【推荐】理论力学：ch15动力学普遍方程与lagrange方程
合集下载
动力学普遍方程及拉格朗日方程
C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
理论力学拉格朗日方程
0
(k 1,2,, N )
n
i 1
mi ri
ri qk
n i 1
mi
d dt
(ri
ri qk
)
n i 1
mi ri
d ( ri dt qk
)
ri
ri t
N k 1
ri qk
qk
qk
dqk dt
广义速度
ri 和 ri 仅为时间和广义坐标的函数， t q j
与广义速度q j无关
ri qk
根据几何关系，有
A
FIA m1g l
C
xA lsin yA lcos
xA l cos yA l sin
B
FIB l m1g
m2g y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
ri qk
第一个拉格朗日关系式
ri
ri t
N k 1
ri qk
qk
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
ri
q j
2ri q jt
N k 1
2ri q jqk
qk
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d
dt
ri q j
2 ri q jt
N k 1
2 ri q jqk
xA l cos yA l sin xB l cos
O1
x1
rA
l l rB
FIA A m1g l
拉格朗日方程
程
dt x x
(3m1 4m2 8m3)x 2kx 0
即为系统的运动微分方程。
例5 如图，均质圆轮的质量为m1，半径为R，在
水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为m2与轮在圆心
1.2 A铰接，试求系统的运动微分方程。
解：以系统为研究对象，
x
拉 系统具有两个自由度。取 x
格 和 为广义坐标。
朗 日
拉
L
3 4
m1 x2
1 2
m2 (x2
格
1 L22 Lxcos )
x
R A
朗
4
C
日 方 程
1 m L22 1 m gL cos
24 2
22
代入拉格朗日方程 d L L 0
dt x x
得
m2 g
3 2
m1x
m2
x
1 2
m2
L
d dt
(c
os
)
0
整理得 (3m1 2m2 )x m2Lcos m2L2 sin 0（1）
3、计算对应每个广义坐标的广义力 Q j；当主 动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能
1.2 及拉格朗日函数L T V。
4、计算诸导数：
拉 格 朗 日
T T d ( T ) 或 L L d ( L )
qk qjk dt qk
qk qk dt qk
5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二
阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。
设由n个质点组成的质点系，由达朗伯原理知，
1.1
动 力
在动成质 力 形点 式Fi ，系 上约运 的束动 平反的衡力任力F一系Ni瞬，及时即其，惯任性一力F质Ii点Mi上m作iai三用者的构主
分析力学动力学普遍方程和拉格朗日方程实用课件
圆柱的角速度为 O (设圆柱o的半径为r)
m(l
R )2,
d dt
L
2mR (l
R) 2
m(l
R ) 2
L mR(l R) 2 mg (l R)sin
已求得
d dt
L
2mR (l
R) 2
m(l
R ) 2
L mR(l R) 2 mg (l R)sin
将式上式代入保守系统的拉氏方程
d dt
L
L
0
得摆的运动微分方程
(l R) R 2 g sin 0
M v
P
R'=－R=－ ma
此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”， 称为惯性力。
结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物 体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘 积，方向与其加速度方向相反。
若用Fg表示惯性力，则有 Fg =－ ma
说明： 1.此力是不是真实的力！ 2.此力作用于施力给质点的物体上！ 3.此力又称为牛顿惯性力！
拉格朗日
1736 — 1813,法籍 意大利人，数学家、 力学家、天文学家， 十九岁成为数学教 授，与欧拉共同创 立变分法，是十八 世纪继欧拉后伟大 的数学家。
设质点系由n个质点组成，具有s个完整理想约束，则有 N=3n-s个自由度（广义坐标）。
用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则
i 1
n
或 (Fi miai ) δri 0 i 1
动力学普遍方程
