河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试数学试题答案
2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试(全国卷)数学(理)试题(解析版)
2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试（全国卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合10,2x A x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭{}24B x x =≤，则()()R R A B ⋃=（ ）A ．(,2](1,)-∞-⋃-+∞B ．(,2)[1,)-∞--+∞C ．(2,1)--D ．[2,1]--【答案】B【解析】先根据题意得(,1)(2,)A =-∞-⋃+∞，[2,2]B =-，再根据集合运算即可求解. 【详解】因为集合{}210,42x A x B x x x ⎧⎫+=>=⎨⎬-⎩⎭，所以(,1)(2,)A =-∞-⋃+∞，[2,2]B =-，[2,1)A B ⋂=--，()()()(,2)[1,)RRRA B A B ⋃=⋂=-∞-⋃-+∞.故选：B 【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，考查运算能力，是基础题.2．设a R ∈，若复数1ia i-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于直线y x =上，则a =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】化简复数写出其在复平面内对应的点的坐标，再代入直线方程即得参数. 【详解】 化简221(1)()1(1)11i i a i a a ia i a a -----+==+++，故复平面内对应点的坐标是2211,11a a a a -+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为复数1i a i -+在复平面内对应的点位于直线y x =上，所以221111a a a a +--=++，所以0a =. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数在复平面内对应的点的特征，属于基础题. 3．设()πxf x -=，()πlog g x x =，()πxh x =，则()0.3f ，()0.3g ，()0.3h 的大小关系是（ ）A ．()()()0.30.30.3g f h <<B ．()()()0.30.30.3f g h <<C ．()()()0.30.30.3f h g <<D ．()()()0.30.30.3g h f <<【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得()0.3f ，()0.3g ，()0.3h 取值范围，即可求解. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得()0.3000.3ππ1f -<=<=，()0.30.3π1h =>，根据对数函数的性质，可得()π0.3log 0.30g =<， 所以()()()0.30.30.3g f h <<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数式与对数的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个关于“奇偶归一”的猜想，对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，若输入a 的值为3，则输出结果为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】根据程序框图，列出循环过程中的a与对应的i，计算循环结果. 【详解】根据程序框图，列出循环过程中的a与i，a 3 10 5 16 8 4 2 1i 1 2 3 4 5 6 7 8所以输出的结果为8i=.故选：C【点睛】本题考查程序框图，重点考查循环过程，属于基础题型.5．函数()21sin()21xxxf x-⋅=+的部分图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】C【解析】先判断出()f x 的奇偶性，然后通过特殊值()1f 与0的关系即可确定出()f x 所对应的函数图象. 【详解】因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()()()()()()21sin 12sin 21sin 211221xxxxxxx x x f x f x ---⋅--⋅--⋅-====+++，所以()f x 是偶函数，排除A ，D ；又因为(21)sin1(1)021f -=>+，排除B.故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的图象，难度一般.分析函数解析式对应的函数图象可从函数的奇偶性、函数的单调性、特殊值等方面入手.6．某校学生可以根据自己的兴趣爱好，参加各种形式的社团活动.为了解学生的意向，校数学建模小组展开问卷调查并绘制统计图表如下： 你最喜欢的社团类型是什么？—您选哪一项？（单选） A ．体育类如：羽毛球、足球、毽球等 B ．科学类如：数学建模、环境与发展、电脑等 C ．艺术类如：绘画、舞蹈、乐器等 D ．文化类如：公关演讲、书法、文学社等 E.其他由两个统计图表可以求得，选择D 选项的人数和扇形统计图中E 的圆心角度数分别为（ ） A ．500，28.8° B ．250，28.6°C ．500，28.6°D ．250，28.8°【答案】A【解析】根据扇形统计图和条形统计图得选择A 的人数为300，占比为15%，进而得接受调查的学生的总人数为2000，故选D 的人数为500，进而得E 的圆心角度数. 【详解】解：设接受调查的学生的总人数为x ， 由调查结果条形图可知选择A 的人数为300，通过调查结果的扇形统计图可知：选择A 的人数比例为15%， 所以30015%x=，解得2000x =， 而选择D 的人数为：200025%500⨯=，扇形统计图中E 的圆心角度数为：(115%12%40%25%)36028.8︒︒----⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的应用，考查数据分析与处理，是中档题. 7．已知M 为抛物线2:4C x y =上一点，C 在点M 处的切线11:2l y x a =+交C 的准线于点P ，过点P 向C 再作另一条切线2l ，则2l 的方程为（ ） A ．1124y x =-- B ．122y x =-+ C ．24y x =-+ D ．24y x =--【答案】D【解析】先根据C 在点M 处的切线11:2l y x a =+，求出a 的值，再求得点3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后再求过点P 抛物线的切线方程. 【详解】设()00,M x y ，由题意知，214y x =，则12y x '=， C 在点M 处的切线11:2l y x a =+，所以001122x x y x =='=所以01x = ，则11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭， 将11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭代入11:2l y x a =+的方程可得14a =-，即111:24l y x =- 抛物线2:4C x y =的准线方程为：1y =- 则3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设2l 与曲线C 的切点为()00,N x y ， 则20000011(1)433222x x y x x +--==⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，解得04x =-或01x =（舍去）， 则(4,4)N -，所以2l 的方程为24y x =--. 故选：D 【点睛】本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题. 8．已知||||1CA CB ==，设2a CA CB =-，22b CA CB =+.若0a b ⋅=，则sin ,CA CB 〈〉的值为（ ）A．0 B ．2C ．1D ．1-【答案】C【解析】依题意设12,CA e CB e ==，由0a b ⋅=可得120e e ⋅=，从而得到1e ，2e 的夹角为2π，即可得解； 【详解】解：根据题意，设12,CA e CB e ==，则121e e ==，则122a e e =-，1222b e e =+.因为0a b ⋅=，即)()1212220e e e -⋅+=，即2211222220e e e e +-⋅=，所以120e e ⋅=，所以向量1e ，2e 的夹角为2π，sin 12π=.故选：C 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算律，向量夹角的计算，属于中档题.9．如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．||sin2AB d α=⋅ B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅【答案】C【解析】||cos2AB d α=⋅，故选项A 不正确；||||sin DC BD d α==，故选项D 不正确；2||sin NC d α=⋅，故选项B 不正确；2||(||)2dDC d AB =⋅-，故选项C 正确. 【详解】连接BC ，如图所示，易知AC 是圆的直径.因为BAD DAC α∠=∠=，所以2BAC α∠=. 在Rt ABC 中，||cos2AB d α=⋅， 故选项A 不正确；在Rt ADC 中，||sin DC d α=⋅.又因为BAD DAC ∠=∠，所以||||sin DC BD d α==， 故选项D 不正确；211||(||)(||)(1cos2)sin 222dNC d AM d AB d αα=-=-=⋅-=⋅，故选项B 不正确；因为BAD DAC ∠=∠，所以||BD DC =.又因为AM AB =，易知ADB △与ADM △全等，所以||||BD DM =， 所以||DC DM =.又因为N 是MC 的中点，所以DN CM ⊥， 所以Rt DNC Rt ADC ∽，所以||||||||DC NC AC DC =，所以2||||||(||)2d DC AC NC d AB =⋅=⋅-， 故选项C 正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查几何选讲和三角函数，考查二倍角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．在菱形ABCD 中，4,60AB A ︒=∠=，将ABD △沿对角线BD 折起使得二面角A BD C --的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD 的外接球的半径为（ ）A ．B C D 【答案】A【解析】根据题意做出图形，取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，取OA 上离O 点近的三等分点记为F ，自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ，则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，再根据几何关系计算即可得答案. 【详解】解：如图，取BD 的中点记为O ，连接OC ，OA ，根据题意需要找到外接球的球心， 取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，同理取OA 上离O 点近的三等分点记为F ， 自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ， 则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，由菱形的性质得AOC ∠就是二面角A BD C --的平面角， 所以AOC △是边长为34232⨯=33OE =. 在POE △中，30POE ︒∠=， 所以23PE =.又433CE =， 所以133PC R ==. 故选：A. 【点睛】本题考查几何体的外接球的半径求解，考查空间思维能力，是中档题.11．已知函数2(),()2ln ,()4x f x e g x x h x x x m ===-+，直线1x t =分别交函数()f x 和()g x 的图象于点A 和点B .若对任意12,[1,]t t e ∈都有()2||AB h t >成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),2ee -∞+ B ．(,4)e -∞+ C ．()2,5e e-∞-D ．(,3)e -∞+【答案】D【解析】先根据题意将恒成立问题转化成最值问题，再利用导数求最值，计算参数范围即可. 【详解】由题意，直线1x t =分别交函数()f x 和()g x 的图象于点A 和点B ，故||2ln xAB e x =-设()()2ln 1xF x e x x e =-≤≤，则问题可以转化为在区间[1,]e 内min max ()()F x h x >.因为12()20xF x e e x'=-->，所以()F x 在[1,]e 上单调递增，故min ()(1)F x F e ==.因为2()4h x x x m =-+，其对称轴2x =，所以在区间[1,]e 上，(1)()f f e > 即max ()(1)143h x h m m ==-+=-，所以e 3m >-，即3m e <+.故选：D. 【点睛】本题考查了恒成立问题，考查了利用导数求函数最值和利用二次函数求最值，属于中档题.12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若2021220210122021(12)x b b x b x b x -=++++，数列{}n a 的首项12202111122021,222n n n b b b a a S S ++=+++=⋅，则2021S =（ ） A ．12021-B ．12021C ．2021D ．2021-【答案】A【解析】通过对二项展开式赋值12x =求解出1a 的值，然后通过所给的条件变形得到1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而求解出{}n S 的通项公式，即可求解出2021S 的值. 【详解】令12x =，得202112202102202111202222b b b b ⎛⎫-⨯=++++= ⎪⎝⎭. 又因为01b =，所以1220211220211222b b b a =+++=-. 由111n n n n n a S S S S +++==-，得111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=，所以1111n n S S +-=-， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111S =-，公差为1-的等差数列，所以11(1)(1)nn n S =-+-⋅-=-， 所以1n S n =-，所以202112021S =-.故选：A. 【点睛】本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意11n n n a S S ++=-的运用.二、填空题13．若实数x ，y 满足2,,3,x y y x x +⎧⎪≤⎨⎪⎩则232z y x =-+的最小值为__________.【答案】9-【解析】化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合找到最优解，联立方程组求出最优解的点的坐标，代入目标函数即可求出结果. 【详解】 由约束条件作出由232z y x =-+，得3222z y x -=+， 作直线3:2l y x =，将直线l 平移经过M 点时在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值. 联立203x y x +-=⎧⎨=⎩ 解得：(3,1),M -代入232z y x =-+可得：min 9z =- 故答案为：9-【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，属于基础题.14．在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________.【解析】先由余弦定理求出AC =sin B =，再由正弦定理可得答案. 【详解】在ABC中，易求sin 3B =.又6,4BC AB ==， 由余弦定理可得2222212cos 64264683AC BC AB BC AB B ⎛⎫=+⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭-，解得AC =设ABC 外接圆的半径为r，则由正弦定理，得2sin 3AC r B ===，所以4r =.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形和利用正弦定理求三角形外接圆的半径，属于中档题. 15．已知甲有2张印着数字2的卡片，乙有3张印着数字2的卡片和3张印着数字3的卡片，乙先从自己的卡片中任选2张卡片给甲，甲再从现有的卡片中任选2张还给乙，每张卡片被选中的可能性都相等，则甲给乙的两张卡片都印着数字2的概率为__________. 【答案】815【解析】分三种情况：①乙选两张印着数字3的卡片给甲；②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；③乙选2张印着数字2的卡片给甲，分别计算概率即可. 