29.3 切线的性质和判定
切线的性质、判定，与证明
切线的性质、判定，与证明
切线的证明与计算题是全国中考的重要题型。
切线的判定常在解答题中考查，切线的性质在选择题、填空题及解答题中均有考查，常结合三角形、四边形及二次函数相关知识。
1. 判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常用方法：等角代换；全等证明；平行转化；有时可利用相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线。
2. 典型基本图形：
（牢记这5张图）
▼
练一练。
切线的三种判定方法
切线的三种判定方法
切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。
圆的切线的判定方法有：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的主要性质
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于经过切点的半径；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
(6)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的，(6)是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。
切线性质及判定未改完
切线的性质及判定1．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．2．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．证明一条直线是圆的切线有3种方法：（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）切线的判定定理：（1）如果直线和圆有交点：连结圆心与公共点，证垂直；（2）如果直线和圆没有交点：过圆心作垂直，证明垂线与半径相等证明圆的切线的两种类型类型1 已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”1．如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切.2. (湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB垂直平分OC.(1)求BC的长；(2)求证：PB是⊙O的切线.3. (德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.4. (临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.(1)证明：DE为⊙O的切线；(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.5．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；6．△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连结DE．（1）求证：DE与圆O相切；类型2 未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线1．如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.2．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F.求证：CD与⊙O相切.3. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3.（1）求证：AC是⊙D的切线;（2）求线段AC的长.圆的切线及判定针对性练习1．已知⊙O的半径为8cm，如一条直线和圆心O的距离为8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相离2．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）A．B．C．cm D（1）（2）（3）3．如图2，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，•2cm•为半径作⊙M，•当OM=______cm时，⊙M与OA相切．4．已知：如图3，AB为⊙O直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E，要使DE是⊙O的切线，•那么图中的角应满足的条件为_______（只需填一个条件）．5．如图4，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC•交半圆O于点D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．（4）（5）6．如图5，BC为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O•的切线AD，BA⊥DA于A，BA交半圆于E，已知BC=10，AD=4，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是________．7．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x 轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为______．8．（2005年山西省）如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB•上沿图示方向移动．当⊙O 移动到与AC边相切时，OA的长为多少？9．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别是切点，判定△DEF的形状（按角分类），并说明理由．能力提升：10．如图，直线AB切⊙O于点A，点C、D在⊙O上．试探求：（1）当AD为⊙O的直径时，如图①，∠D与∠CAB的大小关系如何？•并说明理由．（2）当AD不为⊙O的直径时，如图②，∠D与∠CAB的大小关系同②一样吗？•为什么？①②11．如图，⊙O的直径AB=6cm，D为⊙O上一点，∠BAD=30°，过点D的切线交AB•的延长线于点C．求：（1）∠ADC的度数；（2）AC的长．12．在图1和图2中，已知OA=OB，AB=24，⊙O的直径为10．（1）如图1，AB与⊙O相切于点C，试求OA的值；（2）如图2，若AB与⊙O相交于D、E两点，且D、E均为AB的三等分点，试求tanA的值．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB•于点M，交BC于点N．（1）求证：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠CAD=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．形的内切圆半径与三边关系（1）（2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-2.切线长定理及切线性质的应用【例1】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点O 在BC 上，以O 为圆心的O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB a =，AC b =，则O 的半径为（）AB 、a b ab +C 、ab a b +D 、2a b+【例2】 如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，BC 与以AD 为直径的O 相切于点E ，9AB =，4CD =，OF ED C BACBA CBAcbacbaCFBA则四边形ABCD 的面积为。
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
九年级下册 数学 课件 29.3 切线的性质和判定
2. 与半径垂直的的直线是圆 的切线（ ）
3. 过半径的端点与半径垂直 的直线是圆的切线（ ）
例题赏析(小组交流）
1 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边
BC于P， PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。
A
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C。 ∴OP∥AC。 ∵PE⊥AC， ∴∠PEC=90° ∴ ∠OPE=∠PEC=90° ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。
求证 （1）AC是⊙D的切线
（2） AB+BE=AC
A
E
F
B
D
C
看到切线时常用辅助线： 连接切点和圆心得垂直证Fra bibliotek切线时常用辅助线：
1、有点连圆心，证垂直 2、无点作垂线，证相等
中考链接：
如图 正方形ABCD是⊙O的内接正方形延 长BA到E，使AE=AB,连接ED 求证（1）ED是⊙O的切线。
（2）连接OE交AD于点F,说明 EF=2OF
C
.
