小学奥数专题排列组合
小学奥数排列组合[整理版]
奥数解排列组合应用题排列组合问题是必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种 解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有21110872520C C C =种,选C .(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案:A .6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?解析:把四名学生分成3组有24C 种方法,再把三组学生分配到三所学校有33A 种,故共有234336C A =种方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案:B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:①若甲乙都不参加,则有派遣方案48A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A 方法,所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.例9.(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析:按题意,个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况,分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个,合并总计300个,选B .(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A = 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A = ð共有86个元素;由此可知,从A 中任取2个元素的取法有214C ,从A 中任取一个,又从I A ð中任取一个共有111486C C ,两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?解析:将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集,能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ;能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ,能被4除余2的数集{}2,6,,98C = ,能被4除余3的数集{}3,7,11,99D = ,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从,B D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+- .例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
小学奥数之排列组合问题
题目:将5个不同的小球放到4个不同的盒子里,要求每个盒子都不空,则不同的放法种数为 _______. 答案:60
掌握基础概念和公式
理解排列组合的原理和计算方法
理解排列组合的概念和公式
练习题:有5个不同的小球放到4个不同的盒子里,要求每个盒子都不空,则不同的放法种数为多少? 答案解析:根据题意,先选出5个小球,再将其分成4组,然后对4组进行排列,最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理,共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。答案解析:根据题意,先选出5个小球,再将其分成4组,然后对4组进行排列,最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理,共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。练习题:有7把椅子摆成一排,现有3人随机就座,那么任何两人不相邻的坐法种数为多少? 答案解析:先将没有人坐的4把椅子排好,再将有人坐的3把椅子插空,最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理,共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析:先将没有人坐的4把椅子排好,再将有人坐的3把椅子插空,最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理,共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。练习题:用数字0,1,2,3,4可以组成多少个无重复数字且大于2000的三位数? 答案解析:对于三位数的百位数字,不能为0,所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个,共有4种选择。对于十位数字和个位数字,由于不能有重复数字,所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理,共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。答案解析:对于三位数的百位数字,不能为0,所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个,共有4种选择。对于十位数字和个位数字,由于不能有重复数字,所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理,共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。练习题:有7把椅子摆成一排,现有3人随机就座,那么任何两人不相邻的坐法种数为多少? 答案解析:先将没有人坐的4把椅子排好,再将有人坐的3把椅子插空,最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理,共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析:先将没有人坐的4把椅子排好,再将有人坐的3把椅子插空,最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理,共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。
小学数学五年级奥数3--排列组合(一)
排列组合(一)例1:探究“排列”从1、2、3、4、5中挑两个数字组成一个两位数,共可组成多少个不同的两位数?乘法原理:排列原理:例2:探究“组合”从1、2、3、4、5中挑选两个数字,有多少种选法?乘法原理:组合原理:例3:排队问题有6个年龄互不相同的人,3人一排,站成两排。
(1)如果可以随便站,那么一共有多少种排法?(2)如果第一排的每一个人都比第二排的小,那么一共有多少种排法?例4:圆圈连线如图,在一个圆周上有9个点,以这些点为顶点或端点,一共可以画出()条线段;()个三角形;()个四边形。
练习1:从5、6、7、8、9这五个数字中选出四个数字(不能重复)组成四位数,共能组成多少个不同的四位数?练习2:甲、乙、丙、丁四个人站成一排照相,一共有多少种不同的排法?练习3:学生会召集各班正、副班长,学习委员开会。
五(2)班参加会议的班干部到会堂后,发现还有11个空座位,那么他们一共有多少种不同的坐法?练习4:从1、2、3、4、5中任意取三个数字,从6、7、8、9中任取两个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位数?练习5:在一个圆周上有7个点,那么以这些点为顶点或者端点,一共可以画出多少条线段?多少个三角形?多少个四边形?练习6:一个圆周上有10个点,任意两点用线段连接,那么这些线段在圆内最多有多少个交点?练习7:学校举行四、五、六年级的足球比赛,其中四年级共有8个班,五年级共有7个班,六年级共有6个班。
