第21章 21.2.2 公式法
人教版九年级数学上册课件：21.2.2 公式法
第四课时 21.2.2公式法
一、新课引入
用配方法解 6x方 2 7程 x10
解：移项，得
二 6x能次 2 -量项 7x系 加数 -毅1化力为可1，以得-征- 服富一兰切克 x。林 172
2
25 144
x2 7 x 1
6
6
配方
由此可得 x 7 5
• 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 7:09:20 PM
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。2021/8/102021/8/102021/8/10Aug-2110- Aug-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/8/102021/8/102021/8/10Tues day, August 10, 2021
12 12
x2 7 x 7 2 6 12
1 7 2 6 12
x1 1, x2Biblioteka 1 6二、学习目标
理解一元二次方程求根公式的推导过 1 程，了解公式法的概念； 2 会熟练应用公式法解一元二次方程．
21.2.2-一元二次方程的解法(2)公式法
(2) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
b c x x （2）方程两边同除以a，得 a a
2
.
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a ∵a≠0, 4a2>0,
b 2 4ac 0, 2 ∴当b2－4ac≥0时， 4a
b b2 4ac ∴ x . 2a 2a
b b2 4ac x . 2a
2
2 0 a 0）. 对于方程 ax bx c （
2 ax bx c . （1）将常数项移到方程的左边，得
b 2 ( ) 2a ，得 （3）方程两边同时加上_______ b b 2 c b 2 2 x x( ) ( ) . a 2a a 2a 左边写成完全平方式，右边通分，得 b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a （4）开平方…
（3）
（ 4）
六、拓展练习 提升新知
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有 两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
A 、 m ﹥0 C 、 m ﹥ 0 且m≠1 B、 m≥0 D m ≥0且m≠1
解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0② 解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
解 a 1, b 4, c 7
△ b 2 4ac 4 4 1 (7) 44 0.
2
方程有两个不相等的实数根： b b 2 4ac x 2a 4 44 4 2 11 . 2 1 2 2 11
九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版
合作探究
2．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－x－＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋2x＋10＝0.
解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；
2＋ 3
2－ 3
(2)x 1＝ 2 ，x 2＝ 2 ；
第二十一章：一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了 解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．
学前准备
用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0； 解：x1＝－2，x2＝－1； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：无解．
(3)没有实数根？
解：(1)m＜
1 4
Hale Waihona Puke ；(2)m＝；14
(3)m＞ .
1 4
合作探究
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋ mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1 ＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 根((，45))也由一可求般能根地有，公式式可子个知b12实，－根一4a或元c叫者二做次方方实程程没根a最x有．2多＋有bx＋c2个 ＝实数 0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2 －4ac.
第二十一章21.2.2公式法
栏目索引
易错点二 对形如ax2+bx+c=0的方程有实数根的问题理解错误 例2 (2018河南新乡辉县二模)关于x的方程ax2-2x-1=0有实数根,则a的 取值范围是 ( ) A.a≥-1 B.a>-1 C.a≥-1且a≠0 D.a>-1且a≠0 解析 当a≠0时,∵原方程有实数根, ∴Δ=4+4a≥0,∴a≥-1; 当a=0时,-2x-1=0有实数根.故选A.
根的判别 式的应用
(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况; (2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围
21.2.2 公式法
栏目索引
例1 (2017上海中考)下列方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0 解析 A选项,Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,∴有两个不相等的实数根; B选项,Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴有两个不相等的实数根; C选项,Δ=(-2)2-4×1×1=0,∴有两个相等的实数根; D选项,Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,∴D选项中的方程没有实数根,故选D. 答案 D 点拨 不解方程可通过计算Δ的值来判断根的情况.特殊的方程可不必 计算Δ的值,如:当a与c异号,或b≠0且c=0时,方程有两个不相等的实数 根.
答案 A 点拨 首先根据一次函数的定义确定字母的取值范围,然后由字母的取 值范围得出判别式的取值范围,最后得出根的情况.
21.2.2 公式法
栏目索引
题型三 根的判别式与三角形的综合应用
例3 已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,若关于x的一元二次方
第21章 21.2.2 公式法
`∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6.
