排列组合概率专题讲解
考研数学概率排列组合的方法及例题解析
考研数学概率排列组合的方法及例题解析考研数学概率排列组合的方法及例题解析考生们在准备考研数学的复习时，面对概率排列组合的题型。
我们需要找到做题方法及例题总结。
店铺为大家精心准备了考研数学概率排列指南攻略，欢迎大家前来阅读。
考研数学概率有哪些排列组合的方法及例题解析▶1.元素分析法【例】求7人站一队，甲必须站在当中的不同站法。
【解析】要求甲必须站在当中，因此只需对其它6人全排列即可，不同的站法共有几种。
▶2.位置分析法【例】求7人站一队，甲、乙都不能站在两端的不同站法。
【解析】先站在两端的位置有几种站法，再站其它位置有几种站法，因此所有不同的站法共有几种站法。
▶3.间接法【例】求7人站一队，甲、乙不都站两端的不同站法。
【解析】考虑对立事件为甲乙都站在两端，共有几种站法;7人站成一队所有的站法共几种，所以甲乙不都站两端的不同站法共几种。
▶4.捆绑法【例】求7人站一队，甲、乙、丙三人都相邻的不同站法。
【解析】先将甲、乙、丙看成一个人，即相当于5个人站成一队，有几种站法，再对这三个人全排列即得所有的不同站法共几种。
▶5.插空法【例】求7人站一队，甲、乙两人不相邻的不同站法。
【解析】先将其它五人全排列，然后将甲、乙两人插入所产生的6个空中即可，共几种不同的站法。
▶6.留出空位法【例】求7人站一队，甲在乙前，乙在丙前的不同站法。
【解析】由于甲、乙、丙三人的顺序一定，因此只要其余4人站好，这7个人就站好了，不同的站法共有几种。
▶7.单排法【例】求9个人站三队，每排3人的不同站法。
【解析】由于对人和对位置都无任何的要求，因此，相当于9个人站成一排，不同的站法显然共有几种。
数学是考研最重要的学科，而且这一科目需要掌握的内容多，考核的方向也相对固定，因此各位2017考研的们应该多下功夫。
考研数学复习正确做题法1.思考着去做题，去总结很多学生都有这样的困惑，做了很多题但不会的题还是很多，最可气的就是很多题明明做过，但是再遇到还是不会做!这就是很多同学存在的`通病，不求甚解。
高考数学排列组合与概率问题2025版解析
高考数学排列组合与概率问题2025版解析在高考数学中，排列组合与概率问题一直是让许多同学感到头疼的难点。
但别担心，让我们一起来深入剖析一下这些问题，找到解题的窍门。
首先，我们来谈谈排列组合。
排列组合是研究从给定的元素中按照一定的规则选取部分或全部元素的方法数。
比如说，从 5 个不同的苹果中选 2 个，有多少种选法？这就是一个简单的组合问题。
排列和组合的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑。
举个例子，从 3 个不同的字母 A、B、C 中选 2 个进行排列，有 AB、BA、AC、CA、BC、CB 这 6 种情况；但如果是组合，就只有 AB、AC、BC 这 3 种情况。
在解决排列组合问题时，有几个重要的原理和方法需要掌握。
加法原理：如果完成一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
乘法原理：如果完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
比如，安排一场晚会，有 5 个歌唱节目和 3 个舞蹈节目，若歌唱节目和舞蹈节目相间演出，有多少种安排方法？我们可以先排舞蹈节目，有 A(3,3)种方法，再在舞蹈节目之间和首尾共 4 个位置排歌唱节目，有 A(5,5)种方法，根据乘法原理，总的安排方法有 A(3,3) × A(5,5) 种。
在排列组合问题中，还有一些常见的题型，比如捆绑法、插空法、隔板法等。
捆绑法：当要求某些元素必须相邻时，可以将这些元素看作一个整体，与其他元素一起排列，然后再考虑这些相邻元素的内部排列。
例如，4 个男生和 3 个女生排成一排，要求 3 个女生必须相邻，我们可以先把3 个女生看作一个整体，与4 个男生一起排列，有A(5,5)种方法，然后 3 个女生内部有 A(3,3)种排列方法，所以总的排列方法有 A(5,5) ×A(3,3) 种。
高考数学排列组合与概率问题2025版解析
高考数学排列组合与概率问题2025版解析在高考数学中，排列组合与概率问题一直是重点和难点。
对于即将参加2025 年高考的同学们来说，深入理解和掌握这部分知识至关重要。
排列组合是研究从一些元素中取出部分元素，按照一定的顺序排列或组合成一组的方法数。
它的应用广泛，在解决实际问题时能帮助我们准确计算各种可能性。
首先，我们来了解一下排列的概念。
从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的排列数，记为 A(n,m) 。
其计算公式为：A(n,m) ＝ n! ／（n m)！。
例如，从 5 个不同的球中取出 2 个进行排列，那么排列数就是 A(5,2) ＝ 5! ／（5 2)！＝ 5×4 ＝ 20 种。
组合则是从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的组合数，记为C(n,m) 。
组合数的计算公式是：C(n,m) ＝ n! ／ m!×（n m)！。
比如，从 5 个不同的球中取出 2 个的组合数就是 C(5,2) ＝ 5! ／ 2!×（5 2)！＝ 10 种。
在实际解题中，我们需要准确判断是用排列还是组合。
如果元素的顺序对结果有影响，就用排列；如果顺序无关，就用组合。
接下来，我们看一些常见的题型。
“相邻问题”是经常出现的一种。
例如，将5 个人排成一排，其中甲、乙两人要相邻，我们可以将甲、乙看作一个整体，先计算整体的排列数，再计算甲、乙内部的排列数。
即 A(4,4)×A(2,2) 。
“不相邻问题”则相反。
比如，将 5 个人排成一排，其中甲、乙两人不能相邻。
我们先计算所有人的排列数，再减去甲、乙相邻的情况，即 A(5,5) A(4,4)×A(2,2) 。
“定序问题”也比较典型。
若有 5 个人排成一排，其中甲必须在乙前面，此时无需考虑甲、乙的顺序，直接计算全排列除以 2 即可，即A(5,5) ／ 2 。
在排列组合问题中，还常常需要用到分类讨论和分步计算的思想。
分类讨论时，要确保不重复、不遗漏。
专题六 排列组合与随机事件的概率
专题六 排列组合与随机事件的概率一、知识梳理（一）1．排列组合的常见方法有：特殊元素法、特殊位置法、相邻问题捆绑法、不相邻 问题插空法、分排问题直排法，定序问题用除法，分组分配问题中平均分组要除以组数阶乘，隔板法等。
