机器人学齐次变换矩阵
机器人学技术基础课程-位姿描述和齐次变换
位姿描述与齐次变换
1 刚体位姿的描述 2 坐标变换 3 齐次坐标系和齐次变换 4 齐次变换矩阵的运算 5 变换方程
2.1 刚体位姿的描述
为了完全描述一个刚体在空间的位姿，通常将刚体与某 一坐标系固连，坐标系的原点一般选在刚体的特征点上，如 质心、对称中心等。
YˆB ZˆA
ZˆB Xˆ A ZˆB YˆA
ZˆB ZˆA
XB n
2.1.4 旋转矩阵的意义
若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕 x,y,z三轴的旋转矩阵分别为：
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
2.1.2 方位的描述
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算： | A | Ax2 Ay2 Az2
z
Az
A
方向角与方向余弦：, ,
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax = A aˆx , cos Ay = A aˆy , cos Az A aˆz
两矢量的叉积又可表示为：
aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
2.1.2 方位的描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三 个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
BAR n o a a
用欧拉角表示的齐次变换矩阵
用欧拉角表示的齐次变换矩阵
欧拉角是指三个角度，分别为绕x轴旋转的角度、绕y轴旋转的角度和绕z轴
旋转的角度。
齐次变换矩阵是指将一个点从一个坐标系转换到另一个坐标系的线性变换，同时保持点的齐次坐标不变。
因此，用欧拉角表示的齐次变换矩阵是将一
个点从一个坐标系转换到另一个坐标系时所需的转换矩阵，这个转换矩阵是由欧拉角所表示的三个旋转角度所确定的。
欧拉角可以表示旋转，因此，我们可以用欧拉角来表示一个坐标系相对于另一个坐标系的旋转。
在三维空间中，一个坐标系可以通过绕x、y、z三个轴旋转来得到。
因此，我们可以用三个欧拉角来表示一个坐标系相对于另一个坐标系的旋转。
具体来说，我们可以先绕x轴旋转一个角度，然后绕y轴旋转一个角度，最后绕z
轴旋转一个角度，这样就可以得到一个完整的欧拉角。
齐次变换矩阵是一种用于表示坐标系之间变换的方法。
这个矩阵可以将一个点从一个坐标系转换到另一个坐标系，同时保持点的齐次坐标不变。
在三维空间中，齐次变换矩阵通常是一个4x4的矩阵，其中前三行表示旋转和缩放，第四行表示平移。
因此，在用欧拉角表示的齐次变换矩阵中，这个矩阵会包含三个旋转矩阵，每个旋转矩阵对应一个欧拉角。
用欧拉角表示的齐次变换矩阵可以用于许多应用，比如在计算机图形学中，将一个模型从一个坐标系转换到另一个坐标系。
此外，在机器人技术中，欧拉角也被广泛应用于控制机器人的姿态。
总之，用欧拉角表示的齐次变换矩阵是一种重要
的数学工具，可用于描述坐标系之间的变换。
第四章齐次变换
o
x
x w″
u″ y
第26页，此课件共52页哦
z
v ```
7
o′ u ```
w ```
-3 oy
4 x
26
解2：用计算的方法
根据定义1，我们有：
T Trans(4 , 3, 7) R(y, 90 ) R(Z,90 )
0 0 1 4
1 0 0 3
0 1 0 7
0 0 0
1
（2-20）
25
第25页，此课件共52页哦
2.6 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系∑0′做如 下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7)，求合成矩阵
解1：用画图的方法：
z
w
o(o′ ) v y u x
z
z
w′
v′
v″
o(o′ ) u′ y
ay
Py
nz 0
oz 0
az 0
Pz 1
a z
o
P
n
y
x
9
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2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示
nx ox a x Px
F
n
y
oy
ay
Py
nz 0
oz 0
az 0
Pz 1
x
a z
o
P
n
y
• 前三个向量是w＝0的方向向量，表示该坐标系 的三个单位向量 n,o,a, 的方向，而第四个w
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
第四章齐次变换
1
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计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵
相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵是机器视觉和工业机器人领域中一个非常重要的概念。
对于工业领域的自动化生产，机械臂和相机之间的精确配准是至关重要的，而齐次变换矩阵正是用来描述相机坐标系到机械臂末端坐标系之间的关系的。
本篇文章将深入探讨相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵的计算方法，并且将详细介绍该计算方法的原理和实际应用。
一、齐次变换矩阵的概念和基本原理齐次变换矩阵是一种用来描述坐标系之间关系的数学工具，它可以将一个坐标系中的点映射到另一个坐标系中去。
在工业机器人和机器视觉系统中，我们常常需要将相机坐标系中的点映射到机械臂末端坐标系中，这就需要使用到齐次变换矩阵。
齐次变换矩阵的基本形式如下所示：\[ T = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]其中，\[R\]为旋转矩阵，\[t\]为平移向量。
齐次变换矩阵可以将一个点的坐标\[P\]从相机坐标系变换到机械臂末端坐标系：\[ P' = T \times P \]二、计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵需要以下步骤：1. 确定相机坐标系和机械臂末端坐标系的原点需要确定相机坐标系和机械臂末端坐标系的原点位置。
这两个坐标系的原点通常是相机的光学中心和机械臂末端执行器的中心点。
确定了原点位置之后，我们可以将相机坐标系和机械臂末端坐标系的坐标系原点重合。
2. 计算旋转矩阵接下来，需要计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的旋转矩阵。
旋转矩阵描述了两个坐标系之间的旋转关系。
在实际应用中，可以通过标定相机和机械臂的姿态来获取旋转矩阵。
3. 计算平移向量除了旋转矩阵之外，还需要计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的平移向量。
平移向量描述了两个坐标系之间的平移关系。
平移向量可以通过相机和机械臂的空间位置信息来计算得到。
4. 组合旋转矩阵和平移向量将计算得到的旋转矩阵和平移向量组合在一起，就得到了相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵。
机器人技术 二、齐次坐标变换
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换－例题
坐标系B绕x轴旋转90度，然后沿当前坐标系a轴做了3英寸 的平移，然后再绕z轴旋转90度，最后沿当前坐标系o轴做5 英寸的平移。 1、写出描述该运动的方程； 2、求坐标系中的点P（1，5，4）相对于参考坐标系的最终 位置。
提示：先求 U TB ，再求 U PU TB B P
Px d x Py d y Pz d z 1
注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵 左乘，公式为
Fnew Trans(d x , d y , d z ) Fold
第二章 绕参考坐标X轴）
Px P n
Py l1 l 2 P o cos P a sin
? 0.707 F ? 0
0 ? ? 0
? ? 0 0
5 3 2 1
i j ny oy k nz a xi a y j a z k oz
注：三个点积约束条件可以用叉积代替，即：
n o a
进一步有
nx ox
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
• 变换定义为空间的一个运动； • 当空间的一个坐标系（向量、刚体、运动坐 标系）相对于固定的参考坐标系运动时，这 一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表 示； • 变换有如下几种形式： 纯平移， 纯旋转， 平移和旋转的结合。
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz
机器人技术 二、齐次坐标变换
例：如图所示为F坐标系位于参考坐标 系中（3，5，7）的位置，它的n轴与x轴 平行，o轴相对于y轴的角度为45度，a轴 相对于z的角度为45度。请写出该坐标的 齐次表达形式。
第二章 机器人运动学
点、向量和坐标系的齐次表示
图
刚体的表示
一个刚体在空间的表示可以这样实现：通过在它上面固连一个坐标系，再将该 固连的坐标系在空间表示出来。由于这个坐标系一直固连在该刚体上，所以该刚体 相对于坐标系的位姿是已知的。因此，只要这个坐标系可以在空间表示出来，那么 这个刚体相对于固定坐标系的位姿也就已知了。由此可知，刚体在参考坐标系的表 示与坐标系是完全一样的。
因此，习惯上用W＝1表示向量的长度，用W＝0表示向量的方 向，而且方向向量一般表示成单位向量的形式。形式如下：
a x b P y cz 1
