求椭圆方程

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椭圆的标准方程怎么求

椭圆的标准方程怎么求椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

椭圆的标准方程是求解椭圆特征的重要方法之一。

接下来，我们将介绍椭圆的标准方程是如何求解的。

首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆还有一个重要的性质是，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。

椭圆还有一个短轴长度2b，满足b^2 = a^2 c^2，其中c是焦距。

接下来，我们来推导椭圆的标准方程。

假设椭圆的长轴与x轴重合，焦点在原点上方，且椭圆的中心与原点重合。

设椭圆的焦点坐标为(F1, 0)和(-F2, 0)，椭圆上一点P的坐标为(x, y)。

根据椭圆的定义，我们有PF1 + PF2 = 2a，即√(x F1)^2 + y^2 + √(x+ F2)^2 + y^2 = 2a。

化简得x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，这就是椭圆的标准方程。

如果椭圆的长轴与y轴重合，推导过程和上面类似，最终得到的标准方程为y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1。

当椭圆的中心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心平移到原点，然后再根据上面的方法求解标准方程。

最后，我们来举一个具体的例子来求解椭圆的标准方程。

假设椭圆的焦点坐标为(3, 0)和(-3, 0)，离心率为2/3。

首先，我们可以计算出椭圆的长轴长度为6，根据离心率的定义可得椭圆的短轴长度为2√5。

然后，代入椭圆的标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1中，得到椭圆的标准方程为x^2/36 + y^2/20 = 1。

通过上面的介绍，我们可以得出椭圆的标准方程求解方法。

当我们了解了椭圆的定义和性质后，可以根据椭圆的焦点坐标和离心率来求解标准方程。

希望这篇文章对你有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆的标准方程

椭圆的标准方程首先，让我们来看一下椭圆的定义。

椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。

这两个定点被称为焦点，常数2a被称为主轴的长度。

椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与主轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦距。

通过这些定义，我们可以得到椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。

通过这个方程，我们可以清晰地看到椭圆的形状和特点。

例如，当a=b时，椭圆变成了一个圆；当a>b时，椭圆在x轴上的投影长度大于在y轴上的投影长度；当a<b时，椭圆在x轴上的投影长度小于在y轴上的投影长度。

除了标准方程，椭圆还有其他一些重要的性质。

例如，椭圆的离心率e可以用a和b表示为e=sqrt(1-b^2/a^2)，这个公式可以帮助我们计算椭圆的离心率。

另外，椭圆还有一个重要的焦点方程，可以表示为PF1+PF2=2a，其中P为椭圆上的任意一点。

这个方程可以帮助我们理解椭圆的焦点性质。

在物理学中，椭圆也有着重要的应用。

例如，行星围绕太阳运动的轨道就是椭圆，椭圆的形状和性质决定了行星运动的规律。

另外，椭圆还可以用来描述光的偏振状态，以及天体运动的轨道等。

总之，椭圆是一个非常重要的数学概念，它在几何学、物理学和工程学中都有着广泛的应用。

通过标准方程，我们可以清晰地了解椭圆的形状和性质，这有助于我们更好地理解和应用椭圆这一数学概念。

希望本文能够帮助读者更好地掌握椭圆的标准方程及其相关知识，进而在学习和工作中更好地应用这一重要的数学概念。

椭圆方程的标准方程

椭圆方程的标准方程
椭圆的标准方程是一种表示椭圆的方程形式。

对于平面上的椭圆，其标准方程可以表示为：
(x - h)²/a²+ (y - k)²/b²= 1
其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a 和b 分别是椭圆在x 和y 方向上的半长轴长度。

如果椭圆的长轴与x 轴对齐，则标准方程变为：
(x - h)²/a²+ (y - k)²/b²= 1
这种情况下，a 表示椭圆的长轴长度，b 表示椭圆的短轴长度。

如果椭圆的长轴与y 轴对齐，则标准方程变为：
(x - h)²/b²+ (y - k)²/a²= 1
这种情况下，a 表示椭圆的短轴长度，b 表示椭圆的长轴长度。

