船舶原理 第二章 2012 9 12

y0 y4 4 A l yi =2328-868=1460m 2 2 i 0
辛氏一法则：
l A y0 4 y1 2 y2 4 y3 y4 1306.73m2 3
相对误差
准确值 近似值 相对误差 t = 准确值 =
1460-1300.3
1300.3
= 12.3 0 0
相对误差 s
1306.73-1300.3
1300.3
0.5 0 0
例题２（补充）
画一个半径为６ｍ的圆，将半径六等分， 过每一等分点作该半径的垂线并量取其纵 坐标值．试利用这些纵坐标值和下列方法 计算圆的面积． （１）定积分法； （２）梯形法则； （３）辛氏一法则； （４）辛氏二法则．
A1
A y１ ２
y２
+
A y２ A３ y３ ４ y４
曲线面积
曲线面积
A
f(x)dx A A
1 a
b
2
A3 A4
l A1 A2 y0 4 y1 y2 3 l A3 A4 y2 4 y3 y4 3
令：l1= l2= l3= l4 = l 约束条件（限制条件）
A2
A3 y2 y3 y0
y1
实际面积
曲线面积
一、 梯形法则
公式 、 约束条件、 特点、 应用
y0 y4 A l yi 2 i 0
4
约束条件（限制条件）：（1） 等间距
y0 yn A l yi 2 i 0
nyLeabharlann y = f（x）中心、- - - - - 定积分：
精确值

A f(x)dx ydx
a a
b
b
y
y = f（ x ）
o
a
b
x
关键问题是被积函数y = f（x）无法确定， 要定性分析船舶的有关技术性能，必须求出 船舶的排水体积V、水线面面积AW、横剖面 面积Am 等等有关参数。
积分的近似计算方法
3l l A y0 3 y1 3 y2 y3 y3 4 y4 y5 8 3 y
x
各种近似计算方法的特点
梯形法： （1）公式简明、直观、易记 ； （2）分割份数较少时和曲率变化较大 时误差偏大。 辛氏法：
（1）公式较复杂、计算过程多；
（2）分割份数较少时和曲率变化较大 时误差相对较小。
y
y = f（x）
y0 y1 y2
y3 A4 A1 A2 A3
y4
o
a y = f（x）
y0 A1 y１ A２ y２
b
y ax 2 bx c
y0 A1 A y１ ２ y２
x
实际面积
曲线面积
b
A

f(x)dx ydx A A A A
1 2 3 a a
b
4
y0
o
a y = f（x）
A1 A2 y2
b
2
y ax bx c
A1 y0 y1 A2 y2
x
y0
y1
实际面积
曲线面积
y
y = f（x）
y0 y1 y2 y3 A4 y4 A1 A2 A3
o
a
y = f（x）
b
x y ax3 bx2 cx d
A1 A2 A3 y2 y3
A1 y0 y1
梯形面积
b
梯形面积
梯形面积
A
f(x)dx ydx A A
1 a a
b
2
A3 A4
A1= l1 (y0+y1)/2 A3= l3 (y2+y3)/2
A2= l2 (y1+y2)/2 A4= l4 (y3+y4)/2
令：l1= l2= l3= l4 = l 约束条件（限制条件）
辛氏一法则通项公式
l A y0 4 y1 2 y2 ... 4 yn 1 yn 3
规律（特点）纵坐标前系数分布为 ： { 1、4、2、4、------ 、 2、4、2、4、 1 } 约束条件（限制条件）： （1）等间距 （2）等份数为偶数 (纵坐标数为奇数 )
辛氏二法
2
y0 y6 6 A l yi =30.57 3=27.57m 2 2 i 0
ｘ
3
4
l A y0 4 y1 2 y2 4 y3 2 y4 4 y5 y6 3 2 28.01m
3l A y0 3 y1 3 y2 2 y3 3 y4 3 y5 y6 8 27.98m2
a
b
精确值
A (x 5 2 x 4 3 x 3 4)dx
0
4
x 2x 3x 4 x 1300.3m 2 5 4 6 0
6 5 4
4
梯形法则：（ x0 =0、x1 =1、 x2= 2、x3 = 3、x4 = 4；y0 =4、y1 =10、 y2= 92、y3 = 490、y4 = 1732 ）
解：
2l 2 Ams1 y0 4 y1 ... 4 y5 y6 61.53m 3 3l Ams2 y0 3 y1 3 y2 2 y3 3 y4 3 y5 y6 4
ｙ
ｘ
第二章习题
1. 已知：d=4.2m、n=10、l=3.5 m、 （半宽，m）为：0，3.30，5.30，5.90， 5.90，5.90，5.90，5.85，5.22，3.66， 1.03 求：Aw(t) = ？Aw(s) = ？ 解：
Aw t
y0 y10 2 2l yi =332.08m 2 i 0
y0
A1
y0
实际面积
曲线面积
A

