【配套K12】2019版高考数学(理科)总复习教师用书练习：6.2 概率、统计解答题 Word版含解

6.2概率、统计解答题

命题角度1离散型随机变量的分布列与期望、方差

高考真题体验·对方向

1.(2018全国Ⅰ·20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为

f(p)=p2(1-p)18.

因此f'(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]

=2p(1-p)17(1-10p).

令f'(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;

当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.

所以f(p)的最大值点为p0=0.1.

(2)由(1)知,p=0.1.

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),

X=20×2+25Y,即X=40+25Y.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.

2.(2017天津·16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.

(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;

2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=.

所以,随机变量X的分布列为

X0123

P

随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×.

(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,

则所求事件的概率为

P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)

=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)

=.

所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

3.(2017山东·18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.

X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).

记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=.

(2)由题意知X可取的值为:0,1,2,3,4,则

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

P(X=4)=.

因此X的分布列为

X的数学期望是E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)

=0+1×+2×+3×+4×=2.

4.(2017全国Ⅲ·18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?

由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知

P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.

因此X的分布列为

X200300500

P0.20.40.4

(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.

当300≤n≤500时,

若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;

若最高气温位于区间[20,25),

则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;

若最高气温低于20,

则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.

因此E(Y)=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.

当200≤n<300时,

若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;

若最高气温低于20,

则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.

因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.

所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.

新题演练提能·刷高分

1.(2018湖北黄冈、黄石等八市3月联考)2017年5月,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.为拓展市场,某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在5个城市的用户人数进行统计,得到如下数据:

城市品

ⅠⅡⅢⅣⅤ

牌

甲品牌

438612

(百万)

乙品牌

57943

(百万)

(1)如果共享单车用户人数超过5百万的城市称为“优质潜力城市”,否则“非优”,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关?

(2)如果不考虑其他因素,为拓展市场,甲品牌要从这5个城市中选出3个城市进行大规模宣传.

①在城市Ⅰ被选中的条件下,求城市Ⅱ也被选中的概率;

②以X表示选中的城市中用户人数超过5百万的个数,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).

下面临界值表供参考:

P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式:K2=,n=a+b+c+d.

解(1)根据题意列出2×2列联表如下:

优质优质城非优质城合