比赛按年级分成3个小组,先各小组都进行单循环赛,然后再由各组的前两名共6个班进行单循环赛,决出冠亚军。
一共需要比赛多少场?练习8:学校体操队有18名同学,从中选出2名同学,(1)分别担任正副队长,有多少种不同的选法?(2)去参加全市的体操比赛,有多少种不同的选法?练习9:新学期的班会上,大家要从9名候选人中选出4名同学组成班委会,那么一共有多少种选法?如果贝贝一定要当选,有多少种不同的选法?练习10:7本不同的故事书,任选4本分给4名同学,每人一本,有多少种不同的分法?练习11:一本书有400页,数字1在这本书里出现了多少次?第十二届中环杯决赛题选如图,半圆连同直径上共有10个点,以这些点为顶点,可以构成()个三角形。
小学奥数~排列组合
奥数解排列组合应用题排列组合问题是必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有21110872520C C C =种,选C .(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案:A .6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?解析:把四名学生分成3组有24C 种方法,再把三组学生分配到三所学校有33A 种,故共有234336C A =种方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案:B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况: ①若甲乙都不参加,则有派遣方案48A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A 方法,所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.例9.(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析:按题意,个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况,分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个,合并总计300个,选B .(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素;由此可知,从A 中任取2个元素的取法有214C ,从A 中任取一个,又从I A 中任取一个共有111486C C ,两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. (3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?解析:将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集,能被4整除的数集{}4,8,12,100A =;能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =,能被4除余2的数集{}2,6,,98C =,能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从,B D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
小学奥数思维训练排列组合专项练习
小学数学专项训练排列组合(经典透析)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、解答题1.小明和小王从北京出发先到天津看海,然后再到上海东方明珠塔参观.从北京到天津可以坐火车或者坐公共汽车,坐火车有4种车次,坐公共汽车有3种车次;而从天津到上海可以坐火车,公共汽车,轮船或者飞机,火车有3种,汽车有5种,轮船有4种,飞机有2种.问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法?2.某公园有两个园门,一个东门,一个西门.若从东门入园,有两条道路通向龙凤亭,从龙凤亭有一条道路通向园中园,从园中园又有两条道路通向西门.另外,从东门有一条道路通向游乐场.从游乐场有两条道路通向水上世界,另有一条道路通向园中园.从水上世界有一条道路通向西门,另有一条道路通向小山亭,从小山亭有一条道路通向西门.问若从东门入园,从西门出园一共有多少种不同的走法(不走重复路线)?3.由数字0、1、2、3组成三位数,问:①可组成多少个不相等的三位数?①可组成多少个没有重复数字的三位数?4.如下图,A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色,要使相邻的区域染不同的颜色,共有多少种不同的染色方法?5.4名同学到照相馆照相。
他们要排成一排,问:共有多少种不同的排法?6.从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张,作成一道两个一位数的乘法题,问:①有多少个不同的乘积?①有多少个不同的乘法算式?7.如下图,问:①下左图中,共有多少条线段?①下右图中,共有多少个角?8.从5幅国画,3幅油画,2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室,问有几种选法?9.国家举行足球赛,共15个队参加.比赛时,先分成两个组,第一组8个队,第二组7个队.各组都进行单循环赛(即每个队要同本组的其他各队比赛一场).然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛,决出冠亚军.问:①共需比赛多少场?①如果实行主客场制(即A、B两个队比赛时,既要在A队所在的城市比赛一场,也要在B队所在的城市比赛一场),共需比赛多少场?参考答案:1.98种【解析】【分析】首先看他们完成整个过程需要几个步骤,这是判断利用加法原理和乘法原理的依据.很明显整个过程要分两步完成,先从北京到天津,再从天津到上海,应该用乘法原理.我们再分开来看,先看从北京到天津,无论是坐火车还是汽车都是一步完成,所以要用加法原理,同样的道理,从天津到上海的走法计算也应该用加法原理.【详解】解:从北京到天津走法有:4+3=7种,从天津到上海走法有:3+5+4+2=14(种).从北京到上海的走法有:7×14=98(种).答:小明和小王从北京到上海旅游一共有98种走法.2.10种【解析】【详解】解法一:这个题的已知条件比较复杂.我们可将已知条件稍加“梳理”:1.从东门入园,从西门出园;2.从东门入园后,可以通向两个游览区,龙凤亭与游乐场;3.从龙凤亭经园中园可达到西门;4.从游乐场经水上世界可达到西门,或从游乐场经园中园可达到西门;5.从水上世界经小山亭可达到西门;根据以上五条可知,从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线.而东门到龙凤亭有两条不同路线;龙凤亭到园中园只有一条路线;园中园到西门又有两条不同的路线.由乘法原理,这条主干线共有2×1×2=4种不同的走法.再看从东门入园后到游乐场的路线.从东门到游乐场只有一条路,由游乐场分成两种路线,一是经园中园到西门,这条路线由乘法原理可知有1×1×2=2种不同走法;二是经水上世界到西门,从水上世界到西门共有两条路线(由水上世界直接到西门和经小山亭到西门),再由乘法原理可知这条路线有1×2×2=4种不同路线.最后由加法原理计算.从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有2×1×2+1×1×2+1×2×2=10种.解法二:“枚举法”解题.如图,图中A 表示东门,B 表示西门,C 表示龙凤亭,D 表示园中园,E 表示游乐场,F 表示水上世界,G 表示小山亭,线表示道路.不同的走法有10种.1121111A C D BA C DB A E D BA E F G BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→ 1222222A C D BA C DB ACD B AEFG BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→答:不走重复路线,共有10种不同走法.【点睛】本题主要考察加法乘法原理.先分类利用加法原理,再对每一类进行分步利用乘法原理.建议可以利用加法与乘法原理的题型就没必要用枚举法,因为枚举法比较容易重复和遗漏.3.①48个①18个【解析】【分析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中,应该一位一位地去确定。
