6.8_具有弹性支座的静定结构的位移计算
静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
静定结构位移计算.ppt
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
B
1
2
1
MP 图
1 ql2 8
M图
解:B源自1 EI[(2 3l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
力状态 P2
位移状态
P1
12
W=P1×Δ12
21
P2
P1
11
22
12
注意：
（1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移
应满足变形协调条件，
力状态应满足平衡条件； （3）位移状态与力状态完全无关。
§4.2 变形体虚功原理
二、广义力、广义位移
一个力系作的总虚功 W=P×
P---广义力; ---广义位移
适用于各种杆件体系（线性、非线性，直杆、曲杆）
§ 4.3 荷载作用产生的位移计算
一. 单位荷载法 求k点竖向位移
k
iP
P 1
真实的 位移状态(P)
虚设的力 状态(i)
ip
Ni p Fi p Mi p ds
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
P
NP EA
EI EI 2
33
2
8(
)
3EI
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P
A
C
l
l
2
2
a
B
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
结构力学——静定结构位移计算
结构力学——静定结构位移计算在工程和建筑领域中，结构力学作为一门重要的学科，主要研究了结构的受力、变形、破坏机理等问题。
其中，静定结构位移计算是结构力学中的一个重要内容。
静定结构所谓静定结构，是指能够通过静力学方程求解出所有节点的受力、反力和变形的结构。
这种结构是不需要知道材料的物理性质和荷载的实际情况的。
在静定结构中，结构的支座固定方式和荷载情况是已知的，因此能够通过解决一组静力学方程，求解出结构中节点的受力和变形。
静定结构位移计算静定结构位移计算是静定结构的重要计算方法之一。
在结构分析中，位移是一种常见的形变量，它反映了物体在载荷作用下发生的形变情况。
在静定结构中，位移是结构的重要参数之一。
它可以通过求解一组线性方程组得到。
具体来说，就是通过应变—位移—节点力关系，将结构各节点位移用系数矩阵和加载节点力表示出来，再通过求解一个线性方程组，就可以得到各节点的位移值。
静定结构位移计算的步骤静定结构位移计算中的步骤包括：1.列出节点位移方程节点位移与内力之间有一定的关系，可以通过位移方程和内力方程来表示。
这些方程可以根据物理实际条件进行建立。
2.确定支座反力支座反力是从位移计算中得到的结果之一。
支座反力是指结构上所有支点所承受的力，在位移计算时是必须考虑的。
3.形成节点位移方程组形成节点位移方程组时，需要考虑杆件的个数、受力条件、材料特性、支座情况等因素。
4.解出节点位移通过解一个线性方程组，我们可以根据已知的节点力和位移方程，求出每个节点的位移值。
静定结构位移计算的应用静定结构位移计算在现代工程设计中具有广泛的应用。
它能够在保证结构稳定的前提下，可以对结构进行优化设计，提高结构的安全性、稳定性、经济性等方面的性能。
除此之外，静定结构位移计算还可以应用于建筑设计、桥梁设计、机械设计、工业生产等领域中。
它可以提供结构设计的数据支持，为结构工程的实施提供参考。
静定结构位移计算是结构力学中的一个重要方向，其计算方法基于静力学方程进行，其特点是简单、可靠和实用。
(最新整理)静定结构的位移计算
图乘法
2. 竖标yc必须取自直线图形，而不能从折线和曲 线中取值。
yc M图
ω
MP图
Δ
1 EI
ωyC
图乘法
若M图与MP图都是直线图形，则yc可以取自其中 任一图形。
ω1
y2
M图
y1
ω2
MP图
ΔE1Iω1y1E1Iω2y2
图乘法
3. 若与 y c 在杆件的同侧， y c取正值；反之，
取负值。
yc
k
k
du、d、dv
ds
位移状态
FPk=1 k
FN、M、FQ
ds
力状态
结构位移计算
外力虚功：
W F P K K F R 1 c 1 F R 2 c 2 F R 3 c 3 K F R c
内力虚功：
W ( i)lF N d u lM d lF Q Fd Qv d