【详解】可分为三种情况：①乙选两张印着数字3的卡片给甲；②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；③乙选2张印着数字2的卡片给甲，所以2211223233332222264646C C C C C C 1681C C C C C 3015P =⨯+⨯+⨯==.故答案为：815【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件与相互独立事件的概率计算，考查分类讨论的思想.16．过椭圆2221(1)x y a a+=>上一点P 及坐标原点O 作直线l 与圆2221x y a +=+交于A ，B 两点.若存在一点P 满足2||||1a PA PB =+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[2,)+∞【解析】将||||PA PB 整理化简得22||||1||PA PB a OP =+-结合22||1,OP a ⎡⎤∈⎣⎦，得21||||PA PB a ≤⋅≤，即可得2211a a ≤-≤，解不等式即可. 【详解】 如图所示：22||||(||||)(||||)1||PA PB OA OP OA OP a OP =-+=+-.又因为22||1,OP a ⎡⎤∈⎣⎦，所以21||||PA PB a ≤⋅≤.若存在一点P ，使得2||||1a PA PB =+，即2211a a ≤-≤，解得2a ≥故答案为：2,)+∞ 【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，涉及不等式的性质，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()1,3n n S ++在抛物线2y x 上.（1）求n a ；（2）求数列{}9n a -的前n 项和n T .【答案】（1）21,2,1, 1.n n n a n +⎧=⎨=⎩；（2）2272,4,726, 5.n n n n T n n n ⎧-++=⎨-+⎩. 【解析】（1）由条件可得222n S n n =+-，当1n =时，111a S ==；当2n 时，由1n n n a S S -=-可求出答案.（2）28,2,98, 1.n n n a n -⎧-=⎨-=⎩,分4n 和5n ，分别求和，得出答案.【详解】解：（1）因为点()1,3n n S ++在抛物线2yx 上，所以23(1)n S n +=+，所以222n S n n =+-. 当1n =时，111a S ==； 当2n 时()22122(1)2(1)221n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.所以21,2,1, 1.n n n a n +⎧=⎨=⎩（2）易求28,2,98, 1.n n n a n -⎧-=⎨-=⎩当4n 时，22922972n n T S n n n n n n =-+=--++=-++； 当5n 时，[]()22449(4)142222936726n n T T S S n n n n n n =+---=++---+=-+. 综上，2272,4,726, 5.n n n n T n n n ⎧-++=⎨-+⎩【点睛】本题考查根据前n 项和求通项公式，等差数列加绝对值的求和问题.属于中档题.18．近年来，随着我国社会主义新农村建设的快速发展，许多农村家庭面临着旧房改造问题，为此某地出台了一项新的政策.为了解该地农村家庭对新政策的满意度，进行了相关调查，并从参与调查的农村家庭中抽取了200户进行抽样分析，其中，非务农户中对新政策满意的占7，而务农户中对新政策满意的占1.（1）完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关（结果精确到0.001）？（2）若将频率视为概率，从该地区的农村家庭中采用随机抽样的方法，每次抽取1户，抽取5次，记被抽取的5户中对新政策满意的人数为X，每次抽取的结果相互独立，求X的分布列和数学期望.附表：2.072参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）填表见解析；能；（2）分布列见解析；期望为3.【解析】（1）根据题意补全列联表，再根据独立性检验的知识求解即可；（2）根据题意从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是35，随机变量满足二项分布，即：3~5,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布的知识求解即可.【详解】解：（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2200(70503050)258.333 6.635100*********k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关.（2）由列联表中的数据可知，对新政策满意的农村家庭的频率是12032005=，将频率视为概率，即从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是35.由题意知3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，05053232(0)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 141532240(1)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 232532720(2)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3235321080(3)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 414532810(4)553125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 505532243(5)553125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为3()535E X np ==⨯=.【点睛】本题考查独立性检验，二项分布，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题. 19．如图，四边形ABCD 是菱形，2,22,AB AP BG DE DE ===⊥平面ABCD .（1）证明：P ，E ，C ，G 四点共面.（2）若2,23PA AC ==，求二面角P CE D --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）15. 【解析】（1）取PA 的中点M ，根据条件可证明四边形PMBG 和四边形MECB 是平行四边形，利用平行的传递性可证明四边形PGCE 是平行四边形，从而证明四点共面；（2）由菱形和AC 的长，可求出60BAD ︒∠=，又AP ⊥平面ABCD ，可建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，取PA 的中点M ，连接,EM BM . 因为22AP BG MP ==，所以MP BG =， 所以四边形PMBG 是平行四边形， 所以PG MB =.由题意知,ME AD AD BC ==，所以ME BC =， 所以四边形MECB 是平行四边形， 所以MB EC =，所以PG EC = 所以四边形PGCE 是平行四边形， 所以P ，E ，C ，G 四点共面.（2）解：因为DE⊥平面ABCD，//AP DE，所以AP⊥平面ABCD.在ABC中，由余弦定理得2222222(23)23cos222223AB AC BCBACAB AC+-+-∠===⋅⨯⨯，所以30BAC︒∠=，所以60BAD︒∠=.以A为坐标原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz-.则(0,0,2),(3,3,0),(0,2,1),(0,2,0),(3,3,2),(3,1,1),(0,0,1) P C E D PC CE DE=-=--=设平面PCE的法向量为()111,,n x y z=，则0,0,n PCn CE⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111113320,30.x y zx y z⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩令11y=，得1132,xz⎧=⎪⎨⎪=⎩所以3,1,2n⎛⎫= ⎪⎝⎭.设平面CDE的法向量为()222,,m x y z=，则0,0,m DEm CE⎧⋅=⎨⋅=⎩即22220,30.zx y z=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x=，得223,0,yz⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以(1,3,0)m=-.设二面角P CE D--的平面角为θ，所以222223131013cos,4||||3121(3)3n mn mn m⨯+⋅〈〉===⎛⎫++⨯+⎪⎝⎭，所以2115sin 144θ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以二面角P CE D --的正弦值为15. 【点睛】本题考查空间向量求二面角，考查证明点共面，考查学生的空间想象能力以及计算能力，熟记定理和公理是解决立体几何证明的关键，本题属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是32，短轴长为2，A ，B 分别是E的左顶点和下顶点，O 为坐标原点. （1）求E 的标准方程；（2）设点M 在E 上且位于第一象限，ABM 的两边BM 和AM 分别与x 轴、y 轴交于点C 和点D ，求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）21-. 【解析】（1）先由短轴长得b ，再根据条件列,a c 关系，计算即得结果；（2）先数形结合可知CDM 的面积是ABM 面积减去四边形ABCD 的面积S ，分别计算S 为定值和ABM 面积最大值即求得CDM 的面积最大值. 【详解】解：（1）因为椭圆E 的离心率32c e a ==，短轴长为2，所以1b =. 又因为222a b c =+，解得2,3a c ==.故椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）如图所示，设点()()0000,02,01,(,0),(0,)M x y x y C m D n <<<<.(2,0)A -，且A ，D ，M 三点共线，0022y nx ∴=+，得00202y n x =>+，又()0,1B -所以00000222||1122y x y BD n x x ++==+=+=++， 同理得00022||1x y AC y ++=+，又AC BD ⊥，因此四边形ABCD 的面积1||||2S AC BD =⋅00000012222221x y x y x y ++++=⋅⋅++()()()2000022221x y x y ++=++()22000000000044484222x y x y x y x y x y +++++=+++.又因为点()00,M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，即220044x y +=，代入上式得()0000000044882222x y x y S x y x y +++==+++.设过点M 且与直线AB 平行的直线l 的方程为1(0)2y x t t =-+>， 当l 与椭圆相切时，M 到AB 的距离d 最大，为两平行线之间的距离，得ABM 面积最大.联立221,21,4y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得222220x tx t -+-=，所以()22(2)4220t t ∆=--=，解得t =.所以直线l的方程为20x y +-=，即min d =所以()max 112ABM S==+. 所以CDM的面积的最大值为(121+-=.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了椭圆中三角形面积的最值问题，属于中档题.21．已知函数22()(, 2.718)xx a f x a R e e-+=∈=.（1）求()f x 的单调区间.（2）若()f x 在区间21,1a e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，证明：1111a a a +>-+. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）首先求函数的导数，再分1a ≤和1a >两种情况讨论求函数的单调区间；（2）结合题意分析可知1a a e -<+，由1x e a >+，可证明1111a a a +>-+，再利用分析法转化为证明11111a e a a -+>+-+，通过构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】 （1）解：由题意，()222222()x x x x a x x a f x e e --+-++-'==， 令2()22,44g x x x a a =-++-∆=-.①当1a 时，0∆，此时()0f x '，函数()f x 在R 上单调递减；②当1a >时，>0∆，令()0g x =，则11x =21x =，当(,1x ∈-∞-时，()0f x '<，所以()f x 单调递减，当(1x ∈-+时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，当(1)x ∈++∞时，()0f x '<，所以()f x 单调递减.综上所述，当1a 时，函数()f x 的单调递减区间为R ，无单调递增区间；当1a >时，函数()f x 的单调递减区间为(,1-∞-和(1)++∞，单调递增区间为(1+.（2）证明：由（1）知1a >，因为(1)0g >，所以210a g e -⎛⎫+< ⎪⎝⎭，得1a a e -<+， 要证1111a a a +>-+，只需证11111a e a a -+>+-+. 对于函数()1x h x e x =--，有()1x h x e '=-.因为()h x '在R 上单调递增，且(0)0h '=， 所以()h x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h =，即不等式1x e x +恒成立，当且仅当0x =时“=”成立，故当1a >时，1a e a >+，即11a e a ->+①. 因为1a a e -<+且1a >，所以1a a e --<， 可得11a e a >-，所以111e a >>-②. 由①+②得，11111a e a a -+>+-+， 故1111a a a +>-+得证. 【点睛】本题考查导数与函数的综合应用，重点考查转化思想，逻辑推理能力，计算能力，属于难题，本题的难点是第二问，需构造函数()1xh x e x =--，通过分析函数的性质，以及转化变形，证明不等式. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,12sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，a R ∈）. （1）若1a =，求1C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos 4sin 10ρθρθ+-=，若1C 与2C 相切，求实数a 的值.【答案】（1）22(1)(1)4x y -+-=；（2）73a =或133a =-. 【解析】（1）消去参数θ，直接可得曲线1C 的普通方程；（2）将参数方程，极坐标方程都化为普通方程，由直线与圆相切列方程即可得a 值.【详解】（1）当1a =时，曲线1C 的参数方程为12cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），消去θ， 所以22(1)(1)4x y -+-=；（2）曲线1C 的参数方程为2cos ,12sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）， 消去θ可得22()(1)4x a y -+-=，所以曲线1C 是圆心为(,1)a ，半径为2的圆，曲线2C 的极坐标方程为3cos 4sin 10ρθρθ+-=，可化为3410x y +-=， 若1C 与2C 相切，则1C 的圆心到2C 的距离等于1C 的半径，即2d ==， 解得：73a =或133a =-. 【点睛】 本题考查参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查直线与圆的位置关系，考查了转化与化归的思想.23．已知函数()2123f x x x =-++.（1）求不等式21239x x -++≤的解集；（2）若关于x 的方程2()30f x k k -+=有实数解，求实数k 的取值范围.【答案】（1）11744x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{1k k ≤-或}4k ≥. 【解析】（1）分类讨论法去绝对值、解不等式组、求并集即可；（2）将问题转化为方程()f x =23k k -有解，再根据绝对值三角不等式求最小值，列不等式求解，即可得答案.【详解】（1）原不等式等价于12(21)(23)9x x x ⎧>⎪⎨⎪-++≤⎩或3122(21)(23)9x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--++≤⎩或32(21)(23)9x x x ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩ 解得1724x <≤或3122x -≤≤或11342x -≤<-， 所以不等式的解集为11744x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）因为212321234x x x x -++≥---=，方程2()30f x k k -+=有解，关于x 的方程2()30f x k k -+=有实数解，只需234k k -≥，解得1k ≤-或4k ≥.所以实数k 的取值范围为{1k k ≤-或}4k ≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，方程有解问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.。
