模拟（文））甲、乙两人参加一个射击的中奖游戏比赛，在相同条件下各打靶50次，统计每次打靶所得环数，得下列频数分布表．比赛中规定所得环数为1，2，3，4时获奖一元，所得环数为5，6，7时获奖二元，所得环数为8，9时获奖三元，所得环数为10时获奖四元，没命中则无奖．（1）根据上表，在答题卡给定的坐标系内画出甲射击50次获奖金额（单位：元）的条形图；（2）估计甲射击1次所获奖至少为三元的概率；（3）要从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，请你根据甲、乙两人所获奖金额的平均数和方差作出选择．【答案】(1)见解析；(2) 1225； (3)派甲参赛比较好.【解析】（1）依题意知甲50次获奖金额（单位：元）的频数分布为其获奖金额的条形图如下图所示（2）甲射击一次所获奖金至少为三元，即打靶所得环数至少为8，因为甲所得环数至少 为8的有166224++=（次）所以估计甲射击一次所获奖金至少为三元的概率为24125025=. （3）甲50次获奖金的平均数为15(1122532242)502⨯⨯+⨯+⨯+⨯=， 乙50次获奖金的平均数为15(1322132442)502⨯+⨯+⨯+⨯=， 甲50次获奖金额的方差为2222155551122532242502222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦137********=⨯=. 乙50次获奖金额的方差为2222155551322132442502222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦145950220=⨯=. 甲、乙的平均数相等.甲的方差小，故派甲参赛比较好. 【点睛】本题主要考查条形图的应用，古典概型概率公式的应用以及平均数与方差的实际意义，属于中档题. 样本数据的算术平均数12n 1(++...+)x x xx n =,样本方差2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-，标准差s =【举一反三】1．（2020·四川高三期末（文））某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A ，B 两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A 题目，有360人选做B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数为5，方差为2，B 题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25.（i ）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；（ii ）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率. 【答案】(1)4300；(2) （i ）平均数为5.2，方差为1.36.（ii ）35【解析】（1）由题易知,若按照系统抽样的方法,抽出的编号可以组成以25为首项,以90为公差的等差数列,故样本编号之和即为该数列的前10项之和, 所以1010910259043002S ⨯=⨯+⨯=. （2）（i ）由题易知,若按照分层抽样的方法,抽出的样本中A 题目的成绩有6个,按分值降序分别记为1x ,2x ,…,6x ；B 题目的成绩有4个,按分值降序分别记为1y ,2y ,3y ,4y .记样本的平均数为x ,样本的方差为2s .由题意可知,()()126123410x x x y y y y x ++⋅⋅⋅+++++=56 5.545.210⨯+⨯==()()()()22225.250.2520.250.2i i i i x x x x -=--=--⨯-+⎡⎤⎣⎦,1,2,,6i =⋅⋅⋅ ()()()()22225.2 5.50.3 5.520.3 5.50.3i i i i y y y y -=-+=-+⨯-+⎡⎤⎣⎦,1,2,,4i =⋅⋅⋅()()()()()22222126142 5.2 5.2 5.2 5.2 5.210x x x y y s -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-=222600.260.25400.3413.6 1.361010⨯-+⨯+⨯++⨯===所以,估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2,方差为1.36.（ii ）本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5,易知样本中A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个,分别为1x ,2x ,3x ,B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个,分别为1y ,2y .从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法,为：()12,x x ,()13,x x ,()23,x x ,()12,y y ,()11,x y ,()21,x y ,()31,x y ,()12,x y ,()22,x y ,()32,x y ,其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种,为：()11,x y ,()21,x y ,()31,x y ,()12,x y ,()22,x y ,()32,x y ,记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件A , 所以()63105P A ==. 2．（2019·河北高二期中）（2014·长春模拟)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：(1)画出茎叶图.(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、方差,并判断选谁参加比赛更合适? 【答案】【解析】(1)画茎叶图如图所示,中间数为数据的十位数.