A
O
B
P
看到切线时常加辅助线： 连接切点和圆心得垂直
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有怎样的位置关系？过圆O上一点如点A 能作圆O的切线吗？
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
几何符号表达：
∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
O r
l A
辩一辩：
O
E
B
PC
辅助线： 有点连圆心，证垂直
例2
如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O 与腰AB相切于点D.
冀教版数学九年级下册29.3《切线的性质和判定》教学设计
冀教版数学九年级下册29.3《切线的性质和判定》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级下册29.3《切线的性质和判定》是本册教材中关于直线与圆位置关系的一个重要内容。
本节内容主要让学生掌握切线的性质和判定方法，为后续学习圆的方程和其他圆相关知识打下基础。
教材通过引入切线的概念，引导学生探究切线的性质，并通过实验和证明让学生理解切线的判定方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了直线、圆的基本知识，具备一定的观察、实验、推理能力。
但部分学生对抽象的数学概念和证明过程可能存在理解困难，因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，通过具体实例和实际操作，帮助学生理解和掌握切线的性质和判定方法。
三. 教学目标1.理解切线的定义，掌握切线的性质和判定方法。
2.能够运用切线的性质和判定方法解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、实验能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.切线的定义及其性质。
2.切线的判定方法。
3.运用切线的性质和判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线的性质和判定方法。
2.利用实验和几何画板软件，直观展示切线的特点，帮助学生理解切线的概念。
3.通过证明和推理，让学生掌握切线的性质和判定方法。
4.设计具有针对性的练习题，巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关教学PPT，包括切线的定义、性质、判定方法的讲解和实例展示。
2.准备实验材料，如圆板、直尺、铅笔等。
3.准备几何画板软件，用于展示切线的动态特点。
4.准备练习题和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示实际生活中的切线现象，如剪刀剪纸、圆规画圆等，引导学生思考：这些现象背后是否存在共同的数学规律？从而引出本节课的主题——切线的性质和判定。
2.呈现（10分钟）介绍切线的定义，通过PPT展示切线的图形，让学生直观地理解切线的概念。
接着，讲解切线的性质，如切线与半径垂直、切线长度等于半径等。
冀教版九年级数学下册教案-29.3 切线的性质和判定
29.3切线的性质和判定教学设计【教材分析】《切线的性质和判定》是冀教版九年级上册二十九章直线与圆的位置关系中最重要的一种。
它是在学完直线与圆的位置关系概念的基础上对相切特性的进一步研究，是学习切线长定理的基础，同时本章研究问题往往是直线型与曲线形交织，所以，往往要结合圆形、三角形等几何知识与代数知识。
【教学目标】一、知识与技能：了解切线的性质定理，能判断一条切线是不是圆的切线。
二、过程与方法：通过探索切线与过切点的半径之间的关系，得到切线的性质定理和判定定理的过程，进一步培养学生学会研究问题的方法。
三、情感态度与价值观：在探究切线的性质和判定的过程中，培养学生探究意识，进一步发展学生的数学思考与表达能力。
【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理，并运用。
【教学难点】探索切线的性质和判定方法。
【教学方法】自主探索，合作交流。
【教学准备】尺规，多媒体。
【教学过程】教学过程设计意图一、创设情境,导入新课由不同形状车轮的汽车运动动画引出问题：1、上面动画中两辆车中那一辆行驶更平稳？2、行驶平稳与否与车轮中心和地面距离的变化有什么关系？3、沿直线行驶的车辆的圆形车轮与车印可以看成哪种圆与直线的位置关系？希望你通过本课学习对问题1能有合理的解释。
动画激发学生兴趣的同时，使学生认识到车辆运行平稳与中心到地面距离d有关，且沿直线行驶的车辆的圆形车轮与车印是相切关系，为进一步研究性质打下基础。
二、师生互动,探究新知（一）一起探究如图直线l是⊙O的一条切线，切点为T，OT为半径。
（１）在直线l上任取一点P。
观察、测量ＯＴ和ＯＰ的数量关系，（2）猜想ＯＴ与切线l具有怎样的位置关系。
（学生探究后教师出示结果，并给出推理。