河北省衡水市2021届新高考数学一模考试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案. 【详解】 由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题. 2．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-【答案】A 【解析】 【分析】求导得到'()xf x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=.故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：A . 【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+， 所以()()()()1232020f f f f ++++=()()()()12341f f f f +++=.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.4．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题 文(含解析)
河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}6A x N x =∈<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B 中元素的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】用列举法依次表示出集合,A B ，再求出交集，再判断元素个数． 【详解】解：∵{}6A x N x =∈<， ∴{}0,1,2,3,4,5A =， 又{}2,xB y y x A ==∈， ∴{}1,2,4,8,16,32B =， ∴{}1,2,4AB =，有3个元素，故选：C ．【点睛】本题主要考查用列举法表示集合，考查集合的交集运算，属于基础题． 2.已知复数z 满足z （1+i ）＝1+3i ，其中i 是虚数单位，设z 是z 的共轭复数，则z 的虚部是（ ） A. i B. 1C. ﹣iD. ﹣1【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数代数形式的除法运算求出z ，再根据共轭复数的定义写出z ，从而得出z 的虚部． 【详解】解：∵()113z i i +=+，∴131i z i +==+()()()()13111i i i i +-+-422i+=2i =+，∴2z i =-，则z 的虚部为1-，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的定义及复数的虚部，属于易错题．3.等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，若a 2，a 4是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +2＝0的两个根，则S 5＝（ ） A. 5 B. 10C. 12D. 15【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理得244a a +=，再利用等差数列的性质即可得出结论．【详解】解：∵24,a a 是关于x 的一元二次方程2420x x -+=的两个根， ∴由韦达定理得244a a +=， 由等差数列的性质得，1524324a a a a a +=+==，∴544210S =++=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的性质与前n 项和的计算，属于基础题．4.若f （x ）＝e x +ae ﹣x 是定义在R 上的奇函数，则曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是（ ） A. y ＝﹣x B. y ＝xC. y ＝﹣2xD. y ＝2x【答案】D 【解析】 【分析】由函数()f x 是定义在R 上的奇函数得(0)0f =，求出函数()f x 的解析式，再求出'()f x ，从而可求出切线方程．【详解】解：∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)10f a =+=，得1a =-， ∴()xxf x e e -=-， ∴'()xxf x e e-=+，∴(0)0f =，'(0)2f =，∴曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为2y x =， 故选：D ．【点睛】本题主要考查奇函数的定义及性质，考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方程，属于基础题．5.已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ） A.1122-sin 1 B.1122-cos 1 C.1122-sin 12D.1122-cos 12【答案】A 【解析】 【分析】由题意先求出圆心角，再求出扇形的面积和△OAB 的面积，从而得出结论． 【详解】解：设O 的半径为r ，劣弧所对的圆心角为α，弧长为l ，由弧长公式l r α=得111l r α===， ∴弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积211sin 22S lr r α=-11sin122=-， 故选：A ．【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，考查三角形的面积公式，属于基础题．6.某校为提高学生的身体素质，实施“每天一节体育课”，并定期对学生进行体能测验在一次体能测验中，某班甲、乙、丙三位同学的成绩（单位：分）及班内排名如表（假定成绩均为整数）现从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位，这两位同学成绩相同的概率是（ ）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得出成绩为95分的有2人，94分的有3人，本题是古典概型，求出事件包含的基本事件数以及基本事件的总数，从而求出答案．【详解】解：由表格可知，该班成绩为95分的有2人，94分的有3人， ∴从这5名同学中随机抽取2名同学， 基本事件总数为2554102C ⨯==， 这两位同学成绩相同包含的基本事件数是2223134C C +=+=，∴这两位同学成绩相同的概率420.4105p ===， 故选：B ．【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，考查排列、组合问题，属于基础题．7.已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左，右焦点分别为F 1，F 2，若以F 1F 2为直径的圆和曲线C 在第一象限交于点P ，且△POF 2恰好为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A.13+ B.15+ C. 13+ D. 15+【答案】C 【解析】 【分析】先设12||2F F c =，由题意知△12F F P 是直角三角形，利用且2POF ∆恰好为正三角形，求出1||PF 、2||PF ，根据双曲线的定义求得a ，c 之间的关系，则双曲线的离心率可得．【详解】解：连接1PF ， 设12||2F F c =，则由题意可得12PF F ∆是直角三角形，由2POF ∆恰好为正三角形得，2160PF F ︒∠=，∴2||PF c =，∴221||43PF c c c =-=， 12||||32PF PF c c a ∴--=，3131c e a ∴===-． 故选：C ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质．考查数形结合的思想的运用，属于基础题． 8.某校高一组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕”“采摘““酿酒”野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同．已知1班不选“农耕”“采摘”；2班不选“农耕”“酿酒”；如果1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”；3班既不选“野炊”，也不选“农耕”；5班选择“采摘”或“酿酒”则选择“饲养”的班级是（ ） A. 2班B. 3班C. 4班D. 5班【答案】B 【解析】 【分析】本题的关键是找出1，2，3，5班都不选农耕，则只有4班选农耕，再根据逆否命题的真假性，可得1班选酿酒，所以5班只有选采摘，逐一选择可得出结果． 【详解】解：由题意，1，2，3，5班都不选农耕，则只有4班选农耕， 根据逆否命题，1班选酿酒，所以5班只有选采摘， 只剩下“野炊”和“饲养”， 因3班既不选“野炊”， 故选择“饲养”的班级是3班． 故选：B ．【点睛】本题主要考查合情推理能力，以及逆否命题的真假性的判断能力，属于基础题．9.下列关于函数()2221f x cos x x =-的说法，正确的是（ ）A. 3x π=是函数f （x ）的一个极值点B. f （x ）在区间[0，2π]上是增函数 C. 函数f （x ）在区间（0，π）上有且只有一个零点512π D. 函数f （x ）的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移12π个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【分析】先化简函数解析式，然后再逐一判断选项即可．【详解】解：函数2()2cos 21f x x x =-cos 22x x =+2sin(2)6x π=+，当3x π=时，12sin(2)62x π+=，所以3x π=不是函数()f x 的一个极值点，所以A 不正确；当6x π=时，函数()f x 取得最大值，所以函数在区间[0,]2π上不是增函数，所以B 不正确；由2sin(2)06x π+=得2,6x k k Z ππ+=∈，则,212k x k Z ππ=-∈，所以在区间(0,)π上有两个零点512π，1112π，所以C 不正确； 由函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到2sin(2())2sin(2)126y x x ππ=+=+，所以D 正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的简单性质的应用，属于基础题． 10.瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V 、棱数E 及面数F 满足等式V ﹣E +F ＝2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正六边形面料构成的．20世纪80年代，化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列出全世界最小的一颗“足球”，称为“巴克球（Buckyball ）”．则“巴克球”的顶点个数为（ ）A. 180B. 120C. 60D. 30【答案】C 【解析】 【分析】设巴克球顶点数V 、棱数E 及面数F ，计算出面数和棱数即可求出顶点数． 【详解】解：依题意，设巴克球顶点数V 、棱数E 及面数F ， 则201232F =+=，每条棱被两个面公用，故棱数512620902E ⨯+⨯==，所以由2V E F -+=得：90322V -+=，解得60V =． 故选：C ．【点睛】本题为阅读型题目，计算出棱数是解决问题的关键，属于基础题．11.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 是线段AC 1上的点，且AE ＝EF ＝FC 1，分别过点E ，F 作与直线AC 1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（ ） A.13B.12C.23D.34【答案】C 【解析】 【分析】构造平面1A BD ，平面11CB D ，设正方体边长为1，根据等体积法计算A 到平面1A BD 的距离3h =，从而可得出E ，F 分别为1AC 与平面1A BD 和平面11CB D 的交点，计算中间几何体的体积得出答案． 【详解】解：构造平面1A BD ，平面11CB D ，则1AC ⊥平面1A BD ，1AC ⊥平面11CB D ， 设正方体边长为1，则112A B A D BD ===13AC =13AE EF FC ∴===， 11111111326A ABD CBCD V V --∴==⨯⨯=，设A 到平面1A BD 的距离为h ，则112131(2)36A AB D V h -==，解得3h ，E ∴∈平面1A BD ，同理可得F ∈平面11CB D ，∴正方体夹在平面α与β之间的部分体积为121263-⨯=，∴体积之比是23， 故选：C ．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．12.已知椭圆2211612x y C +=：的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上且异于长轴端点．点M ，N 在△PF 1F 2所围区域之外，且始终满足10MP MF ⋅=，20NP NF ⋅=，则|MN |的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14【答案】A 【解析】 【分析】设1PF ，2PF 的中点分别为C ，D ，则M ，N 在分别以C ，D 为圆心的圆上，直线CD 与两圆的交点(△12PF F 所围区域之外）分别为M ，N 时，||MN 的最大，可得||MN 的最大值为122PF PF CD a c ++=+即可． 【详解】解：设1PF ，2PF 的中点分别为C ，D ，10MP MF =，20NP NF =，则M ，N 在分别以C ，D 为圆心的圆上，∴直线CD 与两圆的交点(△12PF F 所围区域之外）分别为M ，N 时，||MN 最大， ∴||MN 的最大值为124262PF PF CD a c ++=+=+=， 故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知非零向量,a b 满足||||a b =，3a b b -=，则a 与b 的夹角为__________．【答案】120︒ 【解析】由题意，22223a b a b b +-⋅=，得222cos ,b a b b -=，所以1cos ,2a b =-， 所以夹角是120︒．14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_____．【答案】4． 【解析】 【分析】由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥P ABCD -，其中，PO ⊥底面ABCD ，ABCD 是正方形，边长为3，2PO =，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长． 【详解】解：由题意几何体的直观图如图，其中，PO ⊥底面ABCD ，ABCD 是正方形， 边长为3，2PO =，12AO AC =， 所以24(22)4PC =+=，2222213PB PD ==++=， 所以最长的棱长为4， 故答案为：4．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的直观图，考查四棱锥中最长棱的求法，属于基础题．15.已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，且2222a a bcosB b c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则b +c 的取值范围为_____．【答案】)+∞ 【解析】 【分析】根据已知等式和余弦定理，可推出cos cos B C =，即B C =，b c =，又知4a =，所以4b c +>；因为三角形ABC 是锐角三角形，所以角A 为锐角，cos (0,1)A ∈；由2222cos a b c bc A =+-，设b c x ==，用cos A 表示出x ，并求出x 的取值范围，进而得2b c x +=的取值范围．【详解】解：4a =，且222(cos )2aa b B b c -+=，2222cos a ab B b c ∴-+=，即2222cos a b c ab B +-=，又由余弦定理可得2222cos a b c ab C +-=，∴可得2cos 2cos ab B ab C =，即cos cos B C =，B C ∴=，b c =，又A 为锐角，cos (0,1)A ∴∈， 4a =，4b c ∴+>，设b c x ==，由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，2221622cos 2(1cos )x x A x A ∴=-=-，∴2881cos x A=>-，∴x >2x >故b c +>故答案为：)+∞．