通过标准方程，我们可以确定椭圆的中心，长轴和短轴的长度，以及椭圆在平面上的形状。

求椭圆的标准方程式

求椭圆的标准方程式首先，我们来看一下椭圆的定义。

椭圆的定义可以通过一个动点到两个固定点的距离之和等于常数的轨迹来描述。

这两个固定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距，常数称为椭圆的长轴长度。

椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这就是椭圆的定义。

接下来，我们来推导椭圆的标准方程式。

设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。

根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，即。

PF1 + PF2 = 2a。

设椭圆上一点P（x，y），则。

PF1 = √((x+c)²+y²)。

PF2 = √((x-c)²+y²)。

代入椭圆的定义式，得。

√((x+c)²+y²) + √((x-c)²+y²) = 2a。

整理得。

[(x+c)²+y²] + [(x-c)²+y²] + 2√((x+c)²+y²)√((x-c)²+y²) = 4a²。

化简得。

2x² + 2y² + 2c² 2c² + 2√((x²-c²)²+y²) = 4a²。

化简得。

x²/a² + y²/b² = 1。

这就是椭圆的标准方程式。

在求椭圆的标准方程式时，我们还可以通过椭圆的焦点、长轴、短轴等参数来确定椭圆的标准方程式。

对于一个已知焦点、长轴、短轴的椭圆，我们可以根据焦点的坐标、长轴的长度、短轴的长度来求出椭圆的标准方程式。

在实际问题中，求椭圆的标准方程式是解析几何中的一个重要问题。

通过求椭圆的标准方程式，我们可以更好地理解椭圆的性质，进而应用到实际问题中。

比如在工程中，我们可以利用椭圆的性质设计出更加合理的结构；在物理学中，椭圆的运动规律也有着重要的应用价值。

椭圆的标准方程怎么求

椭圆的标准方程怎么求椭圆是平面上一个点到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

在解析几何中，椭圆是一种常见的曲线，它具有许多重要的性质和应用。

要求椭圆的标准方程，我们需要了解椭圆的定义和性质，并通过推导来得到其标准方程。

首先，我们来看一下椭圆的定义。

设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，两个焦点之间的距离为2c，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。

根据椭圆的定义可知，对于椭圆上任意一点P(x, y)，它到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

接下来，我们来推导椭圆的标准方程。

假设椭圆的中心为原点O(0, 0)，根据椭圆的定义可知，两个焦点的横坐标分别为c和-c，纵坐标均为0。

设椭圆上一点P(x, y)，则根据点到焦点的距离公式可得：√((x-c)² + y²) + √((x+c)² + y²) = 2a。

整理得：√((x-c)² + y²) = 2a √((x+c)² + y²)。

两边平方得：(x-c)² + y² = (2a √((x+c)² + y²))²。

展开得：x² 2cx + c² + y² = 4a² 4a√((x+c)² + y²) +(x+c)² + y²。

化简得：x² 2cx + c² + y² = 4a² 4a√((x+c)² + y²) + x² + 2cx + c² + y²。

消去相同的项得：4cx = 4a² 4a√((x+c)² + y²)。

整理得：cx = a² a√((x+c)² + y²)。

椭圆标准方程推导过程

椭圆标准方程推导过程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

设F1(-c,0),F2(c,0)（c＜a),点P(x,y),则PF1＋PF2=2a，即√((x＋c)²＋y²)＋√((x－c)²＋y²)=2a，整理得(x＋c)²＋y²＋(x－c)²＋y²＋2√((x＋c)²＋y²)√((x－c)²＋y²)=4a ²，即2x²＋2y²＋2√((x²＋2cx＋c²)＋y²)√((x²－2cx＋c²)＋2y²)=4a²，整理得x²＋y²＋√((x²＋y²)＋2cx＋c²)√((x²＋y²)－2cx＋c²)=2a²，整理得(x²＋y²)²＋2a²cx＋a⁴＝a²(x²＋y²)，即x²＋y²＋2a²cx＋a⁴＝a²(x²＋y²)，整理得x²(a²－c²)＋y²a ²＝a²(x²＋y²)，即(x²/a²)＋(y²/b²)＝1，其中b²=a²－c²。

