二次函数知识点总结及典型例he

浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题

知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念

一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于a

b

x 2-

=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：

当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

【例1】、已知函数y=x 2

-2x-3，

（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；

（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：

（3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0

知识点二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，

（2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02

=++c bx ax 有实根1x 和

2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式

))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

三顶点2

【例1】、抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，且过（-1，16），求抛物线的解析式。

【例2】、如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc 0 （＞或＜或=） （2）a 的取值范围是

【例3】、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )

A ．y = (x − 2)2

+ 1 B ．y = (x + 2)2

+ 1 C ．y = (x − 2)2

− 3 D ．y = (x + 2)2

− 3 知识点三、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2-=时，a

b a

c y 442-=最值。

【例1】、已知二次函数的图像（0≤x ≤3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值－1,有最大值0 C ．有最小值－1,有最大值3 D ．有最小值－1,无最大值

【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满． 当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每

天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)．

（1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；

（2）设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?

知识点四、二次函数的性质

2、二次函数)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：

a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a <0时，抛物线开口向下

b 与对称轴有关：对称轴为x=a

b

2-

c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：

（0，c ） 3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2

-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；

【例1】、抛物线y=x 2

-2x -3的顶点坐标是 . 【例2】、二次函数522-+=x x y 有( )

A ． 最大值5-

B ． 最小值5-

C ． 最大值6-

D ． 最小值6- 【例3】、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ）

A ．其图象的开口向下

B ．其图象的对称轴为直线3-=x

C ．其最小值为1

D ．当3

B.4≤k

C.4

D.4≤k 且3≠k

【例5】、下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（ ）． A ．y = x 2

B ．y = x －１

C ． y = 3

4

x

D ．y = 1

x

【例6】、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）

A ．m =l

B ．m >l

C ．m ≥l

D ．m ≤l 知识点五、二次函数图象的平移

① 对于抛物线y=ax 2+bx+c 的平移

通常先将一般式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，再遵循左加右减，上加下减的的原则

化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。

② c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上（下）平移m （m ＞0）个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

③ 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式

c bx ax y ++=2：向左（右）平移m （m ＞0）个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

【例1】、将抛物线2

y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) A ．2(2)y x =-+ B ．22y x =-+ C ．2(2)y x =-- D ．2

2y x =--

【例2】、将抛物线y=x 2

－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.

【例3】、抛物线2

y x =可以由抛物线()2

23y x =+-平移得到,则下列平移过程正确的是( )

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位