）假设OT与l不垂直,过点O作OP⊥l,垂足为P,因为OP是垂线段，所以OP<OT（垂线段最短）,即圆心O到直线l的距离小于圆的半径（d<r）,因此,直线l与⊙O相交.这与已知条件“直线l与⊙O 相切”相矛盾.所以OT⊥l.总结：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.几何符号语言∵直线l是⊙O 的切线，T是切点，∴ OT⊥l。
切线的判定与性质
B，两切线相交于点P,若∠P=420，求
∠ACB的度数。
A
A
mO
C
C
m
P
O
C
P
B
B
‘
切线的判定与性质
1、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径多少？
注：已知切线、切点，
则连接半径，应用切线
的性质定理得到垂直关
系，从而应用勾股定理
计算。
切线的判定与性质
B OA P
2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不 同．解题时，灵活选切用线的其判定中与性质之一．
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径
的直线是圆的切线。
O
对定理的理解：
l A
切线必须同时满足两条：①经过半径外
端；②垂直于这条半径．
切线的判定与性质
直线与圆的 位置关系
相交
相切
相离
图形
公共点个数 公共点名称
直线名称 圆心到直线距
离d与半径r的
关系
Or
d
l
A
B
2个 交点
割线
Or d
l A
1个 切点
切线
d<r d=r 切线的判定与性质
Or d
l
没有
d> r
图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？
方法1：直线与圆有唯一公共点 O
方法2：直线到圆心的距离等于半径
l
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种
方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判
定方法。
切线的判定与性质
请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过 点A作直线l⊥OA。思考：
切线的性质和判定
知识改变命运，努力成就未来
29.3切线的性质
O
A
TBΒιβλιοθήκη 问题：1、当你在下雨天快速转动雨伞时水珠飞出的方向是什 么方向？
2、砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
下雨天当你快速转动雨伞飞出的水珠，在砂轮上打磨
工件飞出的火星，都是沿着圆的切线的方向飞出的．
反证法的步骤：
第一步：假设结论不成立 第二步：推导，一般情况是推
导过程中出 现矛盾，或者和 已知问题的条件矛盾 第三步：下结论
反证法证明切线性质
证明：假设OT与AB不垂直, 过点O作OM⊥AB,垂足为M,
∴OM<OT,即d<r,因此,AB
与⊙O相交.这与已知条
件“直线AB与⊙O相切”
相矛盾.
A
∴OT与AB垂直.
O TM B
一、切线的性质：
1、圆的切线与圆只有一个交点。 2、切线与圆心的距离等于半径。 3、圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的判定和性质(三)
切线的判定和性质(三)在前两篇文章中，我们讨论了切线的判定和一些基本性质。
在本文中，我们将继续探讨切线的一些特性，并介绍如何通过方程和图形来确定曲线的切线。
让我们继续深入研究吧！1. 曲线方程和切线要确定曲线上某点的切线，我们首先需要知道曲线的方程。
对于一条平面曲线，我们可以用一般方程y=f(x)或者参数方程x=g(t),y=ℎ(t)来表示。
这两种表示方法都可以用来确定切线。
方法一：使用一般方程y=f(x)我们可以将曲线方程y=f(x)对x求导，得到斜率函数f′(x)。
然后，我们可以将给定点的横坐标x0代入斜率函数，得到切线斜率m0=f′(x0)。
接下来，我们使用点斜式方程y−y0=m0(x−x0)，其中(x0,y0)是曲线上给定点的坐标，m0是切线斜率。
通过将m0和坐标代入方程，我们可以得到切线的方程。
方法二：使用参数方程x=g(t),y=ℎ(t)对于参数方程，我们需要先求得参数t对应的切线斜率。
我们可以通过求导x=g(t)和y=ℎ(t)得到x和y对t的导数 $\\frac{{dx}}{{dt}}$ 和$\\frac{{dy}}{{dt}}$ 。
然后，我们可以计算斜率函数 $m(t) = \\frac{{dy}}{{dx}} =\\frac{{\\frac{{dy}}{{dt}}}}{{\\frac{{dx}}{{dt}}}}$ 。
接下来，我们可以用给定点的参数值t0代入斜率函数m(t)，得到切线斜率m0=m(t0)。
然后，我们继续使用点斜式方程y−y0=m0(x−x0)来得到切线的方程，其中(x0,y0)=(g(t0),ℎ(t0))是曲线上给定点的坐标。
2. 切线的特性除了切线的方程，我们还可以通过其他方式来确定和研究切线的性质。
(1) 切线与曲线的关系切线是曲线上某一点的局部近似。
为了更好地理解这一点，我们可以将切线和曲线在相邻点处的表现进行比较。
