浙教版数学九年级下册《解直角三角形》同步练习3
浙教版 九年级数学下册 第1章 解直角三角形 单元同步练习 习题合集(含答案解析)
1.1～1.2一、选择题(每小题4分，共32分) 1．cos60°的值等于( ) A. 3 B ．1 C.22 D.122．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝47，BC ＝8，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．14D ．16图G －5－13．如图G －5－1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )A ．1B ．1.5C ．2D ．34．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(cos30°，tan45°)，则点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫32，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32C.⎝⎛⎭⎪⎫32，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1 5．如图G －5－2所示，AC 是电线杆AB 的一根拉线，测得BC ＝6米，∠ACB ＝52°，则拉线AC 的长为( )A.6sin52°米 B.6tan52°米C ．6cos52°米 D.6cos52°米G －5－2G －5－36．如图G －5－3，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是23，则AC AB的值是( )A.25B.35C.52D.237．一座楼梯的示意图如图G －5－4所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽1米，则地毯的面积至少需要( )A.4sin θ平方米 B.4cos θ平方米 C ．(4＋4tan θ)平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米G －5－4G －5－58．如图G －5－5，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为32，AC ＝2，则sin B 的值是( )A.23B.32C.34D.43二、填空题(每小题4分，共32分)9．若α＝30°，则α的余角等于________度，sin α的值为________． 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝2 5，则sin A ＝________．11．用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，总结规律，利用此规律比较当0°<α<β<90°时，cos α与cos β的大小，即cos α________cos β.图G －5－612．如图G －5－6，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于________．13．已知α是锐角，tan α＝2cos30°，那么α＝________度．14．将一副三角尺如图G －5－7所示叠放在一起，则BE EC的值是________．G －5－7G －5－815．如图G －5－8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin ∠CAM ＝35，则tan B 的值为________．图G －5－916．如图G －5－9，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ，则点B 转过的路径长为________．三、解答题(共36分)17．(6分)计算：2sin30°＋4cos30°•tan60°－cos 245°.18．(8分)王华是一名爱动脑筋的好学生，一天，他到公园锻炼，看到一个三角形的大花坛(如图G －5－10所示)，便产生了用新学的数学知识计算一下花坛面积的想法，他测得∠A ＝30°，AB 边的长度为40 m ，AC 边的长度为30 m ．王华同学很快计算出了花坛的面积，请你根据王华测量的结果，也计算一下这个三角形花坛的面积．图G －5－1019．(10分)如图G －5－11所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠BCD .(1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sin P ＝35，求⊙O 的直径．图G －5－1120．(12分)如图G －5－12，E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠后得到△BFE ，点F 落在AD 边上．(1)求证：△ABF ∽△DFE ；(2)若sin ∠DFE ＝13，求tan ∠EBC 的值．图G －5－12详解详析1．D [解析] 根据余弦的定义及特殊角度的三角函数值，可得cos60°＝12.故选D.2．C 3.C4．C [解析] 由已知得P (32，1)，则P 1( 32，－1)． 5．D [解析] 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，则cos ∠ACB ＝BC AC ，∴AC ＝BCcos ∠ACB .又BC＝6米，∠ACB ＝52°，∴AC ＝6cos52°米．6．D [解析] ∵∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠B ＋∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ， ∴sin B ＝sin ∠ACD ＝23，∴AC AB ＝23. 7．D8．A [解析] 连结DC .根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD ＝90°. 根据同弧所对的圆周角相等，得∠B ＝∠D .∴sin B ＝sin D ＝AC AD ＝23.故选A.9．60 12 10.2311.>12.12 [解析] 连结AB ，∵OA ＝OB ＝AB ， ∴△ABC 是等边三角形．∴∠AOB ＝60°. ∴cos ∠AOB ＝cos60°＝12.∴α＝60°. 14.33 [解析] ∵Rt △BAC 中，tan B ＝ACAB＝tan45°＝1，∴AB ＝AC . 在Rt △ACD 中，tan D ＝ACCD ＝tan30°＝33， ∴CD ＝3AC ，CD ＝3AB . ∵∠BAC ＝∠ACD ＝90°， ∴∠BAC ＋∠ACD ＝180°， ∴AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ， ∴BE EC ＝AB CD ＝33. 15.23 [解析] Rt △AMC 中，sin ∠CAM ＝MC AM ＝35，设MC ＝3x ，AM ＝5x ，则AC ＝AM 2－MC 2＝4x .∵M 是BC 的中点，∴BC ＝2MC ＝6x .在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝4x 6x ＝23.16.33π [解析] ∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2，∴cos30°＝BC AB， ∴BC ＝AB cos30°＝2×32＝ 3. ∵将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ， ∴∠BCB ′＝60°，∴点B 转过的路径长为60π×3180＝33π.＝1＋6－12＝132. 18．解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，如图所示．在Rt △ACD 中，sin A ＝CDAC，∴CD ＝AC ·sin30°＝30×12＝15(m)，∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12×40×15＝300(m 2)．答：此三角形花坛的面积为300 m 2.19．解：(1)证明：∵∠D ＝∠1，∠1＝∠BCD ，∴∠D ＝∠BCD ， ∴CB ∥PD .(2)连结AC ，如图，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴∠P ＝∠A ，∴sin A ＝sin P ＝35.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴sin A ＝BC AB ＝35，而BC ＝3，∴AB ＝5，即⊙O 的直径为5.20．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°. ∵△BCE 沿BE 折叠后得到△BFE ， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°，∴∠AFB ＋∠DFE ＝180°－∠BFE ＝90°. 又∵∠AFB ＋∠ABF ＝90°， ∴∠ABF ＝∠DFE ，∴△ABF ∽△DFE .(2)在Rt △DEF 中，sin ∠DFE ＝DE EF ＝13，∴设DE ＝a ，EF ＝3a ，DF ＝EF 2－DE 2＝2 2a . ∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BFE ，∴CE ＝EF ＝3a ，CD ＝DE ＋CE ＝4a ，AB ＝4a ，∠EBC ＝∠EBF . 又由(1)知△ABF ∽△DFE ，∴FE BF ＝DF AB ＝2 2a 4a ＝22， ∴tan ∠EBF ＝FEBF ＝22， ∴tan ∠EBC ＝tan ∠EBF ＝22.第1章 解直角三角形1．1 锐角三角函数第1课时 锐角三角函数的概念知识点1 锐角三角函数的定义1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，则sin A ＝________，cos A ＝________， tan A ＝________．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( )A ．sin A ＝a cB ．cos B ＝b cC ．tan A ＝b aD ．tan B ＝b c图1－1－13．如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝AC BCC ．sin B ＝AD ACD ．tan B ＝AD BD知识点2 已知三角形的边长或边长之间的数量关 系，求三角函数值图1－1－24．2017·湖州如图1－1－2，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos B 的值是( )A.35B.45C.34D.435．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是( )A.12B．2 C.55D.526．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B的值是( )A.512B.125C.513D.12137．如图1－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶2，则sin A＝________，cos A ＝________，tan B＝________．1－1－31－1－48．如图1－1－4，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝________．9．分别求出图1－1－5①②所示的直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值、正切值．图1－1－5知识点3 已知三角函数值，求三角形的边长图1－1－610．如图1－1－6，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，sin B ＝35，则AC 的长为( )A ．3B ．9C ．4D ．1211．如图1－1－7，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则AB 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 51－1－71－1－812．如图1－1－8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝15，则△ABC 的周长为________．13．如图1－1－9，A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值错误的是( )A.BD BC B.BC AB C.AD AC D.CD AC1－1－91－1－1014．如图1－1－10，以点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与点A ，B 重合)，连结PO ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)15．△ABC 在网格中的位置如图1－1－11所示(每个小正方形的边长均为1)，AD ⊥BC 于点D ，则下列选项中错误．．的是( )图1－1－11A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝116．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm17．课本例3变式如图1－1－12所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝20，S △ABC ＝1003 3，求cos B 及tan B 的值．图1－1－1218．如图1－1－13，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B.(1)求点B 的坐标；(2)求sin ∠BAO 的值．图1－1－1319．如图1－1－14，定义：在Rt △ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切，记作cot α，即cot α＝∠α的邻边∠α的对边＝AC BC.根据上述角的余切定义，解答下列问题：(1)cot 30°＝________；(2)已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值．图1－1－14第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数第2课时特殊锐角的三角函数值知识点1 特殊角的三角函数值的计算1．sin30°的值为( )A.12B.32C.22D.332．sin30°，cos45°，cos30°的大小关系是( )A．cos30°>cos45°>sin30°B．cos45°>cos30°>sin30°C．sin30°>cos30°>cos45°D．sin30°>cos45°>cos30°3．如图1－1－15①是一张直角三角形的纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个等边三角形，如图1－1－15②，那么在Rt△ABC中，sin B的值是( )图1－1－15A.1 2B.3 2C ．1 D.32 4．计算：(1)sin60°＋cos60°＝________；(2)sin45°cos45°＝________，sin60°cos60°＝________． 5．计算：(1)3cos30°＝________； (2)12＋2sin60°＝________． 6．求下列各式的值：(1)sin 260°＋cos60°－tan45°；(2)3sin60°－2cos45°＋38；(3)cos 245°＋tan60°cos30°＋cos 260°＋sin 260°.知识点2 由特殊角的三角函数值求角度 7．已知∠A 为锐角，sin A ＝22，则∠A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°8．在直角三角形中，2cos α＝3，则锐角α的度数是( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．以上都不对9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，则∠A 的度数为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. (1)若sin A ＝32，则∠A ＝________°，tan A ＝________； (2)若tan A ＝33，则∠A ＝________°，cos A ＝________． 11．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若sin A ＝32，cos B ＝12，则∠C ＝________°. 12．已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋(tan β－1)2＝0，则α＋β＝________°.知识点3 特殊角的三角函数值在实际生活中的应用图1－1－1613．图1－1－16是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是( )A.833 m B ．4 m C ．4 3 m D ．8 m图1－1－1714．如图1－1－17，一艘船向正北方向航行，在A 处看到灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B 点，在B 处看到灯塔S 在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行的过程中，距灯塔S 的最短距离是________海里(不作近似计算)．15．2017·滨州如图1－1－18，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( )图1－1－18A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 316．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A2＝________．17．一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如：sin 90°＝sin (60°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. 类似地，可以求得sin 15°的值是________．18．如图1－1－19，丁丁想在矩形AECF 中剪出梯形ABCD(如图中的阴影部分)，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE ，CD 的长(精确到个位，3≈1.7)．图1－1－1919．课本作业题第6题变式阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题：sin 30°＝12，cos 30°＝32，则sin 230°＋cos 230°＝________；①sin 60°＝32，cos 60°＝12，则sin 260°＋cos 260°＝________；③ …观察上述等式，猜想：对任意锐角∠A ，都有sin 2A ＋cos 2A ＝________．④(1)如图1－1－20，在Rt △ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想； (2)已知∠A 为锐角(cos A>0)且sin A ＝35，求cos A 的值．图1－1－2020．创新学习数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图1－1－21，将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一条直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．图1－1－21第1章解直角三角形1.2 锐角三角函数的计算知识点1 利用计算器求锐角的三角函数值1．用计算器求值(精确到0.0001)：sin63°52′41″≈________；cos15°22′30″≈________；tan19°15′≈________.2．比较大小：8cos31°________35.(填“＞”“＝”或“＜”)3．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝8 cm，∠B＝37°，则BC≈________(精确到0.01 cm)．知识点2 由三角函数值求锐角的度数4．用计算器求tan A＝0.5234中的锐角A(精确到1°)时，按键顺序正确的是( )A.tan0·5234＝B.0·5234＝SHIFT tan－1C.SHIFT tan－10·5234＝D.tan－1SHIFT0·5234＝5．用计算器求锐角α(精确到1″)：(1)sinα＝0.2476，α≈________；(2)cosα＝0.4174，α≈________；(3)tanα＝0.1890，α≈________．