(2)由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列为甲：27,30,31,35,37,38; 乙：28,29,33,34,36,38.所以x ̅甲=16×(27+30+31+35+37+38)=33,x ̅乙=16×(28+29+33+34+36+38)=33.s 甲2=16×[(-6)2+(-3)2+(-2)2+22+42+52]=473,s 乙2=16×[(-5)2+(-4)2+0+12+32+52]=383.因为x ̅甲=x ̅乙,s 甲2>s 乙2.所以乙的成绩更稳定,故乙参加比赛更合适.1．（2019·安徽省舒城中学高二月考（文））有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查.某中学A 、B 两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为：5、8、9、9、9，B 班5名学生得分为：6、7、8、9、10.（1）请你判断A 、B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些，并说明你的理由；（2）求如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率. 【答案】（1）B 班的问卷得分要稳定，见解析；（2）2()5P M = 【解析】（1）B 班的问卷得分要稳定一些，理由如下：589996789108,855A B x x ++++++++====222222(58)(88)(98)(98)(98) 2.45AS -+-+-+-+-∴==222222(68)(78)(88)(98)(108)25BS -+-+-+-+-==，22,A B A B x x S S =>，B ∴班的问卷得分要稳定；（2）记“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1”为事件M所有的基本事件分别为：(6,7)、(6,8)、(6,9)、(6,10)、(7,8)、(7,9)、(7,10)、(8,9)、(8,10)、(9,10)，(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)共10个.事件M 包含的基本事件分别为：(6,7),(6,8),(8,10),(9,10)，共4个 由于事件M 符合古典概型，则42()105P M == 2．（2019·兰州市第二十七中学高一期末）某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)： 甲班：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74 乙班：90 76 86 81 84 87 86 82 85 83 (1)求两个样本的平均数； (2)求两个样本的方差和标准差； (3)试分析比较两个班的学习情况．【答案】（1）=83.2x 甲，=84x 乙；（2）22=26.36=13.2S S 甲乙，，=5.13S 甲，=3.63S 乙；（3）乙班的总体学习情况比甲班好 【解析】(1)x 甲＝110×(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83. 2， x 乙＝110×(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84． (2)2S 甲＝110×[(82－83. 2)2＋(84－83. 2)2＋(85－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(80－83. 2)2＋(91－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(74－83. 2)2]＝26. 36，2S 甲＝110[(90－84)2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝13. 2，则s 甲 5. 13，s 乙≈3. 63．(3)由于x x <乙甲，则甲班比乙班平均水平低．由于S S >甲乙，则甲班没有乙班稳定． 所以乙班的总体学习情况比甲班好3．（2019·平遥县第二中学高一月考）某技校开展技能大赛，甲、乙两班各选取5名学生加工某种零件，在4个小时内每名学生加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知甲班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数为21，乙班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数不低于甲班的平均数.（1）求,m n 的值；（2）分别求出甲、乙两班学生在4个小时内加工的合格零件数的方差2S 甲和2S 乙，并由此比较两班学生的加工水平的稳定性.【答案】（1）8,9m n ==；（2）22=16.8=16.4S S 甲乙，，乙班学生加工水平比甲班稳定.【解析】（1）甲班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数为21， 即()11618212220215x m =+++++=甲，解得m ＝8． 乙班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数不低于甲班的平均数，即()11014232425215x n =+++++≥乙，又0n 9≤≤,解得n ＝9． （2）甲班的方差为()()()()()22222211621182121212221282116.85S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲，由（1）可得21x =乙， ∴乙班的方差为()()()()()22222211421192123212421252116.45S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙． ∵方差22S S 甲乙＞，∴两班加工的合格零件数的平均数相同，乙班更稳定些．4．