小学奥数-排列组合练习
奥数题排列组合问题附答案
奥数题排列组合问题附答案
奥数题排列组合问题附答案
小学生想要学好数学，做题是最好的办法，但想要奏效，还得靠自己的积累。
多做些典型题，并记住一些题的解题方法。
以下是小学频道为大家提供的二年级奥数题排列组合问题附答案，供大家复习时使用！
1、有10把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次?
2、上体育课时,同学们站好了队,1、2报数，然后让报1的学生退出队列;再1、2报数，让报1的学生退出队列;从第三次开始每次报数后，一律让报2的学生退出队列，直到最后一个人为止，问剩下的一个人最初在队列的第几位?
1、解析：
第1把锁，试9次可以确定所配的`钥匙;第2把锁，试8次可以确定所配的钥匙;第3把锁，试7次可以确定所配的钥匙……第9把锁，试1次可以确定所配的钥匙;第10把锁不用试。
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次。
2、解析：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14……
第1次：留下的是2、4、6、8、10、12……
第2次：留下的是4、8、12、16……
第3次：留下的是4、12、20、28……
第4次：留下的是4、20、……
第5次：留下的是4……
从第3次开始，报2的退出，那么最后一个人总是第4位。
小学数学五年级奥数3--排列组合(一)
排列组合（一）例1：探究“排列”从1、2、3、4、5中挑两个数字组成一个两位数，共可组成多少个不同的两位数？乘法原理：排列原理：例2：探究“组合”从1、2、3、4、5中挑选两个数字，有多少种选法？乘法原理：组合原理：例3：排队问题有6个年龄互不相同的人，3人一排，站成两排。
（1）如果可以随便站，那么一共有多少种排法？（2）如果第一排的每一个人都比第二排的小，那么一共有多少种排法？例4：圆圈连线如图，在一个圆周上有9个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出（）条线段；（）个三角形；（）个四边形。
练习1：从5、6、7、8、9这五个数字中选出四个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？练习2：甲、乙、丙、丁四个人站成一排照相，一共有多少种不同的排法？练习3：学生会召集各班正、副班长，学习委员开会。
五（2）班参加会议的班干部到会堂后，发现还有11个空座位，那么他们一共有多少种不同的坐法？练习4：从1、2、3、4、5中任意取三个数字，从6、7、8、9中任取两个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？练习5：在一个圆周上有7个点，那么以这些点为顶点或者端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？练习6：一个圆周上有10个点，任意两点用线段连接，那么这些线段在圆内最多有多少个交点？练习7：学校举行四、五、六年级的足球比赛，其中四年级共有8个班，五年级共有7个班，六年级共有6个班。
比赛按年级分成3个小组，先各小组都进行单循环赛，然后再由各组的前两名共6个班进行单循环赛，决出冠亚军。
一共需要比赛多少场？练习8：学校体操队有18名同学，从中选出2名同学，（1）分别担任正副队长，有多少种不同的选法？（2）去参加全市的体操比赛，有多少种不同的选法？练习9：新学期的班会上，大家要从9名候选人中选出4名同学组成班委会，那么一共有多少种选法？如果贝贝一定要当选，有多少种不同的选法？练习10：7本不同的故事书，任选4本分给4名同学，每人一本，有多少种不同的分法？练习11：一本书有400页，数字1在这本书里出现了多少次？第十二届中环杯决赛题选如图，半圆连同直径上共有10个点，以这些点为顶点，可以构成（）个三角形。
小学奥数思维训练排列组合专项练习
小学数学专项训练排列组合（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方明珠塔参观．从北京到天津可以坐火车或者坐公共汽车，坐火车有4种车次，坐公共汽车有3种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有3种，汽车有5种，轮船有4种，飞机有2种．问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？2．某公园有两个园门，一个东门，一个西门．若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门．另外，从东门有一条道路通向游乐场．从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园．从水上世界有一条道路通向西门，另有一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门．问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法（不走重复路线）？3．由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？①可组成多少个没有重复数字的三位数？4．如下图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？5．4名同学到照相馆照相。
他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？6．从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？①有多少个不同的乘法算式？7．如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？①下右图中，共有多少个角？8．从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？9．国家举行足球赛，共15个队参加．比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队．各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）．然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军．问：①共需比赛多少场？①如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？参考答案：1．98种【解析】【分析】首先看他们完成整个过程需要几个步骤，这是判断利用加法原理和乘法原理的依据．很明显整个过程要分两步完成，先从北京到天津，再从天津到上海，应该用乘法原理．我们再分开来看，先看从北京到天津，无论是坐火车还是汽车都是一步完成，所以要用加法原理，同样的道理，从天津到上海的走法计算也应该用加法原理．【详解】解：从北京到天津走法有：4+3=7种，从天津到上海走法有：3+5+4+2=14（种）．从北京到上海的走法有：7×14=98（种）．答：小明和小王从北京到上海旅游一共有98种走法．2．10种【解析】【详解】解法一：这个题的已知条件比较复杂．我们可将已知条件稍加“梳理”：1.从东门入园，从西门出园；2.从东门入园后，可以通向两个游览区，龙凤亭与游乐场；3.从龙凤亭经园中园可达到西门；4.从游乐场经水上世界可达到西门，或从游乐场经园中园可达到西门；5.从水上世界经小山亭可达到西门；根据以上五条可知，从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线．而东门到龙凤亭有两条不同路线；龙凤亭到园中园只有一条路线；园中园到西门又有两条不同的路线．由乘法原理，这条主干线共有2×1×2=4种不同的走法．再看从东门入园后到游乐场的路线．从东门到游乐场只有一条路，由游乐场分成两种路线，一是经园中园到西门，这条路线由乘法原理可知有1×1×2=2种不同走法；二是经水上世界到西门，从水上世界到西门共有两条路线（由水上世界直接到西门和经小山亭到西门），再由乘法原理可知这条路线有1×2×2=4种不同路线．最后由加法原理计算．从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有2×1×2+1×1×2+1×2×2=10种．解法二：“枚举法”解题．如图，图中A 表示东门，B 表示西门，C 表示龙凤亭，D 表示园中园，E 表示游乐场，F 表示水上世界，G 表示小山亭，线表示道路．不同的走法有10种．1121111A C D BA C DB A E D BA E F G BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→ 1222222A C D BA C DB ACD B AEFG BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→答：不走重复路线，共有10种不同走法．【点睛】本题主要考察加法乘法原理．先分类利用加法原理，再对每一类进行分步利用乘法原理．建议可以利用加法与乘法原理的题型就没必要用枚举法，因为枚举法比较容易重复和遗漏．3．①48个①18个【解析】【分析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。
小升初奥数—排列组合问题
小升初奥数—排列组合问题一、排列组合的应用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。
【解析】 （1）775040P =（种）。
（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。
【例 2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。
第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【例 3】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻，有A 为8，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有26P 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27P 种选法，所以共有26P ×27P =1260种选法。
