2015年浙江省高中数学竞赛试卷含参考答案
浙江省杭州市2015年高考数学命题比赛模拟试卷(11)及答案
考点：三视图、直观图
4．（原创）已知 的外接圆的圆心为 ,满足： , ，且 ， ,则 （ ）
A．36 B． 24 C． 24 D．
考点：平面向量的数量积的运算
5．（原创）等差数列 中， 和 是关于方程 的两根，则该数列的前11项和 （ ）
1．（原创）在 中，角 对应的边分别为 ．若 则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：1、解三角形；2、充要条件．
2．（原创）已知函数 是奇函数，当 时， , 且 则 的值为（ ）
A． B．3C．9D．
考点：1.函数的奇偶性；2.对数的运算律.
⑶考查的内容，注重考查高中数学的主干知识：函数，三角函数和解三角形，立体几何，解析几何，数列等。
3、立足基础，突出主干
命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能。对基础知识的考查主要集中在小题上，具体知识点分布在集合、向量、直线与圆、数列、函数图像、函数性质、线性规划、三视图、三角函数、圆锥曲线性质、空间角等内容上，而且小题的考查直接了当，大部分是直接考查单一知识点，试卷对中学数学的核心内容和基本能力，特别是对高中数学的主干知识进行较为全面地考查。注重了知识之间的内在联系，重点内容重点考，没有片面追求知识及基本思想、方法的覆盖面，反映了新课程的理念。
考点：直线与圆锥曲线的综合问题，求离心率取值范围
15．（原创）如图所示， 为正方体，给出以下五个结论：
① 平面 ；② ⊥平面 ；③ 与底面 所成角的正切值是 ；④二面角 的正切值是 ；⑤过点 且与异面直线 和 均成70°角的直线有2条．其中，所有正确结论的序号为________．
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
件等价于：存在整数 k, l (k l) ，使得
2k 2l 2 ．
①
2
2
当 4 时，区间[, 2]的长度不小于 4 ，故必存在 k, l 满足①式．
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
．
答案：24．
解：设 K1 (x, y) x 3y 6 0 ．先考虑 K1
在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ，故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
2015年全国高中数学联赛一试真题及解答(A卷)
3. 已知复数数列 {zn } 满足 z1 1, zn1 zn 1 n i (n 1, 2, ) ，其中 i 为虚数单位， zn 表示 zn 的共轭复数，则 z2015 的值为 答案： 2015 1007i ． 解：由已知得，对一切正整数 n ，有 ．
zn2 zn1 1 n 1i zn 1 n i 1 n 1i zn 2 i ，
于是 z2015 z1 1007 2 i 2015 1007i ． 4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的 最小值为 ．
解： 由条件可知， 且其中没有两个为相反数， ai a j (1 ≤ i < j ≤ 4 ) 是 6 个互不相同的数， 由 此 知 ， a1 , a2 , a3 , a4 的 绝 对 值 互 不 相 等 ， 不 妨 设 a1 a2 a3 a4 ， 则
ai a j (1 ≤ i < j ≤ 4 ) 中最小的与次小的两个数分别是 a1 a2 及 a1 a3 ，最大与次大的两个
…………………12 分
1 33 2 1 ，即 y 3 时， z 的最小值为 ，符合要求） ． 2 （此时相应的 x 值为 y 4 4 2 3 3 5 …………………16 分 由于 c log 2 z ，故 c 的最小值为 log 2 2 log 2 3 ． 4 3
1. 设 a, b 为不相等的实数，若二次函数 f ( x) x 2 ax b 满足 f (a ) f (b) ，则 f (2) 的值为 答案：4． 解：由已知条件及二次函数图像的轴对称性，可得 ．
2015浙江省高等数学竞赛试题(答案)
2015浙江省高等数学竞赛试题答案一、计算题：（每小题14分，满分70分）1．求极限201cos cos 2lim x x xx→-。
解： 0sin cos 22cos sin 2lim 2x x x x xx→+=20sin cos 24cos sin lim 2x x x x xx→+=20sin (cos 24cos )lim 2x x x x x →+=52=2．求不定积分221(4)x dx x x ++⎰ 解：22111()44x dx x x +=-+⎰222111)444(4)4(4)x dx x x x x =+--++⎰ 22ln 11)444(4)4(4)x x dx x x x =-+--++⎰2arctan ln 1ln(4)24488x x x C x +=---+3．设1()ln()xf x t x dt =+⎰，求(1)f '的值。
解：令u t x =+211()ln()ln()x xxf x t x dt u du +=+=⎰⎰()2ln 2ln(1)f x x x '=-+ (1)2ln 2ln 2ln 2f '=-=4．已知()y y x =由方程31xye y +=确定，求0x dy dx= 。
解：2()30xye y xy y y ''++=23xyxy ye y xe y '=-+2033xy xyx ye e y y y='=-=- 因为当0x =时0y = 所以0x y ='=-∞5．求极限 221limnn k kn k→+∞=+∑。
