真题大题汇总

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教师招聘《初中道德与法治》真题汇总

教师招聘《初中道德与法治》真题汇总一、单项选择题1.学期结束，小旭给宿舍的同学们赠送卡片。

他在卡片中这样写到：“从开学初的互不相让互不理解到今天的亲密无间友好相处，有你们，真幸运。

”小旭的话说明( )。

A.只有在集体生活中才能成长B.遇到优秀的集体是小旭的幸运C.集体生活培养我们的人际交往能力D.集体生活是我们成长的平台1.【答案】C。

解析：本题考查集体生活的作用。

分析题干中“从开学初的互不相让互不理解到今天的亲密无间友好相处”说明集体生活可以培养人际交往的基本态度和能力，C符合题意。

A说法错误，错在“只有”一词。

B选项没有揭示题干的主旨。

D选项说法在题干中没有体现。

故选C。

2.“你所站立的那个地方，正是你的中国。

你怎么样，中国便怎么样。

你是什么，中国便是什么。

你有光明，中国便不黑暗。

”一个人的力量或许微不足道，但是所有人的力量相加，就足以升腾起改变时代、推动进步的“正能量”，这句话启示我们( )。

A.信守承诺，不说谎话B.早日就业，投身祖国C.勇于担当，热爱祖国D.平等待人，宽容他人2.【答案】C。

解析：材料中的这句话说明中国的进步，需要每一个中国人的努力，启示我们要肩负起民族振兴的历史使命，为国家建设作出自己的贡献。

C的说法正确且符合题意，应入选。

AD的说法正确，但不符合题意;B的说法错误，中学生应努力学习，完成学业，再投入到国家建设中。

而不是中断学业早日就业。

这三项应排除。

故该题选C。

3.我国国土辽阔，不同地区之间自然条件不同、资源禀赋各异、历史基础有别，因而长期存在较大发展差距。

下列做法有助于缩小这一差距的是( )。

A.推动经济建设与社会建设、国防建设等领域的整体平衡B.推动城乡发展一体化，坚持工业反哺农业，城市支持农村C.坚持物质文明和精神文明协调发展，两轮驱动，双翼共振D.统筹东中西，协调南北方，实施区域发展总体战略3.【答案】D。

解析：本题考查区域协调发展。

题干材料展示了我国地区间发展不平衡，不协调的问题。

名著《水浒传》阅读中考真题练习题大汇总(带答案)

名著《水浒传》阅读中考真题练习题大汇总（带答案）练习题（一）附答案一、填空题1.我国第一部歌颂的长篇小说，《水浒传》写得荡气回肠轰轰烈烈，全书的高潮部分是梁山英雄排座次，全书的低潮部分是魂聚蓼儿洼。

2.《水浒传》的作者是，该书描写了北宋徽宗时，以为首的108名好汉在水泊梁山聚义，打家劫舍，杀富济贫的豪举。

3.绰号豹子头的，原为东京八十万禁军教头，后被设计误入，刺配沧州，后雪夜上。

4.《水浒传》中吴用绰号，与晁盖、公孙胜等人在黄泥岗智取了。

5.“花和尚倒拔垂杨柳，豹子头误入白虎堂”是名著《》中的一个回目，其中“花和尚”指的是。

6.《水浒传》中这样写道：“山顶山立一面杏黄旗，上书‘替天行道’四字，忠义堂前绣字红旗后面：一书‘上东呼保义’一书‘河北玉麒麟’”。

请问，上段话中的字是两位首领的称谓。

7.我们所熟知的打虎英雄是《水浒传》中的，他在该书中有许多脍炙人口的事迹，如手刃，斗杀，为兄报仇。

8.《水浒传》主要人物有及时雨，行者，黑旋风。

9.《水浒传》中冒充李逵拦路打劫,后被李逵一刀打翻在地的人是。

10.“耗国因家木，刀兵点水工。

纵横三十六，播乱在江东”，这首童谣唱的是。

11.朝廷中是摆下“连环马”大破宋公明，梁山好汉中最后破了“连环马”。

12.“自幼曾攻经史，长成亦有权谋。

恰如猛虎卧丘……他时若遂凌云志，敢笑黄巢不丈夫”这是在写的诗。

二、简答题1.“万卷经书曾读过，平生机巧心灵，六韬三略究来精。

胸中藏战将，腹内隐雄兵。

谋略敢欺诸葛亮，陈平岂敌才能。

略施小计鬼神惊。

”这首诗赞美的是哪位好汉，他有怎样的性格特点？写出与他有关的情节（四个即可）2.智取生辰纲的好汉有哪几位？3.《水浒传》是以什么为主要题材的？通过一系列的生动故事，揭示了当时的社会矛盾，主要歌颂了什么？三、写出与下列情节相关的主要人物⒈大闯五台山鲁智深⒉误入白虎堂林冲3. 风雪山神庙林冲⒋大闯野猪林鲁智深⒌醉打蒋门神武松⒍怒杀阎婆惜宋江⒎大闹清风寨花荣⒏斗浪里白条李逵⒐智取生辰纲吴用，晁盖，公孙胜⒑探穴救柴进李逵⒒浔阳楼题反诗宋江⒓血溅鸳鸯楼武松四、下面各项中，人物的绰号在前、姓名在后，请补充完整a、浪里白跳张顺b、智多星吴用c、赤发鬼刘唐d、插翅虎雷横e、锦豹子杨林f、小李广花荣g、玉麒麟卢俊义h、鼓上蚤时迁I、九纹龙史进j、混江龙李俊k、神行太保戴宗l、病大虫薛永五、简答⒈梁山一百单八将中第一个出场的是谁?他的绰号是什么?史进，九纹龙⒉《水浒传》中三位女将是谁?绰号是什么?A．扈三娘一丈青B．孙二娘母夜叉C．顾大嫂母大虫⒊“智扑擎天柱”中英雄好汉是谁?他的绰号是什么?燕青，浪子⒋请写出《水浒传》中,身怀绝技的人物名字及绰号,简单说出其擅长的绝技.①②③①时迁，鼓上蚤，擅偷②花荣，小李广，擅射箭③戴宗，神行太保，擅神行之术⒌请用简练的语言说出《水浒传》中英雄好汉们性格上的共同特征?爱打抱不平，重友情，讲义气⒍“万卷经书曾读过，平生机巧心灵，六韬三略究来精。

行测真题大汇总

第一部分常识判断1.2011年我国改革开放和社会主义现代化建设取得新的重大成就，其中包括( )。

A. 人均GDP超过3000美元B. 外汇储备首次超过日本居世界第一C. 城镇化率超过50%D. 粮食总产量首次超过10万亿斤2.关于我国战国七雄地理位置描述准确的是( )。

A. 齐国的纬度最高B. 楚国的纬度最低C. 燕国的经度最小D. 秦国的经度最大3.杨柳是我国古代诗词里面较为常见的意象，往往蕴涵离别之情，下列名句中不是表达送别意象的是( )。

A. 芜笛何须怨杨柳，春风不度玉门关B. 渭城朝雨浥轻尘，客舍青青柳色新C. 今宵酒醒何处，杨柳岸、晓风残月D. 庭院深深深几许?杨柳堆烟、幕帘无重数4.中国古典戏剧作品塑造了王昭君、李香君、杜丽娘和崔莺莺等经典女性形象，下列作品与上述人物对应关系正确的是( )。

A. 《西厢记》——《汉宫秋》——《桃花扇》——《牡丹亭》B. 《西厢记》——《桃花扇》——《汉宫秋》——《牡丹亭》C. 《汉宫秋》——《柳花扇》——《牡丹亭》——《西厢记》D. 《汉宫秋》——《牡丹亭》——《桃花扇》——《西厢记》5.下列影视剧情景设计符合历史常识的是( )。

A. 燕子丹与荆轲分坐八仙桌两侧，秉烛夜谈，谋划赴咸阳刺杀秦王计划B. 毛泽东与李宗仁幽默地说：德邻先生，你这次归国，是误上了贼船啊C. 魏征劝谏李世民时，说道：陛下当先天下之忧而忧，后天下之乐而乐D. 越王勾践兵败后给吴王差夫当奴仆，以红薯充饥，每晚则睡在柴垛上6.下列选项中三国典故与哲学论断对应错误的是( )。

A. 士别三日，当刮目相看——用发展的眼光看问题B.草船借箭——人可以认识并利用规律C. 张飞醉酒失徐州，借酒破张郃——矛盾是对立统一的D. 望梅止渴——理性认识依赖于感性认识7.中美关系是全国最重要的双边关系之一，中美建交前后曾发生过以下事件：①邓小平谈美②中美发布上海联合公报③尼克松总统访华④福特总统访华按时间先后顺序排列正确的是( )。

