2017_2018年中考数学专题复习题图形的相似(含解析)

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2018年全国中考数学真题汇编：图形的相似与位似

图形的相似与位似一、选择题1．．（2018?山东枣庄?3分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF 平分∠CAB，交CD于点 E，交 CB于点 F．若 AC=3，AB=5，则 CE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点 F作 FG⊥AB于点 G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴= ，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴= ，∵FC=FG，∴= ，解得：FC= ，即 CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．2．（2018?山东滨州?3分）在平面直角坐标系中，线段 AB两个端点的坐标分别为 A（6，8），B（10，2），若以原点 O为位似中心，在第一象限内将线段 AB缩短为原来的后得到线段 CD，则点 A的对应点 C的坐标为（）A．（5，1）B．（4，3）C．（3，4）D．（1，5）【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出 C点坐标．【解答】解：∵以原点 O为位似中心，在第一象限内将线段 AB缩小为原来的后得到线段 CD，∴端点 C的横坐标和纵坐标都变为 A点的横坐标和纵坐标的一半，又∵A（6，8），∴端点 C的坐标为（3，4）．故选：C．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．3 （2018?江苏扬州?3分）如图，点 A 在线段 BD上，在 BD的同侧做等腰 Rt△ABC和等腰 Rt△ADE，CD 与BE、AE分别交于点 P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③【分析】（1）由等腰 Rt△ABC和等腰 Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为 AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC= AB，AD= AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP?MD=MA?ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP?CM∵AC= AB∴2CB2=CP?CM所以③正确故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．4 （2018·山东临沂·3 分）如图．利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高 1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物 CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得= ，然后利用比例性质求出 CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴= ，即= ，∴CD=10.5（米）．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．5（2018·山东潍坊·3分）在平面直角坐标系中，点 P（m，n）是线段 AB上一点，以原点 O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点 P的对应点的坐标为（）A．（2m，2n）B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）C．（m，n）D．（m，n）或（﹣m，﹣n）【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：点 P（m，n）是线段 AB上一点，以原点 O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点 P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），即（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n），故选：B．【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或﹣k．6.（2018?湖南省永州市?4分）如图，在△ABC中，点 D是边 AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边 AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8。

2018年全国各地中考数学真题汇编图形的相似(含答案)

中考数学真题汇编:图形的相似一、选择题1. 在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标别离为A（6，8），B（10，2），假设以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原先的后取得线段CD，那么点A的对应点C的坐标为（）A. （5，1）B. （4，3）C. （3，4）D. （1，5）【答案】C2. 已知，以下变形错误的选项是（）A. B. C. D.【答案】B3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长别离为，和，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，那么它的最长边为（）A. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm 【答案】C4. 已知与相似，且相似比为，那么与的面积比（）A. B. C. D.【答案】D5.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的极点A在△ECD的斜边DE上，假设AE=，AD= ，那么两个三角形重叠部份的面积为（）A. B. C. D.【答案】D6.在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原先的两倍,那么点的对应点的坐标为( )A. B. 或 C. D. 或【答案】B7. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部份三角形的面积为4.若，那么等于（）A. 2B. 3C.D.【答案】A8. 如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、别离交于点、.关于以下结论：①；②；③.其中正确的选项是（）∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=AED=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC= AB∴2CB2=CP•CM因此③正确A. ①②③B. ①C. ①②D. ②③【答案】A9.学校门口的栏杆如下图，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足别离为，，，，，那么栏杆端应下降的垂直距离为( )A. B. C. D.【答案】C10.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积别离为S1，S2，（）A. 若，那么B. 若，那么C. 若，那么D. 若，那么【答案】D11. 如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若的半径为4，，那么PA的长为（）A. 4B.C. 3D. 2.5【答案】A12. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，假设菱形ABCD的周长为16，∠BAD ＝60°,则△OCE的面积是（）。

中考压轴图形的相似问题综合(解析版)

与B，C重合），CNDM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：
的结论有（
）
A．①②③④
【标准答案】C
【思路点拨】
B．②③④
C．②③④⑤
D．②③⑤
①由特殊值法可判断，当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；
②由SAS可证△ABP△CBP，可得AP=CP，由矩形的性质可得EF=PC=AP；
③由SSS可证△APD△CPD，可得∠DAP=∠DCP，由平行线的性质可得∠DCP=∠H，由
∴四边形GBED为平行四边形，
∴GD＝BE，
1
∵BE＝BC，
2
1
∴GD＝AD，
2
即G是AD的中点，
故②正确，
∵BG//DE，
∴∠GBP＝∠BPE，
故③正确．
∵BG//DG，AF⊥DE，
∴AF⊥BG，
∴∠ANG＝∠ADF＝90°，
∵∠GAM＝∠FAD，
∴△AGM∽△AFD，
设AG＝a，则AD＝2a，AF＝5a，
B．2个
C．3个
D．4个
【标准答案】C
【思路点拨】
1
根据正方形性质得出ADBCDC；ECDFBC；ADFDCE，证
2
ADF≌DCESAS，推出AFDDEC，求出DGF90即可判断
①；证明四边形
GBED为平行四边形，则可知②正确；由平行线的性质可得③正确；证明AGM∽AFD，
可得出SAGM：SDEC1：5.则④不正确．
D．5
【标准答案】D
【思路点拨】
①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得到∠NAD=∠BAM，
∠AND=∠AMB，根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD=∠AND+∠NAD=90°，等量代换得

