三角形高专项练习-精品.pdf
解三角形练习题-精品.pdf
5 ，求 A 的值． 5
-3-
（ 1）∵ AB AC 3BA BC ，∴ AB AC cosA=3BA BC cos B ，即 AC cosA=3BC cosB 。
由正弦定理，得 AC = BC ，∴ sin B cos A=3sin A cosB 。 sin B sin A
又∵ 0 < A B<
.
8 4 8 8 16
-4-
7、在△ ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足 csinA=acosC ． （Ⅰ）求角 C 的大小；
（Ⅱ）求 3 sinA-cos （ B+ ）的最大值，并求取得最大值时角 4
解析：（ I）由正弦定理得 sin C sin A sin A cosC.
-2-
【解析】（1） bsinA= 3 acosB，由正弦定理可得 sin B sin A 3 sin A cos B ，即得 tan B 3 ，
B. 3
（ 2 ） sinC=2sinA ， 由 正 弦 定 理 得 c 2a ， 由 余 弦 定 理 b 2 a 2 c2 2 a cc o s ，B
1 2 AC sin 60
2
3, AC 2 ，
所以△ ABC 为等边三角形，故边 AB 的长度等于 2.答案应填 2.
8、 如图，△ ABC 中， AB=AC=2 ， BC= 2 3 ，
点 D 在 BC 边上，∠ ADC=4°5 ，则 AD 的长度等于 ______。
解析：在△ ABC 中， AB=AC=2 ， BC= 2
(1 3) a .
2c
2 a．
可得 cos2 B 1 , 又 cos B 0, 故 cos B 2
2 ,所以 B 45 2
人教版八年级数学上册《三角形的高、中线与角平分线》拔高练习（1）
《三角形的高、中线与角平分线》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图所示，有一条线段是△ABC（AC＞AB）的中线，该线段是（）A．线段AD B．线段AE C．线段AF D．线段MN2．（5分）在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（）A．B．C．D．3．（5分）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形4．（5分）三角形三条高的交点一定在（）A．三角形内部B．三角形外部C．三角形内部或外部D．三角形内部、外部或顶点5．（5分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝．7．（5分）三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是．8．（5分）如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，∠CAD＝45°，则BC＝．9．（5分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于．10．（5分）如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．12．（10分）我们知道，三角形三条高所在直线交于一点．规定：三角形三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BE，CF交于点G．（1）图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出一组：．（2）点G是△的垂心．（3）点A是△的垂心．13．（10分）已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．14．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．15．（10分）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB ＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．《三角形的高、中线与角平分线》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图所示，有一条线段是△ABC（AC＞AB）的中线，该线段是（）A．线段AD B．线段AE C．线段AF D．线段MN【分析】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，逐一判断各选项即可．【解答】解：由图可得，F是BC的中点，根据三角形中线的定义，可知线段AF是△ABC的中线，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．2．（5分）在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（）A．B．C．D．【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．【解答】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高，所以画法正确的是D．故选：D．【点评】考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．3．（5分）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到．【解答】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的高的概念，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点．4．（5分）三角形三条高的交点一定在（）A．三角形内部B．三角形外部C．三角形内部或外部D．三角形内部、外部或顶点【分析】根据三角形的高线的定义分情况讨论高线的交点，即可得解．【解答】解：锐角三角形，三角形三条高的交点在三角形内部，直角三角形，三角形三条高的交点在三角形直角顶点，钝角三角形，三角形三条高的交点在三角形外部，故选：D．【点评】本题考查了三角形的高线，熟记三种三角形的高线的交点的位置是解题的关键．5．（5分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝45°．【分析】在三角形中，三内角之和等于180°，锐角三角形三个高交于一点．【解答】解：在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH中，三内角之和为180°，∴∠CHD＝45°，故答案为∠CHD＝45°．【点评】考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．7．（5分）三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是直角三角形．【分析】根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．【解答】解：∵三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角三角形．【点评】本题考查了三角形的高，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．8．（5分）如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，∠CAD＝45°，则BC＝2．【分析】作DH⊥AC于H，延长AD到E使DE＝AD＝7，连接CE，作EF⊥AC于F，作CH⊥AD于H，如图，先证明△ADB≌△EDC得到EC＝AB＝10，再利用△AEF为等腰直角三角形计算出AF＝EF＝7，则根据勾股定理可计算出CF＝，从而得到AC ＝6，接着利用△ACH为等腰直角三角形得到AH＝CH＝6，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到BC的长．【解答】解：作DH⊥AC于H，延长AD到E使DE＝AD＝7，连接CE，作EF⊥AC于F，作CH⊥AD于H，如图，∵AD是中线，∴BD＝CD，在△ADB和△EDC中，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴EC＝AB＝10，在RtAEF中，∵∠DAC＝45°，AE＝14，∴AF＝EF＝AE＝7，在Rt△CEF中，CF＝＝，∴AC＝AF﹣CF＝6，在Rt△ACH中，∵∠HAC＝45°，∴AH＝CH＝AC＝6，∴DH＝AD﹣AH＝1，在Rt△CDH中，CD＝＝，∴BC＝2CD＝2．故答案为2．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形高、中线的定义；构造等腰直角三角形是解决此题的关键．9．（5分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于5+3或5+5．【分析】分两种情况讨论：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝；②Rt△ABC中，AC＝BC，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长为5+3或5+5．【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝，设BC＝a，AC＝b，则，解得a+b＝5，或a+b＝﹣5（舍去），∴△AB长度周长为5+5；如图所示，Rt△ABC中，AC＝BC，设BC＝a，AC＝b，则，解得，∴△AB长度周长为3+5；综上所述，该三角形的周长为5+3或5+5．故答案为：5+3或5+5．【点评】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键是利用勾股定理进行推算．10．（5分）如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是2．【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，然后求出△ABD和△BCD的周长差＝AB ﹣BC，代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD），＝AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD，＝AB﹣BC，∵AB＝8，BC＝6，∴△ABD和△BCD的周长差＝8﹣6＝2．答：△ABD和△BCD的周长差为2．故答案为：2【点评】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，数据概念并求出△ABD和△BCD 的周长差＝AB﹣BC是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．【分析】依据DE∥AC，DF∥AB，即可得到∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD，再根据∠ADE＝∠ADF，即可得出∠DAF＝∠EAD，进而得到AD是∠BAC的角平分线．【解答】解：AD是△ABC的角平分线．理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD，又∵∠ADE＝∠ADF，∴∠DAF＝∠EAD，又∵∠DAF+∠EAD＝∠BAC，∴AD是∠BAC的角平分线．【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．12．（10分）我们知道，三角形三条高所在直线交于一点．规定：三角形三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BE，CF交于点G．（1）图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出一组：∠ABE＝∠ACF或∠BAD＝∠BCF或∠CAD＝∠CBE．（2）点G是△ABC的垂心．（3）点A是△BCG的垂心．【分析】（1）依据BE⊥AC，CF⊥AB，可得∠ABE+∠BAE＝∠ACF+∠CAF＝90°，即可得到∠ABE＝∠ACF；（2）三角形三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心，据此进行判断；（3）三角形三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心，据此进行判断．【解答】解：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠ABE+∠BAE＝∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠ABE＝∠ACF，同理可得，∠BAD＝∠BCF，∠CAD＝∠CBE，故答案为：∠ABE＝∠ACF或∠BAD＝∠BCF或∠CAD＝∠CBE；（2）∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BE，CF交于点G，∴点G是△ABC的垂心，故答案为：△ABC；（3）∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BF，CE交于点A，∴点A是△BCG的垂心，故答案为：△BCG．【点评】本题主要考查了三角形的角平分线高线以及中线，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．13．（10分）已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．【解答】解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°；②如图2，当高AD在△ABC的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝70°﹣20°＝50°，综上所述，∠BAC的度数为90°或50°．【点评】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．14．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．【分析】根据中线的定义知CD＝BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB ＝11cm．易求AC的长度．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD＝BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．∴AC﹣AB＝5cm．又∵AB+AC＝11cm，∴AC＝8cm．即AC的长度是8cm．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．15．（10分）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB ＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．。
初中数学三角形专项练习
3．设a、b、c和S分别为三角形的三边长和面积，关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的判别式为Δ.则Δ与S的大小关系为( ).
