【推荐】理论力学：ch15动力学普遍方程与lagrange方程

动滚动，水平面光滑，广义坐标 x和?
求：广义主动力
M?
解: ?令?x=1 ，?? =0
A
C2
F
m2 g
?令?x=0 ，?? =1
C C1
?
B
m1g
x
20
国家工科基础课程（力学）教学基地
三、两个拉格朗日关系式
21
国家工科基础课程（力学）教学基地
四、拉格朗日第二类方程的基本形式 n个质点、 s个完整约束的完整约束系统 N=3n-s q1、q2、…、qN 广义惯性力 FIj
国家工科基础课程（力学）教学基地
第三部分 动 力 学
第13章 分析静力学
2019 年8月3日
1
国家工科基础课程（力学）教学基地
§13-4 虚位移原理的有势力形式
一、势能驻值定理 质点系的势能 作用于质点系的主动力均有势
具有定常、双侧、理想 约束的保守质点系平衡
势能取驻值
2
国家工科基础课程（力学）教学基地
非理想 √
动力学普遍方程： ×
√
√
√
拉氏第一类方程： ×
√
√
√
拉氏第二类方程： ×
√
×
√
注意： 遇有非理想约束时应将非理想约束力作为
主动力处理。
41
国家工科基础课程（力学）教学基地
三、本章知识结构框图
分
动力学普遍方程
析
动
力
拉氏第一类方程
学
基
础
拉氏第二类方程
广义主动力 基本形式 有势力形式 广义动量积分 广义能量积分
二、最小势能原理 ◆在平衡位置势能取极小值 平衡是稳定的
◆在平衡位置势能取极大值 平衡是不稳定的
◆在平衡位置附近势能不变 平衡是中性的
3
国家工科基础课程（力学）教学基地
对于一个自由度系统 平衡位置 平衡位置稳定
4
国家工科基础课程（力学）教学基地
§13-5 结论与讨论
一、刚体静力学与分析静力学的比较
刚体静力学
分析静力学
刚体
一般质点系
矢量方法
数学分析方法
无法研究稳定性
可以研究稳定性
约束越多越复杂
避免求约束力
5
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、计算虚功时虚位移方向的确定
◆解析法： ?x 、?y的正向与坐标轴的正向一致， ?? 的
方向与角坐标轴的正向一致； ◆虚速度法：虚位移的正向与（角）速度的方向一致。
17
国家工科基础课程（力学）教学基地
广义主动力 FQj 注意： 广义主动力可以有力、也可以有力矩的量纲。
18
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、广义主动力的计算 ◆根据上述定义
◆令?qj =1 ，其它广义虚位移均为 0
◆有势力的广义主动力
此法较方便
19
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-2 已知：三棱柱 m1，均质轮 m2 ，R ，F ，M ，无滑
一、广义动量积分（守恒）
若L中不显含 q?
循环积分
广义动量
35
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-3中
O
x
m1g B
vr vB
物理意义？
m2g ve
注意：◆ 循环积分的存在与广义坐标的选择有关
◆系统有动量（矩）守恒，在适当的广义坐标下
一定存在循环积分 36
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、广义能量积分（守恒）
零势位置： O点 对应于 M的广义力
z
?
vr
m2g mveg
31
国家工科基础课程（力学）教学基地
◆
32
国家工科基础课程（力学）教学基地
◆
33
国家工科基础课程（力学）教学基地
思考： 如何求解？
34
国家工科基础课程（力学）教学基地
§15-5 本章讨论与小结 Lagrange第二类方程的首次积分
系统的主动力有势
22
国家工科基础课程（力学）教学基地
第二类拉格 朗日方程
23
国家工科基础课程（力学）教学基地
五、拉格朗日第二类方程的有势力形式 系统的主动力均为有势力
拉格朗日函数
24
国家工科基础课程（力学）教学基地
若系统的主动力还有非有势力
25
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-3 已知：物块 m1，小球m2 ， AB杆长 l，杆重和摩 擦不计
8
国家工科基础课程（力学）教学基地
1687年，牛顿发表《自然哲学的数学原理》
此后两个发展方向：
经典力学的基础
?扩大研究范围：法国达朗贝尔、瑞士欧拉
?寻求新的表达形式：瑞士伯努利、法国拉格朗日、 英国哈密顿
拉格朗日的 研究目标
分析力学的理论体系
?不含理想约束力的动力学方程组 ?方程个数最少的动力学方程组
11
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-1 已知：三棱柱 m1，均质轮 m2 ，R，无滑动滚动，水 平面光滑
求：三棱柱的 a1和轮心相对于三棱柱的 ar
解: 研究对象：整个系统
受力分析
MI2 ?
F I2r A ae
C2 FI2e
a1
m2 g
ar
C C1
F I1?