（2019·安徽高二期中（文））大城市往往人口密集，城市绿化在健康人民群众肺方面发挥着非常重要的作用，历史留给我们城市里的大山拥有品种繁多的绿色植物更是无价之宝.改革开放以来，有的地方领导片面追求政绩，对森林资源野蛮开发受到严肃查处事件时有发生.2019年的春节后，广西某市林业管理部门在“绿水青山就是金山银山”理论的不断指引下，积极从外地引进甲、乙两种树苗，并对甲、乙两种树苗各抽测了10株树苗的高度(单位：厘米)，数据如下面的茎叶图：(1)据茎叶图求甲、乙两种树苗的平均高度；(2)据茎叶图，运用统计学知识分析比较甲、乙两种树苗高度整齐情况.【答案】（1）27（厘米），30（厘米）；（2）甲种树苗长的比较整齐，乙种树苗长的参差不齐【解析】（1）甲种树苗的平均高度为192120292325373132332710+++++++++=（厘米）.乙种树苗的平均高度为101410272630474644463010+++++++++=（厘米）. （2）甲种树苗的方差为：()164364941641001625363810+++++++++=，乙种树苗的方差为：()1400256400169160289256196256223.810+++++++++=，故甲种树苗长的比较整齐，乙种树苗长的参差不齐.5．（2019·福建厦门外国语学校高二期中）某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组. （1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由. 【答案】(1) 男、女同学的人数分别为3人，1人；(2) 12；(3) 第二位同学的实验更稳定，理由见解析 【解析】（1）设有x 名男同学，则45604x=，∴3x =，∴男、女同学的人数分别为3人，1人 （2）把3名男同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有12(,)a a ，13(,)a a ，1(,)a b ，21(,)a a ，23(,)a a ，2(,)a b ，31(,)a a ，32(,)a a ，3(,)a b ，1(,)b a ，2(,)b a ，3(,)b a 共12种，其中恰有一名女同学的有6种，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P == （3）16870717274715x ++++==，26970707274715x ++++== 2222221(6871)(7071)(7171)(7271)(7471)45s -+-+-+-+-==，2222222(6971)(7071)(7071)(7271)(7471) 3.25s -+-+-+-+-==因2212s s >，所以第二位同学的实验更稳定.6．（2019·陕西高一期末）为选派一名学生参加全市实践活动技能竟赛，A 、B 两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20mm 的零件测试，他俩各加工的10个零件直径的相关数据如图所示（单位：mm ）A 、B 两位同学各加工的10个零件直径的平均数与方差列于下表；根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：（Ⅰ）计算s 2B ，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；（Ⅱ）考虑图中折线走势情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由． 【答案】（Ⅰ）0.008，B 的成绩好些（Ⅱ）派A 去参赛较合适 【解析】（Ⅰ）由题意，根据表中的数据，利用方差的计算公式，可得S 2B 22221[5(2020)3(19.920)1(120)1(20.220)]0.00810=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ∴S 2A ＞S 2B ，∴在平均数相同的情况下，B 的波动较小， ∴B 的成绩好些．（Ⅱ）从图中折线趋势可知：尽管A 的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A 的潜力大， ∴派A 去参赛较合适．7．（2019·沙雅县第二中学高二期末）某车间20名工人年龄数据如表所示： （1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差．【答案】（1）众数为30，极差为21；（2）见解析；（3）方差,12.6 【解析】（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为401921-=； （2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为19283293305314323403020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=，故这20名工人年龄的方差为()()()222222211132315041321020⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦ ()1112112341210025212.62020=+++++=⨯=. 8．（2020·北京高一期末）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）38；（Ⅲ）甲【解析】(I)由题意1(0.190.450.290.01)0.06a=-+++=；(II)记事件A为甲中射击一次中靶环数大于7，则()0.450.290.010.75P A=++=，甲射击2次，恰有1次中靶数大于7的概率为：()()()()()() P P AA P AA P A P A P A P A =+=+3 0.750.250.250.758 =⨯+⨯=；(III)甲稳定．9．（2019·永济市涑北中学校高一月考）甲、乙两名技工在相同的条件下生产某种零件，连续6天中，他们日加工的合格零件数的统计数据的茎叶图，如图所示(1)写出甲、乙的中位数和众数；(2)计算甲、乙的平均数与方差，并依此说明甲、乙两名技工哪名更为优秀.【答案】（1）见解析（2）甲更为优秀.