13．已知关于 x 的方程 x2－2(m＋1)x＋m2＝0. (1)当 m 取何值时，方程没有实根？ (2)为 m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两 个根． 解：(1)由题意得 Δ＝[－2×(m＋1)]2－4m2＜0，解得 m＜－12. (2)取 m＝0 代入解得 x1＝0，x2＝2.
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
4．用公式法解方程－3x2＋5x－1＝0，下面的解正确的是( C )
A．x＝－5±6 13
B．x＝－5±3 13
C．x＝5±6 13
D．x＝5±3 13
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/92021/9/9Thursday, September 09, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/92021/9/92021/9/99/9/2021 7:31:28 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/92021/9/92021/9/9Sep-219-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/92021/9/92021/9/9Thursday, September 09, 2021
12．用公式法解下列方程 (1)x2＋3x＋1＝0；
－3＋ 5
－3－ 5
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2 ；
(2)6x2－13x＝5；
解：x1＝52，x2＝－13；
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第21章21.2.2 公式法
21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法一、教学目标【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.五、课前准备课件六、教学过程 （一）导入新课1.利用配方法解一元二次方程2704x x --=.（出示课件2）学生板演如下：解：移项，得274x x -=，配方222171242xx ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此可得12x -=，112x =+212x =-2. 用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3） 学生口答：化：把原方程化成 x 2＋px ＋q = 0 的形式. 移项：把常数项移到方程的右边，如x 2＋px =－q. 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方. x 2＋px ＋(2p )2=－q ＋(2p)2 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方. (x+2p )2=－q ＋(2p )2 求解：解一元一次方程. 定解：写出原方程的解.我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax 2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？（二）探索新知 探究一 公式法的概念教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5） 学生答：ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0).教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=)0(≠a （出示课件6）解:移项，得ax 2+bx=-c. 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-ca. 配方，得x 2+b a x+2()2b a =-ca+2()2b a ，即2224(42)b a a a b x c-+=.教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法. 师生共同完善认知：（出示课件7）20,40,≠>a a当240,-b ac ≥.2b x a +=±x 1=-b+√b 2-4ac 2a ， x 2=-b -√b 2-4ac 2a.出示课件8：由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a≠0).当b 2-4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x=2b a-±，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解方程：(1)x 2-4x-7=0; （出示课件9） 学生思考后，共同解答如下： 解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.=x∴12=+x 22=-x(2)2x 2x+1=0;（出示课件10） 教师问：这里的a 、b 、c 的值分别是什么？解：2, 1.==-=a b c224(4210.△=-=--⨯⨯=b ac则方程有两个相等的实数根：122==-=-=b x x a（3）5x 2-3x=x+1;（出示课件11）解：原方程可化为25410x x --= 1,4,5-=-==c b a ，224(4)45(1)36＞0△b =-=--⨯⨯-=ac则方程有两个不相等的实数根46.10±===x12464611,.10105+-====-x x（4）x 2+17=8x.（出示课件12）解：原方程可化为28170x x -+=，17c 8,1,=-==b a ，,0＜41714)8(422-=⨯⨯--=-=ac b △方程无实数根.教师归纳：（出示课件13）⑴当∆=b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根; ⑵当∆=b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根; ⑶当∆=b 2-4ac ＜0时，一元二次方程没有的实数根. 教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 学生思考后，共同总结如下：（出示课件14） 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.将方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值. 2.求出 ∆ 的值.3. (1)当 ∆ >0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.(2)当∆=0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.（3）当∆<0时，方程无实数根.出示课件15：用公式法解方程：23620x x --= 学生自主思考并解答. 解：a=3, b=-6, c=-2,∆=b 2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.=x1=x 2=x探究二 一元二次方程的根的情况 出示课件16：用公式法解下列方程：（1）x 2＋x －1=0；（2）x 2－＋3=0；（3）2x 2－2x ＋1=0.学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴x 2＋2x －8=0； ⑵x 2=4x －4； ⑶x 2－3x=－3.