2．排列组合遵循原则：先选后排，先特殊后一般，正难则反。
（二）二项式定理主要考查二项式展开式的特定项及项的系数，利用二项式的性质求多项式的系数和，利用二项式定理求余数及近似计算。
（三）随机事件的概率1．随机事件概率的范围 ； 2．等可能事件的概率计算公式 ；其中n 是试验中所有等可能出现的结果（基本事件）的个数，m 是所研究事件A 中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算,m n 的关键是抓住“等可能”，即n 个基本事件及m 个基本事件都必须是等可能的； 二、基础练习 1．（2-31x）6的展开式中的第四项是_______________2．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选 法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．30种D ．36种3．4张卡片上分别写有数学1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张 卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．31 B ．`21 C ．32 D ．434．在平面直角坐标系中，从六个点：A （0，0）、B （2，0），C （1，1）、D （0，2）、E （2，2）、F （3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是_________ （结果用分数表示）5．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特 征完全相同，从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）A ．919 B ．9125 C ．9148 D ．9160三、典型例题例1 在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就得优秀，答对其中的4道就获得及格，某考生会回答20道题中的8道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少；（2）他获得及格与及格以上的概率有多大。
排列组合的概率
排列组合的概率排列组合是概率论中一个非常重要的知识点，也是数学中的一支分支。
在实际生活中，排列组合也有广泛的应用，例如在概率统计、密码学等领域都有重要的作用。
本篇文章将为大家介绍排列组合在概率中的应用及其相关概念和公式。
一、排列组合的基本概念排列和组合是计数学中最基本的问题之一，他们的特点是在某个集合中从中选出元素并进行排列。
排列和组合的区别是排列允许重复，组合不允许重复。
举个例子，假设一个3个球的盒子中有红色、黄色和蓝色三个球，从中选两个球排列，那么所有可能的结果有：红色球，黄色球红色球，蓝色球黄色球，红色球黄色球，蓝色球蓝色球，红色球蓝色球，黄色球这是从三个球中选取两个并进行排列的结果，共有6个可能的结果。
这种情况下的计算就是典型的排列问题。
如果是组合问题的话，那么从三个球中选两个，可能的结果就是：红色球，黄色球红色球，蓝色球黄色球，蓝色球这是从三个球中选取两个并进行组合的结果，共有3个可能的结果。
二、排列组合的公式计算排列和组合的问题本质上就是在进行选择和排序。
在实际计算过程中，可以使用排列组合的公式来进行求解。
1. 排列公式在一个 n 个元素的集合中，如果选取 m 个元素进行排列，那么总的可能组合数就是：A(n,m) = n! / (n - m)!其中，n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
这个公式的意思是先从 n 个元素中选择 m 个不同的元素，然后对这 m 个元素进行全排列。
2. 组合公式在一个 n 个元素的集合中，如果选取 m 个元素进行组合，那么总的可能组合数就是：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)在计算组合的时候，我们需要排除掉同一种组合中不同的位置排列，因此这个公式在计算的时候需要将排列问题中的 m! 减去，即：C(n,m) = A(n,m) / m!。
利用排列组合求解概率问题
利用排列组合求解概率问题概率问题是数学中非常重要的一个分支，而排列组合则是解决概率问题中常用的一种数学方法。
在这篇文章中，我们将深入探讨如何利用排列组合来解决概率问题。
一、排列组合的定义在正式探讨如何利用排列组合来解决概率问题之前，我们先来了解一下什么是排列组合。
排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。
我们可以利用以下公式来计算排列的总数：$A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$ 或$\binom{n}{m}$。
我们可以利用以下公式来计算组合的总数：$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$因此，排列和组合可以用来解决不同的问题，比如概率问题。
二、下面我们来看几种利用排列组合求解概率问题的方法。
1. 可重复排列问题可重复排列指的是从$n$个可重复的元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$n^{m}$。
例如，一个只有红、黄、蓝三种颜色的小球，从中任意取出5个小球（可以重复取），共有多少种不同的取法？由于每个位置都可以重复出现三种颜色，因此总共的取法数为$3^{5}=243$。
2. 不可重复排列问题不可重复排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列，且每个元素只能使用一次的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。
例如，一个有9个不同字母的单词，从中任意取出5个字母，组成一个新的5字母单词，共有多少种不同的取法？由于每个字母只能用一次，因此共有$A_{9}^{5}=15120$种不同的取法。
3. 不可重复组合问题不可重复组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$。