椭圆的标准方程为(x²/a²)＋(y²/b²)＝1。

其中，a为椭圆长半轴长，b为椭圆短半轴长，c为椭圆的焦点之间的距离。

推导过程如上所示，通过数学推导可以得到椭圆的标准方程。

这个标准方程的形式简洁明了，能够直观地反映出椭圆的形状特征。

怎么求椭圆的标准方程

怎么求椭圆的标准方程
首先，我们需要了解椭圆的基本定义和性质。

椭圆的定义是一个固定点F到平面上任意一点P到两个定点A、B的距离之和等于常数2a，这个常数2a就是椭圆的长轴长度。

而椭圆的短轴长度则是2b，满足a>b。

椭圆的中心是定点A、B连线的中点O，长轴和短轴的交点是椭圆的焦点。

接下来，我们来求解椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程一般是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。

首先，我们需要确定椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b。

确定椭圆的中心坐标(h,k)，如果椭圆的中心不是坐标原点，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心移到坐标原点，这样就可以简化问题。

假设椭圆的中心坐标是(h,k)，我们可以将椭圆的方程变形为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。

确定椭圆的长短轴的长度a和b，椭圆的长轴长度是2a，短轴长度是2b，我们可以通过椭圆的焦点和顶点的坐标来确定a和b的值。

椭圆的焦点坐标可以通过勾股定理和椭圆的定义来求解，然后根据a²=b²+c²来确定a和b的值。

最后，我们将确定的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b代入标准方程(x-h)²/a ² + (y-k)²/b² = 1中，就可以得到椭圆的标准方程了。

总结一下，求解椭圆的标准方程需要先确定椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b，然后代入标准方程中进行计算。

希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆标准方程推导过程

椭圆标准方程推导过程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

在直角坐标系中，椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。

接下来，我们将推导椭圆的标准方程。

首先，设椭圆的两个焦点分别为F1（c,0）和F2（-c,0），其中c为焦距。

设椭圆上任意一点为P（x,y），则根据椭圆的定义，有：\[PF_1 + PF_2 = 2a\]根据点到定点的距离公式，可以得到：\[\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a\]整理得到：\[(x-c)^2 + y^2 = (2a \sqrt{(x+c)^2 + y^2})^2\]展开并整理得到：\[x^2 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2\]化简得到：\[x^2 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 4a\sqrt{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} + x^2 + 2cx + c^2 + y^2\]消去相同的项并整理得到：\[4a\sqrt{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} = 4a^2 2cx\]两边平方得到：\[16a^2(x^2 + 2cx + c^2 + y^2) = (4a^2 2cx)^2\]展开并整理得到：\[16a^2x^2 + 32a^2cx + 16a^2c^2 + 16a^2y^2 = 16a^4 16a^2cx + 4c^2x^2\]化简得到：\[16a^2x^2 + 16a^2y^2 = 16a^4 16a^2c^2 4c^2x^2\]移项并整理得到：\[20a^2x^2 + 16a^2y^2 = 16a^4 16a^2c^2\]将等式两边同时除以16a^4得到：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{(a^2 c^2)} = 1\]由于椭圆的半轴长满足a > c，所以可以令b = √(a^2 c^2)，代入得到椭圆的标准方程：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]至此，我们成功推导出了椭圆的标准方程。

椭圆方程的几种常见求法 (2)

椭圆方程的几种常见求法对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2 且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ，故所求轨迹方程为：1486422=+y x ．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ．评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12422=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=•PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=•PB PA 即可求解．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ），由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号，∴PB PA •=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y ∵)41(2)41(2222x x y y y A AB A --=--=-=1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求．评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ．（２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y yx∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300yy x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x其轨迹是中心为原点，焦点在x轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。

