空间向量的数量积运算一
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积公式是λa·b=a·λb，空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
规定长度为0的向量叫做零向量，记为0，模为1的向量称为单位向量。与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y 轴正半轴、Z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy 面的上方，按逆时针方向确定。
在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
基本定理
1、共线向量定理
两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。
2、共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
数学《空间向量的数量积运算》
对未来研究的展望
• 展望：随着数学和物理学的发展，空间向量的数量积运算将继续发挥重要的作用。未来研究可以进一步探讨数量积运算的 性质和规律，例如探索数量积与其他向量运算之间的关系、数量积运算的几何意义等。此外，随着科技的发展，新的应用 领域将不断涌现，需要进一步拓展空间向量数量积运算的应用范围，例如在人工智能、数据分析和图像处理等领域的应用。 同时，随着数学教育的发展，如何更好地教授空间向量的数量积运算，提高学生对这一概念的理解和应用能力，也是未来 研究的一个重要方向。
应用场景
在物理学中，空间向量的数量积运算被广泛应用于解 决力学、电磁学和相对论等领域的问题。例如，在力 学中，通过计算速度和加速度的数量积，可以推导出 物体运动轨迹的方程；在电磁学中，通过计算电场和 磁场向量的数量积，可以分析电磁力的作用效果。此 外，在航天工程、地球物理学和生物学等领域，空间 向量的数量积运算也具有广泛的应用。
详细描述
分配律是数学运算中的重要性质之一，在空间向量中同样适用。根据分配律，向量 a · (向量b + 向量c) = 向量a · 向量b + 向量a · 向量c，这意味着数量积运算可以分 配到括号内的各个向量上。
03 空间向量数量积运算的几 何意义
向量长度与夹角的关系
总结词
向量长度与夹角是决定空间向量数量 积的关键因素。
向量在三维空间中的方向
高中数学空间向量的数量积运算
l m 0, l n 0, l g 0, l g, 即l g, l .
例3．如图，已知线段AB在平面内，线段AC ，线段 BD AB，线段DD ，DBD 30, 如果AB a , AC BD b，求C , D 之间的距离． C
②零向量与任意向量的数量积等于零.
2
空间向量的数量积性质 对非零向量a , b 有：
1) a e a cos a, e (e为单位向量)
2) a b a b 0
3) a a a ，或 a
2
aa
4) | a b || a || b |
注意：性质2)是证明两向量垂直的依据；
三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．
例2. 如图，m, n 是平面 内的两条相交直线， 如果l m, l n，求证：l ．
分析：根据直线和平面垂直的定义可知， 要证明l ，只需证明l 垂直平面
的任意一条直线．
空间向量的数量积运算
一、基本概念
两个向量的夹角的定义
两个向量的夹角的定义
范围： 0 a, b ， 在这个规定下，两个
向量的夹角就被唯一确定了，并且 如果 a, b , 则称 a 与 b 互相 注意： a, b a, b a, b 2 a, b＝b, a 垂直，并记作： a b (如图)．
3.1.3 空间向量的数量积运算(一)
A'
B'
D C
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 )
2 2 2
A B
85 | A C |
85
②a b a b 0 ;
③
注：
a
2
a a
也就是说
a
2 a
.
性质② 是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据；
运算律是否成立
这些运算律 ⑴ ( a ) b (a b ) 成立,说明数量积 ⑵ a b b a (交换律) 不仅有用,而且运 ⑶ a ( b c ) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方 便
空间向量数量积
类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算: 1)两个向量的夹角的定义:
如图,已知两个非零向量 a 、 ,在空间任取 b 一点 O ,作 O A a , O B b ,则角 A O B 叫做向 量 a 与 b 的夹角,记作: a , b . A a ⑴范围: 0 ≤ a , b ≤ a B O a , b =0 时, a 与 b 同向; b b a , b =π 时, a 与 b 反向 ⑵ a , b ＝ b , a ⑶如果 a , b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b 2
空间向量的数量积运算(第1课时)-高中数学获奖教案
1.1.2空间向量的数量积运算（第一课时）
(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)
一、教学目标
1.了解空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的计算方法、几何意义、性质及运算律
2.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养；通过投影向量概念的学习培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养
二、教学重难点
1.重点：空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法
2.难点：空间向量的数量积的几何意义，运算律的证明
三、教学过程
1.类比平面向量，探究空间向量数量积的相关概念和性质
1.1两个非零空间向量的夹角
问题1：类比平面向量中所学，如何定义空间向量的夹角？
【预设的答案】空间向量是自由向量，可以将两个向量平移到共起点的位置
（动态演示空间向量平移过程）
【定义】已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA → = a ，OB →
= b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉. 规定：〈a ，b 〉∈[0，π].特别地：当〈a ，b 〉= π2
时，a ⊥b .