高中数学竞赛教材讲义 第十三章 排列组合与概率讲义
第十三章 排列组合与概率 一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，mn A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，nn A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为nA nn =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）knk n C C kn =--11；（4）n nk kn n nn n C C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。
排列组合条件概率_概述说明以及解释
排列组合条件概率概述说明以及解释1. 引言1.1 概述: 在概率论中，排列组合条件概率是一种重要的计算方法，它涉及到排列组合的基础知识和条件概率概念。
通过理解排列组合的概念和条件概率的计算方法，我们可以更好地分析事件之间的关系，并作出准确的推断和预测。
1.2 文章结构: 本文将首先介绍排列组合的基础知识，包括什么是排列组合、排列与组合的区别以及其应用领域。
接着将详细阐述条件概率的定义、计算方法和与独立性的关系。
然后将探讨排列组合在条件概率中的具体应用，并通过实例分析展示其计算过程和结果。
最后，文章将总结主要内容和结论，展望未来研究方向，并给出结束语。
1.3 目的: 本文旨在帮助读者深入了解排列组合条件概率的理论知识和实际运用，在学习、工作或研究中能够灵活运用这一方法进行问题求解和决策。
通过阅读本文，读者将能够掌握排列组合条件概率的相关概念、原理和应用技巧，提高数学分析和推理能力。
排列组合是组合数学中的一个重要概念，它涉及到对元素进行有序或无序的排列和选择。
在排列中，我们考虑元素的先后顺序，而在组合中则只考虑元素的选择而不考虑顺序。
例如，假设有三个数字1、2、3，在排列中可能会有123、132、213、231、312和321这六种不同的排列方式；而在组合中只有123这一种选择方式。
排列与组合之间的主要区别在于是否考虑元素的排列顺序。
在实际问题中，通常需要根据具体情况来确定使用排列还是组合。
排列通常用于涉及具体次序或位置信息的问题，如密码锁密码的可能性计算；而组合则更多用于涉及选取对象数量而不考虑次序的问题，比如从一组人员当中选出一个小组成员。
排列和组合都在各种领域得到广泛应用。
在计算机科学和信息技术领域，排列和组合用于数据压缩、加密算法等方面；在统计学和概率论领域，排列和组合是条件概率、事件独立性等问题的基础；在经济学和管理学领域，排列和组合可用于市场调查、产品分析等决策问题。
总之，了解排列与组合知识将有助于我们更好地解决各种实际问题，并为进一步探讨条件概率提供坚实基础。
高考排列组合、概率知识点总结及典型例题(教师版)
高考排列组合、概率知识点总结及典型例题排列组合知识点总结：一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式：()()()C A A n n n m m n m n m n m nm mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①m m n c -=n n c ；②111-m n c --+=m n n n c c ；③11-k n kc -=k n nc ；11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或 四、二项式定理.1. ⑴二项式定理：nn n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n nn n n n C C C C C C C C概率知识点总结：一、基本知识在一定的条件下必然要发生的事件，叫做必然事件； 在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随即事件。
排列组合概率例题与讲解
排列组合概率例题与讲解排列、组合与概率一、基本知识点回顾：（一）排列、组合1、知识结构表：2、两个基本原理：（1）分类计数原理（2）分步计数原理3、排列（1）排列、排列数定义（2）排列数公式：（3）全排列公式：4、组合（1）组合、组合数定义（2）组合数公式：（3）组合数性质：①②③④⑤即：5、思想方法（1）解排列组合应用题的基本思路：①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；（2）解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
③分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。
④分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。
⑤插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
⑥捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。
⑦穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。
（二）二项式定理历年高考中对二项式定理的考查主要有以下两种题型：1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；（三）概率1、随机事件的概率2、等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包容的结果有m个，那么事件A的概率；3、互斥事件的概率：（1）互斥事件：试验时不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：试验时如果两个互斥事件A、B必有一个发生，那么称A、B为对立事件；(2)互斥事件有一个发生的概率：设A、B互斥，把A、B中有一个发生的事件记为A+B，则有：P（A+B）=P（A）+P（B）(3)把一个事件A的对立事件记为，则：4、相互独立事件的概率：（1）相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件；（2）相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件A、B同时发生的事件记作，则：(3)独立重复试验：如果一次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为：5、解概率题关键是把应用题转化为相应的概率模型，即要弄清所求事件是属于何种事件，然后利用相关的公式进行计算。