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)若AC＝5，BC＝12，则AB＝________，tan A＝________，∠A≈________(精确到1″)；(2)若AC＝3，AB＝5，则sin A＝________，tan B＝________，∠A≈________(精确到1″)，∠B≈________(精确到1″)．图1－2－17．如图1－2－1，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．知识点3 锐角三角函数在实际生活中的应用图1－2－28．如图1－2－2，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于( )A．a sin40°米 B．a cos40°米C．a tan40°米 D.atan40°米图1－2－39．2017·宁波如图1－2－3，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)10．如图1－2－4，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC＝20 m，求树高AB.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图1－2－411．如图1－2－5，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米．(结果取整数)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)图1－2－512．如图1－2－6，在Rt△ABO中，斜边AB＝1.若OC∥BA，∠AOC＝36°，则( )图1－2－6A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°13．若∠A是锐角，且cos A＝tan30°，则( )A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45°C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°14．如图1－2－7，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离；(结果取整数)(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，2≈1.41)图1－2－715．为倡导“低碳生活”，我们常选择以自行车作为代步工具，如图1－2－8①所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45 cm，60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°，其示意图如图1－2－8②.(1)求车架档AD的长；(2)求车座点E到车架档AB的距离．(结果精确到1 cm.参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732)图1－2－816．(1)通过计算(可用计算器)比较大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°；②sin36°________2sin18°cos18°；③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________2sin30°cos30°；⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：若0°<α<45°，则sin2α________2sin αcos α.(2)已知：如图1－2－9，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2α.请根据图中的提示，利用面积法检验你的结论．图1－2－9第1章 解直角三角形1.3 解直角三角形 第1课时 解直角三角形知识点 已知一边一角或两边解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．102．如图1－3－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( ) A.4 33B ．4C ．8 3D ．4 31－3－11－3－23．图1－3－2是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm4．2017·慈溪模拟在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝34，AB ＝5，则边AC 的长是( )A ．3B ．4 C.154 D.5 745．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，c ＝10，∠A ＝45°，则a ＝________，b ＝________，∠B ＝________°.6. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝6，b ＝2 3，则∠B 的度数为________．图1－3－37．如图1－3－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝37°，BC ＝32，则AC ＝________．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图1－3－48．如图1－3－4，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，BC ＝4 cm ，tan B ＝32，则△ABC 的面积是________cm 2.9．如图1－3－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，由下列条件解直角三角形．图1－3－5(1)∠A ＝60°，b ＝4； (2)a ＝13，c ＝23；(3)c ＝2 2，∠B ＝30°； (4)a ＝8，sin B ＝22.10．如图1－3－6，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC ＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)图1－3－611．等腰三角形的腰长为2 3，底边长为6，则底角等于( )A．30°B．45° C．60°D．120°12．如图1－3－7，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC边从点B向点C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，则BE＋CF的值( )A．不变 B．逐渐增大C．逐渐减小 D．先增大后减小1－3－71－3－813．如图1－3－8，在矩形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且FC＝2BF，连结AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是________．图1－3－914．如图1－3－9，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知折痕AE＝5 5 cm，且tan∠EFC＝34，那么矩形ABCD的周长为________cm.15．如图1－3－10，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC的值和点B到直线MC的距离．图1－3－1016．已知：等腰三角形ABC 中，AB ＝AC .(1)若cos B ＝13，且△ABC 的周长为24，求AB 的长；(2)若tan A ＝52，且BC ＝2 3，求AB 的长．17．为了解决停车难问题，交通部门准备沿宽12米、长60米的道路边规划停车位，按每辆车长5米、宽2.4米设计停车后，道路仍有不少于7米的路宽，以保证两车可以双向通过，如图1－3－11设计方案一：车位长边与路边夹角为45°；方案二：车位长边与路边夹角为30°.(1)请计算说明，两种方案是否都能保证通行要求？ (2)计算符合通行要求的方案中最多可以停多少辆车．图1－3－11第1章 解直角三角形1.3 解直角三角形 第2课时 坡度与圆弧问题知识点1 坡度问题图1－3－121．2017·温州如图1－3－12，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米2．如图1－3－13是某水库大坝横断面示意图．其中CD ，AB 分别表示水库上、下底面的水平线，∠ABC ＝120°，BC 的长是50 m ，则水库大坝的高度h 是( )A ．25 3 mB ．25 mC ．25 2 m D.50 33m1－3－131－3－143．如图1－3－14是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( )A ．4 3米B ．6 5米C ．12 5米D ．24米4．如图1－3－15，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了________米．1－3－151－3－165．如图1－3－16，小明爬一土坡，他从A 处到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他距离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝________°.6．2017·萧山区期中如图1－3－17，水库大坝截面的迎水坡坡比(DE 与AE 的长度之比)为1∶0.6，背水坡坡比为1∶2，大坝高DE ＝30米，坝顶宽CD ＝10米，求大坝截面的周长和面积．图1－3－17知识点2 解直角三角形在圆(弧)中的应用图1－3－187．如图1－3－18，秋千链子的长度OA ＝3 m ，静止时秋千踏板处于A 位置，此时踏板距离地面0.3 m ，秋千向两边摆动．当踏板处于A ′位置时，摆角最大，即∠AOA ′＝50°，则在A ′位置，踏板与地面的距离约为________．(sin50°≈0.766，cos50°≈0.6428，结果精确到0.01 m)8．如图1－3－19是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD ＝24 m ，OE ⊥CD 于点E ，已测得sin ∠DOE ＝1213.(1)求半径OD ；(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？图1－3－19图1－3－209．如图1－3－20，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )A．2 3 m B．2 6 mC．(2 3－2)m D．(2 6－2)m10．2017·淮安A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图1－3－21所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝20 km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少．(结果精确到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图1－3－2111．如图1－3－22，一楼房AB后有一假山，其坡度i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房的水平距离BC＝25米，与亭子的距离CE＝20米．小丽从楼房顶(点A)测得点E的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)图1－3－2212．如图1－3－23是一副创意卡通圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可以绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10 cm.(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm)(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01 cm)(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)图1－3－23第1章解直角三角形第3课时方位角与仰角、俯角问题知识点1 方向角问题图1－3－241．如图1－3－24，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB是( )A．2海里 B．2sin55°海里C．2cos55°海里 D．2tan55°海里2．2017·泸州如图1－3－25，海中一渔船在A处且与小岛C相距70 n mile，若该渔船由西向东航行30 n mile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上．求该渔船此时与小岛C之间的距离．图1－3－253．如图1－3－26，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时岛C与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求岛C与B处之间的距离(结果保留根号)．图1－3－26知识点2 仰角与俯角问题4．如图1－3－27，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道(B ，C 在同一水平面上)，为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( )A ．100 3 mB ．50 2 mC ．50 3 m D.100 33m1－3－271－3－285．如图1－3－28，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼的水平距离为120 m ，这栋高楼BC 的高度为( )A ．40 3 mB ．80 3 mC ．120 3 mD ．160 3 m6．天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图1－3－29，从位于天封塔的观测点C 测得两建筑物底部A ，B 的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度CD 为51米，A ，B 两点在CD 的两侧，且点A ，D ，B 在同一水平线上，求A ，B 之间的距离．(结果保留根号)图1－3－297．2017·广安如图1－3－30，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A，D.从D点测得B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米．(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.图1－3－308．2017·重庆如图1－3－31，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)( )A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米1－3－311－3－329．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪声．如图1－3－32，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？________(填“需要”或“不需要”)．(3取1.732)10．课本作业题第2题变式2017·绍兴如图1－3－33，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m.(1)求∠BCD的度数；(2)求教学楼的高BD(结果精确到0.1 m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)．图1－3－3311．创新学习某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离．测量方案如下：如图1－3－34，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用测倾器测得“乡思柳”顶端M的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米；然后，小军在A处蹲下，用测倾器测得“乡思柳”顶端M的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上所测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米)．(参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452)图1－3－34。
2022-2023学年浙教版九年级数学下册《1-3解直角三角形》同步达标测试题(附答案)
2022-2023学年浙教版九年级数学下册《1.3解直角三角形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．某人沿着坡度为1：2的山坡前进了100米，则此人所在的位置升高了（）A．100米B．50米C．50米D．2．如图，一块矩形薄木板ABCD斜靠在墙角MON处（OM⊥ON，点A，B，C，D，O，M，N在同一平面内），已知AB＝m，AD＝n，∠ADO＝α．则点B到ON的距离等于（）A．m•cosα+n•cosαB．m•sinα+n•cosαC．m•cosα+n•sinαD．m•sinα+n•sinα3．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B 处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离为（）A．海里B．海里C．40海里D．海里4．某公司准备从大楼点G处挂一块大型条幅到点E，公司进行实地测量，工作人员从大楼底部F点沿水平直线步行40米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端点E 的仰角为36°；然后他再沿着坡度i＝1：0.75长度为50米的自动扶梯到达扶梯顶端D 点，又沿水平直线行走了80米到达C点，在C点测得条幅上端点G的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且C，D和A，B，F分别在同一水平线上），则GE的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）A．189.3米B．178.5米C．167.3米D．188.5米5．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行30km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行20km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B 之间的距离为（）A．20km B．km C．km D．km 6．如图，某校教学楼AB与CD的水平间距BD＝am，在教学楼CD的顶部C点测得教学楼AB的顶部A点的仰角为α，测得教学楼AB的底部B点的俯角为β，则教学楼AB的高度是（）A．（a tanα+a tanβ）m B．C．（a sinα+a sinβ）m D．（a cosα+a cosβ）m7．如图，一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船与灯塔C距离为（）海里．A．4B．8C．16D．248．如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图．其中AB段是助滑坡，倾斜角∠1＝37°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆坡，倾斜角∠2＝30°，sin37°≈0.6，cos37°＝0.8．若整个赛道长度（包括AB、BC、CD段）为270m，平台BC的长度是60m，整个赛道的垂直落差AN是114m．则AB段的长度大约是（）A．80m B．85m C．90m D．95m二．填空题（共8小题，满分32分）9．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）10．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为千米．11．为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24m，∠BAC＝66.5°，则这棵古杉树AB的长为m．（结果取整数）（参考数据：＝1.414，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）12．