奥数(排列与组合)

合集下载

奥数数字排列组合解题技巧

奥数数字排列组合解题技巧在奥数（奥林匹克数学竞赛）中，数字排列组合是一个常见的考查点，涉及到的技巧和方法有很多。

以下是一些常见的解题技巧：1. 全排列与重复排列：-全排列：n个元素的全排列有n!种情况，其中n!表示n的阶乘。

-重复排列：有重复元素时，全排列的总数要除以重复元素的阶乘。

2. 循环置换：-对于n个元素的排列，可以通过循环置换的方式进行计算。

循环置换的计算可以借助循环节的长度和总元素个数。

3. 组合公式：-对于从n个元素中选取m个元素的组合数，使用二项式系数的组合公式：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)4. 二项式定理：-利用二项式定理展开多项式，特别是在计算特殊值时，如计算(x+y)^n的展开式。

5. 递推关系：-有时候可以通过递推关系，找到某一项与前面项之间的关系，从而简化计算。

6. 逆向思维：-有时候可以从目标结果出发，逆向思考，找到排列组合的解。

7. 利用对称性：-利用对称性质，减少计算量。

例如，当问题中存在对称性时，可以利用对称性简化问题。

8. 鸽巢原理：-当分配的对象多于容器的个数时，至少有一个容器中含有两个或两个以上的对象。

这个原理在一些排列组合问题中经常被使用。

9. 图论中的排列组合：-在一些图论问题中，可以利用排列组合的知识，特别是在解决路径计数等问题时。

10. 二叉树与组合数学的关系：-一些问题可以通过构建二叉树的方式来求解，从而转化为组合数学的问题。

总的来说，对于奥数中的数字排列组合问题，关键是灵活运用数学知识，善于发现问题中的规律，并通过巧妙的思考和计算得到正确的结果。

小学奥数排列组合[整理版]

奥数解排列组合应用题排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A = 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A = ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ，能被4除余2的数集{}2,6,,98C = ，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D = ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+- .例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

小学奥数之排列组合问题

题目：有五本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人一本，另两人各两本，不同的分配方法有 _______ 种．答案：90
题目：将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______．答案：60
掌握基础概念和公式
理解排列组合的原理和计算方法
理解排列组合的概念和公式
练习题：有5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为多少？答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。练习题：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字且大于2000的三位数？答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。

小学奥数~排列组合

5数的一半，即 A= 60 种，选 B . 奥数解排列组合应用题排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略 .1.相邻问题捆绑法 :题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1. A, B, C , D, E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60 种B 、48 种C 、36 种D 、24 种解析：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A 4 = 24 种， 4答案： D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 A 5 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A 2 种，不同的排56法种数是 A 5 A 2 = 3600 种，选 B .563.定序问题缩倍法 :在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3. A, B, C , D, E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（ A, B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、120 种解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列1 2 5 4.标号排位问题分步法 :把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3 ×1=9 种填法，选 B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有C 2 C 1C 1 = 2520 种，选C .10 87C 4 C 4C 4（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有A 、 C 4 C 4C 4 种B 、 3C 4 C 4C 4 种C 、 C 4 C 4 A 3 种D 、128412 841283答案： A .6.全员分配问题分组法:例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成 3 组有 C 2 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 A 3 种，故共43有 C 2 A 3 = 36 种方法.43说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480 种 B 、240 种 C 、120 种 D 、96 种答案： B .7.名额分配问题隔板法:例 7.10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 C 6 = 84 种.98.限制条件的分配问题分类法:例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案 A 4 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方8法，然后安排其余学生有 A 3 方法，所以共有 3 A 3 ；③若乙参加而甲不参加同理也有 3 A 3 种；888④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有A 2 种，共有 7 A 2 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 A 4 + 3 A 3 + 3 A 3 + 7 A 2 = 4088 种.8888889.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例 9.（1）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 A 、210 种 B 、300 种 C 、464 种 D 、600 种解析：按题意，个位数字只可能是 0、1、2、3 和 4 共 5 种情况，分别有 A 5 、 A 1 A 1 A 3 、54 3 3A 1 A 1 A 3 、3 3 3A 1 A 1 A 3 和 A 1 A 3 个，合并总计 300 个,选B .2 3 33 3（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A={7,14,21,98}共有14个元,100}共有86个元素；由此可知，素,不能被7整除的数组成的集合记做ðA={1,2,3,4,I从A中任取2个元素的取法有C2，从A中任取一个，又从ðA中任取一个共有C1C1，14I1486两种情形共符合要求的取法有C2+C1C1=1295种.141486（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将I={1,2,3,100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A={4,8,12,100}；能被4除余1的数集B={1,5,9,97}，能被4除余2的数集C={2,6,,98}，能被4除余3的数集D={3,7,11,99}，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C2+C1C1+C2种.2525252510.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A B)=n(A)+n(B)-n(A B).例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I)-n(A)-n(B)+n(A⋂B)=A4-A3-A3+A2=252种.655411.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

