三角形高专项练习-精品.pdf
解三角形与三角函数题型综合训练 学生版--高考专项练习
解三角形与三角函数题型综合训练
一、梳理必备知识
1.正弦定理
a sin A
=b sin B =c sin C =2R .(其中R 为ΔABC 外接圆的半径)⇔a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ;(边化角)
⇔sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R
;(角化边)2.余弦定理：
cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac
,cos C =a 2+b 2-c 22ab . ⇒a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
3.三角形面积公式：
S ΔABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =12
a +
b +
c r r 为三角形ABC 的内切圆半径 4.三角形内角和定理：
在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B )⇔
C 2=π2-A +B 2⇔2C =2π-2(A +B ).5.二倍角的正弦、余弦、正切公式
①sin2α=2sin αcos α
②cos2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α
升幂公式：1+cos2α=2cos 2α1-cos2α=2sin 2α
降幂公式：
cos 2α=12(1+cos2α)sin 2α=12(1-cos2α) ③tan2α=
2tan α1−tan 2α
.6.辅助角公式
a sin x ±
三角形的高、中线与角平分线练习题及答案
7.1.2 三角形的高、中线与角平分线
7.1.3 三角形的稳定性
基础过关作业
1．以下说法错误的是< ）
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于外部一点
2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，?那么这个三角形是< ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3．如图1，BD=BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积．
(1> (2> (3>b5E2RGbCAP 4．如图2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC?的三条高分别为线段
________．p1EanqFDPw
5．下列图形中具有稳定性的是< ）
A．梯形 B．菱形 C．三角形 D．正方形
6．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD?与△ACD的周长之差．DXDiTa9E3d
7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．?可知哪些线段是哪个三角形的
角平分线、中线或高？RTCrpUDGiT
综合创新作业
8．<综合题）如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．5PCzVD7HxA
9．有一块三角形优良品种实验基地，如图所示，?由于引进四个优良品种进行对比实验，
解三角形大题和答案解析-精品.pdf
时 , 直线
与曲线
在
内有 个交点 , 在
的周期性 , 可知当
时 , 直线
与曲线
在
内有 个交 内总有偶数
个交点 , 从而不存在正整数 , 使得直线
与曲线
在
内恰有
个交
点; 当
时 , 直线
与曲线
在
内有 个交点 , 由周期性 ,
综上 , 当
, 所以 ,
时 , 函数
在
内恰有
个零点
38．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷
2
又∵a
| a |2
cos 2
sin 2
2
1, b
| b |2
cos2
sin 2
1 ∴ 2 2ab 2 ∴
ab 0 ∴ a b
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(2) ∵ a b (cos cos , sin sin ) (0,1)
cos
cos
sin 1 sin
cos cos 0
∴
即
sin sin 1
,
5
则 cos A B B
3 , 即 cos A 3
5
5
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由 cos A
3 ,0 A
5
4 , 得 sin A ,
三角形中线高角平分线的专项练习30题(有答案)ok
三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案）
1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．
（1）试说明∠BCD=∠ECD；
（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．
2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？
3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．
4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．
5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．
（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．
6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数．
7．在△ABC中．
（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）
（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC= _________°，再用你已学过的数学知识加以说明．
（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC=_________°．
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(一).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1
3
，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =
b
a
S 2S 1
D
C
B
A
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面
八年级上册数学人教版课时练《 三角形的高、中线与角平分线》 试题试卷 含答案解析
《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》课时练
一、选择题
1．三角形三条高的交点一定在
)A ．三角形内部
B ．三角形外部
C ．三角形内部或外部
D ．以上说法都不完整
2．AD 是ABC 的高，80BAD Ð=°，20CAD Ð=°，则BAC Ð的度数为(
)A ．100°B ．80°C ．60°D ．100°或60°
3．已知一个三角形三边之比为3∶4∶5，则这个三角形三边上的高之比为（
）A ．3∶4∶5B ．5∶4∶3C ．20∶15∶12D ．10∶8∶2
4．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（
）A ．8B ．9.6C ．10D ．12
5．如图，已知BD 是△ABC 的中线，AB ＝7，BC ＝5，且△ABD 的周长为15，则△BCD 的周长是（）
A ．12
B ．14
C ．13
D ．不能确定6．等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ．则等腰三角形的腰长为（
）A ．2cm B ．8cm C ．2cm 或8cm
D ．以上答案都不对7．下列说法正确的个数有（
）①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个8．三角形三条中线的交点叫做三角形的（）．
A ．内心
B ．外心
C ．重心
D ．垂心
9．在ABC D 中，AD 是BC 边上的中线，
高考数学解三角形练习和答案
解三角形基础篇
基础篇
一、正弦定理
【练习1】
在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sinA ：sinB ：sinC =6：5：4，则sinB =（ ）
A. √7
4
B. 3
4
C. 5√7
16
D. 9
16
【练习2】
已知△ABC 中，A ：B ：C =1：1：4，则a ：b ：c 等于（ ）
A. 1：1：√3
B. 2：2：√3
C. 1：1：2
D. 1：1：4