小学奥数排列组合教案
小学奥数-排列组合教案一、教学目标1. 让学生理解排列组合的概念,掌握排列组合的基本算法。
2. 培养学生的逻辑思维能力,提高学生解决实际问题的能力。
3. 激发学生的学习兴趣,培养学生的耐心和细心。
二、教学内容1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的综合应用三、教学重点与难点1. 教学重点:排列组合的概念,排列数和组合数的计算方法。
2. 教学难点:排列组合的综合应用,解决实际问题。
四、教学方法1. 采用直观演示法,让学生通过实际操作理解排列组合的概念。
2. 采用案例教学法,分析典型例题,引导学生运用排列组合知识解决实际问题。
3. 采用讨论法,鼓励学生提问、交流、探讨,提高学生的逻辑思维能力。
五、教学安排1. 课时:每课时约40分钟2. 教学步骤:引入新课讲解概念举例讲解练习巩固课堂小结3. 课后作业:布置相关练习题,巩固所学知识。
教案一、引入新课1. 老师:同学们,你们平时喜欢做游戏吗?今天我们就来玩一个有趣的游戏,请大家观察这些数字(出示数字卡片),看看你能发现什么规律?2. 学生观察数字卡片,发现规律。
二、讲解概念1. 老师:同学们观察得很仔细,这些数字卡片其实就是我们今天要学习的内容——排列组合。
什么是排列呢?2. 学生回答:排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有可能的排列的个数。
3. 老师:很好,那什么是组合呢?4. 学生回答:组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有可能的组合的个数。
5. 老师:同学们掌握得很好,我们来学习排列数和组合数的计算方法。
三、举例讲解1. 老师:我们以n=5,m=3为例,来计算排列数和组合数。
2. 学生计算排列数:5×4×3=60,计算组合数:C(5,3)=10。
3. 老师:同学们计算得很好,这些排列和组合在实际生活中有哪些应用呢?四、排列组合在实际生活中的应用1. 老师:比如说,我们有一排5个位置,要从中选出3个位置来安排3个同学,就有60种排列方式,10种组合方式。
小学奥数专题__排列组合
✧排列问题题型分类:1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类:1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加,分步组合,有序排列,无序组合基础知识(数学概率方面的基本原理)一.加法原理:做一件事情,完成它有N类办法,在第一类办法中有M1中不同的方法,在第二类办法中有M2中不同的方法,……,在第N类办法中有M n种不同的方法,那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。
二.乘法原理:如果完成某项任务,可分为k个步骤,完成第一步有n1种不同的方法,完成第二步有n2种不同的方法,……完成第k步有nk种不同的方法,那么完成此项任务共有n1×n2×……×nk种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事,完成它若有n类办法,是分类问题,每一类中的方法都是独立的,故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理.任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来.四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 P m n表示.P m n =n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C m n表示.C m n = P m n /m!=n!(n-m)!×m!一般当遇到m比较大时(常常是m>0.5n时),可用C m n = C n-m n来简化计算。
小学奥数-排列组合教案
小学奥数-排列组合教案一、教学目标:1. 让学生理解排列组合的概念,能够运用排列组合的知识解决实际问题。
2. 培养学生逻辑思维能力和创新思维能力。
3. 提高学生解决数学问题的兴趣和自信心。
二、教学内容:1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的应用三、教学重点与难点:1. 教学重点:排列组合的概念、排列数公式、组合数公式及其应用。
2. 教学难点:排列组合问题的解决方法和技巧。
四、教学方法:1. 采用问题驱动法,引导学生主动探究排列组合的知识。
2. 运用案例教学法,让学生通过实际案例理解排列组合的概念和应用。
3. 采用小组合作学习法,培养学生的团队协作能力和沟通能力。
五、教学安排:1. 第一课时:排列的概念和排列数公式2. 第二课时:组合的概念和组合数公式3. 第三课时:排列组合的应用举例4. 第四课时:练习与讲解六、教学过程:1. 导入:通过生活中的实例,如抽签、排座位等,引出排列组合的概念。
2. 新课导入:介绍排列和组合的定义,讲解排列数公式和组合数公式。
3. 案例分析:分析实际问题,运用排列组合知识解决问题。
4. 练习与讲解:学生自主练习,教师讲解疑难问题。
七、课后作业:1. 复习本节课所学内容,掌握排列组合的概念和公式。
2. 完成课后练习题,巩固所学知识。
3. 搜集生活中的排列组合实例,下周分享。
八、教学评价:1. 课堂表现:观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况,了解学生的学习状态。
2. 课后作业:检查学生作业完成情况,评估学生对知识的掌握程度。
3. 生活实例分享:评价学生搜集的排列组合实例的创意性和实用性。
九、教学拓展:1. 深入了解排列组合在实际生活中的应用,如密码学、运筹学等。
2. 探索其他数学领域的知识,如数列、概率等,与排列组合知识相结合。
3. 鼓励学生参加奥数比赛和相关活动,提高数学素养。
十、教学反思:2. 针对学生的学习情况,调整教学策略,提高教学效果。
小学奥数排列组合教案
小学奥数-排列组合教案一、教学目标1. 让学生理解排列组合的概念,掌握排列组合的基本算法。
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生的逻辑思维能力。
3. 培养学生积极探索、合作交流的学习习惯,增强学生的自信心。
二、教学内容1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的应用三、教学重点与难点1. 教学重点:排列组合的概念,排列数和组合数公式的运用。
2. 教学难点:排列组合问题的理解和解决。
四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生主动探究、合作交流。
2. 运用实例分析,让学生直观理解排列组合的概念。
3. 练习法:通过适量练习,巩固所学知识。
五、教学准备1. 教学课件或黑板2. 练习题3. 学生分组合作学习所需材料教案内容:一、排列的概念和排列数公式1. 排列的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做一个排列。
2. 排列数公式:An = n! / (n-m)!,其中n!表示n的阶乘。
二、组合的概念和组合数公式1. 组合的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,但与排列不同的是,组合不考虑元素的顺序。
2. 组合数公式:Cn = n! / [m!(n-m)!],其中n!表示n的阶乘。
三、排列组合的应用1. 题目示例:有红、蓝、绿三色的珠子,从中选出2个珠子,要求红珠子必须选中,求选法的总数。
2. 解题思路:这是一个排列问题,因为红珠子必须选中,只需要从蓝、绿两种颜色中再选一个珠子,按照排列的定义和公式,计算出排列数。
3. 解题步骤:a. 确定n=3(三种颜色),m=2(选两个珠子)。
