2018届二轮 概率与概率分布 专题卷 理(全国通用)

专题能力训练18 概率与概率分布
(时间:60分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.(2017浙江金华十校期末)有各不相同的5个红球、3个黄球、2个白球,事件A:从红球和黄球中各选1个球,事件B:从所有球中选取2个球,则事件A发生是事件B发生的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为()
A B
C D
3.同时掷两个骰子,则向上的点数之差的绝对值为4的概率是()
A B
C D
4.中秋节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为()
A B
C D
5.在高三的一个班中,有的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么数学成绩优秀的学生数ξ~B,则P(ξ=k)取最大值的k值为()
A.0
B.1
C.2
D.3
6.随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=()
A
B
C
D
7.随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=()
A.2
B.3
C.4
D.5
8.(2017浙江绍兴一模)已知p>0,q>0,随机变量ξ的分布列如下:
ξp q
P q p
若E(ξ)=,则p2+q2=()
A B C D.1
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是.
10.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是.
11.盒中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中随机摸出3个小球,记摸到黑球的个数为X,则P(X=2)=,E(X)=.
12.某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏,根据他的游戏经验,每次开启一个新的游戏,这三个关卡他能够通关的概率分别为(这个游戏的游戏规则是:如果玩者没有通过上一个关卡,他照样可以玩下一个关卡,但玩该游戏的得分会有影响),则此人在开启一个这种新的游戏时,他能够通过两个关卡的概率为,设X表示他能够通过此游戏的关卡的个数,则随机变量X的数学期望为.
13.设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则E(Y)=,D(Y)=.
14.已知离散型随机变量X的分布列为
则变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=.
三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分15分)2017年3月,智能共享单车项目正式登陆某市,两种车型(“小绿车”“小黄车”)采用分时段计费的方式,“小绿车”每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算);“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为,三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”,丙租用“小黄车”.
(1)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;
(2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.
16.(本小题满分15分)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则试验结束.
(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率;
(2)记试验次数为X,求X的分布列及数学期望E(X).
参考答案
专题能力训练18概率与概率分布
1.A解析事件A:从红球和黄球中各选1球,能推出事件B:从所有球中选取2球,是充分条件;
事件B:从所有球中选取2球,推不出事件A:从红球和黄球中各选1球,不是必要条件.故选A.
2.A解析令A=“甲、乙下成和棋”,B=“甲获胜”,C=“甲输”,则=“甲不输”.
∵P(A)=,P(B)=,∴P(C)=1-.
∴P()=1-.故甲不输的概率为.
3.C解析同时抛掷两个骰子,向上的点数共有36个结果,其中点数之差的绝对值为4的结果有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2),共4个,所求概率为,故选C.
4.B解析“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,所以P()=,P()=,P()=,由题意知,A,B,C相互独立.
所以三人都不回老家过节的概率为P()=P()P()P()=.
故至少有一人回老家过节的概率为P=1-.
5.B解析由
解得≤k≤,
因为k为自然数,所以k的最大值为1.故选B.
6.B解析设P(X=1)=p,P(X=2)=q,
∵E(X)=0×+p+2q=1,①
又+p+q=1,②
由①②得p=,q=,∴D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=.故选B.
7.C解析p=1-,
E(X)=0×+2×+a×=2⇒a=3,
∴D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1,∴D(2X-3)=22D(X)=4.
8.C解析∵p>0,q>0,E(ξ)=,
∴由随机变量ξ的分布列的性质得
∴p2+q2=(q+p)2-2pq=1-.故选C.
9. 解析由题意知,所求概率P=.
10. 解析从A,B中各取一个数,有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中和为4的有两种情况(2,2),(3,1),故所求事件的概率P=.
11. 解析P(X=2)=,
由P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=3)=,
ξ
E(X)=.
12. 解析随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
又P(X=2)=,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=3)=.
所以,
所以随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×.
13.5.88.96解析E(X)=0+1×0.1+2×0.1+3×0.3+4×0.3=2.4,D(X)=2.24.∴E(Y)=2E(X)+1=5.8;D(Y)=22D(X)=8.96.
14.1解析a+=1,解得a=,所以期望E(X)=0×+1×+2×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×.
15.解 (1)由题意得,甲、乙、丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为.
记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A,则P(A)=.
答:甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为.
(2)ξ可能取值有2,2.5,3,3.5,4;
P(ξ=2)=;
P(ξ=2.5)=;
P(ξ=3)=;
P(ξ=3.5)=;
P(ξ=4)=.
甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为
所以E(ξ)=2×+2.5×+3×+3.5×+4×.
16.解 (1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A,则P(A)=.
(2)由题知X的可能取值为1,2,3,4,则
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=.
所以X的分布列为
所以E(X)=1×+2×+3×+4×.。