精品勾股定理综合性难题及答案.doc
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勾股定理练习题
1、如图，已知：在
ABC
中，
ACB 90
，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说
明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．
2、直角三角形的面积为 S
，斜边上的中线长为 d ，则这个三角形周长为（
）
（A ） d 2
S 2d
（ B ） d 2
S d
（C ） 2 d 2
S 2d （ D ） 2 d
2 S d
、如图所示，在
Rt ABC
中, BAC 90 , AC
AB, DAE 45 且 BD 3
,
3
, CE 4,求 DE 的长 .
4、如图在 Rt △ABC 中 ,
C 90 , AC
4, BC
3
，在 Rt △ ABC
的外部拼接一个合适的直角三
角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：
要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法， 在图中标明拼接的直角三角形 的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）
5．已知：如图，△ ABC 中，∠ C = 90°，点 O 为△ ABC 的三条角平分线的交点， OD ⊥ BC ， OE ⊥AC ， OF ⊥AB ，点 D 、 E 、 F 分别是垂足，且 BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点 O 到三边 AB ，
A
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AC 和 BC 的距离分别等于
cm
C
E
D
A
O
B
F
第5题图
6 ．如图，在△ ABC 中， AB=AC ， P 为 BC 上任意一点，请说明： AB 2
－AP 2
× 。
=PB PC
7．在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处；另一只
爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 ?
8．长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°角 (如图所示 )，则梯子的顶端沿墙面升高了 ______m ．
9．已知：如图，△ ABC 中，∠ C ＝ 90°， D 为 AB 的中点， E 、F 分别在 AC 、 BC 上，且 DE
⊥DF ．求证： AE 2＋ BF 2 ＝EF 2．
1 CB
10．已知：如图，在正方形 ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 CB 的四等分点且 CE ＝
4
，
求证： AF ⊥FE ．
11．已知△ ABC 中，a2＋ b2＋c2＝10a＋ 24b＋26c－338，试判定△ ABC 的形状，并说明你的理由．
12．已知 a、b、 c 是△ ABC 的三边，且 a2c2－ b2 c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．
13．如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm．如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?
14. 三角形的三边长为( a b)
2
c 2
2ab
,则这个三角形是 ( )
（A ）等边三角形（ B）钝角三角形
（C）直角三角形（D）锐角三角形 .
.
勾股定理练习题答案
1、如图，已知：在
ABC 中，ACB 90，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．
2、直角三角形的面积为 S
，斜边上的中线长为 d ，则这个三角形周长为（
）
（A ） d
2
S 2d
（ B ） d
2
S d
（C ） 2 d
2
S 2d
（ D ） 2 d
2
S d
2d ,
S 1
解 :设两直角边分别为 a, b
,斜边为 c
,则
c
2
ab
. 由勾股定理 ,得 a 2
b 2
c 2 .
所以 a
2
a 2 2a
b b 2
c 2
4d 2 4S .
b
4S
所以 a
b 2 d
2
S
.所以
a
b c 2 d
2
S
2d
.故选（ C ）
、如图所示，在
Rt ABC
中,
BAC
90 ,AC
AB, DAE 45
,且 BD 3
,
3
CE 4,求 DE 的长 .
解 :如右图：因为
ABC
为等腰直角三角形 ,所以 ABD
C 45.
所以把 AEC 绕点 A 旋转到 AFB ,则 AFB AEC .
所以
BF
EC 4, AF AE , ABF
C 45 .连结
DF
. 所以 DBF 为直角三角形 . 由勾股定理 ,得 DF
2
BF
2
BD 2 42 32 52 .所以
DF
5 .
因为 DAE
45 ,所以 DAF
DAB
EAC 45 .
所以 ADE
ADF SAS .
所以
DE
DF 5 .
、如图在
Rt △
ABC 中
, C 90 ,AC
4, BC
3
，在 Rt △ ABC 的外部拼接一个合适的直角三
4