部编数学七年级上册专题09压轴大题分类练(三大考点)(期末真题精选)(解析版)含答案

专题09 压轴大题分类练（三大考点）一．新定义（热点题型）1．在数轴上，把原点记作点O ，表示数1的点记作点A ．对于数轴上任意一点P （不与点O ，点A重合），将线段PO 与线段PA 的长度之比定义为点P 的特征值，记作P ，即P =PO PA，例如：当点P 是线段OA 的中点时，因为PO ＝PA ，所以P =1．（1）如图，点P 1，P 2，P 3为数轴上三个点，点P 1表示的数是−14，点P 2与P 1关于原点对称．①P 2=　13　；②比较P 1，P 2，P 3的大小 P 1＜P 2＜P 3　（用“＜”连接）；（2）数轴上的点M 满足OM =13OA ，求M ；（3）数轴上的点P 表示有理数p ，已知P ＜100且P 为整数，则所有满足条件的p 的倒数之和为 198　．试题分析：（1）①根据定义求出线段P 2A 与P 2O 的值即可解答；②根据定义分别求出P 1，P 3的值即可比较；（2）分两种情况，点M 在原点的右侧，点M 在原点的左侧；（3）根据题意可知，分两种情况，点P 在点A 的右侧，点P 在OA 之间．答案详解：解：（1）①∵点P 1表示的数是−14，点P 2与P 1关于原点对称，∴点P 2表示的数是14，∵点A 表示的数是1，∴P 2A ＝1−14=34，P 2O =14，∴P 2=P 2O P 2A =1434=13，②∵点P 1表示的数是−14，∴P 1A ＝1﹣（−14）=54，P 1O =14，∴P 1=P 1O P 1A =1454=15，∵1＜P 3＜2，∴1＜P 3O ＜2，0＜P 3A ＜1，∴P 3=P 3O P 3A ＞1，∴P 1＜P 2＜P 3，所以答案是：①13，②P 1＜P 2＜P 3；（2）分两种情况：当点M 在原点的右侧，∵OM =13OA ，∴OM =13，∴点M 表示的数为：13，∴MO =13，MA ＝1−13=23，∴M =MO MA =1323=12，当点M 在原点的左侧，∵OM =13OA ，∴OM =13，∴点M 表示的数为：−13，∴MO =13，MA ＝1﹣（−13）=43，∴M =MO MA =1343=14，∴M 的值为：12或14；（3）∵P ＜100且P 为整数，PA∴PO ＞PA 且PO 为PA 的倍数，当P =PO PA=1时，∴PO ＝PA ，即点P 为OA 的中点，∴p =12，∴当P =1时，p 的值为12，当P =PO PA=2时，∴PO ＝2PA ，当点P 在OA 之间，∴p ＝2（1﹣p ），∴p =23，当点P 在点A 的右侧，∴p ＝2（p ﹣1），∴p ＝2，∴当P =2时，p 的值为：2或23，当P =PO PA=3时，∴PO ＝3PA ，当点P 在OA 之间，∴p ＝3（1﹣p ），∴p =34，当点P 在点A 的右侧，∴p ＝3（p ﹣1），∴p =32，∴当P =3时，p 的值为：34或32，PA∴PO＝4PA，当点P在OA之间，∴p＝4（1﹣p），∴p=4 5，当点P在点A的右侧，∴p＝4（p﹣1），∴p=4 3，∴当P=4时，p的值为：45或43，…当P=POPA=99时，∴PO＝99PA，当点P在OA之间，∴p＝99（1﹣p），∴p=99 100，当点P在点A的右侧，∴p＝99（p﹣1），∴p=99 98，∴当P=99时，p的值为：99100或9998，∴所有满足条件的p的倒数之和为：2+32+12+43+23+54+34+...+10099+9899＝2+（32+12）+（43+23）+（54+34）+...+（10099+9899）＝2+2+2+2+...+2＝2×99＝198，所以答案是：198．2．对于点M ，N ，给出如下定义：在直线MN 上，若存在点P ，使得MP ＝kNP （k ＞0），则称点P 是“点M 到点N 的k 倍分点”．例如：如图，点Q 1，Q 2，Q 3在同一条直线上，Q 1Q 2＝3，Q 2Q 3＝6，则点Q 1是点Q 2到点Q 3的13倍分点，点Q 1是点Q 3到点Q 2的3倍分点．已知：在数轴上，点A ，B ，C 分别表示﹣4，﹣2，2．（1）点B 是点A 到点C 的 12　倍分点，点C 是点B 到点A 的 23　倍分点；（2）点B 到点C 的3倍分点表示的数是 1或4　；（3）点D 表示的数是x ，线段BC 上存在点A 到点D 的2倍分点，写出x 的取值范围．试题分析：（1）通过计算BA BC ，CB CA的值，利用题干中的定义解答即可；（2）设这点为E ，对应的数字为a ，利用分类讨论的思想方法根据EB EC=3分别列出方程，解方程即可得出结论；（3）分两种情况：①点D 在点B 的左侧，②点D 在点C 的右侧，分别计算出x 的两个临界值即可得出结论．答案详解：解：（1）∵点A ，B ，C 分别表示﹣4，﹣2，2，∴BA ＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC ＝2﹣（﹣2）＝4，CA ＝2﹣（﹣4）＝6．∵BA BC =24=12，∴点B 是点A 到点C 的12倍分点，∵CB CA =46=23，∴点C 是点B 到点A 的23倍分点．所以答案是：12；23；（2）设这点为E ，对应的数字为a ，则EB EC=3．当点E 在B ，C 之间时，∵EBEC=3，∴x−(−2)2−x=3，解得：x＝1．当点E在C点的右侧时，∵EBEC=3，∴x−(−2)x−2=3，解得：x＝4．综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．所以答案是：1或4．（3）①点D在点B的左侧，∵−2−(−4)−2−x=2，解得：x＝﹣3．∴x的最小值为﹣3．∴x的取值范围为﹣3≤x≤﹣2；②点D在点C的右侧，∵2−(−4)x−2=2，解得：x＝5，∴x的最大值为5，∴x的取值范围2≤x≤5，综上，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，则x的取值范围为：﹣3≤x≤﹣2或2≤x≤5．3．知识背景：已知a，b为有理数，规定：f（a）＝|a﹣2|，g（b）＝|b+3|，例如：f（﹣3）＝|﹣3﹣2|＝5，g（﹣2）＝|﹣2+3|＝1．知识应用：（1）若f（a）+g（b）＝0，求3a﹣5b的值；（2）求f（a﹣1）+g（a﹣1）的最值；知识迁移：若有理数a，b，c满足|a﹣b+c+3|＝a+b+c﹣3，且关于x的方程ax﹣2c＝2a﹣cx有无数解，f（2b﹣4）≠0，求|a+2b+c+5|﹣|a+b+c+7|﹣|﹣3﹣b|的值．试题分析：（1）根据题中的新规定列出等式，再利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果；（2）根据题中的新规定列出等式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的代数意义求出最小值即可；知识迁移：求出a+c＝0，b＞3，再计算绝对值即可．答案详解：解：（1）∵f（a）＝|a﹣2|，g（b）＝|b+3|，∴f（a）+g（b）＝|a﹣2|+|b+3|＝0，∴a＝2，b＝﹣3，∴3a﹣5b＝3×2﹣5×（﹣3）＝6+15＝21；（2）f（a﹣1）+g（a﹣1）＝|a﹣3|+|a+2|，∵|a﹣3|+|a+2|表示点a到3和﹣2的距离之和，∴|a﹣3|+|a+2|≥5，∴f（a﹣1）+g（a﹣1）有最小值5；知识迁移：整理ax﹣2c＝2a﹣cx得（a+c）x＝2（a+c），∵方程有无数解，∴a+c＝0，∵|a﹣b+c+3|＝|（a+c）﹣（b﹣3）|，当a+c≥b﹣3时，|a﹣b+c+3|＝a+c﹣b+3＝a+b+c﹣3，∴b＝3，∴a+c≥0；当a+c≤b﹣3时，|a﹣b+c+3|＝b﹣3﹣a﹣c＝a+b+c﹣3，∴a+c＝0，∴b≥3；∵f（2b﹣4）≠0，∴|2b﹣4﹣2|≠0，∴b≠3，∴b＞3，∴|a+2b+c+5|﹣|a+b+c+7|﹣|﹣3﹣b|＝|2b+5|﹣|b+7|﹣|﹣3﹣b|＝2b +5﹣（b +7）﹣（3+b ）＝﹣5．4．如图，点A 、O 、C 、B 为数轴上的点，O 为原点，A 表示的数是﹣8，C 表示的数是2，B 表示的数是6．我们将数轴在点O 和点C 处各弯折一次，弯折后CB 与AO 处于水平位置，线段OC 处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O 为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记AB 为“折坡数轴”拉直后点A 和点B 的距离：即AB =AO +OC +CB ，其中AO 、OC 、CB 代表线段的长度．（1）若点T 为“折坡数轴”上一点，且TA +TB =16，请求出点T 所表示的数；（2）定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点P 从点A 处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动到点O ，再上坡移动，当移到点C 时，立即掉头返回（掉头时间不计），在点P 出发的同时，动点Q 从点B 处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C ，再下坡到点O ，然后再沿OA 方向移动，当点P 重新回到点A 时所有运动结束，设点P 运动时间为t 秒，在移动过程中：①点P 在第 212　秒时回到点A ；②当t ＝　2或225或315或345　时，PQ =2PO ．（请直接写出t 的值）试题分析：（1）首先判断出点T 的位置，设T 表示的数为x ，根据T 的位置分两种情况列出方程求解即可；（2）①分别根据“时间＝路程÷速度”求出点P 运动的时间，再求和即可；②分别求出点Q 在运动时间，结合点P ，点Q 的不同位置，根据PQ =2PO 列出方程求解即可．答案详解：解：（1）∵AB =AO +OC +CB ＝|﹣8|+6＝14，而TA +TB =16，16＞AB ，∴T 不在AB 内，设T 表示的数为x ，当T 在点A 的左侧时，TA +TB =TA +TA +AB =（﹣8﹣x ）+（﹣8﹣x ）+14＝16，解得：x ＝﹣9；当T 在点B 的右侧时，TA +TB =TB +TB +AB =（﹣8﹣x ）+（﹣8﹣x ）+14＝16，解得：x ＝7，所以答案是：﹣9和7；（2）①∵AO ＝8，∴点P 从A 到O 所需时间为：t 1=AO 2=82=4，∵OC ＝2，∴点P 从O 到C 所需时间为：t 2=OC12×2=2，返回时，点P 从C 到O 所需时间为：t 3=OC 2×2=24=12，点P 从O 到A 所需时间为：t 4＝t 1＝4，∴点P 运动的总时间t ＝t 1+t 2+t 3+t 4=212，故点P 在212秒时回到了点A ，所以答案是：212；②（Ⅰ）当点P 在AO 上，点Q 在BC 上时，PQ =PO +OC +CQ ＝（8﹣2t ）+2+（4﹣t ）＝14﹣3t ，PO ＝8﹣2t ，∵PQ =2PO ，∴14﹣3t ＝2（8﹣2t ），解得：t ＝2；（Ⅱ）当P 在OC 上，此时Q 在OC 上，设点Q 在OC 上的时间为t ′，a ）当OP +QC ＝OC ，即t ′+2t ′＝2，即t ′=23时，P 、Q 相遇，PQ =OC ﹣OP ﹣QC ＝2﹣t ′﹣2t ′，PO =t ′，由PQ =2PO 得：2﹣t ′﹣2t ′＝2t ′，解得：t ′=25，∴t ＝4+25=225；b ）当Q 到达点O 时，点P 刚到OC 的中点，并继续向上走2﹣1＝1（秒），PQ =OP +OQ ＝t ′+（t ′﹣1），PO =t ′，由PQ =2PO 得：2t ′﹣1＝2t ′，此时无解；c ）当Q 在OA 上，P 在OC 向下移动时，PQ =OQ +OP ＝（t ′﹣1）+[2﹣2×2（t ′﹣2）]，PO =2﹣2×2（t ′﹣2），由PQ =2PO 得，（t ′﹣1）+[2﹣2×2（t ′﹣2）]＝2[2﹣2×2（t ′﹣2）]，解得：t ′=115，此时，t ＝4+t ′=315；（Ⅲ）当点P 重新回到OA 上，设P 回到O 点后运动时间为t ″，在t ″之间，点P 、Q 已经运动了4+2+12=132（秒），此时，Q 在OA 上走了132−4﹣1=32，即OQ =32×1=32，1）PQ =OQ ﹣OP ＝（32+t ″）﹣2t ″，PO =2t ″，由PQ =2PO 得：（32+t ″）﹣2t ″＝2t ″，解得，t ″=310，此时，t =132+310=345；2）当P 在Q 右侧，超过Q 后，PQ =OP ﹣OQ ＝2t ″﹣（32+t ″），PO =2t ″，由PQ =2PO 得：2t ″﹣（32+t ″）＝4t ″，解得，t ″=−12（舍去），综上所述，当t ＝2或225或315或345秒时，PQ =2PO ．所以答案是：2或225或315或345．5．对数轴上的点和线段，给出如下定义：点M是线段a的中点，点N是线段b的中点，称线段MN 的长度为线段a与b的“中距离”．已知数轴上，线段AB＝2（点A在点B的左侧），EF＝6（点E在点F的左侧）．（1）当点A表示1时，①若点C表示﹣2，点D表示﹣1，点H表示4，则线段AB与CD的“中距离”为3.5，线段AB与CH的“中距离”为　1　；②若线段AB与EF的“中距离”为2，则点E表示的数是　1或﹣3　．（2）线段AB、EF同时在数轴上运动，点A从表示1的点出发，点E从原点出发，线段AB的速度为每秒1个单位长度，线段EF的速度为每秒2个单位长度，开始时，线段AB、EF都向数轴正方向运动；当点E与点B重合时，线段EF随即向数轴负方向运动，AB仍然向数轴正方向运动．运动过程中，线段AB、EF的速度始终保持不变．设运动时间为t秒．①当t＝2.5时，线段AB与EF的“中距离”为　3.5　；②当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，求t的值．试题分析：（1）①先由点A和AB的长求得点B表示的数，然后求得AB的中点所表示的数，再求得CH的中点所表示的数，即可得到线段AB与CH的“中距离”；②先由①得到AB的中点所表示的数，然后设点E表示的数为x，则点F表示的数为x+6，进而求得EF的中点的所表示的数，最后由线段AB与EF的“中距离”为2列出方程求得x的值；（2）①先用含有t的式子分别表示点A、点B、点E、点F所表示的数，然后得到t＝2.5时点A、B、E、F所表是的数，进而求得线段AB与EF的“中距离”；②分情况讨论，分为点E向数轴正方向和向数轴负方向运动两种情况讨论，然后根据条件列出方程求得t的值．答案详解：解：（1）①∵AB＝2（点A在点B的左侧），点A表示1，∴点B表示3，∴线段AB的中点表示2，∵点C表示﹣2，点H表示4，∴线段CH的中点表示1，∴线段AB与CH的“中距离”为2﹣1＝1，所以答案是：1．②由①得，线段AB的中点表示2，设点E表示x，则点F表示x+6，∴线段EF的中点表示x+3，∵线段AB与EF的“中距离”为2，∴|x+3﹣2|＝2，解得：x＝1或x＝﹣3，∴点E表示的数是1或﹣3，所以答案是：1或﹣3．（2）由题意得，点A表示的数为1+t，点B表示的数为3+t，当点E向数轴正方向运动时，点E表示的数为2t，点F表示的数为2t+6，当点E与点B重合时，3+t＝2t，解得：t＝3，∴当点E向数轴负方向运动时，点E表示的数为6﹣2（t﹣3）＝12﹣2t，点F表示的数为12﹣2（t﹣3）＝18﹣2t，①当t＝2.5时，点E向数轴正方形运动，点A表示的数为3.5，点B表示的数为5.5，点E表示的数为5，点F表示的数为11，∴线段AB的中点表示的数为4.5，线段EF的中点表示的数为8，∴线段AB与EF的“中距离”为8﹣4.5＝3.5；所以答案是：3.5．