三男四女排队30问小结

AA
3
3
4 4
144
种排法.
3 5 １８．男生不排在一起： 7 3 5 4320 7 __________________
A AA
解：（排除法）剔除男生排在一起的
AA
3
3
5 5
即可.
4 3 １９．任何两男生彼此不相邻： 1440 4 5 ________________
AA
插空法．先排女生，然后在空位中插入男生.
２５．甲、乙相邻且丙不站排头和排尾：
A A A A A A ( A 2 A ) A 960 _________________________________
2 4 2 1 5 2 6 5 2 5 4 2 4 5 2 6 5 2
解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共 有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个 元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的 4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑” 进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有:
先将4女生排好, 共有A44种排法, 再在这 4个女生的中间及两头的5个空档中插入 3个男生有A53种方案, 故符合条件的排
法共有A44A53=1440种不同排法.
２０．甲、乙两人之间须相隔１人：
A A A 1200 ______________________
1 2 5 5 2 5
从除甲、乙以外的5人中选1人排在甲、乙中间的排法有
三男四女排队30问小结
[ 典例 ]：有3名男生和4名女生，若分别满足下 列条件， 则各有多少种不同的排法：
5040 1．全体排一排： ______________ 7
A
7
解：无限制条件，问题可以看作：
7个元素的全排列A77＝5040.
C A A 2520 ２．选５人排一排：_________________
7 3
A A
7 7 3 3
840.
（变式题）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？
（插空法）先将其余4个同学进行全排列一共有
A
4 4
种方法，
再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无 需要进行排列）有 C 5 种方法．一共有:
3
A C
4 4
3 5
240 种方法．
所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有 A77 －4 A66 ＋ 2A55=2400种．
对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列 问题，通常是先排元素（位置）法（优限法）。
８．甲不在排头、乙不在排尾：
A 2 A A A A A A A A A A 3720 _________________________________
2 2 5 5
根据分步计数原理：第一步: 甲、乙站在两端有A22种；第二步: 余下的5名同学进行全排列有A55种 则共有A22 A55 =240种排列方法. ① 甲 ② d ③ e ④ a ⑤ b ⑥ c ⑦ 乙
A22
① 乙 ② c ③ a A55 ④ e ⑤ b ⑥ d ⑦
甲
2400 ７．甲、乙不站排头和排尾： ____________ 5 5
时是5个元素的全排列，应有A55种排法;再将3个男
同学松绑有A33种排法,由乘法原理，有:
A33A55种=720种不同排法.
１７．男女各不相邻(即男女相间、 3 4 4女互不相邻)： 144 3 4 __________________
A A
插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，
共有
5 5 5 5 7 7
先选后排法：
C A A 2520
5 7 5 5 5 7
720 A6 ３．甲站在正中间： ____________
6
位置分析法
解：位置分析法，先安排甲在第四号位，余下的6个元素的全排列A66 =720
(变式)7位同学站成一排，其中甲不站在首位:
解一：甲站其余六个位置之一有A61种，其余6人 全排列有A66 种，共有A61 A66 =4320。 解二：从其他6人中先选出一人站首位有A61，剩下6人 （含甲）全排列，有A66 ，共有A61 A66 =4320。 解三：7人全排列有A77，甲在首位的有A66， 所以共有 A77- A66=7 A66- A66=4320。
解：（排除法）剔除三人都相邻
5 3 A5 A3
4 3 和三人都不相邻 A4 A5 即可.
１５．男女生各站在一起：
A A A 288 ______________________
3 3 4 4 2 2
解：将甲、乙、丙三个男同学“捆绑”在一起看成一个 元素，另外四个女同学“捆绑”在一起看成一个元 素，一共有2个元素，先捆后松 ∴一共有排法种数：
所以这样的排 法一共有
5 3 A5 A3 720
种方法． 种．
１３．甲、乙、丙三人都不相邻：
A A 1440 ____________________________
4 4 3 5
解：先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们 留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入 这五个“空”有A53种方法，所以一共有A44 A53 ＝1440 种．
7 7 6 6 5 5 1 6 1 5 6 1 1 5 6 6 5 5 6 5 5 5
位置分析法．先排最左边，除去甲外，有
A
1 6
A66 种，但应 种，余下的6个位置全排有
1 5 剔除乙在最右边的排法数 A5 A5 种．则符合
条件的排法共有 A6 A6 A5 A5 3720
1 6 1 5
a
b
甲
c
d
乙
e
所以一共有A55 A62=3600种方法．
１２．甲、乙、丙三人都相邻：
A A 720 ___________________
5 5 3 3
解：先将甲、乙、丙三位同学“捆绑”在一起看成一个元素与 其余的4个元素（同学）一起进行全排列有 A 种方法；
5 5
3
A 再将甲、乙、丙三人“松绑”进行排列有3
以可以从其余的四个位置选择共有A41种方法，再将其
余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙
小结：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．
１４．７人排成一排，其中甲、乙、丙三人中， 有两人相邻，但这三人不同时相邻：
A A A A A A C A A 2880 __________________________________
7 7 5 5 3 3 4 4 3 5 4 4 2 2 2 3 5 2
２３．从左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁 的顺序不变(即只排男生)：
A A 210 A _____________________
7 4 4 3 7
7 A7 3 方法1：(比例法) N 4 A7 210 A4
7
方法2：设想有7个位置，先将男生排在其中的任意3个 3 位置上，有 A7 种排法；余下的4个位置排女 生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有 一种排法.
2 5 7 6 1 6
由位置分析法,先从其余6人中选2人放在排头和排尾， 再排其它5个位，有：A2 A5 3600;
6 5
1 A5 或由元素分析法，先安排甲在中间的位置上为
种，再排其余6人有 也可由间接法得：
A
7 7
6 1 6 种，故： A5 A6 6
A 2 A 3600.
6 6
A A 240 ６．甲、乙必须在两头： ______________
４．甲只能站在正中间或两头：
2160 ___________________ 3 6
AA
1
6
利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲在 1 左、右、中共三个位置，有 A3 种，其余6人全排列，
1 6 A66 种．由乘法原理得 A3 A6 2160 种． 有
５．甲既不在排头也不在排尾：
A7 2 A6 A5 A6 3600 A6 A5 _______________________________
AA
2
5
解法一：第一步
从（除去甲、乙）其余的5位同学中选
2位同学站在排头和排尾有A52种方法；第二步 有A55种方法 ，所以共有A52 A55 ＝2400种方法． 解法二：若甲站在排头有A66种方法；若乙站在排尾有A66种
（直接法） 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）
（排除法）
方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方法．
（法二）：设想有7个位置，先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮 排在其中的3个位置上，有 C73 种排法；将其他4人排在 4 剩下的4个位置上，有 A4 种排法；共有:
C A 840
3 7 4 4
种方法．
（法三）：对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，
因此
A7 N A3 N
A22 A53A33 =720种不同排法.
２２．甲、乙、丙3人自左至右顺序不变 (即男生顺序一定,只排女生)：
A A 840 _______________________ A
7 3 3 4 7
4 7
7
（法一）：设想有7个位置，先将其他4人排好，有 A 种排法； 再将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在剩下的 4 3个位置上，只有1种排法，一共 A7 1 840 种方法.
A52 A44 A22 ＝960种方法． 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共
有6个元素， 若丙站在排头或排尾有2A55种方法， 所以丙不能 站在排头和排尾的排法有（ A66 -2A55）· 22=960种方法． A