【点睛】本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想，转化思想，属于中档题． 16.已知曲线y ＝|lnx |与直线y ＝m 有两个不同的交点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 1＜x 2），设直线l 1，l 2分别是曲线y ＝|lnx |在点P 1，P 2处的切线，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ．△P 2AB 为等边三角形，则实数m 的值为_____．【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质可得121=x x ，1201x x <<<，分别求得y lnx =和y lnx =-的导数，可得切线的斜率和切线的方程，以及A ，B 的坐标，可得等边三角形的边长，可得2x ，进而得到m 的值．【详解】解：由曲线|ln |y x =与直线y m =有两个不同的交点，可得12ln ln x x ，即有121=x x ，1201x x <<<，由ln y x =-的导数为1y x'=-，可得切线1l 的斜率为11x -，切线的方程为1111(ln )()y x x x x --=--， 令0x =得11ln y x =-，即1(0,1ln )A x -， 由ln y x =的导数为1y x'=，可得切线2l 的斜率为121x x =，切线的方程为212ln ()y x x x x -=-，令0x =得2121ln ln 1y x x x x =-=--，即1(0,ln 1)B x --，则||2AB =， 由△2P AB为等边三角形，可得223x ==，则2|ln |m x ==故答案为：．【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，考查直线方程的运用，属于中档题． 三、解答題：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分．17.端午节是中国传统节日之一节日期间，各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响．某记者走访市场发现，各大商场粽子种类繁多，价格不一根据数据统计分析，得到了某商场不同种类的粽子销售价格（单位：元/千克）的频数分布表，如表一所示． 表一：在调查中，记者还发现，各大品牌在馅料方面还做足了功课，满足了市民多样化的需求除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽，很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内，记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查，结果如表二． 表二：（1）根据表一估计该商场粽子的平均销售价（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据表二信息能否有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关？参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（其中 n a b c d =+++为样本容量）【答案】（1）该商场粽子的平均销售价为21.25元/千克（2）有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关 【解析】 【分析】（1）根据表一的数据计算平均数即可；（2）根据表二信息计算观测值，对照临界值即可得出结论． 【详解】解：（1）根据表一的数据，1(12.5417.51222.51627.5632.52)21.2540x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 估计该商场粽子的平均销售价为21.25； （2）根据表二信息，22100(3055015)1009.091 3.8418020455511K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关．【点睛】本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题，属于基础题． 18.已知{a n }是等比数列，318a =，且123116a a a +，，成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设121121222n n n b log a log a -+=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【答案】（1）a n ＝（12）n （2）221nn + 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，可得首项和公比q 的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得2(21)(21)n b n n =-+112121n n =--+，再由数列的裂项相消求和．【详解】解：（1）设{}n a 是公比为q 的等比数列，318a =，且1231,,16a a a +成等差数列，可得2118a q =，13212()16a a a +=+，即211112()16a a q a q +=+， 解得112a q ==， 则111()2n n n a a q -==；（2）121121222(log )(log )n n n b a a -+=21211122211()()22n n log log -+=2(21)(21)n n =-+112121n n =--+， ∴1111335n T =-+-+⋯112121n n +--+1121n =-+221n n =+．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，E 为CD 的中点连接AE 交BD 于G ，点F 在侧棱PD 上，且DF 13=PD ．（1）求证：PB ∥平面AEF ； （2）若24cos BPA ∠=E ﹣PAD 的体积． 【答案】（1）证明见解析（23【解析】 【分析】（1）以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明//PB 平面AEF ；（2）求出(0,1,)PA a =--，(3,0,)PB a =-，由2cos 4BPA ∠=，求出1PO =，三棱锥E PAD -的体积E PAD P ADE V V --=，由此能求出结果．【详解】（1）证明：四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，E 为CD 的中点连接AE 交BD 于G ，点F 在侧棱PD 上，且13DF PD =，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PO a =，则(0,0,)P a ，(0,1,0)A -，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,0,0)D -，31(,0)2E ，23()3aF ， (3,0,)PB a =-，33(,0)2AE =-，23()3aAF =， 设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，则33·02223·033n AE x y a n AF x y z ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩，取3x =3(3,1,)n a =，3030PB n =+-=，PB ⊂/平面AEF ， //PB ∴平面AEF ；（2）解：(0,1,)PA a =--，(3,0,)PB a =-，2cos 4BPA ∠=，∴22||2||||13PA PB PA PB a a==+ 由0a >，解得1a =，1PO ∴=， 三棱锥E PAD -的体积：13E PAD P ADE ADE V V S PO --∆==⨯⨯111322CD AE AO =⨯⨯⨯⨯⨯11241162=⨯-⨯3【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 20.已知函数()xf x ae x a =--（e 为自然对数的底数）. (1)求函数()f x 的极值；(2)问：是否存在实数a ,使得()f x 有两个相异零点？若存在,求出a 的取值范围；若不存在,请说明理由.【答案】(1) ①当0a ≤时，函数()f x 无极值.②当0a >时,函数()f x 有极小值为(ln )ln 1f a a a -=-+,无极大值；(2)存在,(0,1)(1,)a ∈+∞【解析】 【分析】(1)对函数()f x 求导,根据a 的不同取值范围,进行分类讨论,求出函数()f x 的极值； (2)根据a 的不同取值范围,进行分类讨论,结合(0)0f =、函数的极值的大小、(1)中的结论,最后求出a 的取值范围.【详解】解：(1)因为()x f x ae x a =--,所以()1xf x ae '=-.①当0a ≤时，()10xf x ae '=-<，所以(,)x ∈-∞+∞时,()0f x '<,所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减. 此时，函数()f x 无极值.②当0a >时,令()10xf x ae '=-=，得ln x a =-, 当(,ln )x a ∈-∞-时,()0f x '<,所以函数()f x (,ln )a -∞-上单调递减；当(ln ,)x a ∈-+∞时,()0f x '>,所以函数()f x 在(ln ,)a -+∞上单调递增. 此时,函数()f x 有极小值为(ln )ln 1f a a a -=-+,无极大值. (2)存在实数a ,使得()f x 有两个相异零点.由(1)知：①当0a ≤时,函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减； 又(0)0f =,所以此时函数()f x 仅有一个零点； ②当01a <<时，ln 0a ->因为(0)0f =,则由（1）知(ln )0f a -<； 取1(2ln )2ln (01)f a a a a a -=+-<<,令1()2ln g a a a a=+-, 易得22212(1)()10a g a a a a-'=-+-=-<,所以()g a 在(0,1)单调递减,所以()(1)0g a g >=,所以1(2ln )2ln 0f a a a a-=+->. 此时,函数()f x 在(ln ,2ln )a a --上也有一个零点. 所以,当01a <<时,函数()f x 有两个相异零点. ③当1a =时,ln 0a -=,()(0)0f x f ≥=， 此时函数()f x 仅有一个零点.④当1a >时,ln 0a -<,因为(0)0f =,则由(1)知(ln )0f a -<； 令函数()ln (1)h a a a a =->,易得1()10(1)h a a a'=->>, 所以()(1)0h a h >=所以ln a a >,即ln a a -<-. 又()0af a ae--=>,所以函数()f x 在(,ln )a a --上也有一个零点,所以,当1a >时,函数()f x 有两个相异零点. 综上所述,当(0,1)(1,)a ∈+∞时,函数()f x 有两个相异零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点问题,考查了分类讨论思想.21.已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），直线l 交C 于A ，B 两点，且A ，B 两点与原点不重合，点M （1，2）为线段AB 的中点．（1）若直线l 的斜率为1，求抛物线C 的方程；（2）分别过A ，B 两点作抛物线C 的切线，若两条切线交于点S ，证明点S 在一条定直线上． 【答案】（1）x 2＝2y （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）设直线l方程为y x t =+，代入抛物线方程，消去y ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得p ，即可得到所求抛物线方程；（2）求得22x y p=的导数，可得抛物线在A ，B 处的切线的斜率，由点斜式方程和点A ，B满足抛物线方程，可得在A ，B 处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点S 所在的定直线方程．【详解】解：（1）设直线l 的方程为y x t =+，代入抛物线2:2(0)C x py p =>，可得2220x px pt --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x p +=，点(1,2)M 为线段AB 的中点，可得22p =，即1p =， 则抛物线的方程为22x y =；（2）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，点(1,2)M 为线段AB 的中点， 可得122x x +=，124y y +=，由22x y p=的导数为x y p '=，可得抛物线在A 处的切线斜率为1x p ，切线方程为111()x y y x x p-=-， 由2112x py =，可得11()x x p y y =+，①同理可得22()x x p y y =+，②①+②可得1212()(2)x x x p y y y +=++， 即为2(24)x p y =+，即20x py p --=． 可得交点S 在一条定直线20x py p --=上．【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第2223题中任选一题作答．如果多做则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为412x ty m t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为（ρ﹣2cosθ）2＝5﹣4sin 2θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相切，求m 的值．【答案】（1）直线l 的普通方程为x +2y ﹣4﹣2m ＝0；曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0（2）m 32=或72- 【解析】 【分析】（1）由消参法可得直线的普通方程；由222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入化简可得曲线C 的直角坐标方程；（2）求得曲线C 表示的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件：d r =，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求值．【详解】解：（1）直线l 的参数方程为412x t y m t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，(t 为参数）， 可得24242x y t m t m +=-++=+， 即直线l 的普通方程为2420x y m +--=， 曲线C 的极坐标方程为22(2cos )54sin ρθθ-=-， 即为2224cos 4cos 54sin ρρθθθ-+=-， 由222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得22410x y x +--=；（2）由（1）可得曲线C 表示以(2,0)由直线l 与曲线C 相切，可得圆心到直线的距离为半径，=32m =或72-． 【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化，考查直线和圆相切的条件，考查化简运算能力，属于中档题． 23.已知函数f （x ）＝|x +4m|+|x +2m +1﹣3|． （1）当m ＝1时，求不等式f （x ）≥7的解集； （2）试证明f （x ）≥2．【答案】（1）{x |x ≥1或x ≤﹣6}（2）证明见解析 【解析】 【分析】21 （1）将1m =代入()f x 中，然后将()f x 写为分段函数的形式，再根据()7f x 分别解不等式可得解集；（2）由绝对值三角不等式可得12()|(4)(23)||(21)2|2m m m f x x x ++-+-=-+，从而证明结论．【详解】解：（1）当1m =时，25,1()413,4125,4x x f x x x x x x +>-⎧⎪=+++=--⎨⎪--<-⎩．因为()7f x ，所以2571x x +⎧⎨>-⎩或2574x x --⎧⎨<-⎩， 所以1x 或6x -，所以不等式的解集为{|1x x 或6}x -；（2）证明：11()|4||23||(4)(23)|m m m m f x x x x x ++=+++-+-+-12|423||(21)2|2m m m +=-+=-+，当且仅当21m =，即0m =时取等号，所以()2f x ．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．。
河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题(解析版)
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【解析】
由 z 1 i ，得 z 1 i 1 i ，则 z 1 i 2 ．
1 z i
1 z
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的概念和复数的运算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.