B
m1g
12
国家工科基础课程（力学）教学基地
9
国家工科基础课程（力学）教学基地
§15-2 动力学普遍方程
思路：◆ 应用达朗贝尔原理，将动力学问题转化为形式 上的平衡问题
◆应用虚位移原理得到虚功方程 n个质点构成的双侧、理想约束系统
动力学普遍方程
10
国家工科基础课程（力学）教学基地
解析形式：
注意： 动力学普遍方程适用双侧、理想约束系统， 没有约束定常和完整的限制。
求：系统的运动微分方程
解: 研究对象：整个系统，两
个自由度，广义坐标 x，? O
x
受力分析：主动力均有势 运动分析：Fra Baidu bibliotek
m1g B
vr vB
m2g ve
26
国家工科基础课程（力学）教学基地
零势位置： A点
O
x
m1g B
vr vB
m2g
ve 27
国家工科基础课程（力学）教学基地
◆
28
国家工科基础课程（力学）教学基地
◆
29
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-4 已知：小球 m，力偶M，大圆
环Jz，r，匀角速度 ?
求：小球的运动微分方程和 M 解: 研究对象：整个系统
运动约束 :
解除? =? t，广义坐标 ? ，?
受力分析：mg，M，m2g 运动分析：
z
?
vr
m2g mveg
30
国家工科基础课程（力学）教学基地
变分 引入
拉格朗日乘子
15
国家工科基础课程（力学）教学基地
第一类拉格 朗日方程
3n个方程
s个方程
注意：◆ 共3n+s个方程， 3n+s个未知量； ◆可以求解具有非完整约束的问题； ◆拉格朗日乘子与约束力有关。
16
国家工科基础课程（力学）教学基地
§15-4 Lagrange第二类方程
一、广义主动力 n个质点、 s个完整约束的完整约束系统 N=3n-s q1、q2、…、qN
42
国家工科基础课程（力学）教学基地
课后学习建议：
文献阅读： 黄文虎，谈一般力学研究面向工程实际的问
题，力学与实践， Vol.16 ，No.4，1994
43
国家工科基础课程（力学）教学基地
? 证明第1个关系式
在完整约束的条件下，第i个质点的矢径为:
将矢径对t求导，得 因为: 将前一式两边对第 k 个广义速度求偏导，得
§15-5 结论与讨论
一、分析动力学的研究思路
广义坐标
牛 顿 定 律
惯性力
达 朗 贝 尔 原 理
虚位移 虚功
动 力 学 普 遍 方 程
拉氏 乘子
拉 氏 第 一 类 方 程
拉 氏 第 二 类 方 程
动力学问题
40
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、分析力学理论的应用条件
单侧 非定常
虚位移原理：
×
×
非完整 ×
y A
B
??
FP
F
Cx
aa
A bM
FD D
a B
C
FB
6
国家工科基础课程（力学）教学基地
三、虚位移原理的应用 ◆确定主动力之间的关系 ◆确定平衡位置 ◆求解非理想约束系统 ◆求解约束力 ◆求解多自由度系统
7
国家工科基础课程（力学）教学基地
第15章 分析动力学基础
§15-1 引言 §15-2 动力学普遍方程 §15-3 Lagrange 第一类方程 §15-4 Lagrange 第二类方程 §15-5 结论与讨论
广义坐标 x、转角? ?令?x=0 ，?? ≠ 0
?令?x ≠ 0 ，?? =0
MI2 ??
F I2r A
C2 FI2e
?x
m2 g
C C1
F I1?
B
m1g
13
国家工科基础课程（力学）教学基地
14
国家工科基础课程（力学）教学基地
§15-3 Lagrange第一类方程
n个质点构成的系统受 s个完整双侧约束
另一方面，将第i个质点的矢径 对qj求偏导
将上式对t求导，有
47
国家工科基础课程（力学）教学基地
将广义速度对第 j 个广义坐标求偏导，有 另一方面，有:
比较两式，有:
48
国家工科基础课程（力学）教学基地
比较两式，有:
将下标 j 换成 k， 有:
第2式证毕
49
若L中不显含 t
若为定常约束
机械能守恒
37
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-4中：? =? t为非定常约束，系统具有一个自由度， 广义坐标 ?
满足：◆ 主动力有势
◆ L中不显含t
z
M
为
约 束
?
vr
力
m2g
偶
mveg
38
国家工科基础课程（力学）教学基地
z
?
vr
m2g
mveg
39
国家工科基础课程（力学）教学基地
44
国家工科基础课程（力学）教学基地
将矢径对t求导，得 因为: 将前一式两边对第 k 个广义速度求偏导，得
第1式证毕
45
国家工科基础课程（力学）教学基地
? 证明第2个关系式 将 对第 j 个广义坐标求偏导，有
另一方面，将第i个质点的矢径 对qj求偏导
46
国家工科基础课程（力学）教学基地
将广义速度对第 j 个广义坐标求偏导，有