解：222111lim lim 1()nnn n k k kk n k n k n n→+∞→+∞===++∑∑ 由定积分定义知，极限可以变为11220011ln(1)ln 2122x dx x x =+=+⎰二、（满分20分）设数列{}n a 为单调递增的正数列，试讨论极限1/lim n a nn a →∞解：当{}n a 有界时，lim n n a →∞一定存在，设lim n n a a →∞=,则11/lim na ann a a→∞=当{}n a 无界时，lim n n a →∞=+∞，1ln 1/0lim lim lim 1n n n nn na a a a a a n n n n a eee ''→∞→∞→∞====三、（满分20分）已知面积为S 的直角三角形绕其斜边旋转一周所得的旋转体体积为V ，求V解： 213V ah π=因为211sin cos 22ah S a θθ== h ⇒== 2)32V ππθ⇒=<<所以当4πθ=时 322max 3V S π=四、求定积分220sin 1cos x xdx x π+⎰ 解： 220sin 1cos x xdx xπ+⎰ 2220sin sin 1cos 1cos x x x x dx dx x x πππ-=+++⎰⎰ 22sin 1cos x x dx x ππ-+⎰20()sin()1cos ()u x u u du u πππππ=--++−−−→++⎰ 20()sin 1cos u u du u ππ+=+⎰ 因此220sin 1cos x x dx xπ+⎰=2200sin sin 21cos 1cos x x xdx dx x x πππ+++⎰⎰ 20sin 1cos x x dx x π+⎰02()sin()1cos ()t xt t dt t πππππ=---−−−→-+-⎰20()sin 1cos t tdt tππ-=+⎰2200sin sin 1cos 21cos x x xdx dx x x πππ⇒=++⎰⎰20arctan cos 24x πππ=-=所以2220sin 1cos x x dx xππ=+⎰五、（满分20分）证明：23ln(1)(1)23x x x x x +≤-+>- 。
2015年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =,则(2)f 的值是 .【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图象的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以 (2)424f a b =++=2.若实数θ满足cos tan θθ=,则41cos sin θθ+的值为 . 【答案】2【解析】由条件知，2cos sin αα=，反复利用此结论，并注意到22cos sin 1αα+=，得2242221cos sin cos sin (1sin )(1cos )2sin cos 2sin sin αααααααααα++=+=++-=+-= 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,)n n z z z ni n +==++=,其中i 为虚数单位, n z 表示n z 的共轭复数,则2015z 的值是 .【答案】2015+1007i【解析】由已知得，对一切正整数n,有211(1)1(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=++++=++ 于是201511007(2)20151007z z i i =++=+ z 学科xx 网k4.在矩形ABCD 中,2,1AB AD ==,边DC 上(包括点,)D C 的动点P 与CB 延长线上(包括点)B 的动点Q 满足||||DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为 .【答案】3422133(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥当t=12时，min 3()4PA PQ ⋅= 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 【答案】255【解析】设正方体为ABCD-EF GH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH.由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为8222055=. z 学科xx 网k 6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|(|||3|6)(|3|||6)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面 积为 . 【答案】247.设ω为正实数,若存在,(2)a b a b ππ≤<≤,使得sin sin 2a b ωω+=,则实数ω的取值范围是 【答案】9513[,][,)424w ∈+∞ 【解析】由sin sin 2wa wb +=知sin sin 1wa wb ==，而[,][,2],wa wb w w ππ⊆故题目条件等价于：存在整数()k l k l <，，使得222.22w k l w ππππππ≤+<+≤ ⑴当4w ≥时,区间[,2]w w ππ的长度不小于4π,故必存在k,l 满足(1)式. 当04w <<时，注意到[,2]0,8w w πππ⊆（），故仅需考虑如下几种情况: 5)2,22i w w ππππ≤<≤（此时15,24w w ≤≥且无解；59)2,22ii w w ππππ≤<≤（此时有95;42w ≤≤913()222iii w w ππππ≤<≤，此时有13913,4424w w ≤≤≤<得.综合)()(),i ii iii （、、并注意到4w ≥亦满足条件，可知9513[,][,)424w ∈+∞. z 学科xx 网k8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为【答案】285下面计算0||:A 对任一四位数00,abc A b ∈可取0,19⋅⋅⋅，，，对其中每个b ， 由9b a <≤及9b c <≤知，a 和c 分别有9-b 种取法，从而992200191019||=(9)285.6b k b k ==⨯⨯-===∑∑A 因此()()285.N P N Q -=二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9. （本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=,求c 的最小值. 【解析】将2,2,2a b c 分别记为,,x y z ，则,,0x y z >由条件知，222,,x y z x y z +=+=故 2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+ 因此，结合均值不等式可得，4223321111113(2)3222444y y y y y y y y y +=++≥⋅⋅⋅=z= 当212=y y ，即312y =时，z 的最小值为3324.此时相应的x 值为3124，符合要求. 由于2,z c=log 故c 的最小值为32235log (2)log 3.43=- 10.(本题满分20分)设1234,,,a a a a 是四个有理数,使得{|14}i j a a i j ≤<≤,31{24,2,,,1,3}28=---- 求1234a a a a +++的值.2231412113{,}{,24}{2,},82a a a a a a =--=-- z 学科xx 网k 结合1,a Q ∈只可能11.4a =±由此易知，123411,4,642a a a ==-==-，a 或者123411,4,642a a a =-==-=，a . 