【互动练习】（1）〈a ，b 〉=〈b ，a 〉成立吗？
（2）〈a ，b 〉= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .
（3）〈a ，b 〉= 0时,a 与b 方向 ; 〈a ，b 〉= π时,a 与b 方向 .
1.2 两个非零空间向量的数量积
【定义】已知两个非零向量a ，b ，则|a| |b| cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b . 即 a ·b = |a| |b| cos 〈a ，b 〉.规定：零向量与任意向量的数量积都等于零.
第02讲 空间向量的数量积运算(4种类型)(答案与解析)
2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）【知识梳理】
一、空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．
要点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
2.空间向量数量积的性质设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>
；②0a b a b ⊥⇔⋅= ；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅ ；⑤||||||
a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）（λa）·b=λ（a·b）；
（2）a·b=b·a（交换律）；
1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a =，OB b =，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，
那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||
空间向量的数量积运算
已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO
是PA在平面α内的射影，l ,且l OA,求证 : l PA.
r
uuur uuur
证明：如图，在直线l上取向量a,同时取向量PO, OA.
因为l OA,所以a •OA 0. 因为PO ,且l ,所以l PO,
P
O
Al
α
a
因此a • PO 0
又因为a • PA a • (PO OA) a • PO a •OA 0
所以l PA.
如图，m,n是平面α内的两条相交直线。如果
l⊥m,l⊥n,求证：l⊥α
z
l
证明：在内作任一直线g , 分别在
g
m
l, m, n, g上取非零向量l, m, n, g.
n
ln
m
因为m与n相交，所以向量 m, n不平行。α g
由向量共面的充要条件 知，存在唯一 所以l • g 0
的有序实数对 (x, y), 使g xm yn.
所以l g
将上式两边与向量l作数量 即l g 这就证明了直
积，得l • g xl • m yl • n. 线l垂直于平面内的任
因为l • m 0,l • n 0 意一条直线，所以l
证明：
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
1.1.2 空间向量的数量积运算1学生版
1.1.2空间向量的数量积运算（1）
。教学目标：
1.由平面向量的数量积定义、运算性质类比得出空间向量的数量积定义、运算性质；
2.在立体图形中进行简单的数量积运算及求模运算.
◎学科素养：
1.类比认知新知，发展数学抽象素养；
2.化归思想解题，发展数学运算素养.
◎教学重点与难点：
1.在立体图形中进行简单的数量积运算及求模运算；
2.化归意识的强化.
心敷学过程：
一、空间向量数量积
五、B是两个非零向量：
L数量积五,另=|五IBlCOSV g, b >；
2.-"αlb<=>d∙b = 0;
3.d2 = ∖a∖2.
二、典型例题
【例I】已知四面体ABC。，所有棱长均为2,点E,尸分别为棱48, CD的中点，则赤•
CE =（）
A. 1
B. 2
C. -1
D. -2
解题流程梳理:
思考：直接用定义求“而•而”有什么弊端？
［例2］如图，60。的二面角的棱上有4 B两点、,直线AC, BD分别在这个二面角的两
个半平面内，且都垂直于已知AB = 4, AC = 6, BD = 8,则CO的长为（）
A. √17
B. 7
C.2√17
D. 9
预备知识：（。+8+。）2=4+〃2+c 2+2αb+2αc+2bc.