中考数学《图形的相似》专项练习题及答案

中考数学《图形的相似》专项练习题及答案一、单选题1．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A．5cm B．6cm C．（6-√3）cm D．（3+√3）cm2．如图，DE△BC，EF△AB，现得到下列结论：AEEC=BFFC，ADBF=ABBC，EFAB=DEBC，CECF=EABF其中正确的比例式的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（）A．1:2B．1:3C．1:9D．1:164．如图，△ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将△ABC切出一个小三角形与△ABC相似，这样的直线一共有（）A．5条B．4条C．3条D．2条5．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为2，则△EDC的面积是（）A．2B．8C．16D．326．如图，△ADE△△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：27．如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若s1表示△ADE的面积，s2表示四边形DBCE的面积，则s1：s2=（）A．1︰2B．1︰3C．1︰4D．2︰38．如图，按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的12，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F得△DEF，则下列说法正确的是（）①△ABC与△DEF是相似图形；②△ABC与△DEF的周长比为2：1；③△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．①、②B．②、③C．①、③D．①、②、③9．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，CB相交于点P，若∠DPB=45°，则S△CDP：S△ABP 的值（）A．25B．23C．13D．1210．如图，AD△BE△CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．811．一个三角形的三边长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形中有一条边长为6.则这个三角形的周长不可能是()A．725B．18C．48D．2412．如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与△ABC相似的三角形是（）A．B．C．D．二、填空题13．勾股定理是一个基本的几何定理，有数百种证明方法．“青朱出入图”是我国古代数学家证明勾股定理的几何证明法．刘徽描述此图“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，加就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也”．若图中BF=4，DF=2，则AE=．14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，BE=1，AE与BD交于点F．则DF的长为．15．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为．16．如图，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为17．在某一时刻，测得一根高为1m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋高楼的影长为40m，这栋高楼的高度是m．18．如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．三、综合题19．如图，已知△BAC=90°，AD△BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：（1）△DFB△△AFD；（2）AB：AC=DF：AF．20．一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上）.（1）发现BE与DG数量关系是，BE与DG的位置关系是.（2）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图2），（1）中的结论还成立吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由.（3）把图1中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=2，AB=4，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请直接写出这个定值.21．如图，已知点D在△ABC的外部，AD△BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．（1）求证：△BAC＝△AED；（2）在边AC取一点F，如果△AFE＝△D，求证：ADBC=AFAC．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作BD的垂线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE交AC于点K，连接DF。

2018年中考数学试题分项版解析汇编(第02期)专题5.2 图形的相似(含解析)