经检验知这两组解均满足问题的条件，故12349.4a a a ++=±+a11.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左,右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d .如果直线11,,AF l BF 的斜率成等差数列,求d 的取值范围.22222=4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆-+-=+->（， 即2221.(2)k m +>由直线11AF l BF 、、的斜率121211y yk x x ++、、依次成等差数列知, 12112212+2,,11y yk y kx m y kx m x x ==+=+++又，所以122112)(1))(1)2(1)(1).kx m x kx m x k x x +++++=++（（ 化简并整理得，12)(2)0m k x x -++=（假如m=k ，则直线L 的方程为y=kx+k,即l 经过点11,0F （-），不符合条件.因此必有122=0x x ++，故由方程（1）及韦达定理知，z 学科xx 网k12241()2,.(3)212km x x m k k k=-+==++即 由22212321=2k m k k +>+（）、（）知，（），化简得221,4k k >这等价于2||2k > 反之当m,k 满足（3）及2||2k >l 必不经过点1F （否则将导致,m k =与（3）矛盾），21313()().(4)222t t t t⋅+=⋅+d= z 学科xx 网k考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在[1,3]上单调递减，故由（4）得，(3)(1),f d f <<即(3,2)d ∈.一．（本题满分40分）设12,,,(2)n a a a n ≥是实数,证明:可以连取12,,,{1,1}n εεε∈-使得222111()()(1)()nnni i i i i i i a a n a ε===+≤+∑∑∑【证明】我们证明：[]2222111[]12()()(1)()(1)nnnni i j i n i i i j a a a n a ====++-≤+∑∑∑∑1,,[],1;[]1,,,122i i n ni i n εε=⋅⋅⋅==+⋅⋅⋅=-即对取对取符合要求，[].)x x （这里，表示实数的整数部分1事实上，（）的左边为[][]222211[]1[]122(+)+()nn nni j i j nn i i j j a a a a ===+=+-∑∑∑∑[]2221[]12=2(+2)nni j n i j a a ==+∑∑）（[]2221[]122[]([]))(22n ni j n i j n n a a ==+≤∑∑）+2(n-（柯西不等式）[]2221[]12++=2[](+]))([]])2222n ni j ni j n n a a n ==+-=∑∑n 1n 1）2([（利用[ z 学科xx 网k[]2221[]12()([]n ni j n i j n a a x x ==+≤≤∑∑）+(n+1)（利用）[]221n+1(1.ni i a =≤∑（）），所以（）得证，从而本题得证 二、(本题满分40分)设12{,,,}n S A A A =,其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合(2)n ≥,满足对任意,i j A A S ∈,均有ij A A S ∈,若1min ||2i i nk A ≤≤=≥,证明:存在1n i i x A =∈,使得x 属于12,,,n A A A 中的至少nk个集合(这里||X 表示有限集合X 的元素个数)1121212={,}.,,k n s A A A A A A A B B B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅设，，在，，中除去，，，12,t C C C n s t ⋅⋅⋅--，，后，在剩下的个集合中，设包含 i k),n-s-t i a x ≤≤的集合有个（1由于剩下的个集合中1i A a 每个集合与的交非空，即包含某个，从而12+.k x x x n s t +⋅⋅⋅+≥--111max ,,i i kn s tx x x n s t k≤≤--=≥--不妨设则由上式知即在剩下的个集合中，1112(1,,),,i t n s tA C i t C C C k--⊆=⋅⋅⋅⋅⋅⋅包含a 的集合至少有个，又由于故，，都 11,a a 包含因此包含的集合个数至少为(1)+(2)n s t n s k t n s t t k k k k ---+--+=≥≥利用()nt s k≥≥利用 三、(本题满分50分)如图,ABC ∆内接于圆,O P 为BC 上一点,点K 在线段AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ,连结BD 交圆Ω于点E ,连结PE 并延长与边AB 交于点F ,证明:2ABC FCB ∠=∠四、(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数(1)1,2k n n -+不整除()!!kn n . 【解析】对正整数m,设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)(),(1)v m m s m =- z 学科xx 网k().s m m 这里表示正整数在二进制表示下的数码之和1)12)!)!2()(1),!!k n kn kn v k n n n -+≤-（（（由于不整除等价于即22(()!)(!),1kn v kn n v n -≥-进而由（）知，本题等价于 ≥求所有正整数k,使得s(kn)s(n)对任意正整数n 成立.(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅我们证明，所有符号条件的k 为2(2)()a S n S n n =一方面，由于对任意正整数成立，故2.a k =符合条件 22,0,1.a k k q a q =⋅≥另一方面，若不是的方幂，设是大于的奇数 )().)=2)(),a n S kn S n S kn S qn S qn <=下面构造一个正整数，使得（因为（（ ,)().mq m S m S q<因此问题等价于我们选取的一个倍数使得（ z 学科xx 网k212102,u u u u q q --<<由于故正整数的二进制表示中的最高次幂小于，由此2121(01),22t tu u lu ju i j i j t q qαα++--≤<≤-⋅⋅易知，对任意整数，数与的二进制表示中没有相同的项.210,20,1,,1)1tu lu t l t qαα+->⋅=⋅⋅⋅-又因为故（的二进制表示中均不包含，故(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅综合上述的两个方面可知，所求的k 为2 z 学科xx 网k。