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．则该电线杆PQ的高度是（结果可保留根号）13．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10.8米，灯杆AB的长为2.4米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，灯亮时其投射角α满足cosα＝，灯罩上装有自动控制旋钮用以调整灯罩方位，初始状态下，灯的投射区域为DE，D 处测得路灯A的仰角为β，且tanβ＝6，若调整灯罩旋钮使点D沿DE方向移动2米，则点E移动的距离为米．14．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点B处，底端落在水平地面的点A处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，且sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了米．15．如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD＝8cm，∠CDE＝60°，则点C到底座DE的距离为cm．（结果保留根号）16．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．三．解答题（共6小题，满分56分）17．某初中数学兴趣小组想测量学校旗杆CD的高度，他们在地面上选取了一个测量点A 测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿AC方向移动43.7m到达测量点B，在B点测得（参考数据：sin37°点D的仰角为37°，如图所示．求旗杆CD的高度．（结果精确到0.1m）≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）18．如图，一艘轮船位于灯塔P东偏南25°方向，与灯塔距离为80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东30°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离（结果取整数）．（参考数据：sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，≈1.732）19．如图，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿线段BC以2cm/s 的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以3cm/s的速度向终点B 运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．（1）求sin B；（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．20．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）21．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）22．如图，小谢想测某楼的高度，她站在B点从A处望向三楼的老田（D），测得仰角∠DAG 为30°，接着她向高楼方向前进1m，从E处仰望楼顶F，测得仰角∠FEG为45°，已知小谢身高（AB）1.7m，DF＝6m．（参考数据：≈1.7，≈1.4）（1）求GE的距离（结果保留根号）；（2）求高楼CF的高度（结果保留一位小数）．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：设此人所在的位置升高了x米，∵斜坡的坡度为1：2，∴此人前进的水平距离为2x米，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（100）2，解得：x＝100（负值舍去），∴此人所在的位置升高了100米，故选：A．2．解：如图，作BE⊥OA交OA的延长线于点E，∵OD⊥OA，∴∠AEB＝∠AOD＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝n，∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠OAD＝∠ADO＝α，∵＝cos∠BAE＝cosα，∴AE＝AB•cosα＝m•cosα，∵＝sin∠ADO＝sinα，∴OA＝AD•sinα＝n•sinα，∴OE＝AE+OA＝m•cosα+n•sinα，∵BE∥ON，∴点B、点E到ON的距离相等，∴点B到ON的距离等于m•cosα+n•sinα，故选：C．3．解：如图，过点B作BN⊥AM于点N，由题意得，AB＝40×1＝40海里，∠ABM＝105°，在直角三角形ABN中，BN＝AB•sin45°＝20（海里），在直角△BNM中，∠MBN＝105°﹣45°＝60°，∴∠M＝30°，∴BM＝2BN＝40（海里）．故选：D．4．解：过D作DM⊥AB于M，DN⊥GE于N，如图所示：则四边形DMFN是矩形，∴NF＝DM，DN＝FM，∵AD的坡度i＝1：0.75，AD＝50米，∴NF＝DM＝AD＝40（米），AM＝AD＝30（米），∴DN＝FM＝AF+AM＝40+30＝70（米），∴CN＝CD+DN＝80+70＝150（米），在Rt△CGN中，∠GCN＝50°，tan∠GCN＝＝tan50°≈1.19，∴GN≈1.19CN＝1.19×150＝178.5（米），∴GF＝GN+NF＝178.5+40＝218.5（米），在Rt△AEF中，∠EAF＝36°，tan∠EAF＝＝tan36°≈0.73，∴EF≈0.73×40＝29.2（米），∴GE＝GF﹣EF＝218.5﹣29.2≈189.3（米），故选：A．5．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：∵∠ABC＝90°，∴四边形BCFE是矩形，∴EF＝BC＝30km，CF＝BE，由题意得：∠DCF＝60°，∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∴∠CDF＝90°﹣60°＝30°，∴CF＝CD＝×20＝10（km），∴BE＝10km，DF＝sin60°×CD＝×20＝10（km），∴DE＝DF+EF＝（10+30）（km），∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan30°×DE＝×（10+30）＝（10+10）（km），∴AB＝AE+BE＝10+10+10＝（10+20）（km），故选：B．6．解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意得：CE＝BD＝a米，在Rt△BEC中，∠BCE＝β，∴BE＝CE•tan∠BCE＝a tanβ米，在Rt△AEC中，∠ACE＝α，∴AE＝CE•tan∠ACE＝a tanα米，∴AB＝AE+BE＝（a tanα+a tanβ）米，故选：A．7．解：由题意得，∠BAC＝42°，∠BCA＝84°﹣42°＝42°，AB＝8海里，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝8海里，即船与灯塔C距离为8海里．故选：B．8．解：过点C作CH⊥DN于H，设AB＝xm，则CD＝270﹣60﹣x＝（210﹣x）m，在Rt△CDH中，∠2＝30°，则CH＝CD＝（210﹣x）m，在Rt△ABM中，sin∠1＝，则AM＝AB•sin∠1≈0.6xm，由题意得：（210﹣x）+0.6x＝114，解得：x＝90，即AB＝90m，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57米，DE＝30米，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30米，∵AB＝57米，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30米，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30米．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝（57﹣30）米，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．10．解：如图，过该建筑物的顶端C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意得，∠CAB＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝15°，∴∠ACB＝∠CAB，∴BC＝AB＝4千米，在Rt△BCD中，sin30°＝，解得CD＝2，∴该建筑物离地面的高度为2千米．故答案为：2．11．解：过B点作BD⊥AC于D．∵∠ACB＝45°，∠BAC＝66.5°，∴在Rt△ADB中，AD＝，在Rt△CDB中，CD＝BD，∵AC＝AD+CD＝24m，∴+BD＝24，解得BD≈17m．AB＝≈18m．答：这棵古杉树AB的长度大约为18m．故答案为：18．12．解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．在直角△APE中，∠A＝45°，则AE＝PE＝x米；∵∠PBE＝60°∴∠BPE＝30°在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，∵AB＝AE﹣BE＝6米，则x﹣x＝6，解得：x＝9+3．则BE＝（3+3）米．在直角△BEQ中，QE＝BE＝（3+3）＝（3+）米．∴PQ＝PE﹣QE＝9+3﹣（3+）＝6+2≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．13．解：如上图所示，灯罩调整后，灯光在地面的落点E移动到E′的位置，过A点做AD′⊥CE，过B点做BM⊥AD′，易求出AM＝AB•sin30°＝1.2，则AD′＝10.8+1.2＝12（米），DD′＝AD′÷tanβ＝12÷6＝2，有题意得点D沿DE方向移动2米，即AD′⊥CE，同时D′点也是D点移动后的位置，则AD2＝AD′2+DD′2＝122+22＝148，AD＝2，在△ADE中，过E点做EH⊥AD，设DE的长度为x，则：x•cosβ+x•sinβ÷tanα＝AD（由tanβ＝6，可得cosβ＝，sinβ＝；由cosα＝知tanα＝）解得：x＝＝DE，灯罩移动后，投射角α＝∠D′AE′，在RT△AD′E′中，D′E′＝AD′•tanα＝12•＝16，EE′＝DE′﹣DE＝DD′+D′E﹣DE＝2+16﹣＝（米），故答案是．14．解：如图，由题意可知，∠ACB＝90°，AB＝ED＝10，由＝sinα＝＝cosβ＝，设BC＝3m，则AB＝5m，则5m＝10，解得m＝2，∴BC＝3×2＝6，设EC＝3n，则ED＝5n，∴5n＝10，解得n＝2，∴EC＝3×2＝6，∴DC＝＝＝8，∴BD＝DC﹣BC＝8﹣6＝2（米），∴梯子顶端上升了2米，故答案为：2．15．解：作CH⊥DE于H，∵CD＝8cm，∠CDE＝60°，∴CH＝CD•sin∠CDE＝8×sin60°＝4（cm），故答案为：4．16．解：在直角三角形中，sin A＝，则BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701m，则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，＝0.801≈0.8（m），故答案为：0.8．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：设BC＝xm，在Rt△BCD中，∠DBC＝37°，∴DC＝BC•tan37°≈0.75x（m），∵AB＝43.7m，∴AC＝BC+AB＝（x+43.7）m，在Rt△ADC中，∠DAC＝26.6°，∴tan26.6°＝＝≈0.50，∴x＝87.4，经检验：x＝87.4是原方程的根，∴CD＝0.75x≈65.6（m），∴旗杆CD的高度约为65.6m．18．解：延长BA交灯塔P正东方向于C，如图所示：则∠BCP＝90°，∠BPC＝90°﹣30°＝60°，∴∠PBC＝90°﹣60°＝30°，在Rt△ACP中，∠APC＝25°，cos∠APC＝，即cos25°＝，∴PC＝80×cos25°≈80×0.906＝72.48（nmile），在Rt△BCP中，∠PBC＝30°，∴BP＝2PC＝2×72.48≈145（nmile），答：此时轮船所在B处与灯塔P的距离约为145nmile．19．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝3cm，AD⊥BC，∴BD＝BC＝2cm，在Rt△ABD中，AB＝3cm，BD＝2cm，∴AD＝＝＝，∴sin B＝＝；（2）过点Q作QE⊥BC，垂足为E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴sin B＝sin C＝，分两种情况：当0＜t≤1时，由题意得：CQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝4﹣2t，在Rt△CQE中，QE＝CQ sin C＝3t•＝t，∴S＝CP•QE＝•（4﹣2t）•t＝2t﹣t2＝﹣t2+2t，当1＜t＜2时，由题意得：CA+AQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝4﹣2t，BQ＝AB+AC﹣（CA+AQ）＝6﹣3t，在Rt△BQE中，QE＝BQ sin B＝（6﹣3t）•＝2﹣t，∴S＝CP•QE＝•（4﹣2t）•（2﹣t）＝t2﹣4t+4，∴S＝．20．解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，在Rt△AEM中，∵tan∠AEM＝，∴EM＝＝≈16.9，在Rt△AFN中，∵tan∠AFN＝，∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，答：2号楼的高度约为45.8米．21．解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1：＝＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米），即点B距水平地面AE的高度为5米；（2）在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米）＝NE，AM＝AB＝5（米），∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，∵∠CBN＝45°，∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），即广告牌CD的高度约为6.7米．22．解：（1）设GE＝xm，∵∠EGF＝90°，∠FEG＝45°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴FG＝EG＝xm，在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，AG＝EG+AE＝（x+1）m，∵tan∠DAG＝＝tan30°＝，∴DG＝AG＝（x+1）m，∵FG﹣DG＝DF，∴x﹣（x+1）＝6，解得：x＝，答：GE的距离为m；（2）由（1）得：FG＝GE＝m，∵GC＝AB＝1.7m，∴CF＝FG+GC＝+1.7≈17.2（m），答：高楼CF的高度约为17.2m．。
春九年级数学下册1.3解直角三角形同步练习新版浙教版0418138【含解析】
18. △ABC 中，∠C = 90◦ ，∠A = 30◦ ，AC =
3，则 AB 的长为
． 米
19. 如图，在地面上的点 A 处测得树顶 B 的仰角为 α 度，AC = 7 米，则树高 BC 为 （用含 α 的代数式表示） ．
20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90◦ ，CD ⊥ AB ，tan ∠BCD = 则 BC = ．
二、填空题 16. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成 30◦ 角时，测得旗杆 AB m． （结果保留 3 个有效 在地面上的投影 BC 长为 24m，则旗杆 AB 的高度约是 √ 数字， 3 ≈ 1.732）
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17. 如图，一滑梯 AB 的坡比为 3 : 4，若滑梯 AB 的长为 10 m，则滑梯的顶端离地 面的距离 BE = m． √
A. 3.5 m
B. 3.6 m
C. 4.3 m
D. 5.1 m
8. 如图，直角三角板 ABC 的斜边 AB = 12 cm，∠A = 30◦ ，将三角板 ABC 绕点 C 顺时 针旋转 90◦ 至三角板 A′ B ′ C ′ 的位置后，再沿 CB 方向向左平移，使点 B ′ 落在原三角板 ABC 的斜边 AB 上，则三角板 A′ B ′ C ′ 平移的距离为( ) Ä Ä √ ä √ ä D. 4 3 − 6 cm A. 6 cm B. 6 − 2 3 cm C. 3 cm
C. 乙的最低
4 13. 如图，在菱形 ABCD 中，DE ⊥ AB ，cos A = ，BE = 1，则 tan ∠DBE 的值是( √5 √ 1 5 5 A. B. C. D. 3 2 5 3 ) 14. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90◦ ，若 AB = 4，sin A = ，则斜边上的高等于( 5 64 48 16 12 A. B. C. D. 25 25 5 5 15. 如图，在 △ABC 中，AB = 3，AC = 2．当 ∠B 最大时，BC 的长是 ( √ √ A. 1 B. 5 C. 13 D. 5 )
2019-2020学年度最新浙教版九年级数学下册单元考点练习《解直角三角形》及答案解析三