四年级奥数排列组合(C级)

1. 了解排列、组合的意义2. 明白排列和组合的联系与区别3. 掌握排列和组合的常用解题方法。

4. 会分析排列组合与其他专题的综合应用，培养学生的逻辑思维能力。

一、排列与组合在生产生活中，常常用到排列与组合，尤其在计算机研究中。

(一) 排列（1）从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．（2）一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n nP n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）．表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）　．(二) 组合（1）从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mnC ．12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．（2）一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)。

这个公式的直观意义是：m n C 表示从n个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元排列组合考试要求知识框架例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．（3）规定1n n C =，01nC =．二、排列与组合的联系与区别联系：所有的排列都可以看做是先取组合，再做全排列；同样组合再补充一个阶段（排列）可转化为排列问题。

奥数难题知识点总结

奥数难题知识点总结一、概率1.1 排列与组合在奥数难题中，排列与组合是经常出现的概率问题。

排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素按照一定的顺序排列的方法数。

组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素不考虑顺序排列的方法数。

在解决奥数难题中，排列与组合的计算方法是基础中的基础，需要掌握各种情况下的排列组合公式及其应用。

1.2 概率计算在奥数难题中，概率计算也是一个重要的知识点。

概率是指在一次随机试验中，事件A发生的可能性大小。

概率计算涉及到事件的互斥、独立、条件概率、贝叶斯公式等概念，需要掌握概率计算的基本原理和方法，以及在奥数难题中的应用。

1.3 事件的独立性与互斥性在奥数难题中，事件的独立性与互斥性是常见的概率问题。

事件A与事件B独立是指事件A的发生不影响事件B的发生，事件A与事件B互斥是指事件A的发生排除了事件B的发生。

在解决奥数难题中，需要了解事件的独立性与互斥性的概念，并能够灵活运用这些概念解决实际问题。

1.4 随机变量在奥数难题中，随机变量也是一个重要的概率知识点。

随机变量是指可能取多个值的变量，它的每个值发生的概率可以用概率分布来描述。

在解决奥数难题中，需要掌握随机变量的定义、性质、分布函数及其应用，能够灵活运用随机变量解决实际问题。

二、数学思维2.1 极限思想在奥数难题中，极限思想是一种重要的数学思维。

极限是指一个函数在某一点处的极限，它描述了函数在该点附近的变化情况，是数学分析的一种基本概念。

在解决奥数难题中，需要掌握极限的定义、性质、计算方法及其应用，能够运用极限思想解决实际问题。

2.2 推理思维在奥数难题中，推理思维也是一个重要的数学思维。

推理是利用已知条件得出结论的过程，是数学问题求解的基本方法之一。

在解决奥数难题中，需要灵活运用推理思维分析问题，找出问题的关键，从而找到解决问题的方法。

2.3 抽象思维在奥数难题中，抽象思维是一个不可或缺的数学思维。

抽象思维是指将具体问题抽象为一般性问题，通过建立数学模型对问题进行分析和求解。

小学奥数排列组合

小学奥数排列组合.本文介绍了排列组合的应用。

通过举例，让学生理解排列、组合的意义，并掌握计算公式和技巧。

在解决问题时，需要注意特殊情况，先考虑特殊情况再进行全排列。

例如，在小新、阿呆等七个同学照像的问题中，要根据具体的要求写出符合要求的排列或组合。

最后，还提供了一个练题，让学生灵活运用计数方法进行计数。

文章中没有明显的格式错误和问题段落。

对于第一段，可以稍微改写为：我们可以用1、2、3、4、5这五个数字组成不同位数的数字。

对于一位数，只有1个数字可选；对于两位数，第一位有5种选择，第二位有4种选择，共有5×4=20种选择；对于三位数，第一位有5种选择，第二位有4种选择，第三位有3种选择，共有5×4×3=60种选择；对于四位数，可由1、2、4、5这四个数字组成，有24种不同的选择；对于五位数，可由1、2、3、4、5这五个数字组成，共有120种不同的选择。

由加法原理，一共有177个能被3整除的数，即3的倍数。

对于第二段，可以稍微改写为：我们可以用1、2、3、4、5、6这六张数字卡片组成不同的三位数，且要组成偶数。

个位上的数应从2、4、6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有20种选法。