(A)Δ=16S2(B)Δ=-16S2(C)Δ=16S(D)Δ=-16S
4．在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于( ).
（2）连结 ，当△ 与△ 似时，求 的长．
52．如图， 中， ， 为 的中点．
操作：过点 做 的垂线，过点 作 的平行线，两直线相交于点 ，在 的延长线上截取 ，联结 、 ．
（1）试判断 与 之间有怎样的关系，并证明你所得的结论；
（2）如果 ， ，求 的长．
53．已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30，BC=6，动点P以每秒 个单位从点B出发沿线段BA、AC运动，过点P作边长为3的等边△FDE，使得点D在线段BC上，点E在线段DC上.
37．如图，在Rt△ABC中 ，∠ACB=90 °， ，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点 A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A=_____________.
38．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长为1，则这个六边形的周长是(17届江苏初一1试)如图如.
30．已知△ 中，点 是△ 的重心，过点 作 ∥ ，与 相交于点 ，与 相交于点 ，如果△ 的面积为9．那么△ 的面积是．
31．如图，等边三角形 放在平面直角坐标系中，其中点 为坐标原点，点 的坐标为（ ， ），点 位于第二象限.已知点 、点 同时从坐标原点出发，点 以每秒 个单位长度的速度沿 来回运动一次，点 以每秒 个单位长度的速度从 往 运动，当点 到达点 时， 、 两点都停止运动.在点 、点 的运动过程中，存在某个时刻，使得 、 两点与点 或点 构成的三角形为直角三角形，那么点 的坐标为__________.
初三相似三角形提高拓展专题练习附答案
14．〔1〕把两个含 450 角的直角三角板如图 1 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE、AD，AD 的延长线
交 BE 于点 F，求证：AF⊥BE
〔2〕把两个含 300 角的直角三角板如图 2 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE、AD，AD 的延长线交 BE
于点 F，问 AF 与 BE 是否垂直？并说明理由.
2
________________．
12. 将三角形纸片〔△ABC〕按如下图的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF．AB
A
பைடு நூலகம்
B
＝AC＝3，
设以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BF 的长度是．
D
F
E BC＝4，假
C
13．如图，
正方形 ABCD 的边长为 1cm，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 BF、DE，则图中阴影局部的 面积是 cm2． 三、解答题
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，
A
菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N 分别是边
M
N
B AB、AD 的中点，连接 OM、ON、MN，则以下表达正确的选
O
D
项是
C
〔〕
A．△AOM 和△AON 都是等边三角形
B．四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形
C．四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形
A．8
B．9.5
C．10
D．11.5
A
D
G
二、填空题 B
E
C
8．如图，路灯距离地面 8 米F ，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部〔点 O 〕20 米的 A 处，则小明
精品 八年级数学上册 全等三角形提高题
例 2.如图，过线段 AB 的两个端点作射线 AM、BN，使 AM∥BN，按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA 的平分线交于 E， （1）∠AEB 是什么角？ （2）过点 E 作一直线交 AM 于 D，交 BN 于 C，观察线段 DE、CE，你有何发现？ （3）无论 DC 的两端点在 AM、BN 如何移动，只要 DC 经过点 E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD 谁成立？并说明 理由。
4.如图所示，已知 AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证： （1）EC=BF； （2）EC⊥BF
5.已知 C 为 AB 上一点,△ACN 和 △BCM 是正三角形. (1)求证:AM=BN；(2)求∠AFN 的度数.（3）若连接 DE，试证明△CDE 为等边△。
6.已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 平分角 BAD，CE 垂直 AB 于 E，且∠B+∠D=180 ，求证：AE=AD+BE.
A D A' F B' B E C' C
o o
） D.6 个
B.4 个
C.5 个
2.如图，已知，等腰 Rt△OAB 中，∠AOB=90 ，等腰 Rt△EOF 中，∠EOF=90 ，连结 AE、BF．求证： （1）AE=BF； （2）AE⊥BF．
3.在△ABC 中，∠BAC 的平分线与边 BC 的垂直平分线交于点 D，作 DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 的延长线于 N。求 证：BM=CN。
D A E
O B C
4.如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点 B、C 作过点 A 的垂线 BC、CE，垂足分别为 D、E， 若 BD=3，CE=2，则 DE= 5.如图,在 ABC 中,过 A 点分别作 AD⊥AB,AE⊥AC,且使 AD＝AB,AE＝AC,BE 和 CD 相交于 O,则∠DOE 的 度数是 . 6.一个三角形的三边为 2、5、x，另一个三角形的三边为 y、2、6，若这两个三角形全等，则 x+y=____ 7.如图所示，△ABC≌△ADE，BC 的延长线过点 E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠ DEF 的度数。
三角形的高、中线、角平分 线练习题
三角形的高、中线、角平分线练习题
1、三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（ ）
A．直线 B．射线 C．线段 D．射线或线段
2、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3、能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是（ ）
A．中线B．高C．角平分线 D．以上三种情况都正确
4、如图若∠BAF=∠CAF，则____是△ABD的角平分线，____是△ABC的角平分线
5、如图AB⊥AC，则AB是△ABC的边____上的高，也是△BDC的边______上的高，也是△ABD的边____上的高.
6、如图BD、AE分别是△ABC的中线、角平分线，AC=10cm ，∠BAC=700，则AD=_____，∠BAE=____.
7、在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：
⑴BE＝___＝_____；
⑵∠BAD=_____=_____；⑶∠AFB=_____=90
8、在△ABC中AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长。
9、要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？。
初一三角形的高练习题
初一三角形的高练习题三角形一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．五、三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角，可见一个三角形共有六个外角．六、多边形①多边形的对角线n条对角线；②n边形的内角和为×180°；③多边形的外角和为360°2与三角形有关的线段A卷一、选择题：1.如图,在△ABF中，∠B的对边是2.关于三角形的边的叙述正确的是A.三边互不相等B.至少有两边相等C.D.最多有两边相等3.A.3cm,cm,cmB.8cm,cm,0cm D.5cm,cm, 11cm4.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为不能确定5.在平面直角坐标系中，点A所组成的三角形ABC的面积是6.已知三角形的三边长分别为4、5x不可能是D.97.下列说法错误的是 ABCD8.给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角③三角形的角平分线是射线④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。
人教版八年级数学《三角形的高、中线、角平分线》同步练习题(含答案)(20201004100802)
）
A．两点之间线 段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
8.三角形的高线 是（
）பைடு நூலகம்
A．直线 二、填空题
B．线段
C．射线
D．三种情况都可能
9.如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， CD⊥ AD，垂足为点 D，有下列说法： ①点 A 与点 B 的距离是线段 AB 的长； ②点 A 到直线 CD的距离是线段 AD 的 长；
20.张大爷的四个儿子都长大成人了， 也该分家了， 于是张大爷准备把如图所示的一块三角形的田地平均分给四个儿
子，四个儿子要求田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案
.
21.如图， AD 是∠ CAB的角平分线， DE∥AB，DF∥ AC，EF 交 AD 于点 O.请问： DO 是∠ EDF的角平分线吗？如果是， 请给予证明；如果不是，请说明理由 .
14.3 15.12,36
16.∵ DE∥ AC,∴∠ EDA=∠ CAD.∵∠ EDA=∠ EAD,∴∠ CAD=∠ EAD.∴ AD 是△ ABC的角平分线 .
17.∵ S△ ABC=36,又∵ S
1
1
△ ABC=2 AC· BE，∴ 2 × 8× BE=36.解得 BE=9.
18.以 A、 B、 C、 D、E 中的三点为顶点的三角形共有 9 个，其中面积为 1 的三角形有：△ A BC,△ ADE,△ BCE,△ ACD 19.∵ AD 为△ ABC的中线，∴ BD=CD.∵△ ACD的周长比△ ABD的周长少 2 cm，∴(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2 cm， ∴ AC=AB-2=5-2= 3(cm). 20.答案不唯一，第一种方案：四等分一条边构成的四个三角形，图略；第二种方案：由一条中线以及中线上的中线 分割成的四个三角形，图略 . 2 1.DO 是∠ EDF的角平分线 .证明：∵ AD 是∠ CAB的角平 分线，∴∠ EAD=∠ FAD.∵ DE∥ AB，DF∥AC，∴∠ EDA=∠ FAD， ∠ FDA=∠ EAD.∴∠ EDA=∠ FDA，即 DO 是∠ EDF的角平分线 . 22.(1)√(2) √ (3)√
三角形(五大压轴题专练)(解析版)-2023-2024学年八年级数学上册单元速记巧练(人教版)
三角形（五大压轴题专练）【题型一三角形中高线的综合问题】(1)如图1，连接AB 、AC ，求ABC 的面积；(2)如图2，延长BA 交直线m 交于点D ，在CD 上存在点P 坐标；(3)请在备用图中画图探究：若点P 是直线m 上的一个动点，连接1CMP BCM S S -=△时，直接写出点Ｍ的坐标．【答案】(1)3(2)点P 的坐标(3,2)或(9,2)，(3)点M 的坐标为2(,0)3或2(,0)3-【分析】（1）根据点A 、B 、C 的坐标得2,OA OC OB ===（2）设(,2),(,2)D m P n ，根据BCD △的面积：113322m ⨯=⨯113(6)3(6)2222n n ⨯-⨯-⨯-⨯=，或11(6)3(6)22n n ⨯-⨯-⨯-（3）设(,2),(,2)D m P n ，根据+PCB BCM PCM S S S =△△△得132⨯1CMP BCM S S -=△得111231223t t ⨯⨯-⨯⨯=，计算得2t =，则BCD △的面积：11322m ⨯=⨯6m =，∵12ABP ABC S S =△△，∴11(6)3(6)22n n ⨯-⨯-⨯-⨯解得，3n =或9n =，∴点P 的坐标(3,2)或(9,2)；（3）解：如图3中，设(D m +PCB BCM PCM S S S =△△△，111332222t a t ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，13a t =，∵1CMP BCM S S -=△，(1)在题干的基础上，①如图2，点P 为BC 上一点，作PM AB ⊥，PN AC ⊥，设②如图3，当点P 在CB 延长线上时，猜想1d 、2d 之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想；(2)如图4，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，ABC S △点B 作BE BC ⊥，点P 是直线BE 上一动点，点Q 是直线值．【答案】(1)①见解析；②猜想：213412d d -=，证明见解析222∴124312d d +=②猜想：213412d d -=理由如下：，作PM AB ⊥，PN （2）作点D 关于直线BE 的对称点∴PD PD '=，PD PQ PD PQ'+=+∵点D 在BC 延长线上，则D ¢、B 、【点睛】本题考查了三角形高的定义，垂线段最短，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，有点(),0A a ，(0,B 单位得到线段CD ．(1)直接写出=a ______，b =______；(2)如图1，点E 为线段CD 上任意一点，点F 为线段AB 上任意一点，，求则OP CD AB ∥∥，∴180DEO EOP ∠+∠=︒，∴DEO EOP AFO ∠+∠+∠即33135360x y ++︒=︒，∴75x y +=︒，过G 作GH CD ∥，则GH ∴EGH DEG x ∠=∠=，∵6k =，∴()0,3C ，()6,6D ，设(),3K n ，∵BCK ABC ACK S S S =+△△△，∴1116663222n n ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，【题型二三角形中中线的综合问题】【深入探究】（1）如图2，点D 在ABC 的边BC 上，点P 在AD 上．①若AD 是ABC 的中线，求证：APB APC S S =△△；②若3BD DC =，则:APB APC S S =△△______．【拓展延伸】∵点A、B、C、D分别为∴AG，BC，CE，∴12 GAH GADS S S==∴12 ADC ADGS S S==(1)如图2，延长ABC 的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA ．若ACD 的面积为1S ，则1S =代数式表示）；(2)如图3，延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE CA =，连接DE ．若面积为2S ，则2S =（用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB =，连接FD ，FE ，得到DEF （如图4）．若阴影部分的面积为3S ，则3S =（用含a 的代数式表示）；拓展应用：(4)如图5，点D 是ABC 的边BC 上任意一点，点E ，F 分别是线段AD ，CE 的中点，且ABC 的面积为延长ABC 的边BC ∴12ACD AED ECD S S S ∆∆∆==22ECD ABC S S a ∆∆∴==，即22S a =；（3）由（2）得ECD S ∆同理：2EFA ABC S S ∆∆=3ECD EFA S S S ∆∆∴=++（4）2BEF S a =△，理由如下：理由：∵点E 是线段∴ABE BDE S S = ，S △∴12BCE ABC S S = ．=，连接FD，FE，得到(3)在图3的基础上延长AB到点F，使BF AB积为3S，则3S=___________；（用含a的代数式表示）拓展与应用：(4)如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC【答案】(1)a；(2)2a；(3)6a；(4)12 a．延长ABC∆的边BC∴12ACD AED ECD S S S∆∆∆==22ECD ABCS S a∆∆∴==，（4）解：如图5所示，连接则1,2AEO ABO S S S ∆∆=∴AEO AHO S S S ∆∆∆++【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质即等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．