表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上 的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和 等于零。
若 Fi X ii Yi j Zik, ai xii yi j zik,
动力学普遍方程及拉格朗日方程讲解
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
主动力
(i 1, 2, , N )
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δri
系统的总虚功为
(i 1,2, , N )
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
ri q j
＝
d ri dt q j
第二个拉格朗日关系式
N
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
N
T q j
Q j mi ri
i 1
N
ri 0 ( j 1, 2, q j
, n)
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
主动力
(i 1, 2, , N )
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δri
系统的总虚功为
(i 1,2, , N )
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
ri q j
＝
d ri dt q j
第二个拉格朗日关系式
N
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
N
T q j
Q j mi ri
i 1
N
ri 0 ( j 1, 2, q j
, n)
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
动力学普遍方程
ai
xi , yi , zi ,
δ
ri
δ
xi ,δ
yi ,δ
zi
动力学普遍方程的直角坐标形式
(Fix mi xi ) δ xi (Fiy mi yi ) δ yi (Fiz mi zi ) δ zi 0
i
i 1,2, ,n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原 理而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
Qk 称为与第j个广义坐标 qk 对应的广义主动力
特别地：有势力的广义力
Qk＝－
V qk
在势力场中，对应于第 j个广义坐标 qk 的广义力等
于系统势能对于这一广义坐标的偏导数的负数。
三、拉格朗日方程
Qk＝
d dt
T ( qk
)－
T qk
对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改写为：
d ( L )－ L ＝0 dt qk qk
利用理想约束条件
i
FNi δ ri 0 (i 1,2, , n)
i
得到
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
注意到：
FIi mai
动力学普遍方程
(Fi mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
由n个质点所 组成的质点系
主 动 力 F1, F2 , , Fn
质点位置坐标 x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , , xn , yn , zn ,
广义坐标
q1, q2 , , qN
第i个质 点的位矢
虚位移
N 3n S
动力学普遍方程及拉格朗日方程
y
A x OC
FI 2 r
MI2
D
C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2
J2 1 m2 R 2 2
B
x
m1g
ar R 2
( FI1 FI 2e )x FI 2 r cos x 0
N
T q j
d T dt q j
T Qj q j
( j 1, 2,
, n)
此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主 动力
V Qj q j
d T T V ( ) dt q j q j q j
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcos
N
, n)
ri mi ri q j i 1
N N ri d d ri mi (ri ) mi ri ( ) dt q j dt q j i 1 i 1 N
ri n ri ri qj t j 1 q j
qj
dq j dt
广义速度
mi ai ) δri 0 (i 1, 2, , N )
理论力学(Ⅱ)—拉格朗日方程
g sin
mgsin
x -
FIR
x
M IC
x
R
0
例题2
离心调速器
O1
x1
已知： m1－球A、B 的质量；