由虚功原理W=W＇有
MP图
l
yC
FP=1 M
（1）绘制MP图。
（ 2）建立相应的虚拟 状态,绘制 M 图 。
（ 3）图乘求位移。
1 ql2 l
22
yC
3 4
BE1I13q22ll4 3l
ql 4 8 EI
图乘法
例 求图示简支梁A端截面的转角 A 及跨中竖向位移 CV 。
q
解：1. 求A端截面的转角 A A
yc
M图
ω
MP图
ω
Δ
1 EI
ωyC
Δ
1 EI
ωyC
图乘法
4. 若Mp图是曲线图形，M 图是折线图形，则应
当从转折点分段图乘，然后叠加。
y1
y2
M图
静定结构的位移计算
第四章静定结构的位移计算［结构的位移］（1）结构在荷载作用下产生应力和应变，以致结构的形状发生变化，即产生变形，由于这种变形，使结构上各点的位置产生位移，截面发生转动，这种移动和转动统称为位移。
（2）位移有水平位移，竖向位移，即线位移；有角位移；又有相对位移和绝对位移；统称为广义位移。
（3）除了荷载作用将引起位移外，温度改变，支座位移，材料收缩，制造误差等因素，虽不一定都产生应力和应变，但都将使结构产生位移。
［计算位移的假设］（1）材料线性假设：结构的材料服从虎克定律，应力与应变成线性关系；（2）几何线性假设：即小变形假设，结构的变形很小，应变与位移成线性关系；（3）弹性假设：结构在力的作用下发生变形，在力卸载之后，结构完全恢复原来的形状；（4）理想约束假设：结构的约束都为理想约束，不考虑摩擦的影响。
满足上述条件的变形体系，称之为线弹性变形体系。
它们的位移与荷载之间为线性关系，位移计算满足叠加原理。
［虚功的概念］作功的力与位移彼此独立无关，这种功称为虚功；在虚功中，力与位移分别属于同一体系的两种彼此独立无关的状态。
力所属的状态，称为力状态和第一状态；位移所属的状态，称为位移状态和第二状态。
力状态位移状态表示力状态的外力在位移状态相应位移上所作的虚功。
［静力可能的力状态和位移可能的力状态］静力可能的力状态——满足静力平衡条件和力的边界条件；位移可能的位移状态——满足变形协调条件和位移边界条件。
［虚功原理］如果变形体上的力状态为静力可能的力状态，位移状态为位移可能的位移状态，它们彼此独立无关，则外力虚功等于内力虚功。
［结构位移计算的一般公式］位移状态虚力状态结构在荷载、支座移动和温度变化等作用下而发生变形，为求某点的位移，在点沿所求位移方向加一单位力。
力状态为虚单位力状态，位移状态为实际位移状态。
由虚功原理，求得结构位移计算的一般公式为：其中，、和分别为实际位移状态的轴向应变、剪切角和曲率；、和分别为虚单位力状态的轴力、剪力和弯矩；为实际位移状态的支座位移，为对应支座位移虚力状态的反力。
第八节具有弹性支座的静定结构的位移计算
P2
P1
∆1
R1
P=1
R1
∆2
R2 实际位移状态 R2 虚外力作外力虚功
虚设力状态
RP1 RP 2 RP P·∆ − R1 ·∆1 − R2 ·∆2 = 1·∆ − ( R1 + R2 ) = ∆ − ΣR k1 k2 k
对于梁与刚架：
MM P RP ∆ = Σ∫ ds + ΣR EI k
例6-12 求图6-33a所示梁B铰左右两侧截面的相对转角 位移。设EI=常数，刚度系数 k1 = 3 EI k 2 = 48 EI 3
2 2 1
p 2
1 l
虚支反力可能会在弹性支座处做虚功同时支移的大小可以由结构实际定结构在温度变化时的位移计算
一、具有弹性支座的静定结构
所谓弹性支座即支座本身能产生弹性变形， 所谓弹性支座即支座本身能产生弹性变形，而且支座反 力与其变形的大小成正比。 力与其变形的大小成正比。该比例常数称为弹性支座的 刚度系数， 表示。 刚度系数，用k表示。换句话说，刚度系数就是使支座 表示 换句话说， 发生单位位移(线位移或角位移 时所需施加的力(或力 线位移或角位移)时所需施加的力 发生单位位移 线位移或角位移 时所需施加的力 或力 矩)。 。 注意： 注意：弹性支座处结构可能会发生支移 产生该支移的原因为弹性支座处的支反力的大小 因此：虚支反力可能会在弹性支座处做虚功，同时， 因此：虚支反力可能会在弹性支座处做虚功，同时， 支移的大小可以由结构实际支反力的大小与弹性支 座本身的刚度系数求得。 座本身的刚度系数求得。
l l
k2
B
P
C
k1
A
pl 2 pl 2
ϕ=
P
pl 4
1 1 1 2 1 1 1 [ × Pl ·l (1 + ) − × Pl ·l · ] EI 2 2 3 2 4 2 P 1 1 Pl 1 − × × + × 2× 2 l k1 2 k2
建筑力学第五章_静定结构位移计算