专题5.2 图形的相似一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．： B． 2：3 C． 4：9 D． 8：27【来源】广西壮族自治区玉林市2018年中考数学试卷【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键. 2．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A． 32 B． 8 C． 4 D． 16【来源】贵州省铜仁市2018年中考数学试题【答案】C点睛：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质的应用．3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺【来源】吉林省长春市2018年中考数学试卷【答案】B【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．【来源】黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题【答案】D【解析】分析：由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出，此题得解．详解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴，，∴．故选：D．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出是解题的关键．5．如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（）A． 1：3 B． 3：1 C． 1：9 D． 9：1【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷【答案】C【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和灵活运用平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.6．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）A． B． C． D． 1【来源】四川省达州市2018年中考数学试题【答案】C【解析】分析：首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得,，由此即可解决问题．点睛：本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（）A． 2 B． 1 C． 4 D． 2【来源】湖南省邵阳市2018年中考数学试卷【答案】A【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．8．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A． 1 B． C．-1 D．+1【来源】湖北省随州市2018年中考数学试卷【答案】C【解析】【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出，结合BD=AB﹣AD即可求出的值．【详解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ADE=S四边形BCED，S△ABC=S△ADE+S四边形BCED，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A． B． C． D．【来源】广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题【答案】A【解析】分析：分两种情形：当A与点N、M重合时来确定b的最大与最小值即可.详解：如图1，当点A与点N重合时，CA⊥AB，∴MN是直线AB的一部分，∵N（3，1）∴OB=1，此时b=1；当点A与点M重合时，如图2，延长NM交y轴于点D，易证△MCN∽△BMD∴∵MN=3-=,DM=，CN=1∴BD=∴OB=BD-OD=-1=,即b=-，∴b的取值范围是.故选A.点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键..10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD ＝60°,则△OCE的面积是（）A． B． 2 C． D． 4【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷【答案】A【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，∴AC⊥BD，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.11．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（）A． 16 B． 18 C． 20 D． 24【来源】广西壮族自治区贵港市2018年中考数学试卷【答案】B【解析】【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出S△ABC的值．【详解】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x，∵S四边形BCFE=16，∴，解得：x=2，∴S△ABC=18，故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键.12．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A． B． C． D．【来源】广东省2018年中考数学试题【答案】C【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC 是解题的关键．二、填空题13．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为_____．【来源】四川省资阳市2018年中考数学试卷【答案】9【解析】【分析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=BC，从而得，据此建立关于x的方程，解之可得．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．14．如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为_____．【来源】贵州省贵阳市2018年中考数学试卷【答案】【解析】【分析】作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，证△ADG∽△ABC得，据此知EF=DG=（4﹣x），由EG=即可求得答案．【详解】如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理．15．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．【来源】上海市2018年中考数学试卷【答案】【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是6，∴BC•AH=6，∴AH==3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得x=，即正方形DEFG的边长为，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键.16．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）【来源】广西钦州市2018年中考数学试卷【答案】40【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．17．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：_____．【来源】湖南省邵阳市2018年中考数学试卷【答案】△ADF∽△ECF【解析】【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF，故答案为：△ADF∽△ECF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定是解题的关键.18．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．【来源】北京市2018年中考数学试卷【答案】点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.19．如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是__________．【来源】山东省菏泽市2018年中考数学试题【答案】（2，2）详解：与是以点为位似中心的位似图形，，，若点的坐标是，过点作交于点E.点的坐标为：与的相似比为，点的坐标为：即点的坐标为：故答案为：点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.三、解答题20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．【来源】陕西省2018年中考数学试题【答案】河宽为17米．【解析】【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.21．已知正方形中与交于点，点在线段上，作直线交直线于,过作于,设直线交于.（1）如图，当在线段上时，求证：；（2）如图2，当在线段上，连接,当时，求证：；（3）在图3，当在线段上，连接,当时，求证：.【来源】湖南省常德市2018年中考数学试卷【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，∵∠ANH=∠OND，∴∠ANH+∠ODN=90°，∵DH⊥AE，∴∠DHM=90°，∴∠ANH+∠OAM=90°，∴∠ODN=∠OAM，∴△DON≌△AOM，∴OM=ON；∵DN⊥AE，∴▱DENM是菱形，∴DE=EN，∴∠EDN=∠END，∵EN∥BD，∴∠END=∠BDN，∴∠EDN=∠BDN，∵∠BDC=45°，∴∠BDN=22.5°，∵∠AHD=90°，∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，∵∠ABM=45°，∴∠BAM=67.5°=∠AMB，∴BM=AB；（3）设CE=a（a＞0）∵EN⊥CD，∴∠CEN=90°，∵∠ACD=45°，∴∠CNE=45°=∠ACD，∴EN=CE=a，∴CN=a，∴a=b（已舍去不符合题意的）∴CN=a=b，AC=（a+b）=b，∴AN=AC﹣CN=b，∴AN2=2b2，AC•CN=b•b=2b2∴AN2=AC•CN．【点睛】本题是相似形综合题，涉及到的知识点有正方形的性质、平行四边形、菱形的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等，判断出四边形DENM是菱形是解（2）的关键，判断出△DEN∽△ADE是解（3）的关键．22．如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.（1）求证：BN平分∠ABE；（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．【来源】四川省眉山市2018年中考数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.详解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵M为BC的中点，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，∴∠MAB=∠EBC，又∵MB=MN，∴△MBN为等腰直角三角形，∴∠MNB=∠MBN=45°，∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；（2）设BM=CM=MN=a，∵四边形DNBC是平行四边形，∴DN=BC=2a，在△ABN和△DBN中，∵，∴△ABN≌△DBN（SAS），∴AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，解得：a=±（负值舍去），∴BC=2a=；点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．23．在△ABC中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．【来源】湖北省武汉市2018年中考数学试卷【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【详解】（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB=∠BNC=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠AMB=∠NBC，∴△ABM∽△BCN；（2）如图，过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中，tan∠PAC=，同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，∴，设AB=a，PQ=2a，BP=b，FQ=2b（a＞0，b＞0），∵∠BAP=∠C，∠B=∠CQF=90°，∴△ABP∽△CQF，∴，∴CQ==2a，（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC=，如图，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB=90°，∴CH∥AG∥DE，∴，同（1）的方法得，△ABG∽△BCH，∴=，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，∵AB=AE，AG⊥BE，∴EG=BG=4m，∴GH=BG+BH=4m+3n，∴，∴n=2m，∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC=．