高中数学中的排列组合概率解题方法与实例分析
高中数学中的排列组合概率解题方法与实例分析在高中数学的学习中，排列组合以及概率是重要的概念和解题方法。
本文将探讨排列组合概率的相关概念和解题方法，并通过实例分析来加深对这些知识的理解与应用。
一、排列组合概率的基本概念排列与组合是数学中研究对象的不同排列方式和组合方式。
在解决实际问题的过程中，我们经常需要考虑某些事件的排列或组合情况，而概率则是研究事件发生可能性大小的数学工具。
1. 排列：排列是指从给定元素集合中取出若干元素进行排列的方式。
排列可以分为有放回排列和无放回排列两种情况。
- 有放回排列：从n 个元素中选取r 个元素，每个元素取出后放回。
根据排列的性质，有放回排列的总数为 n^r。
- 无放回排列：从 n 个元素中选取 r 个元素，每个元素取出后不放回。
根据排列的性质，无放回排列的总数为 n!/(n-r)!2. 组合：组合是指从给定元素集合中取出若干元素进行组合的方式。
组合同样可以分为有放回组合和无放回组合两种情况。
- 有放回组合：从n 个元素中选取r 个元素，每个元素取出后放回。
根据组合的性质，有放回组合的总数为 (n+r-1)C(r)。
- 无放回组合：从 n 个元素中选取 r 个元素，每个元素取出后不放回。
根据组合的性质，无放回组合的总数为 n!/((n-r)!r!)3. 概率：概率是用来描述一个事件发生的可能性大小的数值。
在排列组合中，概率可以通过总数的比例来计算。
- 排列的概率：排列的概率可以通过某个事件的排列数与总排列数的比例来计算。
- 组合的概率：组合的概率可以通过某个事件的组合数与总组合数的比例来计算。
二、排列组合概率的解题方法在高中数学中，我们经常遇到需要用到排列组合概率的解题情况。
以下将介绍几种常见的解题方法。
1. 利用排列与组合的性质：根据排列与组合的性质进行计算，求解事件的排列数或组合数，从而计算概率。
2. 利用二项式定理：二项式定理可以用来展开两个数之和的幂。
在计算排列组合与概率时，可以利用二项式定理简化计算过程。
排列组合概率专题讲解
专题五：排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点分析】1．突出运算能力的考查。
高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。
2．有关排列、组合的综合应用问题。
这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两3．个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。
4．有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。
这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
5．有关概率的实际应用问题。
这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。
6．有关统计的实际应用问题。
这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
【疑难点拨】1．知识体系：2．知识重点：（1）分类计数原理与分步计数原理。
它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。
（2）排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。
排列数公式的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。
（3）二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。
二项式定理的推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令x=±1）的应用。
（4）等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。
【排列组合】-图解概率01
【排列组合】-图解概率0101 排列组合计数基本法则乘法法则:如果一个试验分成两个阶段, 其中第一阶段有 m 种可能发生的结果, 第二阶段有n 种可能发生的结果, 则对这个试验, 一共有m*n 种可能的结果.比如, 在一副扑克牌中, 有 4 种花色, 而每种花色又有 13 张, 这里计数就需要乘法法则.置换(Substitution)置换: 将 n 个事物按顺序进行排列. 比如, 如果将 3 种小动物排列, 那么共有多少种排法?如果是 6 种不同动物的话, 置换按照乘法法则计算:由此可得到下面的结果 720:阶乘这样递减整数相乘称为阶乘(factorial). 因此, 把n 个事物排列, 共有下面种摆法.注意: 0! = 1 这里有个[遇见数学]翻译组视频推荐观看《为什么 0! = 1 ?》, 里面给出了好几种解释.排列(Permutation)置换是对n个事物的所有排列. 如果是从n 个中取出一部分就称之为排列. 比如将熊猫君, 猪弟, 猴哥, 狐娘取出 3 个进行排列, 所有的排法如下图所示:注意: 排列与置换都需要考虑顺序. 比如下面 3 种小动物的排法, 因为顺序不同, 所以对于排列与置换而言是不同的排列, 数量为 3!=6 种.由上面置换的阶乘公式也可以得到求从n 种事物取出k 种排列的总数:也可以用阶乘来表示排列.组合(Combination)置换和排列都是考虑顺序的, 而组合不考虑顺序的. 如上面 3 种小动物的排列对于组合而言只计为 1:考虑计算 4 种动物里取 3 中的组合数, 只需要这样计算就可以.1.首先, 考虑顺序按排列那样进行计算;2.