b. 计算排列数:A3 = 3! / (3-2)! = 3×2 = 6。
c. 得出选法的总数为6种。
四、课堂练习a. A4 = ?b. A5 = ?a. C3 = ?b. C4 = ?五、总结与反思1. 本节课学习了排列和组合的概念及公式。
2. 通过对实例的分析,理解了排列组合的应用。
小学奥数精讲:排列组合常见解题方法
小学奥数精讲:排列组合常见解题方法小学奥数精讲:排列组合问题常见解题方法方法一:捆绑法“相邻问题”——捆绑法,即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先将其“捆绑”后整体考虑,也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序,然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1.若有A、B、C、D、E五个人排队,要求A和B两个人必须站在相邻位置,则有多少排队方法?【解析】:题目要求A和B两个人必须排在一起,首先将A和B 两个人“捆绑”,视其为“一个人”,也即对“A,B”、C、D、E“四个人”进行排列,有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序,有种排法。
根据分步乘法原理,总的排法有种。
例2.有8本不同的书,其中数学书3本,外语书2本,其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法共有多少种?【解析】:把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书,2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书,与其它3本书一起看作5个元素,共有种排法;又3本数学书有种排法,2本外语书有种排法;根据分步乘法原理共有排法种。
【提示】:运用捆绑法解决排列组合问题时,一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑,再排列”。
方法二:插空法“不邻问题”——插空法,即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时,先将其它元素排好,再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置,从而将问题解决的策略。
例3.若有A、B、C、D、E五个人排队,要求A和B两个人必须不站在一起,则有多少排队方法?【解析】:题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列,有种排法;若排成D C E,则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置,也即是:︺ D ︺ C ︺E ︺,此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置,有种插法。
由乘法原理,共有排队方法:。
例4.在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对顺序不变,再添加进去3个节目,则所有不同的添加方法共有多少种?【解析】:直接解答较为麻烦,可根据插空法去解题,故可先用一个节目去插7个空位(原来的6个节目排好后,中间和两端共有7个空位),有种方法;再用另一个节目去插8个空位,有种方法;用最后一个节目去插9个空位,有方法,由乘法原理得:所有不同的添加方法为=504种。
小学奥数排列和组合试题及答案
小学奥数排列和组合试题及答案第一篇:小学奥数排列和组合试题及答案小学四年级奥数排列组合练习1.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个①三位数?②没有重复数字的三位数?③没有重复数字的三位偶数?④小于1000的自然数?2.从15名同学中选5人参加数学竞赛,求分别满足下列条件的选法各有多少种?①某两人必须入选;②某两人中至少有一人入选;③某三人中恰入选一人;④某三人不能同时都入选.3.如右图,两条相交直线上共有9个点,问:一共可以组成多少个不同的三角形?-------------------4.如下图,计算①下左图中有多少个梯形?②下右图中有多少个长方体?5.七个同学照相,分别求出在下列条件下有多少种站法?①七个人排成一排;②七个人排成一排,某两人必须有一人站在中间;③七个人排成一排,某两人必须站在两头;④七个人排成一排,某两人不能站在两头;⑤七个人排成两排,前排三人,后排四人,某两人不在同一排.-------------------答案:1.①100;②48;③30;④124.2.①C313=286;②C515-C513=1716;③C13·C412=1485;④C515-C212=2937.3.C15·C23+C26·C13=60;或C39-C36-C34=60.4.①C26×C26=225;②C25×C26×C25=1500.5.①P77=5040;②2P66=1440;③2P55=240;④5×4×P55=2400;⑤2×3×4×P55=2880.-------------------第二篇:小学奥数经典专题点拨:排列与组合排列与组合【有条件排列组合】例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。
(哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题)讲析:用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时,百位上不能为0,故共有9种不同的取法。
小学五年级奥数《排列组合》
排列组合知识要点例1:用红绿黄蓝白五种颜色小旗,任取两种颜色组成一组,共可以组成多少种不同的情况?例2、在一个圆周上共有10个点,以这些点为顶点,可以围成多少个四边形?例3、某小学实验班有30明学生,其中正副中队长各一名,现在要选派5明学生参加课外活动,其中,正副中队长必须参加,一共有多少种选派方法?例4、学校举行一场篮球友谊赛,五年三班要从8名后先运动员中挑选5名上场比赛,共有多少种选法?例题5、从1~30这30个数中选取两个不同的数,使其和是偶数的选法共有多少种?同步练习:1、计算C24C35C110C12122、扑克牌中的红桃、方片、黑桃、草花四种花色,任取两张不同的花色组成一组,可以组成多少个不同的花色组?3、在一个圆周上共有8个点,以这些点为端点,可以;连出多少条线段?4、在同一平面内有15个点,任何3个点不在同一直线上,以每3点为顶点画三角形,一共可以画多少个三角形?5、某生产小组有技术工人15人,要从中选出3名工人进行技术培训,共有多少中不同的选法?6、在产品检验时,常从产品中抽出一部分进行检查,现在从50件产品中任意抽出2件,一共有多少种不同的抽法?7、某学校要从5名选手中选派4名参加市里组织的演讲比赛。
共有多少种选法?8、产品验收小组从20件成品中任意抽取5件产品检验,一共有多少种不同的抽取法?9、从1,3,5,…,49这些奇数中,任意选取两个不同的数,使其和是偶数的选法共有多少种?10、从4到17这些数中,选取两个不相同的数,使其和是偶数的选法共有多少种?课外练习:1、从6名同学中任意选取3名学生参加学校的植树活动。
有多少种不同的选法?2、右图中一共有多少个线段?3、在一个圆周上共有14个点,以这些点为端点,可以连出多少条线段?4、从8道不同的算式中任取两道,共有多少中不同的选法?5、某小学实验班有学生20人,现在要派5名学生参加宣传活动,共有多少种选派方法?6从26个英文字母中任选4个,共有多少种不同的选法?7、在同一平面内有10个点,任何3个点不在同一直线上,以每3点为顶点画三角形,一共可以画多少个三角形?8、从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个相乘,可以得到多少个不同的乘积?9、从13到56中,选取两个不同的数使其和是偶数的选法共有多少中?10、在一个圆周上共有12个点,以这些点为顶点,可以画出多少个五边形?11、某小学实验班有24名学生,其中正副中队长各一名,现在要选派4名学生参加知识竞赛,其中,正副中队长必须参加,一共有多少种选派方法?。
小学奥数之排列组合问题.
