课件_有毒气体扩散问题

二、问题的分析
题目要求讨论监测部门检测时环氧乙烷的 分布情况，也即要求给出某时刻某处毒物的含 量表达式。 本问题可以看做是一个污染源为点源，且 污染物为气态或准气态的空气污染问题(有毒气 体扩散问题)。
案例
我们知道，凡与反映扩散有关的现象，大 都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数 学模型来定量或定性地加以表达，因此本问题 应该通过建立偏微分方程模型来解决。 基于偏微分方程的扩散模型涉及一系列的 参数，如扩散系数、衰减系数等，这些题目中 都没有给出，因此需要通过给出的数据对一些 参数进行估计。 因此，本问题是一个偏微分方程反问题(系 统辨识问题)。
2. 模型参数的估计 下面对有毒气体浓度的分布函数中出现的 参数 a, b, c, k 进行估计。 为此，令监测部门对毒物抽样测量的时刻 为 t0，观测取样值为 (xi, yi, zi, mi)，其中 mi 为 t0 时刻 (xi, yi, zi) 处物质的浓度，i = 1, …, n。
首先考虑取样时刻。 事实上，取样时刻是未知的，但若取样时 刻为 t0，作变量替换 t = t0，则有 = t/t0，从而 即
由于公路北侧是农田而南侧是绿化林带， 可能导致公路南北两侧的污染程度有一定差异， 因此抽样测量分为两个部分进行。附件 observation-1 是公路北侧区域的测量数据，附件 observation-2 是公路南侧区域的测量数据，其中 前 3 列为取样点的坐标，第 4 列为取样点处毒物 的浓度。 问题：请建立数学模型研究，监测部门检 测时环氧乙烷的分布情况。
M
3
ln(abc)
( x x0 ) 2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 2 k 2 2 2 4b 4c 4a
令
( x x0 ) ( y y0 ) 2 ( z z0 )2 X , Y , Z 4 4 4
2
1 1 1 2 , 2, 2, a b c
数学建模案例选讲
有毒气体扩散问题
(竞赛练习题)
一、有毒气体扩散问题
当发生有毒气体突发性泄露事故时，有关 部门需要快速对泄漏源进行定位和识别，并科 学预测有毒气体的蔓延及影响范围。其中，分 析有毒气体在大气中的扩散是泄露事故后果分 析的重要内容，其目的在于定量地描述泄漏事 故对人员和环境造成伤害的程度，并预测危害 后果。