【练习3】
在△ABC 中，若a =1，∠A =π
4，则√2b
sinC+cosC
= ______ ．
【练习4】 在△ABC 中，∠A =2π
3
，a =√3c ，则b
c =______．
【练习5】
（2019年新课标二文15）
△ABC 内角ABC 的对边分别为a ，b ，c ，已知bsinA+acosB=0,则B=
二、余弦定理
【练习1】
在△ABC 中，若AB =√13，BC =3，∠C =120∘，则AC =（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【练习2】
在△ABC 中，已知a =3，b =4，c =√13，则角C 为（ ）
A. 90∘
B. 60∘
C. 45∘
D. 30∘
三、三角形面积公式
【练习1】 在ABC ∆中，3=
AB ，1=AC ，ο30=∠B ，ABC ∆的面积为
2
3
，则=∠C ( ) A ．ο
30 B ．ο
45 C ．ο
60 D ．ο
75
【练习2】
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2=(a −b)2+6，C =π
3，则△ABC 的面积是（ ）
A. 3√3
2B. 9√3
2
C. √3
人教版八年级数学上册《三角形的高、中线与角平分线》拔高练习（1）
《三角形的高、中线与角平分线》拔高练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图所示，有一条线段是△ABC（AC＞AB）的中线，该线段是（）
A．线段AD B．线段AE C．线段AF D．线段MN
2．（5分）在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（）A．B．
C．D．
3．（5分）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形
4．（5分）三角形三条高的交点一定在（）
A．三角形内部
B．三角形外部
C．三角形内部或外部
D．三角形内部、外部或顶点
5．（5分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝．
7．（5分）三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是．8．（5分）如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，∠CAD＝45°，则
BC＝．
9．（5分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于．
10．（5分）如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于
小学奥数4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型(二).专项练习
板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为
原来的1
3
，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它
的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =
s 2s 1b
D
C
B
A
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
板块二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
初一三角形的高练习题
初一三角形的高练习题
三角形
一、三角形相关概念
1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形
要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．
2．三角形的表示
通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．
3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．
三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫
做三角形的角平分线．
注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．
②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．
②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．
如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．
五、三角形的外角
1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补
3．外角个数
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网
过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角，可见一个三角形共有六个外角．
六、多边形①多边形的对角线n条对角线；②n边形的内角和为×180°；③多边形的外角和为360°
2
与三角形有关的线段
解直角三角形(3)——测高(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练
专题1.15解直角三角形（3）——测高
（专项练习）
一、单选题
1．如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光线刚好不能直接射人室内，则m的值是（）
A．m B．m C．m D．m
2．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45︒，
AB=，则这棵在点B处测得树顶C的仰角为60︒，且A，B，D三点在同一直线上，若16m
树CD的高度是（）
A．8(3B．8(3+C．6(3D．6(3+
3．如图，已知点A、点B是同一幢楼上的两个不同位置，从A点观测标志物C的俯角是65°，从B点观测标志物C的俯角是35°，则ACB
∠的度数为（）
A ．25°
B ．30°
C ．35°
D ．65°
4．如图，某渔船正在海上P 处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km 到A 处．然后右
转40°再航行到B 处，在点A 的正南方向，点P 的正东方向的C 处有一条船，也计划驶往B 处，那么它的航向是（）
A ．北偏东20°
B ．北偏东30°
C ．北偏东35°
D ．北偏东40°
5．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，且AD =BD =CD ，AE 是BC 边上的高，若沿AE 所在直线折叠，点C 恰好落在点D 处，若AB
△ADC 的周长等于（）
A ．1B
C ．2
D ．3
6．在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是高，
如果AB =m ，∠A =α，那么CD 的长为（）A ．sin tan m αα
⋅⋅B ．sin cos m αα⋅⋅C ．cos tan m αα⋅⋅D ．cos cot m αα
八年级数学全等三角形练习题含答案-精品.pdf
A
D
M
B
C
N
9．如图，△ ABC中，∠ BAC=90 度， AB=AC，BD是∠ ABC的平分线， BD的延长线
垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE交 BA的延长线于 F． 求证： BD=2CE．
F A
E D
B
C
10. 如图， AB AC , AD BC于点 D， AD AE， AB平分 DAE 交 DE 于点 F ，请你
A
E
O
D
B
C
12．如图①， E、F 分别为线段 AC上的两个动点，且 DE⊥AC于 E，BF⊥AC于 F， 若 AB=CD，AF=CE，BD交 AC于点 M． （1）求证： MB=MD，ME=MF
（ 2）当 E、F 两点移动到如图②的位置时， 其余条件不变， 上述结论能否成立？ 若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
接 AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
A
E
D
B
C
5. 如图，在△ABC和△DCB中，AB= DC，AC= DB，AC与 DB交于点 M．
（ 1）求证：△ ABC≌△ DCB；（ 2）过点 C 作 CN∥ BD，过点 B 作 BN∥ AC，CN与 BN
交于点 N，试判断线段 BN与 CN的数量关系，并证明你的结论．
恒成立的结论有 _______________________（把你认为正确的序号都填上） 。 8. 如图所示， AB = AD，∠１= ∠2，添加一个适当的条件，使△ ABC ≌ △ADE， 则需要添加的条件是 ________. 三、解答题 1. 如图，已知 AB=AC，AD=AE，求证： BD=CE.