学生思考后回答：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根. 教师问：你有什么发现？学生答：b 2－4ac 的符号决定着方程的解. 师生共同总结如下：（出示课件18） 一元二次方程）（0 02≠=++a c bx ax的根的情况⑴当b 2-4ac ＞0 时，有两个不等的实数根：12,;x x ==（2）当b 2-4ac=0时，有两个相等的实数根：12;2bx x a -== （3）当b 2-4ac<0时，没有实数根.一般的，式子 b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b 2-4ac.出示课件20，21：例1 不解方程，判断下列方程根的情况： （1） 06622=-+-x x ；（2）x 2+4x=2.（3）4x 2+1=-3x;（4）x ²-2mx+4（m-1）=0. 师生共同讨论解答如下： 解：⑴a ＝﹣1，b＝，c ＝﹣6, ∵△= b 2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0. ∴该方程有两个相等的实数根.⑵移项，得x2+4x-2=0,a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0.∴该方程有两个不相等的实数根.⑶移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3 ，c＝1,∵△= b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.⑷a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,∵△= b2-4ac=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.选一选：（出示课件22）（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x²=9B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y²+6y+7=0（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0D.b²-4ac≥0学生口答：⑴D ⑵D出示课件23：例2 m 为何值时，关于x 的一元二次方程 2x 2-（4m+1）x+2m 2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？学生思考后，教师板演解题过程： 解：a=2，b=-（4m+1），c=2m 2-1,b 2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m 2-1）=8m+9.（1）若方程有两个不相等的实数根，则b 2-4ac ＞0，即8m+9＞0，∴m ＞98-；（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=98-；（3）若方程没有实数根，则b2-4ac ＜0即8m+9＜0, ∴m ＜98-.∴当m ＞98-时，方程有两个不相等的实数根；当m=98-时，方程有两个相等的实数根；当m ＜98-时，方程没有实数根.出示课件24：m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.学生自主思考并解答.解：b 2−4ac=[−(m −1)]2−4[−3(m+3)] =m 2+10m+37 =m 2+10m+52−52+37 =(m+5)2+12.∵不论m 取任何实数，总有（m+5）2≥0, ∴b 2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根. （三）课堂练习（出示课件25-29）1.若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ＞1D ．m ＜12.解方程x 2﹣2x ﹣1=0．3.方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根4.关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k 的取值范围是（ ）A.k>-1B.k>-1且k ≠ 0C.k<1D.k<1且k ≠05.已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.参考答案： 1.D2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b 2﹣4ac=4+4=8＞0， 所以方程有两个不相等的实数根，2x 12±===±1211x x ==-3.B4.B5.证明：∵没有实数根，∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.对于方程 x 2＋mx ＝1-2m ，即. ，∵，∴△>0.∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（21.2.3）的相关内容。
21.2.2 公式法
新课讲解 （4）x2+17=8x. 解：方程化为一般式：x2 - 8x+17=0.
∴ a 1, b 8, c 17. ∴=b2 4ac (8)2 4 117 4 0.
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.
要点归纳 ★公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式;
（1）x2-4x-7=0； 解：a=1,b=-4,c=-7.
=b2 - 4ac (4)2 4 1 (7) 44 0.
b b 2 4ac x 2a
(4) 44 2 2 1 11 ，
即x1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2+ 11, x2 2- 11.
新课讲解
(2)2 x -2 2 x+1=0;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
新课讲解
3 根的判别式
问题1：在例1~例4的解题中，你们发现了什么决定了方程根 的情况？又是如何决定的呢？ 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的 判别式，通常用希腊字母“ ”表示它，即 = b2-4ac. 判别式的情况 根的情况 两个不相等实数根
第二十一章
21.2
21.2.2
一元二次方程
公式法
解一元二次方程
学习目标
1.经历求根公式的推导过程.（难点）
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
新课引入 探究交流 1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法
21.2.2 公式法
(2)方程整理，得 x2－2 5x＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝(－2 5)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根．
(3)方程整理，得 x2＋4x－2＝0.∵a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝16＋8＝24>0，∴x＝－42±×1 24，
∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6. (4)原方程可化为 x2－9x＋2＝0.∵a＝1，b＝－9，c＝2，
1)·(－2)＝9＋8(a－1)≥0，且 a－1≠0，即得 a≥－81且 a≠1.