f(x)dx A A
1 a
b
2
A3
辛氏二法则
3l A y0 3 y1 3 y2 y3 8
规律（特点）纵坐标前系数分布为： { 1、3、3、1 } 约束条件（限制条件）： （1）等间距 （2）等份数为3
辛氏二法则通项公式
3l A y0 3 y1 3 y2 2 y3 ...3 yn2 3 yn1 yn 8
y
y = f（x）
y0 y1
A1
y2
A2
y3 A3
A
b
f(x)dx A A
1 a
b
2
A3
o
a
x
3l A y0 3 y1 3 y2 y3 8
y = f（x）
A２ A３ y１ y２ y３
y ax3 bx2 cx d
A1 A２ A３ y１ y２ y３
（1）梯形法 （2）辛氏法 误差。 会产生
绝对误差 准确值 量 近似值 量
准确值 近似值 相对误差= 准确值
基本分析方法的四个步骤
分割 近似 求和 精确
（1）分割------把总量（整块曲边形）分 割成若干分量（小曲边形）。 （2）近似------将每一个分量用容易计算 的方法去取代。（近似量） （3）求和------将每一个分量求和（Σ） 得总近似量。 （4）取极限（精确）------得到一个趋 近（逼近）于积分精确值的量。
y0 y1 y2 y3 A4 y4 A1 A2 A3
o
a y = f（x）
y0 A1 y1
b
x y = ax+b
y0
A1
y1
实际面积
梯形面积
b 1 2 3 4
A
f(x)dx ydx A A A A
a a
b
y0
A1
y1
+
y1
A2
y2
+
y2
A3
y3
+
y3
A4
y4
梯形面积
10
Aw t
Aw s
y0 y10 2 2l yi =332.08m 2 i 0
10
2l y0 4 y1 2 y2 ... 4 y9 y10 3 2 336.26m
2. 已知：l = 1m
（半宽，m）为：0，2.43，5.23，6.28， 6.60，6.75，6.80 求：Am(s1) = ？ A m(s2) = ？
y
y = f（x）
y0 y1 y2 y3 A4 y4 A1 A2 A3
o
a y = f （x）
y0 A1 y1
b
x y = ax+b
y0
A1
y1
实际面积
梯形面积
b
A
f(x)dx ydx A A
1 a a
b
2
A3 A4
y
y = f（x）
y0 y1 y2 y3 A4 y4 A1 A2 A3
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（第二章） 2012年9月12日

第二章 船体计算的近似积分法
在进行船舶性能计算时，因为 有许多曲线、曲面无法用数学解
析式表示，所以需要采用数值积
分方法来处理。
定积分的近似计算
求定积分的近似值
定积分计算的梯形法与抛物线法
根据牛顿－莱布尼兹公式，定积分的值可以通 过求原函数而计算出来，但在工程技术与科学 实验中，有些定积分的被积函数的原函数可能 求不出来，即使求出，计算也可能很复杂；特 别地，当被积函数是用图形或表格给出时，更 不能用牛顿－莱布尼兹公式计算。