20181213小学奥数练习卷(知识点：排列组合)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：排列组合）题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共3小题）1．红、黄、蓝、白颜色的四面小旗，每次升起一面、二面、三面、四面所表示的信号不同，并且旗的上下顺序不同所代表的信号也不同．一共可以组成（）种不同的信号．A．24B．36C．48D．642．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排法．A．1152B．864C．576D．2883．如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了2盆花．每次，韩梅按照以下规则往家中搬一盆花：先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的．要把所有的花搬到家里，共有（）种不同的搬花顺序．A．4B．6C．8D．10第Ⅰ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共38小题）4．由数字0，1，2，8（既可全用也可不全用，但不重复用）组成的所有非零自然数，按照从小到大排列，2018排在第个．5．用3颗红色的珠子，2颗蓝色的珠子，1颗绿色的珠子串成圆形手链，一共可以串成种不同的手链．6．有3角的邮票4张，5角的邮票3张，用它们可以支付种不同的邮资．7．某五号码牌由英文字母和数字组成，前四位有且只有两位为英文字母（字母I、O不可用），最后一位必须为数字．小李喜欢18这个数，希望自己的号码牌中存在相邻两位为1和8，且1在8的前面，那么小李的号码牌有种不同的选择方式．（英文共有26个字母）8．一只蚂蚁从正方体某个面的中心出发，每次都走到相邻面的中心，每个中心恰好经过一次，最终回到出发点．所有经过的中心排出的序列共有种．（两条序列不同指沿着行走方向经过的中心点顺序不一样）9．周老师一天要上3个班级的课，每班上1节．如果一天共有9节课，上午5节，下午4节，并且周老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么，周老师一天上课的所有排课法共有种．10．小明计划在8天中去健身馆3次，但为了防止运动过量，他不能连续2天都去．那祥的话，他一共有种满足条件的时间安排方法．11．用1、2、3、4组成五位数，要求1、2、3、4至少各出现一次，则这样的五位数共有个．12．如图，8×8的方格表中，左上方4×4部分是黑色小方格，剩下的部分为白色小方格，将整个方格表分为若干块（每块都必须包含整数块小方格，不能把单个的小方格切开），要求每块中白色小方格的数量是黑色小方格数量的3倍．最多可以分成块．13．小青蛙在A、B、C三片荷叶之间跳动．它从A叶开始跳起，每次跳跃必须跳到另外两片荷叶上，不可以落在原来的叶片上．如果想要一共跳4次后要回到A叶，这只小青蛙共有种不同的跳法．14．亚瑟王在王宫中召见6名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有2个朋友．他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）．15．昊宇写好了五封信和五个不同地址的信封，要将每封信放入相应的信封中，一个信封只放入一封信．只有一封信装对，其余全部被错装的情形有种．16．一场橄榄球比赛中，一次成功的进攻可能得1、2、3、6分，其中1分只能出现在6分后面（1分必须与6分相邻，比如6、1、3就是一个可能的得分序列，6、3、1则不可能出现），但是6分后面不是一定要跟着1分．最后，上海队一共得到了10分，那么不同的得分序列有个．17．A、B两个纸片都被分成了4个区域，用黄、蓝、红三种颜色分别给它们涂色，要求相邻的区域涂色不能相同，A，B两个纸片中的涂法较多，有种不同的涂法．18．在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．19．如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有种．20．一个五边形的五个内角度数都是正整数且互不相等．已知其中有一个内角为76°，剩下的四个内角度数都是三位数，并且这四个三位数正好可以写在下面3×3的方格内（分别为abc、adf、fgh、ceh，不同的字母也可以表示相同的数字），那么，满足条件的方格有种不同的填法．21．图中由20个方格组成，其中含有A的正方形有个．22．将2015，2016，2017，2018，2019这五个数字分别填入如图中写有“D，O，G，C，W”的五个方格内，使得D+O+G=C+O+W，则共有种不同的填法．23．如图是兰兰家到学校的街道示意图．兰兰沿街道从家到学校共有种不同的最短路线．24．图中由12个面积为1的方格组成，则图中和阴影梯形面积相同的长方形有个．25．用3、5、7这三个数字，能组成个不同的三位数（在每个三位数中，每个数字只能用一次）．26．现在有N（N+1）÷2张多米诺骨牌，每张骨牌上都写有两个数字，这两个数字都是1～N中的数（这两个数可以相同），任意两张骨牌上的两组数字不能都相同．现在，将这些多米诺骨牌排成若干列“火车”，每列“火车”中间的任意两张相邻骨牌上的相邻数字相同，如图给出了N=3时的一列“火车”当N=2016时，至少需要列“火车”才能将2016×（2016+1）÷2张骨牌全部用完．27．如图，在8×8的正方形网格中，A、B两点处各有一只臭虫（A点处的臭虫我们称其为a臭虫，B点处的臭虫我们称其为b臭虫）．臭虫每次走1格（向上、向下、向左、向右这四个方向中选一个方向走）．若b臭虫走两格，a臭虫走三格，最后b臭虫与A点的距离小于等于a臭虫与A点距离的走法有种．28．如图，一只蜜蜂从A处出发，回到蜂巢B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧临近的蜂房而不准逆行，这只蜜蜂共有种回家的方法．29．小明希望1﹣12这12个数字排在一个圆周上，使得任意相邻的两个数字之差（大减小）为2或3，那么不同的排法有种（旋转后相同的排法算同一种）．30．A、B、C、D四个城市分别派出2个足球队参加一次足球锦标赛，要求任何两个球队之间比赛一场，并且同一个城市的两个代表队之间不比赛．那么一共需要安排场比赛．31．从1、2、3、4、5、6、7这七个自然数中选出两个数，使得其和为偶数，共有种不同的选法．32．如图1所示，小明从A→B，毎次都是往一个方向走三格，然后转90度后再走一格，例如图2中，从点C出发可以走到八个位置．那么小明至少走次才能从点A到达点B．33．如图，一个大正方形被分割成六个小正方形，如果两个小正方形之间有多于一个的公共点，那么称它们为相邻的．将1、2、3、4、5、6填人如图，每个小正方形内填一个数字，使得相邻的小正方形内数之差永远不是3．不同的填法有种．34．小明在如图中的黑色小方格内，每次走动，小明都进入相邻的小方格（如果两个小方格有公共边，就称它们是相邻的），每个小方格都可以重复进入多次，经过四次走动后，小明所在的不同小方格有种．35．如图，从左下角A走到右上角B，每次只能向右或者向上走一格，要求行走路径正好穿过AB一次（如图的路径穿过AB三次，仅仅接触到AB上的点不算穿过），不同的行走路径有多少种？36．如图所示，两条直线与两个圆交于9个点．从这9个点中选出4个点，要求这4个点中的任意3个点既不在一条直线上，也不在一个圆周上．不同的选法有种．37．12个边长为1厘米的等边三角形拼成如图所示，从点A出发，到点B，不允许走重复路线，最多能走厘米．38．一个五位数从五个数码中任意取出两个数码，构成一个两位数（保持数码在原先五位数中的前后顺序），这样的两位数有10个：33、37、37、37、38、73、77、78、83、87．则=．39．如图的每个方格中填入1～6中的一个数字，使每行、每列及每个粗线宫内的六个数字都恰好是1～6．格线上的提示数5表示两侧格内数字之和是5，提示数6表示两侧格内数字之和是6．相邻两格间没有提示数的，这两格内数字之和不能是5也不能是6．那么，四位数等于．40．用1、2、3、4这四个数字构成一个四位数，要求：（1）a、b、c、d互不相同；（2）b比a、d都大，c比a、d都大，这样的四位数有个．41．从图a的正六边形网格中选出图b的形状，有种不同的选法（注意：图b可以旋转）．评卷人得分三．解答题（共9小题）42．某城市的电话号码是六位数，但首位不能是0，其余各位可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任何一个数字，而且不同数位上的数字可以重复（如：222222），那么这个城市最多可以容纳多少部电话？43．用1，9，9，8四个数字可以组成若干个不同的四位数，所有这些四位数的平均值是多少？44．有2克、5克、20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出多少种不同的质量．45．如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小偷在两个不同房间中，每一次警察从所在房间的地上通道转移到相邻的房间；同时，小偷从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移了3次都没有在任何房间相遇，那么他们有种不同的走法．46．用2，0，1，7这四个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？47．盒子里有4枚白色棋子和2枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少拿走一枚，共有多少种不同拿法？48．一个机关锁如图所示，锁上共有八卦和太极共九个按键，依次按下其中四个按键后（按键按下便不可再按），若与正确按法一致则开锁，若不一致则机关重置至初始状态．已知在太极按下之前不可连续按下正对的两个卦象键（例如图中的乾、坤或兑、艮），且正确按法只有一种，那么打开这个机关锁至多需要试多少次？49．如图是某社区的街道示意图，一辆洒水车从A点出发不重复地经过所有街道又回到A点．那么洒水车有多少种不同的路线？50．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．红、黄、蓝、白颜色的四面小旗，每次升起一面、二面、三面、四面所表示的信号不同，并且旗的上下顺序不同所代表的信号也不同．一共可以组成（）种不同的信号．A．24B．36C．48D．64【分析】可以分4种方法把小旗挂在旗杆上作信号，即①选择1面，②选择其中的2面，③选择其中的3面，④4面全挂．分别计算出再相加．【解答】解：①选择1面，4×1=4（种）；②选择2面，4×3=12（种）；③选择3面，4×3×2=24（种）；④选择4面（全挂），4×3×2×1=24（种）；4+12+24+24=64（种）．答：共有64种不同的信号．故选：D．【点评】此题分情况讨论，先根据乘法原理求出每种情况的可能，再根据加法原理进行求解．2．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排法．A．1152B．864C．576D．288【分析】首先求出1，2，3，4，5，6，7的和是28，判断出8的两边各数之和都是14；然后分4种情况：（1）8的一边是1，6，7，另一边是2，3，4，5时；（2）8的一边是2，5，7，另一边是1，3，4，6时；（3）8的一边是3，4，7，另一边是1，2，5，6时；（4）8的一边是1，2，4，7，另一边是3，5，6时；求出每种情况下各有多少种不同的排法，即可求出共有多少种不同的排法．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7=288的两边各数之和是：28÷2=14（1）8的一边是1，6，7，另一边是2，3，4，5时，不同的排法一共有：（3×2×1）×（4×3×2×1）×2=6×24×2=288（种）（2）8的一边是2，5，7，另一边是1，3，4，6时，不同的排法一共有288种．（3）8的一边是3，4，7，另一边是1，2，5，6时，不同的排法一共有288种．（4）8的一边是1，2，4，7，另一边是3，5，6时，不同的排法一共有288种．因为288×4=1152（种），所以共有1152种不同的排法．答：共有1152种不同的排法．故选：A．【点评】此题主要考查了排列组合问题，考查了乘法原理的应用，要熟练掌握，注意不能多数、漏数．3．如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了2盆花．每次，韩梅按照以下规则往家中搬一盆花：先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的．要把所有的花搬到家里，共有（）种不同的搬花顺序．A．4B．6C．8D．10【分析】分两种情况讨论：①先取的两盆在同侧有=2种搬法；②在异侧有×=4种搬法，所以共有2+4=6种，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，+×=2+4=6（种）答：共有6种不同的搬花顺序．故选：B．【点评】本题考查了排列组合知识的灵活应用，关键是先分类再计数．二．填空题（共38小题）4．由数字0，1，2，8（既可全用也可不全用，但不重复用）组成的所有非零自然数，按照从小到大排列，2018排在第37个．【分析】分一位数、两位数、三位数和四位数分步计数，然后找到以“2”开头的四位数中2018 排在第几即可．