m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度；
l l
FIA
A B
FIB
－ O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
m1g l
l m1g
解： 不考虑摩擦力，这一系统的约束
题，即：已知主动力求系统的运动规律。
应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重
要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。
应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和
惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。
由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，
不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
例 题 1 已知： m ，R, f ， 。
求：圆盘纯滚动时质心的加速度。
解：1、分析运动，施加惯性力
FIR maC
M IC JC
其中：
JC
1 mR2, 2
aC R
x
aC
MIC
FIR
C
mg
2、本系统有一个自由度，
令其有一虚位移 x 。
3、应用动力学普遍方程
aC
2 3
ae
x
C1 FI1
O C a1
D
C2
FI 2 e
m2 g ar
Bx
3、确定虚位移
m1g
考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度。
第一组 δx 0，δ 0
理论力学 拉格朗日方程
d 3m m ( x r ) ( 2kx) 0 dt 2 2 3m m r 4kx 0 x (1) 对广义坐标φ
d 3m 2 m rx) (2kr 2 ) 0 ( r dt 4 2 m 3m x r 2kr 0 ( 2) 2 4 这就是系统的运动微分方程。
且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2) 楔形体的加速度。
解：其研究楔形体与圆柱体组
成的系统。系统受理想、完整、 定常约束，具有两个自由度。 取广义坐标为x, s ；各坐标原 点均在初始位置。
系统的动能：
1P 2 1Q 2 2 1 1Q 2 s 2 T x ( x s 2 xs cos ) r ( ) 2g 2g 2 2g r 1 PQ 2 3 Q 2 Q x s xs cos 2 g 4g g
例2 质量为m的物块A在光滑平面上运动 质量为 半径r 的圆盘作纯滚动，各弹簧连 接如图，均为自然长度。 建立系统运动微分 方程。
m 2
2K K A
B
K
d L L 0 d t q j q j
取广义坐标 x,
m 2 1m 11m 2 2 2 T x ( x r ) r 2 2 2 22 2 3m 2 3m 2 2 m x r rx 4 8 2
L L 2 m2l m2 xl cos , m2 xl sin m2 gl sin d L ( ) m2l 2 m2 l cos m2 xl sin x dt
d L L ( ) 0 dt q j q j
系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面
理论力学第十八章 拉格朗日方程 教学PPT
q t
h
h
j
h
（2）
ri ri (q1, q2 ,...qk ; t) 对任 qh求偏导，再对时间t求导得
d
dt
( ri ) qh
k j1 q j
(
ri qh
)qj
2 ri tqh
k 2r
i
j1 q q
q j
2r i
tq
j
h
h
（3）
式（3）右边与式（2）右边比较可得关系式
i 1
以上二式称为动力学普遍方程 或 达朗贝尔——拉格朗日方程。
n
Fi miai δ ri 0
i 1
n
Fix mi xi δ xi Fiy mi yi δ yi Fiz mizi δ zi 0
i 1
动力学普遍方程
但是，如果改用广义坐标，来描述系统的运动，将动力 学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可得到与广义坐标 数目相同的一组独立的运动微分方程，这就是著名的拉格 朗日方程，用它求解较复杂的非自由质点系的动力学问题 常很方便。
拉格朗日方程的推导
设由 n 个质点组成的质点系，受到 s 个理想、完整约束，因此该系统 具有k= 3m- s个自由度，可用 k 个广义坐标 q1 , q2 , … , qk 来确定该系统的 位形。
动力学普遍方程－例题1
动力学普遍方程－例题1
δrB F*B B
m1g δrC
解： 球简化为质点，除主动力外，图上画出了
d
O α δ x
ω dα
δrA A F*A
m1g
飞球的惯性力F*A和F*B，两力大小相等，方 向相反。
h
h
j
h
（2）
ri ri (q1, q2 ,...qk ; t) 对任 qh求偏导，再对时间t求导得