求椭圆标准方程的两种方法

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易错点提示：本题是求动点的轨迹，所以求出轨迹方程后要注意叙述轨迹，并注意附加条件的补充。
一、定义法求椭圆标准方程
例5、如图，在圆C：(x 1)2 y2 25内有一点A(1,0),Q为圆C上任意一点，线段 AQ的垂直平分线与C, Q的连线交于点M，当点Q在圆上运动时，求点M的轨迹方程。
所求椭圆的标准方程为：
x2 y2 1. 10 6
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0)
方法总结：首先明确我们要求的轨迹是椭圆，而后判断椭圆焦点所在的坐标轴，进而求出 a , b 的值，带入椭圆的标准方程即可。
一、定义法求椭圆标准方程
变式训练1 （人教A版2-1第42页练习2）写出适合条件的椭圆的标准方程：
(1)a 4,b 1,焦点在x轴上；（2）a 4, c 15 ,焦点在y轴上；（3）a b 10, c 2 5.
参考答案：
(1) x2 y2 1; 16
(2) y 2 x2 1; 16
x2 (3)

y2
1或
y2

x2
1
36 16
36 16
一、定义法求椭圆标准方程
2、x2 y2 1( y 0) 25 9
3、x2 y2 1 9 25
谢谢观看
点 ( 5 , 3) ，求它的标准方程。
22
解析：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知：
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10,
2
2
2
2
所以，a 10.
又因为c 2，所以，b2 a2c2 10 4 6

椭圆的公式标准方程

椭圆的公式标准方程椭圆是一种常见的二次曲线，其形状类似于一个被拉伸的圆。

椭圆是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。

椭圆的公式标准方程是描述椭圆特征的数学表达式，本文将详细介绍椭圆的公式标准方程及其相关知识。

首先，我们来了解一下椭圆的基本概念。

椭圆是一个平面上的封闭曲线，其上的每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。

椭圆的形状可以用离心率来描述，离心率是焦点到中心距离与长轴长度之比的绝对值。

椭圆的公式标准方程是一般二次曲线方程的特殊形式，具有以下表达式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)代表椭圆中心的坐标，a表示椭圆长轴的长度的一半，b表示椭圆短轴的长度的一半。

椭圆的公式标准方程中的变量解释如下：1. (x, y)为平面上任意一点的坐标；2. (h, k)表示椭圆中心的坐标；3. a表示椭圆长轴的长度的一半；4. b表示椭圆短轴的长度的一半。

通过椭圆的公式标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要信息。

首先，椭圆中心的坐标为(h, k)，这个点是椭圆的对称中心。

其次，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，离心率为c/a，其中c表示焦点到中心的距离。

椭圆的公式标准方程也可以表示成另一种形式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = r²其中，r表示椭圆上任意一点到椭圆中心的距离。

我们可以通过一些具体的例子来理解椭圆的公式标准方程的应用。

以一个常见的例子为椭圆方程(x-2)²/9 + (y-3)²/4 = 1。

我们可以通过这个方程来确定椭圆的特征。

首先，椭圆的中心坐标为(2, 3)，即椭圆的中心在坐标系中的位置为(2, 3)。

其次，椭圆的长轴长度为2×3 = 6，所以椭圆的长轴长度为12。

短轴长度为2×2 = 4，所以椭圆的短轴长度为8。

椭圆的方程

椭圆的方程
椭圆的方程是描述一个椭圆的数学表达式，通常由一个二次方程构成，可
以用来表示椭圆在坐标平面上的形状和位置。

下面将介绍椭圆的基本概念和方
程表达式。

1. 椭圆的基本概念
椭圆是一个闭合的几何图形，具有以下几个基本概念：
(1) 中心：椭圆的中心是指椭圆的对称中心，位于椭圆的长轴和短轴的交
点处。

(2) 长轴和短轴：椭圆的长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径，且垂直于长轴。

(3) 焦点：椭圆的焦点是指椭圆上满足一定条件的点，它们的和等于常数。

(4) 弦：椭圆上任意两点之间的线段称为弦。

2. 椭圆的方程表达式
椭圆的一般方程表达式是：
$$\\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \\dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$
其中，(h,k)为椭圆的中心点坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的半长轴，具体含义如下：
(1) 当a > b时，椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上；
(2) 当a < b时，椭圆的长轴在y轴上，短轴在x轴上；
(3) 当a = b时，椭圆退化为圆。