【解答】解：非零一位数有3个，两位数有：3×3=9个，三位数有：3×3×2=18个，四位数中“1”在千位上的有：1×3×2×1=6个：“2”在千位上的第一个数就是2018；所以，按照从小到大排列，2018排在第3+9+18+6+1=37个；故答案为：37．【点评】本题考查了分类计数和分步计数问题的综合应用，注意0不能放在最高位．5．用3颗红色的珠子，2颗蓝色的珠子，1颗绿色的珠子串成圆形手链，一共可以串成5种不同的手链．【分析】因为是圆形手链，所以旋转和翻转相同的只能算一种，因为红色的珠子有3颗，所以可以让3颗红色的珠子相邻，也可以让2个红色的珠子相邻，也可以让红色的珠子不相邻这三种情况考虑，据此解答即可．【解答】解：①3颗红色的珠子相邻，则只有2种；②只有2颗红色的珠子相邻，有2种；③3颗红色的珠子都不相邻，有1种；2+2+1=5（种）答：一共可以串成5种不同的手链．【点评】本题考查的排列组合问题．6．有3角的邮票4张，5角的邮票3张，用它们可以支付19种不同的邮资．【分析】①单取3角的邮票共有4种方法，②同理，单取5角的邮票共有3种方法，③根据乘法原理，两种都取共有4×3=12种方法，然后相加即可．【解答】解：4+3+4×3=7+12=19（种）答：用它们可以支付19种不同的邮资．故答案为：19．【点评】解答本题要注意，先分类，再分步计数．7．某五号码牌由英文字母和数字组成，前四位有且只有两位为英文字母（字母I、O不可用），最后一位必须为数字．小李喜欢18这个数，希望自己的号码牌中存在相邻两位为1和8，且1在8的前面，那么小李的号码牌有34560种不同的选择方式．（英文共有26个字母）【分析】本题考察排列组合．【解答】解：除掉18剩余的三个位置有10×24×24=5760（种），所以18在一二位有5760种；18在二三位有5760种；18在三四位有5760种；18在四五位有5760×3=17280种；综上，共有5760×6=34560（种），故填34560．【点评】本题关键在于根据18在哪相邻的两位进行分类计数．8．一只蚂蚁从正方体某个面的中心出发，每次都走到相邻面的中心，每个中心恰好经过一次，最终回到出发点．所有经过的中心排出的序列共有32种．（两条序列不同指沿着行走方向经过的中心点顺序不一样）【分析】本题考察排列组合．【解答】解：从一个面出发，第一次有4个不同的方向选择，这四个方向的情况数目是相同的，所以考虑一种即可，我们考虑从正面出发的情况，正→上→背→右→下→左→正正→上→背→左→下→右→正正→上→左→下→背→右→正正→上→左→背→右→下→正正→上→左→背→下→右→正正→上→右→下→背→左→正正→上→右→背→左→下→正正→上→右→背→下→左→正所以总共有4×8=32（种）故填：32．【点评】本题关键在于考虑一种情况后利用乘法原理进行计数．9．周老师一天要上3个班级的课，每班上1节．如果一天共有9节课，上午5节，下午4节，并且周老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么，周老师一天上课的所有排课法共有474种．【分析】利用排除法即可解决问题．【解答】解：9节课全排列=504种排法，排除不满足条件的123，234，345，678，789，可得﹣5=504﹣30=474，故答案为474．【点评】本题考查排列组合，解题的关键是学会利用排除法解决问题．10．小明计划在8天中去健身馆3次，但为了防止运动过量，他不能连续2天都去．那祥的话，他一共有20种满足条件的时间安排方法．【分析】他不能连续2天都去意味着3天均不相邻，可以采用插空法解答，不去健身房有5天，5天形成了6个空，在6个空里选择三个空去健身房，共有种方法，据此解答即可．【解答】解：==20（种）答：他一共有20种满足条件的时间安排方法．故答案为：20．【点评】像这种不相邻的排列组合问题，往往采用“插空法”解答比较简洁．11．用1、2、3、4组成五位数，要求1、2、3、4至少各出现一次，则这样的五位数共有240个．【分析】由1、2、3、4至少各出现一次知第5个数有4种选法，从而知需要对AABCD型这5个数字排列，根据排列公式可得答案．【解答】解：因为1、2、3、4至少各出现一次，所以第5个数有4种选法，对于第5个数字的每一种可能，则需要对AABCD型这5个数字排列，共有=60种，综上，共有60×4=240个不同的五位数，故答案为：240．【点评】本题主要考查数字的排列组合，解题的关键是明确用排列解决问题，且理解其加法原理、乘法原理．12．如图，8×8的方格表中，左上方4×4部分是黑色小方格，剩下的部分为白色小方格，将整个方格表分为若干块（每块都必须包含整数块小方格，不能把单个的小方格切开），要求每块中白色小方格的数量是黑色小方格数量的3倍．最多可以分成7块．【分析】根据题意，考虑左上方4×4部分，根据要求每块中白色小方格的数量是黑色小方格数量的3倍，利用填数的方法，可得图中的分割方法，即可得出结论．【解答】解：根据题意，考虑左上方4×4部分，根据要求每块中白色小方格的数量是黑色小方格数量的3倍，利用填数的方法，可得图中的分割方法，其中四个1表示一块，四个2表示一块，四个3表示一块，四个4表示一块，四个5表示一块，四个6表示一块，所有7表示一块，故最多可以分成7块．故答案为7．【点评】本题给出图形，求最多分割的方法，考查学生对图形的认识，正确填格是关键．13．小青蛙在A、B、C三片荷叶之间跳动．它从A叶开始跳起，每次跳跃必须跳到另外两片荷叶上，不可以落在原来的叶片上．如果想要一共跳4次后要回到A叶，这只小青蛙共有6种不同的跳法．【分析】画出树状图，即可解决提问．【解答】解：观察树状图，可知一共有6种本题的方法．故答案为6．【点评】本题考查排组合等知识，利用树状图是解决问题的关键．14．亚瑟王在王宫中召见6名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有2个朋友．他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有6种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）．【分析】首先根据题目要求旋转相同的算同一种方法，因此可只考虑其中一个人排在第一位的情况，然后根据题目条件进行后续排序即可．【解答】解：为方便起见，分别用数字1、2、3、4、5、6代表6个人，则1的朋友为2和6，即和1相邻的只能是3，4，5．由于旋转相同的算同一种方法，可以只考虑以1开始的排序方法，由于是一个圆圈，则第二位和最后一位只能从3，4，5中选，那么以1为基准可排的座位顺序为：（1）若第二位选3，则第三位选5或6，①若第三位选5，则第四位只能选2，还剩下4和6，由于最后一位只能是3，4，5，则第五位选6，第六位选4，即1，3，5，2，6，4；②若第三位选6，还剩下2，4，5，若第四位选2，则剩下4和5，相邻，不符合题意，且6和5相邻，因此第四位选4，则第五位选2，第六位选5，即1，3，5，2，6，4；（2）若第二位选4，可同样推理，得到两种排序，即1，4，6，2，5，3和1，4，2，6，3，5，（3）若第二位选5，可同样推理，得到两种排序，即1，5，2，4，6，3，和1，5，3，6，2，4．共计6种．故答案为：6．【点评】本题的突破口在于将圆圈问题直线化，在排序过程中注意不重不漏即可．15．昊宇写好了五封信和五个不同地址的信封，要将每封信放入相应的信封中，一个信封只放入一封信．只有一封信装对，其余全部被错装的情形有45种．【分析】为了方便说明，可以设五封信编号分别为1，2，3，4，5，五个信封的编号分别为A，B，C，D，E，只有一封信装对，则首先选一封装对的信，有种情况，其他四封信都装错的情况可分类列举，据此解答．【解答】解：首先选一封装对的信，为，可以以第5封信为例，即第5封信装在信封E，其他四封信全部装错．可能的情况：①1﹣B，2﹣A，3﹣D，4﹣C；1﹣B，2﹣C，3﹣D，4﹣C；1﹣B，2﹣D，3﹣A，4﹣C；②1﹣C，2﹣A，3﹣D，4﹣B；1﹣C，2﹣D，3﹣A，4﹣B；1﹣C，2﹣D，3﹣B，4﹣A；③1﹣D，2﹣A，3﹣B，4﹣C，1﹣D，2﹣C，3﹣A，4﹣B，1﹣D，2﹣C，3﹣B，4﹣A．共计9种，因此只有一封信装对，其余全部被装错的情形有×9=45种．故答案为：45．【点评】本题的突破口在于能把其中四封信全部被装错的情况找到，做到不重不漏．16．一场橄榄球比赛中，一次成功的进攻可能得1、2、3、6分，其中1分只能出现在6分后面（1分必须与6分相邻，比如6、1、3就是一个可能的得分序列，6、3、1则不可能出现），但是6分后面不是一定要跟着1分．最后，上海队一共得到了10分，那么不同的得分序列有12个．【分析】首先分析符合条件的数字可以是3，6，1组合，也可以是3，3，2，2组合．【解答】解：依题意可知：6，1，3分组合满足题意，满足题意的有3，6，1组合．那么满足条件的还有（6，2，2）组合共3种；还有22222的组合共1种．还有出现2个2分和2个3分的组合共=6（种）．故答案为：12【点评】本题考查对排列组合的理解和运用，关键问题是找到数字和为10的组合数，问题解决．17．A、B两个纸片都被分成了4个区域，用黄、蓝、红三种颜色分别给它们涂色，要求相邻的区域涂色不能相同，A，B两个纸片中B的涂法较多，有12种不同的涂法．【分析】A的涂色区域只能是最上方区域和左下方区域图同色，其排列数为；图B的涂色区域中涂同色的区域有2类，一是最上方区域和左下方区域；二是最上方区域和右下角区域，涂色种类数为+．【解答】解：图A的涂色方法有=3×2×1=6（种）图B的涂色方法有+=6+6=12（种）故：B的涂法多，有12种不同涂法．【点评】此题的解题关键是能否想到合并能涂同色的区域，而且要把这种情况找全．18．在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有10种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．【分析】可以分情况讨论，四个顶点的位值一样，正中间的一个方格一个位值，剩下的四个方格位值相同，故可以分次三种情况分别计算不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，份三种情况：①当正中间即E处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对称性因素，有2种不同的摆放方法，即AE、BE；②当两颗棋子都不在正中间E处时，而其中有一颗在顶点处时，有4种不同摆法，即AB、AF、AH、AD；③当两颗棋子都在顶点处时，有2种不同摆法，即AC、AI；④当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的4个方格中，有2种不同摆法，即BD、BH．综上，共有：2+4+2+2=10种不同摆放方法．【点评】本题考查了排列组合，突破点是：分情况讨论，根据不同的位置求出总的不同摆放方法．19．如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有4种．【分析】显然，只有两种情况，分别讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后可以求得总的不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，分两类情况：①按顺序移动一个位置，顺时针移动一个位置，有1种不同摆放方法，逆时针移动一个位置，有1种不同摆放方法；②相邻两个位置互换，则共有：2种不同的摆放方法．综上，共有：1+1+2=4种不同摆放方法．故答案是：4．。
小学奥数 排列组合
３２强
Ａ组 Ｃ组 Ｅ组 Ｇ组
Ｂ组 Ｄ组 Ｆ组 Ｈ组
组别
一档
二档
三档
四档
典型例题1
简单组合 • 某班的8名毕业同学见面，他们之间每两名同学都 要握手一次，这次聚会大家一共要握多少次手？
• 从7名男生和5名女生中，选出2人，选法共有多 少种？
从小丽、小军 、小杰 、小 阳4名同学中，选出2人代表 学校参加“少儿戏曲大赛”， 有多少种不同的组队方案？