解题流程梳理：
思考：有传统几何相比，利用向量运算求线段长有什么优势？
三、巩固练习
L 如图，在长方体ABCO -必BICIDl 中，设AD =
2.在。48C 。中，AB = AC = 1,乙ACD = 90°,将它沿
着对角线AC 折起，使AB 与CD 成60。
角，贝IJBO 的长度为（）
A. 2
B. 2或√∑
第02讲 1.1.2空间向量的数量积运算(教师版)
r r
的投影
．
所成的角．
量积的几何意义：向量a r ，b r 的数量积等于a r 的长度||a r 与b r 在的乘积或等于b
r 的长度||b r 与a r 在b r
方向上的投影||cos ,a a b <>r r r 的乘积、数量积的运算：
()a b ×r r
，R λÎ.
A ．1-
B ．1
【答案】B
【详解】由题意得1BD BA =uuuu r uuu r 则11(BD AC AD AB AA ×=-+uuuu r uuu r uuu r uuu r uuur 1111cos6011cos60=-+´´+´´o B
故12EF DC BD DC ×=×=uuu r uuu r uuu r uuu r 故答案为：14
-
【变式1】（2024秋·浙江绍兴AB AM ×=uuu r uuuu r
（ ）
【答案】2,22éù
êúëû
【详解】由已知E 为棱1B C 因为111AE AB B E AB =+=u u u r u u u r u u u r u u u r 所以(AE AC AB BB ×=++u u u r u u u r u u u r u u u r 【答案】1
8
-/-0.125
因PA^平面ABC，BC 则BC^平面PAB，又
【答案】
66
.【详解】记AB a uuu r r
=，AD b =uuu r r ，1AA =uuur 1
2
a b b c a c \×=×=×=r r r r r r ，
BD b c a =+-uuuu r r r r Q ，AC a b =+uuu r r r ，
3.1.3空间向量的数量积运算
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角， 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范 而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是 围是(0° ° 而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是[0° ° 围是 °,90°],而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是 °,180°]
在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对 中 在平行四边形 ， ° 角线AC折起 折起， 间的距离． 角线 折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离． 与 成 ° ， 间的距离
已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为 ，AC，OA， 中 分别为BC， ， 已知空间四边形 ， ， ， 分别为 ， OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN． 的中点， 的中点 ，求证： ⊥ ． 证明： 证明：
(1)三垂线定理及其逆定理中都出 三垂线定理及其逆定理中都出 现了四条线AB， ， ， ， 现了四条线 ，AC，BC，l， 定理中所描述的是AC(斜线 、 斜线)、 定理中所描述的是 斜线 BC(射影 、l(面内的直线 之间的 射影)、 面内的直线 面内的直线)之间的 射影 关系． 关系． 在三垂线定理及其逆定理中， 在三垂线定理及其逆定理中， 涉及上面四条线， 涉及上面四条线，三个垂直 关系 垂线AB和平面 垂直； 和平面α ①垂线 和平面α垂直； 射影BC和直线 垂直； 和直线l垂直 ②射影 和直线 垂直； 斜线AC和直线 垂直， 和直线l垂直 ③斜线 和直线 垂直， 所以定理称为“ 所以定理称为“三垂线定 理”． (2)两个定理的区别 两个定理的区别 ①从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直 从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“ 线与斜线垂直” 逆定理相反． 推出 线与斜线垂直”，逆定理相反． 从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“ ②从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“共面直线垂直 异面直线垂直” 逆定理相反． 推出 异面直线垂直”，逆定理相反．
空间向量的数量积和向量积
空间向量的数量积和向量积
空间向量是三维空间中的矢量，有数量积和向量积两种运算。
一、数量积
数量积，也称为点积或内积，是指两个向量之间进行的一种运算，
结果是一个标量。数量积的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，
并将乘积相加。设有两个向量A = (A1, A2, A3)和A = (A1, A2, A3)，它
们的数量积表示为A·A。计算公式如下：
A·A = A1A1 + A2A2 + A3A3
数量积有以下几个重要性质：
1. 交换律：A·A = A·A
2. 结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)，其中A为常数。
3. 分配律：A·(A + A) = A·A + A·A
数量积可以用来计算向量之间的夹角和向量的投影。夹角公式如下：cos A = A·A / (│A││A│)
其中，A为A和A之间的夹角，│A│和│A│分别为向量A和A的模。
二、向量积
向量积，也称为叉积或外积，是指两个向量之间进行的一种运算，
结果是一个新的向量。向量积的计算方法是利用行列式，将原向量和
单位向量按照一定的顺序排列成矩阵，然后计算该矩阵的行列式。设
有两个向量A = (A1, A2, A3)和A = (A1, A2, A3)，它们的向量积表示为
A×A。计算公式如下：
A×A = (A2A3 - A3A2, A3A1 - A1A3, A1A2 - A2A1)
向量积有以下几个重要性质：
1. 反交换律：A×A = -A×A
2. 分配律：A×(A + A) = A×A + A×A
向量积的模可以表示为：
│A×A│ = │A││A│sinA
空间向量的数量积运算
= | OA || OC ' | =左边
• 对比思考，深入理解
思考问题1 对于三个均不为0的数a,b,c，若ab=ac，则b=c. 对于非零向量a,b,c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？
不一定！
由a·b = a·c， a·b－a·c ＝0，有a·(b－c)＝0.