d
dt
( ri ) qh
k j1 q j
(
ri qh
)qj
2 ri tqh
k 2r
i
j1 q q
q j
2r i
tq
j
h
h
（3）
式（3）右边与式（2）右边比较可得关系式
i 1
以上二式称为动力学普遍方程 或 达朗贝尔——拉格朗日方程。
n
Fi miai δ ri 0
i 1
n
Fix mi xi δ xi Fiy mi yi δ yi Fiz mizi δ zi 0
i 1
动力学普遍方程
但是，如果改用广义坐标，来描述系统的运动，将动力 学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可得到与广义坐标 数目相同的一组独立的运动微分方程，这就是著名的拉格 朗日方程，用它求解较复杂的非自由质点系的动力学问题 常很方便。
拉格朗日方程的推导
设由 n 个质点组成的质点系，受到 s 个理想、完整约束，因此该系统 具有k= 3m- s个自由度，可用 k 个广义坐标 q1 , q2 , … , qk 来确定该系统的 位形。
动力学普遍方程－例题1
动力学普遍方程－例题1
δrB F*B B
m1g δrC
解： 球简化为质点，除主动力外，图上画出了
d
O α δ x
ω dα
δrA A F*A
m1g
飞球的惯性力F*A和F*B，两力大小相等，方 向相反。
动力学普遍方程和拉格朗日方程
第十四章 动力学普遍方程和拉格朗日方程一、目的要求1．掌握动力学普遍方程的推导过程及式中各项的含义，会对具体问题分析、画受力图后代入动力学普遍方程求解。
2．熟记拉格朗日方程的各种形式，清楚拉格朗日方程与动力学普遍方程的关系。
熟练应用拉格朗日方程求解动力学问题（主要是列运动微分方程、求出加速度或角加速度）。
3．知道在多自由度情况下，用拉格朗日方程求解动力学问题方法简单、步骤规范、容易掌握。
二、基本内容1．基本概念动力学普遍方程、拉格朗日方程的推导及表达式2．主要公式（1）动力学普遍方程∑==⋅-ni i i i i r δa m F 10)( []∑==⋅-+⋅-+⋅-n i i i i iz i i i iy i i i ix z z m F y y m F x x m F10)()()(δδδ （2）拉格朗日方程K k k Q q L q L dt d '=∂∂-∂∂)( N k ,,2,1 = V T L -=，叫拉格朗日函数或动势，T 为质点系的功能，是广义速度k q 和广义坐标k q 的函数V 是势能，是广义坐标的函数。
N 是质点系的自由度数。
k kk q W Q δδ∑'=' 是质点系的非保守力对应于第k 个广义坐标的广义力。
三、重点和难点1．重点（1）质点系自由度的判断；（2）应用拉格朗日方程解题的步骤，拉格朗日方程中各项的计算；（3）不同形式拉格朗日方程的用途。
2．难点（1）正确地选取广义坐标；（2）有保守力时，势能零点的选择及势能的计算；（3）将动能写成广义速度和广义坐标的函数。
四、学习提示1．建议（1）强调用动力学普遍方程和拉氏方程解题均以整体为研究对象。
（2）广义坐标、广义速度的个数均与质点系自由度相同。
（3）强调拉氏方程和动力学普遍方程适用于求多自由度系统的运动量，如加速度、角加速度，建立系统的运动微分方程。
2．例题：P317～P325例14-1，14-2，14-4，14-5，14-6。
【推荐】理论力学：ch15动力学普遍方程与lagrange方程
2) ri d ( ri ) q j dt q j
21
国家工科基础课程（力学）教学基地
四、拉格朗日第二类方程的基本形式 n个质点、s个完整约束的完整约束系统
ri ri (t, q1, q2 ,, qN )
(i 1,2,, n)
ri
N j 1
ri q j
q j
◆在平衡位置附近势能不变 平衡是中性的
3
国家工科基础课程（力学）教学基地
对于一个自由度系统 V V (q)
dV dq
qqo
0
d2 V d q2
q qo
0
平衡位置 平衡位置稳定
4
国家工科基础课程（力学）教学基地
§13-5 结论与讨论
一、刚体静力学与分析静力学的比较
FQj
( j 1,2,, N )
23
国家工科基础课程（力学）教学基地
五、拉格朗日第二类方程的有势力形式
系统的主动力均为有势力
FQj
V q j
d dt
(
T q j
)
T q j
V q j
d T V T V
dt
(q j
q j
)( q j
q j
d dt
q j
n
(
i 1
1 2
mivi2 )
q j
n
(
i 1
1 2
mi
vi2
)
d dt
(
T q j
)
T q j
N
j 1
FQj
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8
国家工科基础课程（力学）教学基地
1687年，牛顿发表《自然哲学的数学原理》
此后两个发展方向：
经典力学的基础
?扩大研究范围：法国达朗贝尔、瑞士欧拉
?寻求新的表达形式：瑞士伯努利、法国拉格朗日、 英国哈密顿
拉格朗日的 研究目标
分析力学的理论体系
?不含理想约束力的动力学方程组 ?方程个数最少的动力学方程组
一、广义动量积分（守恒）
若L中不显含 q?