2 a x P a 2 x a 2 x ax by cz by by cz cz by cz 0
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换－例题
坐标系B绕x轴旋转90度，然后沿当前坐标系a轴做了3英寸 的平移，然后再绕z轴旋转90度，最后沿当前坐标系o轴做5 英寸的平移。 1、写出描述该运动的方程； 2、求坐标系中的点P（1，5，4）相对于参考坐标系的最终 位置。
提示：先求 U TB ，再求 U PU TB B P
Pxyz Rot( y, ) Trans(l1 , l2 , l3 ) Rot( x, ) Pnoa
注：矩阵的顺序不能变；
相对固定坐标系的平移和旋转，变换矩阵左乘。
相对坐标系的齐次矩阵
齐次变换矩阵
复合变换例题
固连在坐标系（n，o，a）上的点P（7，3，2）经历如下变换，求出变 换后该点相对于参考坐标系的坐标。 1、绕z轴旋转90度； 2、接着绕y轴旋转90度； 3、接着再平移（4，-3，7）。
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算
• (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系)的 X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,写出坐标系{A’} 、 {0 1 1 1
0
0
0 1
0 1 0 0
A' 1 0 0 3 0 0 1 3
0
0
0 1
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0
1
0
0
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0
0
1
1
上海电机学院 机械学院
• 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例 中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换 算子即可得到最后的列阵表达式。
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
上海电机学院 机
械学院
旋转算子
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
0
cos
0
0 0 1 0
0
0 0 1
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
B C
R
0
B
pC 1
0
复合变换可解释为：
(1)CAT 和 CBT 分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述。
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算
相对于固定坐标系
算子左乘
相对于动坐标系
算子右乘
上海电机学院 机械学院
❖ 已知坐标系中点U的位置矢量 u 7 3 2 1，T 将此点绕Z轴 旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后 所得的点W。
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0Leabharlann 1000 0
0 1 0 0
0 0 1 0
x
y
z
1
cos
Rot(
z,
)
sin 0
0
sin cos
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
上海电机学院 机械学院
CAT ABT CBT
4．变换矩阵相乘
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对 ｛A｝的描述为 ABT ，｛C｝相对｛B｝的描述为 CBT ，则
x' x cos y sin
y'
x
sin
y
c os
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
旋转算子
上海电机学院 机械学院
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0
机器人学—数学基础—齐次坐标和齐次变换
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
结果均为为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。
相对于固定坐标系，轴相 X 轴 当 v轴 ， 于 相 Y 轴 对 w 轴 ， 于 相 Z 轴
z
z
z
w
w′
v′
v″
z
v ```
7
o′ u ```
w ```
o(o′ ) v y
u x
o(o′ ) u′ y
o
x
x w″
u″ y
-3 oy
4 x
解2：用计算的方法
根据定义1，我们有： T Trans(4 , 3, 7) R(y, 90 ) R(Z,90 )
