2018年数学同步优化指导必修3练习：3-习题课 随机事件

第三章 习题课
(时间：45分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，向量m ＝(a ，b )，n ＝(1，－2)，则向量m 与向量n 垂直的概率是( )
A ．1
6
B ．1
12
C ．1
9
D ．118
解析：∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，即a －2b ＝0.∴a ＝2b .掷骰子两次，共有36个基本事件，其中第一次点数是第二次点数2倍的情况有(2,1)，(4,2)，(6,3)，
∴概率P ＝336＝112．
答案：B
2．已知集合A ＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A 中选取两个不相同的数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A ＝{点落在x 轴上}与事件B ＝{点落在y 轴上}的概率关系为( )
A ．P (A )＞P (
B ) B ．P (A )＜P (B )
C ．P (A )＝P (B )
D ．不确定
解析：横坐标为0与纵坐标为0的可能性是一样的． 答案：C
3．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则概率为8
9
的事件是( ) A ．颜色全同 B ．颜色不全同 C ．颜色全不同
D ．无红球
解析：有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为327＝19；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427＝8
9；颜色全不同的结果有6种，其概率为627＝29；无红球的情况有8种，其概率为8
27
，故选B ．
答案：B
4．(2015·高考全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，那么称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概
率为( )
A ．310
B ．15
C ．110
D ．120
解析：列举出所有结果，并分析其中的勾股数，根据古典概型求解．
从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为1
10
.故选C ．
答案：C
5．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8
D ．0.75
解析：本题主要考查随机模拟法，考查学生的逻辑思维能力．因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－520＝3
4
．
答案：D
6．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
解析：∵甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A)，(A ，B)，(A ，C)，(B ，A)，(B ，B)，(B ，C)，(C ，A)，(C ，B)，(C ，C)，共9个，其中两人参加同一个小组的事件有(A ，A)，(B ，B)，(C ，C)，共3个，∴两人参加同一个小组的概率为39＝1
3
．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．在1,3,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客等候1路或3路公共汽车，假定当时各路公共汽车首先到站的可能性相等，则首先到站的正好是这位乘客所要乘的公共汽车的概率是________．
解析：∵4种公共汽车先到站有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，∴P ＝24＝12
．
答案：12
8．从含有3件正品、1件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是________________．
解析：从4件产品中不放回地任取两件，共有6个基本事件，事件“取出的两件中恰有一件次品”的基本事件有3个，故概率为1
2
．
答案：12
9．(2014·高考广东卷)从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．
解析：从a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母的所有基本事件为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10个，其中取到字母a 的有4个，故所求概率为4
10
＝0.4．
答案：0.4
10．在集合{1,2,3}中有放回地先后随机取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个两位数，则“个位数与十位数不相同”的概率是________．
解析：根据题意，在集合{1,2,3}中有放回地先后随机取两个数，基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种情况；按照取的先后顺序组成一个两位数后，其中个位数与十位数相同的有3种，即(1,1)，(2,2)，(3,3)，则“个位数与十位数不相同”的有9－3＝6种，则其概率为69＝23
．
答案：23
三、解答题
11．(本小题满分12分)(2014·高考天津卷)某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：
(1)用表中字母列举出所有可能的结果．
(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．
解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B}，{A ，C}，{A ，X}，{A ，Y}，{A ，Z}，{B ，C}，{B ，X}，{B ，Y}，{B ，Z}，{C ，X}，{C ，Y}，{C ，Z}，{X ，Y}，{X ，Z}，{Y ，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y}，{A ，Z}，{B ，X}，{B ，Z}，{C ，X}，{C ，Y}，共6种．
因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25
．
12．(本小题满分13分)班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率． (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．
解： (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如图所示)．
由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A 1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，故由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝7
10＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出
的2人不全是男生的概率为0.7．
(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.
概型．
用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P (A )＝525＝1
5
＝0.2．。