3. 椭圆的离心率和焦点
椭圆的离心率e可以由以下公式计算得出：
$$e = \\sqrt{1 - \\dfrac{b^2}{a^2}}$$
离心率越接近于0，椭圆越趋近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。

椭圆的焦点可以由以下公式计算得出：
$$c = \\sqrt{a^2 - b^2}$$
关于椭圆的方程还有很多扩展应用，如椭圆的参数方程、几何性质等，它们都是高中数学中必学的知识点。

椭圆的标准方程推导过程

椭圆的标准方程推导过程
一、椭圆的定义
椭圆是平面内到两个定点 $F_1$ 和 $F_2$ 的距离之和等于常
数 $2a$ 的点 $P$ 的轨迹。

二、椭圆的标准方程
椭圆的标准方程形式为：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-
k)^2}{b^2}=1$，其中 $(h,k)$ 是椭圆的中心点坐标，$a$ 和
$b$ 分别是椭圆在 $x$ 和 $y$ 方向的半轴长度。

三、推导过程
首先，设椭圆上任意一点 $P(x,y)$，则有：
$$PF_1+PF_2=2a$$ 根据两点之间的距离公式，可得：
$$\sqrt{(x-F_1)^2+y^2}+\sqrt{(x-F_2)^2+y^2}=2a$$ 将 $F_1$ 和$F_2$ 的坐标代入上式，化简后得到：
$$\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{(x-a)^2+y^2}=2a$$ 平方并化简，可得：$$x^2\cdot\frac{a^2}{a^2-b^2}+y^2\cdot\frac{a^2}{a^2-
b^2}=1$$ 因为 $a>b>0$，故 $\frac{a^2}{a^2-b^2}>0$，于是可
令常数 $c=\frac{a^2}{a^2-b^2}$，则上式可以转化为：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 即为椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程公式

椭圆的标准方程
椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y ²/b²=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²= 1，（a>b>0）。

其中a²-c²=b²，推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点F为焦点）。

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）；短轴顶点：（0，b），（0，-b）；焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）；短轴顶点：（b,0），（-b，0）。

扩展资料
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

离心率范围：0<e<1。

离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

如何求椭圆方程

如何求椭圆方程椭圆是一种常见的几何图形，具有很多有趣的性质和应用。

在数学中，我们可以通过一些方法来求解椭圆的方程。

下面将介绍一种常见的方法，帮助读者理解如何求解椭圆方程。

在开始之前，我们先来了解一下椭圆的定义。

椭圆是平面上到两个定点的距离之和恒定于一个常数的点的集合。

这两个定点称为焦点，常数称为离心率。

椭圆还有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

现在，我们来看如何求解椭圆方程。

假设椭圆的中心坐标为(h, k)，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。

我们需要找到一个方程，使得椭圆上的所有点满足这个方程。

我们知道椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：( x - (h - c) )^2 + y^2 + ( x - (h + c) )^2 + y^2 = (2a)^2化简上述方程，可以得到：( x - h )^2 + ( x - h )^2 + ( y - k )^2 = a^2进一步化简，可以得到椭圆的标准方程：( x - h )^2 / a^2 + ( y - k )^2 / b^2 = 1这就是椭圆的标准方程。

通过这个方程，我们可以确定椭圆的中心坐标、长轴和短轴的长度。

如果我们已知椭圆上的两个点，可以通过求解方程组来确定椭圆的方程。

除了标准方程外，还可以使用其他形式的椭圆方程。

例如，如果椭圆的长轴与坐标轴平行，则方程可以表示为：( x - h )^2 / a^2 + ( y - k )^2 / b^2 = 1如果椭圆的长轴与y轴平行，则方程可以表示为：( x - h )^2 / b^2 + ( y - k )^2 / a^2 = 1以上是求解椭圆方程的一种常见方法。

通过确定椭圆的中心坐标、长轴和短轴的长度，我们可以得到椭圆的方程。

这个方程可以帮助我们进一步研究椭圆的性质和应用。

总结起来，求解椭圆方程的方法主要包括确定椭圆的中心坐标、长轴和短轴的长度，然后根据椭圆的定义和性质，得到椭圆的方程。

椭圆方程的几种常见求法

椭圆方程的几种常见求法公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]椭圆方程的几种常见求法河南陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2 且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ，故所求轨迹方程为：1486422=+y x ．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ．评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12422=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=•PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=•PB PA 即可求解．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ），由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号，∴PB PA •=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y ∵)41(2)41(2222x x y y y A AB A --=--=-=1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求．评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ．（２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y yx ∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。

椭圆的标准方程怎么求

椭圆的标准方程怎么求椭圆是平面上一个点到两个不同固定点的距离之和等于常数的点的集合。

在解析几何中，椭圆是一个非常重要的图形，它具有许多独特的性质和特点。

而要求椭圆的标准方程，就需要通过一定的方法和步骤来进行推导和计算。

下面我们将介绍如何求椭圆的标准方程。

首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。

椭圆的标准方程是指通过数学方法得到的一种表示椭圆的方程形式，它可以直观地描述椭圆的形状、位置和大小。

椭圆的标准方程通常采用平面直角坐标系来表示，其中椭圆的中心坐标为(h, k)，长轴和短轴的长度分别为2a和2b。

根据这些基本概念，我们可以通过以下步骤来求解椭圆的标准方程。

首先，我们需要确定椭圆的中心坐标(h, k)和长短轴的长度2a和2b。

在已知椭圆的焦点和顶点坐标的情况下，可以通过一定的方法来求解中心坐标和长短轴的长度。

接着，我们可以利用椭圆的性质和定义来建立椭圆的一般方程。

椭圆的一般方程可以表示为，$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度。

通过这个一般方程，我们可以得到椭圆的标准方程。

接下来，我们可以通过一些代数运算和化简来将椭圆的一般方程转化为标准方程。

首先，我们可以将椭圆的一般方程中的分式进行通分和整理，然后通过配方法将方程转化为标准方程的形式。

最终得到的标准方程形式为，$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$。

在实际应用中，我们也可以通过已知椭圆上的三个点来求解椭圆的标准方程。

通过将这三个点的坐标代入椭圆的一般方程中，可以建立一个包含三个未知数的方程组。

通过求解这个方程组，我们可以得到椭圆的中心坐标和长短轴的长度，进而得到椭圆的标准方程。

总之，求解椭圆的标准方程是一个重要且常见的数学问题，它需要我们熟练掌握椭圆的定义、性质和相关的代数运算方法。

椭圆的标准方程怎么求

椭圆的标准方程怎么求首先，我们需要了解椭圆的定义。

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质决定了椭圆的形状。

其次，我们需要知道椭圆的标准方程是什么。

椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。

通过椭圆的标准方程，我们可以直观地了解椭圆的形状和大小。

接下来，我们来介绍如何求解椭圆的标准方程。

首先，我们需要知道椭圆的焦点坐标和长轴短轴长度。

如果我们已知椭圆的焦点坐标为(F1x, F1y)和(F2x, F2y)，长轴长度为2a，短轴长度为2b，那么我们可以通过这些信息来求解椭圆的标准方程。

椭圆的焦点坐标和长短轴长度可以通过椭圆的参数方程来求解。

椭圆的参数方程为：x = acosθ。

y = bsinθ。

其中θ为参数，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。

通过参数方程，我们可以得到椭圆上任意一点的坐标，从而确定椭圆的形状和大小。

通过参数方程得到椭圆上任意一点的坐标后，我们可以利用这些点的坐标来确定椭圆的标准方程。

具体来说，我们可以将参数方程中的x和y代入椭圆的标准方程中，然后整理得到标准方程的形式。

最后，我们需要验证求解得到的标准方程是否正确。

我们可以通过将椭圆上几个特殊点的坐标代入标准方程中，来验证标准方程是否成立。

如果代入后等式成立，那么我们求解得到的椭圆标准方程就是正确的。

总结一下，求解椭圆的标准方程需要先确定椭圆的焦点坐标和长短轴长度，然后利用椭圆的参数方程来求解标准方程，最后通过验证来确定求解结果的正确性。

掌握了这些方法，我们就能准确地求解椭圆的标准方程。