【题型三三角形中角平分线的综合问题】1.已知，AB DE ∥，点C 是直线AB ，DE 下方一点，连接BC ，DC ．【点睛】本题考查平方数、二次根式的非负性，利用面积法求点的坐标，角平分线的定义，三角形内角和定理等，难度一般，解第二问的关键是熟练运用数形结合思想，解第三问的关键是利用角度等量代换．【题型四三角形内角和与外角和的综合问题】1.在ABC 中，点E 是CA 延长线上一点．(1)如图1，过点B 作BD BC ⊥，交CE 于点F ，D C ∠=∠．①若36C ∠=︒，则DAF ∠=______°；②试写出DAF ∠与C ∠的数量关系，并说明理由；③当DAF D ∠=∠时，求C ∠的度数；④若D ABD ∠=∠，请说明BA CF ⊥；(2)如图2，BD 交CE 于点F ，D C ∠=∠，直接写出DAC ∠、C ∠与DBC ∠之间的数量关系．【答案】(1)①18；②290DAF C ∠+∠=︒，理由见解析；③30C ∠=︒；④见解析(2)2DAC C DBC∠=∠+∠【分析】（1）①根据180BFC C DBC ∠=︒-∠-∠，DAF BFC D ∠=∠-∠，即可求得答案．②根据180BFC C DBC ∠=︒-∠-∠，DAF BFC D ∠=∠-∠，结合等量代换，即可求得答案．③根据②的结论，采用等量代换即可求得答案．④根据2+18090DAF C DAF D ABD FAB ∠+∠=∠+∠∠=︒-∠=︒，即可求得FAB ∠的度数，问题即可得证．（2）延长BA 至K ，根据DAC DAK CAK ∠=∠+∠，结合三角形的外角的性质可求得答案．【详解】（1）①∵0910********BFC C DBC ∠︒=︒-∠-∠=︒-︒=︒-，∴543618DAF BFC D ∠︒=︒-∠-==∠︒．故答案为：18．②290DAF C ∠+∠=︒．理由如下：∵DAK D DBA∠∠=∠+∠，CAK∴DAC DAK CAK D∠=∠+∠=∠+【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），牢记三角形的外角的性质是解题的关键．中，点2．（1）如图①所示，ABC，不用说明理由，直接填空．（2）如图③所示，13OBC DBC ∠=∠，13OCB ECB ∠=∠，若A α∠=，则BOC ∠填空并说明理由．【答案】（1）902α︒+，1203α︒+．；（2）1203α︒-1(1)如图1，若AD BC ∥，求证：AC BD ∥；(2)如图2，若BD BC ⊥，垂足为B ，BD 交CE 于点G ，请探究DAE ∠论，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，过点D 作DF BC ∥交射线CE 于点F ，当(1)如图1，如果点F 在线段AE 上，且50C ∠=︒，30B ∠=︒，则EFD ∠=______．(2)如果点F 在ABC 的外部，分別作出CAE ∠和EDF ∠的角平分线，交于点K ，请在图2中补全图形，探究AKD ∠、C ∠、B ∠三者之间的数量关系，并说明理由：(3)如图3，若点F 与点A 重合，PE 、PC 分别平分AEC ∠和ABC 的外角ACM ∠，连接PA PG BC ⊥交BC 延长线于点G ，PH AB ⊥交BA 的延长线于点H ，若EAD CAD ∠=∠，且44（3）解：设EAD CAD ∠=∠=∵AE 平分BAC ∠，∴BAE CAE EAD ∠=∠=+∠∠∴6BAD α∠=，∵AD BC⊥【题型五多边形的内角和与外角和综合问题】1.【感知】如图1所示，在四边形AEFC 中，EB FD 、分别是边AE CF 、的延长线，我们把BEF DFE ∠∠、称为四边形AEFC 的外角，若220A C ∠+∠=︒，则BEF DFE ∠+∠=___________；【探究】如图2所示，在四边形AECF 中，EB FD 、分别是边AE AF 、的延长线，我们把BEC DFC ∠∠、称为四边形AECF 的外角，试探究A C ∠∠、与BEC DFC ∠∠、之间的数量关系，并说明理由；【应用】如图3所示，FM EM 、分别是四边形AEFC 的外角DFE BEF ∠∠、的平分线，若200A C ∠+∠=︒，则M ∠的度数为___________．【答案】（感知）220︒；（探究）A C BEC DFC∠+∠=∠+∠，理由见解析；（应用）【分析】（感知）根据四边形的内角和和邻补角的定义即可求出答案．（探究）根据四边形的内角和和邻补角的定义即可求出答案．（应用）根据四边形的内角和和邻补角定义可求出BEF DFE∠+∠的度数，结合角平分线的定义即可求出∠的度数．MFE MEF∠+∠度数，最后利用三角形内角和即可求出M①如图1，若B C ∠=∠，则C ∠=________︒；②如图2，若ABC ∠的平分线BE 交DC 于点E 、且BE AD ∥，则C ∠=③如图3，若ABC ∠和BCD ∠的平分线相交于点E ，则BEC ∠=________(2)如图3，当A D αβ∠=∠=，时，若ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点数量关系．∵,BE CE 平分,ABC ∠∴111,222ABC ∠=∠∠=∴112(2ABC ∠+∠=∠∴在BCE 中，BEC ∠故答案为：110︒．（2）解：在四边形ABCD ∴360ABC BCD ∠+∠=∵ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点∴111,222ABC ∠=∠∠=、两外角平分线所成的(1)如图2，在四边形ABCD 中，BP 、CP 分别平分ABC ∠和BCD ∠，则(2)如图3，在四边形ABCD 中，BM 、CM 分别平分EBC ∠和BCF ∠，请探究并说明理由.(3)在四边形ABCD 中，F ∠为ABC ∠的平分线与边CD 和BC 延长线所成角的平分线所在的直线构成的锐角，若设A α∠=，D β∠=，则F ∠=.（用α、β表示）【答案】(1)()1P A D ∠=∠+∠BF 平分ABC ∠，CF 平分12CBF ABC ∴∠=∠，DCF ∠180DCG BCD ∠=︒-∠ ，。
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(一).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1DCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【考点】三角形的等高模型 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：例题精讲4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型CD BAABFCABDGC⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：（1）（2）（3）（4）（5）⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【答案】⑴答案不唯一：CD BAABF CABDGC⑵ 答案不唯一：（1）（2）（3）（4）（5）⑶答案不唯一：【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？DCBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．于是：三角形ABD 的面积12=⨯高26÷=⨯高 三角形ABC 的面积124=+⨯（）高28÷=⨯高 三角形ADC 的面积4=⨯高22÷=⨯高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．【答案】43、3【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．ED CA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)． 【答案】6【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．【答案】25【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．ACDE F【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202⨯⨯=．【答案】120【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH V V ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【答案】28【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCBBCG E【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48． 【答案】48【例 5】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？EEE【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）特殊点法．由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF ∆与ADG ∆的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD 面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的113848+=，为33613.58⨯=．（法2）寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如右上图．可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=，即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影．