0 0 1 4
1 0 0 3 0 1 0 7
列矩阵 x
a= x
y
, b=
z
, c=
，w为比例系数
w
w
w
V
y z
x
y
z
w T
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例]：
V3 i4j5 k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
P'''
0
1
0
01
3d向量的齐次变换矩阵
3d向量的齐次变换矩阵
3D向量的齐次变换矩阵是一个用于进行3D图像变换和旋转的数学工具。
它的实际应用非常广泛，包括在计算机图形学、机器人学、以及计算机视觉中。
一个3D向量通常由三个分量组成，分别代表在X、Y、Z轴上的坐标。
而在3D图像中，我们经常需要进行平移、旋转、缩放等操作，使得向量能够被移动到正确的位置。
齐次变换矩阵就是一种帮助我们进行3D向量变换的数学工具，用来描述图像矩阵在平移、旋转和缩放后的状态。
齐次变换矩阵可以将一个3D向量和一个4x4的矩阵相乘，从而实现向量在3D空间中的变换。
对于一个齐次变换矩阵H，它可以表示为以下形式：
H =
| R | t |
|-------|-------|
| 0 0 0 | 1 |
其中，R代表旋转矩阵，t代表平移矩阵。
在实际应用中，这些矩阵通常会根据需求进行调整。
例如，在计算机图形学中，我们经常需要将3D模型移动到正确的位置，这就需要使用平移矩阵来实现。
而旋转矩阵则用于让模型旋转。
除了平移、旋转和缩放之外，齐次变换矩阵还能够实现更多的操作，例如透视变换、反射变换等。
基于这些变换，我们可以进行更加复杂的3D图像处理。
总的来说，齐次变换矩阵是实现3D向量变换的重要工具，它能够帮助我们在3D空间中高效、精确地进行图像处理和计算。
虽然需要一定的数学基础才能理解和运用，但随着越来越多的技术应用这种方法，齐次变换矩阵正在变得越来越重要。
齐次坐标变换 逆推旋转矩阵
齐次坐标变换逆推旋转矩阵齐次坐标变换逆推旋转矩阵一、介绍在计算机图形学和计算机视觉领域，齐次坐标变换和逆推旋转矩阵是非常重要的概念。
它们不仅在三维模型的变换和仿射变换中起着关键作用，也在机器视觉领域的姿态估计和相机标定中扮演着重要角色。
本文将以从简到繁、由浅入深的方式来探讨齐次坐标变换和逆推旋转矩阵，并且分享一些个人观点和理解。
二、齐次坐标变换的基本概念1. 齐次坐标在计算机图形学中，我们经常使用齐次坐标来描述三维空间的点和变换。
齐次坐标是一个四维向量，通常表示为(x, y, z, w)，其中w不为0。
这种表示方法可以将平移和投影等操作统一起来，简化了计算过程。
2. 齐次坐标变换矩阵齐次坐标变换矩阵是一个4x4的矩阵，用来表示三维空间中的平移、旋转、缩放等变换。
通过矩阵乘法，我们可以将一个点或向量从一个坐标系变换到另一个坐标系，实现了在三维空间中的各种变换操作。
三、逆推旋转矩阵的原理和应用1. 逆推旋转矩阵的概念逆推旋转矩阵是指在已知旋转矩阵的情况下，通过矩阵求逆的方式来得到原始的旋转矩阵。
在实际应用中，逆推旋转矩阵常常用于姿态估计和相机标定等问题中。
2. 逆推旋转矩阵的计算方法通过对已知的旋转矩阵进行转置操作，可以得到逆推旋转矩阵。
在实际计算中，我们可以利用线性代数的知识和算法来高效地求解逆推旋转矩阵，从而实现对旋转操作的逆向推导。
四、深入探讨齐次坐标变换和逆推旋转矩阵1. 齐次坐标变换的数学原理和几何意义齐次坐标变换利用矩阵乘法和齐次坐标的表示方法，能够简洁清晰地描述三维空间中的各种变换操作。
通过对齐次坐标变换的数学原理和几何意义进行深入分析，我们可以更好地理解其在计算机图形学和计算机视觉中的应用。
2. 逆推旋转矩阵的数学推导和实际应用逆推旋转矩阵的数学推导非常有趣，它涉及到矩阵的逆运算和对称性质的应用。
在实际应用中，逆推旋转矩阵常常用于相机姿态的估计和三维重构等问题中，具有非常重要的实用价值。
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算ppt课件共38页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
机器人的数学基础齐变换矩阵及其
运算ppt课件
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
机器人技术 二、齐次坐标变换
Px d x Py d y Pz d z 1
注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵 左乘，公式为
Fnew Trans(d x , d y , d z ) Fold
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
例
纯旋转(相对坐标绕参考坐标X轴）
Px P n
Py l1 l 2 P o cos P a sin
Fobject
nx n y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
Px Py Pz 1