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛一、选择题:本大题共8小题,每小题6分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“2,a b =是“曲线2222:1(,,0)x y C a b R ab a b+=∈≠经过点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必邀条件2.已知一个角大于120 的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++,则实数m 的取值范围是A.(1,)+∞B.3(1,)2 C.3(,3)2D.(3,)+∞ 3.在正方体1111ABCD A BC D -中,M 为1BB 的中点,则二面角1M CD A --的余弦值为B.124.若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩,则22a b a b ++的最大值为 A.1 B.54 C.75D.2 5.已知等腰直角PQR ∆的三个顶点分别在等腰直角ABC ∆的三条边上,记,PQR ABC ∆∆的面积分别为,PQR ABC S S ∆∆,则PQR ABC S S ∆∆的最小值为 A.12 B.13 C.14D.15 6.已知数列{}n a 的通项*,(1)(21)(1)n nx a n N x x nx =∈+++ ,若1220151a a a +++< ,则实数x 等于A.32-B.512- C.940- D.1160- 7.若过点(1,0),(2,0),(4,0),(8,0)P Q R S 作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积不可能．．．等于 A.1617 B.365 C.265 D.196538.若集合2015*{(,)|(1)(2)()10,,}A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈ ,则集合A 中的元素个数为A.4030B.4032C.22015D.22016二、填空题:本大题共7小题,第9题至第14题每小题7分,第15题8分,共50分,请将答案填在题后的横线上.9.已知函数()f x 满足:(1)(1)0,(2)(2)f x f x f x f x ++-=+=-且2()13f =,则1000()3f = 10.若数列{}n a 的前n 项和32*,n S n n n N =-∈,则20151182i ia i ==+-∑ 11.已知点F 为抛物线25y x =的焦点,点(3,1),A M 为抛物线上的动点,当||||MA MF +取最小值时,点M 的坐标是12.若22sin cos 161610x x +=,则cos 4x = 13.设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+,其中m i n {,,x y z 表示,,x y z 中的最小者,若(2)()f a f a +>,则实数a 的取值范围是14.已知向量,a b 的夹角为,||5,3a b π-= ,向量,c a c b --的夹角为2,||3c a π-= 则c a ⋅ 的最大值是15.设,a b Z ∈,若对任意0x ≤,都有2(2)(2)0ax x b ++≤,则a = b =三、解答题:本大题共3小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分16分)设,a b R ∈,函数2()(1)2f x ax b x =++-,若对任意实数b ,方程()f x x =有两个相异的实数根,求实数a 的取值范围17(本小题满分18分) 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>右焦点为圆222:(7C x y +=的圆心. (Ⅰ)求椭圆1C 的方程;(Ⅱ)若直线l 与曲线12,C C 都只有一个公共点,记直线l 与圆2C 的公共点为A ,求点A 的坐标.18(本小题满分18分)已知数列{},{}n n a b 满足:*1111110,0,,,n n n n n na b a a b b n N b a ++>>=+=+∈证明:505020a b +>.四、附加题:本大题共2小题,共50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19(本小题满分25分)已知数列{}n a 满足:*111,3.n n a a a n N +==+∈(Ⅰ)证明:数列{}n a 是正整数数列;(Ⅱ)是否存在*m N ∈,使得2015|m a ,并说明理由.20(本小题满分25分)设k 为正整数,称数字1~(31)k +的排列1231,,,k x x x + 为“N 型的”如果这些数满足:(1)121k x x x +<<< ; (2)1221k k k x x x +++>>> ; (3)212231k k k x x x +++<<< .记k d 为所有“N 型的”排列的个数.(Ⅰ)求12,d d 的值;(Ⅱ)证明:对任意正整数,k k d 均为奇数.。
2015年1月浙江省高中会考及学业水平考试数学试题真题及答案
2015年1月浙江省高中会考及学业水平考试数学试题真题及答案2015年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题及答案解析学生须知：1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分100分，考试时间110分钟。
2、考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3、选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4、非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上的相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试卷上无效。