3．某班级要从 6 名男生、3 名女生中选派 6 人参加社区宣传活动，如果要求至少有 2
A． 2
B．3
C． 2, 3
【答案】C 【思路分析】
先求出 A x 1 x 3 和 B 2,3, 4 ，再求 A B 即可解题.
【解析】
因为 A x x2 4x 3 0 ，所以 A x 1 x 3 ，
因为 B x Z 1 x 5 ，所以 B 2,3,4 ，
D．1, 2,3
绝密★启用前
河北省衡水中学 2021 届高三数学第一次联合考试试题
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题
1．设集合 A x x2 4x 3 0 ， B x Z 1 x 5 ，则 A B （ ）
期望为 20，则 p 的值为（ ）
1
A．
1
1 20
20
1
B．1
1 20
21
1
C．
1
1 21
20
1
D．
1
1 21
21
【答案】A
【思路分析】
第 3 页 共 22 页
先确定次数取值和对应的概率，再求数学期望建立方程求 p 的值. 【解析】 若合并检测，检测次数取值为 1，21，
(全国卷)河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题.doc
（全国卷）河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合A ＝{}2430x x x -+≤，B ＝{}15x Z x ∈<<，则AB ＝A ．{2}B ．{3}C ．{2，3}D ．{1，2，3} 2．若复数1i z =-，则1zz-＝A ．1BC ．D ．43．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为A ．19B ．38C ．55D ．654．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2021项中，偶数的个数为 A ．505 B ．673 C ．674 D ．1010 5．已知非零向量a ，b 满足a b =，且2a b a b +=-，则a 与b 的夹角为A ．23π B ．2π C ．3π D ．6π 6．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p ，且检测次数的数学期望为20，则p 的值为A ．12011()20- B ．12111()20- C ．12011()21- D ．12111()21-7．已知未成年男性的体重G （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的关系可用指数模型G ebxa =来描述，根据大数据统计计算得到a ＝2.004，b ＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm ，体重为17.5kg ．预测当他体重为35kg 时，身高约为(ln2≈0.69) A ．155cm B ．150cm C ．145cm D ．135cm8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，点N 在侧面ADD 1A 1内，若BM ⊥A 1N ．则△ABN 面积的最小值为A ．5 B ．5C ．1D ．5 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知3cos()55πα+=，则3sin(2)5πα-＝ A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．242510．已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点，则下列说法定正确的是A ．AB 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线x ＝﹣1相切C ．12x x 为定值D ．若M(﹣1，0)，则∠AMF ＝∠BMF 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，则A ．(4)()f x f x +=B ．()f x 在区间(﹣2，0)上单调递增C ．()f x 有最大值D ．()sin2xf x π=是满足条件的一个函数12．若存在实数t ，对任意的x ∈(0，s ]，不等式2(2)(1)0x x t t x ----≤恒成立．则s的值可以为A ．12 B ．12C ．32-D ．32+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知F 1，F 2为双曲线2214y x -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，且12PF 2PF =，则△PF 1F 2的面积为 ．14．已知实数a ，b ∈，+∞)，且满足2211ln b a b a->，则a ，b 是 ．15．数学多选题有A ，B ，C ，D 四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全都选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分，已知某道数学多选题正确答案为B ，D ，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 ．16．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥AB ，PA ＝4，AB ＝3，二面角P —AB —C 的大小为30°，在侧面△PAB 内（含边界）有一动点M ，满足M 到PA 的距离与M 到平面ABC 的距离相等，则M 的轨迹的长度为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①对任意n ＞1，满足112(1)n n n S S S +-+=+，②12n n n S S a +-=+，③1n n S na +=-(1)n n +这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =， ，若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；若数列{}n a 不一定是等差数列，说明理由．（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）18．（本小题满分12分）振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下：于3），试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x 的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X~N(70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．附：若X~N(μ，2σ)，则P(x μσμσ-<≤+)≈0.68，P(22x μσμσ-<≤+)≈0.96． 19．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OB ·sin ∠ABD ＝OD ·sin ∠ADB ，∠ABC ＝3π，AB ＝3BC ＝3． （1）求sin ∠DAC ；（2）若∠ADC ＝23π，求四边形ABCD 的面积．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，平面PAC ⊥底面ABCD ，PA ＝PC ＝AC ． （1）证明：AC ⊥PB ；（2）若PB 与底面所成的角为45°，求二面角B —PC —A 的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，并且经过点(0，1)，离心率为32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，求△OMD 面积的最大值，并求此时点D 的坐标． 22．（本小题满分12分）已知函数1()ln e x x f x x x -=-．（1）求函数()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）证明：（i ）()2f x <；（ii ）任意N n *∈，1e (2ln )n n n n -<-．。
河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试数学试题 含答案
河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合A ＝{}2430x x x −+≤，B ＝{}15x Z x ∈<<，则AB ＝A ．{2}B ．{3}C ．{2，3}D ．{1，2，3} 2．若复数1i z =−，则1zz−＝A ．1BC ．D ．43．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为A ．19B ．38C ．55D ．654．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2020项中，偶数的个数为 A ．505 B ．673 C ．674 D ．1010 5．已知非零向量a ，b 满足a b =，且2a b a b +=−，则a 与b 的夹角为A ．23π B ．2π C ．3π D ．6π 6．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p ，且检测次数的数学期望为20，则p 的值为A ．12011()20− B ．12111()20− C ．12011()21− D ．12111()21−7．已知未成年男性的体重G （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的关系可用指数模型G ebxa =来描述，根据大数据统计计算得到a ＝2.004，b ＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm ，体重为17.5kg ．预测当他体重为35kg 时，身高约为(ln2≈0.69)A ．155cmB ．150cmC ．145cmD ．135cm8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，点N 在侧面ADD 1A 1内，若BM ⊥A 1N ．则△ABN 面积的最小值为A B C ．1 D ．5二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知3cos()55πα+=，则3sin(2)5πα−＝ A ．2425−B ．1225−C ．1225D ．2425 10．已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点，则下列说法定正确的是A ．AB 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线x ＝﹣1相切C ．12x x 为定值D ．若M(﹣1，0)，则∠AMF ＝∠BMF 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，则A ．(4)()f x f x +=B ．()f x 在区间(﹣2，0)上单调递增C ．()f x 有最大值D ．()sin2xf x π=是满足条件的一个函数12．若存在实数t ，对任意的x ∈(0，s ]，不等式2(2)(1)0x x t t x −−−−≤恒成立．则s 的值可以为A ．12 B ．12 C ．32 D ．32三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知F 1，F 2为双曲线2214y x −=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，且12PF 2PF =，则△PF 1F 2的面积为 ．14．已知实数a ，b ∈+∞)，且满足2211ln ba b a−>，则a ，b 的大小关系是 ． 15．数学多选题有A ，B ，C ，D 四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全都选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分，已知某道数学多选题正确答案为B ，D ，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 ．16．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥AB ，PA ＝4，AB ＝3，二面角P —AB —C 的大小为30°，在侧面△PAB 内（含边界）有一动点M ，满足M 到PA 的距离与M 到平面ABC 的距离相等，则M 的轨迹的长度为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①对任意n ＞1，满足112(1)n n n S S S +−+=+，②12n n n S S a +−=+，③1n n S na +=−(1)n n +这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =， ，若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；若数列{}n a 不一定是等差数列，说明理由．（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）18．（本小题满分12分）振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下：（1）若去掉[70，80)内的所有数据，则件数的平均数减少2到3（即大于等于2，且小于3），试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x 的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X~N(70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．附：若X~N(μ，2σ)，则P(x μσμσ−<≤+)≈0.68，P(22x μσμσ−<≤+)≈0.96．19．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OB ·sin ∠ABD ＝OD ·sin ∠ADB ，∠ABC ＝3π，AB ＝3BC ＝3．（1）求sin ∠DAC ； （2）若∠ADC ＝23π，求四边形ABCD 的面积． 20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，平面PAC ⊥底面ABCD ，PA ＝PC ＝AC ．（1）证明：AC ⊥PB ；（2）若PB 与底面所成的角为45°，求二面角B —PC —A 的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，并且经过点(0，1)． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，求△OMD 面积的最大值，并求此时点D 的坐标．22．（本小题满分12分）已知函数1()ln ex x f x x x −=−．（1）求函数()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）证明：（i ）()2f x <；（ii ）任意N n *∈，1e (2ln )n n n n −<−．。
2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试(全国卷)数学(文)试题(解析版)
B． 为定值
C． 的最大值为
D．当 为直径时，四边形 面积的最大值为16
【答案】B
【解析】利用对称性可求得 的最小值，判断选项A；利用平面向量基本定理和数量积的定义判断选项B；利用圆的切线的性质判断选项C；利用梯形中位线可得 ，即当 最长时，四边形 的面积最大．
【详解】
设 ，则N关于l对称的点为 ，所以 的最小值为 ，故A正确； 不是定值，故B错误；当 最小，且当 为圆O的切线时， 最大，此时 ，故C正确；在四边形 中， ，且 .因此，当 最长，即 时面积最大，最大值为16，故D正确
【详解】
因为函数 与 的图象关于直线 对称， ，所以 ， 所以 的图象如图所示.
方程 可化为 ，即求函数 与 的图象的交点个数.
当 时， 的图象恒过点 ，此时有两个交点；
当 时， 与 的图象有一个交点；
当 时，设斜率为 的直线与 的切点为 ，由斜率 ，所以 ，所以切点为 ，此时直线方程为 ，即 ，所以直线 与 恰好相切，有一个交点.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求出角 的终边经过点 ，进而求出 ，然后利用倍角公式进行求解即可
【详解】
因为角 的终边经过点
即角 的终边过点 ，
所以 ，
所以 .
故选:A
【点睛】
本题考查倍角公式的使用，主要考查学生的运算能力，属于基础题
4．函数 的部分图象大致是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据函数值的分布判断选项.
【详解】
函数 是奇函数， 是偶函数，所以函数 为奇函数，函数图象关于原点对称，排除A，C；当 时， ，排除D.