第二章 机器人运动学
点、向量和坐标系的齐次表示
约束变量
由刚体（坐标系）在参考坐标系的齐次矩阵表达可知，该矩 阵有12个变量，但描述刚体位姿只需要6个变量（自由度）就 足够了，因此，齐次矩阵中12个变量之间并不是相互独立的， 而是有约束的，约束条件为： 1、三个方向向量相互垂直； 2、每个单位向量的长度均为1。即：
U
PU TR R P
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
纯旋转－例题
旋转坐标系中有一点P（2，3，4），此坐标系绕参考坐标系x轴旋转90 度。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标。
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
复合变换
例 特点：既有平移，又有旋转，而且可以多次。
假设坐标系（n，o，a）相对于参考坐标系（x，y，z）依次进行如下变换： 1、绕x轴旋转 角； 2、平移 l1 l2 l 3 ； 3、再绕y轴旋转 角。
2 2 2 2
2
2
例：有一向量P（3，5，2），请按如 下要求表示成矩阵形式： 1、比例因子为2；
2、表示为方向的单位向量。
机械人论文
齐次变换矩阵的内含与功能机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械手之间的关系。
这一章将给出描述这些关系必须的表达方法。
类似这种表示方法在计算机图形学中已经解决。
在计算机图形学和计算机视觉中，物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。
在本课程我们将采用齐次坐标变换来描述机械手各关节坐标之间、各物体之间以及各物体与机械手之间的关系。
这一章的内容主要讲述了齐次坐标和齐次变换，下面，就让我们来详细的讲解一下齐次变换矩阵的内含与功能。
在讲解齐次变换矩阵之前，让我们先来熟悉一下坐标变换：空间中任意点p在不同坐标系中的描述是不同的。
为了阐明从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述关系，需要讨论这种变换的数学问题。
1. 平移坐标变换设坐标系{B}与{A}具有相同的方位，但{B}坐标系的原点与{A}的原点不重合。
用位置矢量A p B0描述它相对于{A}的位置，如图2-3所示。
称A p B0为{B}相对于{A}的平移矢量。
如果点p在坐标系{B}中的位置为B p，那么它相对于坐标系{A}的位置矢量A p可由矢量相加得出，即：(2.10)称上式为坐标平移方程。
图2.3 平移变换2. 旋转坐标变换设坐标系{B}与{A}有共同的坐标原点，但两者的方位不同，如图2-4所示。
用旋转矩阵AR描述{B}相对于{A}的方位。
同一点p在个坐标系{A}和{B}中的描述A p和B p具有如下B变换关系：(2.11) 称上式为坐标旋转方程。
图2.4 旋转变换我们可以类似地用B A R描述坐标系{A}相对于{B}的方位。
A B R和B A R都是正交矩阵，两者互逆。
根据正交矩阵的性质(2.5)可得：(2.12)对于最一般的情形：坐标系{B}的原点与{A}的原点既不重合，{B}的方位与{A}的方位也不相同。
用位置矢量A p B0描述{B}的坐标原点相对于{A}的位置；用旋转矩阵A B R描述{B}相对于{A} 的方位，如图2-5所示。
对于任一点p在两坐标系{A}中的描述A p和B p具有以下变换关系：(2.13)可把上式看成坐标旋转和坐标平移的复合变换。
机器人学_第3章_齐次变换
3.2 点向量的描述（Notation of point vectors ）
点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空
（3.16）
坐标系首先绕参考坐标系 z 轴旋转90°，然后绕 y 轴旋转 90°，最后平移 4i－3j+7k， 如图3.9所示。如果以相反次序从左到右来进行这些操作：首先对坐标平移4i―3j+7k，然 后将它绕当前坐标系的 y 轴旋转 90°，此时当前坐标系的 y 轴与参考坐标系的 y 轴是相同 的。然后再绕着新坐标系（当前的）坐标系的 z 轴旋转90°，所得结果与前面的方法相同 。
1 00 4 2
6
0 1 0 -3 7
4
n = Trans (4, －3, 7) w = 0 0 1 7 3 = 10
0 00 1 1
1
z
z
•n
•v
0
2
y
2
w•
u•
•w
x
-7
•v
图3.7 Rot ( z, 90°) Rot ( y, 90°)
0•
•
7
y
x
u•
图3.8 Trans(4, -3, 7)Rot(y, 90°) Rot(z, 90°)
的向量得到的。这些方向向量相应于变换矩阵的前三列（见式（3.15））。
可见，H变换矩阵描述了一个坐标系绕原参考坐标系旋转和对参考坐标系
平移的三个轴的方向和原点的位置（见图3.9）。如图3.10所示，当对一个
向量 n 进行式（3.15）给出的 H 变换时，原向量 n 可以被认为是在新坐标