再来去除掉重复计算的部分;先按第一步进行排列计算, 将熊猫君, 猪弟, 猴哥, 狐娘取出 3 个进行排列, 所有的排法共 4!=24 种, 如下图所示:请注意上图共有 4 种背景, 每种背景的小动物种类是相同的, 只不过顺序不同. 以浅蓝色背景的熊猫君, 猪弟, 猴哥为例. 如果考虑顺序的话, 共出现 6 边, 也即是 3! . 所以对于组合而言, 要将排列数中除以重复倍数 3!, 即组合数为 4. 下图即为 4 取 3组合结果等于 4:下式即为计算组合的公式:二项式定理从n 种物品中取r 种的组合数也称为二项式系数(binomial coefficient), 也是二项式定理中重要的系数部分:多项式系数我们还能进一步推广组合公式. 如果为n 个对象, 其中包括第一组n1 个对象 , 第二组n2 个对象, 第三组n3 个对象.... , 则排列数目计算公式, 称之为多项式系数()multinomial coefficient):参考资料:《程序员的数学》结城浩《概率导论》 Dimitri P. Bertsekas, John N. Tsitsiklis。
排列组合概率与算法PPT课件
例2、 抛掷红、蓝两颗骰子设，事件A为“蓝色骰 子的点数为6”事件B为“两颗骰子的点数之 和大于8”.
1求PA，PB，PAB 2当已知蓝色骰子的 点数为3或6时，问两
注意数及其性质
(2) 展开式系. 数及其賦值法
4
3)整除与余数问题问题 4)近似问题
.
5
附：排列数组合数部分性质：
1
A
m n
nA
m 1 n 1
n m 1
A m 1 n
A A2 m 2 n n2
A
n n
A
m m
n! m!
C
m n
A
m m
1）古典概率：PA m 中m,n 的标准一致→等
可能
n
取球问题：(1)一次性取：列举法或组合数法
.
16
(2)分次取：有放回→先分类后分步计算、无放回 →列举或用排列组合
例1、袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中 任意摸出4个球，求下列事件发生的概率：
1）摸出4个白球 2）摸出2个或3个白球 3）至 少摸出1个黑球
1）摸出4个白球 2）摸出2个或3个白球 3）至 少摸出1个黑球
几何概型
例1、在等腰直角三角形OAB中，O为直角顶点. 1） 过O作射线OC交AB于C，求使得∠AOC和∠BOC 都不小于30°的概率 2）在斜边AB上取一点C， 求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率 .
.
18
条件概率：在某特定前提下的概率
57
排列组合的概率
排列组合的概率排列组合是概率论中的一个基础概念。
它描述了从给定的一组元素中选择若干个元素进行排列或组合的方式，并计算出其中某一种结果出现的概率。
在实际生活中，排列组合的概念广泛应用于各个领域，如统计学、计算机科学、工程学等。
本文将就排列组合的概念、原理以及其在实际问题中的应用进行详细介绍。
一、排列和组合的概念排列和组合是数学上描述从给定的一组元素中选择若干个元素的方式。
排列强调元素的顺序，而组合则不考虑元素的顺序。
具体来说：1. 排列排列是从一组不同元素中选择若干个元素，并按照一定的顺序进行排列的方式。
假设有n个元素，要选择r个元素进行排列，那么排列的总数可以用数学符号表示为P(n, r)。
排列的计算公式是：P(n, r) = n! / (n-r)!其中“！”表示阶乘，即将一个数的所有正整数乘积。
我们可以将排列理解为一个假设实验，逐步选取元素的过程。
例如，有5个元素A、B、C、D、E，要选择3个元素进行排列，按顺序选取的过程可以是：先选A，再选B，最后选C；或者先选A，再选C，最后选B，等等。
因此，在这种情况下，排列的总数是5 × 4 × 3 = 60。
2. 组合组合是从一组不同元素中选择若干个元素，并不考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要选择r个元素进行组合，组合的总数可以用数学符号表示为C(n, r)。
组合的计算公式是：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)与排列不同，组合的顺序不重要。
例如，还是以有5个元素A、B、C、D、E为例，要选择3个元素进行组合，不考虑顺序的话，组合的总数是5 × 4 × 3 / (3 × 2 × 1) = 10。
二、排列组合的原理排列组合的原理是基于基本计数原理和互异事件的概率等概率原理。
1. 基本计数原理基本计数原理是指若有一个实验可以分成n个步骤完成，每个步骤有m种选择，则该实验一共有n × m种可能的结果。
高考数学最新真题专题解析—概率与排列组合(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—概率与排列组合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，涉及组合数公式、对立事件的概率公式，属基础题．【解答】解：由题可知，总的取法有72=21种，不互质的数对情况有：两个偶数，3和6．所以两个数互质的概率为=1−42+121=23．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】【分析】本题考查排列、组合的运用，属于基础题．【解答】解：先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有223321=24种．【命题意图】第1题考察计数原理，考察排列组合的应用，考察古典概型的计算，考察应用排列组合计算古典概型问题的概率。
第2题考察排列组合的捆绑法、插空法等计算方法。
试题通过设计优化情境，应用型、创新性的考察。
【命题方向】排列组合与概率是高考必考的知识点之一，其中概率是相对容易排列组合则时难时易。
主要考察分类、分布计算原理的应用，考察古典概型及几何概型，突出考察分类讨论思想，考察转化化归数学思想应用，试题在问题情境的设置上越来越接近生活，把实际问题合理、正确的转化为排列组合概率问题，以此来考察思想、应用、创新等能力。
排列、组合与概率常以现实生活、社会热点为载体【得分要点】涉及到排列组合的综合问题，处理此类问题一般先分析如何安排，在安排时是分类还是分步，元素之间是否讲顺序，以及分组问题注意重复情况的处理，对各种情况一定要仔细斟酌题意，写全切不要重复1.古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.2.古典概率中的“人坐座位模型基础”：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