河北省衡水中学2021届高三数学第一次教学质量检测试题 理(含解析)
河北省衡水中学2021届高三数学第一次教学质量检测试题 理（含解析）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A. {}1,3- B. {}1,0 C. {}1,3 D. {}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C 2.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ） A. 1i + B. 1i -- C. 1i -+ D. 1i -【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=，故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A. 1033 B. 1053 C. 1073D. 1093【答案】D 【解析】 试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.4.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.82(log 5.1),(2),(3)a g b g c g =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D.b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数()f x 在R 上是增函数可得()g x 为偶函数且在[)0,+∞上为增函数，从而可判断,,a b c 的大小.【详解】()g x 的定义域为R .()()()()()g x xf x x f x xf x g x -=--=--==⎡⎤⎣⎦，故()g x 为偶函数.因为()f x 为R 上的奇函数，故()00f =，当0x >时，因为()f x 为R 上的增函数，故()()00f x f >=.设任意的120x x ≤<，则()()120f x f x ≤<，故()()1122x f x x f x <， 故()()12g x g x <，故()g x 为[)0,+∞上的增函数，所以 ()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，而0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，故()()()0.823log 5.12g g g >>，所以c a b >>.故选C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.5.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ）A. {}|10x x -<≤B. {}|11x x -≤≤C. {}|11x x -<≤D. {}|12x x -<≤【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，故选C ．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．6.设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.7.（2021新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A. π B.3π4 C.π2D. π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==， 结合勾股定理，底面半径221312r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π4V r h ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.8.（2021新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C 4 D. 8【答案】C 【解析】 设公差为d，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.9.设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过非零向量,m n 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<，而λ=m n 不成立，可判断出结论. 【详解】解：,m n 为非零向量，存在负数λ，使得λ=m n ，则向量,m n 共线且方向相反，可得0m n ⋅<.反之不成立，非零向量,m n 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<，而λ=m n 不成立.∴,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是0m n ⋅<”的充分不必要条件.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B （－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B （－6，－3）处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.11.已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y n n-=>的焦点重合，1e 、2e 分别为1C 、2C 的离心率，则（ ） A. m n >且121e e > B. m n >且111e e < C. m n <且121e e > D. m n <且121e e <【答案】A【分析】根据椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合得出222m n -=，可得出m 、n 的大小，再由离心率公式可得出12e e 与1的大小关系，进而可得出结论.【详解】由于椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合，则2211m n -=+，则2220m n -=>，1m >，0n >，m n ∴>.211m e m -==2e n ==，121e e ∴====>， 故选：A.【点睛】本题考查利用椭圆和双曲线的焦点求参数的大小关系，同时也考查了两曲线的离心率之积的问题，考查计算能力，属于中等题. 12.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）．A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e-=--，故()()212x f x x x e--'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 . 【答案】7 【解析】 由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个 考点：三角函数图像14.如图，三棱锥A BCD -中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________．【答案】78【解析】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.15.在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3- 【解析】 曲线2b y ax x=+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,{2,a b =-=-所以3a b +=-．【考点】导数与切线斜率．16.如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （在的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③2NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）①②③ 【解析】 （Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为．（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方， 所以，， 令直线的方程为，此时，，所以，，，因为，，所以NAMA NBMB=．所以2221(21)22222NB MA NA MB -==-=-+， 222121222222NB MA NAMB+==+=-+ 正确结论的序号是①②③．考点：圆的标准方程，直线与圆的位置关系．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18. 某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高. 【答案】（1）25；（2）0.016. 【解析】 试题分析：解题思路：（1）通过茎叶图得出数据即可求解；（2）观察频率直方图中的各个矩形的高与面积即可.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出.试题解析：(1)分数在[50,60)的频率为0.00810＝0.08，由茎叶图知：分数在 [50,60)之间的频数为2， 所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中 [80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016. .考点：1.茎叶图；2.频率直方图.19.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点.(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小.【答案】（1）30；（2）60【解析】试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,从而求出∠CBP的大小. (2)第（2）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解.试题解析：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)方法一：如图，取EC的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC223213+=取AG 的中点M ，连接EM ，CM ，EC ， 则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC 为所求二面角的平面角． 又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13123-=. 在△BEC 中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC ＝23，所以△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°. 方法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz.由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(133)，C(－13，0)， 故AE ＝(2,0，－3)，AG ＝(13，0)，CG ＝(2,0,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，由00m AE m AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得111123030x z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(332)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得222230230x y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(332)．所以cos 〈,m n 〉＝||||m n m n ⋅＝12.故所求的角为60°.点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，务必仔细认真.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>以抛物线28y x =的焦点为顶点，且离心率为12.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP OA OB =+（其中O 为坐标原点），试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，且定点T 的坐标为()1,0-. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标可得出a 的值，由椭圆E 的离心率可得c 的值，进而可得出b 的值，由此可求得椭圆E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出点P 的坐标，由点P 在椭圆E 上得出22443m k =+，并求出点Q 的坐标，设点(),0T t ，计算出OP TQ ⋅，由OP TQ ⋅为定值求出t ，由此可求得定点T 的坐标. 【详解】（1）抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，由题意可知2a =，且12c e a ==，1c ∴=，则b == 因此，椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2224384120k x kmx m +++-=，由韦达定理得122843kmx x k +=-+，则()121226243m y y k x x m k +=++=+，()12122286,,4343km m OP OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭，即点2286,4343kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由于点P 在椭圆E 上，则222281611434433km m k k ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22443m k =+，联立4y kx m x =+⎧⎨=-⎩，得44x y m k =-⎧⎨=-⎩，则点()4,4Q m k --，设在x 轴上是否存在一点(),0T t ，使得OP TQ ⋅为定值，()4,4TQ t m k =---，()()()22284642188634342km t m m k k t ktm km m OP TQ k m m ++-+++⋅===++为定值， 则10t +=，得1t =-，因此，在x 轴上存在定点()1,0T -，使得OP TQ ⋅为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在定点满足某条件问题的求解，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.【答案】（1）a=1；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）通过分析可知f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，进而利用h ′（x ）＝a 1x-可得h （x ）min ＝h （1a），从而可得结论； （2）通过（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，记t （x ）＝f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，解不等式可知t （x ）min ＝t （12）＝ln 2﹣1＜0，从而可知f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2，利用f （x ）必存在唯一极大值点x 0及x 012＜可知f （x 0）14＜，另一方面可知f （x 0）＞f （1e）21e=． 【详解】（1）解：因为f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ＝x （ax ﹣a ﹣lnx ）（x ＞0），则f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，求导可知h ′（x ）＝a 1x-． 则当a ≤0时h ′（x ）＜0，即y ＝h （x ）在（0，+∞）上单调递减， 所以当x 0＞1时，h （x 0）＜h （1）＝0，矛盾，故a ＞0．因为当0＜x 1a ＜时h ′（x ）＜0、当x 1a＞时h ′（x ）＞0， 所以h （x ）min ＝h （1a），又因为h （1）＝a ﹣a ﹣ln 1＝0， 所以1a=1，解得a ＝1； 另解：因为f （1）＝0，所以f （x ）≥0等价于f （x ）在x ＞0时的最小值为f （1）， 所以等价于f （x ）在x ＝1处是极小值， 所以解得a ＝1；（2）证明：由（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，令f ′（x ）＝0，可得2x ﹣2﹣lnx ＝0，记t （x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，则t ′（x ）＝21x-， 令t ′（x ）＝0，解得：x 12=， 所以t （x ）在区间（0，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增， 所以t （x ）min ＝t （12）＝ln 2﹣1＜0，从而t （x ）＝0有解，即f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2，且不妨设f ′（x ）在（0，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+∞）上为正， 所以f （x ）必存在唯一极大值点x 0，且2x 0﹣2﹣lnx 0＝0，所以f （x 0）20x =-x 0﹣x 0lnx 020x =-x 0+2x 0﹣220x =x 020x -，由x 012＜可知f （x 0）＜（x 020x -）max 2111224=-+=； 由f ′（1e ）＜0可知x 0112e ＜＜， 所以f （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1e）上单调递减， 所以f （x 0）＞f （1e ）21e=； 综上所述，f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；（Ⅱ）先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=.12AB ρρ=-==由AB 23cos 8α=，tan α=.所以l 的斜率为3或3-.23.已知函数()123f xx x =+--. （I ）在答题卡图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【解析】试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解 试题解析：（Ⅰ）如图所示：（Ⅱ）()413{3212342x x f x x x x x -≤-=--<<-≥，，，()1f x >- 21 - 当1x ≤-，41x ->，解得5x >或3x < 1x ∴≤- 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <113x ∴-<<或312x << 当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x < 332x ∴≤<或5x > 综上，13x <或13x <<或5x >()1f x ∴>，解集()()11353⎛⎫-∞⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭，，， 考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法。
衡水新高考版2021年高三第一次模拟考试数学参考答案
1
联立 sin 2 A cos2 A 1
解得 cos A 1 cos A 1(舍去) ..................5 分 2，
A ..................6 分 所以 3
法
2：根据题意，
2
sin
B
b
cos
A
b
，得
2
sin b
B
cos
A
1
...........2
分
2sin A cos A 1 2sin A cos A 1
则有 x2 1，代入 *式，解得 a 2 . 所以 a的取值集合为2.
所以必有 a 0 ，
..................5 分
ax2 x 1 0
(*)
，方程的
0, x1x2
1 a
0
，所以方程必有一正根记
x2
所以函数 g(x) 在 (0, x2 ) 单调递增，在 (x2 , ) 单调递减，
若满足条件必有 g(x)max g(x2 ) 0 ，注意到 g(1) 0 ..................6 分
6
4
6
1 ( 2 )2 ( 2 )2 ( 6 )2 4
4
2
4
所以 AS 与平面 ABCD 所成角的正弦值为
6
.