【解析】解：（1）甲的中位数为2020202+=，众数为20；乙的中位数为192019.52+=，众数为23.（2）181920202122206x+++++==甲，()()()()()()2222222182019202020202021202220563S -+-+-+-+-+-==甲， 171819202323206x +++++==乙，()()()()()()22222221720182019202020232023201663S -+-+-+-+-+-==乙，由于x x =甲乙，且22S S <甲乙，所以甲更为优秀.10．（2019·四川高三期中（文））根据幼儿身心发展的特征，幼儿园通常着重在健康、科学、社会、语言、艺术五大领域对幼儿展开全方位的教育和培养.经调查发现，一个幼儿除了在幼儿园进行五大领域的系统学习之外，还会报一些课外兴趣班.而家长朋友们对于是否额外报这些课外兴趣班的态度也是不一样的.某调查机构对某幼儿园的100名幼儿家长就孩子是否报课外兴趣班的赞同程度进行调查统计，得到家长对幼儿报课外兴趣班赞同度y 的频数分布表：（1）分别计算对幼儿报兴趣班的赞同度不低于60%的家长比例和对幼儿报兴趣班的赞同度低于20%的家长比例；（2）求家长对幼儿报兴趣班的赞同度的平均数与方差的估计值.（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）【答案】（1）0.72，0.02； （2）0.70，0.0496.【解析】（1）根据家长对幼儿报课外兴趣班赞同度y 的频数分布表， 对幼儿报兴趣班的赞同度不低于60%的家长比例为28440.72100+==； 对幼儿报兴趣班的赞同度低于20%的家长比例为20.02100=. （2）由题意，家长对幼儿报兴趣班的赞同度的平均数为()10.1020.30120.50140.70280.9044100y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.70=， 其方差为()()()22222210.6020.40120.20140280.2044100s ⎡⎤=-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯⎣⎦0.0496=，所以家长对幼儿报兴趣班的赞同度的平均数与方差的估计值分别为0.70和0.0496.11．（2020·江西高二月考（理））某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由. (2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰. 已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）选方案二【解析】(1)解法一：甲的平均成绩为180********835x ++++==；乙的平均成绩为29076759282835x ++++==， 甲的成绩方差()25211150.85i i s x x==-=∑；乙的成绩方差为()25221148.85i i s x x==-=∑；由于12x x =，2212s s >，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适. 解法二、派甲参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率135P =，乙获得85分以上(含85分)的概率225P = 因为12P P >故派甲参赛比较合适，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F .方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a ，b ，c ，E ，F 共5种，抽中会的备选题的结果有a ，b ，c ，共3种. 所以学生乙可参加复赛的概率135P =. 方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,a E F ，(),,b c E ，(),,b c F ，(),,b E F ，(),,c E F ，共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,b c E ，(),,b c F 共7种，所以学生乙可参加复赛的概率2710P =因为12P P <，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.12．（2020·陕西高二期末（文））某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况如下：甲：15,17,14,23,22,24,32； 乙：12,13,11,23,27,31,30 .(1)求甲、乙两名运动员得分的中位数．(2)分别求甲、乙两名运动员得分的平均数、方差，你认为哪位运动员的成绩更稳定？ 【答案】(1) 甲中位数是22，乙中位数是23；(2)21x =甲，21x =乙，22367S =甲，24667S =乙，甲运动员的成绩更稳定．【解析】（1）将甲运动员得分的数据由大到小排列：32,24,23,22,17,15,14. 将乙运动员得分的数据由大到小排列：31,30,27,23,13,12,11.∴甲运动员得分的中位数是22，乙运动员得分的中位数是23.（2）1(15171423222432)217x ==甲＋＋＋＋＋＋， 1(12131123273130)217x ==乙＋＋＋＋＋＋， 22221236[(2115)(2117)(2132)]77S =⋯=甲－＋－＋＋－，22221466[(2112)(2113)(2130)]77S =⋯=乙－＋－＋－，∴22S S <甲乙，∴甲运动员的成绩更稳定．13．（2019·广东执信中学高二期中（理））某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：（1）写出频率分布直方图中a 的值，并做出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；（2）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为2212,s s 。