1.3 解直角三角形同步练习一、单选题1、如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm；②EB=1cm；③S菱形ABCD=15cm2A、3个B、2个C、1个D、0个2、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（）A、2B、4C、8D、83、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A、mB、4 mC、mD、8 m4、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝， BE=2，则tan∠DBE的值（）A、B、2C、D、5、如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（）A、B、C、D、6、在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是A、B、C、D、7、某水坝的坡度i＝1:，坡长AB＝20米，则坝的高度为( )A、10米B、20米C、40米D、20米8、一斜坡长为米，高度为1米，那么坡比为（）A、1：3B、1：C、1：D、1：9、如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，若∠a=75°，则b的值为 ( )A、3B、C、D、10、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC的最小值为A、B、C、D、211、在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=， cosB=， AC=40，则△ABC的面积是（）A、800B、800C、400D、40012、如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A、3B、4C、5D、613、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A、B、C、D、14、一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）A、75cm2B、（25+25）cm2C、（25+）cm2D、（25+）cm215、如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A、B、C、D、3二、填空题16、在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，若sinC=，则BC的长度为________17、已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是________．18、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5cm， AP＝8cm， AP平分∠DAB，交DC于点P，过点B作BE⊥AD于点E，BE交AP于点F，则tan∠BFP ＝________19、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=________20、如图，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD边上一点，沿AE折叠△ADE，使点D恰好落在BC边上的F处，M是AF的中点，连接BM，则sin∠ABM=________．三、解答题21、如图，矩形ABCD的对角线AC.BD相交于点O ，过点O作OE⊥AC交AD于E ，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．22、如图的斜边AB=5，cosA=（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线与AB，AC分别相交于D,E两点，求DE的长23、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB ，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3 ．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）24、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．25、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，点C是抛物线在第一象限内部分的一个动点，点D是OC的中点，连接BD并延长，交AC于点E.（1）说明：；（2）当点C、点A到y轴距离相等时，求点E坐标. （3）当的面积为时，求的值.答案部分一、单选题1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】B4、【答案】B5、【答案】A6、【答案】C7、【答案】A8、【答案】A 9、【答案】C 10、【答案】B 11、【答案】D 12、【答案】B 13、【答案】A 14、【答案】C 15、【答案】B二、填空题16、【答案】10 17、【答案】18、【答案】19、【答案】20、【答案】三、解答题21、【答案】解：连接EC ，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC ，∠ABC=90°，利用勾股定理得：AC= =10，即OA=5，∵OE⊥AC ，∴AE=CE ，在Rt△EDC中，设EC=AE=x ，则有ED=AD-AE=8-x ， DC=AB=6，根据勾股定理得：x2=（8-x）2+62，解得：x= ，∴AE= ，在Rt△AOE中，sin∠OEA= ．22、【答案】解：（1）作图（2）因为直线垂直平分线段AC，所以CE=AE，又因为BC AC，所以DE//BC，所以DE=BC．因为在中，AB=5，cosA=，所以AC=ABcosA=,BC=4得DE=2．23、【答案】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB ，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i= ：3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，BD= 米，∴AD=BD-AB=（10 -10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．24、【答案】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADE=∠B，在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，∴AB=13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC=AD+CD=12，∴，解得，∴．25、【答案】解：(1)令y=0,则有-x2+2x+8=0. 解得：x1=-2，x2=4∴OA=2，OB=4.过点O作OG∥AC交BE于G∴△CEG∽△OGD∴∵DC=DO∴CE=0G∵OG∥AC∴△BOG∽△BAE∴∵OB=4,OA=2∴;(2)由（1）知A（-2，0），且点C、点A到y轴的距离相等，∴C（2，8）设AC所在直线解析式为：y=kx+b把 A 、C两点坐标代入求得k=2，b=4所以y=2x+4分别过E、C作EF⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为F、H由△AEF∽△ACH可求EF=，OF=, ∴E点坐标为（，）（3）连接OE∵D是OC的中点，∴S△OCE=2S△CED∵S△OCE:S△AOC=CE:CA=2:5∴S△CED：S△AOC=1：5．∴S△AOC=5S△CED=8∴∴CH=8。
初中数学浙教版九年级下册1.3解直角三角形(3)同步训练C卷
初中数学浙教版九年级下册1.3 解直角三角形（3）同步训练C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、基础夯实 (共10题；共29分)1. （2分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（）A . 800sinα米B . 800tanα米C . 米D . 米2. （2分）某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树顶的仰角为60°，已知这段山坡的坡角为30°，如果树高为15米，则山高为（）（精确到1米，＝1.732）.B . 1014米C . 805米D . 820米3. （2分）数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意国如图所示，在处没得旗杆顶端的仰角为，到旗杆的距离为米，测角仪的高度为米，设旗杆的高度为米，则下列关系式正确的是（）A .B .C .D .4. （2分）如图，小明站在自家阳台上A处观测到对面大楼底部C的俯角为a，A处到地面B处的距离AB=35m，则两栋楼之间的距离BC(单位：m）为（）A . 35tanαC .D .5. （2分）在距离大足城区的1.5公里的北山之上，有一处密如峰房的石窟造像点，今被称为北山石窟.北山石窟造像在两宋时期达到鼎盛，逐渐都成了以北山佛湾为中心，环绕营盘坡、佛耳岩，观音坡、多宝塔等多处造像点的大型石窟群.多宝塔，也称为“白塔”“北塔”，于岩石之上，为八角形阁式砖塔，外观可辨十二级，其内有八层楼阁，可沿着塔心内的梯道逐级而上，元且期间，小华和妈妈到大足北山游玩，小华站在坡度为l＝1：2的山坡上的B点观看风景，恰好看到对面的多宝培，测得眼睛A看到塔顶C的仰角为30°，接着小华又向下走了10 米，刚好到达坡底E，这时看到塔顶C的仰角为45°，若AB＝1.5米，则多宝塔的高度CD约为（）（精确到0.1米，参考数据≈1.732）A . 51.0米B . 52.5米C . 27.3米D . 28.8米6. （2分）如图，斜坡AB坡度为1：2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼EF，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼EF的高度是（）（精确到米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，≈1.73）A . 125米B . 105米C . 85米D . 65米7. （1分）如图，在地面上离旗杆底部米的处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，若测角仪的高度为米，则旗杆的高为________米．（结果保留根号）8. （1分）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD=9.6m，则旗杆AB的高度为________m．9. （5分）如图，在数学活动课中，小明为了测量校园内旗杆AB的高度在地面上D处测得国旗顶部A点即旗杆顶端和国旗底部C点的仰角分别为和，已知国旗的旗面高度，求旗杆AB高度参考数据：，，10. （10分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）二、提高特训 (共7题；共31分)11. （2分）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A . 47mB . 51mC . 53mD . 54m12. （2分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（）A . 160米B . （60+160 ）C . 160 米D . 360米13. （1分）如图，在楼顶点处观察旗杆测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部的俯角为45°.已知楼高m，则旗杆的高度为________．（结果保留根号）14. （1分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为________米结果保留根号．15. （5分）如图，线段AB，DC分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC于点B，DC⊥BC 于点C，从点C测得A点的仰角α为60°，从D点测得A点的仰角β为30°，已知乙建筑物高DC＝30m，求甲建筑物的高AB.16. （10分）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）17. （10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα=6．求灯杆AB的长度．参考答案一、基础夯实 (共10题；共29分)1-1、2-1、3-1、3-2、4-1、4-2、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、10-2、二、提高特训 (共7题；共31分) 11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、17-1、。
九年级数学解直角三角形同步练习题(含答案)
九年级数学解直角三角形同步练习题（含答案）一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.若角α的余角是30∘，则cosα的值是()A. 12B. √32C. √22D. √332.在Rt▵ABC中，∠C=90∘，sinA=35，则cosB的值是()A. 45B. 35C. 34D. 433.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=45，则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 44.已知a，b，c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且a：b：c=1：√2：√3，则cos B的值为()A. √63B. √33C. √22D. √245.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定6.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是()A. tan55°=B. tan55°=C. sin55°=D. cos55°=7.如图，已知点A、点B是同一幢楼上的两个不同位置，从A点观测标志物C的俯角是65°，从B点观测标志物C的俯角是35°，则∠ACB的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 65°8.在Rt△ABC中，已知∠C=90∘.若AC=2BC，则sin∠A的值是()A. 12B. 2 C. √55D. √529.△ABC中，∠C=90°，若∠A=2∠B，则cosB等于()A. √3B. √33C. √32D. 1210.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=2√3，∠B=30°，S△ABC=10√3，则tanC的值为()A. 13B. 12C. √33D. √3211.在Rt△ABC中，∠C=90，AC=12，cosA=1213，则tanA等于()A. 513B. 1312C. 125D. 51212.如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为()A. 12B. √22C. 1D. √213.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是()A. 42√3米B. 14√3米C. 21米D. 42米14.如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为()A. 13B. √1010C. 12D. √2215.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值()A. 不变B. 缩小为原来的13C. 扩大为原来的3倍D. 扩大为原来的9倍二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）16.计算：√27+(13)−2−3tan60°+(π−√2)0=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.如图，在A的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A沿着北偏东55°方向巡逻，到达C时接到命令，立刻从C沿南偏东60°方向以20海里/小时的速度航行，从C到B航行了3小时．求A，B间的距离(结果保留整数).(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，√3≈1.73)四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）18.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长(结果取整数)．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．19.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10,0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．(1)求点B的坐标；(2)求tan∠BAO的值．)−1+√18−6sin45°．20.计算：(1221.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(√3取1.7)．22.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA=3．5(1)求CD的长；(2)求tan∠DBC的值．1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】解：因为角α的余角是30∘，所以α=90°−30°=60°，则．故选A．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=，故选：B．3.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，cosA=45，∴AB=ACcosA=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵∠DBC=∠A．∴cos∠DBC=cosA=BCBD =45，∴BD=3×54=154，故选：C．在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．4.【答案】B【解析】解：∵，∴△ABC为直角三角形．cosB==．故选：B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，∴ACAB =AC5=45，∴AC=4，∴BC=√AB2−AC2=3，∵r=3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．6.【答案】B【解析】【解析】解：∵在Rt△ADE中，DE=6，AE=AB−BE=AB−CD=x−1，∠ADE=55°，∴sin55°=，cos55°=，tan55°=，故选：B．7.【答案】B【解析】【解析】解：根据题意可知：∠ACD=65°，∠BCD=35°，∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=30°．故选：B．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了锐角三角函数的求法，属于基础题．可先求出斜边AB，然后根据正弦的定义求出角A的正弦即可．【答案】解：∵AC=2BC，由勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=√(2BC)2+BC2=√5BC，∴sin∠A=BCAB =√5=√55，故选C．9.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A=2∠B，∴∠B=30°，∴cosB=cos30°=√32，故选：C．根据直角三角形的性质求出∠B，根据30°的余弦值是√32解答．本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵在△ABD中，∠ADB=90°，AD=2√3，∠B=30°，∴BD=ADtanB =√3√33=6．∵S△ABC=12BC⋅AD=10√3，∴12BC⋅2√3=10√3，∴BC=10，∴CD=BC−BD=10−6=4，∴tanC=ADCD =2√34=√32．故选：D．首先解直角△ABD，求得BD，再根据S△ABC=10√3，求出BC，那么CD=BC−BD，然后在直角△ACD中利用正切函数定义即可求得tanC的值．本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义，解题的关键是求出CD的长．【解析】解：∵cosA=ACAB =1213，AC=12，∴AB=13，BC=√AB2−AC2=5，∴tanA=BCAC =512．故选：D．根据cosA=1213求出第三边长的表达式，求出tanA即可．本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．12.【答案】B【解析】解：连接BC，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB=√5，BC=√5，AC=√10，∵(√5)2+(√5)2=(√10)2，∴△ABC是直角三角形，∴cos∠BAC=ABAC =√5√10=√22，故选：B．根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求得cos∠BAC的值．本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理，解答本题的关键是明确题意，判断出△ABC 的形状，利用锐角三角函数解答．13.【答案】A【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42√3(米)故选：A．在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．本题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【解析】【分析】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形．作AH⊥CB，交CB延长线于H点，∠ACB的正切值是AH与CH的比值．【解答】解：如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，则tan∠ACB=AHHC =26=13．故选A．15.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质解答．【解答】解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．16.【答案】10【解析】解：原式=3√3+9−3√3+1=10．故答案为：10．直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知：∠ACD=55°，∠BCD=60°，BC=20×3=60(海里)，BC=30(海里)，BD=30√3(海里)，在Rt△BCD中，CD=12在Rt△ADC中，AD=CD⋅tan55°=30×1.43≈42.90(海里)，∴AB=AD+BD=42.90+30√3≈95(海里)．答：A，B间的距离为95海里．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，根据三角函数分别求出CD、BD、AD的长，进而可求出A、B间的距离．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的定义．18.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵∠ACB=45°，∴AD=CD，设AB=x，在Rt△ADB中，AD=AB⋅sin58°≈0.85x，BD=AB⋅cos58°≈0.53x，又∵BC=221，即CD+BD=221，∴0.85x+0.53x=221，解得，x≈160，答：AB的长约为160m．【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．19.【答案】解：(1)如图，过点B作BH⊥OA于点H，∵OB=5，sin∠BOA=，∴BH=3，OH=4，∴点B的坐标为(4,3)，(2)∵OA=10，∴AH=OA−OH=10−4=6，∴在Rt△AHB中，tan∠BAO===．【解析】解答案20.【答案】解：(12)−1+√18−6sin45°=2+3√2−6×√2 2=2+3√2−3√2=2．【解析】首先计算负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21.【答案】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形．∴CE=AB=12m．在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE，CE∴BE=CE⋅cot30°=12×√3=12√3．在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=12√3．∴CD=CE+DE=12(√3+1)≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．22.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=6，cosA=3，5∴AD=AE=10，cosA∴DE=√AD2−AE2=√102−62=8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD=DE=8；(2)由(1)AD=10，DC=8，∴AC=AD+DC=18，在△ADE与△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，即8BC=618,BC=24，∴tan∠DBC=CDBC =824=13．【解析】(1)在Rt△ADE中，根据余弦函数的定义求出AD，利用勾股定理求出DE，再由角平分线的性质可得DC=DE=8；(2)由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18.由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=13．本题考查了解直角三角形，角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，求出DE是解第(1)小题的关键；求出BC是解第(2)小题的关键．。