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，根据题意添加辅助线构造出图1中的相似三角形模型是解本题的关键．24．如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．①若OE=，OG=1，求的值；②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）【来源】湖南省邵阳市2018年中考数学试卷【答案】（1）证明见解析；（2）①；②添加AC=BD.【解析】【分析】（1）连接AC，由四个中点可知OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，据此得出OE=GF、OE//GF，即可得证；（2）①由旋转性质知OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，据此可证△OGM∽△OEN得；②连接AC、BD，根据①知△OGM∽△OEN，若要GM=EN只需使△OGM≌△OEN，添加使AC=BD的条件均可以满足此条件．【详解】（1）如图1，连接AC，（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，∴，∴△OGM∽△OEN，∴；②添加AC=BD，如图2，连接AC、BD，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OG=EF=BD、OE=GF=BD，∵AC=BD，【点睛】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是熟练掌握中位线定义及其定理、平行四边形的判定、旋转的性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质等知识点．25．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B= °；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．【来源】江苏省淮安市2018年中考数学试题【答案】（1）15°；（2）BE=．（3）AC=20．【解析】分析：（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；详解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，∴2∠B+∠A=60°，解得，∠B=15°；（2）如图①中，（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．则有：x（x+7）=122，∴x=9或﹣16（舍去），∴AF=7+9=16，在Rt△ACF中，AC=．点睛：本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题．26．在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．（1）如图1，若EF∥BC，求证：（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．【来源】湖北省黄石市2018年中考数学试卷【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）详解：（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴==；（2）若EF不与BC平行，（1）中的结论仍然成立，分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，∵FN⊥AB、CH⊥AB，∴FN∥CH，∴△AFN∽△ACH，∴，∴==；（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，而==a，∴+ a =a，解得：a=，∴=×=．点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点．27．（1）（发现）如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F.①若AB=6，AE=4，BD=2，则CF =________；②求证：△EBD∽△DCF.（2）（思考）若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示.问点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（3）（探索）如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF.设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为________（用含α的表达式表示）.【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题【答案】（1）①4；②证明见解析；（2）存在；（3）1-cosα.（1）①先求出BE的长度后发现BE=BD，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°，【解析】分析：另外∠EDF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC-BD；②证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角相似模型”，根据“AA”判定相似；（2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM=DG=DN，从而通过证明△BDM≅△CDN可得BD=CD；详解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，∵AE=4，∴BE=2，则BE=BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE=60°，又∵∠EDF=60°，∴∠CDF=180°-∠EDF-∠B=60°，则∠CDF =∠C=60°，∴△CDF是等边三角形，∴CF=CD=BC-BD=6-2=4；②证明：∵∠EDF=60°，∠B=60°∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，∴∠BED=∠CDF，又∵∠B=∠C，∴△EBD∽△DCF（2）存在.如图，作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别为M，G，N，（ 3 ）连结AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别为G，D，H，则∠BGO=∠CHO=90°，∵AB=AC，O是BC的中点∴∠B=∠C，OB=OC，∴△OBG≅△OCH，∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°−α，则∠GOH=180°-（∠BOG+∠COH）=2α，∵∠EOF=∠B=α，则∠GOH=2∠EOF=2α，由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH，则 C△AEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，设AB=m，则OB=mcosα，GB=mcos2α,.点睛：本题考查了角平分线的定义，等边三角形的性质，全等三角形以及相似三角形的判定和性质等知识点．难度较大.28．如图①，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．（1）如图②，当BC=4，DE=5，tan∠FMN=1时，求的值；（2）若tan∠FMN=，BC=4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；（3）连接CM，DN，CF，DF．试证明△FMC与△DNF全等；（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．【来源】山东省威海市2018年中考数学试题【答案】（1）；（2）可求线段AD的长；（3）证明见解析；（4）△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．（3）根据△ABC和△ADE都是直角三角形，M，N分别是AB，AE的中点，即可得到BM=CM，NA=ND，进而得出∠4=2∠1，∠5=2∠3，根据∠4=∠5，即可得到∠FMC=∠FND，再根据FM=DN，CM=NF，可得△FMC≌△DNF；（4）由BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，即可得到：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．详解：（1）∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，∴MF，NF都是△ABE的中位线，∴MF=AE=AN，NF=AB=AM，∴四边形ANFM是平行四边形，又∵AB⊥AE，∴四边形ANFM是矩形，又∵tan∠FMN=1，∴FN=FM，∴矩形ANFM是正方形，AB=AE，（2）可求线段AD的长．由（1）可得，四边形MANF为矩形，MF=AE，NF=AB，∵tan∠FMN=，即=，∴=，∵∠1=∠3，∠C=∠D=90°，∴△ABC∽△EAD，∴==，∵BC=4，∴AD=8；（3）∵BC⊥CD，DE⊥CD，∴△ABC和△ADE都是直角三角形，（4）在（3）的条件下，BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，∴图中有：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．点睛：本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及矩形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是判定全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例得出有关结论．29．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB= °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．【来源】山东省东营市2018年中考数学试题【答案】（1）75；4；（2）CD=4．详解：（1）∵BD∥AC，∴∠ADB=∠O AC=75°．∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA，∴．又∵AO=3，∴OD=AO=，∴AD=AO+OD=4．∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，∴AB=AD=4．（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴．∵BO：OD=1：3，∴．∵AO=3，∴EO=，∴AE=4．∵∠ABC=∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，AB=AC，∴AB=2BE．点睛：本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．30．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2=DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC ，分别交PM ，PB 于点E ，F ．若=，求的值．【来源】云南省昆明市2018年中考数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）四边形PMBN 是菱形，理由见解析；（3）（3）由于，可设DP=k ，AD=2k ，由（1）可知：AG=DP=k ，PG=AD=2k ，从而求出GB=PC=4k ，AB=AG+GB=5k ，由于CP ∥AB ，从而可证△PCF ∽△BAF ，△PCE ∽△MAE ，从而可得，，从而可求出EF=AF-AE=AC-AC =AC ，从而可得．详解：（1）过点P 作PG ⊥AB 于点G ，∴易知四边形DPGA ，四边形PCBG 是矩形， ∴AD=PG ，DP=AG ，GB=PC ∵∠APB=90°，∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°， ∴∠APG=∠PBG ， ∴△APG ∽△PBG ，∴，∴PG 2=AG•GB，即AD 2=DP•PC；（2）∵DP ∥AB ，∴∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，∴∠PAM=∠APM，∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB∴AM=PM，PM=MB，∴PM=MB，又易证四边形PMBN是平行四边形，∴四边形PMBN是菱形；又易证：△PCE∽△MAE，AM=AB=,∴∴，∴EF=AF-AE=AC-AC=AC，∴.点睛：本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．41。