计 数 问 题教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义;正确区分排列、组合问题;2.了解排列、排列数和组合数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列或组合;3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系;4.会、分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力; 通过本讲的学习,对排列组合的一些计数问题进行归纳总结,重点掌握排列与组合的联系和区别,并掌握一些排列组合技巧,如捆绑法、挡板法等。
5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。
知识点拨:例题精讲:一、 排 列 组 合 的 应 用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?(1)七个人排成一排;(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.(4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边.(5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上.(6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人. 小新、阿呆不在同一排。
【解析】 (1)775040P =(种)。
(2)只需排其余6个人站剩下的6个位置.66720P =(种).(3)先确定中间的位置站谁,冉排剩下的6个位置.2×66P =1440(种).(4)先排两边,再排剩下的5个位置,其中两边的小新和阿呆还可以互换位置.552240P ⨯= (种).(5)先排两边,从除小新、阿呆之外的5个人中选2人,再排剩下的5个人,25552400P P ⨯=(种).(6)七个人排成一排时,7个位置就是各不相同的.现在排成两排,不管前后排各有几个人,7个位置还是各不相同的,所以本题实质就是7个元素的全排列.775040P =(种).(7)可以分为两类情况:“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种情况是对等的,所以只要求出其中一种的排法数,再乘以2即可.4×3×55P ×2=2880(种).排队问题,一般先考虑特殊情况再去全排列。
小学奥数 排列组合
一.计数专题:④排列组合一. 进门考1.有四张数字卡片, 用这四张数字卡片组成三位数,可以组成多少个?2.一个口袋内装有3个小球,另一个口袋内装有8个小球,所有这些小球颜色各不相同.问:①从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?②从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法?3.甲组有6人,乙组有8人,丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议,共有多少种不同选法?4.从1到500的所有自然数中,不含有数字4的自然数有多少个?5.学校的一块活动场地呈梯形,如图所示.(1)这块活动场地的面积是多少平方米?(2)学校计划给这块地铺上草皮,如果每平方米的草皮20元,学校一共要为这块活动场地花费多少元钱?6*.按1,2,3,4的顺序连线,有多少种不同的连法?二.授新课5 87 6①奥数专题:乘法原理专题简析在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题,就是我们将要讨论的组合问题,这里,我们将着重研究有多少种分组方法的问题.解决排列组合问题,离不开加法原理和乘法原理,合理分类、合理分组,求出组合数和排列数。
排列公式:由乘法原理,从个不同元素中取出个元素的排列数是,即,这里,,且等号右边从开始,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘.组合公式: 从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数.记作..例1:排列数:1. 三个人排成一排照相,有多少种不同的排法?2. 有3名男生和2名女生排成一排照相,有多少种不同的排法?如果要求两名女生必须相邻,有多少种排法?3.有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数?n m 121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+()()()121m n P n n n n m =---+()()()m n ≤n 1m n m m n ≤n mm n C 12)112321m m n nm m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯()(()()()121m n P n n n n m =---+()()()4.5人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 多少?例2:组合数:1. 从有3名男生和2名女生中选出2名同学参加数学竞赛,有多少种选法?2.在“星星杯”,“排球比赛中,共有10个小球队参加比赛。
学而思奥数网奥数专题 排列组合
学而思奥数网奥数专题排列组合
1、五年级排列组合问题:
难度:中难度
用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数答:
2、五年级排列组合问题:
难度:中难度
甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队,要求:甲乙两人之间最多有两个人,问一共有多少种站法?
答:
3、五年级排列组合问题:
难度:中难度
从19、20、21……93、94这76个数中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法总数是多少?
答:
4、五年级排列组合问题:
难度:高难度
已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中,决出了第一至第五名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都未拿到冠军.”对乙说:“你当然不会是最差的.”从这个回答分析,5人的名次排列共有多少种不同的情况?
答:
5、五年级排列组合问题:
难度:高难度
平面内有12个点,其中6点共线,此外再无三点共线.
答:
学而思奥数网奥数专题(排列组合)
1、五年级排列组合问题答案:
2、五年级排列组合问题答案:
3、五年级排列组合问题答案:
两数之和为偶数时,必须是同奇或同偶,且加法可交换,故不必考虑顺序.因此只须分两类讨论即可.19、20……93、94共有38个奇数,38个偶数.从38个数中任选2个数的方法有
238C 3837(21)703=⨯÷⨯=种.
即 奇加奇、偶加偶各有703种,所以选法共有1406种.
4、五年级排列组合问题答案:
五年级排列组合问题答案:。
小学奥数排列和组合试题及答案
小学四年级奥数排列组合练习
1.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个
①三位数②没有重复数字的三位数
③没有重复数字的三位偶数④小于1000的自然数
2.从15名同学中选5人参加数学竞赛,求分别满足下列条件的选法各有多少种
①某两人必须入选;
②某两人中至少有一人入选;
③某三人中恰入选一人;
④某三人不能同时都入选.
3.如右图,两条相交直线上共有9个点,问:
一共可以组成多少个不同的三角形
4.如下图,计算
①下左图中有多少个梯形
②下右图中有多少个长方体
5.七个同学照相,分别求出在下列条件下有多少种站法①七个人排成一排;②七个人排成一排,某两人必须有一人站在中间;③七个人排成一排,某两人必须站在两头;④七个人排成一排,某两人不能站在两头;⑤七个人排成两排,前排三人,后排四人,某两人不在同一排.
答案:
1.①100;②48;③30;④124.
2.①C313=286;②C515-C513=1716;
③C13·C412=1485;④C515-C212=2937.
3.C15·C23+C26·C13=60;或C39-C36-C34=60.
4.①C26×C26=225;②C25×C26×C25=1500.
5.①P77=5040;②2P66=1440;
③2P55=240;④5×4×P55=2400;
⑤2×3×4×P55=2880.。
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排列组合
1、排列组合问题:
难度:中难度
用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数答:
2、排列组合问题:
难度:中难度
甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队,要求:甲乙两人之间最多有两个人,问一共有多少种站法?
答:
3、排列组合问题:
难度:中难度
从19、20、21……93、94这76个数中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法总数是多少?
答:
4、排列组合问题:
难度:高难度
已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中,决出了第一至第五名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都未拿到冠军.”对乙说:“你当然不会是最差的.”从这个回答分析,5人的名次排列共有多少种不同的情况?
答:
5、排列组合问题:
难度:高难度
平面内有12个点,其中6点共线,此外再无三点共线.