从而有b－c ＝0即b＝c 或 a⊥(b－c).
记OC与OA的夹角为 则 OC cos = OC '
O
C’ A
a
左边 OA (OB BC ) OAOC
= | OA || OC | cos = | OA || OC ' |
• 分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c的证明 左边= | OA || OC ' |
B
b
c
C
O B’
C’ A
a
OB向OA投影，投影向量为OB ' 记OB与OA的夹角为1
2
互相垂直，记作a⊥b .
A
a
O bB
• 问题一 • 两个非零空间向量的夹角：
（1）向量a,b同向 （2）向量a,b反向
a,b=0
a b
ab
OA B
a
a,b=
b
b
a
B
OA
• 问题二 • 两个非零空间向量的数量积： 已知两个非零向量a,b, 则 a b cosa, b叫做a, b的数量积(inner product)
空间向量的数量积与向量积
空间向量的数量积与向量积
向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机科
学等领域。在向量运算中，数量积和向量积是两个常见的运算，它们
具有不同的定义和性质。本文将详细介绍空间向量的数量积和向量积，并探讨它们的应用和意义。
一、空间向量的数量积
数量积，也称为点积或内积，是向量运算中的一种。对于两个向量
a和b，它们的数量积定义为：
a·b = |a|·|b|·cosθ
其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示夹角。从定义可以看出，数量积的结果是一个标量，它表示两个向量的相似程度。
数量积具有以下性质：
1. 交换律：a·b = b·a
2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c
3. 数乘结合律：(λa)·b = λ(a·b)
数量积可以用来判断两个向量之间的夹角，当两个向量夹角为90°时，数量积为0；夹角大于90°时，数量积为负；夹角小于90°时，数
量积为正。因此，数量积可以用来判断两个向量的正交性。此外，数
量积还可以求解向量的投影、判断垂直或平行关系等。
二、空间向量的向量积
向量积，也称为叉积或外积，是向量运算中的另一种。对于两个向
量a和b，它们的向量积定义为一个新的向量c，满足以下条件：
c = a × b
|c| = |a|·|b|·sinθ·n
其中，θ表示夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量。从定义可以看出，向量积的结果是一个向量，它垂直于由a和b构成的平面。
向量积具有以下性质：
1. 反交换律：a×b = -b×a
2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c
空间向量数量积
(
)
注意: 注意: 数量， 两个向量的数量积是数量 而不是向量. ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 规定:零向量与任意向量的数量积等于零. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零
平面向量数量积的运算律： 平面向量数量积的运算律： ： 三、空间向量数量积的运算律： 空间向量数量积的运算律
r r r r (1)(λ a ) ⋅ b = λ (a ⋅ b ) r r r r 交换律) (2)a ⋅ b = b ⋅ a (交换律) r r r r r r r 分配律) (3)a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c (分配律)
B
r b r b
O
B
r a
A
空间向量的数量积运算
一、空间向量共线定理： 空间向量共线定理：
r r r b 空间两个向量a与（b ≠ 0）共线的充要条件是 r r 存在实数λ ,使得a = λb .