人教版八年级数学《三角形的高、中线、角平分线》同步练习题(含答案)(20201004100802)
1
1
1
23.∵ D 是边 BC的中点，∴S△ ABD=S△ ACD=2 S△ ABC=2 × 4=2(cm2). ∵ E是 AD 的中点，∴ S△ B DE=2 S△ ABD=1 cm2,S
1
1
△ CDE=2 S△A CD= 1 cm2.∴ S△ BEC=S△ BDE+S△ CDE=2 cm2.又∵ F 是 CE的中点 ,∴ S阴影 = 2 S△ BEC=1 cm2.
20.张大爷的四个儿子都长大成人了， 也该分家了， 于是张大爷准备把如图所示的一块三角形的田地平均分给四个儿
子，四个儿子要求田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案
.
21.如图， AD 是∠ CAB的角平分线， DE∥AB，DF∥ AC，EF 交 AD 于点 O.请问： DO 是∠ EDF的角平分线吗？如果是， 请给予证明；如果不是，请说明理由 .
.( )
23.如图所示 ,在△ ABC中 ,已知点 D， E， F 分别为边 BC， AD， CE的中点 ,且 S△ ABC=4 cm2,求阴影部分的面积 S 阴影 .
参考答案
1.A
2.B.
3.D
4.B
5.A
7.A
8.B
9.4 10.2 11.利用三角形的稳定性使门板不变形．
12..6
13.95 或° 35°
初中全等三角形练习题-精品.pdf
第11章
全等三角形复习练习题
一、选择题
1．如图，给出下列四组条件：
①AB DE BC EF AC DF ，，；②AB DE B E BC EF ，，；③B
E BC
EF C
F ，，；④AB
DE AC
DF B
E ，，．
其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（）A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
2.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE °，则APD 等于（）
3.如图（四），点P 是AB 上任意一点，
ABC
ABD ，还应补充一个
条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一．．定能．．推出APC APD △≌△的是（）
A ．BC BD
B ．A
C A
D C ．ACB ADB D ．
CAB
DAB
A ．42° B
．48° C
．52° D ．58°
4.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条
C
A
D
P B
图（四）
件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( )
(A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF
5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，
若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于(
)
A ．10cm
B ．8cm
C ．6cm
D ．9cm
6．如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
2020年中考数学压轴题必考题型三角形问题考点专练(pdf,含解析)
【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD＝BD＝DC＝ 2 ，求出 ∠MBD ＝30°，根据勾股定理计算即可； （2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明； （3）过点 M 作 ME∥BC 交 AB 的延长线于 E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的 性质得到 BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论． 【详解】 （1）解：BAC 90 ， AB AC ， AD BC ， AD BD DC ， ABC ACB 45 ， BAD CAD 45 ， AB 2 ， AD BD DC 2, ， AMN 30 ，
BDE ADF ，
在 BDE 和 ADF 中，
B DAF
{DB DA
，
BDE ADF
BDE≌ADF ( ASA) BE AF ；
（3）证明：过点 M 作 ME // BC 交 AB 的延长线于 E ，
AME 90 ，
则 AE 2AB ， E 45 ，
ME MA ，
∵AME 90 ， BMN 90 ，
∴
AD
AB tan 30
2 2 3
3．
3
故答案为 2 3 ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得△ABD 是含 30°
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(一).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1
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，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =
b
a
S 2S 1
D
C
B
A
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面
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知识要点：
① 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线， 顶点 和垂足 之间的线段叫做三角形的
高。
②任意三角形都有 三条高 ，而且这 3 条高 交于一点 。
温馨提示：请用铅笔、三角板规范作图。
【练习】作出下列三角形指定底边上的高。
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三角形的高专项练习题 1、画出下面三角形指定底边上的高。
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