【答案】13.5【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米． （法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【答案】15【例 6】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？ED CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC的高，ED 是三角形EBC 的高，于是：三角形ABC 的面积1226BC BC =⨯÷=⨯三角形EBC 的面积32 1.5BC BC =⨯÷=⨯所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍．【答案】4【例 7】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 △AEC 、△AFC 、△ABF ． 【答案】△AEC 、△AFC 、△ABF ．【巩固】如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与△ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？ED C BA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 3个，△AEC 、△BED 、△DEC ． 【解析】 【答案】3个，△AEC 、△BED 、△DEC ．【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODC B A【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 △ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO ． 【答案】△ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO【例 8】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECD DCEB A【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】 连接CE ，∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S =V V又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ===V V V ．【答案】4【例 9】 如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．AA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008年，四中考题【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【答案】30【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 ABD V ，ABC V 等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABC S BD S BC ==V V , 所以ABDS V =111809022ABC S ⨯=⨯=V (平方厘米)．同理有190303ABE ABD AE S S AD =⨯=⨯=V V (平方厘米)，34AFE ABE FE S S BE =⨯=V V 3022.5⨯= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米． 【答案】22.5【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积． ABC DZ Y【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S =V V ，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯=V V Y (平方厘米)．【答案】24【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FED CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=， 三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=． 【答案】3【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ∵F 是AC 的中点 ∴2ABC ABF S S =V V 同理2ABF BEF S S =V V∴486246BEF ABC S S =÷=⨯÷÷=V V (平方厘米)．【答案】6【例 10】 如图所示，A 、B 、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大15平方厘米。
三角形高专项练习
三角形的高专项练习题
知识要点：
①从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
②任意三角形都有三条高，而且这3条高交于一点。
温馨提示：请用铅笔、三角板规范作图。
【练习】作出下列三角形指定底边上的高。
三角形的高专项练习题
知识要点：
①从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角
形的高。
②任意三角形都有三条高，而且这3条高交于一点。
温馨提示：请用铅笔、三角板规范作图。
【练习】作出下列三角形指定底边上的高。
底
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1。
五年级三角形面积的计算(求高)计算练习题200道
姓名：得分：三角形的底边是91cm,面积是1410.5cm²,高是 cm 三角形的底边是37cm,面积是703cm²,高是 cm三角形的底边是88cm,面积是1100cm²,高是 cm 三角形的底边是26cm,面积是351cm²,高是 cm三角形的底边是82cm,面积是1681cm²,高是 cm 三角形的底边是15cm,面积是135cm²,高是 cm三角形的底边是59cm,面积是1091.5cm²,高是 cm 三角形的底边是10cm,面积是70cm²,高是 cm三角形的底边是66cm,面积是561cm²,高是 cm三角形的底边是18cm,面积是441cm²,高是 cm三角形的底边是20cm,面积是370cm²,高是 cm三角形的底边是16cm,面积是296cm²,高是 cm三角形的底边是29cm,面积是377cm²,高是 cm三角形的底边是31cm,面积是635.5cm²,高是 cm 三角形的底边是46cm,面积是253cm²,高是 cm三角形的底边是92cm,面积是1196cm²,高是 cm 三角形的底边是73cm,面积是1788.5cm²,高是 cm 三角形的底边是28cm,面积是504cm²,高是 cm三角形的底边是96cm,面积是2352cm²,高是 cm三角形的底边是26cm,面积是299cm²,高是 cm 三角形的底边是63cm,面积是882cm²,高是 cm 三角形的底边是52cm,面积是1170cm²,高是 cm 三角形的底边是19cm,面积是399cm²,高是 cm 三角形的底边是16cm,面积是304cm²,高是 cm 三角形的底边是77cm,面积是1540cm²,高是 cm 三角形的底边是28cm,面积是672cm²,高是 cm 三角形的底边是20cm,面积是150cm²,高是 cm 三角形的底边是16cm,面积是312cm²,高是 cm三角形的底边是89cm,面积是445cm²,高是 cm 三角形的底边是99cm,面积是1485cm²,高是 cm 三角形的底边是17cm,面积是365.5cm²,高是 cm 三角形的底边是54cm,面积是1134cm²,高是 cm 三角形的底边是76cm,面积是1520cm²,高是 cm 三角形的底边是67cm,面积是335cm²,高是 cm 三角形的底边是83cm,面积是539.5cm²,高是 cm 三角形的底边是89cm,面积是979cm²,高是 cm 三角形的底边是59cm,面积是649cm²,高是 cm三角形的底边是69cm,面积是379.5cm²,高是 cm 三角形的底边是17cm,面积是255cm²,高是 cm 三角形的底边是72cm,面积是1260cm²,高是 cm 三角形的底边是98cm,面积是2352cm²,高是 cm 三角形的底边是83cm,面积是1660cm²,高是 cm 三角形的底边是27cm,面积是594cm²,高是 cm 三角形的底边是79cm,面积是1817cm²,高是 cm 三角形的底边是91cm,面积是1547cm²,高是 cm 三角形的底边是86cm,面积是774cm²,高是 cm三角形的底边是33cm,面积是330cm²,高是 cm 三角形的底边是82cm,面积是1640cm²,高是 cm 三角形的底边是26cm,面积是468cm²,高是 cm 三角形的底边是98cm,面积是2401cm²,高是 cm 三角形的底边是39cm,面积是273cm²,高是 cm 三角形的底边是80cm,面积是1440cm²,高是 cm 三角形的底边是30cm,面积是315cm²,高是 cm 三角形的底边是79cm,面积是474cm²,高是 cm 三角形的底边是80cm,面积是440cm²,高是 cm三角形的底边是20cm,面积是350cm²,高是 cm三角形的底边是25cm,面积是437.5cm²,高是 cm 三角形的底边是66cm,面积是858cm²,高是 cm三角形的底边是83cm,面积是456.5cm²,高是 cm 三角形的底边是23cm,面积是276cm²,高是 cm三角形的底边是52cm,面积是728cm²,高是 cm三角形的底边是31cm,面积是527cm²,高是 cm三角形的底边是35cm,面积是455cm²,高是 cm三角形的底边是97cm,面积是2376.5cm²,高是 cm三角形的底边是43cm,面积是516cm²,高是 cm三角形的底边是47cm,面积是634.5cm²,高是 cm 三角形的底边是83cm,面积是1369.5cm²,高是 cm 