2015年浙江省高中数学竞赛试卷含参考答案
2015年浙江省数学竞赛答案
2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
1．A ．解答：当a =2，
b =C ：22
221x y a b
+=
经过)
；
当曲线C ：22
221x y a b +=
经过点)
时，即有22211a b
+=
，显然2,a b =-=上式。
所以“a =2，
b =是“曲线C ：22
221x y a b
+=
经过点
)
”的充分不必要条件。
2．B ．解答：由题意可知222
(1)2(2)(1)(1)
m m m m m m m m ++>+⎧⎨+>++++⎩解得3
12m <<。 3． C ．解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角
坐标系，则11
(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2
D A C D M ，且平面1ACD 的法向
量为1n =(1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =-。
因此123cos ,n n <>=
，即二面角M -CD 1
-A 。
4．C ．解答：由,a b 满足的条件知13b
a
≤≤，
所以
2372252a b b a b a
+=-≤++，当13
(,)(,)22a b =取等号。 5． D ．解答：如图5-1所示， （1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，
180,A P R C Q R B Q R ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠
在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BR
2015浙江省数学竞赛试题与答案
2015年浙江省高中数学竞赛试卷
说明：（1）本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的20题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前18题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题。
（2）考试不允许携带计算机或计算器。
一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6人，共48分）
1、“a=2，
是“曲线C: 22221(,,0)y x a b R ab a b
+=∈≠经过点
1)”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m ，m+1，m+2，则实数m 的取值范围为（ ）
A.m>1
B.1
C. 32
D.m>3
3、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BB 1的中点，
则二面角M －CD 1－A 的余弦值为 （ ）
B.12
4、若实数a ，b 满足20
101
a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨≤⎪⎩，则22a b a b ++的最大值为 （ ）
A.1
B.54
C.75
D.2
5、已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积
分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR
ABC
S S ∆∆的最小值为
（ ）
A.12
B.13
C.14
D.15
6、已知数列{a n }的通项a n =
(1)(21)
(1)
nx
x x nx +++，n ∈N *，若a 1+a 2+…+a 2015<1，则实数x 等于
2015年浙江省高中数学竞赛试卷
2015年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）
1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22
221(,,0)x y a b R ab a b
+=∈≠经过点
(
)
2,1”的( A )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A.
解答：当a =2， 2b =曲线C ：22
221x y a b
+=经过
(
)
2,1；当曲线C ：22
221x y a b
+=经过
点
(
)
2,1时，即有
2
221
1a b
+=，显然2,2a b =-=-也满足上式。所以“a =2， 2b =”是“曲线C ：22
221x y a b
+=经过点
(
)
2,1”的充分不必要条件。
2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )．
A ． 1m >
B ． 312m <<
C ．3
32
m << D ．3m > 答案：B.
解答：由题意可知：
222
(1)2(2)(1)(1)
m m m m m m m m ++>+⎧⎨+>++++⎩解得3
12m <<。
3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )．
A ．
36 B ． 1
2 C ． 3
3 D ．63 答案：C.
解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
2015浙江省高等数学竞赛试题(答案)
2015浙江省高等数学竞赛试题答案
一、计算题：（每小题14分，满分70分）
1．求极限201cos cos 2lim x x x
x
→-。 解： 0sin cos 22cos sin 2lim 2x x x x x
x
→+=
20sin cos 24cos sin lim 2x x x x x
x
→+=
20sin (cos 24cos )
lim 2x x x x x →+=
5
2
=
2．求不定积分221
(4)x dx x x ++⎰ 解：22111
()44x dx x x +=-+⎰
222
111)444(4)4(4)x dx x x x x =+--++⎰ 22ln 11)444(4)4(4)
x x dx x x x =-+--++⎰
2
arctan ln 1ln(
4)
24
488
x x x C x +=---+
3．设1
()ln()x
f x t x dt =
+⎰
，求(1)f '的值。
解：令u t x =+
21
1()ln()ln()x x
x
f x t x dt u du +=+=⎰⎰
()2ln 2ln(1)f x x x '=-+ (1)2ln 2ln 2ln 2f '=-=
4．已知()y y x =由方程3
1xy
e y +=确定，求0
x dy dx
= 。
解：2
()30xy
e y xy y y ''++=
23xy
xy ye y xe y '=-+
2033xy xy
x ye e y y y
='=-=- 因为当0x =时0y = 所以0x y ='=-∞
5．求极限 221lim
n
n k k
n k
→+∞
=+∑。 解：222
2015年浙江省数学竞赛试题与答案解析(详细解答)
2015年浙江省高中数学竞赛试卷
说明：（1）本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的20题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前18题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题。
（2）考试不允许携带计算机或计算器。
一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6人，共48分）
1、“a=2，
是“曲线C: 22221(,,0)y x a b R ab a b
+=∈≠经过点
1)”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m ，m+1，m+2，则实数m 的取值范围为（ ）
A.m>1
B.1<m<32
C. 32
<m<3
D.m>3
3、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BB 1的中点，
则二面角M －CD 1－A 的余弦值为 （ ）
B.12
4、若实数a ，b 满足20
101
a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨≤⎪⎩，则22a b a b ++的最大值为 （ ）
A.1
B.54
C.75
D.2
5、已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积
分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR
ABC
S S ∆∆的最小值为
（ ）
A.12
B.13
C.14
D.15
6、已知数列{a n }的通项a n =
(1)(21)
2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 (2)
2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）
1．“a =2
，b=”是“曲线C：
22
22
1(,,0)
x y
a b R ab
a b
+=∈≠
经过点)”的( A )．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A.
