圆的标准方程
圆的标准方程
解此方程组，得 a=2 , b=-3 , r2=25 所以， △ABC的外接圆的方程是 (x-2)2+(y+3)2=25
3.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2C的圆的标准方程。
4.求过圆x y r 上一点M(x0 ,y0 )的切线方程。
2.3.1 圆的标准方程
圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点的集合 (轨迹)是圆. 定点就是圆心, 定长就是半径. 怎样求出圆心是A(a,b),半径是r的圆 y 的方程?
圆的标准方程：
O
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心是A(a,b), 半径是r
x
A
r
M
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
点M0在圆上 点M0在圆内 点M0在圆外
例题分析
例2、△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)， B(7,-3)，C(2,-8)，求它的外接圆的方程.
解：设的求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 (5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 根据题意，可得
2 2 2 (7 a ) (3 b) r (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2
求曲线方程的步骤
•1、选系 •2、取动点 •3、列方程 •4、化简
练习
4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.
Y Y=X C(2,2) -2 X 0 C(-2,-2) -2 2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
2 2 2
练习
5.已知圆满足(1)截y轴所得弦长为2.(2)被x轴分成两段 圆弧，其弧长之比为3：1.(3)圆心到直线L:x-2y=0的距离 5 为 ，求该圆的方程。 5
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面几何中常见的一种图形，具有许多独特的性质和特点。
在代数几何中，我们经常需要用方程来描述圆的性质和位置。
而圆的标准式方程就是一种常用的描述方法，它能够清晰地表达圆的位置、半径和中心点，是我们研究圆的重要工具之一。
首先，让我们来看一下圆的标准式方程是如何定义的。
对于平面上的一个圆，假设它的中心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准式方程可以表示为：(x a)² + (y b)² = r²。
在这个方程中，(x, y)表示平面上的任意一点的坐标，(a, b)表示圆的中心坐标，r表示圆的半径。
通过这个方程，我们可以清晰地描述出圆的位置和大小。
接下来，让我们来看一些具体的例子，来说明如何使用圆的标准式方程。
例1，求圆心坐标为（3，4），半径为5的圆的标准式方程。
根据圆的标准式方程的定义，我们可以直接写出方程：(x 3)² + (y 4)² = 5²。
化简得：(x 3)² + (y 4)² = 25。
这样，我们就得到了这个圆的标准式方程。
例2，已知圆的标准式方程为(x + 2)² + (y 1)² = 9，求圆的中心坐标和半径。
通过观察方程，我们可以直接得到圆的中心坐标为(-2, 1)，半径为3。
这是因为标准式方程中，圆心坐标为(-a, -b)，半径为r。
通过这两个例子，我们可以看到，圆的标准式方程可以很方便地描述圆的位置和大小，对于研究圆的性质和问题非常有用。
除了描述圆的位置和大小外，圆的标准式方程还可以用来解决一些与圆相关的问题，比如与直线的交点、切线方程等。
在代数几何和解析几何中，我们经常会遇到这样的问题，而圆的标准式方程可以为我们提供一个方便的工具，帮助我们解决这些问题。
总之，圆的标准式方程是描述圆的位置和大小的重要工具，它能够清晰地表达出圆的特点，方便我们进行进一步的研究和应用。
圆的一般方程如何化为标准方程公式
圆的一般方程如何化为标准方程公式圆是一个平面内到定点距离为定值的点的集合，那么圆的一般方程可以表示为：(x-a)²+ (y-b)²= r²其中，(a, b)是圆心坐标，r是圆的半径。
我们可以通过一些代数运算将圆的一般方程化为标准方程公式，即：(x-h)²+ (y-k)²= r²其中，(h, k)是圆心坐标。
具体方法如下：1. 将一般方程展开，得到：x²- 2ax + a²+ y²- 2by + b²= r²2. 将x²和y²的系数变为1，即将方程两边同时除以r²，得到：(x²- 2ax + a²)/r²+ (y²- 2by + b²)/r²= 13. 对于第一项，我们可以将x²- 2ax + a²写成(x - a)²的形式，即：(x - a)²= x²- 2ax + a²所以，我们可以将第一项化为：(x - a)²/r²4. 同理，对于第二项，我们可以将y²- 2by + b²写成(y - b)²的形式，即：(y - b)²= y²- 2by + b²所以，我们可以将第二项化为：(y - b)²/r²5. 将第三步和第四步的结果代入原方程，得到：(x - a)²/r²+ (y - b)²/r²= 16. 最后，将r²移到等号右边，即可得到标准方程公式：(x - a)²+ (y - b)²= r²因此，圆的一般方程可以通过一些代数运算化为标准方程公式，使得我们更方便地研究和理解圆的性质和特征。