②当点E向数轴正方向运动，即0＜t≤3时，线段AB的中点表示的数为2+t，线段EF的中点表示的数为2t+3，∵线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度，∴|2t+3﹣（2+t）|＝2，解得：t＝1或t＝﹣3（舍）；当点E向数轴负方向运动，即t＞3时，线段AB的中点表示的数为2+t，线段EF的中点表示的数为15﹣2t，∵线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度，∴|15﹣2t﹣（2+t）|＝2，解得：t =113或t ＝5，∴当线段AB 与EF 的“中距离”恰好等于线段AB 的长度时，t 的值为1或113或5．6．我们将数轴上点P 表示的数记为x P ．对于数轴上不同的三个点M ，N ，T ，若有x N ﹣x T ＝k （x M ﹣x T ），其中k 为有理数，则称点N 是点M 关于点T 的“k 星点”．已知在数轴上，原点为O ，点A ，点B 表示的数分别为x A ＝﹣2，x B ＝3．（1）若点B 是点A 关于原点O 的“k 星点”，则k ＝　−32　；若点C 是点A 关于点B 的“2星点”，则x C ＝　﹣7　；（2）若线段AB 在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB 的中点D ．是否存在某一时刻，使得点D 是点A 关于点O 的“﹣2星点”？若存在，求出线段AB 的运动时间；若不存在，请说明理由；（3）点Q 在数轴上运动（点Q 不与A ，B 两点重合），作点A 关于点Q 的“3星点”，记为A '，作点B 关于点Q 的“3星点”，记为B '．当点Q 运动时，QA '+QB '是否存在最小值？若存在，求出最小值及相应点Q 的位置；若不存在，请说明理由．试题分析：（1）由“k 星点”的定义列出方程可求解；（2）设点表示的数为a ，点B 表示的数a +5，则线段AB 的中点D 表示的数为2a 52，由“k 星点”的定义列出方程可求解；（3）先求出A '，B '表示的数，可求QA '+QB '＝|﹣6﹣3y |+|9﹣3y |，由绝对值的性质可求解．答案详解：解：（1）∵点B 是点A 关于原点O 的“k 星点”，∴3﹣0＝k （﹣2﹣0），解得：k =−32，∵点C 是点A 关于点B 的“2星点”，∴x C ﹣3＝2×（﹣2﹣3），∴x C ＝﹣7，所以答案是：−32，﹣7；（2）设点表示的数为a ，点B 表示的数a +5，则线段AB 的中点D 表示的数为2a 52，∵点D 是点A 关于点O 的“﹣2星点”，∴2a 52−0＝﹣2×（a ﹣0），∴a =−56，∴t =−61=76，∴当t =76，使得点D 是点A 关于点O 的“﹣2星点”；（3）当点Q 在线段AB （点Q 不与A ，B 两点重合）上时，QA '+QB '存在最小值，理由如下：设点Q 表示的数为y ，∵点A '是点A 关于点Q 的“3星点”，∴点A '表示的数为﹣6﹣2y ，∵点B '是点B 关于点Q 的“3星点”，∴点B '表示的数是9﹣2y ，∴QA '+QB '＝|﹣6﹣2y ﹣y |+|9﹣2y ﹣y |＝|﹣6﹣3y |+|9﹣3y |，当y ＜﹣2时，QA '+QB '＝3﹣6y ＞15，当﹣2＜y ＜3时，QA '+QB '＝15，当y ＞3时，QA '+QB '＝6y ﹣3＞15，∴当点Q 在线段AB （点Q 不与A ，B 两点重合）上时，QA '+QB '存在最小值，最小值为15．7．【阅读理解】射线OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠COA =12∠BOC ，则我们称射线OC 是射线OA 的伴随线．例如，如图1，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝20°，则∠AOC =12∠BOC ，称射线OC 是射线OA 的伴随线；同时，由于∠BOD =12∠AOD ，称射线OD 是射线OB 的伴随线．【知识运用】（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝　40　°，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是　α6　．（用含α的代数式表示）（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．试题分析：（1）根据伴随线定义即可求解；（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．答案详解：解：（1）40°，α6；（2）射线OD与OA重合时，t=1805=36（秒）①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20，∴t＝20；若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20，∴t＝25；所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．②相遇之前：（i）如图1，OC是OA的伴随线时，则∠AOC=12∠COD即3t=12（180﹣5t﹣3t）∴t=90 7（ii）如图2，OC是OD的伴随线时，则∠COD=12∠AOC即180﹣5t﹣3t=12×3t∴t=360 19相遇之后：（iii）如图3，OD是OC的伴随线时，则∠COD=12∠AOD即5t+3t﹣180=12（180﹣5t）∴t=180 7（iv）如图4，OD是OA的伴随线时，则∠AOD=12∠COD即180﹣5t=12（3t+5t﹣180）∴t＝30所以，综上所述，当t=907，36019，1807，30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．8．如图1，对于线段AB和∠A′OB′，点C是线段AB上的任意一点，射线OC′在∠A′OB′内部，如果ACAB=∠A′OC′∠A′OB′，则称线段AC是∠A′OC′的伴随线段，∠A′OC′是线段AC的伴随角．例如：AB＝10，∠A′OB′＝100°，若AC＝3，则线段AC的伴随角∠A′OC′＝30°．（1）当AB＝8，∠A′OB′＝130°时，若∠A′OC′＝65，试求∠A′OC′的伴随线段AC的长．（2）如图2，对于线段AB和∠A′OB′，AB＝6，∠A′OB′＝120°．若点C是线段AB上任一点，E，F分别是线段AC，BC的中点，∠A′OE′，∠A′OC′，∠A′OF′分别是线段AE，AC，AF的伴随角，则在点C从A运动到B的过程中（不与A，B重合），∠E′OF′的大小是否会发生变化？如果会，请说明理由；如果不会，请求出∠E′OF′的大小．（3）如图3，已知∠AOC是任意锐角，点M，N分别是射线OA，OC上的任意一点，连接MN，∠AOC的平分线OD与线段MN相交于点Q．对于线段MN和∠AOC，线段MP是∠AOD的伴随线段，点P和点Q能否重合？如果能，请举例并用数学工具作图，再通过测量加以说明；如果不能，请说明理由．试题分析：（1）根据伴随角和伴随线段的定义定义列出等式即可求解；（2）由中点的定义可得EF=12AB，再利用伴随角和伴随线段的定义列出等式，可得出结论；（3）由伴随角和伴随线段的定义可得，点P和点Q重合时，是MN的中点，画出图形，测量即可．答案详解：解：（1）由伴随角和伴随线段的定义可知，ACAB =∠A′OC′∠A′OB′，∴AC8=65°130°=12，∴AC＝4．（2）不会，∠E′OF′＝60°．理由如下：∵点E，F分别是线段AC，BC的中点，∴EC=12AC，CF=12BC，∴EF=12AB＝3．∵∠A′OE′，∠A′OC′，∠A′OF′分别是线段AE，AC，AF的伴随角，∴AEAB=∠A′OE′∠A′OB′，ACAB=∠A′OC′∠A′OB′，AFAB=∠A′OF′∠A′OB′，∵EF＝AF﹣AE，∴EFAB=AFAB−AEAB=∠A′OF′∠A′OB′−∠A′OE′∠A′OB′=∠E′OF′∠A′OB′=12，∵∠A′OB′＝120°，∴∠E′OF′＝60°．（3）能，理由如下：∵OD是∠AOC的平分线，∴∠AOD=12∠AOC，∵线段MP是∠AOD的伴随线段，∴MPMN=∠AOD∠AOC=12．即点P是MN的中点．若点P和点Q重合，则点Q为MN的中点．根据题意画出图形如下所示：测量得出当点P和点Q重合时，NP＝MQ＝1.25cm．二．数形结合之数轴与方程（经典题型）9．我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值，例如：点A，B在数轴上分别对应的数为a，b，则A，B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|．根据以上知识解决问题：（1）如图1所示，在数轴上点E，F表示的数分别为﹣5，3，则EF＝　8　；（2）①如图2所示，点P表示数x，点M表示数﹣2，点N表示数2x+14，且MN＝2PM，求：点P和点N表示的数．②在上述①的条件下，数轴上是否存在点Q．使PQ+QN=52QM？若存在，请直接写出点Q所表示的数；若不存在，请说明理由．试题分析：（1）由点E ，F 表示的数分别为﹣5，3，可得EF ＝|﹣5﹣3|＝8；（2）①由点P 表示数x ，点M 表示数﹣2，点N 表示数2x +14，得MN ＝2x +16，PM ＝﹣2﹣x ，即得2x +16＝2（﹣2﹣x ），可解得P 表示的数是﹣5，N 表示的数是4；②设Q 表示的数是m ，分四种情况：当Q 在P 左侧时，（﹣5﹣m ）+（4﹣m ）=52（﹣2﹣m ），解得m ＝﹣8，当Q 在P 、M 之间，（m +5）+（4﹣m ）=52（﹣2﹣m ），解得m =−285（不合题意，舍去），当Q 在M 、N 之间，（m +5）+（4﹣m ）=52（m +2），解得m =85，当Q 在N 右侧，（m +5）+（m ﹣4）=52（m +2），解得m ＝﹣8（不合题意，舍去）．答案详解：解：（1）∵点E ，F 表示的数分别为﹣5，3，∴EF ＝|﹣5﹣3|＝8，所以答案是：8；（2）①∵点P 表示数x ，点M 表示数﹣2，点N 表示数2x +14，∴MN ＝（2x +14）﹣（﹣2）＝2x +16，PM ＝﹣2﹣x ，∵MN ＝2PM ，∴2x +16＝2（﹣2﹣x ），解得x ＝﹣5，∴2x +14＝2×（﹣5）+14＝4，答：P 表示的数是﹣5，N 表示的数是4；②设Q 表示的数是m ，当Q 在P 左侧时，PQ ＝﹣5﹣m ，QN ＝4﹣m ，QM ＝﹣2﹣m ，∵PQ +QN =52QM ，∴（﹣5﹣m ）+（4﹣m ）=52（﹣2﹣m ），解得m ＝﹣8，当Q 在P 、M 之间，PQ ＝m +5，QN ＝4﹣m ，QM ＝﹣2﹣m ，∵PQ +QN =52QM ，∴（m +5）+（4﹣m ）=52（﹣2﹣m ），解得m =−285（不合题意，舍去），当Q在M、N之间，PQ＝m+5，QN＝4﹣m，QM＝m+2，∵PQ+QN=52 QM，∴（m+5）+（4﹣m）=52（m+2），解得m=8 5，当Q在N右侧，PQ＝m+5，QN＝m﹣4，QM＝m+2，∵PQ+QN=52 QM，∴（m+5）+（m﹣4）=52（m+2），解得m＝﹣8（不合题意，舍去），综上所述，Q表示的数是﹣8或8 5．10．如图，数轴上A，B两点对应的数分别是﹣20和10，P，Q两点同时从原点出发，P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，Q以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点Q到达点B后立即返回，以相同的速度沿数轴向左运动．点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t＝1时，线段PQ＝　7　；（2）当PQ＝5时，求t的值；（3）在P，Q两点运动的过程中，若点A，点P，点Q三点中的一个点是另外两个点为端点的线段的中点，直接写出t的值．试题分析：（1）根据数轴上两点间距离公式可得；（2）分两种情况：当0≤t≤2或2＜t≤10时，分别列出方程可得答案；（3）分两种情况：当0≤t≤2或2＜t≤10时，再根据线段中点的定义可得答案．答案详解：解：（1）t＝1时，点P表示的数是﹣2，点Q表示的数是5，∴PQ＝5﹣（﹣2）＝7，所以答案是：7；（2）当0≤t≤2时，点P表示的数是﹣2t，点Q表示的数是5t，则5t ﹣（﹣2t ）＝5，解得t =57；当2＜t ≤10时，点P 表示的数是﹣2t ，点Q 表示的数是10﹣（5t ﹣10）＝20﹣5t ，则|（20﹣5t ）﹣（﹣2t ）|＝5，解得t ＝5或253；所以当PQ ＝5时，t 的值是57或5或253；（3）当0≤t ≤2时，点P 表示的数是﹣2t ，点Q 表示的数是5t ，点A 表示的数是﹣20，若点P 是线段AQ 的中点，则PA ＝PQ ，﹣2t +20＝5t +2t ，解得t =209＞2，故不存在此情况；当2＜t ≤10时，点P 表示的数是﹣2t ，点Q 表示的数是10﹣（5t ﹣10）＝20﹣5t ，点A 表示的数是﹣20，若点P 是线段AQ 的中点，则PA ＝PQ ，﹣2t +20＝20﹣5t +2t ，解得t ＝0，故不存在此情况；若点Q 是线段AP 的中点，则QA ＝PQ ，20﹣5t +20＝﹣2t ﹣20+5t ，解得t ＝7.5．当A 是PQ 的中点时，2t ﹣20＝30﹣5（t ﹣2），t =607，综上，t 的值是7.5或607．11．规定：A ，B ，C 是数轴上的三个点，当CA ＝3CB 时我们称C 为[A ，B ]的“三倍距点”，当CB ＝3CA 时，我们称C 为[B ，A ]的“三倍距点”．点A 所表示的数为a ，点B 所表示的数为b 且a ，b 满足（a +3）2+|b ﹣5|＝0．（1）a ＝　﹣3　，b ＝　5　；（2）若点C 在线段AB 上，且为[A ，B ]的“三倍距点”，则点C 所表示的数为 3　；（3）点M 从点A 出发，同时点N 从点B 出发，沿数轴分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒．当点B 为M ，N 两点的“三倍距点”时，求t 的值．试题分析：（1）根据非负性的性质．即可求得a ，b 的值；（2）根据“三倍距点”的定义即可求解；（3）分点B为[M，N]的“三倍距点”和点B为[N，M]的“三倍距点”两种情况讨论即可．答案详解：解：（1）∵（a+3）2+|b﹣5|＝0，∴a+3＝0，b﹣5＝0，∴a＝﹣3，b＝5，所以答案是：﹣3；5；（2）∵点A所表示的数为﹣3，点B所表示的数为5，∴AB＝5﹣（﹣3）＝8，∵点C为[A，B]的“三倍距点”，点C在线段AB上，∴CA＝3CB，CA+CB＝AB＝8，∴CB＝2，∴点C所表示的数为5﹣2＝3，所以答案是：3；（3）根据题意可知：点M所表示的数为3t﹣3，点N所表示的数为t+5，∴BM＝|5﹣（3t﹣3）|＝|8﹣3t|，BN＝|t+5﹣5|＝t，（t＞0），当点B为[M，N]的“三倍距点”时，即BM＝3BN，∴|8﹣3t|＝3t，∴8﹣3t＝3t或8﹣3t＝﹣3t，解8﹣3t＝3t，得：t=4 3，而方程8﹣3t＝﹣3t，无解，当点B为[N，M]的“三倍距点”时，即3BM＝BN，∴3|8﹣3t|＝t，∴24﹣9t＝t或24﹣9t＝﹣t，解得：t=125或t＝3，综上所述，当t=125或t＝3或t=43时，点B为M，N的“三倍距点”．