三角形的底边是10cm,面积是220cm²,高是 cm三角形的底边是70cm,面积是350cm²,高是 cm三角形的底边是83cm,面积是1784.5cm²,高是 cm 三角形的底边是72cm,面积是864cm²,高是 cm三角形的底边是92cm,面积是1334cm²,高是 cm 三角形的底边是39cm,面积是429cm²,高是 cm三角形的底边是85cm,面积是1487.5cm²,高是 cm 三角形的底边是65cm,面积是1397.5cm²,高是 cm 三角形的底边是56cm,面积是840cm²,高是 cm三角形的底边是61cm,面积是579.5cm²,高是 cm 三角形的底边是34cm,面积是476cm²,高是 cm三角形的底边是67cm,面积是737cm²,高是 cm三角形的底边是22cm,面积是286cm²,高是 cm三角形的底边是38cm,面积是627cm²,高是 cm三角形的底边是71cm,面积是1029.5cm²,高是 cm三角形的底边是28cm,面积是644cm²,高是 cm三角形的底边是71cm,面积是958.5cm²,高是 cm 三角形的底边是92cm,面积是1426cm²,高是 cm 三角形的底边是24cm,面积是384cm²,高是 cm三角形的底边是66cm,面积是330cm²,高是 cm三角形的底边是73cm,面积是547.5cm²,高是 cm 三角形的底边是18cm,面积是234cm²,高是 cm三角形的底边是14cm,面积是343cm²,高是 cm三角形的底边是55cm,面积是1347.5cm²,高是 cm三角形的底边是33cm,面积是561cm²,高是 cm三角形的底边是42cm,面积是651cm²,高是 cm三角形的底边是41cm,面积是758.5cm²,高是 cm 三角形的底边是90cm,面积是1125cm²,高是 cm 三角形的底边是42cm,面积是609cm²,高是 cm三角形的底边是77cm,面积是577.5cm²,高是 cm 三角形的底边是61cm,面积是610cm²,高是 cm三角形的底边是97cm,面积是1406.5cm²,高是 cm 三角形的底边是27cm,面积是486cm²,高是 cm三角形的底边是48cm,面积是528cm²,高是 cm三角形的底边是45cm,面积是517.5cm²,高是 cm 三角形的底边是35cm,面积是560cm²,高是 cm三角形的底边是62cm,面积是992cm²,高是 cm三角形的底边是87cm,面积是1261.5cm²,高是 cm 三角形的底边是84cm,面积是1050cm²,高是 cm 三角形的底边是89cm,面积是489.5cm²,高是 cm 三角形的底边是43cm,面积是838.5cm²,高是 cm 三角形的底边是76cm,面积是646cm²,高是 cm三角形的底边是98cm,面积是1715cm²,高是 cm 三角形的底边是18cm,面积是90cm²,高是 cm 三角形的底边是22cm,面积是429cm²,高是 cm 三角形的底边是66cm,面积是891cm²,高是 cm 三角形的底边是26cm,面积是533cm²,高是 cm 三角形的底边是64cm,面积是1408cm²,高是 cm 三角形的底边是88cm,面积是1056cm²,高是 cm 三角形的底边是98cm,面积是1862cm²,高是 cm 三角形的底边是79cm,面积是1185cm²,高是 cm三角形的底边是23cm,面积是218.5cm²,高是 cm 三角形的底边是73cm,面积是1168cm²,高是 cm 三角形的底边是40cm,面积是800cm²,高是 cm三角形的底边是88cm,面积是704cm²,高是 cm三角形的底边是29cm,面积是159.5cm²,高是 cm 三角形的底边是92cm,面积是506cm²,高是 cm三角形的底边是77cm,面积是1578.5cm²,高是 cm 三角形的底边是40cm,面积是600cm²,高是 cm三角形的底边是72cm,面积是1440cm²,高是 cm三角形的底边是87cm,面积是1522.5cm²,高是 cm 三角形的底边是67cm,面积是1340cm²,高是 cm 三角形的底边是49cm,面积是588cm²,高是 cm三角形的底边是62cm,面积是713cm²,高是 cm三角形的底边是31cm,面积是263.5cm²,高是 cm 三角形的底边是83cm,面积是913cm²,高是 cm三角形的底边是80cm,面积是560cm²,高是 cm三角形的底边是51cm,面积是382.5cm²,高是 cm 三角形的底边是38cm,面积是760cm²,高是 cm三角形的底边是44cm,面积是704cm²,高是 cm三角形的底边是86cm,面积是645cm²,高是 cm三角形的底边是57cm,面积是541.5cm²,高是 cm 三角形的底边是86cm,面积是688cm²,高是 cm三角形的底边是80cm,面积是640cm²,高是 cm三角形的底边是70cm,面积是770cm²,高是 cm三角形的底边是50cm,面积是1125cm²,高是 cm 三角形的底边是39cm,面积是214.5cm²,高是 cm 三角形的底边是93cm,面积是1627.5cm²,高是 cm三角形的底边是72cm,面积是1656cm²,高是 cm 三角形的底边是47cm,面积是470cm²,高是 cm 三角形的底边是27cm,面积是189cm²,高是 cm 三角形的底边是46cm,面积是1012cm²,高是 cm 三角形的底边是28cm,面积是616cm²,高是 cm 三角形的底边是27cm,面积是432cm²,高是 cm 三角形的底边是36cm,面积是450cm²,高是 cm 三角形的底边是78cm,面积是1287cm²,高是 cm 三角形的底边是44cm,面积是836cm²,高是 cm三角形的底边是19cm,面积是313.5cm²,高是 cm 三角形的底边是73cm,面积是511cm²,高是 cm 三角形的底边是51cm,面积是918cm²,高是 cm 三角形的底边是48cm,面积是576cm²,高是 cm 三角形的底边是78cm,面积是1833cm²,高是 cm 三角形的底边是46cm,面积是299cm²,高是 cm 三角形的底边是78cm,面积是858cm²,高是 cm 三角形的底边是45cm,面积是697.5cm²,高是 cm 三角形的底边是27cm,面积是135cm²,高是 cm三角形的底边是99cm,面积是1336.5cm²,高是 cm 三角形的底边是23cm,面积是437cm²,高是 cm三角形的底边是35cm,面积是787.5cm²,高是 cm 三角形的底边是47cm,面积是799cm²,高是 cm三角形的底边是47cm,面积是540.5cm²,高是 cm 三角形的底边是39cm,面积是370.5cm²,高是 cm 三角形的底边是85cm,面积是637.5cm²,高是 cm 三角形的底边是12cm,面积是174cm²,高是 cm三角形的底边是72cm,面积是1152cm²,高是 cm三角形的底边是51cm,面积是1045.5cm²,高是 cm 三角形的底边是80cm,面积是520cm²,高是 cm三角形的底边是70cm,面积是595cm²,高是 cm三角形的底边是59cm,面积是590cm²,高是 cm三角形的底边是57cm,面积是741cm²,高是 cm三角形的底边是93cm,面积是558cm²,高是 cm三角形的底边是68cm,面积是714cm²,高是 cm三角形的底边是68cm,面积是1564cm²,高是 cm 三角形的底边是50cm,面积是800cm²,高是 cm三角形的底边是29cm,面积是580cm²,高是 cm。
高三数学复习专题练习题：解三角形（含答案）
⾼三数学复习专题练习题：解三⾓形（含答案）⾼三数学复习专题练习：解三⾓形（含答案）⼀. 填空题（本⼤题共15个⼩题，每⼩题5分，共75分）1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC ⼀定是三⾓形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsin sin 的值为 . 3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且⾯积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= . 4.在△ABC 中，BC=2，B=3π，若△ABC 的⾯积为23，则tanC 为 . 5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.在△ABC 中，若∠C=60°，则c b a ++ac b+= . 9.如图所⽰，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km, 灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.10.⼀船⾃西向东匀速航⾏，上午10时到达⼀座灯塔P 的南偏西75°距塔68海⾥的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南⽅向的N 处，则这只船的航⾏速度为海⾥/⼩时. 11. △ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a= .12. 在△ABC 中,⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则⾓B 的值为 . 13. ⼀船向正北航⾏，看见正西⽅向有相距10 海⾥的两个灯塔恰好与它在⼀条直线上，继续航⾏半⼩时后，看见⼀灯塔在船的南偏西600，另⼀灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每⼩时航⾏________ 海⾥.14.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的⾯积为 .15.在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .（资料由“⼴东考神”上传，如需更多⾼考复习资料，请上 tb ⽹搜“⼴东考神”）⼆、解答题（本⼤题共6个⼩题，共75分）1、已知△ABC 中，三个内⾓A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的⾯积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2，求tanC 的值. （10分）2、在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （11分）（1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2. (12分)（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的⾯积.4、△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. (12分) （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a=3，求bc 的最⼤值；（3）求cb C a --?)30sin(的值.5、已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=． (12分)（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=?，求A cos 的值．6、在某海岸A 处，发现北偏东 30⽅向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有⼀艘⾛私船在A 处北偏西 15的⽅向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截⾛私船. 此时，⾛私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30⽅向逃窜，问缉私船⾄少经过多长时间可以追上⾛私船，并指出缉私船航⾏⽅向. (12分)ACB3015· ·参考答案：⼀、填空题：1、等腰；2、53；3、45°；4、33；5、60°；6、45°或135°；7、65π；8、1；9、3a ；10、2617；11、2；12、3π或32π；13、10；14、103；15、33。
2019年人教版中考三角函数专项练习(PDF版含解析)
18．如图，某渔船沿正东方向以 20 海里/时的速度航行，在 A 处测得岛 C 在北偏东 60°方 向，半小时后，渔船航行到 B 处，此时测得岛 C 在北偏东 30°方向． （1）B 处离岛 C 有多远？ （2）如果渔船继续向东航行，需要多长时间到达距离岛 C 最近的位置？ （3）已知岛 C 周围 6 海里内有暗礁，如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理 由．
【解答】解：作 DF⊥AB 于点 F，如右图所示， 由题意可得，DF＝CB， ∵台阶 DE 的坡度为 1：2，DC＝2 米， ∴CE＝2CD＝4 米， ∵∠AFD＝90°，∠ADF＝36.9°，DC＝2 米，tan∠ADF＝ ，
∴tan36.9°＝
，
即 DF＝
，
又∵∠ABE＝90°，∠AEB＝63.5°，CE＝4 米，CB＝DF，tan∠AEB＝ ，
13．已知：
，PB＝4，以 AB 为一边作正方形 ABCD，使 P、D 两点落在直线 AB 的
两侧．
（1）如图，当∠APB＝45°时，求 AB 及 PD 的长；
（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应∠APB 的大小．
14．如图，一艘游轮在 A 处测得北偏东 45°的方向上有一灯塔 B．游轮以 20 海里/时的 速度向正东方向航行 2 小时到达 C 处，此时测得灯塔 B 在 C 处北偏东 15°的方向上，求 A 处与灯塔 B 相距多少海里？（结果精确到 1 海里，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
C．
D．10 米 ） D．
4．如图，延长 RT△ABC 斜边 AB 到点 D，使 BD＝AB，连接 CD，若 tan∠BCD＝ ，则 tanA ＝（ ）
A．
B．1
小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(二).专项练习及答案解析
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型EDCBADECBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E DC BA AB CDE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D C BAAB CDE 甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FEDCBA【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC=⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABCS S CE CF CB CA=⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABCS S AD AF AB AC=⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABCS=△份，则4BDES=△份，4ADFS=△份，9CEFS=△份，244497DEFS=---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS=△平方厘米【答案】24【例 5】如图16-4，已知．AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题【解析】如下图，连接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有ABEABCSSVV=AEAC，所以ABES V=AEAC×ABCS V=15ABCS V同理有AEFS V=AFAB ABES V,即=AEFS V=15×56ABCS V=16ABCS V.类似的还可以得到CDES V=14×45ABCS V=15ABCS V，BDFS V=16×13ABCS V=18ABCS V．所以有DEFS V=ABCS V-(AEFS V+CDES V+BDFS V)=(1-16-15-18)ABCS V=61120ABCS V．即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120．【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米 【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE、CD．∵11ABCDBCSS=VV，1ABCS=V，∴S1DBC=V．同理可得其它，最后三角形DEF的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABCV和CFEV中，ACB∠与FCE∠互补，∴111428ABCFCES AC BCS FC CE⋅⨯===⋅⨯VV．又1ABCS=V，所以8FCES=V．同理可得6ADFS=V，3BDES=V．所以186318DEF ABC FCE ADF BDES S S S S=+++=+++=V V V V V．【答案】18【例 9】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，有V EAD、V ADB同高，所以面积比为底的比，有2EAD ABD ABDEAS S SAB==V V V．同理36EAH EAD EAD ABDAHS S S SAD===V V V V．类似的，还可得V6FCG BCDS S=V V，有()66EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米．连接AC，AF，HC，还可得6EFB ABCS S=V V，6DHG ACDS S=V V，有()66EFB DHG ABC ACD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米.有四边形EFGH的面积为V EAH,V FCG,V EFB,V DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD，有V EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAH S V =6ABD S V ．类似的，还可得FCG S V =6BCD S V ，有EAH S V +FCG S V =6（ABD S V +BCD S V )=6ABCD S=30平方厘米．连接AC ，还可得EFB S V =6ABC S V ，DHG S V =6ACD S V ，有EFB S V +DHG S V =6（ABC S V +ACD S V ）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==． 【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABC S =V ，所以0.5FCE S =V ． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABCDEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =V ，8EFG S =V ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC S =V ，32ABFE S =，24ABF S =V ，所以12ABG S =V 平方厘米． 【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF∆与CEH∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a，则AGF∆与CEH∆的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496．由于4FA a=，3FB a=，所以AFB∆与三角形DEF的面积之比为4312 7749⨯=．同理可知BDC∆、AEC∆与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC∆的面积占三角形DEF面积的1213134949-⨯=，所以ABC∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】13 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．【答案】2 6 3【例 17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD 的面积比。