21.2.2 公式法
13．已知等腰三角形的腰长为 x，周长为 20，则方程 x2－ 12x＋31＝0 的根为___6＋___5__．
【解析】由方程 x2－12x＋31＝0 得 a＝1，b＝－12，c＝31，b2－4ac＝(－12)2 12± 20
(2)方程的根为 x＝ ，即 x ＝2，x ＝k＋1.∵方程总有一个根 艰闹群垛漆除蛾多悠纷铝终锰炕毅贞绵粳压谣灸艇磁诧酱述凶妖喧朝芋疡人教版九年级数学上册课件：211.
2
2 2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
馏亥磨甩僵钾河纪灿翼大实刃昂拎赣崇捍您戌登棺秤渣肃例笆荚弗窿鼻冗人教版九年级数学上册课件：21.
2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
【解析】∵点 P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0， 第二十一章 一元二次方程
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
21.2.2 公式法
14．用公式法解下列方程：
21.2.2_公式法
x b
b2
4ac
. b2
4ac
;
0.
7.定解:写出原方程的解
2a
.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0) ∵a 0,4a2 0 当 b2 4ac 0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
特别提醒
b b2 4ac x
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
b b 2a 2a
b 0
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？
课后作业
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取。 2.完成状元导练中本课时练习的“课后作业”部分。
解：将x=0代入方程, 得m²+2m-3=0， 解得m1=1，m2=-3, 又∵m-1≠0，即m≠1. 故m的值为-3.
5.解下列方程：
（1）x²+x-6=0； （2）x2 3x 1 0 ；
4
（3）3x²-6x-2=0； （4）4x²-6x=0； （5）x²+4x+8=4x+11； （6）x（2x-4）=5-8x.
3.方程 2x2 4 3x 6 2 0 的根是（ D ）
A. x1 2, x2 3 B. x1 6, x2 2 C.x1 2 2, x2 2 D. x1 x2 6
4.关于x的一元二次方程（m-1）x²+x+m²+2m-3=0有 一个根为0，试求m的值.
2a
一元二次方程 的求根公式
x1 b
b2 2a
21.2.2_一元二次方程的解法-公式法
特别提醒
即
b b 4ac x 2a 2a
2
b b2 4ac x 2a
一元二次方程的 求根公式
一般地，式子b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式， 通常用希腊字母Δ表示它，即 Δ＝b2－4ac
归纳：
2－4ac Δ ＝ b 由根的判别式________________的值可以直接去判断方程
2
解：原方程变形为：x 2 2 3 x 3 0
a 1、 b= - 2 3、 c= 3
2 b2 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2
即：
x1 x2 3
b b 4ac 2 x (a 0, b 4ac 0) 2a 例 3 解方程： x 21 3 x 6
根的个数情况，而不用求解方程： 有两个不相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程__________________________ ； 有两个相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程__________________________ ； 没有实数根 当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程__________________________ ．
2
2 b b 4ac x 2a 4a 2 2
2
2
即
更多资源
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
2 当 4a 0 b 4ac 0 时 2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案新人教版(2021
2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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21.2.2 公式法※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程．2。
能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．※教学过程※一、复习导入1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x，227x：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么?（只对那种“平方式等于非负数"的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法,把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）（学生活动) 用配方法解方程:2x x．237总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式; （5）变形为2x np 的形式，如果0p ，就可以直接开平方求出方程的解，如果0p ，则一元二次方程无解．二、探索新知能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程200ax bx c a 的两根？移项，得2ax bxc ．二次项系数化为1,得2b cx xa a． 配方，得22222b b c b xx a aaa，即222424b b ac x aa ．此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？师生共同完善认知：(1）当b 2—4ac ＞0时，两边可直接开平方，得242b b ac x a，∴2142bb ac x a，2242bb ac x a;（2)当b 2—4ac =0时，有202b x a 。
九年级数学人教版(上册)二十一章：21.2.2公式法
否则原方程无解. 4、写出方程的解： x1=?, x2a －5)x2－4x－1＝0有实数
根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
1
【解析】选A.当a-5=0时，有实数解x= 4 ，此时a=5;当
（2）移项整理 得 x2+px=-q；
（3）在方程 x2+px=-q 的两边同加上一次项系数p的一
半的平方；
x2+px+( p )2= -q+( p )2
2
2
（4）配方、用直接开平方法解方程.