12．已知，C，D为线段AB上两点，C在D的左边，AB＝a，CD＝b，且a，b满足（a﹣120）2+|4b ﹣a|＝0．（1）a ＝　120　，b ＝　30　；（2）如图1，若M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，求线段MN 的长；（3）线段CD 在线段AB 上从端点D 与点B 重合的位置出发，以3cm /s 的速度沿射线BA 的方向运动，同时点P 以相同速度从点A 出发沿射线AB 的方向运动，当点P 与点D 相遇时，点P 原路返回且速度加倍，线段CD 的运动状态不变，直到点C 到达点A 时线段CD 和点P 同时停止运动，设运动时间为ts ，在此运动过程中，当t 为多少s 时线段PC ＝10cm ？试题分析：（1）由绝对值及偶次方的非负性可求出a ，b 的值；（2）由中点的定义得AM =12AD =12（AC +CD ）=12（AC +30）=12AC +15）、CN =12BC =12（AB ﹣AC ）=12（120﹣AC ）＝60−12AC ，由MN ＝CN ﹣CM 即可求解；（3）分两种情况：①点P 与点D 相遇前，②点P 与点D 相遇后，每种情况再分点P 在点C 左边，点P 在点C 右边解答即可．答案详解：解：（1）∵a ，b 满足（a ﹣120）2+|4b ﹣a |＝0，∴a ﹣120＝0，4b ﹣a ＝0，∴a ＝120，b ＝30．所以答案是：120；30；（2）∵M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，∴AM =12AD =12（AC +CD ）=12（AC +30）=12AC +15，CN =12BC =12（AB ﹣AC ）=12（120﹣AC ）＝60−12AC ，∴CM ＝AM ﹣AC =12AC +15﹣AC ＝15−12AC ，∴MN ＝CN ﹣CM ）＝60−12AC ﹣（15−12AC ）＝﹣60−12AC ﹣15+12AC ＝45（cm ）；（3）由题意得：点P 与点D 相遇的时间为120÷（3+3）＝20（s ），点C 到达点A 的时间为（120﹣30）÷3＝30（s ），①点P 与点D 相遇前，即t ＜20时，Ⅰ点P 在点C 左边，线段PC ＝10cm ，∴PD ＝PC +CD ＝10+30＝40（cm ），由题意得：（3+3）t ＝120﹣40，解得：t =403，Ⅱ点P 在点C 右边，线段PC ＝10cm ，∴PD ＝CD ﹣PC ＝30﹣10＝20（cm ），由题意得：（3+3）t ＝120﹣20，解得：t =503，②点P 与点D 相遇后，即20≤t ≤30时，Ⅰ点P 在点C 左边，线段PC ＝10cm ，∴PD ＝PC +CD ＝10+30＝40（cm ），由题意得：（3×2﹣3）（t ﹣20）＝40，解得：t =1003＞30（不合题意，舍去），Ⅱ点P 在点C 右边，线段PC ＝10cm ，∴PD ＝CD ﹣PC ＝30﹣10＝20（cm ），由题意得：（3×2﹣3）（t ﹣20）＝20，解得：t =803，综上，当t 为403s 或503s 或803s 时线段PC ＝10cm ．13．如图，在数轴上点A 表示的数是a ，点B 表示的数是b ，数轴上有一点C ，且AC ＝2CB ，a 、b 满足|a +4|+（b ﹣11）2＝0．（1）a ＝　﹣4　，b ＝　11　；（2）求点C 表示的数；（3）点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，若AP +BQ ＝2PQ ，求t 的值．试题分析：（1）根据非负数的性质列方程，分别求出a 、b 的值即可；（2）设点C 表示的数为x ，分三种情况进行讨论，一是点C 在点A 与点B 之间，二是点C 在点B 的右侧，三是点C 在点A 的左侧，对符合题意的情况列方程求出x 的值，对不符合题意的情况直接舍去即可；（3）先根据题意得AP ＝4t ，BQ ＝3t ，则点P 表示的数是﹣4+4t ，点Q 表示的数是11﹣3t ，再按点P 在点Q 左侧和点P 在点Q 右侧分别列方程求出t 的值即可．答案详解：解：（1）∵|a +4|≥0，（b ﹣11）2≥0，且|a +4|+（b ﹣11）2＝0，∴|a +4|＝0，（b ﹣11）2＝0，∴a ＝﹣4，b ＝11，所以答案是：﹣4，11．（2）设点C 表示的数为x ，若点C 在A 、B 两点之间，则x +4＝2（11﹣x ），解得x ＝6；若点C 在点B 的右侧，则x +4＝2（x ﹣11），解得x ＝26；若点C 在点A 的左侧，则CA ＜CB ，∴不存在CA ＝2CB 的情况，综上所述，点C 表示的数是6或26．（3）由题意可知，AP ＝4t ，BQ ＝3t ，∴点P 表示的数是﹣4+4t ，点Q 表示的数是11﹣3t ，当点P 在点Q 左侧时，则4t +3t ＝2[11﹣3t ﹣（﹣4+4t ）]，解得t =107；当点P 在点Q 右侧时，则4t +3t ＝2[﹣4+4t ﹣（11﹣3t ）]，解得t =307，综上所述，t 的值为107或307．三．数形结合之角的动边与方程（超难题型）14．如图，∠AOD ＝130°，∠BOC ：∠COD ＝1：2，∠AOB 是∠COD 补角的13．（1）∠COD ＝　60°　；（2）平面内射线OM 满足∠AOM ＝2∠DOM ，求∠AOM 的大小；（3）将∠COD 固定，并将射线OA ，OB 同时以2°/s 的速度顺时针旋转，到OA 与OD 重合时停止．在旋转过程中，若射线OP 为∠AOB 的平分线，OQ 为∠COD 的平分线，当∠POQ +∠AOD ＝50°时，求旋转时间t （秒）的取值范围．试题分析：（1）设∠BOC ＝α，则∠COD ＝2α，由此可表达∠AOB 的度数，最后根据角度的和差计算建立方程，求解即可；（2）需要分两种情况，一种是射线OM 在∠AOD 的内部，一种是射线OM 在∠AOD 的外部，根据角度的和差关系建立方程，求解即可；（3）本题需要分类讨论，当射线OB 与射线OQ 重合前，射线OP 与射线OQ 重合前，射线OA 与射线OP 重合前，射线OP 与射线OD 重合后，由此得出t 的取值范围分别是0≤t ≤40，40＜t ≤45，45＜t ≤50，50＜t ≤55，55＜t ≤65．画出图形分别表示∠AOD 和∠POQ ，建立方程求出t 的值．答案详解：解：（1）设∠BOC ＝α，则∠COD ＝2α，∵∠AOB 是∠COD 补角的13，∴∠AOB =13（180°﹣2α）＝60°−23α，∵∠AOB +∠BOC +∠COD ＝∠AOD ，即60°−23α+α+2α＝130°，解得α＝30°，∴∠COD ＝2α＝60°；所以答案是：60°；（2）由于射线OM 的位置不确定，所以需要分两种情况：①射线OM 在∠AOD 的内部，如图1：∵∠AOM ＝2∠DOM ，∠AOD ＝130°，∴∠AOM +∠DOM ＝∠AOD ，即3∠DOM ＝130°，∴∠DOM ＝（1303）°，∴∠AOM ＝2∠DOM ＝（2603）°；②射线OM 在∠AOD 的外部，如图2：∵∠AOM ＝2∠DOM ，∠AOD ＝130°，∴∠AOM +∠DOM ＝360°﹣∠AOD ，即3∠DOM ＝360°﹣130°，∴∠DOM ＝（2303）°，∴∠AOM ＝2∠DOM ＝（4603）°；综上，∠AOM 的度数为：（2603）°或（4603）°；（3）由（1）知，∠AOB ＝40°，∠BOC ＝30°，∠COD ＝60°；∵射线OP 为∠AOB 的平分线，OQ 为∠COD 的平分线，∴∠AOP ＝∠BOP ＝20°，∠COQ ＝∠COQ ＝30°，当射线OA ，OB 同时以2°/s 的速度顺时针旋转时，∠AOD ＝130°﹣2°t ，当射线OB 与射线OQ 重合前，即0≤t ≤30，如图3，此时∠POQ ＝∠AOD ﹣∠AOP ﹣∠DOQ ＝130°﹣2°t ﹣20°﹣30°＝80°﹣2°t ，∴∠POQ +∠AOD ＝80°﹣2°t +130°﹣2°t ＝210°﹣2°t ，不是50°，不符合题意；射线OB 与射线OQ 重合后，射线OP 与射线OQ 重合前，即30＜t ≤40时，如图4，此时∠BOD ＝90°﹣2°t ，∴∠BOQ ＝∠DOQ ﹣∠BOD ＝30°﹣（90°﹣2°t ）＝2°t ﹣60°，∴∠POQ ＝∠BOP ﹣∠BOQ ＝20°﹣（2°t ﹣60°）＝80°﹣2°t ；此时∠POQ+∠AOD＝80°﹣2°t+130°﹣2°t+＝210°﹣4°t，不是50°，不符合题意；射线OP与射线OQ重合后，射线OB与射线OD重合前，即40＜t≤45时，如图5，此时∠BOD＝90°﹣2°t，∴∠BOQ＝∠DOQ﹣∠BOD＝30°﹣（90°﹣2°t）＝2°t﹣60°，∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝2°t﹣60°﹣20°＝2°t﹣80°；此时∠POQ+∠AOD＝2°t﹣80°+130°﹣2°t＝50°，符合题意；射线OB与射线OD重合后，射线OA与射线OQ重合前，即45＜t≤50时，如图6，此时∠BOD＝2°t﹣90°，∴∠BOQ＝∠DOQ+∠BOD＝30°+（2°t﹣90°）＝2°t﹣60°，∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝2°t﹣60°﹣20°＝2°t﹣80°；此时∠POQ+∠AOD＝2°t﹣80°+130°﹣2°t＝50°，符合题意；射线OA与射线OQ重合后，射线OP与射线OD重合前，即50＜t≤55，如图7，此时∠BOD＝2°t﹣90°，∴∠BOQ＝∠DOQ+∠BOD＝30°+（2°t﹣90°）＝2°t﹣60°，∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝2°t﹣60°﹣20°＝2°t﹣80°；此时∠POQ+∠AOD＝2°t﹣80°+130°﹣2°t＝50°，符合题意；射线OP与射线OD重合后，射线OA与射线OD重合前，即55＜t≤65时，如图8，此时∠BOD＝2°t﹣90°，∴∠BOQ＝∠DOQ+∠BOD＝30°+（2°t﹣90°）＝2°t﹣60°，∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝2°t﹣60°﹣20°＝2°t﹣80°；此时∠POQ+∠AOD＝2°t﹣80°+130°﹣2°t＝50°，符合题意；综上可知，当∠POQ+∠AOD＝50°时，旋转时间t（秒）的取值范围为40≤t≤65．15．如图①，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．（1）求∠MON的度数．（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．（3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图②，已知线段AB＝a，延长线段AB 到C，使BC＝m，点M、N分别为线段AC、BC的中点，求线段MN的长（用含a，m的式子表示）．试题分析：（1）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；（2）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；（3）由已知条件求AC的长，再利用中点的定义可求解BM，BN的度数，结合MN＝BM+BN可求解；答案详解：解：（1）∵∠AOB ＝100°，∠BOC ＝60°，∴∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ＝100°+60°＝160°，∵OM 平分∠AOC ，∴∠MOC ＝∠MOA =12∠AOC ＝80°，∴∠BOM ＝∠AOB ﹣∠AOM ＝100°﹣80°＝20°，∵ON 平分∠BOC ，∴∠BON ＝∠CON ＝30°，∴∠MON ＝∠BOM +∠BON ＝20°+30°＝50°；（2）∵∠AOB ＝α，∠BOC ＝β，∴∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ＝α+β，∵OM 平分∠AOC ，∴∠MOC ＝∠MOA =12∠AOC =12（α+β），∴∠BOM ＝∠AOB ﹣∠AOM ＝α−12（α+β）=12α−12β，∵ON 平分∠BOC ，∴∠BON ＝∠CON =12β，∴∠MON ＝∠BOM +∠BON =12α−12β+12β=12α，故∠MON =α2；（3）∵AB ＝a ，BC ＝m ，∴AC ＝AB +BC ＝a +m ，∵M 是AC 中点，∴MC =12AC =a m 2，∵N 是BC 中点，∴NC =12BC =m 2，∴MN ＝MC ﹣NC =a m 2−m 2=a 2．16．如图，∠AOB ＝90°，∠COD ＝60°．（1）若OC 平分∠AOD ，求∠BOC 的度数；（2）若∠BOC=114∠AOD，求∠AOD的度数；（3）若同一平面内三条射线OT、OM、ON有公共端点O，且满足∠MOT=12∠NOT或者∠NOT=12∠MOT，我们称OT是OM和ON的“和谐线”．若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且0＜t＜15，求当射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值．试题分析：（1）利用角平分线的定义解答即可；（2）设∠AOD＝x，利用角的和差列出关于x的方程，解方程即可求得结论；（3）利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含t的代数式表示出∠AOP和∠QOP的度数，依据“和谐线”的定义列出方程，解方程即可求得结论．答案详解：解：（1）OC平分∠AOD，∴∠COD＝∠AOC=12∠AOD．∵∠COD＝60°，∴∠AOD＝2∠COD＝120°；（2）设∠AOD＝x，则∠BOC=114x．∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC，∵∠AOB＝90°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝150°﹣∠BOC．∴x＝150−114x．解得：x＝140°．∴∠AOD的度数为140°．（3）当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t．∴∠AOP＝90°﹣∠BOP＝90°﹣12t，∠QOP＝90°﹣∠AOQ﹣∠BOP＝90°﹣21t．∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，∴∠QOP=12∠AOP．∴90°﹣21t=12（90°﹣12t）．解得：t＝3．当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图，由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t．∴∠AOP＝90°﹣∠BOP＝90°﹣12t，∠QOP＝∠BOP﹣∠BOQ＝∠BOP﹣（90°﹣∠AOQ）＝21t﹣90°．∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，∴∠QOP=12∠AOP或∠AOP=12∠QOP．∴21t﹣90°=12（90°﹣12t）或90°﹣12t=12（21t﹣90）．解得：t＝5或t＝6．当射线OP在∠AOB的外部，射线OQ在∠AOB的内部时，如图，。