建筑力学第五章_静定结构位移计算静定结构位移计算是建筑力学中的重要内容，通过位移计算可以得到结构在荷载作用下的变形情况，从而评估结构的稳定性和安全性。
本文将介绍静定结构位移计算的基本原理和具体步骤。
首先，我们需要明确什么是静定结构。
静定结构指的是结构所有部件之间的变形由完全互相嵌入融合而不产生相对变动，这样的结构称为静定结构。
而非静定结构则是指结构所有部件之间的变形不会由于完全互相嵌入而互相制约的结构。
静定结构位移计算的基本原理是根据平衡条件和变形约束条件进行计算。
具体步骤如下：1.建立结构模型：根据实际情况，建立结构的几何形状和支撑条件的数学模型。
可以采用杆件模型、面单元模型等方法进行简化。
2.确定荷载：根据设计要求和实际情况确定结构所受的荷载，包括重力荷载、风荷载、地震荷载等。
3.建立方程：根据平衡条件，建立结构的受力平衡方程。
在平衡方程中，包括结构的受力平衡方程和变形约束条件等。
4.求解方程：根据建立的方程进行求解。
可以通过解析方法、数值方法或者计算机模拟等方式进行求解。
5.分析结果：得到结构在荷载作用下的位移情况。
根据计算结果进行分析，评估结构的稳定性和安全性。
如果结果超出了允许的范围，则需要对结构进行调整或优化重新计算。
静定结构位移计算过程中需要注意的是，要考虑结构的边界条件和材料的性质等因素。
边界条件包括支座的约束条件和结构的支承情况等，材料的性质包括刚度、强度等。
静定结构位移计算是建筑力学中的重要内容，对于结构的安全性和稳定性评估非常关键。
通过位移计算，可以得到结构的变形情况，为结构设计和优化提供重要的参考依据。
但需要注意的是，位移计算只能适用于静定结构，对于非静定结构需要采用其他方法进行分析和计算。
总之，静定结构位移计算是建筑力学中的重要内容，通过建立结构模型、确定荷载、建立方程、求解方程和分析结果等步骤，可以得到结构在荷载作用下的位移情况。
这对于评估结构的稳定性和安全性非常有帮助。
静定结构的位移计算—静定结构在支座移动时的位移计算(建筑力学)
F RBx
2h
1
1
A F R c 0.06 0.04 rad 0.0075 rad
2h
l
()
静定结构的位移计算
例16-11 图示桁架各杆EA相同，支座B发生竖向位移
c=0.5cm，求c点的水平位移△CH。
解：建立虚拟状态，并计算由于水平单位力作用.5cm 0.5cm
由于实际状态中取出的微段ds的变形du=0、d=0、
dv=0 ，于是上式可简化为：
K F R c
式中F R — —虚拟状态的支座反力；
c ——实际状态的支座位移。
静定结构的位移计算
K F R c
注意：当虚设状态的反力和支座位移c方向一致时，其
乘积取正，相反时为负。另外，上式右边前面还有一负号
静定结构的位移计算
第六节 静定结构在支座移动时的位移计算
对于静定结构，支座移动并不产生内力和变形，结构的
位移纯属刚体位移
对于简单的结构，这种位移可由几何关系直接求得，但
一般的结构仍用虚功原理来计算这种位移。
静定结构的位移计算
由虚功原理推导出的位移计算的一般公式为
K F Ndu M d F Qdv F R c
，系原来移项时所得，不可漏掉。
静定结构的位移计算
例16-10 三铰刚架的跨度 l=12m，高h=8m。已知右支座B
的竖向位移为1 =0.06m（向下），水平位移为2 =0.04m（向
右），如图示，试求由此引起的A端转角 。
解 由∑MA=0得
F RBy
1
l
再考虑右半刚
架的平衡
1
由∑Mc=0得
静定结构的位移计算PPT
P
P
解：1.建立虚设状态，如图：
D
-P
E
2P 0 0 2P
d
2.分别求两种状态各杆轴力：
P
P
A
C
B
4d
P
P
3.由公式计算位移：
cv
NNPl EA
D
2 2
2 2
A1
2 1
2
-1
E
2 2
2 2
CP 1 B 2
1
2
2 [( 2 )( 2P) 2d 1 P 2d 0] (1)(P) 2d
EA 2
方向的线位移和沿力偶转向的角位
移或相对位移。
(b)
ф
P m
a 2
P P
第三节 计算结构位移的一般公式
一、虚功原理 外力虚功T＝内力虚功U 虚功原理的两种用法：
1）虚位移原理—虚设位移状态求实际力状态未知力
2）虚力原理—虚设力状态求实际位移状态未知位移
二、利用虚功原理计算结构的位移（单位荷载法） 欲求实际状态的未知位移，先建立相应的虚设单
2
EA
2(2 2)Pd
()
EA
第五节 图乘法
一、适用条件： ①直杆；
②EI为常量；
③至少有一个直线弯矩图。
二、图乘法公式：
＝ l
MM EI
p
dx
yc
EI
注意：①图乘必须满足三条件；
②yc坐标必须从直线图形中查找； ③二弯矩图在杆轴同侧，ωyc为正值；否则为负值；
例14-2 图示外伸梁，EI=常数，试求C点的竖向位移。
q
解：1）画实际状态弯矩图：
A
2）建立虚设状态并作其弯矩图：
6.8 具有弹性支座的静定结构的位移计算
ds FR c
式中，c为实际状态支座处的已知广义位移， FR 为
虚拟状态支座处与广义位移c相对应的广义支反力。
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3、解法三
对于简单情况，也可直接利用几何关系来计算具有弹
性支座的静定结构的位移。
FP
FP
FP
A
C EI B
A
DCV
DBV
C
FR
1 l
(2)在B铰左右两侧加一对大小相等、方向相反的单
位力偶，绘 M 图并求出弹性支座处的支反力 FR 和 支反力矩M R ，如图所示。
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FPl
2
FP
2
1
B
C
MR FPl 2
A 实际状态的MP图F4P l
FR FP 2
A MR 2
k2 A
FP
B左 BB右
C
k1
l
l/2 l/2
FPl
2
FP
B A MR FPl 2
实际状态的MP图
C
FP l 4
FR FP 2
解：(1)绘MP图并求出弹性支座处的支反力FR和支反 力矩MR，如图所示。
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MR 2
2 1
A
1B 1
虚拟状态的M 图
EI
Δ
MM P ds EI
FR
FR kΔ
MR
MR kq
如果满足图乘法的适用条件，可用图乘法计算。
当抗移动弹性支座的反力 FR 和FR、抗转动弹性支座的反
6.8_具有弹性支座的静定结构的位移计算
kD
B B1
DB=1
抗移动弹性支座 及其刚度系数
6.8.2 位移计算
1、解法一 利用单位荷载法推导具 有弹性支座的静定结构在荷 载作用下的位移计算公式。
FP
A ds dq,du,dv i ds K K1
i
q
B
DB FR kD
D
FR
A
ds K
1
B
由位移计算的一般公式
M , FN , FQ
Δ Mdq FN du FQ dv FR
具有弹性支座的静定结构的位移计算问题，也可转换为 等效的支座位移问题来计算。
qA
A B C1 FP C
DCV
C点产生竖向位移 Δ CV A处产生转角
FR FP / 2 FP l 3 () k1 k1 3EI
M R FP l / 2 FP l 2 ( qA k2 k2 96EI
EI
MM P FR MR Δ ds FR MR EI kΔ kq
如果满足图乘法的适用条件，可用图乘法计算。
当抗移动弹性支座的反力 FR 和FR、抗转动弹性支座的反 力矩 M 和MR方向一致时，乘积取正，反之取负。
R
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FR 为
虚拟状态支座处与广义位移c相对应的广义支反力。
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3、解法三 对于简单情况，也可直接利用几何关系来计算具有弹 性支座的静定结构的位移。
FP FP FP
A
C
EI
B
A
C
EI0=∞ B
A
C
EI
静定结构的位移计算25页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
Байду номын сангаас1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
静定结构的位移计算4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢！
静定结构的位移计算.共91页
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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虚拟状态支座处与广义位移c相对应的广义支反力。 虚拟状态支座处与广义位移 相对应的广义支反力。 相对应的广义支反力
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3、解法三 、 对于简单情况， 对于简单情况，也可直接利用几何关系来计算具有弹 性支座的静定结构的位移。 性支座的静定结构的位移。