循环积分
广义动量
35
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-3中
O
x
m1g B
vr vB
物理意义？
m2g ve
注意：◆ 循环积分的存在与广义坐标的选择有关
◆系统有动量（矩）守恒，在适当的广义坐标下
一定存在循环积分 36
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、广义能量积分（守恒）
17
国家工科基础课程（力学）教学基地
广义主动力 FQj 注意： 广义主动力可以有力、也可以有力矩的量纲。
18
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、广义主动力的计算 ◆根据上述定义
◆令?qj =1 ，其它广义虚位移均为 0
◆有势力的广义主动力
此法较方便
19
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-2 已知：三棱柱 m1，均质轮 m2 ，R ，F ，M ，无滑
刚体静力学
分析静力学
刚体
一般质点系
矢量方法
数学分析方法
无法研究稳定性
可以研究稳定性
约束越多越复杂
避免求约束力
5
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、计算虚功时虚位移方向的确定
◆解析法： ?x 、?y的正向与坐标轴的正向一致， ?? 的
方向与角坐标轴的正向一致； ◆虚速度法：虚位移的正向与（角）速度的方向一致。
另一方面，将第i个质点的矢径 对qj求偏导
将上式对t求导，有
47
国家工科基础课程（力学）教学基地
将广义速度对第 j 个广义坐标求偏导，有 另一方面，有:
比较两式，有:
48
国家工科基础课程（力学）教学基地
比较两式，有:
将下标 j 换成 k， 有:
第2式证毕
49
若L中不显含 t
若为定常约束
机械能守恒
37
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-4中：? =? t为非定常约束，系统具有一个自由度， 广义坐标 ?
满足：◆ 主动力有势
◆ L中不显含t
z
M
为
约 束
?
vr
力
m2g
偶
mveg
38
国家工科基础课程（力学）教学基地
z
?
vr
m2g
mveg
39
国家工科基础课程（力学）教学基地
求：系统的运动微分方程
解: 研究对象：整个系统，两
个自由度，广义坐标 x，? O
x
受力分析：主动力均有势 运动分析：
m1g B
vr vB
m2g ve
26
国家工科基础课程（力学）教学基地
零势位置： A点
O
x
m1g B
vr vB
m2g
ve 27
国家工科基础课程（力学）教学基地
◆
28
国家工科基础课程（力学）教学基地
42
国家工科基础课程（力学）教学基地
课后学习建议：
文献阅读： 黄文虎，谈一般力学研究面向工程实际的问
题，力学与实践， Vol.16 ，No.4，1994
43
国家工科基础课程（力学）教学基地
? 证明第1个关系式
在完整约束的条件下，第i个质点的矢径为:
将矢径对t求导，得 因为: 将前一式两边对第 k 个广义速度求偏导，得
零势位置： O点 对应于 M的广义力
z
?
vr
m2g mveg
31
国家工科基础课程（力学）教学基地
◆
32
国家工科基础课程（力学）教学基地
◆
33
国家工科基础课程（力学）教学基地
思考： 如何求解？
34
国家工科基础课程（力学）教学基地
§15-5 本章讨论与小结 Lagrange第二类方程的首次积分
系统的主动力有势
动滚动，水平面光滑，广义坐标 x和?
求：广义主动力
M?
解: ?令?x=1 ，?? =0
A
C2
F
m2 g
?令?x=0 ，?? =1
C C1
?
B
m1g
x
20
国家工科基础课程（力学）教学基地
三、两个拉格朗日关系式
21
国家工科基础课程（力学）教学基地
四、拉格朗日第二类方程的基本形式 n个质点、 s个完整约束的完整约束系统 N=3n-s q1、q2、…、qN 广义惯性力 FIj
22
国家工科基础课程（力学）教学基地
第二类拉格 朗日方程
23
国家工科基础课程（力学）教学基地
五、拉格朗日第二类方程的有势力形式 系统的主动力均为有势力
拉格朗日函数
24
国家工科基础课程（力学）教学基地
若系统的主动力还有非有势力
25
国家工科基础课程（力学）教学基地
பைடு நூலகம்
例15-3 已知：物块 m1，小球m2 ， AB杆长 l，杆重和摩 擦不计
§15-5 结论与讨论
一、分析动力学的研究思路
广义坐标
牛 顿 定 律
惯性力
达 朗 贝 尔 原 理
虚位移 虚功
动 力 学 普 遍 方 程
拉氏 乘子
拉 氏 第 一 类 方 程
拉 氏 第 二 类 方 程
动力学问题
40
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、分析力学理论的应用条件
单侧 非定常
虚位移原理：
×
×
非完整 ×
9
国家工科基础课程（力学）教学基地
§15-2 动力学普遍方程
思路：◆ 应用达朗贝尔原理，将动力学问题转化为形式 上的平衡问题
◆应用虚位移原理得到虚功方程 n个质点构成的双侧、理想约束系统
动力学普遍方程
10
国家工科基础课程（力学）教学基地
解析形式：
注意： 动力学普遍方程适用双侧、理想约束系统， 没有约束定常和完整的限制。
44
国家工科基础课程（力学）教学基地
将矢径对t求导，得 因为: 将前一式两边对第 k 个广义速度求偏导，得
第1式证毕
45
国家工科基础课程（力学）教学基地
? 证明第2个关系式 将 对第 j 个广义坐标求偏导，有
另一方面，将第i个质点的矢径 对qj求偏导
46
国家工科基础课程（力学）教学基地
将广义速度对第 j 个广义坐标求偏导，有
y A
B
??