解直角三角形专项练习
解直角三角形的实际应用1．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为多少米。
（结果精确到1．参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）2．如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°、35°，则广告牌的高度BC为多少米。
（精确到0.1米）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）3．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD 为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是多少米．（结果保留根号）4.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，则改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为多少米．（结果精确到0.1m，温馨提示：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）5．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，则此时船距灯塔C的距离为多少海里．（结果保留根号）6．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为29.5°和45°，如果这时气球的高度CD 为80米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B之间的距离（结果精确到1米）．[参考数据：sin29.5°≈0.49，cos29.5°≈0.87，tan29.5°≈0.57]7．如图，某校数学兴趣小组的小明同学为测量位于玉溪大河畔的云铜矿业大厦AB的高度，小明在他家所在的公寓楼顶C处测得大厦顶部A处的仰角为45°，底部B处的俯角为30°．已知公寓高为40m，请你帮助小明计算公寓楼与矿业大厦间的水平距离BD的长度及矿业大厦AB的高度．（结果保留根号）8．热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处于地面距离为420米，求这栋楼的高度．9．为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）10．如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）11．如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．12．如图，一艘货船在灯塔C的北偏西68°方向上的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C 的正西方向距离灯塔350海里的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．已知货船所在位置点A位于救生船位置点B的北偏东45°方向上，求救生船与货船的距离AB（结果精确到1海里）．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41．13．如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝20米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD ＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）14．为了完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末时间邀约一起去郊外一处空旷平坦的草地上放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据．如图，当小明把风筝放飞到空中点P处时，小华分别在地面的点A、B处测得∠P AB＝45°，∠PBA＝30°，AB＝200米，请你求出风筝的高度PC（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（参考数据：≈1.414，≈1.732）15．今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB＝52°，∠ADB＝60°，CD ＝200m，求AB的高度．（精确到1m）（参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.73）16．如图，学校一幢教学楼AB的顶部竖有一块写有校训的宣传牌AC，小同在M点用测倾器测得宣传牌的底部A点的仰角为31°，他向教学楼前进7米到达N点，测得宣传牌顶部C点的仰角为45°，已知广告牌AC的高度为3米，测倾器DM＝EN＝1.5米，点B、M、N在同一水平面上，不考虑其他因素，求教学楼AB的高度．（结果保留整数，参考数据sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.61）17．如图，太阳光照射在办公楼上，办公楼的影子恰好映射到后面的小山包的D处，已知阳光光线与水平线的夹角为49°，小山包坡面CD与水平线的夹角为26.5°，办公楼底部B距离小山包底部C的水平距离BC以及小山包的坡面CD的长均为10米，A、B、C、D均在同一平面上，求办公楼AB的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）18．教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）19．本学期小明经过一段时间的学习，想利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．如图，先测得居民楼AB与CD之间的距离BD为31m，后站在F点处测得居民楼CD的顶端C的仰角为45°．居民楼AB的顶端A的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.7m，小莹的观测点E距地面1.7m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）20．某校开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，已知测角器的高度为1.6米，在测点A处安置测角器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与A点相距3.5米的测点D处安置测角器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在同一条直线上），求电池板离地面的高度MN（结果精确到1米，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．21．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重开幕，无人机航拍技术全程直播，如图，在无人机的镜头下，观测冬奥会场地A处的俯角∠ECA＝34°，B处的俯角∠ECB＝45°，如果此时无人机镜头C处的高度CD为100米，点A，B，D在同一条直线上，求A，B两点间的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）22．“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知AB＝BC＝BD＝60cm，∠CBD＝30°．（1）如图③A处离地面多高？（2）如图④芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身高GH为158cm，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为45°，求此时CH的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin15°≈0.256，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，，）23．如图是一种机器零件的侧面示意图，测得∠D＝30°，∠A＝75°，BD⊥AC于点B，CD＝16cm，AB ＝28cm，AE＝25cm，求顶端E到底部CD的距离EF．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，＝1.732）24．如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到0.1m）（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD．（2）求旗杆的AC高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）25．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝12cm，AB＝25cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝°；（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）第11页共11页。