答:
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1、五年级排列组合问题答案:
2、五年级排列组合问题答案:
3、五年级排列组合问题答案:
两数之和为偶数时,必须是同奇或同偶,且加法可交换,故不必考虑顺序.因此只须分两类讨论即可.19、20……93、94共有38个奇数,38个偶数.从38个数中任选2个数的方法有
238C 3837(21)703=⨯÷⨯=种.
即 奇加奇、偶加偶各有703种,所以选法共有1406种.
4、五年级排列组合问题答案:
五年级排列组合问题答案:。
小学奥数之排列组合问题.
计 数 问 题教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义;正确区分排列、组合问题;2.了解排列、排列数和组合数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列或组合;3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系;4.会、分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力; 通过本讲的学习,对排列组合的一些计数问题进行归纳总结,重点掌握排列与组合的联系和区别,并掌握一些排列组合技巧,如捆绑法、挡板法等。
5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。
知识点拨:例题精讲:一、 排 列 组 合 的 应 用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?(1)七个人排成一排;(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.(4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边.(5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上.(6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人. 小新、阿呆不在同一排。
【解析】 (1)775040P =(种)。
(2)只需排其余6个人站剩下的6个位置.66720P =(种). (3)先确定中间的位置站谁,冉排剩下的6个位置.2×66P =1440(种).(4)先排两边,再排剩下的5个位置,其中两边的小新和阿呆还可以互换位置.552240P ⨯= (种). (5)先排两边,从除小新、阿呆之外的5个人中选2人,再排剩下的5个人,25552400P P ⨯=(种). (6)七个人排成一排时,7个位置就是各不相同的.现在排成两排,不管前后排各有几个人,7个位置还是各不相同的,所以本题实质就是7个元素的全排列.775040P =(种). (7)可以分为两类情况:“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种情况是对等的,所以只要求出其中一种的排法数,再乘以2即可.4×3×55P ×2=2880(种).排队问题,一般先考虑特殊情况再去全排列。
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✧排列问题题型分类:1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类:1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1. 优先排列法2. 总体淘汰法3. 合理分类和准确分步4. 相邻问题用捆绑法5. 不相邻问题用插空法6. 顺序问题用“除法”7. 分排问题用直接法8. 试验法9. 探索法10. 消序法11. 住店法12. 对应法13. 去头去尾法14. 树形图法15. 类推法16. 几何计数法17. 标数法18. 对称法分类相加,分步组合,有序排列,无序组合✧基础知识(数学概率方面的基本原理)一.加法原理:做一件事情,完成它有N类办法,在第一类办法中有M1中不同的方法,在第二类办法中有M2中不同的方法,……,在第N类办法中有M n种不同的方法,那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。
二.乘法原理:如果完成某项任务,可分为k个步骤,完成第一步有n1种不同的方法,完成第二步有n2种不同的方法,……完成第k步有nk种不同的方法,那么完成此项任务共有n1×n2×……×nk种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事,完成它若有n类办法,是分类问题,每一类中的方法都是独立的,故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理.任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来.四. 排列及组合基本公式1. 排列及计算公式从n 个不同元素中,任取m(m≤n )个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m≤n )个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号 P m n 表示. P m n =n(n-1)(n-2)……(n-m+1) =(规定0!=1).n!(n -m)!2. 组合及计算公式从n 个不同元素中,任取m(m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合;从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号C m n 表示. C m n = P m n /m!=n!(n -m)!×m!一般当遇到m 比较大时(常常是m>0.5n 时),可用C m n = C n-m n 来简化计算。
规定:C n n =1, C 0n =1.3. n 的阶乘(n!)——n 个不同元素的全排列P n n =n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1五. 两个基本计数原理及应用1. 首先明确任务的意义【例1】 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差数列有________个。
分析:首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c 成等差,∴ 2b=a+c, 可知b 由a,c 决定, 又∵ 2b 是偶数,∴ a,c 同奇或同偶,即:从1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20这十个数中选出两个数进行排列,由此就可确定等差数列,如:a=1,c=7,则b=4(即每一组a,c必对应唯一的b,另外1、4、7和7、4、1按同一种等差数列处理)∴C210=10×9=90,同类(同奇或同偶)相加,即本题所求=2×90=180。
【例2】某城市有4条东西街道和6条南北的街道,街道之间的间距相同,如图。
若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M到N有多少种不同的走法?分析:对实际背景的分析可以逐层深入(一)从M到N必须向上走三步,向右走五步,共走八步。
(二)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法。