排列组合与概率初步专题讲义
排列组合与概率初步专题讲义一、排列组合1、两个基本原理（加法原理与乘法原理） 类型一、排数字问题1. 用0、1、2、3、4、5这六个数字（1） 可以组成多少个各位数字不重复的三位数？ （2） 可以组成多少个各位数字允许重复的三位数？ （3） 可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数？ （4） 可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数？（5） 可以组成多少个大于3000小于5421且各位数字不重复的四位数？2.从1到9这9个自然数中，任取3个数作数组),,(c b a ，且c b a >>，则不同数组共有（ ）个。
A. 21 B. 28 C. 56 D. 84 E. 343类型二、投信问题（分房问题）3、将3封信投入4个不同的信箱，则不同的投信方法种数是（ ） A.43⨯ B. 43 C. 34 D. 7 E. 以上结论均不正确4、有4名学生参加数、理、化三科竞赛，每人限报一科，则不同的报名情况有（ ） A. 43 B. 34 C. 321 D. 432 E. 以上结论均不正确5、6个人分到3个车间，共有不同的分法（ ） A. 63 B. 36 C. 18 D. 747 E. 以上结论均不正确6、6个人分工栽3棵树，每人只栽1棵，则共有不同的分工方法（ ） A. 63 B. 3240 C. 36 D. 120 E. 以上结论均不正确类型三、染色问题7、用5种不同的颜色给图中的A,B,C,D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则共有多少种不同的涂色方法？8、有6种不同的颜色为下列广告牌着色，要求在①②③④四个区域中相邻（有公共边界）区域中不用同一种颜色，则不同的着色方法有（）种A. 64B. 46C. 24D. 240E. 480类型四、较复杂的两个原理的综合问题9、现有高一学生8人，高二学生5人，高三学生10人，组成数学课外活动小组，（1）选其中1个为总负责人，有多少种不同的选法？（2）每一个年级选1名组长，有多少种不同的选法？（3）在一次活动中，推选出其中2人作为中心发言人，要求2人来自不同的年级，有多少种不同的选法？10、某赛季足球比赛计分规则是：胜一场，得3分，平一场，得1分，负一场，得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该球队胜、负、平的情况共有（）种A. 3B. 4C. 6D. 6E. 711、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）A. 25B. 26C. 30D. 36E. 3712、若直线方程0a,可以从这五个数字0，1，2，3，4这五个数字中任取两个ax中的b+by=不同的数字，则方程所表示的不同的直线共有（）种。
高考数学排列组合与概率题型讲解
高考数学排列组合与概率题型讲解在高考数学中，排列组合与概率是非常重要的知识点，也是很多同学感到头疼的部分。
今天，咱们就来好好梳理一下这部分的题型，帮助大家更轻松地应对高考。
一、排列组合题型1、排列问题排列是指从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列。
比如，从 5 个不同的球中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排法。
解决排列问题的关键是要明确元素的选取是否有顺序要求。
如果有顺序要求，就用排列数公式 A(n,m) ＝ n! ／（n m)！来计算。
例：有 5 个不同的班级，要从中选出 3 个班级按照一定的顺序进行参观，有多少种不同的选法？解：这是一个排列问题，因为班级的选取有顺序之分。
根据排列数公式，A(5,3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 5×4×3 ＝ 60（种）2、组合问题组合是指从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素组成一组，不计较组内各元素的次序。
比如，从5 个不同的球中取出3 个组成一组，有多少种不同的组法。
解决组合问题用组合数公式 C(n,m) ＝ n! ／ m!（n m)！。
例：从 10 名学生中选出 5 名参加比赛，有多少种选法？解：这是一个组合问题，C(10,5) ＝ 10! ／ 5!（10 5)！＝ 252（种）3、排列组合综合问题有些题目会同时涉及排列和组合的知识，需要我们仔细分析，分步或分类来解决。
例：从 5 名男生和 3 名女生中选出 3 人参加活动，其中至少有一名女生，有多少种选法？解：可以分为两种情况，一种是有 1 名女生 2 名男生，另一种是有2 名女生 1 名男生。
有 1 名女生 2 名男生的选法：C(3,1)×C(5,2) ＝ 3×10 ＝ 30（种）有 2 名女生 1 名男生的选法：C(3,2)×C(5,1) ＝ 3×5 ＝ 15（种）所以，总的选法为 30 ＋ 15 ＝ 45（种）二、概率题型1、古典概型古典概型具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。
概率问题中的排列与组合
概率问题中的排列与组合在概率统计学中，排列与组合是常用的数学工具，用于计算事件发生的可能性。
排列和组合是概率问题中重要的概念，在实际应用中被广泛使用。
一、排列排列是指从给定的元素中选出若干个进行排列，其顺序不同即可形成不同的排列方式。
常用的计算排列的方法有全排列和部分排列两种。
1. 全排列全排列是指从n个元素中选出m个进行排列，其中n≥m。
全排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)! 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行排列，那么全排列的结果就是 P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60 种。