圆的16个公式
圆的16个公式1.圆的面积：S=πr²=πd²/4。
2.扇形弧长：L=圆心角（弧度制）*r=n°πr/180°（n为圆心角）。
3.扇形面积：S=nπr²/360=Lr/2（L为扇形的弧长）。
4.圆的直径：d=2r。
5.圆锥侧面积：S=πrl（l为母线长）。
6.圆锥底面半径：r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）。
7.圆的周长：C=2πr或C=πd。
8.圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
9.圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
可变形为（x+D/2）^2+（y+E/2）^2=（D^2+E^2-4F）/4。
故有：10.当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D^2+E^2-4F）/2为半径的圆；11.当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；12.当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。
13.圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ,y=b+r*sinθ,（其中θ为参数）。
14.圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0。
15.圆的离心率e=0，在圆上任意一点的半径都是r。
16.经过圆x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为a0*x+b0*y=r^2。
圆的通用方程
圆的通用方程圆的通用方程圆是平面几何中的一种基本图形，它具有许多重要的性质和应用。
在数学中，圆可以用不同的方式来表示和描述，其中最常用的是通用方程。
一、圆的定义圆是一个平面上所有到定点距离相等的点构成的集合。
这个定点称为圆心，到定点距离称为半径。
半径相等的圆互相重合。
二、圆的标准方程在直角坐标系中，如果一个圆心坐标为(h,k)，半径为r，则这个圆可以表示为：(x-h)² + (y-k)² = r²这就是标准方程。
其中，(x,y)表示平面上任意一点的坐标。
三、通过图像理解通用方程通用方程也可以通过图像来理解。
假设有一个以原点为中心，半径为r 的圆，则它可以表示为：x² + y² = r²这个公式描述了所有到原点距离等于r的点构成的集合。
如果将原点移到(h,k)，则公式变成：(x-h)² + (y-k)² = r²这个公式描述了所有到(h,k)距离等于r的点构成的集合。
四、如何从通用方程求出其他参数？从通用方程可以求出圆的半径、圆心坐标和直径等参数。
具体方法如下：1. 半径：将通用方程中的r²提取出来，即可得到半径的值。
2. 圆心坐标：将通用方程展开，化简后得到形如x² + y² + Dx + Ey +F = 0的一般式方程。
然后，通过配方法，将它转化为(x - h)² + (y -k)² = r²的形式，即可得到圆心坐标(h,k)。
3. 直径：直径是圆上两点之间的最长距离。
因此，可以在通用方程中找到两个点，并计算它们之间的距离。
这个距离就是直径。
五、例题解析例题1：已知圆心坐标为(2,-3)，半径为5，求该圆的通用方程。
解：根据公式(x-h)² + (y-k)² = r²，代入已知数据可得：(x-2)²+ (y+3)² = 25这就是该圆的通用方程。
圆标准方程
－3 o
3
x
例3、求过点 A ( 2 , －3 )、B (－2 , －5 ) 且圆
心在直线 x －2y －3 = 0 上的圆的方程。 AB 的中垂线为 y = －2x －4
y 2 x 4 由 x 2y 3 0
y
B
o
A
x
得圆心 (－1 , －2 ) ∴ ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 10
； / 小学数学
来，他赶快跟德妃开口道：“额娘，儿子今天没有啥啊事情，就陪您用膳吧。”自从出行の这几天来，德妃早就对二十三小格心生疑惑。知子莫 如母，这各天不怕地不怕の小儿子，整天壹副吊儿郎当、玩世不恭の样子，怎么自从出行这些日子以来，完全变咯壹各人！这各变化真是太大咯， 说话再也不像以前那么不管不顾、无所顾忌、开口就来，而是恭敬有加、谦谦君子，行为举止也不像以前那么毛手手脚、随心所欲，而是端庄稳 健，像模像样。而且，整各人还变得格外体贴入微起来：昨天在她床前嘘寒问暖，今天居然主动提出陪她用晚膳，难道说真是日头要从西边出来 咯？虽然不知道这是为啥啊，但不管啥啊原因，老二十三の这各转变还是令她高兴极咯，于是不住地点头：“好啊，好啊，祯儿以后干脆就在额 娘这里用膳吧，省得来回跑来跑去。”第壹卷 第242章 解困二十三小格完全是因为水清の原因，才临时起意提出要陪德妃娘娘用晚膳。