4
（2）
.................6 分
4
法 1：在平面 SAM 内作 SH AM 连结 BH，DH，则 BH AM ,
又因为 SD AM ， AM 平面SHD ..................7 分 所以 AM DH ，又因为 AM BH . AM , BH,DH 都在平面 ABCD 内
河北省衡水市五校2021届高考数学联考试卷(一)(含答案解析)
河北省衡水市五校2021届高考数学联考试卷(一)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|−4<x<1}，B={x|−3<x<2}，则A∩B等于()A. {x|−3<x<1}B. {x|1<x<2}C. {x|x>−3}D. {x|x<1}2.(−1+√3i2)2015=()A. −1+√3i2B. −1−√3i2C. −1D. 13.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷500次，那么第499次出现正面朝上的概率是()A. 1499B. 1500C. 499500D. 124.已知镭经过100年，剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年的剩留量为y，则y与x的函数关系是()A. y=0.9576B. y=0.9576100xC. y=(0.9576%) xD. y=1−0.04245.函数f(x)=2sin|x|−1x2的部分图象大致为()A. B.C. D.6.已知cosα<0，tan2α>0，则在(0,π)内，α的取值范围是()A. (0,π4) B. (π2,3π4) C. (3π4,π) D. (π2,π)7.在△ABC中，若∠B=30°，AB=2√3，AC=2，则△ABC的面积为()A. √3B. 2√3或√2C. 2√3或√3D. 2√38.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)=x 3−x，则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A. 6B. 7C. 8D. 9二、多选题（本大题共4小题，共12.0分） 9.已知由样本数据(x 1,y 1)(i =1,2，3，…，8)组成的一个样本，得到回归直线方程为y ̂=2x −0.4且x −=2，去除两个歧义点(−2,7)和(2,−7)后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是( )A. 相关变量x ，y 具有正相关关系B. 去除歧义点后的回归直线方程为y ̂=3x −3.2C. 去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小D. 去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为0.1(附：e ̂1=y 1−y i ̂)10. 函数y =f(x)图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f(x)为奇函数．有同学据此推出以下结论，其中正确的是( )A. 函数y =f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的图形的充要条件是为奇函数B. f(x)=x 3−3x 2的图象的对称中心为(1,−2)C. 函数y =f(x)的图象关于x =a 成轴对称的充要条件是函数y =f(x −a)是偶函数D. g(x)=|x 3−3x 2+2|是关于x =1对称11. 已知函数f(x)=2lnx +1x ，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，a n+1=f(a n )(n ∈N ∗)，则下列有关数列{a n }的叙述正确的是( )A. a 2<a 1B. a n >1C. S 100<100D. a n ⋅a n+1+1<2a n12. 已知抛物线C 1 ： y 2=2x ，C 2 ： y 2=2ax(a >0)，C 3 ： y 2=2bx(b >0)，若直线l ：y =kx与C 1交于O ，A 两点、与C 2交于O ，B 两点、与C 3交于O ，M 两点，则下列说法正确的是( )A. b =1+a 2时，|OM|=|OA|+|OB|2B. b =√a 时，|OM|2=|OA|⋅|OB|C. b =2a 1+a 时，1|OM|=1|OA|+1|OB| D. b =√1+a 22时，|OM|2=|OA|2+|OB|22三、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 已知双曲线x 2m−y 2=1和椭圆x 212+y 24=1焦点相同，则该双曲线的方程为______．14. 已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到A ，B 两个班级，若甲必须在A 班，且每班至少有这五名中的2人，则不同的分配方案有______种．15. 已知函数f(x)=lnx −x 3与g(x)=x 3−ax ，若函数f(x)图象上存在点P ，且点P 关于x 轴对称点Q 在函数g(x)图象上，则实数a 的取值范围为______． 四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知点P(3,4)和圆C ：(x −2)2+y 2=4，A ，B 是圆C 上的两个动点，且|AB|=2√3，则圆心到直线AB 的距离d = (1) ；OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(O 为坐标原点)的取值范围是 (2) ． 五、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知△ABC 中的周长为√2+1，且sinB +sinC =√2sinA (1)求边BC 的长；(2)若△ABC 面积为16sinA ，求角A 度数．18. 已知数列{a n }是以1为首项的等差数列，数列{b n }是以q(q ≠1)为公比的等比数列，且a 2=b 1，a 3−a 1=b 2−b 1，a 2b 2=b 3． (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)若S n =a 1b n +a 2b n−1+⋯+a n−1b 2+a n b 1，求S n ．19. 在三棱锥S −ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =√13，SB =√29． (1)求证：SC ⊥BC ；(2)求SC 与AB 所成角的余弦值．20. 2019年春节期间，当红影视明星翟天临“不知‘知网’”学术不端事件在全国闹得沸沸扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院乃至整个中国学术界高等教育乱象的反思，为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的2019年部门预算中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文6000篇，预算为800万元，国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3为同行专家进行评议，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学位论文”；有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2为复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p(0<p<1)，且个篇论文是否被评议为“不合格”相互独立．(1)相关部门随机抽查了300位博士硕士论文，每人一篇，抽检是否合格，抽检得到的部分数据如表所示：通过计算说明是否有99.9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系？(2)若p=12，记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为p0，求p0的值；(3)若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其他费用总计为100万元，现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d临界值表：21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，且AB=2，离心率为√32，O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设P，Q是椭圆C上的两个动点(不与A，B重合)，且关于y轴对称，M，N分别是OP，BP的中点，直线AM与椭圆C的另一个交点为D.求证：D，N，Q三点共线．22.已知函数f(x)=xlnx−ax2，g(x)=f′(x)．(1)若a≥12，试判断函数g(x)的零点个数；(2)若函数f(x)在定义域内不单调且在(2,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵A={x|−4<x<1}，B={x|−3<x<2}，∴A∩B={x|−3<x<1}．故选：A．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：(−1+√3i2)2015=[(−12+√32i)3]671⋅(−12+√32i)2=1×(−12+√32i)2=−12−√32i．故选：B．由−12+√32i为1的一个立方虚根，把要求值的式子变形化简．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了互为共轭复数的概念，是基础的计算题．3.答案：D解析：解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第499次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每中结果等可能出现由古典概率的等可能性知，每一次出现正面向上的概率都相等．故所求概率为12故选：D简化模型，只考虑第499次出现的结果，有两种结果，第499次出现正面朝上只有一种结果，即可求本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．4.答案：A解析：解：设衰变率为a，则(1−a)100=0.9576，得1−a=0.95761100，则．故答案选：A．5.答案：A解析：解：因为f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C，D；∵f(π6)=0，且0<x<π6时，f(x)<0，∴排除B．故选：A．由函数为偶函数，排除CD，由f(π6)=0，且0<x<π6时，f(x)<0，排除B．本题考查由函数解析式确定函数图象，通常从单调性，奇偶性，特殊点等角度，运用排除法求解，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵cosα<0，∴2kπ+π2<α<2kπ+3π2，k∈Z，∴在(0,π)内，α的取值范围是(π2,π)∵tan2α>0，∴2kπ<2α<2kπ+π2，或2kπ+π<2α<2kπ+3π2，k∈Z，可解得：kπ<α<kπ+π4或kπ+π2<α<kπ+3π4，k∈Z∴在(0,π)内，α的取值范围是(0,π4)∪(π2,3π4)综上可得，在(0,π)内，α的取值范围是(π2,3π4).故选：B．由cosα<0，可解得在(0,π)内，α的取值范围是(π2,π)，由tan2α>0可解得在(0,π)内，α的取值范围是(0,π4)∪(π2,3π4)，取交集即可得到在(0,π)内，α的取值范围是(π2,3π4).本题主要考察了三角函数值的符号的确定，属于基本知识的考查．7.答案：C解析：解：∵△ABC中，B=30°，AB=2√3，AC=2，∴2√3sinC =2sin30°，∴sinC=√32，∴C=60°或120°，∴A=90°或30°，∴△ABC的面积为12⋅AB⋅AC⋅sinA=2√3或√3．故选：C．利用正弦定理，求出C ，从而可求A ，利用△ABC 的面积12⋅AB ⋅AC ⋅sinA ，即可得出结论 本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：B解析：当0≤x <2时，令f (x )=x 3−x =0，得x =0或x =1． 根据周期函数的性质，由f (x )的最小正周期为2， 可知y =f (x )在[0,6)上有6个零点， 又f (6)=f (3×2)=f (0)=0，所以f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7．9.答案：ABD解析：解：由x −=2，代入y ̂=2x −0.4，得y −=2×2−0.4=3.6， ∴去除两个歧义点(−2,7)和(2,−7)后， 得到新的x −=2×86=83，y −=3.6×86=4.8，又得到新的回归直线的斜率为3，∴新的线性回归方程的a ̂=4.8−3×83=−3.2，则去除两个歧义点后的线性回归方程为y ̂=3x −3.2，故B 正确； 又由斜率3>1，相关变量x ，y 具有正相关关系，故A 正确；且去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变大，故C 错误；当x =4时，y ̂=3×4−3.2=8.8，则去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为8.9−8.8=0.1，故D 正确． 故选：ABD ．由已知求得y −，进一步求出去除歧义点后的x 与y 的平均数，结合新的回归直线的斜率求a ̂，则线性回归方程可求，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．10.答案：BD解析：解：对于A ，函数y =f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的图形的充要条件是是为奇函数，说法错误，比如函数y=(x−1)3的图象关于点(1,0)成中心对称的图形，但是函数y=(x−1)3不是奇函数，A 错误；对于B，f(x)=x3−3x2=(x−1)3−3(x−1)−2，函数y=x3为奇函数，其图象关于原点对称，而函数f(x)=x3−3x2的图象是由函数y=x3的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，故f(x)=x3−3x2的图象的对称中心为(1,−2)，B正确；对于C，因为函数y=f(x)的图象关于x=0成轴对称的充要条件是函数y=f(x)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)是偶函数，因此C不正确；对于D，作出函数的图象，如图所示：由图可知，D正确．故选：BD．对于A，说法错误，比如函数y=(x−1)3的图象关于点(1,0)成中心对称的图形，但是函数y=(x−1)3不是奇函数；对于B，f(x)=x3−3x2=(x−1)3−3(x−1)−2，函数y=x3为奇函数，其图象关于原点对称，根据平移变换即可判断出正误；对于C，因为函数y=f(x)的图象关于x=0成轴对称的充要条件是函数y=f(x)是偶函数，即可判断出正误；对于D，作出函数的图象，如图所示：即可判断出正误．本题主要考查充要条件的判断，以及函数对称性，奇偶性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：AB解析：解：A选项，a2=2ln2+12=ln4+12<lne32+12=2，A正确；B选项，因为f′(x)=2x −1x2=2x−1x2，所以当x>1时，f(x)单增，所以f(x)>f(1)=1，因为a1=2>1，所以a n+1=f(a n)>1，所以a n>1，B正确；C选项，因为a n>1，所以S100>100，C错误；D选项，令ℎ(x)=lnx+1x −1(x>1)，ℎ′(x)=1x−1x2=x−1x2>0，所以ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0，所以lna n +1a n−1>0，则2lna n +2a n−2>0，所以(2lna n +1a n)+1a n>2，即a n+1+1a n>2，所以a n a n+1+1>2a n ，所以D 错误． 故选：AB ．