解答：当a =2
，b=曲线C：
22
22
1
x y
a b
+=
经过)；当曲线C：22
22
1
x y
a b
+=
经过点
)时，即有22
21
1
a b
+=
，显然2,
a b
=-=也满足上式。所以“a =2
，b=”是“曲线C：
22
22
1
x y
a b
+=
经过点)”的充分不必要条件。
2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2
m m m
++，则实数m的取值范围为(B )．
A．1
m>B．3
1
2
m
<
3
3
2
m
<
m>
答案：B.
解答：由题意可知：
222
(1)2
(2)(1)(1)
m m m
m m m m m
++>+
⎧
⎨
+>++++
⎩
解得
3
1
2
m
<<。
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点，
则二面角M-CD1-A的余弦值为(C )．
A
B．
1
2
C
D
答案：C.
解答：以D为坐标原点，1
,,
DA DC DD所在的直线分别为,,
x y z轴建立空间直角坐标系，
则
1
1
(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)
2
D A C D M，且平面
1
ACD的法向量为
1
n=
(1,1,1)，平面
1
MCD法向量为
2015年浙江省高中数学竞赛试卷
2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）
1．“a =2，
b =是“曲线C ：22
221(,,0)x y a b R ab a b
+=∈≠
经过点
)
”的( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( )．
A ． 1m >
B ． 312m <<
C ．3
32
m <<
D ．3m >
3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( )． A ． B ． 1
2
C ． D
4．若实数,a b 满足20
101
a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩
，则22a b a b ++的最大值为 ( )． A ． 1 B ．
54 C ． 7
5
D ． 2
5． 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则
PQR ABC
S S ∆∆的最小值为( )．
A ． 12
B ． 13
C ． 14
D ． 1
5
第3题图
1
A 1
图5-1 图5-2 6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)
(1)
n nx
a x x nx =
+++ ，*n N ∈，若
1220151a a a ++
+<，则实数x 等于（ )．
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最新2015浙江省高等数学竞赛试题(答案) （优选.)
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2015浙江省高等数学竞赛试题答案
一、计算题：（每小题14分，满分70分） 1．求极限20
1cos cos 2lim x x x x →-。 解：0sin cos 22cos sin 2lim 2x x x x x x →+= 20sin cos 24cos sin lim 2x x x x x x
→+= 20sin (cos 24cos )lim 2x x x x x
→+= 52
=
2．求不定积分221(4)x dx x x ++⎰
解：22111()44x dx x x +=-+⎰ 222111)4
44(
4)
4(4)
x dx x x x x =+--++⎰ 22ln 11)444(4)4(4)
x
x dx x x x =-+--++⎰ 2arctan ln 1ln(4)24488x x x C x +=
---+
3．设1()ln()x
f x t x dt =+⎰，求(1)f '的值。
解：令u t x =+
211()ln()ln()x x
x f x t x dt u du +=+=⎰⎰ ()2ln 2ln(1)f x x x '=-+
(1)2ln 2ln 2ln 2f '=-=
4．已知()y y x =由方程31xy e y +=确定，求0x dy
dx =。 解：2()30xy e y xy y y ''++=
2
3xy
xy ye y xe y '=-+ 20
33xy xy
x ye e y y y ='=-=- 因为当0x =时0y =
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2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）
1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22
221(,,0)x y a b R ab a b
+=∈≠经过点
(
)
2,1”的( A )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A.