•当给定点处的切线与曲线相切时，切线和曲线在该点处重合。
切线的性质与判定
切线的判定和性质（一）一、知识与技能：1、使学生认识并理解切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；2、使学生深刻理解切线的判定定理，掌握切线判定的方法。
并能利用已知要素，运用它解决有关问题。
二、过程与方法：1、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳、总结和解决问题的能力。
2、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性。
三、情感与态度：通过动手操作、交流发现、取得成功的学习，认识学数学的重要作用，它既能用于解决实际问题，又为我们提供一套完整的解决问题的思维方式，从而体验数学的重要性。
四、教学过程设计五、教学教法：在教学中以，“操作体验——观察质疑----分析归纳-----实践强化----刨析认识-----挖掘内涵----形成能力”为主线，开展在教师的组织下，以学生为主题的活动式教学。
六、教学过程﹙一﹚操作体验：温故知新，激发兴趣1、直线与圆的三种位置关系A.请同学们画出直线与⊙三种位置关系，B.同桌之间比较交流和画图形的异同点，C、教师出示，观察所示是否和你画的一样并回答，在图中图﹙1﹚、图﹙2﹚、图﹙3﹚、中的直线I和⊙0是什么关系？２、观察、质疑、分析发现，﹙教师引导﹚图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．（二）讲解新课、切线的判定定理：﹝板书﹞切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(1) 师生分析：题设与结论(2) 几何表达OA⊥L OA为半径→L是圆的切线(3) 对定理的理解：a.引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．b.请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．c.举例图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．﹙三﹚切线的判定方法﹙分析归纳﹚教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．（四）实践定理，强化训练A.示例例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．B、分析欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
切线的性质与判定
A
C
及半径OA, 画一个圆 O 及半径 ,画一条直线 l 经过 ⊙O 的半径 O A 的外端点 A ,且垂直于这条半径 OA ,这条直线与圆有几个交点? 这条直线与圆有几个交点? O A l 结论: 结论:经过半径的外端且垂直 于这条半径的直线是圆的切 线.
O
C
A
证明:连结OE ,OA, 过O 作OF ⊥AC 证明:连结 ∵⊙O 与AB 相切于E ∵⊙ 相切于 ∴OE ⊥ AB A E F
又∵△ABC 中,AB =AC , O 是BC 中点. 中点ห้องสมุดไป่ตู้ 平分∠ ∴AO 平分∠BAC B
O
C
A 又OE ⊥AB ,OF⊥AC ⊥ ∴OE =OF B E F
B
BE =12-r =BF - r =2.
又 AB =13 , ∴5-r+12-r=13, -+ -=
一般地 c a - r + b - r=c = ∴ r= a+bc 2 a r r r r b
A
为内心, 在△ABC 中,I 为内心, 探索∠ 的关系? 探索∠A 与∠BIC 的关系?
1
I 2 C
A
O B
如图,一张三角形铁皮, 如图,一张三角形铁皮,如何在它上面截一 A 个面积最大的圆形铁皮? 个面积最大的圆形铁皮?
B
C
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆,三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心,这 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心, 个三角形叫做圆的外切三角形, 个三角形叫做圆的外切三角形,三角形的内心就 是三角形三条内角平分线的交点. 是三角形三条内角平分线的交点.
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一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交， 这条直线叫圆的割线， 这两个公共点叫交点。
(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线， 这个公共点叫切点。
(3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。
∴OP∥AC。 例1与例2的证法有何不同?