要从甲乙丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班，有多 少种不同的排法？
典型例题3
乘法原理与排列—— 例3、有5个同学一起去郊游，照相时，大家坐一排， 问： 1、共有多少种不同的坐法？ 2、如果某人不坐在两端共有多少种排法？
典型例题4
乘法原理与实际——
例2、一列火车从上海到南京，中途要经过6 个站，这列火车要准备多少种不同的车票？ • 某铁路线共有14个车站，这条铁路共需要 多少种不同的车票？
从小丽、小军、小杰、小阳、小美 5名同学中，选出2人代表学校参加 “少儿戏曲大赛”，有哪几种不同 的组队方案？
人数
示意图
组合方案
5
4 +3+2+1=10
5
5
4 +3 +2 +1=10
小军 小杰 小阳 小丽 小杰 小军 小阳 小杰 小阳 小美 小阳 小美 小美 小美
典型例题2
乘法原理——分步计数排列 例2、 4人站成一排照相，有多少种排法？
小学奥数~排列组合
奥数解排列组合应用题排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
四年级奥数-排列组合(1)
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种. 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
小学数学《排列组合》练习题（含答案）
小学数学《排列组合》练习题（含答案）小学数学《排列组合》练习题（含答案）加乘原理，排列组合是四年级一个重要的学习内容，在之前的学习中，我们已经对它们有所了解，对于加乘原理我们只需要记住：加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关！排列组合的应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.可利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.本讲主要巩固加强此部分知识，注重排列组合的综合应用.排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，我们把它记做mnp（m≤n），m(1)(2) (1)mnp n n n n m=---+共个数.其中!(1) (1)nnP n n n==?-??.【例1】4名男生和2名女生去照相，要求两各女生必须紧挨着站在正中间，有几种排法？分析：分两步进行，先安排两个女生有22P 种方法，4个男生站的位置有44P 种方法，共有2424P P ?=2×1×4×3×2×1=48(种)，故有48种排法．【巩固】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案? 分析：把4个空车位看成一个整体，（4个空车位看成一样的）与8辆车一块儿进行排列．99362880P =.【前铺】讲解此部分例题之前，请根据本班情况，将排列公式的计算练习一下！计算：（1）321414P P - ；（2）53633P P - 分析：（1）321414P P -=14×13×12-14×13=2002 ；（2）53633P P -=3×（6×5×4×3×2）-3×2×1=2154 .【例2】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果同类书可以分开，一共有多少种排法？（只写出表达式，不用计算）分析：每种书内部任意排序，分别有44P ，55P ，33P 种排法，然后再排三种类型的顺序，有33P 种排法，整个过程分4步完成．44P ×55P ×33P ×33P =103680(种)．如果同类书可以分开，就相当于4+5+3=12本书随意排，有1212P 种排法.【例3】用0，1，2，3，4可以组成多少个没重复数字的三位数？分析：（法1）在本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1，2，3，4这四个数字中选择1个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有2 4P 种方法．由分步计数原理得，三位数的个数是：4×24P =48(个)．（法2）：从0，1，2，3，4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0．从0，1，2，3，4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ，其中首位是0的三位数有24P 个．三位数的个数是：35P -24P =5×4×3-4×3=60-12=48(个)．不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么全排列再剔出不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【前铺】（1）用1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的三位数? （2）用1，2，3，4，5可以组成多少个三位数？分析：（1）要组成三位数，自然与三个数字的排列顺序有关，所以这是一个从五个元素中取出三个进行排列的问题，可以组成35P =5×4×3=60种没有重复数字的三位数．（2）没有要求数字不能重复，所以不能直接用35P 来计算，分步考虑，用乘法原理可得：5×5×5=125（个）.注意“重复”和“没有重复”的区别！【巩固】用数码0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数? 分析：小于1000的自然数包括一位数、两位数、三位数，可以分类计算．注意“0”是自然数，且不能作两位数、三位数的首项．11124444569P P P P +?+?=（个）.很自然的知道需要根据位数分类考虑，而且首位非零的限制也需要考虑．【例4】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?分析：先排独唱节目，四个节目随意排，有44P =24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，对应23P =6种排法；再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法，由乘法原理，一共有24×6×3=432种不同的编排方法．【例5】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排.分析：（1）775040P =（种）.（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ?= (种)．（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ?=（种）.（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列．【例6】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9．为确保打开保险柜，至少要试多少次？分析：四个数字之和为9的情况有：l+1+1+6=9；1+1+2+5=9；1+1+3+4=9；1+2+2+4=9；1+2+3+3=9；2+2+2+3=9，分别计算这6种情况．对于“l+1+1+6”这种情况，我们只需考虑6，其它1放那都一样；对于“1+1+2+5”这种情况，只需考虑2和5，其它同理，可得答案：12222144444456()P P P P P P +++++=次【巩固】有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份．问：一共有多少种不同的订法?分析：可以分三种情况来考虑：(1)3所学校订的报纸数量互不相同，有98，100，102；99，100，101两种组合，每种组各有33P =6种不同的排列，此时有6×2=12种订法．(2)3所学校订的报纸数量有2所相同，有98，101，101；99，99，102两种组合，每种组各有3种不同的排列，此时有3×2=6种订法．(3)3所学校订的报纸数量都相同，只有100，100，100一种订法．由加法原理，不同的订法一共有12+6+l=19种．组合一般地，从n 个不同元素中取出m 个（m≤n ）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n 个不同元素中取出m 个元素（m ≤n ）的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数.记作(1) (1)!m mn n n n m C m ?-??-+=个数这就是组合数公式.【例7】以右图中的8个点中的3个为顶点，共可以画出多少个不同的三角形?分析：从8个点中选3个点，一共有56种不同的选法．但是因为在一条直线上的3个点不能组成三角形，所以应去掉两条直线上不合要求的选法．5个点选3个的选法有10种．4个点选3个的选法有4种．所以一共可以画出56-(10+4)=42不同的三角形．【前铺】右图共有11条射线，那么图中有多少个锐角？分析：如图，最大的为锐角，它内部的各个角一定也是锐角，图中共有11条射线，任取两条作为角的两边便可确定一个锐角．因为角的两边不存在顺序关系，所以应该用组合．211C =55.几何题中的数个数问题往往可以采用这样的组合方法来解题．【前铺】讲解例题之前请根据本班情况先将组合公式计算练习一下！计算：（1）241655,,C C C ，（2）352777,,C C C分析：（1）26651521C ?==?，45543254321C ==，15551C == ；（2）3776535321C ??==?? ，57765432154321C == ，57765432154321C ==注意：从上发现规律m n mn n C C -=.【巩固】从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的乘积？分析：由于3，5，7，11都是质数，因此所得乘积各不相同，因此只要求出不同的质数对的个数就可以了．24C =6.【巩固】一个口袋中有4个球，另一个口袋中有6个球，这些球颜色各不相同．从两个口袋中各取2个球，共有多少种不同结果？分析：分步考虑，224661590C C ?=?=（种）.【例8】有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队，各组先进行单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场)，然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军.问：共需比赛多少场？分析：分三部分考虑，第一组预赛、第二组顶赛和最后的决赛．第一组要赛：27C =21(场)，第二组要赛：26C =15(场)，决赛阶段要赛：24C =6(场)，总场数：21+15+6=42(场)．【拓展】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，…，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少?分析：10个编号中5奇5偶，要使6个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：(1)5奇1偶，对奇数只有1种选择，对偶数有5种选择．由乘法原理，有1×5=5种选择； (2)3奇3偶，对奇数有35C =10种选择，对偶数也有35C =10种选择．由乘法原理，有10×10=100种选择；(3)1奇5偶，对奇数有5种选择，对偶数只有1种选择．由乘法原理，有5×1=5种选择．由加法原理，不同的摸法有：5+100+5=110种．【例9】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种?