各地2018年中考数学试卷分类汇编图形的相似与位似(pdf,含解析)

A. 【答案】A
B. 2
C.
D. 4
【分析】根据菱形的性质得菱形边长为 4，AC⊥BD，由一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形得△ABD 是等边三角形；在 Rt△AOD 中，根据勾股定理得 AO=2 ，AC=2AO=4 ，根据三角形面积公式得 S△ACD= OD·AC=4 ，根据中位线定理得 OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE 的面积. 【详解】∵菱形 ABCD 的周长为 16，∴菱形 ABCD 的边长为 4， ∵∠BAD＝60°，∴△ABD 是等边三角形，又∵O 是菱形对角线 AC.BD 的交点，∴AC⊥BD，在 Rt△AOD 中，∴AO= ×2×4 =4 ，，∴AC=2AO=4 ，∴S△ACD= OD·AC=
，可得出
【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴（）=
2
．
∵S△ADE=S 四边形 BCED， ∴ ∴ = = ， = = ﹣1．
故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 2.（2018•江苏宿迁•3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为 16，∠BAD＝60°,则△OCE 的面积是（）
∴DF=2BF，
=（） = ，
2
∴
= ，
∴S△BEF= S△DCF，S△DCB= S△DCF，
∴
∴
=
=（
） =（） = ，
2
2
∵
= ，
∴
= × = ，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 7. （2018•乌鲁木齐•4 分）如图，在▱ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，则△BEF 与 △DCB 的面积比为（）

中考数学《图形的相似》真题汇编含解析

图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，∴AC :EC =AB :DE ，∵AC :EC =2:3，AB =6，∴2:3=6:DE ，∴DE =9，故选：B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，∴直线AD 的解析式为：y =x +1，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当y =0时，x =-1，∴位似中心的坐标为-1,0 ，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质，∴∠ACF =∠ECF ，∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，∴∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2，△ADE∽△CME，∴AD CM =DEEM=2，则CM=12AD=32，∴MB=3-CM=32，∵BC∥AD，∴△GMB∽△GDA，∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=43．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD =AB =3，∴BD =BC 2+CD 2=5．由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ，又∵RQ ⊥BD ，∴RQ =RC ，在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，RQ =RC BR =BR ，∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，∴BC =BQ =4，∴QD =BD -BQ =5-4=1，设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，即3-x 2=12+x 2，解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，∴△OCR ∽△DCN ，∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN，解得CN =10．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =32，∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，∵OA =OB =35，∴AD =OD +OA =952，∴OA AD=23，∵CM :MA =1:2，∴OA AD =23=CM AC，∵∠OAM =∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ，∴OM CD =OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵OA =OB =35，OD =352，∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152，∴CD =BC +BD =9，∵OM CD=23，∴OM =6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，∴∠DOB =∠DFC =90°，∵∠BDO =∠CDF ，∴△BDO ∽△CDF ，∴OB CF =BD CD 即35CF=1529，解得CF =1855，同理可得，△AEM ∽△AFC ，∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23，解得ME =1255，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.【详解】解：∵ABCD 为正方形，∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，∵BF =CE ，∴DE =FC ，∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°，∴∠ADG +∠DAE =90°，∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ，∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ，∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ，∵∠AGD =∠AGM =90°，∴AE 垂直平分DM ，故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，∴△ADE ∽△DGE ，∴DE GE=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，由①可知DE =CF ，∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形，且边长为4，∴AB =BC =AD =4，∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴AM =AD =4，∴CM =AC -AM =42-4.由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2，∴h =22，∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴DG =GM ，∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，∴DN =2 2.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，∵CD ∥AB ，∴∠CDF =∠QEF ．∴∠QDF =∠QEF ．∴DQ =EQ =5．故①正确；∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，∴MQ =AM =4．∵MB =AB -AM =5-4=1，∴BQ =MQ -MB =4-1=3．故②正确；∵CD ∥AB ，∴△CDP ∽△BQP ．∴CP BP =CD BQ=53．∵CP +BP =BC =5，∴BP =38BC =158．故③正确；∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ．∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE．∴△EFQ 与△EDB 不相似．∴∠EQF ≠∠EBD ．∴BD 与FQ 不平行．故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AED AAS，∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE，故②正确，当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥MH,HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，∴△AHD ∽△FHB ，∴FH AH =BF AD=a 2a =12，∴AH =23AF =253a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，∴△AGF ∽△ABF ，∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515a ，∵∠BHF =∠DHA ，在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，∴BH DH=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423a ，∵AF ⊥EP ，根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，∴位似比为31，∴9 m =31，3n=31，解得m=3，n=1，∴A13,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA:AA =1:2，则△ABC和△A B C 的周长之比为．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：∵OA:AA =1:2，∴OA:OA =1:3，设△ABC周长为l1，设△A B C 周长为l2，∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，∴l1l2=OAOA=13．∴l1:l2=1:3．∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到DF EF =CD AE =AB AE，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，∴△EAF ∽△DCF ，∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ，∴△ABD ∽△AQP ，∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为．【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB =AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF ⊥AB ，∴∠FDB =45°，∴△DFB 是等腰直角三角形，∴DF =BF ，∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，即AD =10DF ，∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，∴△AFD ∼△ACB ，∴DF BC =AF AC，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，∴DF =104，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1，综上，AD 的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽△EAB ，则FM AB=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，∵CF 平分∠DCE ，∴∠FCM =∠FCN =45°，∴CM =FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，∵FM ∥AB ，∴△EFM ∽△EAB ，∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104，故答案为：3104．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，∴CH =10=AD ，∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，∴CJ =DJ =5，∴EJ =1，∵GI ∥CJ ，∴△HGI ∽△HCJ ，∴GI CJ =GH CH=25，∴GI =2，∴FI =4，∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】3；13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=52，EH⊥AD，∴AH=DH=12AD=32，在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=522-32 2=2，∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE，∴△ABF≌△KEF ASA，∴EK=AB=3，由(1)可知，AH=12AD，EH=2，∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，∴KH GD =AH AD，∴GD=2，在Rt△ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP ∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH =CE +CH =9，∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，∴CD ∥AH ，∴△ECD ~△EHA ，∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83，∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，∵CD ∥AH ，∴DE AD=CE CH ，即2973AD =63，解得：AD =973．故答案为：973．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25(2023·湖南·统考中考真题)如图，CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∵CE⊥BE，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠C=∠EBD，∴△ABC∽△DEB；(2)∵△ABC∽△DEB，∴AB DE =AC BD，∵AB=8,AC=6,DE=4，∴8 4=6 BD，解得：BD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA，推出AF= CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF =∠CED ，∴△AEF ≅△DEC ASA ，∴AF =CD ，∴AF =AB ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，∵∠FCG =∠FCD ，∴∠F =∠FCG ，∴GC =GF =6，∵∠DHC =∠AHG ，∴△AGH ∽△DCH ，∴GH CH =AG DC，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =12AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，∵∠EBO +∠BEO =90°，∠ABO +∠EBO =90°，∴∠BEO =∠ABO ，∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)解：连接HG ,AC ,EF ，∵H ,G 为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，∵AH =12AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29(2023·上海·统考中考真题)如图，在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD(1)求证：DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACF ，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．(2)证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由(1)已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。