FP
F
Cx
aa
A bM
FD D
a B
C
FB
6
国家工科基础课程（力学）教学基地
三、虚位移原理的应用 ◆确定主动力之间的关系 ◆确定平衡位置 ◆求解非理想约束系统 ◆求解约束力 ◆求解多自由度系统
7
国家工科基础课程（力学）教学基地
第15章 分析动力学基础
§15-1 引言 §15-2 动力学普遍方程 §15-3 Lagrange 第一类方程 §15-4 Lagrange 第二类方程 §15-5 结论与讨论
国家工科基础课程（力学）教学基地
第三部分 动 力 学
第13章 分析静力学
2019 年8月3日
1
国家工科基础课程（力学）教学基地
§13-4 虚位移原理的有势力形式
一、势能驻值定理 质点系的势能 作用于质点系的主动力均有势
具有定常、双侧、理想 约束的保守质点系平衡
势能取驻值
2
国家工科基础课程（力学）教学基地
广义坐标 x、转角? ?令?x=0 ，?? ≠ 0
?令?x ≠ 0 ，?? =0
MI2 ??
F I2r A
C2 FI2e
?x
m2 g
C C1
F I1?
B
m1g
13
国家工科基础课程（力学）教学基地
14
国家工科基础课程（力学）教学基地
§15-3 Lagrange第一类方程
n个质点构成的系统受 s个完整双侧约束
◆
29
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-4 已知：小球 m，力偶M，大圆
环Jz，r，匀角速度 ?
求：小球的运动微分方程和 M 解: 研究对象：整个系统
运动约束 :
解除? =? t，广义坐标 ? ，?
受力分析：mg，M，m2g 运动分析：
z
?
vr
m2g mveg
30
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、最小势能原理 ◆在平衡位置势能取极小值 平衡是稳定的
◆在平衡位置势能取极大值 平衡是不稳定的
◆在平衡位置附近势能不变 平衡是中性的
3
国家工科基础课程（力学）教学基地
对于一个自由度系统 平衡位置 平衡位置稳定
4
国家工科基础课程（力学）教学基地
§13-5 结论与讨论
一、刚体静力学与分析静力学的比较
非理想 √
动力学普遍方程： ×
√
√
√
拉氏第一类方程： ×
√
√
√
拉氏第二类方程： ×
√
×
√
注意： 遇有非理想约束时应将非理想约束力作为
主动力处理。
41
国家工科基础课程（力学）教学基地
三、本章知识结构框图
国家工科基础课程（力学）教学基地
1687年，牛顿发表《自然哲学的数学原理》
此后两个发展方向：
经典力学的基础
?扩大研究范围：法国达朗贝尔、瑞士欧拉
?寻求新的表达形式：瑞士伯努利、法国拉格朗日、 英国哈密顿
拉格朗日的 研究目标
分析力学的理论体系
?不含理想约束力的动力学方程组 ?方程个数最少的动力学方程组
一、广义动量积分（守恒）
若L中不显含 q?