∵ AB为直径 判定切线的方法有哪些？
例1 直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 简记为：“知切线，连半径，得垂直”
∴ OB=OA， 假设切线l不垂直于过切点的半径OA， 过点O作一条l的垂线OB。 1， 如图：AC是⊙O的切线，∠B=600。
点 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
. ∵ OD是⊙O的半径
O
注意：使用此方法时必须已知直线与圆有一公共点。
∴ ∵
OOED＝是O⊙一DO的半定径 垂直(可用反证法来证）
这条直线叫圆的割线，
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
(3)经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
二、直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的 距离d与圆的半径r的大小关系来判断）
dr
直线和圆相交
d< r
r
直线和圆相切
d= r
d
∟ ∟
r
d
直线和圆相离
d> r
数形结合： 位置关系
数量关系
总结： 判定直线与圆的位置关系的方法有_两__与__圆___的__公共点 的个数来判断；
●
O
┐
A
l
定理辨析
说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于 这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不 可，否则就不是圆的切线，
29.3切线的判定定理和性质定理
几何语言
∵直线AB 经过⊙O上的T点 OT⊥AB
∴直线AB是⊙O的切线
O AT B
判断下图直线L是否是⊙O的切线？ 并说明为什么。
证明一条直线为圆的切线时，必须
两个条件缺一不可：
①过半径外端点 O ②垂直于这条半径。 O
lll
A AA
lห้องสมุดไป่ตู้
切线的判定
1、与圆有唯一公共点的直线是圆的 切线。
2、圆心到直线的距离等于半径的直 线是圆的切线。
9.3 判定
切线的性质和
直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
r ●O d ┐
相切
d < r;
d = r; d > r;
r ●O d
┐ 相离
学习目标： 1、学习并掌握切线的性质和判定 方法。 2、能够利用切线的性质和判定方 法解决相关问题。
自学指导： 1、时间：3分钟 2、课本：P8-9 3、要求：
切线垂直于半径
切线
1、切线和圆只有一个公共点。
2、圆心到直线的距离等于半径。
3、圆的切线垂于过切点的半径。
4、经过圆心且垂直于切线的直线必 经过切点。（找切点用） 5、经过切点且垂直于切线的直线必 过圆心。（找圆心用）
弦切角： 顶点在圆上，一边与圆相交（弦）
另一边与圆相切（切线）的角叫做弦切 角。
A
D
P O
C B
切线的判定方法 有三种： ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理．
切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
证明切线时常用辅助线：
1、有点连圆心，证垂直 2、无点做垂线，证半径
切线的判定定理和性质定理
切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
1、有点连圆心，证垂直 2、无点做垂线，证相等
证明切线时常用辅助线：
资料整理
仅供参考,用药方面谨遵医嘱
1.看直线与圆交点的个数（有且只有一个）。 2.比较圆心到直线的距离与半径的大小。（d=r）
.
O
A
L
已知：⊙O内有一点A，过点A能做出几条切线？
已知：⊙O上有一点A，过点A能做出几条切线？
.
.
O
A
L
经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线．
A
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
①过半径的外端点 ②垂直于这条半径
切线
①圆的切线 ②过切点的半径。
切线垂直于半径
判定定理：
性质定理：
１如图, PB切⊙O于点B，PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
2 如图：PA,PC分别切⊙ O于点A,C两点,B为⊙ O上与A,C不重合的点,若∠P=50°,则∠ABC=___
B
C
A
练习：
O
2.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D与OA的位置关系， 并证明你的结论。
辅助线： 无切点做垂线，证相等
F
切线性质
如图,直线CD与⊙O相切于点A, 直径AB与切线CD有怎样的位置关系
直径AB垂直于切线CD.
C
D
B
●O
r=3
65°或 115°
如图（a）AB为⊙O的直径，△ABC 内接于⊙O，且∠CAE＝∠B 1、试说明AE与⊙O相切于点A。 2、如图（b）,若AB是⊙O的非直径的弦，且∠CAE＝∠B，AE与⊙O还相切于点A吗？
切线的定义和性质
切线的定义和性质
切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。
更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。
平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。
在高等数学中，对于一个函数，如果函数某处有导数,那么此处的导数就是过此处的切线的斜率，该点和斜率所构成的直线就为该函数的一个切线。
切线的主要性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
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2 2 BD= OB OD 100 25 5 3.
3.如图所示,从☉O外一点A引圆的切线AB,切点为B,连接AO并延长 交圆于点C,连接BC,若∠A=26°,则∠ACB= 32° .
解析:连接OB,易得OB⊥AB,由
∠A=26°,得∠AOB=64°,从而求
得∠ACB=32°.故填32°.
4.如图所示,线段AB经过圆心O,交☉O于A,C两 点,∠BAD=∠B=30°,直线BD交☉O于点D. (1)BD是☉O的切线吗?为什么? (2)若AC=10,求线段BD的长度.
先连接OP,再过点P作直线l⊥OP,直线l就是过点P的切线.
[知识拓展]
1.利用切线的判定定理需要满足两个条件:(1)经过半径的外端;(2)与半径垂 直.两个条件缺一不可,否则不一定是切线.如下图所示,这里的直线l都不是 ☉O的切线.