2024年高考真题汇总三角函数(学生版)

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.83(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1B.23-1C.32D.1-35(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.46(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.327(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f (x )=sin2x 和g (x )=sin 2x -π4，下列说法正确的有()A.f (x )与g (x )有相同的零点B.f (x )与g (x )有相同的最大值C.f (x )与g (x )有相同的最小正周期D.f (x )与g (x )的图像有相同的对称轴9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，则sin (α+β)=.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x -3cos x 在0,π 上的最大值是．2024年高考真题汇总一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.22(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.783(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f (x )=(3sin x +cos x )cos x -12，若f (x )在区间-π4,m 上的值域为-32,1，则实数m 的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π125(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cos ωx x ∈R 在0,π 内恰有两个对称中心，f π =1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若f α +g α =35，则cos 4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-19256(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f (x )=sin2ωx +cos2ωx (ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54 B.74C.94D.1147(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin 2x +φ ϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0 ，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π29(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sinωx+3cosωx(ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y=f x -2logπx有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y=f x+φ为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y=f x 在0,π3上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y=f x 在0,π上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256 .A.1B.2C.3D.410(2024·河北保定·二模)已知tanα=3cosαsinα+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-7911(2024·河北衡水·三模)已知sin(3α-β)=m sin(α-β)，tan(2α-β)=n tanα，则m，n的关系为()A.m=2nB.n=m+1m C.n=mm-1D.n=m+1m-112(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin2α2+sinα的值是()A.25B.45C.65D.8513(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sinα+β=2cosα+β，sinαsinβ-3cosαcosβ=0，则tanα-β=()A.-1B.-32C.-12D.12二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-30815(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-1219(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为1222(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.25(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.。

人力资源统计学历年真题分题型汇总含部分参考答案

历年真题分题型汇总（含部分参考答案）一、论述题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 1、2010年1月33、企业劳动环境的分析和评价指标有哪些？各指标如何计算？请写出相关计算公式。

P78 34、试论述工作时间（工日）构成关系图与工作时间利用基本分析指标。

P52 2、2009年7月33、如何设计企业人力资源管理素质综合评价体系？P32答：（1）企业人力资源素质综合评价是为了适应人力资源管理和开发的需要，科学运用经济计量、数学模型、统计等方面，对企业中作为经济要素的人力资源整体素质进行综合分析与评价（2分）企业人力资源素质评价的特点有：数量化、模糊性、动态性。

（1分）（2）人力资源素质指标体系的设计的构成因素有：身体、心理和文化素质等。

（1分）企业人力资源素质综合评价的设计原则：整体性原则、主导因素原则、定量化原则、模糊灰色原则、最优化原则。

（3分）（3）企业人力资源素质综合评价的程序：建立评价指标体系、确定指标权重、确定评价方法。

（3分）（评分要求：答出要点，并进行阐述。

）34、如何运用指数体系对企业员工工资水平的变动进行分析？P179 答：（1）企业工资部额的变动统计公式为：工资总额=职工平均人数×职工平均工资。

（1分）（2）平均工资的计算：平均工资∑∑=TXT X （1分）（3）平均工资指数的计算：①可变工资数：∑∑∑∑=1011101TT x T T x X X （1分）②固定构成工资指数：∑∑∑∑=11011101T T X T T X X X （1分）③结构影响工资指数：∑∑∑∑=011001TT x T T x X X （1分）（4）三者关系分析：连乘关系：∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑⨯==001101101110011101TT x T T x T T x T T x TT x T T x X X （2分）平均工资可变组成指数=平均工资固定构成指数×平均工资结构影响指数（1分）总和关系：∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-+-=-0110110111000111T T x T T x T T x T T x T T x T T x增减关系：0110101111X T Tx T T x x TTx T T x X X X ∑∑∑∑∑∑∑∑-+-=-3、 09年1月：33、试述企业人力资源管理统计指标体系。

心理学考研-历年真题(312、347)大题-发心与教心

2发心与教心2.1312真题简答题1试从学习的认知观出发，简要比较接受学习与发现学习的利弊。

（2018）2什么是知识的表征？举例说明陈述性知识的表征方式。

（2017）3简述社会建构主义学习理论的基本观点。

（2016）4什么是概念转变？根据波斯纳（G.J.Posner）的观点，影响概念转变的基本条件有哪些？（2015）5简述认知结构学习理论和认知建构学习理论的主要区别。