循环积分
广义动量
35
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-3中
O
x
m1g B
vr vB
物理意义？
m2g ve
注意：◆ 循环积分的存在与广义坐标的选择有关
◆系统有动量（矩）守恒，在适当的广义坐标下
一定存在循环积分 36
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、广义能量积分（守恒）
17
国家工科基础课程（力学）教学基地
广义主动力 FQj 注意： 广义主动力可以有力、也可以有力矩的量纲。
18
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、广义主动力的计算 ◆根据上述定义
◆令?qj =1 ，其它广义虚位移均为 0
◆有势力的广义主动力
此法较方便
19
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-2 已知：三棱柱 m1，均质轮 m2 ，R ，F ，M ，无滑
刚体静力学
分析静力学
刚体
一般质点系
矢量方法
数学分析方法
无法研究稳定性
可以研究稳定性
约束越多越复杂
避免求约束力
5
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、计算虚功时虚位移方向的确定
◆解析法： ?x 、?y的正向与坐标轴的正向一致， ?? 的
方向与角坐标轴的正向一致； ◆虚速度法：虚位移的正向与（角）速度的方向一致。
另一方面，将第i个质点的矢径 对qj求偏导
将上式对t求导，有
47
国家工科基础课程（力学）教学基地
将广义速度对第 j 个广义坐标求偏导，有 另一方面，有:
比较两式，有:
48
国家工科基础课程（力学）教学基地
比较两式，有:
将下标 j 换成 k， 有:
第2式证毕
49
若L中不显含 t
若为定常约束
机械能守恒
37
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-4中：? =? t为非定常约束，系统具有一个自由度， 广义坐标 ?
满足：◆ 主动力有势
◆ L中不显含t
z
M
为
约 束
?
vr
力
m2g
偶
mveg
38
国家工科基础课程（力学）教学基地
z
?
vr
m2g
mveg
39
国家工科基础课程（力学）教学基地
求：系统的运动微分方程
解: 研究对象：整个系统，两
个自由度，广义坐标 x，? O
x
受力分析：主动力均有势 运动分析：
m1g B
vr vB
m2g ve
26
国家工科基础课程（力学）教学基地
零势位置： A点
O
x
m1g B
vr vB
m2g
ve 27
国家工科基础课程（力学）教学基地
◆
28
国家工科基础课程（力学）教学基地
42
国家工科基础课程（力学）教学基地
课后学习建议：
文献阅读： 黄文虎，谈一般力学研究面向工程实际的问
题，力学与实践， Vol.16 ，No.4，1994
43
国家工科基础课程（力学）教学基地
? 证明第1个关系式
在完整约束的条件下，第i个质点的矢径为:
将矢径对t求导，得 因为: 将前一式两边对第 k 个广义速度求偏导，得
零势位置： O点 对应于 M的广义力
z
?
vr
m2g mveg
31
国家工科基础课程（力学）教学基地
◆
32
国家工科基础课程（力学）教学基地
◆
33
国家工科基础课程（力学）教学基地
思考： 如何求解？
34
国家工科基础课程（力学）教学基地
§15-5 本章讨论与小结 Lagrange第二类方程的首次积分
系统的主动力有势
动滚动，水平面光滑，广义坐标 x和?
求：广义主动力
M?
解: ?令?x=1 ，?? =0
A
C2
F
m2 g
?令?x=0 ，?? =1
C C1
?