浙教版九年级数学下册试1.3：《解直角三角形》综合练习
《解直角三角形》综合练习3一、选择题1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D′处，那么tan ∠BAD′等于（ ） ． (A)．1 (B)．2 (C)．22 (D)．222、如果α是锐角，且54cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）1213 （C ）1013 （D ）5124、. 以下不能构成三角形三边长的数组是（ ）． （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52）5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot =6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α,AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）5167、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美A BCDE ︒15020米30米化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）α的度数为（ ）． （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是（ ）． （A ）135（B ）1312 （C ）125 （D ）51210、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． （A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）1二、填空题11、如图，在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝22， 则BC ＝ 12、如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。
浙教版数学九年级下册《解直角三角形》课堂练习
《解直角三角形》课堂练习一、选择题1．在ABC Rt ∆中，c b a C 、、,90ο=∠分别是C B A ∠∠∠、、的对边，下列关系式中错误的是（ ）A ．B b cos = B ．B a b tan =C ．A c a sin =D ．B b a cot = 2．如图，在ABC Rt ∆中，CD 为斜边AB 上的高，已知AD ＝8，BD ＝4，那么) (tan =AA ．22 B ．32 C ．42 D ．823．如图，在四边形ABCD 中，,3,2,90,60===∠=∠=∠CD BC D B A οο则AB ＝（ ）A ．4B ．5C ．32D ．3384．下列结论中，不正确的是（ ）A ．0241cos 7348sin '<'οοB ．1cos sin ,9022=+=∠A AC ABC Rt 则中，ο∆ C ．B B B C ABC Rt cos sin cot ,90==∠则中，ο∆D ．BbAB C ABC Rt sin ,90==∠则中，ο∆ 5．在) (tan ,1312cos ,12,90等于则中，A A AC C ABC Rt ===∠∆ο A ．135 B ．1213 C ．512 D ．125 6．在C B A c b a C ABC ∠∠∠=∠、、分别是中，,,,,90ο∆的对边，则有（ ）A ．A a b tan ⋅=B ．A c b sin ⋅=C ．B c a cos ⋅=D ．A a c sin ⋅= 7．在ABC Rt ∆中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值（ ）A ．都没有变化B ．都扩大2倍C ．都缩小2倍D ．不能确定二、填空题1． 在直角三角形ABC 中（︒=∠90C ）. （1）若已知a 、A ，则______;_____,==c b （2）若已知b 、A ，则______;_____,==c a （3）若已知a 、B ，则______;_____,==c b （4）若已知b 、B ，则______;_____,==c a （5）若已知c 、A ，则______;_____,==b a （6）若已知c 、B ，则______;_____,==b a （7）若已知a 、b ，则______;tan _____,==A c （8）若已知a 、c ，则______;sin _____,==A b （9）若已知b 、c ，则______;cos _____,==A a2．在ABC ∆中，︒=∠90C ，试根据下表中给出的两个数值，填出其他元素的值：a b c A B （1） 4 60° （2）3 45° （3） 35 5（4）6263．在ABC ∆中，_________,32sin ,4,90====∠AB A BC C 则ο.4．如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线交点，BD AE ⊥于点E ，若.________cm DE cm,3,2:1:===则AE OD OE5．在ABC Rt ∆中，,23,2,90===∠BC AB C ο那么BC 这上的高AE ＝_________.6．如图，已知ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么PQB ∠tan 的值为_________.参考答案一、选择题1．A 2．A 3．D 4．D 5．D 6．C 7．A 二、填空题 1．BbB b B a B a A b A b A a A a sin ,cot )4(;cos ,tan )3(;cos ,tan )2(;sin ,cot )1( .,)9(;,)8(;,)7(;sin ,cos )6(;cos ,sin )5(222222cbb c c a a c b a b a B c B c A c A c --+2．.45,45,6)4(;30,60,10)3(;45,23,3)2(;30,32,2)1(︒︒︒︒︒︒ 3．6 4．3 5．336．32-.初中数学试卷。
春九年级数学下册1解直角三角形同步练习新版浙教版031518【含解析】
C. 76◦ C D. 85◦ C 3 ) 3. 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90◦ ，若 AB = 5，sin A = ，则 AC 的长是( 5 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 若 tan α = 11.43，则 α 的度数是 ( A. 35◦ C B. 48◦ C
)
4. 如图，点 A 为 ∠α 边上任意一点，作 AC ⊥ BC 于点 C ，CD ⊥ AB 于点 D，下列用线段比表 示 cos α 的值，错误的是( ) BD BC AD CD A. B. C. D. BC AB AC AC 5. 如图，A 、B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与 A 同侧的河岸边选定一 点 C ，测出 AC = a 米，∠A = 90◦ ，∠C = 40◦ ，则 AB 等于( )米． a A. a sin 40◦ B. a cos 40◦ C. a tan 40◦ D. tan 40◦ 6. 已知甲、乙两坡的坡角分别为 α，β ，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是 ( ) A. tan α < tan β B. sin α < sin β C. cos α < cos β D. cos α > cos β √ ◦ ) 7. 若 α 是锐角且 α > 15◦ ， 3 tan √ (α − 15 ) = 1，则 tan α 的值是( √ 2 1 B. C. 3 A. D. 1 2 2 8. 已知：sin α + cos α = m，sin α − cos α = n，则 m，n 之间的关系是( A. m = n B. m = 2n + 1 C. m2 = 2 − n2 ) D. m2 = 1 − 2n
，cos 48◦ =
, tan 20◦ · tan 70◦ =
浙教版九年级数学下1.3解直角三角形(三)同步练习
浙教版九年级数学下1.3解直角三角形（三）同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知A ，B 两点，若A 对B 的仰角为α，则B 对A 的俯角为( )A ．αB ．90°－αC ．180°－αD ．90°＋α 2．等腰三角形的底角为15°，腰长a 为，则此等腰三角形的底长为（ ）A ．12aB ．12aC ．2aD ．2 a 3．小明同学从A 地沿北偏西60°方向走100 m 到B 地，再从B 地向正南方向走200 m 到C 地，此时小明同学离A 地 ( )A ．150 mB ．mC ．100 mD ．m 4．如图，已知一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是( )A ．海里B ．海里C ．7海里D ．14海里 5．如图，某飞机在空中A 点处测得飞行高度h ＝1000m ，从飞机上看到地面指挥站B 的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC 为( )A ．500mB ．2000mC ．1000mD ．6．如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，CAB θ∠=，则拉线BC 的长度为（A 、D 、B 在同一条直线上）（ ）A ．sin h θB ．cos h θC ．tan h θD ．cos h θ⋅ 7．如图，斜坡AB 与水平面的夹角为α，下列命题中，不正确的是( )A ．斜坡AB 的坡角为αB ．斜坡AB 的坡度为BC AB C ．斜坡AB 的坡度为tanαD ．斜坡AB 的坡度为BC AC8．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，由此可知，B ，C 两地相距( )m.A ．100B ．150C ．200D ．4009．如图，在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝( )米(结果可保留根号)．A ．21)B ．21)C ．＋4)D ．6) 10．如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4km ．某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为（ ）A．4km B．C．D．1）km二、填空题11．如图所示，两条宽度都为2cm的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为________．12．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1AB的长为_______13．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是__________m14．如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为米．15．如图，甲从A点出发向北偏东60°方向走到点C，乙从点A出发向南偏西25°方向走到点B，则∠BAC的度数是__________.16．如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受西风的影响，以每分钟30米的速度沿与地面成60°角的方向飞行，20分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则A、B两点间的距离为________米．17．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为__m（结果保留根号）．18．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为_____米．三、解答题19．（2011•德州）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为4米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求建筑物CD的高度．20．如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）21．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）22．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．23．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1 海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．24．如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A 在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．25．如图所示，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为30°和60°，A，B两地相距100 m．当气球沿与BA平行地方向飘移10 s后到达C′处时，在A处测得气球的仰角为45°.(1)求气球的高度(保留根式)；(2)求气球飘移的平均速度(保留根式)．参考答案1．A【分析】根据俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到B对A的俯角为α．【详解】解：如图，∵A对B的仰角为α，∴B对A的俯角为α．故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：向下看，视线与水平线的夹角叫俯角；向上看，视线与水平线的夹角叫仰角．2．D【分析】先作出简单的图形，进而在△ABD中，利用余弦求线段BD的长即可．【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，由题意可得，∠B=∠C=15°，AB=AC，则cos∠B=cos15°=BDAB，AB=a，∴BC=2BD=2AB·cos15°．又cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°∴BC=2AB·cos15°a．故选D．【点睛】本题主要考查了简单的直角三角形的求解问题，能够熟练掌握．3．D【分析】根据在Rt△ABD中利用三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．【详解】解：如图：由B在A的北偏西60°方向可求得∠B=60°，在Rt△ABD中，AD=AB•sin60°=BD=AB•cos60°=50，∴CD=BC-BD=150．∴AC．故选D．【点睛】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．A【分析】过点B作BN⊥AM于点N，由已知可求得BN的长，再根据三角函数求BM的长．【详解】解：由已知得，AB=12×28=14km ，∠MAB =30°，∠ABM =105°． 过点B 作BN ⊥AM 于点N ．∵在直角△ABN 中，∠BAN =30°∴BN =12AB =7km ． 在直角△BNM 中，∠MBN =45°，则直角△BNM 是等腰直角三角形，即BN =MN =7km ，∴BM ．故选A ．【点睛】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5．D【解析】【分析】首先根据图示，可得∠B =∠α=30°，然后在Rt △ABC 中，用AC 的长度除以tan30°即可求出BC 的长．【详解】解：∵从飞机上看到地面指挥站B 的俯角α＝30°，∴∠B =∠α=30°，在Rt △ABC 中，BC=tan AC B ∠=1000tan 30=． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．6．B【分析】先通过等量代换得出BCD CAB θ∠=∠=，然后利用余弦的定义即可得出结论．【详解】AC BC ⊥90ACB ∴∠=︒90,90,CAB ABC BCD ABC ∴∠+∠=︒∠+∠=︒BCD CAB θ∴∠=∠=cos CD BCD BC∠= cos cos CD h BC BCD θ∴==∠ 故选：B ．【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握余弦的定义是解题的关键．7．B【分析】利用坡角与坡度的定义求解即可．【详解】解：坡面与水平面的夹角叫做坡角，所以斜坡AB 的坡角为α，故A 正确；坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比，等于坡角的正切值，故C 、D 正确，B 错误． 故选B ．【点睛】此题主要考查学生对坡角和坡度定义的理解及掌握情况，坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i 与坡角α之间的关系为：i =h l =tan α． 8．C【解析】试题分析：首先把实际问题转化为直角三角形问题来解决，由已知可推出∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°-60°=30°，再由三角形内角和定理得∠ACB=30°，从而求出B、C两地的距离200m．故选C考点：解直角三角形9．A【解析】【分析】作AE⊥CD于点E，则△AED和△ABD都是等腰直角三角形，即可求得DE的长，然后在直角三角形中利用三角函数求得CE的长，进而求得CD的长．【详解】解：作AE⊥CD于点E．在直角△ABD中，∠ADB=45°，∴DE=AE=BD=AB=21（米），在直角△AEC中，CE=AE•tan∠CAE=21×tan30°=21．则CD=（21+故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形．10．C【解析】试题分析：过点A 作AD ⊥OB ，则AD=OA=2km ，根据题意可得：△ABD 为等腰直角三角形，则AB=2km.