（2014）6简述儿童同伴关系的作用。

（2013）7简述学习迁移的形式训练说及其对教育的影响。

（2012）8在一次数学考试中，王强得了满分，赵明不及格。

问及原因时，王强说是自己的刻苦学习的结果，赵明认为是自己缺少数学细胞。

请结合维纳归因理论分析他们今后数学学习可能的行为表现及原因。

（2011）9简述建构主义学习观的基本内容。

（2011）10试述弗洛伊德和埃里克森的心理发展观，并比较其异同。

（2010）11试述皮亚杰的认知发展理论及其对教学工作的启示。

（2009）12简述认知结构迁移理论的基本观点。

（2008）13试根据斯金纳的理论，简述正强化、负强化、惩罚三者之间的区别。

（2007）综合题1小强正在专心地做地理拼图，亮亮从旁边走过。

只听“哎哟”一声，亮亮的腿碰到了小强的课桌，把小强花很长时间做的拼图碰散了。

小强一抬头，却发现亮亮正朝旁边的同学挤眉弄眼。

由此，小强认为亮亮的行为是故意的，十分生气，给了亮亮一拳。

试用攻击行为的社会信息加工模型解释小强攻击性行为产生的过程。

（2018）2根据下面四篇日记，请从弗洛伊德、班杜拉和皮亚杰的理论中任选两个理论来分析平平这几年中道德行为发展。

（2017）3沙伊在西雅图随机选择了500名被试，对其进行了一系列认知能力测试。

第一次测试时，被试年龄范围是20~70岁。

年龄相差5年的为一组，每7年对这些被试进行一次测试，得到的研究结果如下图所示，请回答：（1）该研究采用了何种设计？（2）从图中能得到什么结论？（3）解释人事老化的代表性观点有哪些？分别如何解释老化现象？（2016）4鲍姆瑞德（D.Baumrind）通过追踪研究发现，不同父母教养方式与儿童青少年发展之间存在联系，如下表：教养方式结果儿童时期青少年时期权威型较高的认知和社会能力较高的自尊，较好的社会技能，较强的道德，亲社会关注和较高的学业成就专制型一般的认知和社会能力一般的学业表现和社会技能，比纵容型教养方式下的青少年更为顺从纵容型较低的认知和社会能力较低的自我控制能力和学业成就，比权威型和专制型教养方式下的青少年更容易出现社会行为问题（1）结合鲍姆瑞德的观点，阐述不同父母教养方式的特点及其对儿童青少年心理发展的影响。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =．(1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ．4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ． 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC C . 9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．2．（2023∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ． (1)求sin B 的值； (2)求c 的值； (3)求()sin B C -的值．3．（2022∙天津∙高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.4．（2021∙天津∙高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．5．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.6．（2020∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知 5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7．（2020∙浙江∙高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．8．（2020∙江苏∙高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．考点04 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长1．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=． (1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．考点05 三角形中的证明问题1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+2．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.参考答案考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)2π3A =； (2)选择①无解；选择②和③△ABC【详细分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【答案详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B b =，则7sin sin sin b a BA A ===，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =. （2）选择①7b =，则sin 7B ===2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin 14B ==，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯=选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C ，解得sin C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】(1)1(2)4【详细分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【答案详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===，解得：1bc =．（2）由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A Ba Bb Ac A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B BA B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以sin 2A =，故ABC的面积为11sin 122ABC S bc A ==⨯△．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积. 【答案】(1)14；【详细分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BCcos 14B =，最后由同角三角函数基本关系可得sin 14B =； (2)由题意可得4ABDACD S S =△△，则15ACD ABC S S =△△，据此即可求得ADC △的面积. 【答案详解】（1）由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A ==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =222cos 214a c b B ac +-===，sin ABC ∠==（2）由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则11121sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭△△. 4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．【答案】；(2)22．【详细分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab +-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．【答案详解】（1）由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin 45A C ==．（2）因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a aa b c C ab a a +--+-====，即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =，所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．5．（2019∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【详细分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【答案详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-，此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos sin 2B a b A =．在ABC 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，此时就有sin cossin sin 2BA AB =，即cos sin 2B B =，再由二倍角的正弦公式得cos2sin cos 222B B B=，解得3B π=． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】由解法1得sin sin 2A CB +=，两边平方得22sinsin 2A CB +=，即21cos()sin 2A CB -+=．又180A BC ++=︒，即cos()cos A C B +=-，所以21cos 2sin B B +=，进一步整理得22cos cos 10B B +-=，解得1cos 2B =，因此3B π=． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A BC 的比例关系】根据题意sinsin 2A Ca b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A C A B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02A C π+<<，因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为ABC 是锐角三角形，又3B π=，所以,6262A C ππππ<<<<，则1sin 2ABCS ac B ==V 22sin 1sin 3sin 24sin 4sin C a A c B c C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⋅=⋅=⋅=22sincos cos sin 333sin 8tan C CC C ππ-=．因为,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，则1tan C ∈，从而ABC S ⎝⎭∈ ，故ABC面积的取值范围是82⎫⎪⎪⎝⎭． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知ABC的面积4ABC S a =△．因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以22221cos 0,21cos 0,2b a A bb a C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩即22221010.b a b a ⎧+->⎨+->⎩，又由余弦定理得221b a a =+-，所以220,20,a a a ->⎧⎨->⎩即122a <<，所以82ABC S << ，故ABC面积的取值范围是⎝⎭． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在ABC 中，过点A 作1AC BC ⊥，垂足为1C ，作2AC AB ⊥与BC 交于点2C ．由题设及（1）知ABC的面积ABC S =△，因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以点C 位于在线段12C C 上且不含端点，从而cos cos cc B a B⋅<<，即1cos3cos 3a ππ<<，即122a <<，所以82ABC S << ，故ABC面积的取值范围是82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.6．（2017∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】（1）23π，4；（2【答案详解】试题详细分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan A = 从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果. 试题解析：（1）sin 0,tan A A A =∴= 20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =. (2)2222cos c b a ab C =+-Q，1628422cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，1142222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=12ABD ABC S S ∆∆∴==7．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若c =2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）11sin 6222∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.8．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）25；（2）9 【答案详解】（1）利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：（1）由tan()24A π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.（2）由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.9．（2015∙全国∙高考真题）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边， 2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积．【答案】（1）14；（2）1 【答案详解】试题详细分析：（1）由2sin 2sin sin B A C =，结合正弦定理可得：22b ac =，再利用余弦定理即可得出cos ;B（2）利用（1）及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出试题解析：（1）由题设及正弦定理可得22b ac = 又a b =，可得2,2b c a c ==由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==（2）由（1）知22b ac =因为90B = ，由勾股定理得222a c b += 故222a c ac +=，得c a == 所以的面积为1考点：正弦定理，余弦定理解三角形10．（2015∙山东∙高考真题）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆【答案详解】试题详细分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc ≤ 当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．【答案】(1)π6A =(2)2+【详细分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【答案详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A = 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A == ，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c == 故ABC的周长为2+2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC的面积为3c ．【答案】(1)π3B =(2)【详细分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【答案详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ===，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =. （2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而1,4222a cbc +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅⋅= ，由已知ABC的面积为323=所以c =3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =． (1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ．【答案】(2)2b c ==.【详细分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出a ，作出BC 边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答. 【答案详解】（1）方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =，在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+-⋅∠，即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=，解得c =cos 14B ==，sin B ===，所以sin tan cos 5B B B ==. 方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =，在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADC =+-⋅∠，即214122132b =+-⨯⨯⨯=，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=，π6C =，过A 作AE BC ⊥于E，于是3cos ,sin 2CE AC C AE AC C ====，52BE =，所以tan 5AE B BE ==. （2）方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩，整理得222122a b c +=+，而228b c +=，则a =，又11sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =-，于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++-=+= ，即2416a +=，解得a =，又11sin 2ADC S ADC =⨯∠ sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若sin sin 3A C =，求b ．【答案】(2)12【详细分析】（1）先表示出123,,S S S，再由1232S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.【答案详解】（1）由题意得22221231,,22444S a a S b S c =⋅⋅===，则222123S S S -+==，即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos 3B ==，1cos 4ac B ==，则1sin 28ABC S ac B == ；（2）由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则229sin sin sin sin sin 43b ac ac B A C A C =⋅==，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．【答案】(1)见解析 (2)14【详细分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. 【答案详解】（1）证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅，即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-，所以2222a b c =+；（2）解：因为255,cos 31a A ==，由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则50502531bc -=，所以312bc =，故()2222503181b c b c bc +=++=+=，所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】(1)6π(2)6+【详细分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【答案详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos 2C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ，解得a =.由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=.7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【详细分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出．【答案详解】（1）因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；（2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B +++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5． 8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC =2，求C . 【答案】（1（2）15︒.【详细分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）方法一：将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【答案详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B == （2）[方法一]：多角换一角 30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C ∴=︒-1cos sin(30)22C C C ==+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒. [方法二]：正弦角化边由正弦定理及150B =︒得22sin sin sin ====a c bR b A C B．故sin ,sin 22==a c A C b b ．由sin 2A C =，得a +=．又由余弦定理得22222cos =+-⋅=+b a c ac B a 2+c ，所以()222()2=++a a c ，解得a c =．所以15=︒C ．【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【详细分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【答案详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===，所以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤，当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC周长的最大值为3+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，易知当6C π=时，max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.10．（2018∙全国∙高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC . 【答案】（1）5；（2）5. 【详细分析】（1）方法一：根据正弦定理得到sin sin BD AB A ADB =∠∠，求得sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos 5ADB ∠==；（2）方法一：根据第一问的结论可以求得cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD △中，根据余弦定理即可求出．【答案详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠，代入数值并解得sin 5ADB ∠=．又因为BD AB >，所以A ADB ∠>∠，即ADB ∠为锐角，所以cos 5ADB ∠=．［方法2］：余弦定理在ABD △中，2222cos 45BD AB AD AB AD =+-⋅ ，即2254222AD AD =+-⨯⨯⨯，解得：AD =所以，2254cos5ADB +-∠==．［方法3］：【最优解】利用平面几何知识如图，过B 点作BE AD ⊥，垂足为E ，BF CD ⊥，垂足为F ．在Rt AEB 中，因为45A ∠=︒，=2AB ，所以AE BE ==．在Rt BED △中，因为5BD =，则DE ===．所以cos ADB ∠=［方法4］：坐标法以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA为y 轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．设BDC α∠=，则(5cos ,5sin )B αα．因为45A ∠=︒，所以(0,5sin A α．从而2AB ==，又α是锐角，所以cos 5α=，cos sin ADB α∠===（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在BCD △，由（1）得，cos 5ADB ∠=，()2222cos 90BC BD DC BD DC ADB︒=+-⋅-∠2252525ADB =+-⨯⨯∠=，所以=5BC ．［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥，垂足为F ，易求，BF =FC =，由勾股定理得=5BC ．【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．11．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3【答案详解】试题详细分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =. 故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +故ABC 的周长为3+点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.12．（2017∙山东∙高考真题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .【答案】34A π=，a =【答案详解】试题详细分析：先由数量积公式及三角形面积公式得3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩,由此求A ,再利用余弦定理求a .试题解析：因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-，又3ABC S =△，所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0πA <<，所以3π4A =，又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(a =+-⨯⨯，所以a = 【考点】解三角形【名师点评】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．13．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，△ABC 的面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2．【答案详解】试题详细分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．14．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 622∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.15．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角 A ，B ， C 所对的边分别为a ， b ，c ，已知 4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求 b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.【答案详解】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.试题解析：（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=， ∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos 2sin 22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得sin 5C =，cos 5C =，又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴sin B =3c b =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴bc =3b =. 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.16．（2015∙山东∙高考真题）ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()39B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【答案】,1.3【详细分析】由条件先求得sin sin C A ，，再由正弦定理即可求解.【答案详解】在ABC 中，由cos 3B =，得sin 3B =.因为A B C π++=，所以sin sin()9C A B =+=，因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，cos 9C =，因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+39393=⨯+⨯=.由sin sin a c A C =，可得sin sin 9cc A a C ===，又ac =1c =.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．【答案】(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【答案详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin 16B =，。