B
m1g
x
20
国家工科基础课程（力学）教学基地
三、两个拉格朗日关系式
21
国家工科基础课程（力学）教学基地
四、拉格朗日第二类方程的基本形式 n个质点、 s个完整约束的完整约束系统 N=3n-s q1、q2、…、qN 广义惯性力 FIj
22
国家工科基础课程（力学）教学基地
第二类拉格 朗日方程
23
国家工科基础课程（力学）教学基地
五、拉格朗日第二类方程的有势力形式 系统的主动力均为有势力
拉格朗日函数
24
国家工科基础课程（力学）教学基地
若系统的主动力还有非有势力
25
国家工科基础课程（力学）教学基地
பைடு நூலகம்
例15-3 已知：物块 m1，小球m2 ， AB杆长 l，杆重和摩 擦不计
§15-5 结论与讨论
一、分析动力学的研究思路
广义坐标
牛 顿 定 律
惯性力
达 朗 贝 尔 原 理
虚位移 虚功
动 力 学 普 遍 方 程
拉氏 乘子
拉 氏 第 一 类 方 程
拉 氏 第 二 类 方 程
动力学问题
40
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、分析力学理论的应用条件
单侧 非定常
虚位移原理：
×
×
非完整 ×
9
国家工科基础课程（力学）教学基地
§15-2 动力学普遍方程
思路：◆ 应用达朗贝尔原理，将动力学问题转化为形式 上的平衡问题
◆应用虚位移原理得到虚功方程 n个质点构成的双侧、理想约束系统
动力学普遍方程
10
国家工科基础课程（力学）教学基地
解析形式：
注意： 动力学普遍方程适用双侧、理想约束系统， 没有约束定常和完整的限制。
44
国家工科基础课程（力学）教学基地
将矢径对t求导，得 因为: 将前一式两边对第 k 个广义速度求偏导，得
第1式证毕
45
国家工科基础课程（力学）教学基地
? 证明第2个关系式 将 对第 j 个广义坐标求偏导，有
另一方面，将第i个质点的矢径 对qj求偏导
46
国家工科基础课程（力学）教学基地
将广义速度对第 j 个广义坐标求偏导，有
y A
B
??
FP
F
Cx
aa
A bM
FD D
a B
C
FB
6
国家工科基础课程（力学）教学基地
三、虚位移原理的应用 ◆确定主动力之间的关系 ◆确定平衡位置 ◆求解非理想约束系统 ◆求解约束力 ◆求解多自由度系统
7
国家工科基础课程（力学）教学基地
第15章 分析动力学基础
§15-1 引言 §15-2 动力学普遍方程 §15-3 Lagrange 第一类方程 §15-4 Lagrange 第二类方程 §15-5 结论与讨论
国家工科基础课程（力学）教学基地
第三部分 动 力 学
第13章 分析静力学
2019 年8月3日
1
国家工科基础课程（力学）教学基地
§13-4 虚位移原理的有势力形式
一、势能驻值定理 质点系的势能 作用于质点系的主动力均有势
具有定常、双侧、理想 约束的保守质点系平衡
势能取驻值
2
国家工科基础课程（力学）教学基地
广义坐标 x、转角? ?令?x=0 ，?? ≠ 0
?令?x ≠ 0 ，?? =0
MI2 ??
F I2r A
C2 FI2e
?x
m2 g
C C1
F I1?
B
m1g
13
国家工科基础课程（力学）教学基地
14
国家工科基础课程（力学）教学基地
§15-3 Lagrange第一类方程
n个质点构成的系统受 s个完整双侧约束
◆
29
国家工科基础课程（力学）教学基地
例15-4 已知：小球 m，力偶M，大圆
环Jz，r，匀角速度 ?
求：小球的运动微分方程和 M 解: 研究对象：整个系统
运动约束 :
解除? =? t，广义坐标 ? ，?
受力分析：mg，M，m2g 运动分析：
z
?
vr
m2g mveg
30
国家工科基础课程（力学）教学基地
二、最小势能原理 ◆在平衡位置势能取极小值 平衡是稳定的
◆在平衡位置势能取极大值 平衡是不稳定的
◆在平衡位置附近势能不变 平衡是中性的
3
国家工科基础课程（力学）教学基地
对于一个自由度系统 平衡位置 平衡位置稳定
4
国家工科基础课程（力学）教学基地
§13-5 结论与讨论
一、刚体静力学与分析静力学的比较
非理想 √
动力学普遍方程： ×
√
√
√
拉氏第一类方程： ×
√
√
√
拉氏第二类方程： ×
√
×
√
注意： 遇有非理想约束时应将非理想约束力作为
主动力处理。
41
国家工科基础课程（力学）教学基地
三、本章知识结构框图