考点：三角函数的应用11．4sin αcm 2 【分析】首先过C 作CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，垂足为E ，F ，证明△CEB ≌△CFD ，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC 的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．【详解】解：过C 作CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，垂足为E ，F ，∴∠CEB =∠CFD =90°，∵AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵纸条宽度都为2cm ，∴CE =CF =2cm ，在△CEB 和△CFD 中90CBE CDF CEB CFD CE CF α∠=∠=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△CFD （AAS ），∴BC =CD ，∴四边形ABCD 是菱形．∴BC =AB ，在Rt △CEB 中， BC=sin CE α=2sin α，∴BC=AB=2sinα，∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：AB×CE=2sinα×2=4sinαcm2．故答案为4sinαcm2．【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．12．12米【解析】试题分析：在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，∴BC：AC=1：，∴AC=•BC=6（米），∴AB===12（米）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．13．【分析】首先过点C作CE⊥AB于点E，易得∠CBE=60°，在Rt△CBE中，BC=50m，利用正弦函数，即可求得答案．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°，在Rt△CBE中，BC=50m，∴h=CE=BC•sin60°=m）．故答案为此题考查了坡度坡角问题．能构造出直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解决此题的关键．14．100．【解析】由题意得，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=200米，∴BC=12AB=100米．15．145°【解析】AC与正东方向的夹角的度数是：90°-60°=30°，则∠BAC=30°+90°+25°=145°，故答案为145°．16．600【解析】【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B=30°求出AB的长．【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD=60°-30°=30°，AC=30×20=600（米），∴AD=AC•sin30°=300（米）．在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴AB=2AD=600（米）．故答案为：600．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．17．【分析】由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．【详解】解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC=30°，∴．∴楼的高度AC为故答案为考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．18．【解析】试题解析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD=75°-30°=45°，AC=30×25=750（米），∴（米）．考点：解直角三角形的应用—仰角俯角问题.19．解：CD与EF的延长线交于点G，如图，设DG=x米．在Rt△DGF中，，即．在Rt△DGE中，，即．∴，．∴．∴4=﹣，解方程得：x=19.2．∴CD=DG+GC=19.2+1.2=20.4．答：建筑物高为20.4米．【解析】略20．旗杆AB的高度大约是10米【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造边角关系，进而可求出答案．解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米．答：旗杆AB的高度大约是10米．点评：主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．cos25°【分析】首先根据题意得出∠MP A=∠A=65°，以及∠DBP=∠DPB=45°，在Rt△P AD中利用三角函数求出PD的长，再在Rt△PBD中利用解直角三角形求出PB即可．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，∵点A在P的北偏东65°方向，∴∠APD＝25°，在Rt△P AD中，cos25°＝PD PA，∴PD＝P A cos25°＝80cos25°．由题意知∠DPB＝45°，在Rt△PBD中，cos45°＝PD PB，∴PB.∴PB＝cos25°．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确记忆三角函数的定义并得出相关角度是解决本题的关键．22．【解析】【分析】过B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．【详解】解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠，∵△BCD中，∠CBD=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BD=，∴BD=．答：B，C两地的距离是点睛：此题考查了方向角问题和解直角三角形的应用．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．23．【解析】试题分析：作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案．试题解析：如图，作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°．设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD，又∵BC=20（CD+BD=BC，即x=20（解得：x=20，∴AC（海里）．答：A、C之间的距离为海里．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．24．这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2）公里【解析】试题分析：要求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离也就是要求出点A到直线BC的最短距离，过点A作AD⊥BC于D，然后利用所给条件求出AD的长即可试题解析：过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD=，即tan60°=，所以BD==x，又BC=4，即BD+CD=4，所以x+x=4，解得x=6﹣2．答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2）公里．考点：1、垂线的性质；2、解直角三角形的应用25．（1）CD＝m.（2）（15－） m/s.【分析】（1）分别过C、C′作AB的垂线，设垂足为D、E；在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用所给角的三角函数分别用BD表示出CD，联立两式即可求出CD、BD的长．（2）直角梯形ADCC′中，已知了BD、AB的长，即可求出AD的长；而AE的长可在Rt△AEC′中利用已知角的三角函数求出，即可得出ED、CC′的长，也就得出了气球10秒漂移的距离，根据速度=路程÷时间，即可得解．【详解】解：（1）如答图所示，作CD⊥AB，C′E⊥AB，垂足分别为D，E.∵CD＝BD·tan60°，CD＝(100＋BD)·tan30°，∴(100＋BD)·tan30°＝BD·tan60°，∴BD＝50(m)，CD＝，∴气球的高度约为CD＝（2）∵BD＝50 m，AB＝100 m，∴AD＝150 m，又∵AE＝C′E＝，∴DE＝（150－m，（150－÷10＝（15－(m/s)．∴气球飘移的平均速度约为（15－m/s.【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．。
浙教版数学九年级下册《解直角三角形》同步练习3
《解直角三角形》同步练习3一、耐心填一填，一锤定音！1．菱形的较长对角线与边长之比为3:1，那么菱形的两邻角分别是．2．一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A地测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处（如图1）．上午9时行至C处，测得该灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是海里（结果保留根号）．3．如图2所示，机器人从A点出发，沿着西南方向，行了42个单位到达B点后，观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则A点的坐标为（结果保留根号）．二、精心选一选，慧眼识金！4．如图3，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD＝145°，BD＝500米，∠D＝55°．要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（）A．500sin55°米B．500cos55°米C．500tan55°米D．500 cos55o米5．两座灯塔A和B与海洋观测站的距离相等，灯塔A在观测站的北偏东40°，灯塔B在观测站的南偏东60°，那么灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东10°B．南偏东10°C．北偏西10°D．南偏西20°6．如图4，为了测量河两岸A，B两点间的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC a =，ACB α=∠，则AB 的长为（ ）A ．sin a αB ．cos a αC ．tan a αD ．tan a α7．一船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的南偏东60°距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）A ．18海里/时B ．183海里/时C ．36海里/时D ．363海里/时三、用心做一做，马到成功！8．如图5，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4．8海里范围内是水产养殖场．渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？参考答案：一、1．60120o o ，2． 3．04⎛+ ⎝， 二、4~7．BCCB三、8．渔船没有进入养殖场的危险．初中数学试卷。
浙教版九年级下1.3解直角三角形（3）同步练习含答案
1.3解直角三角形（三）一、选择题（共5小题）1、如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（）A、12海里B、6海里C、6海里D、4海里2、如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB=α，那么AB等于（）A、m•sinα米B、m•tanα米C、m•cosα米D、米3、如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，则小岛B到公路l的距离为（）米．A、25B、25C、D、25+254、如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（）A、a•sinαB、a•cosαC、a•tanαD、a•cotα★5、上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B 处与小岛M的距离为（）A、20海里B、20海里C、15海里D、20海里二、填空题（共5小题）6、在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m．7、如图，小明从A地沿北偏东30°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时小明离A地_________m．8、小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为_________米．9、如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33°方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船_________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）★10、王英同学从A地沿北偏西60°方向走100米到B地，再从B地向正南方向走200米到C地，此时王英同学离A地的距离是_________米．三、解答题（共5小题）11、在一次课外实践活动中，同学们要测湘江河的宽度．如图1所示，小明先在河西选定建筑物A，并在河东岸的B处观察，此时视线BA在河岸BE所成的夹角∠ABE=32°，小明沿河岸BE走了400米到C处，再观察A，此时视线CA与河岸所成的夹角∠ACE=64°．（1）请你根据以上数据，帮助小明计算出湘江河的宽度（结果精确到0.1米）．（2）求出湘江河宽后，小明突发奇想，欲求B的正对岸建筑物的高度MN（如图2所示），现测得小明的眼睛与地面的距离（FB）是1.6m，看建筑物顶部M的仰角（∠MFG）是8°，BN为湘江河宽，求建筑物的高度MN（结果精确到0.1米）．（提示：河的两岸互相平行；参考数值：sin32°≈0.530；cos32°≈0.848；tan32°≈0.625；sin64°≈0.900；cos64°≈0.438；tan64°≈2.050；sin8°≈0.139；cos8°≈0.990；tan8°≈0.141）12、如图所示，若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，船从A到B处需时间2分钟，求该船的速度．13、如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．14、五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向；然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1米）★15、喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对岸有一水文站A，小伟在河岸B处测得∠ABD=45°，沿河岸行走300米后到达C处，在C处测得∠ACD=30°，求河宽AD．（最后结果精确到1米．已知：≈1.414，≈1.732，≈2.449，供选用）答案：1.D2.B3.B4.C5.B6.2007.1008.9.没有10. 100 11.略12. 解：如图，过点B作BC垂直河岸，垂足为C，则在Rt△ACB中，有AB===600，因而速度v==300．13.解：设OC=x海里，依题意得，BC=OC=x，AC=．（3分）∴AC﹣BC=10，即（）x=10，∴x==5（+1），答：船与小岛的距离是5（+1）海里14. 136.6 15. 110。
浙教版初中数学九年级下册 1.3 解直角三角形课时训练3
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1.3 解直角三角形
◆基础训练 1．如图 1，在地面上用测角仪 DF 测得旗杆顶端 A 的仰角 a=40°42′，已知 F 点到旗杆底
端 C 的距离 FC=17.71 米，测角仪高 DF=1.35 米，则旗杆高 AC 约为（精确到 0.01 米） （）
么开挖点 E 离点 D 的距离是（ ）
A．500sin55°米
B．500cos55°米
米
C．500tan55°米
500
D．
cos 55
图4
图5
图6
图7
5．如图 5，从某海岛上的观察所 A 测得海上某船 B 的俯角α=8°18′，若观察所 A 距离
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海平面的垂直高度 AC=50m，则船 B 到观察所 A 的水平距离 BC 等于________（精确到 1m）． 6．如图 6，当太阳光与地面上的树影成 45°角时，树影投射在墙上的影高 CD 等于 2 米，若树根到墙的距离 BC 等于 8 米，则树高 AB 等于______米． 7．如图 7，一根竹竿垂直插在水中，露出水面部分长 0.5 米，若竹竿顶部偏离原地 2 米， 此时竹竿顶恰好与水面齐平，那么水深______米，竹竿偏离角α≈______（精确到 1 度）． 8．在△ABO 中，OA=OB=5，OA 边上的高为 4，将△ABO 放在平面 直角坐标系中，使点 O 与 原点重合，点 A 在 x 轴的正半轴上，那么点 B 的坐标是_______． ◆提高训练 9．如图 8，要测量山上石油钻井的井架高 BC，先从山脚 A 处测得 AC=48 米，塔顶 B 的仰 角α=45°，已知山坡的坡角β=30°，则井架高 BC 为______米（精确到 1 米）．
九年级数学下册第1章解直角三角形同步练习共11套浙教版