5、参考公式：柱体的体积公式：V=Sh锥体的体积公式：V=1/3Sh（其中S表示底面积，h表示高）选择题部分一、选择题（共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。
每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。
）1、设集合M={0，3}，N={1，2，3}，则M∪N=（）A。
{3}B。
{0，1，2}C。
{1，2，3}D。
{0，1，2，3}2、函数y=1/(2x-1)的定义域是（）A。
{x|x>1/2}B。
{x|x≠0，x∈R}C。
{x|x<1/2}D。
{x|x≠1/2，x∈R}3、向量a=(2，1)，b=(1，3)，则a+b=（）A。
(3，4)B。
(2，4)C。
(3，-2)D。
(1，-2)4、设数列{an}(n∈N*)是公差为d的等差数列，若a2=4，a4=6，则d=（）A。
4B。
3C。
2D。
15、直线y=2x+1在y轴上的截距为（）A。
1B。
-1C。
1/2D。
-1/26、下列算式正确的是（）A。
26+22=28B。
26-22=24C。
26×22=28D。
26÷22=237、下列角中，终边在y轴正半轴上的是（）A。
π/4B。
π/2C。
3π/4D。
π8、以(2，0)为圆心，经过原点的圆方程为（）A。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
K1 、 K2 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积 S ．
由于直线 CD 的方程为 x 3y 6 ，直线 GH 的方程为 3x y 6 ，故它们的交点 P 的
坐标为
3 2
,
3 2
．由对称性知，
S
8SCPG
8
1 4 2
3 2
解：由条件知，点 F1 、 F2 的坐标分别为 (1, 0) 和 (1, 0) ．
设直线 l 的方程为 y kx m ，点 A 、 B 的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2 ) ，则 x1, x2 满 足方程 x2 (kx m)2 1，即
2
(2k 2 1)x2 4kmx (2m2 2) 0 ．
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
浙江省嵊州市2015年高一竞赛数学试卷带答案
2015年嵊州市高一数学竞赛试卷6月21日上午9：20---11：00注意：（1）请将答案直接做在试卷装订线内，保持试卷整洁。
（2）第21题嵊州中学和马寅初中学学生做，其他学校一律不做！一．选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题4分，共40分） 1．函数()f x =( )A ．{|03}x x ≤≤B ． {|13}x x ≤≤C ．{|1}x x ≥D ．{|3}x x ≥2．已知向量a (1,2)=-，b (3,)m =，若a //（2a +b ），则实数m 的值为 ( ) A ．6- B ．23 C ．6 D ．213 3．若角,αβ的终边互为反向延长线，则 ( ) A.0αβ+= B.αβ-=π C. 2k αβ-=π D.()21k αβ-=+π4．设3436a b ==，则21a b+= ( ) A.1 B.6log 5 C. 5log 6 D.565．已知函数()3e e x xf x λ-=+为偶函数，则实数λ= ( )A ．3-B ．3C ．13 D ．13- 6．函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 ( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 7．已知向量||||||1==-=a b a b ，则|2|-=b a( ) A ．B ．3CD ．28．函数()12mx f x x +=+在区间()2,-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ( ) A.2m >- B.12m >- C.12m > D.2m >9．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知1sin sin sin 3A B C -=，32b a =，2218a ac ≤+≤，设ABC ∆的面积为S ，p S =-，则p 的最小值为 ( )ABCD10．定义()()1f x f x =，()()1()n n f x f f x -=，已知221,0,()log ,0.ax x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则()31y f x =+的零点个数可能为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二．填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空4分，共28分） 11．已知a R ∈,函数2()2f x x x a =--为偶函数. 则a = . 12．已知角α的终边经过点()3,4-，则cos 2α= ．13．若b x x f a -=log )( 0(>a 且)1≠a 为偶函数，且)42()2(-=-a f b f ，则实数b a +的值为 ．14．已知02,54)6sin(<<--=+αππα，则cos α= ．15．设()n S 表示集合S 中元素的个数，定义()()()()()().n A n A n B A B n B n A n B ≥⎧⎪*=⎨<⎪⎩，，，已知{}|1A x x a =-=，{}2|231B x x x a =--=-，若2A B *=，则实数a 的取值范围为 .16．若关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好是[],a b ，则a b += ． 17．已知a ，b 为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()λc +a =c +b ()λ∈R ，则|c |的最小值为 ．三．解答题（本大题共有3小题，共32分。
2015年全国高中数学联赛一试真题及解答(B卷)
因此， PA PB 4 PF PA 4 FA 4 1 5 ．
, 1 当 P 在 AF 延长线与椭圆的交点 时， PA PB 最大值为 5． 2
8. 正 2015 边形 A1 A2 A2015 内接于单位圆 O ，任取它的两个不同的顶点 Ai , Aj ，
3
OAi OAj 1 的概率是
答案：
.