高考真题大题全练

数列1.(2016全国卷Ⅰ)(文)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn }满足b1＝1，b2＝31，anb1n++b1n+＝nbn.(1).求{an}的通项公式；(2).求{bn}的前n项和.2.(2016全国卷Ⅰ)(文)等差数列{an }中，a3+a4＝4，a 5+a7＝6.(1).求{an}的通项公式；(2).设bn ＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 3.(2016山东)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2+8n，{bn}是等差数列，且an＝bn+b1n+.(1).求{bn}的通项公式；(2).设cn＝nn1nn)2b()1a(+++.求数列{cn}的前n项和Tn.4.(2015山东)(文)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{1nnaa1+}的前n项和为1n2n+.(1).求{an}的通项公式；(2).设bn＝(an+1)·2n a，求数列{bn}的前n项和Tn.5.(2015福建)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4+a 7＝15. (1).求{a n }的通项公式； (2).设b n ＝22a n -+n ，求数列{b n }的前10项和T 10.6.(2014全国卷Ⅰ)(文)已知数列{a n }是递增的的等差数列，a 2，a 4是方程x 2-5x+6＝0的根. (1).求{a n }的通项公式；(2).求数列{nn 2a}的前n 项和.7.(2014全国卷Ⅰ)(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a 1n +＝λS n -1，其中λ为常数. (1)证明：a 2n +-a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由.8.(2016浙江)(文)已知等差数列{a n }的公差为d ＞0，{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k(m ，k ∈N *)的值，使得a m +a 1m ++a 2m ++…a k m +＝65.9.(2018湖北四校第二次联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a 1n +的等差中项. (1).求证：数列{1a 1n -}是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2).求数列{n2a n 1}的前n 项和为S n .10.(2018郑州市高三第三次质量预测)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，前n 项和为S n ，若a 2+a 8＝22，且a 4，a 7，a 12成等比数列. (1).求{a n }的通项公式； (2).若T n ＝1S 1+2S 1+3S 1+…+nS 1，证明：T n ＜4311.(2018福州市高三质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，10S 10＝5S 5+5. (1).求{a n }的通项公式；(2).若b n ＝a n ·4nn a S ，求数列{b n }的前n 项和T n .12.(2018湘东五校联考)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列.(1).求{a n }的通项公式； (2).设T n 是数列{1n n a a 1+}的前n 项和，若λT n ≤a 1n +对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值.13.(2017石家庄高三二检)已知数列{an}的前n项和为Sn ，若S1m-＝-4，Sm＝0，S2m+＝14(m≥2，且m∈N*). (1).求m的值；(2).若数列{bn }满足2an＝log2bn(n∈N*)，求数列{(an +6)·bn}的前n项和.14.已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且a3+a5＝-8，S5＝-10.(1).求{an}的通项公式；(2).若bn ＝(an-6)(a1n+-6)，求数列{nb8}的前n项和Tn .15.已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列.(1).求{an}的通项公式；(2).设数列{nS1}的前n项和为Tn，求证：61≤Tn＜83.16.(2016年全国卷Ⅲ)(文)已知各项都是正数的数列{an}满足a1＝1，a2n-(2a1n+-1)an-2a1n+＝0.(1).求a2，a3；(2).求{an}的通项公式.17.(2015安徽)(文)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8.(1).求{an}的通项公式；(2).设{an }的前n项和为Sn，bn＝1nn1nSSa++，求数列{bn }的前n项和Tn.18.(2015山东)(理)已知数列{an }的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n+3.(1).求{an}的通项公式；(2).若数列{bn }满足anbn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Tn .19.(2014全国卷Ⅱ)(理)已知数列{an}满足a1＝1，a1n+＝3an+1.(1).证明{an+21}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2).证明1a1+2a1+…+na1＜2320.(2017山东)(文)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2＝6，a1a2＝a3.(1).求{an}的通项公式；(2).设{bn}是各项非零的等差数列，前n项和为Sn，已知S1n2+＝bnb1n+，求数列{nnba}的前n项和Tn.21.(2018广州市高三第二次综合测试)各项均为正数的数列{an }满足a21n+＝3a2n+2ana1n+，n∈N*，且a 2+a4＝3(a3+3).(1).证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2).令b n ＝nan，求{bn}的前n项和为Sn.22.(2018合肥市高三二检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn 满足4S5＝3S4+S6，且a3＝9.(1).求{an}的通项公式；(2).设bn ＝(2n-1)an，求{bn}的前n项和为Tn.23.(2017广西质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝23an-1(n∈N*).(1).求{an}的通项公式；(2).设bn＝2log32an+1，求21bb1+32bb1+…n1nbb1-.24.(2018山西高三二检)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn-2an＝n-4.(1).证明{Sn-n+2}为等比数列；(2).求数列{Sn}的前n项和Tn.25.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝21n ++m.(1).求{a n }的通项公式； (2).设b n ＝)a a (log )1n 2(11n n 2++，求{b n }的前n 项和为T n .26.(2018太原市二模)已知数列{na n }的前n 项和S n ＝(n-1)21n ++2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，且log 2a n ·log 2a 2n +＝nb 1. (1).求{a n }的通项公式；(2).求T n .27.(2018东北三省四市一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2-n+1，正项等比数列{b n }的前n 项和为T n ，且b 2＝a 2，b 4＝a 5. (1).求{a n }和{b n }的通项公式；(2).数列{c n }中，c 1＝a 1，且c n ＝c 1n +-T n ，求{c n }的通项公式.28.(2018昆明市高三质检)已知数列{a n }中，a 1＝3，{a n }的前n 项和为S n 满足:S n +1＝a n +n 2. (1).求{a n }的通项公式； (2).设b n ＝(-1)n+2na ，求{b n }的前n 项和T n .29.(2017张掖市高三一诊)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝-3S n +4，b n ＝-log 2a 1n +. (1).求{an}和{bn}的通项公式；(2).令cn＝1n n 2b ++)1n (n 1+，{c n }的前n 项和为T n ，求T n .30.(2018浙江)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5＝28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项.数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b 1n +-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n. (1).求q 的值；(2).求数列{b n }的通项公式.解三角形1.(2018全国卷Ⅰ)(理)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1).求cos ∠ADB ； (2).若DC ＝22，求BC.2.(2018北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cosB ＝-71. (1).求∠A ；(2).求AC 边上的高.3.(2018天津)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsinA ＝acos(B-6π). (1).求角B 的大小；(2).设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A-B)的值.4.(2017全国卷Ⅰ)(理)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为Asin 3a 2.(1).求sinBsinC ；(2).若6cosBcosC ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长.5.(2017全国卷Ⅱ)(理)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin(A+C)＝8sin22B . (1).求cosB ；(2).若a+c ＝6，△ABC 的面积为2，求b.6.(2017全国卷Ⅲ)(理)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sinA+3cosA ＝0，a ＝27，b ＝2.(1).求c ；(2).设D 为BC 边上的一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积.7.(2017北京)(理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝73a. (1).求sinC 的值；(2).若a ＝7，求△ABC 的面积.8.(2017天津)(理)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a ＞b ，a ＝5，c ＝6，sinB ＝53. (1).求b 和sinA 的值； (2).求sin(2A+4π)的值.9.(2016全国卷Ⅰ)(理)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2cosC(acosB+bcosA)＝c. (1).求C；(2).若c＝7，△ABC的面积为233，求△ABC的周长.10.(2016北京)(理)在△ABC中，a2+c2＝b2+2ac.(1).求∠B的大小；(2).求2cosA+cosC的最大值. 11.(2016天津)(文)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin2B＝3bsinA.(1).求B；(2).若cosA＝31，求sinC的值.12.(2016浙江)(理)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c＝2acosB.(1).证明:A＝2B；(2).若△ABC的面积S＝4a2，求角A的大小.13.(2016江苏)在三角形ABC 中，AC ＝6，cosB ＝54，C ＝4π. (1).求AB 的长； (2).求cos(A-6π)的值.14.(2016山东)(理)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知2(tanA+tanB)＝Acos Btan B cos A tan . (1).证明：a+b ＝2c ； (2).求cosC 的最小值.15.(2016四川)(理)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且a A cos +b B cos ＝cCsin . (1).证明:sinAsinB ＝sinC ；(2).若b 2+c 2＝56bc ，求tanB.16.(2015全国卷Ⅰ)(文)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.sin 2B ＝2sinAsinC. (1).若a ＝b ，求cosB ；(2).设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积.17.(2015全国卷Ⅰ)(理)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 的面积是△ADC 面积的2倍. (1).求Csin Bsin ； (2).若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长.18.(2015山东)(理)设f(x)＝sinxcosx-cos 2(x+4π). (1).求f(x)的单调区间；(2).在锐角△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若f(2A)＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.19. (2015江苏)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1).求BC 的长； (2).求sin2C 的值.20.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知A ＝4π，b 2-a 2＝21c 2. (1).求tanC 的值；(2).若△ABC 的面积为3，求b 的值.21.(2015四川)(理)A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. (1).证明：tan2A ＝Asin A cos 1 ； (2).若A+C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3,CD ＝4，AD ＝5，求tan2A +tan 2B +tan 2C +tan 2D的值.22.(2014全国卷Ⅱ)(文)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1).求C 和BD ；(2).求四边形ABCD 的面积.23.(2014陕西)(文)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.(1).若a ，b ，c 成等差数列，证明：sinA+sinC ＝2sin(A+C).(2).若a ，b ，c 成等比数列，求cosB 的值.24.(2018郑州市三检)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且3acosC ＝(2b-3c)cosA. (1).求角A 的大小；(2).若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.25.(2018长沙第一次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且bsinB ＝asinA+(c-a)sinC. (1).求B ；(2).若3sinC ＝2sinA ，且△ABC 的面积为63，求b.26.(2018石家庄二检)已知在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且Bcos a c3＝tanA+tanB.(1).求角A 的大小；(2).设AD 为BC 边上的高，a ＝3，求AD 的取值范围.27.(2018重庆质检)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且sin 2B -cos 2B ＝41. (1).求cosB 的值； (2).若b 2-a 2＝431ac ，求A sin C sin 的值.28.(2018郑州市一检)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且2ccosB ＝2a+b. (1).求角C ； (2).若△ABC 的面积为23c ，求ab 的最小值.29.(2017四川二检)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝2π，B ＝32π，AB ＝6，在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED.若∠CED ＝32π，CE ＝7.(1).求sin ∠BCE 的值； (2).求CD 的长.30.(2017陕西八校联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且2acosA ＝ccosB+bcosC. (1).求cosA 的值；(2).若b 2+c 2＝4，求△ABC 的面积.31.(2018济南模考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.且bcosA-acosB ＝2c. (1).证明：tanB ＝-3tanA ；(2).若b 2+c 2＝a 2+3bc ，且△ABC 的面积为3，求a.32.(2018长春二检)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.其面积S ＝b 2sinA. (1).求bc的值； (2).设角A 的角平分线AD 交BC 于D ，AD ＝332，a ＝3，求b.统计与概率1.(2018全国卷Ⅰ)(文)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水数据(单位：m 3)和使用了节水龙头50天的日用水数据，得到的频数分布表如下：(1).在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2).估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3的概率；(3).估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)2.(2018全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为了比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组用第一种生产方式生产，第二组用第二种生产方式生产，根据工人完成任务的工作时间绘制如图所示的茎叶图：(1).根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2).求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：(3).根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K 2＝)d b )(c a )(d c )(b a ()bc ad (n 2++++-，3.(2017北京)(文)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生的人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30),[30,40),…,[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1).从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2).已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(3).已知样本中有一半男生分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女人数相等，试估计总体中男生和女生的人数比例. x yω28)xx(∑-28)(∑-ωω∑--8)yy)(xx(∑--8)yy)((ωω5.(2017全国卷Ⅱ)(理)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：㎏)，其频率分布直方图如下：(1).设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖方法的箱产量低于50㎏，新养殖方法的箱产量不低于50㎏”，估计A的概率；(2).填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的中位数的估计值(精确到0.01).K2＝)db)(ca)(dc)(ba()bcad(n2++++-，其中n＝a+b+c+d.7.(2016天津)(理)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1).设A为事件“选出2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2).设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望. 8.(2016山东)(文)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需要转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1).求小亮获得玩具的概率；(2).请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.9.(2015山东)(文)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：(1).从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2).在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B 2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.10.某企业为了解下属企业某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图，其中样本数据分组区间为：[40，50),[50，60),…,[80，90)，[,90，100].(1).求频率分布直方图中a的值；(2).估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3).从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率.11.(2018天津)(理)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(1).应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2).若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. (ⅰ).用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ⅱ)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 12.(2018全国卷)(理)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户前对产品作检验，如检验出不合格产品，则更换为合格产品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格产品相互独立.(1).记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p.(2).现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p作为p值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格产品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(ⅰ).若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ).以检验费用与赔偿费用和的期望值作为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？15.(2017天津)(理)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为21，31，41. (1).记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到的红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. (2).若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车遇到一个红灯的概率.16.(2017山东)(理)在心理学研究中，常采用对比实验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参与实验的志愿者随机分为两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比两组志愿者心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另外5人接受乙种心理暗示.(1).求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率.(2).用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者的人数，求X 的分布列与数学期望E(X).17.(2016年全国卷Ⅰ)(理)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1).求X的分布列；(2).若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3).以购买易损零件数所需费用的期望值作为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？19.(2016山东)(理)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两个人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率为43，乙每轮猜对的概率为32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(1).“星队”至少猜对3个成语的概率；(2).“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E(X).20.(2015山东)(理)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）. 在某次数学活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分.(1).写出所有个位数字是5的“三位递增数”(2).若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E(X).21.(2015福建)(理)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确定该银行卡的密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则尝试结束；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.3(1).求当天小王的该银行卡被锁定的概率(2).设小王用该卡尝试密码的次数为X，求X分布列和数学期望. 22.(2015天津)(理)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1).设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一协会”，求事件A发生的概率；(2).设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.23.(2015陕西)(理)设某校新、老校区之间开车单程所需要的时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量(1).求T的分布列和数学期望；(2).刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 24.(2015四川)(理)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1).求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.(2).某厂比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望.25.(2014山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分.对落点在A 上的来球，队员小明回球落点在C 上的概率为21，在D 上的概率为31；对落点在B 上的来球，队员小明回球落点在C 上的概率为51，在D 上的概率为53.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：(1).小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2).两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布与数学期望.27.(2014全国卷Ⅰ)(理)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：(1).求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2).由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，2σ)，其中μ的近似值为样本的平均数x ，2σ近似值为样本方差s 2.（ⅰ）.利用该正态分布，求P(187.8＜Z ＜212.2)； (ⅱ).某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用（ⅰ）的结果，求E(X).附：150≈12.2若Z ～N(μ，2σ)，则P(σμ-＜Z ＜σμ+)＝0.6827，P(σμ2-＜Z ＜σμ2+)＝0.9545.28.(2017全国卷Ⅰ)(理)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，2σ).(1).假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(σμ3-＜Z ＜σμ3+)之外的零件数，求P(X ≥1)及X 的数学期望； (2).一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(σμ3-＜Z＜σμ3+)之外的零件，就认为这条生产线在一天的生产过程中出险了异常，需对当天的生产过程进行检查. （ⅰ）.试说明上述监控过程方法的合理性；(ⅱ).下面是检验员在一天之内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝∑161i i x 161＝＝9.97，s ＝∑-161i 2i )x x (161＝＝)x 16x (161161i 22i ∑-＝≈0.212，其中x i 为抽取的第i个零件的尺寸，i ＝1，2，3， (16)用样本的平均数x 作μ的近似值∧μ，用样本的标准差s 作为σ的估计值∧σ，利用估计值判断是否需要对当天的生产过程进行检查？剔除(σμ3-＜Z ＜σμ3+)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).空间几何1.(2015全国卷Ⅰ)(文)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD. (1).证明：平面AEC ⊥平面BED ； (2).若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E-ACD 的体积为36，求该三棱锥的侧面积.2.(2015福建)(文)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1).若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2).求三棱锥P-ABC 体积的最大值；(3).若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE+OE 的最小值.3.(2017全国卷Ⅰ)(理)如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1).证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2).若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A-PB-C 的余弦值.4.(2017全国卷Ⅱ)(理)如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝21AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点. (1).证明：直线CE ∥平面PAB ；(2).点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的角为45°，求二面角M-AB-D 的余弦值.5.(2017全国卷Ⅲ)(理)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD.(1).证明：平面ACD ⊥平面ABC ； (2).过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分为体积相等的两部分，求二面角D-AE-C 的余弦值.6.(2017北京)(理)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA ＝PD ＝6，AB ＝4. (1).求证：M 为PB 的中点； (2).求二面角B-PD-A 的大小；(3).求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值.7.(2017天津)(理)如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA ＝AC ＝4，AB ＝2. (1).求证：MN ∥平面BDE ；(2).求二面角C-EM-N 的正弦值；(3).已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成的角的余弦值为217，求线段AH 的长.8.(2017山东)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB 边所在的直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是弧DF 的中点.(1).设P 是弧CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2).当AB ＝3，AD ＝2，求二面角E-AG-C 的大小.9.(2017江苏)如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1).求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2).求二面角B-A 1D-A 的正弦值.10.(2016全国卷Ⅰ)(理)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60°. (1).证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2).求二面角E-BC-A 的余弦值.11.(2016全国卷Ⅱ)(理)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD上，AE ＝CF ＝45，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D 'EF 的位置，OD '＝10.(1).证明：D 'H ⊥平面ABCD ； (2).求二面角B-D 'A-C 的正弦值.12.(2016全国卷Ⅲ)(理)如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD,N 为PC 的中点. (1).证明：MN ∥平面PAB ；(2).求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.13.(2016天津)(理)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.(1).求证：EG ∥平面ADF ；(2).求二面角O-EF-C 的正弦值； (3).设H 为线段AF 上的点，且AH ＝HF 32，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.14.(2016浙江)(理)如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1).求证：BF ⊥平面ACFD ；(2).求二面角B-AD-F 的平面角的余弦值.15.(2016山东)(理)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.(1).已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；(2).已知EF ＝FB ＝21AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F-BC-A 的余弦值.16.(2016四川)(理)如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝21AD.E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.(1).在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2).若二面角P-CD-A 的大小45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.17.(2015全国卷)(理)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1).证明：平面AEC⊥平面AFC；(2).求直线AE与直线CF所成角的余弦值.18.(2015年全国卷Ⅱ)(理)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，相交围成一个正方形.19.(2015山东)(理)如图，在三棱台DEF-ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. (1).求证：BD ∥平面FGH ；(2).若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角的大小.20.(2015广东)(理)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB. (1).证明：PE ⊥FG ；(2).求二面角P-AD-C 的正切值；(3).求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.21.(2015安徽)(理)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B 1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1).证明：EF∥B1C1；(2).求二面角E-A1D-B1的余弦值.22.(2015福建)(理)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(1).求证：GF∥平面ADE；(2).求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.23.(2015浙江)(理)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点.(1).证明：A1D⊥平面A1BC；(2).求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.24.(2015北京)(理)如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点.(1).求证：AO⊥BE；(2).求二面角F-AE-B的余弦值；(3).若BE⊥平面AOC，求a的值.。

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编立体几何大题(原卷版)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编立体几何大题（原卷版）1．(2021年高考全国甲卷理科)已知直三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B 为正方形,2AB BC ==,E ,F 分别为AC 和1CC 中点,D 为棱11A B 上地点．11BF A B ⊥(1)证明：BF DE ⊥。

(2)当1B D 为何值时,面11BB C C 与面DFE 所成地二面角地正弦值最小?2．(2021年高考全国乙卷理科)如图,四棱锥P ABCD -地底面是矩形,PD ⊥底面ABCD ,1PD DC ==,M 为BC 地中点,且PB AM ⊥．(1)求BC 。

(2)求二面角A PM B --地正弦值．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图,D 为圆锥地顶点,O 是圆锥底面地圆心,AE 为底面直径,AE AD =．ABC 是底面地内接正三角形,P 为DO 上一点,PO =．的(1)证明：PA ⊥平面PBC 。