由乘法原理，一共可以组成3×20=60个不同的偶数。

对于第三段，可以稍微改写为：某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是9.我们可以列出所有符合条件的组合，包括1、1、1、6；1、1、2、5；1、1、3、4；1、2、2、4；1、2、3、3；2、2、2、3这六种。

对于每种组合，我们可以计算出可以组成多少个密码。

最后，由加法原理，一共可以组成56个不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次。

对于最后一段，可以稍微改写为：两对三胞胎围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，共有6个人。

第一个位置在6个人中任选一个，有6种选法；第二个位置在另一胞胎的3个人中任选一个，有3种选法；同理，第3、4、5、6个位置依次有2、2、3人中任选一个，有1种选法。

奥数-排列组合讲义-第二讲

排列与组合经典精讲1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.3.排列数公式:4.组合数公式:5.组合数的两个性质m n n m n C C -= 规定：10=n C11-++=m nm n m n C C C 排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.例1. 从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？②有多少个不同的乘法算式？解： ①要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，因为乘法的交换率，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.由组合数公式得到，共有个不同的乘积.②要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.由排列数公式，共有P 25＝ 5×4＝20种不同的乘法算式.点评：看准是排列还是组合，剩下的就是简单计算了。

例2. 如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？②下右图中，共有多少个角？ )!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---=L )!(!!!)1()2)(1(m n m n m m n n n n A A C m m m n m n -=+---==L解：①在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，而与选这两个端点的顺序无关，所以，这是一个组合问题由组合数公式知，共有条不同的线段；②从O点出发的射线一共有11条，它们是OA， OP1，OP2，OP3，…，OP9，OB.注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角.显然，是组合问题，共有C211种不同的取法，所以，可组成C211个角.由组合数公式知，共有点评：在几何计数当中也用到了很多排列组合的方法。

四年级奥数排列组合题及答案

四年级奥数排列组合题及答案四年级奥数排列组合题及答案1.排列、组合等问题从6幅国画，4幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法?解答：6×4=24种6×2=12种4×2=8种24+12+8=44种【小结】首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理。

当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理。

由此可知这是一道利用两个原理的综合题。

关键是正确把握原理。

符合要求的选法可分三类：设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在6张国画中选1张，第二步再在4张油画中选1张。

由乘法原理有6×4=24种选法。

第二类为：国画、水彩画各一幅，由乘法原理有6×2=12种选法。

第三类为：油画、水彩画各一幅，由乘法原理有4×2=8种选法。

这三类是各自独立发生互不相干进行的。

因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有24+12+8=44种。

2.排列组合从1到100的所有自然数中，不含有数字4的.自然数有多少个?解答：从1到100的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数.一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9;两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有l、2、3、5、6、7、8、9这八种情况.个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含4.三位数只有100.所以一共有8+8×9+1=81个不含4的自然数.。