671 . 1007 解：因为 OAi OAj 1 ，所以
2 2 2 OAi OAj = OAi OAj 2OAi OAj 2 1 cos OAi , OAj .
答案： 2 3 . 点集 B 是恒过 解： 点集 A 是圆周 : ( x 1) 2 ( y 1) 2 2 ， 点 P (1,3) 的直线 l : y 3 k ( x 1) 及下方（包括边界）. 直线 l 是过点 P 作出这两个点集知， 当 A B 是单元集时， 的圆 的一条切线.故圆 的圆心 M (1,1) 到直线 l 的距离等于圆 k 1 k 3 2. 的半径 2 ，故 k 2 1 结合图像，应取较小根 k 2 3 .
= sin ϕ
b = , cos ϕ 2 a + b2
. 则函数 T 的值域是 a 2 b 2 , a 2 b 2 ，室内最大温 a +b
a
2
2
差为 2 a 2 b 2 10 ，得 a 2 b 2 5 . 故 a b 2a 2 b 2 5 2 ，等号成立当且仅当 a b
…………15 分
1 结合 a1 ，只可能 a1 . 4 1 1 1 1 由此易知 a1 , a2 , a3 4, a4 6 或者 a1 , a2 , a3 4, a4 6 ．经 4 2 4 2 检验知这两组解均满足问题的条件． 9 故 a1 a2 a3 a4 . 4
浙江省嵊州市2015年高一竞赛数学试卷含答案
2015年嵊州市高一数学竞赛试卷6月21日上午9：20---11：00注意：（1）请将答案直接做在试卷装订线内，保持试卷整洁。
（2）第21题嵊州中学和马寅初中学学生做，其他学校一律不做！一．选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题4分，共40分） 1．函数()f x =( )A ．{|03}x x ≤≤B ． {|13}x x ≤≤C ．{|1}x x ≥D ．{|3}x x ≥2．已知向量a (1,2)=-，b (3,)m =，若a //（2a +b ），则实数m 的值为 ( ) A ．6- B ．23 C ．6 D ．213 3．若角,αβ的终边互为反向延长线，则 ( ) A.0αβ+= B.αβ-=π C. 2k αβ-=π D.()21k αβ-=+π4．设3436a b ==，则21a b+= ( ) A.1 B.6log 5 C. 5log 6 D.565．已知函数()3e e xxf x λ-=+为偶函数，则实数λ= ( ) A ．3- B ．3 C ．13 D ．13- 6．函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 ( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 7．已知向量||||||1==-=a b a b ，则|2|-=b a( ) A ．B ．3CD ．28．函数()12mx f x x +=+在区间()2,-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ( ) A.2m >- B.12m >- C.12m > D.2m >9．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知1sin sin sin 3A B C -=，32b a =，2218a ac ≤+≤，设ABC ∆的面积为S ，p S =-，则p 的最小值为 ( )ABCD10．定义()()1f x f x =，()()1()n n f x f f x -=，已知221,0,()log ,0.ax x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则()31y f x =+的零点个数可能为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二．填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空4分，共28分） 11．已知a R ∈,函数2()2f x x x a =--为偶函数. 则a = . 12．已知角α的终边经过点()3,4-，则cos2α= ．13．若b x x f a -=log )( 0(>a 且)1≠a 为偶函数，且)42()2(-=-a f b f ，则实数b a +的值为 ．14．已知02,54)6sin(<<--=+αππα，则cos α= ． 15．设()n S 表示集合S 中元素的个数，定义()()()()()().n A n A n B A B n B n A n B ≥⎧⎪*=⎨<⎪⎩，，，已知{}|1A x x a =-=，{}2|231B x x x a =--=-，若2A B *=，则实数a 的取值范围为 .16．若关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好是[],a b ，则a b += ． 17．已知a ，b 为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()λc +a =c +b ()λ∈R ，则|c |的最小值为 ．三．解答题（本大题共有3小题，共32分。
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2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22221(,,0)x y a b R ab a b+=∈≠经过点()2,1”的( A )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A.解答：当a =2， 2b =曲线C ：22221x y a b+=经过()2,1；当曲线C ：22221x y a b+=经过点()2,1时，即有22211a b+=，显然2,2a b =-=-也满足上式。
所以“a =2， 2b =”是“曲线C ：22221x y a b+=经过点()2,1”的充分不必要条件。
2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )．A ． 1m >B ． 312m <<C ．332m << D ．3m > 答案：B.解答：由题意可知：222(1)2(2)(1)(1)m m m m m m m m ++>+⎧⎨+>++++⎩解得312m <<。
3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )．A ．36 B ． 12 C ． 33 D ．63 答案：C.解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2D A C D M ，且平面1ACD 的法向量为1n = (1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =- 。
因此123cos ,3n n <>= ，即二面角第3题图MC 1B 1D 1A 1C D ABM -CD 1-A 的余弦值为33。
4．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为 ( C )．A ． 1B ． 54C ． 75D ． 2 答案：C.解答：由,a b 满足的条件知13b a ≤≤，所以2372252a b b a b a+=-≤++，当13(,)(,)22a b =取等号。