2018年全国各地中考数学试题《相似》解答题试题汇编

2018年全国各地中考数学试题《相似》解答题试题汇编1.（2018•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A B（点A，B的对应点分别为A，B），画出线段A B；111111（2）将线段A B绕点B逆时针旋转90°得到线段A B，画出线段A B；1112121（3）以A，A，B，A为顶点的四边形AA B A的面积是个平方单位．1121122.（2018•巴中）如图，在△A BC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥A B，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD=AE；（2）若AB=6，AC=4，求AE的长．3.（2018•巴中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（-3，-3），点B（-1，-3），点C（-1，-1）．（1）画出△A BC；（2）画出△A BC关于x轴对称的△A B C，并写出A点的坐标：；1111（3）以O为位似中心，在第一象限内把△A BC扩大到原来的两倍，得到△A B C，222并写出A点的坐标：．24.（2018•江西）如图，在△A BC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥A B，BD是∠A BC 的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．5.（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE-BE；AF（2）连接BF，如果=BF．求证：EF=EP．DFAD6.（2018•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．7.（2018•福建）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△A BC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．8.（2018•宁夏）已知：△A BC三个顶点的坐标分别为A（-2，-2），B（-5，-4），C（-1，-5）．（1）画出△A BC关于x轴对称的△A B C；111（2）以点O为位似中心，将△A BC放大为原来的2倍，得到△A B C，请在网222格中画出△A B C，并写出点B的坐标．22229.（2018•陕西）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△D PA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）10.（2018•南通）如图，A B为⊙O的直径，C为⊙O上一点，A D和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．（1）求证：EF=BF；（2）若DC=4，DE=2，求直径AB的长．11.（2018•宁夏）已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP．（1）求∠P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•D C=20，求⊙O 的面积．（π取3.14）12.（2018•大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B AD=90°，点E在BC的延长线上，且∠D EC=∠B AC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥D E，当AB=8，CE=2时，求AC的长．AB 13.（2018•张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．（1）当M在什么位置时，△M AB的面积最大，并求出这个最大值；（2）求证：△P AN∽△PMB．15.（2018•东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠C AD=∠BDC；（2）若BD=2AD，AC=3，求CD的长．316.（2018•南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（△1）求证：AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．17.（2018•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC 平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．18.（2018•梧州）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC 上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（△1）求证：ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的长度．19.（2018•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（△1）求证：BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．20.（2018•乌鲁木齐）如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．R t ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线21.（2018•福建）如图，在△90°得到，EFG由△ABC沿CB方向平移得到，段AB绕点A按逆时针方向旋转△且直线EF过点D．（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长．22.（2018•泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB 的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．（1）求证：CO2=OF•OP；（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=42，PB=4，求GH的长．23.（2018•遂宁）如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM．（1）求证：CM2=MN•M A；（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长．24.（2018•菏泽）如图，△A BC内接于⊙O，AB=AC，∠B AC=36°，过点A作AD ∥B C，与∠A BC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠D AF的度数；（2）求证：AE2=EF•E D；（3）求证：AD是⊙O的切线．25.（2018•东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△A BC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥A C，交AO的延长线于点D，通过构造△A BD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠A DB=°，AB=．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=33，∠A BC=∠A CB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．26.（2018•武汉）如图，P A是⊙O的切线，A是切点，A C是直径，A B是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠A PC=3∠B PC，求PE的值．CE27.（2018•呼和浩特）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD=APAMAO．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．BPMD28.（2018•遵义）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．29.（2018•葫芦岛）如图，AB是⊙O的直径，AC=BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．30.（2018•苏州）问题1：如图①，在△A BC中，AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥B C，交AC于点E，连接CD．设△A BC的面积为S，△D EC的面积为S′．（1）当AD=3时，S′S=；（2）设AD=m，请你用含字母m的代数式表示S′S．问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4，AD∥B C，AD=12BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥B C，交CD于点F，连接CE．设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△E FC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示S′S．31.（2018•烟台）如图，已知D，E分别为△A BC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F为BD上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．（1）若∠E BD为α，请将∠C AD用含α的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当∠C AD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD=3，求MNMF的值．32.（2018•乐山）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B 是切点，P O交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥P O；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求AEBE的值．33.（2018•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，B C的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△P DC周长的最小值．34.（2018•衢州）如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．（1）求证：△H BE∽△ABC；（2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．34.（2018•下城区二模）如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4，点E是边BC的中点，连结DE，AE．（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连结AF，交DE于点G，连结EF，若∠D AG=∠FEG．①求证：△A GE∽△DGF；②求DF的长．35.（2018•玄武区二模）在△ABC中，AB=6，AC=8，D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD=x（0＜x＜6），CE=y（0＜y＜8）．（1）当x=2，y=5时，求证：△AED∽△ABC；（△2）若ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式．。