解答：当a =2， 2b =曲线C ：22
221x y a b
+=经过
(
)
2,1；当曲线C ：22
221x y a b
+=经过
点
(
)
2,1时，即有
2
221
1a b
+=，显然2,2a b =-=-也满足上式。所以“a =2， 2b =”是“曲线C ：22
221x y a b
+=经过点
(
)
2,1”的充分不必要条件。
2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )．
A ． 1m >
B ． 312m <<
C ．3
32
m << D ．3m > 答案：B.
解答：由题意可知：
222
(1)2(2)(1)(1)
m m m m m m m m ++>+⎧⎨+>++++⎩解得3
12m <<。
3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )．
A ．
36 B ． 1
2 C ． 3
3 D ．63 答案：C.
解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
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2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）
1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22
221(,,0)x y a b R ab a b
+=∈≠经过点
(
)
2,1”的( A )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A.
解答：当a =2， 2b =曲线C ：22
221x y a b
+=经过
(
)
2,1；当曲线C ：22
221x y a b
+=经过
点
(
)
2,1时，即有
2
221
1a b
+=，显然2,2a b =-=-也满足上式。所以“a =2， 2b =”是“曲线C ：22
221x y a b
+=经过点
(
)
2,1”的充分不必要条件。
2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )．
A ． 1m >
B ． 312m <<
C ．3
32
m << D ．3m > 答案：B.
解答：由题意可知：
222
(1)2(2)(1)(1)
m m m m m m m m ++>+⎧⎨+>++++⎩解得3
12m <<。
3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )．
A ．
36 B ． 1
2 C ． 3
3 D ．63 答案：C.
解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
11
(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)
2
D A C D M ，且平面
1ACD 的法向量为
1n = (1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =- 。因此123
cos ,3
n n <>= ，即二面角第3题图
M
C 1
B 1D 1
A 1
C D A
B
M -CD 1-A 的余弦值为
33
。 4．若实数,a b 满足20
101
a b b a a +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，则22a b a b ++的最大值为 ( C )．
A ． 1
B ． 54
C ． 7
5
D ． 2 答案：C.
解答：由,a b 满足的条件知13b a ≤
≤，所以
2372252a b b a b a
+=-≤++，当13
(,)(,)22a b =取等号。 5． 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则
PQR ABC
S S ∆∆的最小值为( D )．
A ． 12
B ． 13
C ． 14
D ． 1
5 参考答案：D.
解答：如图5-1所示，
图5-1 图5-2
（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，
180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠ 所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应
用正弦定理得
,sin sin sin sin PR AR QR BR A APR B BQR
==
.又45,A B ∠=∠=
故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.
A
B C
P Q
R
H
A
B
C
P R
Q
过R 作RH AC ⊥于H ，则1
2
PR RH BC ≥=,所以
2
2
221
()124
PQR ABC BC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时
PQR ABC
S S ∆∆的最大值为
1
4
. （2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5-2所示，设
1,(01),(0)2
BC CR x x BRQ π
αα==≤≤∠=<<
,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠=
在Rt CPR ∆中，,sin sin CR x
PR αα
=
= 在BRQ ∆中，3
1,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44
x
PQ RB x
B PQB αππα-=⇔=⇔∠+
1sin cos 2sin x ααα=+，因此2221111
()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα
∆===+.
这样，
PQR ABC
S S ∆∆2222
111
(
)cos 2sin (12)(cos sin )5
αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号，此时
PQR ABC
S S ∆∆的最小值为1
5
.
6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)
n nx
a x x nx =
+++ ，*n N ∈，若
1220151a a a +++< ，则实数x 等于（ D )．
A ．32-
B ．512-
C ．940-
D ．1160
- 答案：D.
(1)111
(1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21)(1)
n nx a x x nx x x n x x x nx +-=
=-
+++++-++++
则
2015
1
1
11(1)(21)(20151)0(1)(21)(20151)
k k a x x x x x x ==-
<⇔+++>+++∑ ，所以
111111(1,)(,)(,)(,)234201320142015x ∈--⋃--⋃⋃--⋃-+∞ ，经检验只有11
60
x =-