利用数列与函数的关系，推出第二项与第一项的关系，判断A ；通过函数的导数，判断函数的单调性，推出a n >1，判断B ；利用数列的和判断C ；利用函数的导数判断函数的单调性，结合数列与函数的关系推出a n a n+1+1>2a n ，判断D ．本题考查数列与函数的综合应用，函数的导数以及函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力，是难题．12.答案：ABD解析：解：联立{y =kx y 2=2x 可得k 2x 2=2x ，所以可得A(2k 2,2k )；同理可得B(2a k 2,2ak)，M(2b k 2,2b k)，A 中，b =1+a 2，所以可得2b =a +1，因为|OM|=√4b 2k 4+4b 2k 2=2b k 2√1+k 2， 而|OA|=√4k 4+4k 2=2k 2√1+k 2，|OB|=√4a 2k 4+4a 2k 2=2a k 2√1+k 2，所以|OA|+|OB|2=1+a k 2√1+k 2=2bk 2√1+k 2=|OM|，所以A 正确；B 中，由b =√a ，所以b 2=a ，因为|OM|2=4b 2k 4(1+k 2)=4ak 2(1+k 2)，而|OA|⋅|OB|=2k 2√1+k 2⋅2ak 2√1+k 2=4ak 4(1+k 2)， 所以|OM|2=|OA|⋅|OB|，所以B 正确； C 中，b =2a 1+a，所以1b =1+a2a，所以1|OM|=22b√1+k 2=24a√1+k 2， 而1|OA|+1|OB|=22√1+k 2+22a√1+k 2=22a√1+k 2， 显然1|OM|≠1|OA|+1|OB|，所以C 不正确； D 中，b =√1+a 22所以b 2=1+a 22，所以|OM|2=(√4b 2k 4+4b 2k 2)2=(2b k 2√1+k 2)2=4b 2(1+k 2)k 4=2(1+a 2)(1+k 2)k 4，而|OA|2+|OB|22=4(1+k2)k4+4a2(1+k2)k42=2(1+a2)(1+k2)k4，所以|OM|2=|OA|2+|OB|22，所以D正确．故选：ABD．将直线l与3个抛物线联立求出A，B，M的坐标，分别由给出的b与a的关系求出|OM|，|OA|，|OB|的值，进而判断所给命题的真假．本题考查直线与抛物线相交求交点的方法及两点间的距离的求法，命题的真假的判断方法，属于中档题．13.答案：x27−y2=1解析：本题考查椭圆和双曲线的概念和几何性质，属于简单题．根据题意，求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得m+1=8，解可得m的值，将m的值代入双曲线的方程，即可得答案．解：根据题意，椭圆x212+y24=1的焦点在x轴上，且其焦点坐标为(±2√2,0)，若双曲线x2m −y2=1和椭圆x212+y24=1焦点相同，则有m+1=8，解得m=7；则双曲线的方程为：x27−y2=1．故答案为：x27−y2=1．14.答案：10解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将5人分为人数为2、3的两组，有C52=10种分法，②，将甲所在的组安排到A班，剩下的1组安排到B班，有1种情况，则有10×1=10种不同的安排方法；故答案为：10．根据题意，分2步进行分析：①，将5人分为人数为2、3的两组，②，将甲所在的组安排到A班，剩下的1组安排到B班，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.答案：(−∞,1e].解析：解：函数f(x)=lnx −x 3与g(x)=x 3−ax 的图象上存在关于x 轴的对称点，∴f(x)=−g(x)在(0,+∞)上有解，即lnx −x 3=−x 3+ax 在(0,+∞)上有解，∴lnx =ax ，在(0,+∞)上有解，分别设y =lnx ，y =ax ，若y =ax 为y =lnx 的切线，则y′=1x ， 设切点为(x 0,y 0)，则a =1x 0，ax 0=lnx 0， ∴x 0=e ，∴a =1e ，结合图象可知，a ≤1e ．故答案为：(−∞,1e ].由题意可知f(x)=−g(x)有解，即y =lnx 与y =ax 有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a 的范围．本题考查导数的几何意义，以及参数的取值范围问题，关键是转化为y =lnx 与y =ax 有交点，属于中档题． 16.答案：1[2,22]解析：解：①圆C ：(x −2)2+y 2=4的圆心为C(2,0)，半径为2，弦长|AB|=2√3，则圆心C 到直线AB 的距离为d =√22−(√3)2=1；②由题意知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，(M 是AB 的中点)，|CM|=1， 所以M 的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆，且M 的轨迹方程为：(x −2)2+y 2=1，令{x =2+cosθy =sinθ， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(3,4)⋅(2+cosθ,sinθ)=12+(6cosθ+8sinθ)=12+10sin(θ+α)，tanα=34；所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的最大值22，最小值2，其取值范围是[2,22]．故答案为：①1；②[2,22]．①根据圆C 的圆心到直线AB 的距离与半径和弦长的一半构成直角三角形，利用勾股定理求得结果； ②由题意知AB 的中点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，利用参数法求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的最大、最小值即可．本题考查了平面向量的综合应用问题，是中档题．17.答案：解：(1)∵sinB +sinC =√2sinA∴由正弦定理，得b +c =√2a又∵△ABC 的周长a +b +c =√2+1，∴a +√2a =√2+1，解之得a =1，即BC 的长为1；(2)∵△ABC 面积为16sinA ，∴12bcsinA =16sinA ，可得bc =13由(1)的结论，得b +c =√2a =√2∴b 2+c 2=(b +c)2−2bc =43由余弦定理，得cosA =b 2+c 2−a 22bc =43−12×13=12 结合A 为三角形的内角，可得A =60°．解析：(1)利用正弦定理化简已知等式，得b +c =√2a ，与三角形的周长为√2+1联解可得a =1，即BC 的长为1；(2)根据三角形的面积公式算出bc =13，结合(1)的结论b +c =√2a =√2，算出b 2+c 2=43.再利用余弦定理的式子解出cos A 的值，即可得到角A 度数．本题给出三角形的周长和角的关系式，求边BC 的长并依此求角的大小．着重考查了正余弦定理解三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题． 18.答案：解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的首项为b 1，则a n =1+(n −1)d ，b n =b 1q n−1．依题意可得{1+d =b 12d =b 1(q −1)(1+d)b 1q =b 1q 2，解得d =1，b 1=2，q =2，所以a n =n ，b n =2n ．(2)S n =1×2n +2×2n−1+⋯+n ×21，①所以2S n =1×2n+1+2×2n +⋯+n ×22，②②−①可得，S n =2n+1+(2n +2n−1+⋯+22)−n ×21 =2n+2−42−1−2n =2n+2−(2n +4)． 解析：(1)根据依题意可得{1+d =b 12d =b 1(q −1)(1+d)b 1q =b 1q 2，解得即可，(2)利用错位相减法即可求出．本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和错位相减法，考查了运算能力，属于中档题 19.答案：解法一：如图，取A 为原点，AC 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC =2，BC =√13，SB =√29，∴B(0,√17,0)、S(0,0，2√3)、C(2√1317,4√17,0)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√1317,√17,−2√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√1317,√17,0)．(1)∵SC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴SC ⊥BC ． (2)设SC 与AB 所成的角为α，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√17,0)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，|SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√17，∴cosα=√1717，即为所求． 解法二：(1)∵SA ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，AC 是斜线SC 在平面ABC 内的射影，∴SC ⊥BC ．(2)如图，过点C 作CD//AB ，过点A 作AD//BC 交CD 于点D ，连接SD 、SC ，则∠SCD 为异面直线SC 与AB 所成的角．∵四边形ABCD 是平行四边形，CD =√17，SA =2√3，SD =√SA 2+AD 2=√12+13=5，∴在△SDC 中，由余弦定理得cos∠SCD =√1717，即为所求． 解析：本题考查利用空间向量证明垂直和求夹角和距离问题，以及面面垂直的判定定理，体现了转化的思想方法，利用综合法求异面直线所成的角，关键是找出这个角，把空间角转化为平面角求解，体现了转化的思想，属中档题．解法一：(1)建立坐标系，写出有关点的坐标，B ，C ，S ，(1)要证SC ⊥BC ；只要证EF ⊥面PAB ，只要证SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可； (2)要求异面直线SC 与AB 所成的角的余弦值，只要求SC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角的余弦值即可；解法二：综合法证明，(1)要证SC ⊥BC ，只要证AC ⊥BC 即可；(2)要求SC 与AB 所成角的余弦值，通过平移找到SC 与AB 所成角，解三角形即可．20.答案：50解析：解：(1)根据题意，填写列联表如下；计算K 2=300×(150×50−50×50)2200×100×200×100=300×5000×5000200×100×200×100=18.75>10.828，所以有99.9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系；(2)因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 32⋅p 2⋅(1−p)+C 33⋅p 3=3×(12)3+(12)3=12；一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 31⋅p ⋅(1−p)2⋅[1−(1−p)2]=3×(12)3×[1−(12)2]=932；所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为p 0=12+932=2532；(3)设每篇学位论文评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500；则P(X =1500)=C 31⋅p ⋅(1−p)2，P(X =900)=1−C 31⋅p ⋅(1−p)2；所以E(X)=900×[1−C 31⋅p ⋅(1−p)2]+1500×C 31⋅p ⋅(1−p)2=900+1800p(1−p)2； 令g(p)=p(1−p)2，p ∈(0,1)；则g′(p)=(1−p)2−2p(1−p)=(3p −1)(p −1)；所以当p ∈(0,13)时，g′(p)>0，g(p)在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g′(p)<0，g(p)在(13,1)上单调递减；所以g(p)的最大值为g(13)=427；所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×427)×10−4=800(万元)．(1)根据题意，填写列联表，计算K 2的值，对照临界值得出结论；(2)分别计算一篇学位论文初评和复评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再求和；(3)根据每篇学位论文评审费X 的可能取值，计算对应的概率值，求出E(X)，利用函数计算E(X)的最大值即可．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了概率与数学期望的计算问题，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)因为椭圆的焦点在x轴上，AB=2，离心率e=√32，所以b=1，ca =√32.所以由a2=b2+c2，得a2=4．所以椭圆C的标准方程是x24+y2=1．(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,y0)，所以Q的坐标为(−x0,y0).因为M，N分别是OP，BP的中点，A(0,1)，B(0,−1)，所以M点的坐标为(x02 ,y02)，N点的坐标为(x02,y0−12)．所以直线AD的方程为y=y0−2x0x+1．代入椭圆方程x24+y2=1中，整理得[x02+4(y0−2)2]x2+8x0(y0−2)x=0．所以x=0，或x=8x0(2−y0)x02+4(y0−2)2=2x0(2−y0)5−4y0．所以y=y0−2x0⋅2x0(2−y0)5−4y0+1=−2y02+4y0−35−4y0．所以D的坐标为(2x0(2−y0)5−4y0,−2y02+4y0−35−4y0)．所以k QN=y0−12−y0x02+x0=−y0+13x0．又k QD=−2y02+4y0−35−4y0−y0 2x0(2−y0)5−4y0+x0=(y0+1)(2y0−3)3x0(3−2y0)=−y0+13x0=k QN．所以D，N，Q三点共线．解析：(Ⅰ)通过椭圆的焦点在x轴上，AB=2，离心率e=√32，求出a，b，然后求解椭圆方程．(Ⅱ)设点P 的坐标为(x 0,y 0)，所以Q 的坐标为(−x 0,y 0).求出M 点的坐标为(x 02 ,y02)，N 点的坐标为(x 02,y 0−12)，得到直线AD 的方程，代入椭圆方程．求出D 的坐标然后根据斜率相等证明D ，N ，Q 三点共线． 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)g(x)=f′(x)=lnx −2ax +1，令g(x)=0，即lnx =2ax −1，函数g(x)的零点个数即y =lnx 和y =2ax −1的图象的交点个数，设两者相切时的切点是(x 0,y 0)，则由2a =y′|x=x 0=1x 0且lnx 0=2ax 0−1得a =12， 如图所示：，由图象得a >12时，两函数的图象无交点，g(x)无零点， a =12时，两函数图象有1个交点，g(x)有1个零点． (2)由(1)得a ≥12时，g(x)无零点或1个零点，g(x)≤0，函数f(x)在定义域内递减，函数f(x)在定义域内不单调时，a <12，f(x)在(2,+∞)递减时，f′(x)≤0即g(x)≤0恒成立，由g(x)≤0得a ≥lnx+12x ，令ℎ(x)=lnx+12x ，则a ⩾ℎ(x)恒成立， ∵ℎ′(x)=−lnx 2x 2，∴x ∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，g(x)<ℎ(2)，由a ⩾ℎ(x)恒成立，得a ≥ℎ(2)，解得：a ≥ln2+14，综上可得，实数a的取值范围是{a|ln2+14≤a<12}．解析：(1)首先求得函数g(x)的解析式，然后结合函数的解析式讨论函数的交点的个数即可；(2)结合(1)的结论将原问题转化为恒成立的问题，然后结合题意整理计算即可求得最终结果．本题考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。