2018年中考数学专题复习卷：图形的相似(含解析)

图形的相似一、选择题1.已知，下列变形错误的是（）A. B.C.D.【答案】B【解析】由得，3a=2b，A. 由得，所以变形正确，故不符合题意；B. 由得3a=2b，所以变形错误，故符合题意；C. 由可得，所以变形正确，故不符合题意；D.3a=2b变形正确，故不符合题意.故答案为：B.【分析】根据已知比例式可得出3a=2b，再根据比例的基本性质对各选项逐一判断即可。

2.如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A,B,C，直线n分别交直线a、b、c于点D,E,F,若, ,则的值应该（）A. 等于B. 大于C. 小于D. 不能确定【答案】B【解析】：如图，过点A作AN∥DF，交BE于点M，交CF于点N∵a∥b∥c∴AD=ME=NF=4（平行线中的平行线段相等）∵AC=AB+BC=2+4=6∴设MB=x，CN=3x∴BE=x+4，CF=3x+4∵∵x＞0∴故答案为：B【分析】过点A作AN∥DF，交BE于点M，交CF于点N，根据已知及平行线中的平行线段相等，可得出AD=ME=NF=4，再根据平行线分线段成比例得出BM和CN的关系，设MB=x，CN=3x，分别表示出BE、CF，再求出它们的比，利用求差法比较大小，即可求解。

3.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A. （5，1） B. （4，3） C. （3，4） D. （1，5）【答案】C【解析】：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，又∵A（6，8），∴端点C的坐标为（3，4）．故答案为：C．【分析】根据位似图形的性质，位似图形上一个点的坐标等于原图形上对应点的横纵坐标分别乘以位似比，或位似比的相反数。

4.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1， S2，（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】 :如图，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BM⊥AC于点M∴DF∥BM，设DF=h1， BM=h2∴∵DE∥BC∴∴∵若∴设=k＜0.5（0＜k＜0.5）∴AE=AC∙k，CE=AC-AE=AC（1-k)，h1=h2k∵S1= AE∙h1= AC∙k∙h1， S2= CE∙h2= AC（1-k）h2∴3S1= k2ACh2， 2S2=（1-K）∙ACh2∵0＜k＜0.5∴k2＜（1-K）∴3S1＜2S2故答案为：D【分析】过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BM⊥AC于点M，可得出DF∥BM，设DF=h1， BM=h2，再根据DE∥BC，可证得，若，设=k＜0.5（0＜k＜0.5），再分别求出3S1和2S2，根据k的取值范围，即可得出答案。

20.2018年中考数学一轮复习第20讲图形的相似-知识归纳+真题解析(2017年真题)

【知识归纳】（一）1．成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．2．比例线段的基本性质若a b ＝c d ，则；当b ＝c 时，，那么b 是a ，d 的比例中项．3．线段的黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC )，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且AC AB＝BC AC ＝5－12≈0.618，则C 点叫做线段AB 的． 4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

（二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角，对应边的比．2．相似三角形的判定(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应，那么这两个三角形相似；(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应，且夹角，那么这两个三角形相似；(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应，那么这两个三角形相似；(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形．3.相似三角形的性质(1)相似三角形周长的比等于 .(2)相似三角形面积的比等于 . (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于 .4.相似多边形的性质(1)相似多边形周长的比等于 . (2)相似多边形面积的比等于 .5.位似图形（1）定义两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做，对应边的比叫做．位似是一种特殊的相似.（2）性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于点；(3)位似图形对应边；(4)位似图形对应角 .【知识归纳答案】（一）1．成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．2．比例线段的基本性质若a b ＝c d ，则ad=bc ；当b ＝c 时，b 2=ad ，那么b 是a ，d 的比例中项．3．线段的黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC )，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且AC AB＝BC AC ＝5－12≈0.618，则C 点叫做线段AB 的黄金分割点． 4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2018中考专题相似三角形