2. 部分排列部分排列是指从n个元素中选出m个进行排列，但是不要求完全排列。
部分排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)! 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行排列，但不要求完全排列，那么部分排列的结果就是 A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! =60 种。
二、组合组合是指从给定的元素中选出若干个进行组合，其顺序不同不会形成不同的组合方式。
常用的计算组合的方法有普通组合和重复组合两种。
1. 普通组合普通组合是指从n个元素中选出m个进行组合，其中n≥m。
普通组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!) 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行组合，那么普通组合的结果就是 C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10 种。
2. 重复组合重复组合是指从n个元素中选出m个进行组合，允许重复选取，其中n≥m。
重复组合的计算公式为：H(n,m) = C(n+m-1,m) = (n+m-1)! / (m! * (n-1)!) 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，可以重复选取，要选出3个进行组合，那么重复组合的结果就是 H(5, 3) = C(5+3-1, 3) = (5+3-1)! / (3! * (5-1)!) = 35 种。
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专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点分析】1． 突出运算能力的考查。
高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。
2． 有关排列、组合的综合应用问题。
这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。
4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。
这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
5． 有关概率的实际应用问题。
这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。
6． 有关统计的实际应用问题。
这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
【疑难点拨】 1． 知识体系：2．知识重点：（1） 分类计数原理与分步计数原理。
它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。
（2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。
排列数公式的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。
（3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。
二项式定理的推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。
（4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。
互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。
（5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。
（6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。
2． 知识难点：(1) 排列、组合的综合应用问题。
突破此难点的关键在于：在基本思想上强调两个基本原理（分类相加计数原理和分步相乘计数原理）在本章知识中的核心地位；在通法上要求，首先要认真审题，分清是排列（有序）还是组合（无序），或二者兼而有之；其次要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”，分类时要不重不漏，分步时要独立连续。
在两个公式的应用中要深刻理解其定义中的“所有”的含义，特别是组合数“mnC ”已包含了m 个元素“所有”可能的组合的个数，故在平均分堆过程中就会产生重复，而平均分配给不同的对象过程中就不用再排序。
同时在本节中要注意强调转化化归数学思想的应用。
(2) 二项式定理的计算。
突破此难点的关键在于：熟记指数的运算法则和二项展开式的通项公式，深刻理解“第k 项”“常数项”“有理项”“二项式系数”“系数”等基本概念的区别与联系。
(3) 概率、分布列、期望和方差的计算。
突破此难点的关键在于：首先要运用两个基本原理认真审题，弄清楚问题属于四种类型事件中的哪一种，然后准确地运用相应的公式进行计算，其中要注意排列、组合知识的应用。
（理科）对于分布列要熟记一个基本型（ζ）和三个特殊型（b a +=ζη，二项分布，几何分布）的定义和有关公式；此类问题解题思维的的流程是：要求期望，则必先求分布列，而求分布列的难点在于求概率，求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量“k =ζ”所对应的具体随机试验的结果。
【经典题例】例1：将8名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方法共有多少种？[思路分析] 根据宿舍的人数，可分为三类：“62+”型不同的分配方法有2228A C 种；“53+”型不同的分配方法有2238A C 种；“44+”型不同的分配方法有48C 种。
则由加法原理得，不同的分配方法共有2384822382228=++C A C A C 种。
[小结] 本题体现了“先选后排”通法的应用，属于排列组合混合问题。
要注意（不）平均分配与（不）平均分堆的联系与区别。