适用精选文件资料分享九年级数学下册第 1 章解直角三角形同步练习（共11 套浙教版）解直角三角形章末总结提高(见A本59页) ,研究点1三角函数的定义 )【例1】2017?金华中考在Rt△ABC中，∠ C＝90°，AB＝5，BC＝3，则 tan A 的值是D.45 变式图变式以以以下图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是 (3 ，m)，且 OP与 x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则 sinα 的值为( A ) A.45 B.54 C.35 D.53 ,研究点2求锐角三角函数值 ) 【例 2】在△ ABC中，若 tan A ＝1，sin B ＝22，你以为最确实的判断是 ( B ) A．△ ABC是等腰三角形 B ．△ ABC是等腰直角三角形 C．△ ABC是直角三角形 D．△ ABC是一般锐角三角形变式 2017?烟台中考在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则 sin A2 ＝__12__．例 3 图【例 3】以以以下图，在△ ABC中，已知 AB＝AC，∠A＝45°，BD⊥AC于点 D.依据该图可以求出 tan 22.5 °＝__2－1__. 变式图变式以以以下图， 6 个形状、大小完满同样的菱形构成网格，菱形的极点称为格点．已知菱形的一个角 ( ∠O)为 60°，A， B ，C都在格点上，则tan ∠ABC的值是 __32__． ,研究点3解直角三角形及其应用 ) 例 4 图【例 4】 2017?益阳中考以以以下图，电线杆 CD的高度为 h，两根拉线 AC与 BC互相垂直，∠ CAB＝α，则拉线 BC的长度为 (A，D，B 在同一条直线上 )( B ) A.hsin αααD．h?cosα变式图变式以以以下图，港口 A 在察看站 O的正东方向， OA＝40 海里，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行半小时后到达 B 处，此时从察看站 O处测得该船位于北偏东60°的方向．求该船航行的速度．变式答图解：过点 A 作 AD⊥OB 于点D. 在 Rt△AOD中，∵∠ ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝40，∴AD＝12OA＝20. 在 Rt△ABD中，∵∠ ADB＝90°，∠ B＝∠ CAB－∠ AOB＝75°－30°＝45° ∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝45°＝∠ B，∴BD＝ AD＝20, ∴AB＝ AD2＋BD2＝2AD＝202. ∴该船航行的速度为 202÷0.5 ＝ 402( 海里 / 小时 ) ．1．若 A 为锐角，且 sin A＝45，则 tan A 的值为 ( B ) A. 34 B.43 C. 35 D. 53 2．在△ ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tanB－3)?(2sin A －3) ＝0，则△ ABC是( D ) A ．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是 60°的三角形 3 ．如图所示，平面直角坐标系中有一正方形 ABCD，已知 A(1，0) ，B(0，3) ，则sin ∠COA＝ __45__．第 3 题图第 4 题图 4 ．以以以下图，在边长同样的小正方形网格中，点 A，B，C， D都在这些小正方形的极点上，AB，CD订交于点 P，则 APPB的值＝ __3__，tan ∠APD的值＝__2__．第 5 题图 5 ．以以以下图，在一斜坡坡顶 A处的同一水平线上有一古塔，为丈量塔高 BC，数学老师带领同学在坡脚 P处测得斜坡的坡角为α，且 tan α＝724，塔顶 C处的仰角为 30°，他们沿着斜坡攀行了 50米，到达坡顶 A 处，在 A 处测得塔顶 C的仰角为 60°. (1) 求斜坡的高度 AD；(2) 求塔高 BC. 解： (1) 在 Rt△APD中， tan α＝724，设AD＝7k，PD＝24k，∴PA＝ 25k，∴k＝2，AD＝14( 米) ． (2)(243 －21) 米 6 ．连云港中考以以以下图，在△ ABC中，∠C＝150°，AC＝4， tan B ＝18. (1) 求 BC的长； (2) 利用此图形求 tan 15 °的值．第 6 题图解：(1) 过 A 作 AD⊥BC，交 BC的延长线于点 D，如图 (a) 所示．在Rt△ADC中， AC＝4，∵∠ C＝150°，∴∠ ACD＝30°，∴ AD＝ 12AC＝2， CD＝ACcos 30°＝ 4×32＝ 23. 在 Rt△ABD中， tan B ＝ADBD ＝2BD＝18，∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－23. 图(a)图(b) 第 6 题答图 (2) 在 BC边上取一点 M，使得 CM＝AC，连结 AM，如图 (b) 所示．∵∠ ACB＝150°，∴∠ AMC＝∠ MAC＝15°， tan 15°＝tan ∠AMD＝ ADMD＝24＋23＝12＋3＝2－3.第 7 题图 7 ．2017?舟山中考如图是小强洗刷时的侧面表示图，洗刷台( 矩形 ABCD)靠墙摆放，高 AD＝80 cm，宽 AB＝48 cm，小强身高 166 cm，下半身 FG＝100 cm，洗刷时下半身与地面成 80°( ∠FGK＝80°) ，身体前倾成 125°( ∠EFG＝125°) ，脚与洗刷台距离 GC＝15 cm(点 D，C，G，K 在同向来线上 ) ．(1) 此时小强头部 E 点与地面 DK相距多少？(2)小强希望他的头部 E 恰幸好洗刷盆 AB的中点 O的正上方，他应向前或退后多少 cm? (sin 80 °≈ 0.98 ，cos 80 °≈ 0.17 ，2≈1.41 ，结果精确到 0.1 cm) 第 7 题答图解： (1) 过点 F 作 FN⊥DK于点 N，过点 E 作 EM⊥FN于点 M. ∵EF＋ FG＝166，FG＝100，∴ EF＝66，∵∠ FGK＝80°，∴ FN＝100sin 80 °≈ 98，又∵∠ EFG＝125°，∴∠ EFM＝180°－ 125°－ 10°＝ 45°.∴FM＝66cos45°＝332≈46.53 ，∴MN＝ FN＋FM≈144.5.∴他头部E点与地面DK相距约 144.5 cm. (2) 过点 E 作 EP⊥AB于点 P，延长 OB交 MN于点 H. ∵AB ＝48，O为 AB的中点，∴ AO＝BO＝24，∵EM＝66 sin45 °≈ 46.53 ，即 PH≈46.53. GN ＝100cos80°≈ 17， CG＝15，∴OH＝24＋15＋17＝56. OP＝OH－PH＝56－46.53 ＝9.47 ≈9.5. ∴他应向前约9.5 cm. 8．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对 (can) ．如图①，在△ ABC中， AB＝AC，底角∠B的邻对记作 can B，这时 can B＝底边腰＝ BCAB容.易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，依据上述角的邻对的定义，解以下问题：(1)can30 °＝ __3__； (2)如图②，已知在△ ABC中，AB＝AC，can B＝85，S△ABC＝ 24，求△ABC 的周长．第 8 题图解： (1)3 (2) 过点 A 作 AE⊥BC于点 E，∵canB＝85，可设 BC＝8x，AB＝5x，则 BE＝12BC＝4x，∴AE＝AB2－BE2＝3x. ∵S△ABC＝ 24，∴12BC?AE＝12x2＝24，解得 x＝2，故 AB＝AC＝52，BC＝82，∴△ ABC的周长为 AB＋AC＋BC＝52＋52＋ 82＝182.。
浙教版初中数学九年级下册《1.3 解直角三角形》同步练习卷
浙教新版九年级下学期《1.3 解直角三角形》同步练习卷一．填空题（共50小题）1．已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP＝1，sin∠A＝，∠B＝120°，BC＝2，则AP＝．2．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝6米，则树高BC 为米（用含α的代数式表示）．3．在△ABC中，已知AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，那么S△ABC．4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，AB＝5，则sin∠ACD＝，∠BCD的正切值为．5．将一副三角板按图中方式叠放，那么两条最长边所夹锐角的度数是．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝8，BC＝6，那么∠ACD的正切值是．7．如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan B＝，AC上有一点E，满足AE：CE＝2：3，则tan∠ADE的值是．8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝2，则AB的长是．9．如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，则灯塔P与A点的距离P A为海里．（结果保留根号）10．在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，当S△ABC＝20时，tan B的值为．11．已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为．12．一名滑雪运动员沿着坡度为3：3的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，BC＝3，那么∠BCD的正切值是．14．如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，则tan A＝．15．已知△ABC中，AB＝5，sin B＝，AC＝4，则BC＝．16．一艘货轮以36km/h的速度在海面上沿正北方向航行，当行驶至A处时，发现北偏东37°方向有一个灯塔B，货轮继续向北航行20分钟后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东67°方向，则此时货轮与灯塔B的距离为km．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin67°≈0.920，cos67°≈0.391，tan67°≈2.356）17．小明同学沿坡度为i＝1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是米．18．如图，水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC＝5m，则堤坝横断面的宽AC的长度是．19．小明沿着坡度为1：的坡面向上走了300米，此时小明上升的垂直高度为米．20．一个小球沿着坡度为1：3的坡面向下滚动了10米，此时小球下降的垂直高度为米．21．如图，山坡的倾斜角∠ABC为30°，小明沿山坡BA从山脚B点步行到山顶A共走了100m，则山顶的高度AC是m．22．如图在△ABC中，∠B＝90°，且CB＝6，tan∠ACB＝，CD平分∠ACB，则CD＝．23．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB＝5：7，则∠BAD的余弦值为．24．在△ABC中，AB＝AC＝5，BD是高，且cos∠ABD＝，则CD＝．25．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为海里．（结果保留根号）26．如图，在△ABC中，AD是高，BD＝6，CD＝4，tan∠BAD＝，P是线段AD上一动点，一机器人从点A出发沿AD以个单位/秒的速度走到P点，然后以1个单位/秒的速度沿PC走到C点，共用了t秒，则t的最小值为．27．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sin∠C 的值为．28．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是5：12，坝高BC＝5米，则坡面AB的长度是米．29．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是cm．30．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝15°，AC＝6，则AB的长为（结果精确到0.01）．（＝1.732，＝1.414）31．如图，直线AB经过点P（1，2），且与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．若sin∠BAO＝，则点B的坐标为．32．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为m．33．如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD，DC∥AB，测得迎水坡的坡角α＝30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部宽为2m，坝高为6m，则坝底AB的长为．34．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值．35．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C 处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知DE⊥EA，斜坡CD的长度为30m，DE的长为15m，则树AB的高度是m．36．如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.8米，则这颗树的高度为米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°＝0.8090，cos54°＝0.5878，tan54°＝1.3764）37．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，则乙船的路程（结果保留根号）38．今年，某县境内跨湖高速进入施工高峰期，交警队为提醒出行车辆，在一些主要路口设立了交通路况警示牌（如图）．已知立杆AD高度是4m，从侧面C 点测得警示牌顶端点A和底端B点的仰角（∠ACD和∠BCD）分别是60°，45°．那么路况警示牌AB的高度为．39．如图所示，某办公大楼正前力有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶点A测得族杆顶端E的俯角α是45•，旗杆底端D到大楼前梯坎低端C的距离DC是20米，梯坎坡长BC是13米，梯坎坡度i＝1：2.4，则大楼AB的高度的为米．40．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．则该电线杆PQ的高度是（结果可保留根号）41．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，已知tan∠B＝cos∠DAC，sin∠C ＝，BC＝6，则AD＝．42．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为90m，则这栋楼的高度为．（结果保留根号）43．如图是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处双测P处，仰角分别为α、β，且tanα＝，tanβ＝，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）P点坐标为；（2）若水面上升1m，水面宽为m．44．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a 的值约为米（≈1.73，结果精确到0.1）．45．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C 到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为米（结果保留根号）．46．一艘货轮以18km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是km．47．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）48．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是m（结果保留根号）49．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tan C＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为．50．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．浙教新版九年级下学期《1.3 解直角三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共50小题）1．已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP＝1，sin∠A＝，∠B＝120°，BC＝2，则AP＝或．【分析】作CD⊥AB的延长线于D，求得∠CBD＝60°，解直角三角形求得DC ＝3，进而求得AC＝9，即可求得AO＝AC＝，然后求得AP的长．【解答】解：作CD⊥AB的延长线于D，∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°，∵BC＝2，∴DC＝BC•sin60°＝2•＝3，∵sin A＝，∴AC＝9，∴AO＝AC＝，∵OP＝1，∴AP＝或．故答案为：或．【点评】本题考查了解直角三角形，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝6米，则树高BC 为6tanα米（用含α的代数式表示）．【分析】过点B作BC⊥AC于点C，在Rt△ABC中根据AC＝6，∠A＝α，求出BC的高度．【解答】解：过点B作BC⊥AC于点C，在Rt△ABC中，∵AC＝6，∠A＝α，∴BC＝AC tanα＝6tanα．故答案为：6tanα【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．3．在△ABC中，已知AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，那么S△ABC＝20．【分析】作BC边上的高AD，根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，求出AD，根据三角形的面积公式即可求出．【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D，∵AB＝8，∠B＝30°，∴AD＝AB＝4，又∵BC＝10，＝BC•AD＝×10×4＝20．∴S△ABC故答案为：＝20．【点评】此题考查了解直角三角形，作出BC边上的高，构造直角三角形是解题的关键．4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，AB＝5，则sin∠ACD＝，∠BCD的正切值为．【分析】利用勾股定理求出BC，证明∠B＝∠ACD，推出sin∠ACD＝sin∠B＝＝，同理可证：∠BCD＝∠A，推出tan∠BCD＝tan A＝＝；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝4，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∵∠ACD+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin B＝＝，同理可证：∠BCD＝∠A，∴tan∠BCD＝tan A＝＝，故答案为，．【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．将一副三角板按图中方式叠放，那么两条最长边所夹锐角的度数是75°．【分析】先根据直角三角板的性质求出∠1及∠2的度数，再根据三角形内角与外角的关系即可解答．【解答】解：如图，由题意，可得∠2＝45°，∠1+∠2＝90°，∴∠1＝90°﹣45°＝45°，∴∠α＝∠1+30°＝45°+30°＝75°．故答案为：75°．【点评】本题考查的是解直角三角形，三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝8，BC＝6，那么∠ACD的正切值是．【分析】根据直角三角形的性质得：∠B+∠A＝90°，∠A+∠ACD＝90°可得∠B＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠B的正切值，即为tan∠ACD 的值．【解答】解：∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵BC＝6，AC＝8，∴tan∠ACD的值为．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形的性质求出∠B＝∠ACD 是解本题的关键．7．如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan B＝，AC上有一点E，满足AE：CE＝2：3，则tan∠ADE的值是．【分析】作EF⊥AD于F，根据等腰三角形的性质得∠B＝∠C，则tan C＝＝，设AD＝3t，DC＝4t，利用勾股定理计算出AC＝5t，由AE：CE＝2：3得AE ＝2t，然后利用EF∥CD得到△AEF∽△ACD，根据相似比可得到AF＝t，EF＝t，则FD＝AD﹣AF＝t，在Rt△DEF中，根据正切的定义得到tan∠FDE＝＝＝，所以tan∠ADE＝．【解答】解：作EF⊥AD于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，AD为高，∴∠B＝∠C，∴tan C＝＝设AD＝4t，DC＝3t，而AE：CE＝2：3，∴AE＝2t，∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD，∴＝＝，即＝＝，∴AF＝t，EF＝t，∴FD＝AD﹣AF＝t，在Rt△DEF中，tan∠FDE＝＝＝，∴tan∠ADE＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形相似的判定与性质．8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝2，则AB的长是5．【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD＝，AD＝3，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．【解答】解：如图，作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3，在Rt△BCD中，tan B＝，∴＝，∴BD＝2，∴AB＝AD+BD＝3+2＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．9．如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，则灯塔P与A点的距离P A为20（1+）海里．（结果保留根号）【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AB＝20海里，如图，设BC＝x海里，则AC＝AB+BC＝（20+x）海里．解△PBC，得出PC ＝BC＝x海里，解Rt△APC，得出AC＝PC•tan60°＝x，根据AC不变列出方程x＝20+x，解方程即可．【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图，则∠APC＝60°，∠BPH＝45°，AB＝20海里，设BC＝x海里，则AC＝AB+BC ＝（20+x）海里．