(2)求二面角B PC E --地余弦值．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1地底面是正三角形,侧面BB 1C 1C 是矩形,M ,N 分别为BC ,B 1C 1地中点,P 为AM 上一点,过B 1C 1和P 地平面交AB 于E ,交AC 于F ．(1)证明：AA 1∥MN ,且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F 。

(2)设O 为△A 1B 1C 1地中心,若AO ∥平面EB 1C 1F ,且AO =AB ,求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角地正弦值．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,点,E F 分别在棱11,DD BB 上,且12DE ED =,12BF FB =．(1)证明：点1C 平面AEF 内。

(2)若2AB =,1AD =,13AA =,求二面角1A EF A --地正弦值．6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)图1是由矩形ADEB ,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成地一个平面图形,其中AB =1,BE =BF =2,∠FBC =60°,将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连结DG ,如图2．(1)证明：图2中地A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE 。

数学竞赛真题大汇总

lim (
1x 2 x 3 x 1 )x 3
n
(十届，北京大专组)
21. 设 x1 1, xn1 sin xn (n 1, 2,
) ，则 lim xn (九届，北京甲乙组)
sin t 2 dt ) t 22. lim (九届，北京甲乙组) x0 x f ( x) ln(1 ) f ( x) sin 2 x 23. lim 5, 则 lim 2 (八届，北京甲乙组) x x0 x 0 x 3 1 (
f n ( x) 1 在 [0, ) 上有唯一实根；（2）求 lim xn（六届，北京甲乙组）
1 2 cos x Cn cos 2 x 十五、设 f n ( x) Cn n (1) n 1 Cn cos n x, 求证：（ 1）
对于任何自然数 n，方程 f n ( x)
f (0,0) 0 ，且在点 (0, 0) 处 f ( x, y) 可微，求极限：
5
x0
lim

x2
0
dt
t x
f (t , u )du
x4 4
（六届，北京甲乙组）
1 e
十七、设函数 f (u) 在 u 内可导，且 f (0) 0 ，又
f (0), f (0), f (0)及 lim[1
x0
f ( x) 1 ] x （十一届，北京甲乙组） x
七、
求数列 n

1 n
（十一届，北京大专组）中的最小项。 x2 x x 0; （1）讨论函数的连续性；（2 ） x 1 x 0
八、
设函数 y f ( x)

上海期末真题精选50题(大题提升版)原卷版

上海期末真题精选50题（大题提升版）1．（2021·上海奉教院附中八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点()A 3,2在反比例函数(0)k y x x=>的图像上，点B 在射线OA 上，BC x ⊥轴，垂足为C ，BC 与反比例函数的图像相交于点D ，连接AC ，AD ．（1）当点B 的横坐标为6时，求线段AD 的长；（2）若52ACD S =△，求点B 的坐标．2．（2021·上海八年级期末）在平面直角坐标系平面中，直线12y x =经过点(),2A m ，反比例函数()0k y k x=≠的图像经过点A 和点()8,B n ．（1）求反比例函数的解析式；（2）在x轴上找一点C，当AC BC=时，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，求ACB∆的面积．3．（2020·上海八年级期末）已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．（1）A比B后出发几个小时？B的速度是多少？（2）在B出发后几小时，两人相遇？4．（2020·上海八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y=kx在第一象限内的图像交于点A（m，2），将直线y=2x向下平移后与反比例函数y=kx在第一象限内的图像交于点P，且△POA的面积为2. （1）求k的值；（2）求平移后的直线的函数解析式.5．（2020·上海八年级期末）某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制订了以下每年每户用水的收费标准：①用水量不超过220立方米时，每立方米收费1.92元，并加收每立方米1.53元的污水处理费；②用水量超过220立方米时，在①的基础上，超过220立方米的部分，每立方米收费3.30元，并加收每立方米1.53元污水处理费；设某户一年的用水量为x立方米，应交水费y元．（1）分别对①、②两种情况，写出y与x的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当某户2019年全年缴纳的水费共计1000.5元时，求这户2019年全年用水量．6．（2020·上海）如图线段AB是辆轿车油箱中剩余油量y（升）关于行驶时间x（小时）的函数图像，请解答下列问题：（1）写出y关于x的函数解析式，并写出函数定义城：（2）轿车行驶1小时后油箱中的剩余油量是多少升？（3）当油箱中剩余油量为12升时，轿车油表灯亮．①试问轿车行驶多少小时后油表灯亮？②如果轿车的行驶速度平均每小时80千米，问轿车油表灯亮后最多还能行驶多少千米？7．（2020·上海八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数43y x b =-+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．（1）直接写出点A 与点B 的坐标（用含b 的代数式表示）；（2）求b 的值；（3）如果一次函数43y x b =-+的图像经过第二、三、四象限，点C 的坐标为（2，m ），其中0m >，试用含m 的代数式表示△ABC 的面积．8．（2019·上海八年级期末）某边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B 追赶（如图1）．图2中1l 、2l 分别表示两船相对于海岸的距离s （海里）与追赶时间t （分）之间的关系．（1）求1l 、2l 的函数解析式；（2）当A 逃到离海岸12海里的公海时，B 将无法对其进行检查．照此速度，B 能否在A 逃入公海前将其拦截？若能，请求出此时B 离海岸的距离；若不能，请说明理由．9．（2020·上海市市西初级中学八年级期末）小华和小晶上山游玩，小华步行，小晶乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合. 已知小华步行的路程是缆车所经线路长的2倍，小晶在小华出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米. 图中的折线反映了小华行走的路程y （米）与时间x （分钟）之间的函数关系.（1）小华行走的总路程是___________米，他途中休息了___________分钟；小华休息之后行走的速度是每分钟___________米；（2）当030x ≤≤时，y 与x 的函数关系式是___________.（3）当小晶到达缆车终点时，小华离缆车终点的路程是___________米.10．（2018·上海八年级期末）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具.小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分钟)的关系如图，请结合图象，解答下列问题：（）______，b=______，m=______；1a=（）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；2（）在()2的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？311．（2019·上海八年级期末）为传播“绿色出行，低碳生活”的理念，小贾同学的爸爸从家里出发，骑自行车去图书馆看书，图1表达的是小贾的爸爸行驶的路程y（米）与行驶时间x（分钟）的变化关系（1）求线段BC所表达的函数关系式；（2）如果小贾与爸爸同时从家里出发，小贾始终以速度120米/分钟行驶，当小贾与爸爸相距100米是，求小贾的行驶时间；（3）如果小贾的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出v的取值范围。

2023年注册造价师考试真题大汇总土建

一、单项选择（各专业必答试题）土建1. 工程量清单由哪几部分构成？（A ）A. 由分部分项工程量清单、措施项目清单和其他项目清单三部分构成；B. 由分部分项工程量清单、措施项目清单、其他项目清单和零星项目清单构成。

2. 工程量清单计价计款旳构成是什么？（ C）A. 由分部分项工程费、措施项目费、其他项目费、规费、税金和不可预见费构成；B. 由分部分项工程费、措施项目费、其他项目费、规费、税金、定额测定费、社会保险金构成。

C. 由分部分项工程费、措施项目费、其他项目费、规费、税金构成。

3.综合单价旳定义是什么？（.）A. 综合单价是指完毕工程量清单中旳一种规定计量单位项目所需旳人工费、材料费、机械使用费、管理费和利润。

B. 综合单价是指完毕工程量清单中旳一种规定计量单位项目所需旳人工费、材料费、机械使用费、管理费和利润, 并考虑风险原因。

4. 总承包服务费包括那些内容？（ A）A. 总承包服务费旳内容, 除招标文献另有规定外, 一般状况下包括协调工程进度, 各专业交叉作业配合协调等发生旳费用, 以及配合招标材料采购所需旳费用。

B. 总承包服务费旳内容包括, 协调工程进度, 各专业交叉作业旳配合, 分包单位使用主体施工旳脚手架、垂直运送设备、以及修补凿洞旳费用。

5. 甲方供料与否计价, 怎样计价？（ A）A. 甲方供应旳材料应计入投标报价中, 并在综合单价中体现。

B. 甲方供应旳材料不计入综合单价中。

6. 零星工作项目费应在预留金中开销吗？（A ）A . 《计价规范》旳3.4.1条规定零星工作项目和预留金应分别列项, 零星工作项目费不应在预留金中开销。

B . 零星工作项目可以在预留金中开销。

7.工程量清单中漏项或有错怎样处理？（A ）A . 协议有约定旳, 按协议约定；协议没有约定旳, 按《计价规范》4.0.9条执行。

B.. 由招标人承担漏项和量错旳风险。

C. 不得调整。

8.由于项目特性描述不够精确或错误而引起综合单价有了变化, 应怎样调整？（.）A . 由于工程量清单计价一般采用旳是单价协议, 因此不得调整。

教资《综合素质》考试真题大题分类汇编(一)答案

教资考试真题大题分类汇编（一）一、材料分析题（每道大题14分)从教师观、学生观、教育观等方面评价教师的教育教学行为。

1.材料:崔先生一上班就担任副班主任。

崔老师对她的学生很“宽容”。

有些学生偏爱某些科目。

他说：“没关系。

许多年轻的天才都偏爱科目。

”一些学生不喜欢体育锻炼。

他还表达了他的理解：“人们有他们喜欢的东西，他们一定有他们不喜欢的东西。

他们不可能什么都喜欢。

”崔老师非常喜欢学习成绩好的学生。

他经常给这些学生打电话，告诉他们要有远大的理想，并引导他们设定正确的人生目标。

对于成绩差的学生，他没有进行干预，他说：“无论在国内还是国外，学习都有差异，十根手指的长度也不一样。

”校长与崔先生进行了讨论，并计划单独联系家长，了解学生的基本情况，并敦促家长为学校工作提供支持。

他认为没有必要。

原因是：“家长通常都很忙。

我们应该理解家长。

教育孩子是我们老师的责任，不能增加家长的负担。

”许多老师不理解崔先生的做法。

问题：请结合材料，从教育观的角度，评析崔老师的教育行为。

(14分)1.【答案】材料组崔老师的教育教学行为是不正确的，违背了教师职业理念中素质教育的要求。

（1）崔老师的教育教学行为违背了素质教育的整体性。

素质教育必须面向全体人民。

任何社会成员都必须通过正式或非正式渠道接受一定期限和一定程度的- 1 -基础教育。

从狭义上讲，素质教育的“整体性”在教材中，崔先生只注重对成绩好的学生的教育，而忽视了其他学生。

（2）崔老师的教育教学行为违背了素质教育的全面性。

素质教育的目标是国家教育政策规定的“德、智、体、美、劳全面发展”。

在材料中，崔老师承认学生的部分科目，忽视了学生的全面发展。

（3）崔老师的教育教学行为违反了素质教育尊重学生人格的要求。

我们应该尊重学生的个性发展，遵循因材施教的原则。

在教材中，崔老师只看到学生的差异，而没有根据学生的特点因材施教。

（4）家校合作是实施素质教育的有效途径之一。

崔老师要加强与家长的联系，共同促进学生的健康成长。

高考物理大题真题汇编网盘

高考物理大题真题汇编网盘为了帮助高中生备战即将到来的高考，许多教育机构和老师们根据历年来高考物理真题整理了一些重点知识点和高频考点，并将这些真题和解析整理成网盘资源，方便学生们在备考过程中进行查阅和练习。

下面我们就来分享一些高考物理大题真题汇编网盘的内容。

一、电学部分1. 单向导体又称为（）。

A. 绝缘体B. 半导体C. 电解质D. 导体答案：D2. 将两个相同的磁铁的南极或两个针对磁铁的北极靠近，彼此（）。

A. 引力做工B. 斥力做功C. 动能增加D. 静止不动答案：B二、光学部分1. 一束光线从空气中垂直入射到玻璃平板上，折射角大于入射角，光线从密度较大的介质向密度较小的介质传播这个结论是否正确？A. 正确B. 错误答案：B2. 下列叙述正确的是（）。

A. 硝酸银的折射率大于水B. 钻石的折射率小于空气C. 玻璃的折射率小于水D. 空气的折射率大于气态二氧化硅答案：C三、力学部分1. 一段直线运动的质点，从t=0时刻，开始做加速度为2m/s²匀加速直线运动。

在t=3s时的速度为6m/s，则它t=2s的位移为（）。

A. 12mB. 4mC. 8mD. 16m答案：B2. 将滑块放松，开始做微小振动。

在最低点的速度最小的时候，该时的加速度为（）。

A. 大于B. 小于C. 等于D. 不定答案：C四、热学部分1. 一个吸热过程，如水加热至100℃所做的工为15 000 J,则通常1kg水从 20℃加热至85℃所吸收的热量是（）。

A. 15 000 JB. 2 500 JC. 7 500 JD. 5 000 J答案：D2. 保温容器的外壁为接近黑体的无限大黑壁，容器内装有温度为200℃的水,保温2小时后温度为 0℃，则保温容器内水的质量是温度仅保持不变时的（）。

A. 4kgB. 5kgC. 6kgD. 7kg答案：A通过对这些高考物理大题真题的练习和解析，可以帮助考生更好地理解知识点，熟悉考试题型，提高解题能力。