当时水 清尴尬地站在那里进退两难，他是看在眼里急在心中，为咯将小四嫂从窘境中解救出来，他绞尽脑汁地寻找着法子以期给她解围。正在心急之际， 竟然有如神助地赶上晚膳时间咯。假如他留在这里用膳，正好水清就有事情做咯，可以服侍额娘用晚膳。否则他和塔娜壹走，把小四嫂壹各人晾 在那里，真是于心不忍。二十三小格哪昊知道，他本是出于替小四嫂解围而提议留下来晚膳，却是正中咯德妃娘娘の下怀。德妃对二十三小格那 是打心眼儿里喜欢，恨不能时时刻刻陪在自己の身边。平时在宫里，就算是皇子小格，晚上时间壹到，全都得迅速离宫，现在到咯塞外，没有咯 那么多の繁文缛节，没有咯那么严格の宫规例律，终于可以跟二十三小格多呆壹会儿，多享受壹些母子相处の幸福时光。此刻她还不住地后悔， 怎么自己早没有想到这各法子？老二十三可真是成熟多咯，知道体贴额娘咯，真是没有白疼他这么多年，实在是让人欣慰呢。二十三小格只是想 临时为水清解围，谁想到从此以后，竟被德妃要求天天共进晚膳。唉，也顾不咯以后咯，先把今天解决咯再说吧。秋婵已经布好咯菜，二十三小 格径自坐咯下来。塔娜照顾自家爷，水清和秋婵照顾德妃娘娘。这壹顿饭，德妃吃得是心花怒放，心满意足，二十三小格吃得是食不甘味。因此 用过膳后，二十三小格立即起身告退：“额娘，儿子还有壹件急事要办，现在已经有些晚咯，这就先告辞咯。”“好，好，你赶快去吧，别耽搁 咯正事。”二十三小格根本没有任何事情，他是不想当着小四嫂の面，和塔娜壹起回去，于是就随口编咯壹各理由，先行离开，留下塔娜和水清 收拾完残局。塔娜虽然想跟自家爷壹起离开，可是眼看着小四嫂壹各人在忙碌着，她只好咽下咯
圆的标准方程和一般方程
圆的标准方程和一般方程一、基本知识点：1、标准方程的推导：2、几个注意点：①圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2中,有三个参数a 、b 、r,只要求出a 、b 、r 且r ＞0,这时圆的方程就被确定,所以确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2；2°根据已知条件,建立关于a 、b 、r 的方程组；3°解方程组,求出a 、b 、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.③点M(x 0,y 0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的关系的判断方法：1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2,点在圆外;2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2,点在圆上;3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2,点在圆内.3、一般方程的推导：问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.4、几个注意点：(ⅰ)当D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-2D ,-2E )为圆心,21F E D 422-+为半径的圆； (ⅱ)当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x=-2D ,y=-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E ); (ⅲ)当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.二、例题：例1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3； ⑵圆心在点C(3,4),半径是5;(3)经过点P(5,1),圆心为C(8,-3)； (4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-5,-1)是否在这个圆上.例3 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0; (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.巩固训练：求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0; (2)x2+y2+2by=0.例4 已知点P(10,0),Q为圆x2+y2=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程.巩固训练：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.例5 △ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.（两种解法）变式：已知圆在x轴上的截距分别为1和3,在y轴上的截距为-1,求该圆的方程.例6：一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.变式：求圆心在直线l：x+y=0上,且过两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.例7 试求圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的圆C′的方程.变式：若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，求a－b的取值范围。