分析：分三步进行：第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有15种选法；第二步，从余下的4个班中选取两个班给6种选法；第三步，剩余的两个班给丙，有1种选法．根据乘法原理，一共有15×6×l=90种不同的分配方法．【拓展】从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?分析：先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有36C =20种选法．由乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．【例10】工厂从100件产中任意抽出三件进行检查，问: (1)一共有多少种不同的抽法?(2)如果100件产品有2件次品,抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)如果100件产品中有2件次品，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种? 、分析：从100件产品中抽出3件检查，与抽出3件产品的顺序无关，是一个组合问题． (1)不同的抽法数就是从100个元素中取3个元素的组合数．3100C =161700（种）. (2)可分两步考虑，第一步：从2件次品中抽出一件次品的抽法有12C 种；第二步：从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有298C 种．再用分步计数原理求出总的抽法数，122989506C C ?=.(3)可以从反面考虑，从抽法总数3100C 中减去抽出的三件都是合格品的情况，便得到抽出的三件产品中至少有一件是次品的抽法总数．33100981617001520969604C C -=-=.【例11】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？（1）恰有3名女生入选；（2）至少有两名女生入选；（3）某两名女生，某两名男生必须入选；（4）某两名女生，某两名男生不能同时入选；（5）某两名女生，某两名男生最多入选两人.分析：（1）恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为：35 81014112C C ?=；（2）要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：8871181010842753C C C C --?=.（3）4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人. 4141001C =.（4）从所有的选法818C 中减去这4个人同时入选的414C 种可能：818C -414C =42757.（5）分三类情况：4人无人入选，4人仅有1人入选，4人中有2人入选，共：8172614414414C C C C C +?+?=34749.【例12】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数?用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数?分析：先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题有26C =15种选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有24C =6种选法；剩下的2个数位放3，只有1种选法．由乘法原理，这样的六位数有15×6×l=90个．在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个．如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数90—30=60个．【例13】从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？分析：整个过程可以分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中任取三个数字，这是一个组合问题，有35C 种方法；第二步，从2，4，6，8中任取两个数字，也是一个组合问题，有24C 种方法；第三步，用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数，有55P 种方法．再由分步计数原理求总的个数：35C ×24C ×55P =7200（个）.附加题目【附1】小明的书架上原来有6本书，不重新排列，再放上3本书，可以有多少种不同的放法?分析：放第一本书时，有原来的6本书之间和两端的书的外侧共7个位置可以选择；放第二本书时，有已有的7本书之间和两端的书的外侧共8个位置可以选择．同样道理，放第三本书时，有9个位置可以选择．由乘法原理，一共可以有7×8×9=504种不同的放法．【附2】一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停．在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种?分析：每个人都可以在第7层至第12层中任何一层下，有6种情况，那么三个人一共有6×6×6=216种情况，其中，都不到12楼的情况有5×5×5=125种．因此，至少有一人要上12楼的情况有216-125=91种．【附3】某校组织进行的一次知识竞赛共有三道题，每道题满分为7分，给分时只能给出自然数l，2，3，…，7分．已知参加竞赛者每人三道题的得分的乘积都是36，而且任意二人各题得分不完全相同，那么请问参加竞赛的最多有多少人?分析：将36分解为不大于7的三个数的乘积，有1×6×6；3×3×4；2×3×6三种情况．考虑到因数的先后顺序，第一种情况，考虑1有三个位置可选择，其余位置放6，有3种顺序；第二种情况与第一种情况相似，有3种顺序；最后一种情况，有3×2×l=6种顺序．由加法原理，一共有12种顺序，所以参赛的最多有12人．【附4】某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出一场，体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？分析：某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时段，一共有4种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，一共有3种选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，一共有4种选择．剩下的5个节目随意安排顺序，有55P=120种选择．由乘法原理，一共有4×3×4×120=5760种不同的播放节目方案．【附5】某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种?分析：此题若从“多面手”出发来做，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语的人讨论，分三类：(1)只会日语的2人都出场，则还需1个多面手做日语导游，有4种选择．从剩下的只会英语的人和多面手共6人中选3人做英语导游，有36C=20种，由乘法原理，有4×20=80种选择．(2)只会日语的2人中有1人出场，有2种选择．还需从多面手中选2人做日语导游，有24C=6种选择．剩下的只会英语的人和多面手共5人中选3人做英语导游，有3 5C=10种选择．由乘法原理，有2×6×10=120种选择．(3)只会日语的人不出场，需从多面手中选3人做日语导游，有34C=4种选择．剩下的只会英语的人和多面手共4人中选3人做英语导游，有34C=4种选择．由乘法原理，有4×4=16种选择．根据加法原理，不同的选择方法一共有80+120+16=216种．【附6】五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有多少个？分析：首先考虑哪三个瓶子贴错了，有35C 种可能，3个瓶子贴错后互相贴错标签又分成两种不同情况.所以共有35C ×2=20（种）.此题容易出错的是三个出错的瓶子确定后，他们之间错误的可能情况数目，有的同学很容易忽略这一环节，而有的会不假思索的把它当作一个全排列，这都是不正确的．【附7】马路上有编号为1，2，3，…，l0的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？分析：l0只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之问的六个空档中插入三只熄灭的灯，有36C =20种插法.练习十二1．给出1，2，3，4四个数字，试求：（1）可组成多少个数字不重复的四位数? （2）可组成多少个数字不重复的自然数? （3）可组成多少个不超过四位的自然数?分析：（1）44P =4×3×2×1=24个数字不重复的四位数.（2）利用1，2，3，4可组成数字不重复的一位、两位、三位、四位自然数，分类考虑：12344444P P P P +++=64个.（3）此题数位上的数字允许重复，利用1，2，3，4可组成一位、两位、三位、四位自然数．进一步考虑，一位数有4个，两位数有4×4=16个，三位数有4×4×4=64个，四位数有4×4×4×4=256个．故共有4+16+64+256=340个．2．由四个不同的非0数字组成的所有四位数中，数字和等于12的共有多少个?分析：四个数字都不同而数字和为12的数字有1，2，3，6和1，2，4，5两种情况，对于每种情况，可以组成44P =24个不同的四位数．对于所以，共可以组成24+24=48个不同的四位数．3．桌子上有3张红卡片，2张黄卡片，和1张蓝卡片，如果将它们横着排成一排，同种颜色的卡片不分开，一共有多少种排法？分析：32133213P P P P =72种.4．在1～100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法?分析：两个数的和是偶数，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题；从50个偶数中取出2个，有250C =1225种取法；从50个奇数中取出2个，也有250C =l225种取法．根据加法原理，一共有1225+1225=2450种不同的取法．5．在一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法?(2)从口袋取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法?分析：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，与顺序无关，是组合问题，其取法种数是56种．(2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，其取法种数是21种．(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，其取法种数是35种．6．在6名女同学，5名男同学中选出4名女同学，3名男同学站成一排，有多少种排法？分析：男女同学分别考虑，再整体排列．437657C C P ?? =756000(种)．。
小学奥数排列和组合试题及答案
小学奥数排列和组合试题及答案第一篇：小学奥数排列和组合试题及答案小学四年级奥数排列组合练习1.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个①三位数？②没有重复数字的三位数？③没有重复数字的三位偶数？④小于1000的自然数？2.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？①某两人必须入选；②某两人中至少有一人入选；③某三人中恰入选一人；④某三人不能同时都入选.3.如右图，两条相交直线上共有9个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？-------------------4.如下图，计算①下左图中有多少个梯形？②下右图中有多少个长方体？5.七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？①七个人排成一排；②七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；③七个人排成一排，某两人必须站在两头；④七个人排成一排，某两人不能站在两头；⑤七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.-------------------答案：1.①100；②48；③30；④124.2.①C313＝286；②C515－C513＝1716；③C13·C412＝1485；④C515－C212＝2937.3.C15·C23＋C26·C13＝60；或C39－C36－C34＝60.4.①C26×C26＝225；②C25×C26×C25＝1500.5.①P77＝5040；②2P66＝1440；③2P55＝240；④5×4×P55＝2400；⑤2×3×4×P55＝2880.-------------------第二篇：小学奥数经典专题点拨：排列与组合排列与组合【有条件排列组合】例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。
（哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题）讲析：用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时，百位上不能为0，故共有9种不同的取法。
小学四年级奥数竞赛班作业第47讲：排列组合综合应用(一)
排列组合综合应用练习题一．夯实基础：1.由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．⑴四位偶数有多少个？⑵四位奇数有多少个？⑶四位偶数有多少个？2.由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．⑴整数有多少个？⑵是5的倍数的三位数有多少个？3.由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．⑴是25的倍数的四位数有多少个？⑵大于5860的四位数有多少个？4.一个小组共10名学生，其中4女生，6男生.现从中选出3名代表，其中至少有一名女生共有多少种选法？二．拓展提高：5.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个？6.从10件产品中有4件次品，现抽取3件检查，（1）恰好有一件次品的取法有___________种；（2）既有正品又有次品的取法有_______________种.7.圆周上有十个点，任两点之间连一条弦，这些弦在圆内共有多少个交点？8.用2，4，6三个数字来构造六位数，但是不允许有两个连着的2出现在六位数中（例如626442是允许的，但226426就不允许），问这样的六位数有多少个？三. 超常挑战9.有5个标签分别对应着5个药瓶，恰好贴错3个标签的可能情况有多少种？10.由1447，1005，1231这三个数字有许多相同之处：它们都是四位数，最高位都是1，都恰有两个相同数字，一共有多少个这样的数？11.某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种?12.在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案?13.在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？四．杯赛演练：14.（迎春杯初赛）6个人传球，每两人之间至多传1次，那么至多共进行几次传球？15.（华杯赛冬令营培训题）如图，A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，则不同的建桥方案共有几种？DACB答案：1. （1）注意0不能做首位，355300A =个．（2）个位为特殊位置，只能从5，7中选一个；0是特殊元素，它不能放在千位；综上，四位奇数有11224496C C A =个．（3）位只能在0，2，6，8中选择，进一步分成两种情况：若个位为0，则共有3560A =种；若个位不是0，则个位从2，6，8中选一个，有3种方法，然后选择千位，有4种方法，最后再选剩余的两位，有2412A =种，所以四位偶数有603412204+⨯⨯=个．2. ⑴包括一位数、二位数、三位数、…、六位数，共有111121313141565555555555551631A A A A A A A A A A A A A ++++++=个．⑵5的倍数，则个位为0或5，分两种情况：若个位为0，则有2520A =个；若个位为5，则有114416A A =个，所以共有36个是5的倍数的三位数．3. ⑴25的倍数，在本题的条件下，末两位只可能是25，50或75.若末两位为25，则这样的四位数有11339A A =个；若末两位为50，则这样的四位数有2412A =个；若末两位为75，则这样的四位数有11339A A =个，因此能被25整除的四位数共有30个． ⑵千位如果为5，则前三位为586，第四位有2或7两种选择；前三位若为587，则四位有0，2，6三种选择，所以，千位为5总共有5个数；千位如果为6、7、8，则均有3560A =个数，因此，大于5860的四位数有5360185+⨯= 个．4. “至少有一名女生”意味着存在女生，也就是说不能都是男生.所以，理解这句话的意思至关重要！我们可以从直接与间接两种方法解这道题，同学们可以比较一下.方法一：直接法.由于共有4个候选女生，因此至少有一名女生，包括如下几种情况：⑴1名女生，2名男生：124660C C =种选法； ⑵2名女生，1名男生：214636C C =种选法； ⑶3名女生，344C =种选法. 所以，共有60364100++=种选法. 方法二：间接法.先从10名学生中任意选出3名学生，有310C 种选法；然后从中扣除没有女生的情况（即全是男生的情况），有36C 种选法.所以，至少有一名女生的选法数有3310612020100C C -=-=．5. 7个点中选出3个点的方法为3735C =种，其中三条对角线上的3点组合是共线的，不合要求.35332-=种．6. ⑴124660C C =种； ⑵既有正品又有次品分为：1件次品，2件正品；2件次品，1件正品两类，即：12214646603696C C C C +=+=种.7. 两条弦的交点与四边形的个数一一对应，因而有410210C =个交点．8. （1）若六位数中没有2，则每一位只能从4或6中选一个，这时有6264=个.（2）若六位数中只有1个2，则2有166C =种位置选择，其余5个位置从4或6中选取，则有562192⨯=个.（3）若六位数中有2个2，这时有4252160C ⋅=个（插空法）.（4）若六位数中有3个2，这时有334232C ⋅=个； 由题意，不可能在六位数中出现4个4个以上的2.于是共有6419216032448+++=个.9. 将瓶子命名为1，2，3，4，5号，如果是1，2号瓶贴对，则其余3个瓶子都贴错的，简单枚举可发现有2种贴错的情况；而另选两个瓶子贴对，则剩余3个瓶子都贴错也是2种情况，因此共有25220C ⨯=种.10. 由于首位是1，因此那两个相同数字应该以是否是1而分类：⑴若相同数字是1：另一个1有3种位置可以选择，另两位数字不能是1且不能相同，故有29A 种不同排法，因而有2193216m A ==个.⑵若相同数字不是1：这时相同数字有9种不同选法，这两个相同数字在后3位只有3种不同排法，另一位数字既不是1，又不能与相同数字相同，因此有8种不同取法．因而有2938216m =⨯⨯=个.综上，满足条件的四位数共有216216432+=个．11. 此题若从“多面手”出发来做，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语的人讨论，分三类：⑴只会日语的2人都出场，则还需1个多面手做日语导游，有4种选择．从剩下的只会英语的人和多面手共6人中选3人做英语导游，有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯种选择．由乘法原理，有42080⨯=种选择．⑵只会日语的2人中有1人出场，有2种选择．还需从多面手中选2人做日语导游，有2443621C ⨯==⨯种选择．剩下的只会英语的人和多面手共5人中选3人做英语导游，有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种选择．由乘法原理，有2610120⨯⨯=种选择．⑶只会日语的人不出场，需从多面手中选3人做日语导游，有31444C C ==种选择．剩下的只会英语的人和多面手共4人中选3人做英语导游，有31444C C ==种选择．由乘法原理，有4416⨯=种选择．根据加法原理，不同的选择方法一共有8012016216++=种．12. 按具有双项技术的学生分类：⑴两人都不选派，有3510C =种选派方法；⑵两人中选派1人，有2种选法．而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑，有2510C =种选法，而另外会安装音响设备的3人全选派上，只有1种选法．由乘法原理，有10110⨯=种选法；若此人安装音响设备，有233C =种选法，需从5人中选3人安装电脑，有3510C =种选法．由乘法原理，有31030⨯=种选法．根据加法原理，有103040+=种选法；综上所述一共有24080⨯=种选派方法．⑶两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：①两人全安装电脑，有515⨯=种选派方案；②两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有225360C C ⨯=种选派方案；③两人全安装音响设备，有35330C ⨯=种选派方案．根据加法原理，共有5603095++=种选派方案．综合以上所述，符合条件的方案一共有108095185++=种．13. 设原四位数为ABCD ，按照题意，我们有4A B C D +++=，但是对A 、B 、C 、D 要求不同，因为这是一个四位数，所以应当有0A ≠，而其他三个字母都可以等于0，这样就不能使用我们之前的插板法了，因此我们考虑将B 、C 、D 都加上1，这样B 、C 、D 都至少是1，而且这个时候它们的和为437+=，即问题变成如下表达：一个各位数字不为0的四位数，它的各位数字之和为7，这样的四位数有多少个？采用插板法，共有6个间隔，要插入3个板，可知这样的四位数有个，对应着原四位数也应该有20个.14. 6个点间进行连线，共可以连成15条，但是由题意知这是个一笔画问题，若把这些线全连上，则图形中有6个奇点，不能一笔画，因此至少要去掉2条线（以去掉4个奇点），所以至多共进行15213-=次传球.15. 本题考察对应与转化思想.可以这样考虑：先把四个点间所有能连的线都连起来，共有246C =种方法，然后从这6条线中选择3条将其去掉，有3620C =种选法，但是连在同一个点上的三条线不能同时去掉，所以必须再去掉4种情况，所以共有16种.3620C =。
小学四年级奥数竞赛班作业第47讲：排列组合综合应用(一)
排列组合综合应用练习题一．夯实基础：1.由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．⑴四位偶数有多少个？⑵四位奇数有多少个？⑶四位偶数有多少个？2.由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．⑴整数有多少个？⑵是5的倍数的三位数有多少个？3.由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．⑴是25的倍数的四位数有多少个？⑵大于5860的四位数有多少个？4.一个小组共10名学生，其中4女生，6男生.现从中选出3名代表，其中至少有一名女生共有多少种选法？二．拓展提高：5.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个？6.从10件产品中有4件次品，现抽取3件检查，（1）恰好有一件次品的取法有___________种；（2）既有正品又有次品的取法有_______________种.7.圆周上有十个点，任两点之间连一条弦，这些弦在圆内共有多少个交点？8.用2，4，6三个数字来构造六位数，但是不允许有两个连着的2出现在六位数中（例如626442是允许的，但226426就不允许），问这样的六位数有多少个？三. 超常挑战9.有5个标签分别对应着5个药瓶，恰好贴错3个标签的可能情况有多少种？10.由1447，1005，1231这三个数字有许多相同之处：它们都是四位数，最高位都是1，都恰有两个相同数字，一共有多少个这样的数？11.某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种?12.在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案?13.在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？四．杯赛演练：14.（迎春杯初赛）6个人传球，每两人之间至多传1次，那么至多共进行几次传球？15.（华杯赛冬令营培训题）如图，A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，则不同的建桥方案共有几种？DACB答案：1. （1）注意0不能做首位，355300A =个．（2）个位为特殊位置，只能从5，7中选一个；0是特殊元素，它不能放在千位；综上，四位奇数有11224496C C A =个．（3）位只能在0，2，6，8中选择，进一步分成两种情况：若个位为0，则共有3560A =种；若个位不是0，则个位从2，6，8中选一个，有3种方法，然后选择千位，有4种方法，最后再选剩余的两位，有2412A =种，所以四位偶数有603412204+⨯⨯=个．2. ⑴包括一位数、二位数、三位数、…、六位数，共有111121313141565555555555551631A A A A A A A A A A A A A ++++++=个．⑵5的倍数，则个位为0或5，分两种情况：若个位为0，则有2520A =个；若个位为5，则有114416A A =个，所以共有36个是5的倍数的三位数．3. ⑴25的倍数，在本题的条件下，末两位只可能是25，50或75.若末两位为25，则这样的四位数有11339A A =个；若末两位为50，则这样的四位数有2412A =个；若末两位为75，则这样的四位数有11339A A =个，因此能被25整除的四位数共有30个． ⑵千位如果为5，则前三位为586，第四位有2或7两种选择；前三位若为587，则四位有0，2，6三种选择，所以，千位为5总共有5个数；千位如果为6、7、8，则均有3560A =个数，因此，大于5860的四位数有5360185+⨯= 个．4. “至少有一名女生”意味着存在女生，也就是说不能都是男生.所以，理解这句话的意思至关重要！我们可以从直接与间接两种方法解这道题，同学们可以比较一下.方法一：直接法.由于共有4个候选女生，因此至少有一名女生，包括如下几种情况：⑴1名女生，2名男生：124660C C =种选法； ⑵2名女生，1名男生：214636C C =种选法； ⑶3名女生，344C =种选法. 所以，共有60364100++=种选法. 方法二：间接法.先从10名学生中任意选出3名学生，有310C 种选法；然后从中扣除没有女生的情况（即全是男生的情况），有36C 种选法.所以，至少有一名女生的选法数有3310612020100C C -=-=．5. 7个点中选出3个点的方法为3735C =种，其中三条对角线上的3点组合是共线的，不合要求.35332-=种．6. ⑴124660C C =种； ⑵既有正品又有次品分为：1件次品，2件正品；2件次品，1件正品两类，即：12214646603696C C C C +=+=种.7. 两条弦的交点与四边形的个数一一对应，因而有410210C =个交点．8. （1）若六位数中没有2，则每一位只能从4或6中选一个，这时有6264=个.（2）若六位数中只有1个2，则2有166C =种位置选择，其余5个位置从4或6中选取，则有562192⨯=个.（3）若六位数中有2个2，这时有4252160C ⋅=个（插空法）.（4）若六位数中有3个2，这时有334232C ⋅=个； 由题意，不可能在六位数中出现4个4个以上的2.于是共有6419216032448+++=个.9. 将瓶子命名为1，2，3，4，5号，如果是1，2号瓶贴对，则其余3个瓶子都贴错的，简单枚举可发现有2种贴错的情况；而另选两个瓶子贴对，则剩余3个瓶子都贴错也是2种情况，因此共有25220C ⨯=种.10. 由于首位是1，因此那两个相同数字应该以是否是1而分类：⑴若相同数字是1：另一个1有3种位置可以选择，另两位数字不能是1且不能相同，故有29A 种不同排法，因而有2193216m A ==个.⑵若相同数字不是1：这时相同数字有9种不同选法，这两个相同数字在后3位只有3种不同排法，另一位数字既不是1，又不能与相同数字相同，因此有8种不同取法．因而有2938216m =⨯⨯=个.综上，满足条件的四位数共有216216432+=个．11. 此题若从“多面手”出发来做，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语的人讨论，分三类：⑴只会日语的2人都出场，则还需1个多面手做日语导游，有4种选择．从剩下的只会英语的人和多面手共6人中选3人做英语导游，有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯种选择．由乘法原理，有42080⨯=种选择．⑵只会日语的2人中有1人出场，有2种选择．还需从多面手中选2人做日语导游，有2443621C ⨯==⨯种选择．剩下的只会英语的人和多面手共5人中选3人做英语导游，有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种选择．由乘法原理，有2610120⨯⨯=种选择．⑶只会日语的人不出场，需从多面手中选3人做日语导游，有31444C C ==种选择．剩下的只会英语的人和多面手共4人中选3人做英语导游，有31444C C ==种选择．由乘法原理，有4416⨯=种选择．根据加法原理，不同的选择方法一共有8012016216++=种．12. 按具有双项技术的学生分类：⑴两人都不选派，有3510C =种选派方法；⑵两人中选派1人，有2种选法．而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑，有2510C =种选法，而另外会安装音响设备的3人全选派上，只有1种选法．由乘法原理，有10110⨯=种选法；若此人安装音响设备，有233C =种选法，需从5人中选3人安装电脑，有3510C =种选法．由乘法原理，有31030⨯=种选法．根据加法原理，有103040+=种选法；综上所述一共有24080⨯=种选派方法．⑶两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：①两人全安装电脑，有515⨯=种选派方案；②两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有225360C C ⨯=种选派方案；③两人全安装音响设备，有35330C ⨯=种选派方案．根据加法原理，共有5603095++=种选派方案．综合以上所述，符合条件的方案一共有108095185++=种．13. 设原四位数为ABCD ，按照题意，我们有4A B C D +++=，但是对A 、B 、C 、D 要求不同，因为这是一个四位数，所以应当有0A ≠，而其他三个字母都可以等于0，这样就不能使用我们之前的插板法了，因此我们考虑将B 、C 、D 都加上1，这样B 、C 、D 都至少是1，而且这个时候它们的和为437+=，即问题变成如下表达：一个各位数字不为0的四位数，它的各位数字之和为7，这样的四位数有多少个？采用插板法，共有6个间隔，要插入3个板，可知这样的四位数有个，对应着原四位数也应该有20个.14. 6个点间进行连线，共可以连成15条，但是由题意知这是个一笔画问题，若把这些线全连上，则图形中有6个奇点，不能一笔画，因此至少要去掉2条线（以去掉4个奇点），所以至多共进行15213-=次传球.15. 本题考察对应与转化思想.可以这样考虑：先把四个点间所有能连的线都连起来，共有246C =种方法，然后从这6条线中选择3条将其去掉，有3620C =种选法，但是连在同一个点上的三条线不能同时去掉，所以必须再去掉4种情况，所以共有16种.3620C =。
小学奥数 排列组合
一．计数专题：④排列组合一. 进门考1.有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？3.甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？4.从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？5.学校的一块活动场地呈梯形，如图所示．（1）这块活动场地的面积是多少平方米？（2）学校计划给这块地铺上草皮，如果每平方米的草皮20元，学校一共要为这块活动场地花费多少元钱？6*.按1，2，3，4的顺序连线，有多少种不同的连法?二．授新课5 87 6①奥数专题：乘法原理专题简析在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．解决排列组合问题，离不开加法原理和乘法原理，合理分类、合理分组，求出组合数和排列数。
排列公式：由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．组合公式： 从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．．例1：排列数：1. 三个人排成一排照相，有多少种不同的排法？2. 有3名男生和2名女生排成一排照相，有多少种不同的排法？如果要求两名女生必须相邻，有多少种排法？3.有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？n m 121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（）121m n P n n n n m =---+（）（）（）m n ≤n 1m n m m n ≤n mm n C 12)112321m m n nm m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）121m n P n n n n m =---+（）（）（）4.5人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 多少？例2：组合数：1. 从有3名男生和2名女生中选出2名同学参加数学竞赛，有多少种选法？2.在“星星杯”,“排球比赛中,共有10个小球队参加比赛。
小学奥数排列组合专项训练