2.判定一条直线是圆的切线的方法:(1)若直线与圆只有一个公共点,则
解:(1)BD是☉O的切线. 理由:∵∠BAD=∠B=30°, ∴∠ADB=180°-30°-30°=120°. ∵AO=DO,∴∠A=∠ADO=30°, ∴∠ODB=120°-30°=90°, ∴BD是☉O的切线.
(2)∵AC=10,∴CO=5,∴DO=5. ∵∠B=30°,由(1)知
∠ODB=90°,∴BO=2DO=10.
该直线是圆的切线;(2)若圆心到直线的距离等于半径,则该直线是圆的 切线;(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.利用切线的判定定理进行证明时,当直线和圆有公共点时,连接过公共点的
半径,然后证明直线垂直于这条半径,简称“作半径,证垂直”;当直线与圆的 公共点不明确时,可过圆心作直线的垂线,再证明圆心到直线的距离等于圆 的半径,简称“作垂直,证半径”.
120 2 4 . 式可得 AB 的长为 180 3
故选C.
2.如图所示,若☉O的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的 延长线交于点D,且☉O的半径为2,则CD的长为 A.2 3 C.2 ( A )
B.4 3 D.4 解析:连接OC.∵CD是圆的切线, ∴∠OCD=90°.∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°, ∴∠COD=∠A+∠ACO=60°,∴∠D=30°.又 OC=2,∴OD=2OC=4,∴CD= 42 22 2 3 .故选A.
共同探究
【思考1】
如图所示,直线l为☉O的一条切线,切点为T,OT为半径.
在直线l上任取一点P,连接OP.观察OT和OP的数量关 系,猜想OT与切线l具有怎样的位置关系. 思考:
假设猜想不成立,即假设
,则过点O作OP⊥l,垂足为P.则OP
圆的半径.
OT(填“>”“<”或“=”),即圆心O到直线l的距离 则直线l与圆的位置关系为
九年级数学· 下 新课标[冀教]
第二十九章
直线与圆的位置关系
学习新知
检测反馈
学习新知
1.下雨天,当你转动雨伞,你会发现雨伞上
的水珠顺着伞面的边缘飞出.仔细观察一
下,水珠是顺着什么样的方向飞出的?这就 是我们所要研究的直线与圆相切的情况.
2.在我们的生活中,经常会遇到直线与 圆相切的情形.如沿直线行驶的自行车 车轮与车印,可以看成直线与圆相切的 具体实例.
检测反馈
1.(2016· 长春中考)如图所示,PA,PB是☉O的切线,切点
分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则 AB的长为(
A. π
2 3
C)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B. π
C. π
4 3
D.
5 π 3
解析:由切线的性质可得∠PBO=∠PAO=90°,又四 边形的内角和为360°,所以∠AOB=120°,由弧长公
性质:圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言:如图所示,∵直线l切☉O于T, ∴OT⊥l.
观察与思考
如图所示,OA为☉O的半径,直线l过点A,且l⊥OA.
(1)如果用r表示☉O的半径,d表示圆心O到直线l的
距离,那么r与d 具有怎样的数量关系呢? (2)直线l是☉O的切线吗? 引导: 1.圆心O到直线的距离是 ,满足圆心到直线的距离d与半径 的大小关系是: ,所以直线l与☉O的位置关系是: . 2.该命题的已知条件是: ,结论是: ,用文字语言叙述 该命题为: . 3.该命题用几何语言表示为: , . 判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 几何语言:如图所示,∵l⊥OA,点A在直线l上,∴直线l是☉O的切线.
.这与直线与☉O相切矛盾.
如图所示,假设OT与l不垂直.过点O作OP⊥l,垂足为P.
因为OP是垂线段,所以OP<OT(垂线段最短),即圆心O 到直线l的距离小于圆的半径.由此得到直线l与☉O相 交.这和直线l与☉O相切矛盾,所以OT⊥l.
【思考2】
1.如何用语言叙述上述结论? 2.如何用几何语言表示你得出的结论?
追加思考: 1.你如何证明一条直线是圆的切线? (直线与圆只有一个公共点;圆心到直线的距离等于半径;经过半 径的外端并且垂直于这条半径的直线.) 2.你能举出生活中直线与圆相切的实例吗?
做一做
思考:
如图所示,P为☉O上的一点,请你用三角
尺画出这个圆经过点P的切线.
过点P的切线与半径OP有怎样的位置关系? (过点P的切线与半径OP垂直.)