. 2018中考数学专题相似形（共40题）1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD 分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC 于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．. 4．如图，点E是正方形ABCD 的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF 于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．. 7．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB 相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．8．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF?GF=28时，请直接写出CE的长．9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．.10．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．12．将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB 的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C 与. AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？13．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C （E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．14．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部. 分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？15．已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．（1）求证：△ABM∽△NDA；（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．16．如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG?CF=DM?EG；（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．17．△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．（1）如图1，求证：DE?CD=DF?BE（2）D为BC中点如图2，连接EF．①求证：ED平分∠BEF；. ②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．18．如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC=PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．19．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD 的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．20．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；. （2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？21．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE=，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？22．如图（1），在△ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AE∥BC与过D 点作DE∥AB交于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形．（2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的.长．23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB?BM．24．已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=．（1）求证：DE∥BC．（2）已知，如图2，在△ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=．（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．25．已知△ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，∠ECF=∠A．（1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC2=AF?BE；（2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的长．.26．如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．（1）求证：AD2=BG?DH；（2）求证：CE=DG；（3）求证：EF=HG．27．如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．（1）求证：AC?DF=BF?BD；（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．28．如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，. N．（1）求证：DB=DM．（2）若=2，DE=6，求线段MN的长．（3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为（用含n 的代数式表示）．29．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A、D、G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC、CG、AE，并延长AE交OG于点H．（1）求证：∠DAE=∠DCG．（2）求线段HE的长．30．如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1=∠2=∠A．（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；. （2）若图2，若AB≠AC，①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；②求证：=．31．如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）证明：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．32．如图，正方形ABCD中，边长为12，DE⊥DC交AB于点E，DF平分∠EDC交BC于点F，连接EF．（1）求证：EF=CF；（2）当=时，求EF的长．33．如图，已知在△ABC中，P为边AB上一点，连接CP，M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D，N为AP的中点，连接MN．若∠ACP=∠ABD．（1）求证：AC?MN=BN?AP；（2）若AB=3，AC=2，求AP的长．.34．如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF；（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．35．如图①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN 绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN 交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止．（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，△ABP△PCD（填“≌”或“～”）；（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．36．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC的面积是.37．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．（1）求AO的长；（2）求PQ的长；（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．38．尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC 的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．．求证：a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．.39．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．40．如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．求证：K是线段MN的中点．.参考答案与试题解析（共40题）1．（2017?阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∴△ADB≌△AEC．∴BD=CE．（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．. ∴=．∴=．∴PB=．．②当点E在BA延长线上时，BE=3．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．．综上所述，PB的长为或．2．（2017?常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．.【解答】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，，∴△ABE≌△DBE；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴==，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴=，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴=，∵AB=2AG，∴=，∴2CN?AG=AF?AC，. ∴AG2=AF?AC．3．（2017?杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB 上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，. ∴，∴=4．（2017?眉山）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．【解答】解：（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG与△DCE中，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG=DE，（2）设CG=1，∵G为CD的中点，∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，. ∵sin∠CDE==，∴GF=，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴=，∴BH=，GH=，∴=5．（2017?河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，. ∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AE=BF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AE=BF．6．（2017?泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，. ∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．.7．（2017?天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，. ∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴=，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=3，∴BC=6．8．（2017?绥化）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H 两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF?GF=28时，请直接写出CE的长．.【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠CEB，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠CEB，∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC；（2）如图，连接DF，∵DE=DC，F为CE的中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC=90°，在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，∴BF=CF=EF=EC，∴∠ABF=∠CEB，∵∠DCE=∠CEB，∴∠ABF=∠DCF，在△ABF和△DCF中，. ，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB=∠DFC=90°，∴AF⊥BF；（3）CE=4．理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF=90°，∵EH∥BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，∴∠FEH+∠CEB=90°，∵∠ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴=，即EF2=AF?GF，∵AF?GF=28，∴EF=2，∴CE=2EF=4．9．（2017?雨城区校级自主招生）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；. （2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，. ∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD．10．（2017?深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B 向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；. （2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2，∵AE=AB，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE=45°，又∵FG⊥DE，∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，∴∠FRA=∠RFA=45°，∴AF=AR；（2）解：①如图，当四边形PRBC是矩形时，则有PR∥BC，∴AF∥PR，∴△EAF∽△ERP，∴，即：由（1）得AF=AR，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，∵点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，∴（秒）；. ②若PR=PB，过点P作PK⊥AB于K，设FA=x，则RK=BR=（2﹣x），∵△EFA∽△EPK，∴，即：=，解得：x=±﹣3（舍去负值）；∴t=（秒）；若PB=RB，则△EFA∽△EPB，∴=，∴，∴BP=AB=×2=∴CP=BC﹣BP=2﹣=，∴（秒）．综上所述，当PR=PB时，t=；当PB=RB时，秒．.11．（2017?江汉区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的边长为1；（2）CN=2EM证明方法一、理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OC. ∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，AE=FE∴EO为△AFC的中位线∴EO∥BC∴∴在Rt△AEN中，OA=OC∴EO=OC=AC，∴CM=EM∵CE平分∠ACF，∴∠OCM=∠BCN，∵∠NBC=∠COM=90°，∴△CBN∽△COM，∴，∴CN=CM，即CN=2EM．证明方法二、∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°=∠DBC，由（1）知，在Rt△ACE中，EO=AC=CO，∴∠OEC=∠OCE，∵CE平分∠ACF，∴∠OCE=∠ECB=∠OEC，∴EO∥BC，∴∠EOM=∠DBC=45°，∵∠OEM=∠OCE∴△EOM∽△CAN，. ∴，∴CN=2CM．12．（2017?济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB 的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；又B1C=BC，∠B1=∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）∴CQ=CP1；（2）解：如图：作P1D⊥AC于D，∵∠A=30°，∴P1D=AP1；∵∠P1CD=45°，∴=sin45°=，. ∴CP1=P1D=AP1；又AP1=a，CQ=CP1，∴CQ=a；（3）解：当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2．这时==，∴P1P2=CP1．13．（2017?惠阳区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C 与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC 交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．. 【解答】（1）解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，∴AQ=8﹣t，t的取值范围是：0≤t≤5；（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB=（10﹣2t）∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==。

2018年中考数学专题复习卷图形的相似(含解析)

3.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A. （5，1）B. （4，3） C. （3，4） D. （1，5）【答案】C【解析】：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，又∵A（6，8），∴端点C的坐标为（3，4）．故答案为：C．【分析】根据位似图形的性质，位似图形上一个点的坐标等于原图形上对应点的横纵坐标分别乘以位似比，或位似比的相反数。