(三)事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右。
从而,任务可叙述为:从八个步骤中选出哪三步是向上走,就可以确定走法数,∴本题答案为:C38=56。
2.注意加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列还是组合。
采用加法原理首先要做到分类不重不漏,如何做到这一点?分类的标准必须前后统一。
注意排列组合的区别与联系:所有的排列都可以看作是先取组合,再做全排列;同样,组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。
【例3】在一块并排的10垄田地中,选择二垄分别种植A,B两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不少于6垄,不同的选法共有______种。
分析:条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法。
第一类:A在第一垄,B有3种选择;第二类:A在第二垄,B有2种选择;第三类:A在第三垄,B有1种选择,同理A、B位置互换,共12种。
1.恰好能被6,7,8,9整除的五位数有多少个?【分析与解】 6、7、8、9的最小公倍数是504,五位数中,最小的是10000,最大为99999. 因为10000÷504:19……424,99999÷504=198……207. 所以,五位数中,能被504整除的数有198-19=179个. 所以恰好能被6,7,8,9整除的五位数有179个.2.小明的两个衣服口袋中各有13张卡片,每张卡片上分别写着1,2,3, (13)如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积,可以得到许多不相等的乘积. 那么,其中能被6整除的乘积共有多少个?【分析与解】 这些积中能被6整除的最大一个是13×12=26×6,最小是6.但在l×6~26×6之间的6的倍数并非都是两张卡片上的乘积, 其中有25×6,23×6,21×6,19×6,17×6这五个不是. ∴所求的积共有26-5=21个.3.1,2,3,4,5,6这6个数中,选3个数使它们的和能被3整除.那么不同的选法有几种?【分析与解】 被3除余1的有1,4;被3除余2的有2,5; 能被3整除的有3,6.从这6个数中选出3个数,使它们的和能被3整除,则只能是从上面3类中各选一个,因为每类中的选择是相互独立的,∴共有2×2×2=8种不同的选法.4.同时满足以下条件的分数共有多少个?①大于,并且小于; ②分子和分母都是质数; ③分母是两位数. 1615【分析与解】 由①知分子是大于1,小于20的质数.如果分子是2,那么这个分数应该在与之间,在这之间的只有符合要求. 21028211 如果分子是3,那么这个分数应该在与之间,15与18之间只有质数17,所以分数是.315318317同样的道理,当分子是5,7,11,13,17,19时可以得到下表.分子 分数 分子 分数2 21111 1111,59613 31713 131313,,6771735 52917 1717,8997737,3741191997于是,同时满足题中条件的分数共13个.5.一个六位数能被11整除,它的各位数字非零且互不相同的.将这个六位数的6个数字重新排列, 最少还能排出多少个能被11整除的六位数?【分析与解】 设这个六位数为,则有、的差为0或11的倍数. abcdef ()a c e ++()b d f ++且、、、、、均不为0,任何一个数作为首位都是一个六位数.a b c d e f 先考虑、、偶数位内,、、奇数位内的组内交换,有×=36种顺序; a c e b d f 33P 33P 再考虑形如这种奇数位与偶数位的组间调换,也有×=36种顺序.badcfe 33P 33P 所以,用均不为0的、、、、、最少可以排出36+36=72个能被11整除的数(包含原来的a b c d e f ).abcdef 所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数.6.在大于等于1998,小于等于8991的整数中,个位数字与十位数字不同的数共有多少个?【分析与解】 先考虑2000~8999之间这7000个数,个位数字与十位数字不同的数共有7×10×=6300. 210P 但是1998,8992~8998这些数的个位数字与十位数字也不同,且1998在1998~8991内,8992~8998这7个数不在1998~8991之内.所以在1998~8991之内的个位数字与十位数字不同的有6300+1-7=6294个.7.个位、十位、百位上的3个数字之和等于12的三位数共有多少个?【分析与解】 12 = 0 + 6 + 6 = 0 + 5 + 7 = 0 + 4 + 8 = 0 + 3 + 9 = 1 + 5 + 6= 1 + 4 + 7= 1 + 3 + 8 = 1 + 2 + 9 = 2 + 5 + 5 = 2 +4 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 2 + 8 = 3 + 4 + 5 = 3 + 3 + 6 = 4 + 4 + 4. 其中三个数字均不相等且不含0的有7组,每组有种排法,共7×=42种排法;33P 33P 其中三个数字有只有2个相等且不含0的有3组,每组有÷2种排法,共有3×÷2=9种排法; 33P 33P 其中三个数字均相等且不含0的只有1组,每组只有1种排法;在含有0的数组中,三个数字均不相同的有3组,每组有2种排法,共有3×2×=12种排法; 22P 22P 在含有0的数组中,二个数字相等的只有1组,每组有2÷2种排法,共有2种排法. 22P 所以,满足条件的三位数共有42 + 9 + 1 + 12 + 2 = 66个.8.一个自然数,如果它顺着看和倒过来看都是一样的,那么称这个数为“回文数”. 例如1331,7,202都是回文数,而220则不是回文数.问:从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?【分析与解】 我们将回文数分为一位、二位、三位、…、六位来逐组计算. 所有的一位数均是“回文数”,即有9个; 在二位数中,必须为形式的,即有9个(因为首位不能为0,下同);aa 在三位数中,必须为(、可相同,在本题中,不同的字母代表的数可以相同)形式的, aba a b 即有9×10 =90个;在四位数中,必须为形式的,即有9×10个;abba 在五位数中,必须为形式的,即有9×10×10=900个; abcba 在六位数中,必须为形式的,即有9×10×10=900个.abccba所以共有9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998个,最大的为999999,其次为998899,再次为997799. 而第1996个数为倒数第3个数,即为997799.所以,从一位到六位的回文数一共有1998个,其中的第1996个数是997799.9.一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24,那么从8时到9时这段时间里, 30此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【分析与解】 设A:BC 是满足题意的时刻,有A 为8,B 、D 应从0,1,2,3,4,5DE 这6个数字中选择两个不同的数字,所以有种选法,而C 、E 应从剩下的7个数字中 26P 选择两个不同的数字,所以有种选法,所以共有×=1260种选法,27P 26P 27P 即从8时到9时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个.10.