例2：在正方形ABCD 中，H G F E ,,,分别为各边的中点，O 为正方形中心，在此图中的九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有多少个？[思路分析] 根据三角形的类型分为三类：直角三角形有DAB Rt DAE Rt HAE Rt ∆∆∆,,共3种；以边AB 为底的三角形GAB OAB ∆∆,共2种；过中点和中心的三角形有,,HGB DGB GBO ∆∆∆ 共3种。
由加法原理得，共有3238++=种不同类型的三角形。
[小结] 本题体现了“转化化归数学思想”的应用，属于排列组合中的几何问题，在具体方法上是运用了“穷举法（将所有的情形全部列出）”。
例3：在多项式65(1)(1)x x +-的展开式中，含3x 项的系数为多少？[思路分析]解1652323(1)(1)(161520)(151010)x x x x x x x x +-=++++-+-+，所以含3x项的系数为 1060515205-+-⨯+=-。
解2 6525122455(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x C x C x x +-=-+=-+-+，所以含3x 项的系数为1515C -⋅=-。
解3 由组合原理03312221130065656565(1)(1)(1)(1)5C C C C C C C C -+-+-+-=-。
[小结] 本题重点考查对二项式定理的本质的理解和运算能力。
例4：从数字0,1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于6的概率为多少？[思路分析] 本题的基本事件是由6个不同的数字允许重复而且含0的条件下组成三位数，根据乘法原理可知基本事件的全体共有566180⨯⨯=个。
设三个数字之和等于6的事件为A ，则A 分为六类：数码(5,1,0)组成不同的三位数有2122A C个；数码(4,2,0)组成不同的三位数有2122A C 个；数码(4,1,1)组成不同的三位数有13C个；数码(3,3,0)组成不同的三位数有12C 个；数码(3,2,1)组成不同的三位数有33A个；数码(2,2,2)组成不同的三位数有1个，根据加法原理，事件A 共有21211132222323120A C A C C C A +++++=个。
故201()1809P A ==。
[小结] 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重点在于利用排列组合知识求各个基本事件的总数。
例5：若1002100012100(12)(1)(1)(1),,1,2,3,,i x e e x e x e x e R i +=+-+-++-∈=则012100e e e e ++++=，012100e e e e ++++=。
[思路分析] 将条件等式的左右两边比较，可知变形[]100100(12)3(2)(1)x x +=+--。
利用赋值法，令(1)1x -=，则有100012100(321)1e e e e ++++=-⨯=；令(1)1x -=-，则有[]1001001210032(1)5e e e e ++++=-⨯-=。
[小结] 本题考查二项展开式系数的性质，在具体方法上是运用了通法“赋值法”。
例6：从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的不同四位数共有 个。
[思路分析] 由已知，此四位数的末位只能是0或5，且0不能在首位，故0,5为特殊元素，而且二者中至少要选一个。
根据题意，可分三类：有5无0，不同的四位数有123343C C A个；有0无5，不同的四位数有213343C C A个；0,5同时存在，当0在末位时，不同的四位数有113343C C A 个，当5在末位时，不同的四位数有11123422C C C A个。
所以满足条件的不同的四位数共有1232131131234334334322()300C C A C C A C C A C A +++=个。
[小结] 本题考查有两个受条件限制的特殊元素的排列组合混合问题，基本解题模型为：分为三类。
第一类，两个中一个都不考虑；第二类，两个中考虑一个；第三类，两个都考虑。
注意在具体求解中其中“先选后排”“位置分析法”等通法的运用。
例7：鱼塘中共有N 条鱼，从中捕得t 条，加上标志后立即放回塘中，经过一段时间，再从塘中捕出n 条鱼，发现其中有s 条标志鱼。
（1）问其中有s 条标志鱼的概率是多少？（2）由此可推测塘中共有多少条鱼（即用,,t n s 表示N ）？[思路分析] （1）由题意可知，基本事件总数为n NC 。
鱼塘中的鱼分为两类：有标志的鱼t条，无标志的鱼()N t -条，从而在捕出n 条鱼中，有标志的s 条鱼有st C种可能，同时无标志的()n s -条鱼有n sN t C --种可能，则捕出n 条鱼中有s 条鱼共有s n s t N t C C --种可能。
所以概率为s n st N tnN C C C --。
（2）由分层抽样可知，,s n nt N t N s =∴=（条）。
[小结] 本题考查等可能性事件的概率和统计知识，重点要注意“鱼”的不同的分类以及抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性。
例8：某宾馆有6间客房，现要安排4位旅游者，每人可以进住任意一个房间，且进住各房间是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件A ：指定的4个房间各有1人；（2）事件B ：恰有4个房间各有1人；（3）事件C ：指定的某房间中有2人；（4）事件D ：一号房间有1人，二号房间有2人；（5）事件E ：至少有2人在同一个房间。
[思路分析] 由于每人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有6种等可能的方法，根据乘法原理，4个人进住6个房间有46种方法，则（1）指定的4个房间中各有1人有44A 种方法，4441()654A P A ==。
（2）恰有4个房间各有1人有4464C A 种方法，446445()618C A P B ==。
（3）从4人中选2人的方法有24C 种，余下的2人每人都可以去另外的5个房间中的任一间，有25种方法，2244525()6216C P C ⋅==。