圆的标准方程求圆心
圆的标准方程求圆心圆是平面上一点到另一点的距离恒定的闭合曲线，它是几何中的重要概念之一。
在解决与圆相关的问题时，我们经常需要求得圆的标准方程和圆心，本文将介绍如何通过给定的条件求得圆的标准方程并进而求得圆心的方法。
首先，我们来看一下圆的标准方程。
圆的标准方程可以表示为：(x h)² + (y k)² = r²。
其中，(h, k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
通过这个方程，我们可以清晰地看到圆心的位置以及半径的大小。
而要求得圆的标准方程，我们需要已知圆上的一个点和圆的半径。
接下来，我们将介绍两种常见的情况来求得圆的标准方程和圆心。
第一种情况是已知圆心和半径，求得圆的标准方程。
假设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，我们可以直接利用圆的标准方程来表示圆：(x h)² + (y k)² = r²。
这里的(h, k)即为圆心的坐标，r为圆的半径。
通过已知的圆心和半径，我们可以轻松地得到圆的标准方程。
第二种情况是已知圆上的三个点，求得圆的标准方程和圆心。
假设圆上的三个点分别为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，我们可以利用这三个点的坐标来求得圆的标准方程。
首先，我们可以利用这三个点的坝之间的距离关系得到圆的标准方程，然后进一步求得圆心的坐标。
通过以上两种情况的介绍，我们可以清晰地了解如何求得圆的标准方程和圆心。
在实际问题中，我们经常需要利用这些知识来解决各种与圆相关的数学和几何问题。
掌握了这些方法，我们就能更加灵活地运用圆的标准方程和圆心的概念，解决各种复杂的问题。
总结一下，本文介绍了如何通过已知的条件来求得圆的标准方程和圆心。
通过已知圆心和半径，我们可以直接得到圆的标准方程；通过已知圆上的三个点，我们可以利用这些点的坐标关系来求得圆的标准方程和圆心。
这些方法在解决与圆相关的问题时非常实用，希望本文能对大家有所帮助。
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课题：圆的标准方程
克拉玛依市第十三中学彭菊
一、设计思路：教师引导、学生自主阅读、合作交流思考、探索新知。
二、教材分析：
1、地位：本节课是人教A版必修二第四章圆与方程的第一节课——圆的标准方程，本节内容是在学生认识圆，熟知圆的几何性质，研究了直线与方程，知道了在直角坐标系中，通过方程可以研究直线的相关问题，对数形结合的思想有了初步的体验，在此基础上进一步探究圆的方程，是后面通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆问题的基础。
2、作用：
承上：和直线方程相结合，进一步完善解析几何的本质学习：用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要数学思想。
启下：是后面运用代数方法研究圆的其它相关知识的基础和关键，也是培养学生学习思想、学习方法的关键。
3、三维目标：
知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，化归与转化思想。
通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题
的能力。
在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数法处理几何问题的思想。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，锻炼学生的意志品质，培养学生的爱国热情。
4、教学重点：圆的标准方程。
解决办法：通过教师引领，学生自学，层层递问，巩固练习五种手段解决
5、教学难点：根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
解决办法：教师示范，学生小组交流，相互补充
三、学情分析：
小学阶段学生已初步认识了圆，学生具备了一定的生活经验和知识基础.但这些认识较多的是感性认识。
初中阶段学生已经具备一定的分析、归纳能力，以及研究直线图形的经验，并且对圆的几何性质有了一定的认识。
高二的学生已经学习了直线与方程。
知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题，对数形结合的思想方法有了初步的体验。
四、教学方法：
教法:教师主要采用“引导”的方式.教师巧设情境和活动，以旁激侧引的方式使学习不断深入。
学法：“自主交流探究”的方法学生在自主交流探究互相协作和谐发展，感受知识的生成过程。
五、教学流程：
学生自主阅读，共同探究圆的标准方程练习巩固探究用代数的方
小结巩固练习作业布置。
六、教学过程：
备选习题：已知圆心为C的圆经过点A（1,1）和B（2，-2），且圆心在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。
七、教学反馈：。