有些五位数的各位数字均取自1,2,3,4,5,并且任意相邻两位数字(大减小)的差都是1.问这样的五位数共有多少个?【分析与解】 如下表,我们一一列出当首位数字是5,4,3时的情况.首位数字 5 4 3所有 满 足 题 意 的 数 字 列 表5544554433321⎧⎧--⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎧⎪--⎨⎨⎪⎪⎩⎪-⎨⎪⎧⎪⎪-⎨⎪⎪⎩⎩⎩545453454444323432212⎧-⎧⎪⎪--⎧⎨⎪-⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧-⎧⎪⎪⎪--⎧⎨⎨⎪-⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎪-⎨⎪⎧⎧⎪⎪-⎪⎨⎪-⎪⎨⎩⎪⎪⎪-⎪⎩⎩⎩ 5543544333213543332213121⎧⎧⎧--⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪--⎨⎨⎪⎪⎪⎩⎪-⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎩-⎨⎧⎧⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪-⎨⎪⎪⎧⎪⎪--⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪--⎨⎪⎪⎩⎩⎩满足题意的数字个数6 912因为对称的缘故,当首位数字为1时的情形等同与首位数字为5时的情形,首位数字为2时的情形等同于首位数字为4时的情形.所以,满足题意的五位数共有6 + 9 + 12 + 9 + 6 = 42个.11.用数字1,2组成一个八位数,其中至少连续四位都是1的有多少个?【分析与解】 当只有四个连续的1时,可以为11112 * * *,211112 * * ,* 211112 *,* *211112,* * * 21111,因为 * 号处可以任意填写1或2, 所以这些数依次有23,22,22,22,23个,共28个;当有五个连续的l 时,可以为111112 * * ,2111112 *,*2111112,* * 211111, 依次有22,2,2,22个,共12个;当有六个连续的1时,可以为1111112 *,21111112,* 2111111,依次有2,1,2个,共5个; 当有七个连续的1时,可以为11111112,21111111,共2个: 当有八个连续的l 时,只能是11111111,共1个.所以满足条件的八位数有28 + 12 + 5 + 2 + 1=48个.12.在1001,1002,…,2000这1000个自然数中,可以找到多少对相邻的自然数,满足它们相加时不进位?【分析与解】 设为满足条件的两个连续自然数,有=+1. 1,bcd xyzw xyzw 1bcd 我们只用考察的取值情况即可.1bcd 我们先不考虑数字9的情况(因为取9,则为0,也有可能不进位),d w 则只能取0,1,2,3,4;只能取0,1,2,3,4;只能取0,1,2,3,4;d c b 对应的有5×5×5=125组数.当=9时,有的下一个数为,要想在求和时不进位,必须≤9,d 19bc 1(1)0b c +(1)c c ++所以此时只能取0,1,2,3,4;而也只能取0,1,2,3,4;共有5×5=25组数.c b 当=99时,有的下一个数为,要想在求和时不进位,必须+(+1)≤9,cd 199b 1(1)00b +b b 所以此时只能取0,1,2,3,4;共有5组数.b 所以,在1001,1002,…,2000这1000个自然数中,可以找到125 + 25 + 5 = 155对相邻的自然数, 满足它们相加时不进位.13.把1995,1996,1997,1998,1999这5个数分别填入图20-1中的东、南、西、北、中5个方格内,使横、竖3个数的和相等.那么共有多少种不同填法?【分析与解】 显然只要有“东”+“西”=“南”+“北”即可,剩下的一个数字即为“中”.因为题中五个数的千位、百位、十位均相同,所以只用考虑个位数字, 显然有5 + 9 = 6 + 8,5 + 8 = 6 + 7,6 + 9 = 7 + 8.先考察5 + 9 = 6 + 8,可以对应为“东”+“西”=“南”+“北”,因为“东”、“西”可以调换,“南”、“北”可以对调,有2×2=4种填法,而“东、西”,“南、北”可以整体对调,于是有4×2=8种填法. 5 + 8 = 6 + 7,6 + 9 = 7 + 8同理均有8种填法,所以共有8×3=24种不同的填法.14.在图20-2的空格内各填人一个一位数,使同一行内左面的数比右面的数大,同一列内上面的数比下面的数小,并且方格内的6个数字互不相同,例如图20-3为一种填法.那么共有多少种不同的填法?2 3图20-26 4 27 5 3图20-3 【分析与解】 为了方便说明,标上字母:C D 2 A B 3要注意到,A 最大,D 最小,B 、C 的位置可以互换.但是,D 只能取4,5,6,因为如果取7,就找不到3个比它大的一位数了. 当D 取4,5,6时分别剩下5,4,3个一位大数.有B 、C 可以互换位置. 所有不同的填法共×2+×2+×2=10×2+4×2+1×2=30种. 35C 34C 33C补充选讲问题 (2003年一零一中学小升初第12题)将一些数字分别填入下列各表中,要求每个小格中填入一个数字,表中的每横行中从左到右数字由小到大,每一竖列中从上到下数字也由小到大排列. (1)将1至4填入表1中,方法有______________ 种: (2)将1至6填入表2中,方法有______________ 种;(3)将1至9填入表3中,方法有______________ 种.【分析与解】 (1)2种:如图,1和4是固定的,另外两格任意选取,故有2种;(2)5种:1和6是固定的,其他的格子不确定.有如下5种:(3)42种:由(2)的规律已经知道,3×2是5种:1、2、3确定后,剩下的6个格子是3×2,为5种.如下:同理也各对应5种;注意到例外,对应的不是5种,因为第一排右边的数限制了其下方的数字,满足条件的只有如下几种:共计5 + 5 + 5 + 4 + 2 = 21种.另外,将以上所有情况翻转过来,也是满足题意的排法,所以共21×2=42种.15.从1至9这9个数字中挑出6个不同的数填在图20-4的6个圆圈内,使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数.那么共能找出多少种不同的挑法?(6个数字相同、排列次序不同的都算同一种.)【分析与解】显然任意两个相邻圆圈中的数一奇一偶,因此,应从2、4、6、8中选3个数填入3个不相邻的圆圈中.:填入2、4、6,这时3与9不能同时填入(否则总有一个与6相邻,和3+6或9+6不是质数).没第一种情况有3、9的有1种;有3或9的,其他3个奇数l、5、7要去掉1个,因而有2×3=6种,共1+6=7种.:填入2、4、8.这时7不能填入(因为7+2,7+8都不是质数),从其余4个奇数中选3个,有4第二种情况种选法,都符合要求.:填入2、6、8.这时7不能填入,而3与9只能任选1个,因而有2种选法.第三种情况:填入4、6、8.这时3与9只能任选1个,1与7也只能任选1个.因而有2×2=4种选法.第四种情况总共有7 + 4 + 2 + 4 = 17种选法20.一个骰子六个面上的数字分别为0,1,2,3,4,5,现在掷骰子,把每次掷出的点数依次求和,当总点数超过12时就停止不再掷了,这种掷法最有可能出现的总点数是几?教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。