5． 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为( D )．A ． 12B ． 13C ． 14D ． 15 参考答案：D.解答：如图5-1所示，图5-1 图5-2（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠ 所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BR A APR B BQR==.又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.AB CP QRHABCP RQ过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,所以22221()124PQR ABC BC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最大值为14. （2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5-2所示，设1,(01),(0)2BC CR x x BRQ παα==≤≤∠=<<,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠=在Rt CPR ∆中，,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中，31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+，因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+.这样，PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号，此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15.6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)n nxa x x nx =+++ ，*n N ∈，若1220151a a a +++< ，则实数x 等于（ D )．A ．32-B ．512-C ．940-D ．1160- 答案：D.(1)111(1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21)(1)n nx a x x nx x x n x x x nx +-==-+++++-++++则20151111(1)(21)(20151)0(1)(21)(20151)k k a x x x x x x ==-<⇔+++>+++∑ ，所以111111(1,)(,)(,)(,)234201320142015x ∈--⋃--⋃⋃--⋃-+∞ ，经检验只有1160x =-符合题意。
7． 若过点P （1，0），Q （2，0），R （4，0），S （8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 ( C )． A ．1617 B ． 365 C ． 265 D ． 19653 答案：C.解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a ，面积为,S 过P 的直线的倾斜角为(0)2πθθ<<。
当过点,P Q 的直线为正方形的对边所在的直线时，4sin cos sin 4cos sin 17PQ a RS θθθθθ==⇔=⇔=，此时正方形的面积216(sin )17S PQ θ==。
同理，当过点,P R 的直线为正方形的对边所在的直线时，365S =；当过点,P S 的直线为正方形的对边所在的直线时，19653S =. 8．若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈ ，则集合A中的元素个数为( B )．A ．4030B ．4032C ． 20152D ． 20162 答案：B.解答：由已知得20162015(21)25n n m ++=，因为,21n n m ++一奇一偶，所以,21n n m ++两者之一为偶数，即为2016201620162201620152,25,25,,25 共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合A 共有4032个元素.二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）9．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，(2)(2)0f x f x +--=，且2()13f =，则1000()3f = ．答案：1-.解答：(2)(2)[1(1)][1(1)()(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=-=--=-+-=-⇒+=，所以100044112()(332)()(1)(1)() 1.333333f f f f f f =+==+=--=-=-10．若数列{}n a 的前n 项和nS =32n n -，*n N ∈，则20151182i i a i =+-∑= ．答案：20156048. 解答：1211352,nn n i i i i a a a n n -===-=-+∑∑又10a =，故2*352()n a n n n N =-+∈, 20152015201511111111()823(1)31i i i i a i i i i i =====-=+-++∑∑∑20156048. 11． 已知F 为抛物线25y x =的焦点，点A (3，1)， M 是抛物线上的动点．当取最小值时，点M 的坐标为 ． 点M 的坐标为 ． 答案：1(,1)5. 解答：设抛物线的准线为5:4l x =-.过M 作l 的垂线，垂足为,H 则 AM MF AM MH AH +=+≥,当,,A M H 三点共线时取等号，此时M 的坐标为1(,1)5。
12．若22sin cos 161610xx +=，则cos 4x = .答案：12-. 解答:设2sin 16,116x tt =≤≤，则22cos 1sin 161616x x t-==，代入方程得16102,t t t +=⇒=或8t =，即21sin 4x =或34，所以cos 4x =12-。
13. 设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．若(2)()f a f a +>，则实数a 的取值范围为 ．答案：(,2)(1,0)-∞-⋃-.解答：当21a +≤-时，21,a a <+≤-此时有()(2)f a f a <+；当120a <+<时，32,a -<<-此时有()(2)1(2)f a f f a ≤-=-<+； 当021a ≤+≤时，21,a -≤<-此时有()(2)f a f a ≥+；当122a <+<时，10,a -<<此时有()(2)f a f a <+；当22a +≥时，0,a ≥此时有()(2)f a f a ≥+。
14． 已知向量,a b 的夹角为3π， 5a b -= ，向量c a - ，c b - 的夹角为23π，23c a -=，则a c ⋅的最大值为 ．答案：24.解答：,,OA a OB b OC c === ，则23, 5.AC c a AB a b =-==-=又2,,33AOB ACB ππ∠=∠=此时,,,O A C B 共圆，由正弦定理得3sin 5ABC ∠=，则4cos 5ABC ∠=。