小学奥数排列组合专项训练内容概述了解排列、组合公式的来由及含义，掌握具体的计算方法；辨析排列、组合之间酌区别与联系，并能够合理应用．典型问题兴趣篇1. 计算：24(1)P 410(2)P 3336(3)3P P ⨯+2．费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相，一共有多少种不同的排列方法?3．体育课上，老师从10名男生中挑出4人站成一排，—共有多少种不同的排列方法?4．费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有8个空座位，他们一共有多少种不同的坐法?5．用1至7这7个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?如果把这些三位数从小到大排起来，312是其中第几个?6.计算：25(1)C47(2)C 3366(2)P C ⨯7．图21-1中有六个点，任意三个点都不在一条直线上．请问：(1)以这些点为端点，一共可以连出多少条线段?(2)以这些点为顶点，一共可以连出多少个三角形?8．费叔叔把10张不同的游戏卡片分给冬冬和阿奇，并且决定给冬冬8张，给阿奇2张．一共有多少种不同的分法?9．小悦要从八门课程中选学三门，一共有多少种选法?如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，她一共有多少种选法?10．象棋兴趣小组一共有9名同学，请问：(1)如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法?(2)如果从中选3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法?拓展篇1. 计算：25(1)P37(2)P 4266(3)P P -2．如图21-2所示，有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，用这5面小旗一共可以表示出多少种不同的信号?3．3名同学一块去图书馆借科幻小说，发现书架上只剩下9本，且各不相同．如果每人只借1本，那么共有多少种不同的借法?4．用1、2、3、4、5这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数?将这些四位数从小到大排列起来，4125是第几个?5. 计算：39(1)C 321010(2)2C C -⨯ 45(3)C ，15C 710(4)C ，310C6．如图21-3所示，从端点O出发的射线共有7条，图中一共有多少个锐角?7．如图21-4所示，在一个圆周上有8个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段?多少个三角形?多少个四边形?8．9支球队进行足球比赛，实行单循环制，即每两队之间只比赛一场．每场比赛后胜方得3分，平局双方各得1分，负方不得分．请问：一共要举行多少场比赛?9支队伍的得分总和最多为多少?9．学校十佳歌手大赛的10名获奖选手中，每3人都要照一张合影．问：需要拍多少张照片?10．在新学期的班会上，大家要从11名候选人中选出班干部．请问：(1)选出三人组成班委会，那一共有多少种选法?(2)从剩下的候选人中，选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法?11．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇去参加一次聚会，主持人要求每个人从12个颜色不同的彩球中领取一个．请问：(1)小悦是第一个取球的人，她一共选出了4个球，准备回头分给大家，那一共有多少种选法?(2)小悦回到座位后，把这4个球分给大家，一共有多少种分法?(3)最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能?12．周末大扫除，老师要从第一组的10名男生和10名女生中选出5人留下打扫卫生．请问：(1)如果老师随意选择，一共有多少种选择方法?(2)如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法?超越篇1．有一些四位数，它们由4个互不相同且不为零的数字组成，并且这4个数字的和等于11．将所有这样的四位数从小到大依次排列，第20个是多少?2．在身高互不相同的6个人中，选出3个人站成第一排，另外3个人站成第二排．请问：(1)如果可以随便站，那么一共有多少种排法?(2)如果要求第二排最矮的人也比第一排最高的人高，那么一共有多少种不同的排法?3．小口袋中有4个球，大口袋中有6个球，这些球颜色各不相同．请问：(1)任意取4个球出来，那么共有多少种不同的结果?(2)取出4个球，而且恰好从每个口袋中各取2个球，共有多少种不同结果?4. 在1至30这30个自然数中任意挑选出两个不同的数，使得它们的和是偶数，一共有多少种不同的挑选方法?5. 如图21-5所示，两条直线上分别有6个点和4个点．以这些点为顶点，可以连出多少个三角形?6. 从15名同学中选出5人，上场参加篮球比赛．请问：(1)如果甲、乙两人必须人选，共有多少种选法?(2)如果甲、乙两人中至少有一人人选，共有多少种选法?(3)如果甲、乙、丙三人中恰好入选一人，共有多少种选法?(4)如果甲、乙、丙不能同时都人选，共有多少种选法?7.一体育课上，老师将冬冬、阿奇和另7名同学分成3组做游戏，每组3人．一共有多少种分组方法?如果要求冬冬和阿奇分到同一组，有多少种分组方法?8. 大、小两个口袋中，装有一些同样的小球．大口袋里装有9个小球，分别编号为l，2，3，…，9；小口袋里装有6 个小球，分别编号为1，2，3，…，6．从这两个口袋中分别摸出3 个小球，这6个小球的编号一共有多少种可能情况?。
排列组合小学奥数
排列与组合（一）排列例1、张华、李明等七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法。
（1）、七个人排成一排；（2）、七个人排成一排，张华必须站在中间；（3）、七个人站成一排，张华，李明必须有一人站在中间；（4）、七个人站成一排，张华，李明必须站在两边；（5）、七个人站成一排，张华，李明都没有站在边上；（6）、七个人排成两排，前排三人，后排四人；（7）、七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华，李明不在同一排。
例2、用0，1，2，3四个数码可以组成（）个没有重复数字的四位偶数。
例3、某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0的数字组成，且四个数字之和是9，为确保打开保险柜，至少要试（）次。
例4、从1，3，5中任选两个数字，从0，2，4中任选两个数字，共可组成（）个没有重复数字的四位数，其中偶数有（）个。
例5、在前10000个自然数中，不含数码“1”的数有（）个。
练习：1、甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。
（1）、甲拿到自己作业本的拿法有（）种；（2）、恰有一人拿到自己作业本的拿法有（）种；（3）、至少有一人没拿到自己作业本的拿法有（）种；（4）、谁也没拿到自己作业本的拿法有（）种。
2、用0，1，2，3，4，可以组成（）个小于1000的没有重复数字的自然数。
3、自然数8336，8545，8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同，这样的数有（）个。
4、由1000到1999这1000个自然数中，有（）个千位，百位，十位，个位数字中恰有两个相同的数。
5、从1，3，5中任选两个数字，从2，4，6中任选两个数字，共可组成（）个没有重复数字的四位数。
6、用1，2，3，4，5这五个数字可以组成120个没有重复数字的四位数，将它们从小到大排列起来，4125是第（）个。
7、在所有的三位自然数中，组成数的三个数码既有大于5的数码，又有小于5的数码的自然数共有（）个。
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5. 8人排在前后两排，每排四人， 8人排在前后两排，每排四人， 其中甲、乙两人要排在前排，丙要 排在后排，有多少种不同排法？
6. 六人排成一行，甲不排在第一位， 乙不排在最后一位，共有多少种不 同的排法
• 解法一：六人排成一行，共有 种不同排法，甲 解法一：六人排成一行， 种不同排法， 种排法， 在第一位的有 种排法，乙在最后一位的有 种 排法，甲在第一位， 种排法。 排法，甲在第一位，乙在最后一位的有 种排法。 所以符合要求的排法有 • （种） • 解法二： 种排法， 解法二：乙排第一位有 种排法，甲、乙之外 种排法， 的四个人之一排第一位有 种排法，故有 • ＋ ＝504（种） （ •
11. 已知集合A={1,2,3}, 已知集合A={1,2,3}, B={1,4,5,6} 。从这两个集合中各取 一个元素，作为平面直角坐标系中 的坐标，能确定的不同的点的个数 是多少？
12. 3封信投入四个信箱，有几种 不同的投法？
13. 有11名工人，其中5人会钳工， 11名工人，其中5 4人会车工，2人既会钳工又会车工， 人会车工，2 从中选出4名钳工和4 从中选出4名钳工和4名车工，有多 少种选法？
排列、组合
复习课
1. 在所有的两位数中，个位数字小 于十位数字的两位数有多少个？
2. 用0到9这十个数字，能组成 多少个只含有两个相同数字的 三位数。
3. 由1到5这五个数字可以组成多 少个首位是偶数，没有重复数字的 五位奇数。
4. 如图1－66，用五种不同的颜色 如图1 66，用五种不同的颜色 着色，相邻部分不能用同一种颜色， 但同一种颜色可以反复使用，求所 有不同的着色方法的种数。
9. 五人排队，甲不在首位的排法有 几种；甲不在首位，乙不在末位的 排法有几种；甲不在首位，乙不在 末位，丙不在中间的排法有几种； 甲不在首位，乙不在末位，丙不在 中间，丁不在第二位的排法有几种； 甲不在首位，乙不在末位，丙不在 中间，丁不在第二位，戊不在第四 位的排法有几种。
10. n人坐n个座位。但限定第一人不 n人坐n 坐第一位，第二人不坐第二位，…， 坐第一位，第二人不坐第二位，… 第n人不坐第n位，有多少种不同的 人不坐第n 坐法。
18. f是集合 A＝｛a,b,c,d},B={0,1,2} f是集合 ＝｛a,b,c,d},B={0,1,2} 的映射，如果B中的元素在A 的映射，如果B中的元素在A中都有 原象，求这样的映射的个数。若不 要求都有原象呢？
19. 6本不同的书分给甲、乙、丙三 6本不同的书分给甲、乙、丙三 人。 （1）甲得2本，乙得2本，丙得2 ）甲得2本，乙得2本，丙得2 本有几种不同的分配方法； （2）甲得3本，乙得2本，丙得1 ）甲得3本，乙得2本，丙得1 本有几种不同的分配方法； （3）一人得3本，一人得2本，一 ）一人得3本，一人得2 人得1 人得1本有几种不同的分配方法。
16. 某班选出的7名班委进行分工， 某班选出的7 每人只担任一个职务，且每个职务 都不相同，其中 A 不当班长， B 不当文娱委员，这样的分配方案有成一列， 7名学生中每次选出5 其中A不能排在第一位，B 其中A不能排在第一位，B不能排在 末位，共有多少种不同的排列方法？
7. 从七名运动员中选出四人参加 4×100米接力。如果甲、乙两人都 100米接力。如果甲、乙两人都 不跑中间两棒，问有多少种不同的 安排方法？
8. 用0、1、2、3、4、5、6这七个 数字，可以组成多少个没有重复数 字的六位奇数？
• 解法一：所求六位数的个位只能是1、3、5，当 解法一：所求六位数的个位只能是 、 、 ， 个位是1、 、 之一时 之一时， 个位是 、3、5之一时，首位数字有零以外的余 下的五个数字可取。取定之后， 下的五个数字可取。取定之后，中间的四个数可 以从余下的包括零在内的五个数字中取， 以从余下的包括零在内的五个数字中取，所以共 有 （个） • 解法二： 解法二：共有六位数 个（包含首位是零的假 六位数）， ），其中是奇数的占 个奇数。 六位数），其中是奇数的占 ，故有 个奇数。 再减去首位是零的奇数 个，所以共有 （个） •
14. 平面上有相异的20个点，共确定 平面上有相异的20个点，共确定 178条直线，问是否有3个或3 178条直线，问是否有3个或3个以上 的点共线？
15. 圆周上有10个点，每两点间连一 圆周上有10个点，每两点间连一 弦，如果其中任意三条弦在圆内都 不共点，求由这些弦在圆内的交点 为顶点的三角形的个数。
20. 在连结凸五边形的三个顶点构成 的三角形中，求与原凸五边形没有 公共边的三边形的个数。凸六边形 呢？凸n 呢？凸n边形呢？