小学奥数-排列组合教案

小学奥数-排列组合教案一、教学目标：1. 让学生理解排列组合的概念，能够运用排列组合的知识解决实际问题。

2. 培养学生逻辑思维能力和创新思维能力。

3. 提高学生解决数学问题的兴趣和自信心。

二、教学内容：1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：排列组合的概念、排列数公式、组合数公式及其应用。

2. 教学难点：排列组合问题的解决方法和技巧。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究排列组合的知识。

2. 运用案例教学法，让学生通过实际案例理解排列组合的概念和应用。

3. 采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

五、教学安排：1. 第一课时：排列的概念和排列数公式2. 第二课时：组合的概念和组合数公式3. 第三课时：排列组合的应用举例4. 第四课时：练习与讲解六、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如抽签、排座位等，引出排列组合的概念。

2. 新课导入：介绍排列和组合的定义，讲解排列数公式和组合数公式。

3. 案例分析：分析实际问题，运用排列组合知识解决问题。

4. 练习与讲解：学生自主练习，教师讲解疑难问题。

七、课后作业：1. 复习本节课所学内容，掌握排列组合的概念和公式。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 搜集生活中的排列组合实例，下周分享。

八、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 课后作业：检查学生作业完成情况，评估学生对知识的掌握程度。

3. 生活实例分享：评价学生搜集的排列组合实例的创意性和实用性。

九、教学拓展：1. 深入了解排列组合在实际生活中的应用，如密码学、运筹学等。

2. 探索其他数学领域的知识，如数列、概率等，与排列组合知识相结合。

3. 鼓励学生参加奥数比赛和相关活动，提高数学素养。

十、教学反思：2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。

小学奥数排列组合教案

小学奥数-排列组合教案一、教学目标1. 让学生理解排列组合的概念，掌握排列组合的基本算法。

2. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3. 培养学生积极探索、合作交流的学习习惯，增强学生的自信心。

二、教学内容1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：排列组合的概念，排列数和组合数公式的运用。

2. 教学难点：排列组合问题的理解和解决。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究、合作交流。

2. 运用实例分析，让学生直观理解排列组合的概念。

3. 练习法：通过适量练习，巩固所学知识。

五、教学准备1. 教学课件或黑板2. 练习题3. 学生分组合作学习所需材料教案内容：一、排列的概念和排列数公式1. 排列的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做一个排列。

2. 排列数公式：An = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

二、组合的概念和组合数公式1. 组合的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，但与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。

2. 组合数公式：Cn = n! / [m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。

三、排列组合的应用1. 题目示例：有红、蓝、绿三色的珠子，从中选出2个珠子，要求红珠子必须选中，求选法的总数。

2. 解题思路：这是一个排列问题，因为红珠子必须选中，只需要从蓝、绿两种颜色中再选一个珠子，按照排列的定义和公式，计算出排列数。

3. 解题步骤：a. 确定n=3（三种颜色），m=2（选两个珠子）。

b. 计算排列数：A3 = 3! / (3-2)! = 3×2 = 6。

c. 得出选法的总数为6种。

四、课堂练习a. A4 = ？b. A5 = ？a. C3 = ？b. C4 = ？五、总结与反思1. 本节课学习了排列和组合的概念及公式。

2. 通过对实例的分析，理解了排列组合的应用。

小学奥数排列和组合试题及答案

小学奥数排列和组合试题及答案第一篇：小学奥数排列和组合试题及答案小学四年级奥数排列组合练习1.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个①三位数？②没有重复数字的三位数？③没有重复数字的三位偶数？④小于1000的自然数？2.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？①某两人必须入选；②某两人中至少有一人入选；③某三人中恰入选一人；④某三人不能同时都入选.3.如右图，两条相交直线上共有9个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？-------------------4.如下图，计算①下左图中有多少个梯形？②下右图中有多少个长方体？5.七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？①七个人排成一排；②七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；③七个人排成一排，某两人必须站在两头；④七个人排成一排，某两人不能站在两头；⑤七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.-------------------答案：1.①100；②48；③30；④124.2.①C313＝286；②C515－C513＝1716；③C13·C412＝1485；④C515－C212＝2937.3.C15·C23＋C26·C13＝60；或C39－C36－C34＝60.4.①C26×C26＝225；②C25×C26×C25＝1500.5.①P77＝5040；②2P66＝1440；③2P55＝240；④5×4×P55＝2400；⑤2×3×4×P55＝2880.-------------------第二篇：小学奥数经典专题点拨：排列与组合排列与组合【有条件排列组合】例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。

（哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题）讲析：用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时，百位上不能为0，故共有9种不同的取法。

奥数试题二数字组合的排列与组合

奥数试题二数字组合的排列与组合数字组合的排列与组合数字组合的排列与组合在奥数考试中占有重要的地位。

掌握数字组合的排列与组合的知识，可以帮助我们高效地解决各种复杂问题。

本文将详细介绍数字组合的排列和组合的概念和应用。

一、数字组合的排列数字组合的排列特指从 n 个不同的元素中取出 k 个元素，然后按照一定的顺序排列的方案数。

排列的公式为：A(n, k) = n! / (n - k)!其中，n! 表示前 n 个正整数的乘积。

例如，从 4 个不同的元素中取出 2 个元素，进行排列的方案数为：A(4, 2) = 4! / (4 - 2)! = 12二、数字组合的组合数字组合的组合特指从 n 个不同的元素中取出 k 个元素，不考虑元素之间的顺序，不同排列算作同一种方案的情况。

组合的公式为：C(n, k) = n! / [(n - k)! * k!]其中，n! 表示前 n 个正整数的乘积。

例如，从 4 个不同的元素中取出 2 个元素，不考虑元素之间的顺序，不同排列算作同一种方案的情况，组合的方案数为：C(4, 2) = 4! / [(4 - 2)! * 2!] = 6三、数字组合的应用数字组合的排列和组合有广泛的应用场景，下面列举一些常见的应用：1. 组合优化问题组合优化问题是指从大量可能的组合中找出最优的一种方案，例如，在生产线上，如何安排机器的使用以最小化生产成本或最大化生产效率，就是一个组合优化问题。

数字组合的排列和组合可以用来解决这类问题。

2. 组合数学问题组合数学问题是指在满足某些限制条件的前提下计算满足某一条件的组合数。

例如，在一个 5 x 5 的矩阵中，从某一格出发走 k 步，走过的路径不可重复，问一共有多少种走法，就是一个组合数学问题。

数字组合的排列和组合可以用来解决这类问题。

3. 概率统计问题在概率统计中，数字组合的排列和组合经常被用来计算事件发生的概率。

例如，在一堆彩球中，从 n 个不同的颜色中抽出 k 个球，求出抽出的球是某一种颜色的概率，就可以使用数字组合的排列和组合求解。

三年级《排列与组合》奥数教案

星团站备课教员：第五讲排列与组合一、教学目标：1、结合学生熟悉的情境，让学生通过观察、猜测、实验等活动，找出简单事物的排列数和组合数；2、培养学生初步的观察、分析、推理能力以及有顺序地全面思考问题的意识；3、使学生感受到数学在现实生活中的应用价值，尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题；4、使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯，并初步培养学生表达解决问题的大致过程和结果。

二、教学重点：自主探究，掌握巧妙搭配、有序排列的方法，并用所学知识解决实际生活的数学问题。

三、教学难点：怎样排列可以不重复、不遗漏。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（40分钟）一、外星游记（5分钟）今天老师在上课之前来玩一个游戏。