二、空间向量数量积的定义
r r r r r r 已知空间 已知空间两个非零向量ra,r , 则 a b cos < a, b > r 空间两个非零向量 b r 的数量积， 叫做 a, b 的数量积，记作a ⋅ b , 即 r r r r r r r r a ⋅ b = a b cos < a , b > 0 ≤< a , b >≤ π
空间向量的数量积运算(第一课时
VS
详细描述
交换律在空间向量的数量积运算中非常重 要，它意味着无论我们如何排列两个向量 的顺序，其数量积的结果都是相同的。例 如，向量$mathbf{A}$和向量 $mathbf{B}$的数量积为$mathbf{A} cdot mathbf{B}$，而向量$mathbf{B}$和向量 $mathbf{A}$的数量积为$mathbf{B} cdot mathbf{A}$，根据交换律，这两个结果应 该是相等的。
03
总结词
04
掌握向量点乘在解决几何问题中 的应用技巧
详细描述
在解决几何问题时，我们可以利 用向量点乘的性质和计算方法来 简化问题。例如，利用向量点乘 计算向量的模、向量的夹角等； 利用向量点乘实现旋转、平移等 变换等。
向量点乘在物理问题中的应用
总结词
详细描述
总结词
详细描述
理解向量点乘在物理问题中的 应用
向量点乘在物理问题中也有着 广泛的应用。例如，在力学中 ，向量点乘可以用于计算力矩 、动量等；在电磁学中，向量 点乘可以用于计算电流、电压 等。
掌握向量点乘在解决物理问题 中的应用技巧
在解决物理问题时，我们可以 利用向量点乘的性质和计算方 法来简化问题。例如，利用向 量点乘计算力矩、动量等；利 用向量点乘实现力的合成与分 解等。
03
向量的模与数量积的 关系
$|mathbf{A}| = sqrt{mathbf{A} cdot mathbf{A}}$，即向量的模的平方等于 该向量与自身的数量积。
空间向量的数量积运算
问题 2：（1）对于三个均不为 0 的数 a，b，c，若 ab=ac， 则 b=c.对于向量 a, b, c ，由 a b a c ，能得到 b c 吗？如果 不能，请举出反例。
（2）对于三个均不为
0
的数
a，b，c，若
ab=c，则
a
c b
（或 b
c a
）。对于向量
a,b
，若
a
b
3.1.3空间向量的数量积运算
1、空间向量的夹角：
已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，
OB＝b，则∠AOB叫做向量 a，b的夹角，记作〈a , b〉。
A
B
a
b
ab
O
a,b a,b a,b a,b
2、空间向量的数量积：
已知两个非零向量 a，b，则 | a || b |cos〈a,b〉叫做 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝ | a || b |cos〈a,b〉 。
a·b的几何意义：
a 的长度| a |与 b 在 a 方向上的投影| b | cos〈a,b〉的乘积。
特别的：
(1)a
a
|
a
||
a
|
cos
a,
a
|
a
|2
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1)若 a b 0,则 a 0, b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
()
3)
2
p
2
q
(
p q)2
( )
2
2
4) p q p q p q
( )
ABCD ABCD AB 4
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60
A' D A
AC
D' B'
C B
Байду номын сангаас
C'
解： AC AB AD AA
| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2 2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
| AC | 85
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取
一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b .
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ a a, b =0 时, a 与 b 同向;
b
a, b =π 时, a 与 b 反向
A
a
B O
b
⑵ a, b＝b, a
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间向量的数量积运算(一)
引入
数量积运 算定义
课堂练习
思考1数量 积的性质
思考2数量 积的运算律
空间向量的数量积运算(一)
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
空间向量数量积
类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算: 1)两个向量的夹角的定义:
A
a
A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
2
a
.
注：
性质② 是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据；
运算律是否成立
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴(a) b (a b)
这些运算律
⑵ a b b a (交换律)
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
便
⑴、⑵是显然成立的
思考：你能证明分配律成立吗？
注意：数量积不满足结合律即 （a b) c a (b c)
另外 a b a c b c 及ab 0 a 0或b 0
练习运算
课堂练习
1.已知 a 2 2 , b
2 ,ab
2,
2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
2.判断真假: