奥数：排列组合的基本理论及公式.docx

一、排列合的基本理和公式，排列与元素的序有关，合与序无关。如 231 与 213 是两个排列， 2＋ 3＋ 1 的和与 2＋ 1＋3 的和是一个合。

(一 )两个基本原理是排列和合的基：

(1)加法原理：做一件事，完成它可以有 n 法，在第一法中有 m1种不同的方法，在第二法中有 m2种不同的方法，⋯⋯，在第n 法中有 m n种不同的方法，那么完成件事共有 N＝ m1＋ m2＋m3＋⋯＋ m n种不同方法。

(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，⋯⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成件事共

有N＝m1×m2×m3×⋯×m n种不同的方法。

里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有

n法，是分，第一中的方法都是独立的，因此

用加法原理；做一件事，需要分n 个步，步与步之是

的，只有将分成的若干个互相系的步，依次相完成，

件事才算完成，因此用乘法原理。

完成一件事的分“ ”和“步”是有本区的，因此

也将两个原理区分开来。

C53表示从5 个元素中取出 3 个，共有多少种不同的取

法。这是组合的运算。例如：从 5 个人中任选三个人去参加

比赛，共有几种选法这就是从 5 个元素中取出 3 个的组合运算。可表示为C53。其计算过程是C53=5!/[3!× (5-3)!]叹号代表阶乘， 5!=5 ×4×3×2×1=120，3!=3 ×2×1=6，（ 5-3）！

=2！

=2

×，所以 C53=5!/[3! × (5-3)!]=120/(6

×针2)=10对上

面

1=2

例子，就是从 5 个人中任选三个人去参加比赛，共有10 几种选法。

排列组合公式：

公式 P 是指排列，从N 个元素取 R 个进行排列。

公式 C 是指组合，从N 个元素取 R 个，不进行排列。

n—元素的总个数；r—参与选择的元素个数。

！—阶乘，如9！＝ 9×8×7×6×5×4×3。×2×1

举例：

Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多

少个三位数

A1: 123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序

有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现

988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9 种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9×8×7个三位数。计算公式＝P93＝9×8×7。

Q2:有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”

A2: 213 组合和312 组合，代表同一个组合，只要有

三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复

的个数即为最终组合数 C 39= 9！ /3！×6！ =9× 8×7/3 2×1