规则：1、大家每两个一组，并且规定一个同学拿出4支不同颜色的笔，另一个同学拿出3支不同颜色的笔。

2、每两支不同颜色的笔为一组，两个人的笔一共有多少种不同的搭配方法？3、哪组哪个同学算出有多少种不同的搭配方法为赢。

师：经过搭配，你们算出了有几种搭配？生：12种。

师：你是怎么算的呢？生：用第一种颜色的笔，一一与另一个同学的颜色的笔搭配；再选一个与另一颜色的笔一一搭配，直到自己没有笔了，这时出现的搭配才是不同的。

师：还有别的方法吗？我们今天就一起来学习排列与组合，看看有多少种搭配？(板书课题：排列与组合)二、星海遨游（30分钟）（一）星海遨游1（10分钟）卡尔有红衣服、黄衣服、花衣服各一件，红裙子、黄裙子、蓝裙子、花裙子各一条。

她想穿一套衣服去外婆家，共有多少种不同的搭配方法？师：卡尔想穿一套衣服去外婆家，你们帮她搭配一下，怎么搭配呢？生：我们可以用红衣服去搭配裙子。

师：那有几种搭配方法呢？生：4种。

红裙子红衣服黄裙子蓝裙子花裙子师：还可以用哪种颜色的衣服去搭配呢？生：用黄衣服去搭配裙子。

师：有几种搭配呢？生：4种。

红裙子黄衣服黄裙子蓝裙子花裙子师：还能用哪种颜色的衣服去搭配呢？生：用花衣服去搭配裙子。

排列组合小学奥数

排列与组合（一）排列例1、张华、李明等七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法。

（1）、七个人排成一排；（2）、七个人排成一排，张华必须站在中间；（3）、七个人站成一排，张华，李明必须有一人站在中间；（4）、七个人站成一排，张华，李明必须站在两边；（5）、七个人站成一排，张华，李明都没有站在边上；（6）、七个人排成两排，前排三人，后排四人；（7）、七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华，李明不在同一排。

例2、用0，1，2，3四个数码可以组成（）个没有重复数字的四位偶数。

例3、某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0的数字组成，且四个数字之和是9，为确保打开保险柜，至少要试（）次。

例4、从1，3，5中任选两个数字，从0，2，4中任选两个数字，共可组成（）个没有重复数字的四位数，其中偶数有（）个。

例5、在前10000个自然数中，不含数码“1”的数有（）个。

练习：1、甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。

（1）、甲拿到自己作业本的拿法有（）种；（2）、恰有一人拿到自己作业本的拿法有（）种；（3）、至少有一人没拿到自己作业本的拿法有（）种；（4）、谁也没拿到自己作业本的拿法有（）种。

2、用0，1，2，3，4，可以组成（）个小于1000的没有重复数字的自然数。

3、自然数8336，8545，8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同，这样的数有（）个。

4、由1000到1999这1000个自然数中，有（）个千位，百位，十位，个位数字中恰有两个相同的数。

5、从1，3，5中任选两个数字，从2，4，6中任选两个数字，共可组成（）个没有重复数字的四位数。

6、用1，2，3，4，5这五个数字可以组成120个没有重复数字的四位数，将它们从小到大排列起来，4125是第（）个。

7、在所有的三位自然数中，组成数的三个数码既有大于5的数码，又有小于5的数码的自然数共有（）个。

小学奥数--排列组合教案

小学奥数-----排列组合教案加法原理和乘法原理排列与组合:熟悉排列与组合问题。

运用加法原理和乘法原理解决问题。

在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题:问题一：从A 地到B 地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。

一天中，火车有4 班，汽车有3 班，轮船有2 班。

那么从A 地到B 地共有多少种不同的走法？问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有3 条道路〔如以下图〕。

从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。

加法原理：完成一件工作共有N类方法。

在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有m n种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。

要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同方法中的具体方法，互不一样(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。

合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经历。

乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有m n种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×m n种方法。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。

完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N 步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，那么对应的完成此工作的方法也不同。

这两个根本原理是排列和组合的根底，与教材联系严密〔如四下"搭配的规律"〕，教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。

北京小学奥数排列组合例题

5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。

知识点拨：一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M n种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。

三.两个原理的区别做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。

每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P mn表示.P mn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C mn表示.C mn = P mn/m!=n!(n-m)!×m!一般当遇到m比较大时（常常是m>时），可用C mn = C n-mn来简化计算。