(x+ p )2= p2 -q 24
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)
解析:把方程两边都除以a,
x2 x 6.82 10 2.
即，2x2-13.6x-53.76＝0. 解这个方程,得 x1＝9.6; x2＝-2.8(不合题意,舍去).
∴x-6.8=2.8． 答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
10
x
x-6.8
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
x= b b2 4ac 叫做求根公式 2a
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
例题
【例1】用公式法解方程:2x2+5x-3=0
【解析】 a=2 , b=5 , c= -3 .
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49.
∴ x = b b2 4ac 2a
即 x1= - 3, x2=
b b2 4ac 2a
新人教版九年级上册初中数学 21-2-2 公式法 教学课件
b 2 2 2 x1 x2 2a 2 2 2 .
第二十二页，共三十页。
新课讲解
(2)方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.
方程有两个不等的实数根
x b b2 4ac (4) 36 4 6 .
A．k≥0 C．k<0 且 k≠-1
B．k≤0 D．k≤0 且 k≠-1
第二十八页，共三十页。
当堂小练
4.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
第八页，共三十页。
新课讲解
知识点1 一元二次方程的求根公式 一般地，式子 b2−4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式， 通常用希腊字母“Δ”表示它，即 Δ＝b2−4ac． 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根有三种情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根．
第三十页，共三十页。
1．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 中的左边是一个完全 平方式，则该方程有两个相等的实数根； 2．若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两个不相
等的实数根；
3．当方程中a，c同号时，通过Δ的符号来判断根的情况．
第十二页，共三十页。
新课讲解
练一练
1 方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分
21.2.2《公式法解一元二次方程》教案
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法解法有着不同的接受程度。在导入新课环节，通过日常生活中的问题引导，大部分学生能够很快地进入学习状态，表现出对数学应用的兴趣。但在新课讲授过程中，我发现有些学生在求根公式的推导上存在理解上的困难，这让我意识到在讲解过程中需要更加细致和具体。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了公式法解一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的一般形式和求根公式这两个重点。对于难点部分，如求根公式的推导和判别式的理解，我会通过举例和逐步推导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过图形展示方程的根与判别式的关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的一般形式及其求根公式；
-掌握求根公式的推导过程；
-熟练运用公式法解决一元二次方程问题；
-明确判别式Δ的含义及其与方程根的关系。
举例解释：
-通过具体方程实例，让学生理解一元二次方程的一般形式，强调a≠0的条件；
-通过几何图形或代数推导，让学生直观感受求根公式的来源；
最后，我意识到教学反思是提高教学质量的重要途径。在今后的工作中，我要不断总结经验，针对学生的实际情况，调整教学策略，以期达到更好的教学效果。同时，我也将更加关注学生的个体差异，给予每个学生足够的关注和指导，帮助他们克服学习中的困难，提高数学素养。
21.2.2公式法
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
问题：接下来能用直接开平方解吗？
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时，
即
x b
b2 4ac .
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
特别提醒
2.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相
等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
3.关于x的一元二次方程 x2 2x m 0 有
两个实根，则m的取值范围是
.
4.若关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x-1=0有两个 不相等的实数根，求k的取值范围。
2.解方程：x2 +7x – 18 = 0. （x - 2) (1 - 3x) = 6. 2x2 - 3 3x + 3 = 0
课堂小结
公式法Leabharlann 求根 公式b b2 4ac x
2a
根的判别式b2-4ac
务必将方程化 为一般形式
步骤
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）.
18．已知关于 x 的方程 x2－(2k＋1)x＋4(k－12)＝0. (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰三角形 ABC 的一边长 a＝4， 另两边 b，c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．
解一元二次方程-公式法 ppt课件
利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程：x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得：x²−4x-7=0
∵ = 1，b=−4，c=−7.
∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11
即
= 2 + 11， = 2 − 11.
x
，
2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程：
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
不解方，判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
k
练习
1
的取值范围为：k＞2且 k
=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得
人教版数学九年级上册21.2.2公式法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“公式法在实际解题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-完全平方公式的记忆与运用：熟练掌握a²±2ab+b²=(a±b)²的公式及其变形，并能将其应用于因式分解。
-系数化1法求解一元二次方程：理解并掌握将一元二次方程ax²+bx+c=0化为(x+m)²=n的形式，进而求解出x的方法。
-解题过程中的数学语言表达：培养学生用数学语言描述解题步骤，清晰表达思路。
另外，在学生小组讨论环节，我发现同学们的参与度很高，大家积极发表自己的观点，进行交流。但在引导与启发方面，我觉得自己还可以做得更好。有时候，同学们在讨论过程中会遇到瓶颈，我需要更敏锐地捕捉到这些问题，及时给出有效的建议和指导，帮助他们突破思维困境。
在实践活动方面，我发现同学们在分组讨论和实验操作中，能够将所学的知识点应用到实际问题中，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到，有些小组在成果展示时，表达不够清晰，逻辑性不强。针对这一点，我计划在接下来的教学中加入一些关于如何清晰表达和逻辑思考的训练，帮助同学们提高这方面的能力。
最后，我深感教学反思的重要性。通过今天的反思，我更加明确了今后的教学方向和改进措施。在接下来的教学中，我会努力关注每一个同学的学习情况，不断调整教学方法，力求让每位同学都能在数学学习中有所收获，真正理解和掌握公式法这个知识点。同时，我也将鼓励同学们积极提问，勇于探索，共同提高我们的教学质量。
21.2.2公式法2--根的判别式
b x1 x2 2a
2、判别式的应用 （1）直接判断一元二次方程根的情况;
（2）由题目给出的一元二次方程根的情况,求出a、b、c
中待定系数的值或取值范围.
例1 不解方程,判断下列方程根的情况.
（ 1 ） 2 x 2 3 x 1 0
x 2 2x 2 0 （ 2）
∴无论 a 为任何实数 , 方程 x2(2a1)xa30 总有
两个不等2 7 x 5 0 （4）kx2(2k1)xk10(k0)
例 2 关于 x 的方程 (m−2)x2−2(m−1)xm10 在 下列条件下, 分别求m的非负整数值. （1）方程只有一个实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程有两个不相等的实数根.
m 2 0 解出 0 又m是非负整数 ∴m0或m1
m 2 m 3
例 3. m取什么值时 ,关于x的方程2x2(m2)x2m20 有两个相等的实数根？并求出这时方程的根.
解:∵方程有两个相等的实数根, ∴(m2)28(2m2)m212m200 ∴ m 12
∴m3时,方程有两个相等的实数根.
m 2 解出 m 3
例 2 关于 x 的方程 (m−2)x2−2(m−1)xm10 在 下列条件下, 分别求m的非负整数值. （1）方程只有一个实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程有两个不相等的实数根.
解:(3)当方程有两个不相等实数根时,必须且只需
例 2 关于 x 的方程 (m−2)x2−2(m−1)xm10 在 下列条件下, 分别求m的非负整数值. （1）方程只有一个实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程有两个不相等的实数根.
解 :(2) 当 方 程 有 两 个 相 等 的 实 根 时 , 必 须 且 只 需
九年级数学 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2公式法1
解方程
3x2 1 x10 22
2x222x10
x2x60
x2 3x 1 0 4
3x26x20
4x2 6x0 x24x84x11
x(2x4)58x
12/10/2021
小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
由配方法解一般的一元二 次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)若 b2-4ac≥0 得
1、把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。
2a
4 256 4 16 .
w3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
w4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56
x ;x 1
2
5 12/10/2021
2.
w5.定根:写出原方 程的根.
跟踪练习 用公式法解下列方程： 1.2x2 +5x-3=0 2.(x-2)(3x-5)=0
3.4x2-3x+1=0
12/10/2021
例题1
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6.
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49.