在△PBC中，∵∠BPC＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴PC＝BC＝x海里，在Rt△APC中，∵tan∠APC＝，∴AC＝PC•tan60°＝x，∴x＝20+x，解得x＝10+10，则PC＝10+10，∴P A＝2PC＝20（1+），答：灯塔P与A点的距离P A为20（1+）海里．故答案为：20（1+）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角：在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．10．在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，当S△ABC＝20时，tan B的值为．【分析】作出辅助线AD⊥BC，构造出直角三角形，用面积求出AD，最后用三角函数的定义即可．【解答】解：如图，作AD⊥BC，＝20，∵BC＝8，S△ABC＝×BC×AD＝×8×AD＝20，∴S△ABC∴AD＝5，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，BD＝BC＝4，∴tan B＝＝．故答案为：．【点评】主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角函数的定义，解本题的关键是锐角三角函数的定义的掌握．11．已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为3或5．【分析】根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数，可以确定各边的关系，从而可以解答本题．【解答】解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，则∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．∵sin B＝，AC＝7，∴AD＝．∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1＝，x2＝．∴当x＝时，AB＝2x＝3；当x＝时，AB＝2x＝5．故AB为3或5．故答案为：3或5．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是能根据题意画出相应的图形，找出所求问题需要的条件．12．一名滑雪运动员沿着坡度为3：3的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．【分析】如图在Rt△ABC中，AC＝AB•＝500×＝m，可知这名滑雪运动员的高度下降了m．【解答】解：如图在Rt△ABC中，AC＝AB•＝500×＝m，∴这名滑雪运动员的高度下降了m．故答案为【点评】本题考查解直角三角形、坡度坡角问题等知识，解题的关键是熟练掌握解直角三角形问题，属于中考常考题型．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，BC＝3，那么∠BCD的正切值是．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD＝∠A，求出∠A的正切值即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠BCD＝∠A，∵AC＝6，BC＝3，∴tan∠BCD＝tan A＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形内角和定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．14．如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，则tan A＝或2或1．【分析】分为三种情况：画出图形，再解直角三角形即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，高AC＝BC，此时tan A＝＝＝2；②如图2，高BC＝AC，此时tan A＝＝＝；③如图3，高CD＝AB，设AC＝x，BC＝y，CD＝a，则AB＝2a，由三角形面积公式和勾股定理得：，解得：x＝y＝a（负数舍去），tan A＝＝1；故答案为：或2或1．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理和三角形的面积，能求出符合的所有情况是解此题的关键，有一定难度，要分情况讨论．15．已知△ABC中，AB＝5，sin B＝，AC＝4，则BC＝4+或4﹣．【分析】根据题意画出两个图形，过A作AD⊥BC于D，求出AD长，根据勾股定理求出BD、CD，即可求出BC．【解答】解：有两种情况：如图1：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝5，sin B＝＝，∴AD＝3，由勾股定理得：BD＝4，CD＝＝，∴BC＝BD+CD＝4+；如图2：同理可得BD＝4，CD＝＝，∴BC＝BD﹣CD＝4﹣．综上所述，BC的长是4+或4﹣．故答案为：4+或4﹣．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识点的应用，解此题的关键是画出所有的情况对应的图形．16．一艘货轮以36km/h的速度在海面上沿正北方向航行，当行驶至A处时，发现北偏东37°方向有一个灯塔B，货轮继续向北航行20分钟后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东67°方向，则此时货轮与灯塔B的距离为22.0 km．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin67°≈0.920，cos67°≈0.391，tan67°≈2.356）【分析】作BH⊥AC交AC的延长线于H，设BH＝xkm，利用正切的定义用x 表示出AH，CH，根据题意列方程求出x，根据正弦的定义计算．【解答】解：作BH⊥AC交AC的延长线于H，设BH＝xkm，在Rt△AHB中，tan∠HAB＝，则AH＝＝x，在Rt△CHB中，tan∠HCB＝，则CH＝＝，由题意得，x﹣＝36×，解得，x≈13.20，在Rt△CHB中，BC＝≈22.0（km），故答案为：22.0．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，锐角三角函数的定义是解题的关键．17．小明同学沿坡度为i＝1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是50米．【分析】由斜坡的坡度i＝1：＝，可得坡角α的度数，再求得斜坡的正弦值sinα，那么它垂直上升的高度可利用正弦函数求得．【解答】解：∵斜坡的坡度i＝1：＝，∴坡角α＝60°，∴斜坡的正弦值sinα＝，∴小明上升的高度是100×sinα＝50（米）．故答案为50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，根据坡度求出坡角是解题的关键．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h：l＝tanα．18．如图，水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC＝5m，则堤坝横断面的宽AC的长度是5m．【分析】利用坡度定义得到＝，然后根据比例性质可求出AC的长．【解答】解：∵水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：，∴＝，∴AC＝×5＝5（m）．故答案为5m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题：在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．19．小明沿着坡度为1：的坡面向上走了300米，此时小明上升的垂直高度为150米．【分析】根据坡度算出坡角的度数，利用坡角的正弦值即可求解．【解答】解：∵坡度tanα＝＝1：＝，∴α＝30°．∴上升的垂直高度＝坡长×sin30°＝300×＝150（米）．故答案为150．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h：l＝tanα．掌握坡度、坡角的定义是解答本题的关键．20．一个小球沿着坡度为1：3的坡面向下滚动了10米，此时小球下降的垂直高度为米．【分析】根据i可以求得AB、BC的长度的比值，已知AC＝10米，根据勾股定理即可求AB的值，即可解题．【解答】解：小球沿着坡面向下前进了10m假设到A处，过C作CB⊥AB，∵i＝1：3，∴tan A＝，设BC＝xcm，AB＝3xcm，x2+（3x）2＝102，解得：x＝或x＝﹣（不合题意，舍去），故答案为：．【点评】本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用i的定义，本题中根据勾股定理求BC的值是解题的关键．21．如图，山坡的倾斜角∠ABC为30°，小明沿山坡BA从山脚B点步行到山顶A共走了100m，则山顶的高度AC是50m．【分析】此题实际上是在直角三角形中，已知斜边，求30度所对的直角边．【解答】解：由题意得AB＝100m，∠C＝90°，∠B＝30°，则BC＝50m．故答案为：50．【点评】本题考查了坡度及坡角的知识，本题涉及的角度比较特殊，所以我们可以直接利用含30°角的直角三角形的性质求解．22．如图在△ABC中，∠B＝90°，且CB＝6，tan∠ACB＝，CD平分∠ACB，则CD＝3．【分析】作DE⊥AC于H．首先证明DH＝DB，设DH＝DB＝x，易证△CDH≌△CDB，可得CH＝BC＝6，AH＝10﹣6＝4，在Rt△AHD中，根据AD2＝AH2+DH2，可得42+x2＝（8﹣x）2，求出x即可解决问题；【解答】解：作DE⊥AC于H．在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，BC＝6，∴tan∠ACB＝＝，∴AB＝8，AC＝＝10．∵CD平分∠ACB，DH⊥CA，DB⊥BC，∴DH＝DB，设DH＝DB＝x，易证△CDH≌△CDB，可得CH＝BC＝6，AH＝10﹣6＝4，在Rt△AHD中，∵AD2＝AH2+DH2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，在Rt△BCD中，CD＝＝＝3，故答案为3【点评】本题考查解直角三角形、角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．23．如图，点D在钝角△ABC的边BC上连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA：CB＝5：7，则∠BAD的余弦值为或．【分析】如图作AH⊥BC于H，DE⊥AB于E，设AC＝5k，BC＝7k，解直角三角形求出BH、AH、AD、AE即可解决问题；【解答】解：如图作AH⊥BC于H，DE⊥AB于E，设AC═CD＝5k，BC＝7k，∵∠B＝45°，∠AHB＝90°，∴AH＝BH，设AH＝BH＝x，在Rt△ACH中，∵AH2+HC2＝AC2，∴x2+（7k﹣x）2＝（5k）2，解得x＝3k或4k，当x＝3k时，∴BH＝AH＝3k，DH＝k，AD＝k，DE＝BE＝k，AE＝2k，∴cos∠BAD＝＝＝，当x＝4k时，同法可得cos∠BAD＝＝＝，故答案为或．【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．24．在△ABC中，AB＝AC＝5，BD是高，且cos∠ABD＝，则CD＝1或9．【分析】根据题意画出图形，要分两种情况进行讨论；①△ABC是锐角三角形，②△ABC是钝角三角形．【解答】解：分两种情况：①△ABC是锐角三角形时，如图一．∵在△ABD中，BD是AC边上的高，AB＝5，cos∠ABD＝，∴BD＝3，∴AD＝＝4，∴CD＝AC﹣AD＝5﹣4＝1；②△ABC是钝角三角形时，如图二．∵在△ABD中，BD是AC边上的高，AB＝5，cos∠ABD＝，∴BD＝3，∴AD＝＝4，∴CD＝AC+AD＝5+4＝9．故答案为1或9．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，本题容易忽略角A有锐角和钝角两种可能．进行分类讨论是解题的关键．25．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为5海里．（结果保留根号）【分析】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝10海里，∠BAH＝30°，∴∠ABH＝60°，BH＝AB＝5（海里），在Rt△BCH中，∵∠CBH＝∠C＝45°，BH＝5（海里），∴BH＝CH＝5海里，∴CB＝5（海里）．故答案为5．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．26．如图，在△ABC中，AD是高，BD＝6，CD＝4，tan∠BAD＝，P是线段AD上一动点，一机器人从点A出发沿AD以个单位/秒的速度走到P点，然后以1个单位/秒的速度沿PC走到C点，共用了t秒，则t的最小值为8．【分析】作PH⊥AB于H，如图，利用三角函数求出AD＝8，则AB＝10，设机器从A运动到P点用x秒，则从P点运动到C用了（t﹣x）秒，则AP＝x，PC＝t﹣x，再利用三角函数表示出PHx＝x，所以PC+PH＝t，利用两点之间线段最短判断点C、P、H共线时，PC+PH的值最小，即t的值最小，此时CH⊥AB，然后利用三角函数求出CH即可得到的最小值．【解答】解：作PH⊥AB于H，如图，∵AD是高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵tan∠BAD＝＝，∴AD＝×6＝8，∴AB＝＝10，设机器从A运动到P点用x秒，则从P点运动到C用了（t﹣x）秒，∴AP＝x，PC＝t﹣x，在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝＝，在Rt△APH中，sin∠P AH＝＝，∴PH＝•x＝x，∴PC+PH＝x+t﹣x＝t，而点C、P、H共线时，PC+PH的值最小，即t的值最小，此时CH⊥AB，在Rt△ABD中，sin B＝＝＝，在Rt△BCH中，∴sin∠B＝＝，∴CH＝×（4+6）＝8，即t的最小值为8．故答案为8．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：灵活使用勾股定理和三角函数进行几何计算．解决本题的关键是证明P点到AB的距离和到C点的距离之和为t．27．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sin∠C 的值为．【分析】根据题意得到△AHC为等腰直角三角形，根据正弦的定义计算．【解答】解：如图，CH＝3，AH＝3，AH⊥CH，∴△AHC为等腰直角三角形，∴∠C＝45°，∴sin∠C＝，故答案为：．【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键．28．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是5：12，坝高BC＝5米，则坡面AB的长度是13米．【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是5：12，坝高BC＝5米，∴AC＝12m，∴坡面AB的长度是：＝13（m）．故答案为：13．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．29．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是270cm．【分析】根据题意求出BH，根据坡度的概念求出CH，计算即可．【解答】解：由题意得，BH⊥AC，则BH＝18×4＝72，∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴CH＝72×5＝360，∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），故答案为：270．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．30．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝15°，AC＝6，则AB的长为 2.20（结果精确到0.01）．（＝1.732，＝1.414）【分析】如图，作CH⊥AB交BA的延长线于H．在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH，AH即可解决问题；【解答】解：如图，作CH⊥AB交BA的延长线于H．在Rt△ACH中，∵∠CAH＝∠B+∠ACB＝45°+15°＝60°，AC＝6，∴∠ACH＝30°，∴AH＝AC＝3，∴CH＝AC•sin60°＝3，∵∠B＝∠BCH＝45°，∴HC＝BH＝3，∴AB＝3﹣3≈2.20，故答案为2.20．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．31．如图，直线AB经过点P（1，2），且与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．若sin∠BAO＝，则点B的坐标为（0，）．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得点B的坐标．【解答】解：作PC⊥OA于点C，∵点P（1，2），sin∠BAO＝，∴PC＝2，，tan∠BAO＝，∴AP＝2，∴AC＝，∴OA＝1+4＝5，∴，解得，OB＝，∴点B的坐标为（0，），故答案为：（0，）．【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．32．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为2m．【分析】根据滑坡的坡度及水平宽，可求出坡面的铅直高度，此题得解．【解答】解：∵滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，∴AC＝6m，∴BC＝×6＝2m．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，牢记坡度的定义是解题的关键．33．如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD，DC∥AB，测得迎水坡的坡角α＝30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部宽为2m，坝高为6m，则坝底AB的长为（7+6）m．【分析】过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为：E，F，得到两个直角三角形和一个矩形，在Rt△AEF中利用DF的长，求得线段AF的长；在Rt△BCE 中利用CE的长求得线段BE的长，然后与AF、EF相加即可求得AB的长．【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为：E，F，∵坝顶部宽为2m，坝高为6m，∴DC＝EF＝2m，EC＝DF＝6m，∵α＝30°，∴BE＝＝6（m），∵背水坡的坡比为1.2：1，∴＝＝，解得：AF＝5（m），。
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《解直角三角形》同步练习3
一、耐心填一填，一锤定音！
1．菱形的较长对角线与边长之比为3:1，那么菱形的两邻角分别是 ．
2．一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A 地测得某灯塔位于它的北偏东30°的B 处（如图1）．上午9时行至C 处，测得该灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里（结果保留根号）．
3．如图2所示，机器人从A 点出发，沿着西南方向，行了42个单位到达B 点后，观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则A 点的坐标为 （结果保留根号）．
二、精心选一选，慧眼识金！
4．如图3，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B ，取∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°．要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）
A ．500sin55°米
B ．500cos55°米
C ．500tan55°米
D ．500cos55
米 5．两座灯塔A 和B 与海洋观测站的距离相等，灯塔A 在观测站的北偏东40°，灯塔B 在观测站的南偏东60°，那么灯塔A 在灯塔B 的（ ）
A ．北偏东10°
B ．南偏东10°
C ．北偏西10°
D ．南偏西20°
6．如图4，为了测量河两岸A ，B 两点间的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，。