在ACO ∆中，AOC ABC ∠=∠,由余弦定理得2222cos AC a c a c AOC =+-∠ ,即8122305a c a c a c ≥-⇒≤ ，所以cos 24a c a c AOC ⋅=∠≤ ，当14arctan 423ACO π∠=+时取“=”，因此a c ⋅ 的最大值为24.15．设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则______a =,_______.b = 答案：1,2ab ==-.解答：首先令0,x =知0b ≤.其次考虑过定点（0,2）的直线2y ax =+，与开口向上的抛物线22y x b =+，满足对任意0x ≤所对应图象上的点不在x 轴同侧，因此22b a--=.又,a b Z ∈，故1,2ab ==-.三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）16． 设,a b R ∈，函数2()(1)2f x ax b x =++-．若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根，求实数a 的取值范围． 参考答案：因为方程()f x x =有两个相异的实根，即方程2(1)20ax b x b +-+-=有两个相异的实数根，所以{20,(1)4(2)0x a b a b ≠∆=---> ………………………………4分即{202(12)810a b a b a ≠-+++>对任意实数b 恒成立，所以{204(12)4(81)0b a a a ≠∆=+-+<，…………………………………………………12分解得01a <<.…………………………………………………………………………16分17．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，右焦点为圆222:(3)7C x y -+=的圆心．(I)求椭圆1C 的方程；(II)若直线l 与曲线C 1，C 2都只有一个公共点，记直线l 与圆C 2的公共点为A ，求点A 的坐标．参考答案：（Ⅰ）设椭圆1C 的半焦距长为c ，则332c c a⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得{21a b ==，所以椭圆方程为2214x y +=.………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线l 的率存在时，可设直线l 的方程为(,)y kx m k m R =+∈，点A 的坐标为(,)A A x y ，其中231A km y k-=-+. 联立方程2214x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=…………（1） 所以22116(41)0,k m ∆=-+=即22410k m -+=……………………（2）……………………………………………8分联立方程22(3)7x y y kx m⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得222(1)2(3)40k x km x m ++-+-= (3)所以22216(4237)0,k m mk ∆=--+=即2242370k m mk --+=……………………………（4）…………………………12分（2）-（4）得3km = (5)（5）代入（3）得2301A km x k -=-=+………………（6）…………………………16分（6）代入222:(3)7C x y -+=得2A y =±.经检验(0,2),A 或(0,2)A -符合题意，这样点A 的坐标为(0,2),(0,2)-.…………18分18．已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩．证明:505020a b +>． 参考答案：证明：因为22221122112()n n n n n n n n n na b a b a b a b b a +++=+++++， 所以 49492222505011221111()2()i i i i i i i i a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑221122111122494449200.a b a b >++++⨯⨯≥+⨯=……………………8分 又1112n n n n n na b a b a b ++=++， 所以49505011111111124998100i i ia b a b a b a b a b ==++⨯>++≥∑.……………………16分 所以222505050505050()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>……18分四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）附加1已知数列{}n a 满足11a =，213221n n n a a a +=+-，*n N ∈．(I) 证明：{}n a 是正整数数列；(II) 是否存在*m N ∈，使得2015m a ，并说明理由． 参考答案：（Ⅰ）由213221n n n a a a +=+-得2211640n n n n a a a a +++++=， (1)同理可得 222212640n n n n a a a a +++++++=，………………（2）……………………5分 由（1）（2）可知，2,n n a a +为方程2211640n n x a x a ++-++=的两根，又2n n a a +<，即有216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=-因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.……………………………………………………10分 （Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .…………………………………………………15分 假设存在*m N ∈，使得2015m a ，则31m a .一方面，2214m m m a a a ++=+，所以21314m a ++,即214(mod 31)m a +≡-，所以301530142(mod 31)m a +≡-≡-.由费马小定理知3021(mod 31)≡，所以3011(mod 31)m a +≡-…………………………20分另一方面，1(,31)1m a +=.事实上，假设1(,31)1m a d +=>，则31d ，即31d =，所以131m a +，而21314m a ++，这样得到314.矛盾.所以，由费马小定理得3011(mod 31)m a +≡.这样得到11(mod 31)≡-.矛盾.所以不存在*m N ∈，使得2015m a .………………25分附加2 设k 为正整数，称数字1~31k +的排列为“N 型”的，如果这些数满足（1）121k x x x +<<< ； （2）1221k k k x x x +++>>> ；（3）212231k k k x x x +++<<< ． 记k d 为所有“N 型”排列的个数．(I)求1d ，2d 的值； (II)证明：对任意正整数k ，k d 均为奇数．参考答案：首先注意到1k x +的值只能取31,3,,21k k k ++ 这些数字，因为必须有2k 个值比它小，而21k x +的值只能取1,2,,1k + 这些数字，因为必须有2k 个值比它大。