其中 k2 为衰减系数。 于是，在 t 到 t +t 时刻间 内由于扩散与 衰减的合作用，积存于 内的质量为
M1 M 2
t t t
2u 2 u 2 2u ( a 2 2 b2 2 c k 2u)dxdydzdt x y z 2
从另一个角度看，在 t 到 t + t 时刻间 内 由于浓度的变化引起的质量增加为
公路南侧： a = 1.15, b = 0.7, c = 0.91, k = 0.1 将参数 a, b, c, k 的估计值代入，就得到 u(x, y, z, t) 的近似表达式： 公路北侧：
74.1899 x 2 0.01t t t 5.29t 10.37t 3.31t
三、数学模型的建立与求解
1. 数学模型的建立 设 u(x, y, z, t) 是 t 时刻点 (x, y, z) 处有毒气 体的浓度。 任取一个闭曲面 S，它所围的区域是 ，由 于扩散，从 t 到 t + t 时刻这段时间内，通过 S 流入 的质量为
M1
t t
t
u 2 u 2 u (a x cos b y cos c z cos )dSdt S
(1) 有毒气体初始泄漏时可看作在空中某一 点向四周的瞬时释放。 (2) 毒物向四周扩散时，气象、地形等对其 扩散的影响归结为各方向上的扩散系数，并假 定各方向的扩散系数分别为常数 (3) 扩散时存在衰减，如作物、植物对毒物 的吸收等，扩散使质量的减少与浓度成正比。 (4) 扩散前周围空间毒物的浓度为零。
因此，由 t, t, 的任意性得：
u 2u 2u 2 2u a 2 2 b2 2 c k 2u t x y z 2
上述方程是常系数线性抛物型方程，它就 是有衰减的扩散过程的数学模型。
设扩散源在点 (x0, y0, z0) 处，则此扩散问题 满足 Cauchy 问题：
2010 年，一辆装载环氧乙烷的运输车辆在 某国道上侧翻，造成有毒气体外泄。虽经消防 人员紧急处置，在等待救援和处置过程中，仍 有大约 1000 个单位质量的环氧乙烷气体扩散到 周边区域。 为了分析泄露事故可能引发的后果，在以 事发点为中心东西南北各 3 公里、高度 150 米范 围的空域中(如图所示)，监测部门对毒物的浓 度进行了抽样测量。
u 2u 2u 2u a 2 2 b 2 2 c 2 2 k 2u t x y z u( x, y, z, 0) M ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
其中 M 为扩散源的质量。 用 Fourier 变换可求得 Cauchy 问题的解析 解为
u u t u t0 t t
u 2 u 2 u 2 u t0 a t 0b t0 c t 0 k 2u x 2 y 2 z 2
2 2 2
上式仍然是常系数线性抛物型方程，与有 衰减的扩散过程的数学模型形状完全一致，故 可令观测取样值的取样时刻为 t0 = 1。 于是，(xi, yi, zi, mi) 满足
公路南侧：
170.6368 x 2 y2 z2 u ( x, y , z , t ) exp 0.01t t t 5.29t 1.96t 3.31t
程序
谢谢
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 M 2 u ( x, y, z, t ) exp k t 2 2 2 4a t 4b t 4c t 8tabc t
但是，问题中并未给出参数 a, b, c, k 的具体 数值，因而需要利用观测数据对它们进行估计， 从而得出 u(x, y, z, t) 的近似表达式。
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 M 2 u( x, y, z, 1) exp k 2 2 2 4a 4b 4c 8abc
其次考虑参数估计。 对上式两端取对数，有
ln u( x, y , z, 1) ln
2
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 M 2 u ( x, y, z, t ) exp k t 2 2 2 4a t 4b t 4c t 8tabc t
于是，在 t 时刻任意点 (x, y, z) 处有毒气体 浓度的分布函数为
ln
2
M
3
ln(abc) k 2
则有关系式 W = lnu(x, y, z, 1) = X + Y + Z +
由于我们获得的观测取样值 (xi, yi, zi, mi) 可以转化为相应的观测取样值 (Xi, Yi, Zi, Wi)， 于是利用多元回归分析可以求出 , , , 的估 计值，即可得到参数 a, b, c, k 的估计值。 取 x0 = y0 = z0 = 0，利用 Maltab 中的回归函 regress，以及给定的观测数据，分别估计公路 北侧和公路南侧密度函数中的参数，有 公路北侧： a = 1.15, b = 1.61, c = 0.91, k = 0.1
于是，问题解决思路如下： 通过机理分析，建立有毒气体扩散的偏微 分方程模型； 利用给定的观测数据估计模型中的参数。 由于影响扩散过程的气象条件、地形、下 垫面状况及污染本身的复杂性，到目前为止还 没有一个适用于各种条件的大气扩散模式，来 描述所有这些复杂条件下的大气扩散问题。 为此，我们根据问题的背景做出如下的合 理假设。
2
其中 a2, b2, c2 分别是沿 x, y, z 方向的扩散系数。 由高斯公式
M1
t t t
2u 2u 2u (a 2 2 b 2 2 c 2 2 )dxdydzdt x y z
由于衰减， 内的质量减少为
M2
t t t
k 2udxdydzdt
M 3 [u( x, y, z, t t ) u( x, y, z)]dxdydz


t t
t
u t dxdydzdt
显然，M3 = M1 M2，即

t t
t
u t dxdydzdt

t t
t
2u 2u 2 2u ( a 2 2 b2 2 c k 2u)dxdydzdt x y z 2