1 49 1 7
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2 , x2= 3 . 2
2、求出b2-4ac的值。
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
12/10/2021
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
独立
知识的升华
作业
祝你成功！
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数学 九年级 上册•R
第二十一章 一元二次方程
21 ． 2 解一元二次方程 21 ． 2.2 公式法
一元二次方程根的判别式 一般地，式子 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的判别式， 通常用希腊字母“ Δ ”表示．当 Δ＞0 时，方程有 两个不相等 的实数 根；当 Δ＝0 时，方程有 两个相等 的实数根；当 Δ＜0 时，方程 没有 实
数根．
自我诊断 1. 不解方程，判断方程 x2－2x－1＝0 根的情况是
有两个不相等的实数根
.
用公式法解一元二次方程
一般地，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac ≥0 时，它
－b± b2－4ac
的根为 x＝
2a
，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
自我诊断 2. 用求根公式解方程 x2－3x＋2＝0 时，先找出 a＝ 1 ，
`∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6.
13．已知关于 x 的方程 x2－2(m＋1)x＋m2＝0. (1)当 m 取何值时，方程没有实根？ (2)为 m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两 个根． 解：(1)由题意得 Δ＝[－2×(m＋1)]2－4m2＜0，解得 m＜－12. (2)取 m＝0 代入解得 x1＝0，x2＝2.
A．4x2－5x＋2＝0
B．x2－6x＋9＝0
C．5x2－4x－1＝0
D．3x2－4x＋1＝0
8．若关于 x 的方程 x2＋x－a＋94＝0 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取
值范围是( C )
A．a≥2
B．a≤2
C．a＞2
D．a＜2
9．若关于 x 的方程 x2－(m＋2)x＋m＝0 的判别式 Δ＝5，则 m＝ ±1 .
10．(庆阳中考)若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是 k≤5且k≠1 .
11．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)3x2－2x－1＝0； (2)5x2＝2x－15； (3)3x2＋4x＋6＝0. 解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根．
D．5，－6，－12
1．方程(x－5)(x＋2)＝8 化为一般形式为 x2－3x－18＝0 ，其中 a＝ 1 ， b＝ －3 ，c＝ －18 ，b2－4ac＝ 81 . 2．用求根公式解 x2＋6x＋8＝0，得 b2－4ac 的值为 4 ，所以 x1＝ －4 ， x2＝－2 .
3．(宜宾中考)一元二次方程 4x2－2x＋14＝0 的根的情况是( B )
b＝－3 ，c＝ 2 ，然后求 b2－4ac＝ 1
x1＝1，x2＝2
.
.Δ ＞0 ，方程的根为
易错点 用公式法解一元二次方程时，漏掉系数的符号或没有化成一般形
式．
自我诊断 3. 利用求根公式求 5x2＋12＝6x 的根时，a、b、c 的值分别是( C )
A．5，12，6
B．5,6，12
C．5，－6，12
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
4．用公式法解方程－3x2＋5x－1＝0，下面的解正确的是( C )
A．x＝－5±6 13
B．x＝－5±3 13
C．x＝5±6 13
D．x＝5±3 13
5．用公式法解下列方程． (1)4x2－4x＋1＝0； 解：Δ＝42－4×4＝0.x＝4±8 0＝12.x1＝x2＝12； (2)x2＋10＝2 5x； 解：x2－2 5x＋10＝0，Δ＝(2 5)2－4×1×10＝－20＜0，∴此方程无实数根；
12．用公式法解下列方程 (1)x2＋3x＋1＝0；
－3＋ 5
－3－ 5
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2 ；
(2)6x2－13x＝5；
解：x1＝52，x2＝－13；
(3)x(x－4)＝2－8x.
解：x2＋4x－2＝0，∵Δ＝42－4×1×(－2)＝24，∴x＝－24×± 124＝－4±22
6 ＝
－2± 6，
(3)x2－2x＝2. 解：∵a＝1，b＝－2，c＝－2，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－2)＝4＋8＝12，
∴x＝2±2 12＝2±22 3＝1± 3，∴x1＝ 3＋1，x2＝－ 3＋1.
6．方程 2x2＋3x＝1 中，b2－4ac 的值为( C )
A．1
B．－1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC．17
D．－17
7．下列一元二次方程中，没有实数根的是( A )