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(
)
2、解法二 、 具有弹性支座的静定结构的位移计算问题， 具有弹性支座的静定结构的位移计算问题，也可转换为 等效的支座位移问题来计算。 等效的支座位移问题来计算。
θA
A B C1
3 C点产生竖向位移 ∆ = FR = FP / 2 = FP l (↓) 点产生竖向位移 CV
C点的刚性位移 ∆CV = 点的刚性位移 ′ C点的弹性位移 ∆ C′ V 点的弹性位移 ′
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M , FN , FQ
F ∆ = ∑ ∫ M dθ + ∑ ∫ FN du + ∑ ∫ FQ dv + FR R k∆
FR
抗转动弹性支座， 抗转动弹性支座，公式可写为
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∆ = ∑ ∫ M dθ + ∑ ∫ FN du + ∑ ∫ FQ dv + ∑ FR
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FP k2 A B左 B B右 C k1 l l/2 l/2
MR = FPl 2 FP l 2
FP B C
FP l 4
A
实际状态的MP图 实际状态的
FR =
FP 2
解：(1)绘MP图并求出弹性支座处的支反力 R和支反 绘 图并求出弹性支座处的支反力F 力矩MR，如图所示。 力矩 如图所示。
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* 6.8
具有弹性支座的静定结构的位移计算
6.8.1 弹性支座 弹性支座是指支座本身受力后将会发生弹性变形的 支座。弹性支座有两种常见的类型： 支座。弹性支座有两种常见的类型：抗移动弹性支 座和抗转动弹性支座。 座和抗转动弹性支座。
FP A kθ B k∆
θA=1
kθ A
抗转动弹性支座 及其刚度系数 All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
FP A C EI B A C FP EI0=∞ B A C FP EI B
∆CV
l/2 l/2
∆BV
∆'CV
FP/2
∆BV
∆"CV
C点的总位移 点的总位移
′ ′′ ∆CV = ∆CV + ∆CV
1 1 F 1 F / 2 FP = ∆BV = × R = × P 2 2 k 2 k 4k FPl 3 = 48 EI
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2 1 C A
MR = 2
1 B
1
FR = 1 l
虚拟状态的M 图
(2)在B铰左右两侧加一对大小相等、方向相反的单 在 铰左右两侧加一对大小相等 铰左右两侧加一对大小相等、 位力偶， 位力偶，绘 M 图并求出弹性支座处的支反力 FR 和 如图所示。 支反力矩 M R ，如图所示。
k∆ B B1
∆B=1
抗移动弹性支座 及其刚度系数
6.8.2 位移计算
1、解法一 、 利用单位荷载法推导具 有弹性支座的静定结构在荷 载作用下的位移计算公式。 载作用下的位移计算公式。
FP A ds dθ,du,dv i ds K K1 i q B
∆B = FR k∆
∆
FR
1
A ds K B
由位移计算的一般公式
R
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铰左右两侧截面的相对转角。 【例6-17】试求图示梁 铰左右两侧截面的相对转角。已知 】试求图示梁B铰左右两侧截面的相对转角 已知EI= 常数，刚度系数k 常数，刚度系数 ∆= k1=3EI/l3，kθ = k2= 48EI/l。 。
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FPl 2
FP B C
2 1 C
A
Fl MR = P 2
FPl 实际状态的M 实际状态的 P图 4
MR = 2
FR = FP 2
A
1 B 1
虚拟状态的 M 图
FR =
(3)计算位移值： 计算位移值： 计算位移值
θB
左 B右
1 l
=
1 EI
l 2 1 Fl 1 FP l ( × × l ) × (1 + )l − ( × P × l ) × 2 2 3 2 4 2
1 F 1 Fl 1 − × ( P × ) + 2 × ( Hale Waihona Puke × ) l 2 k1 2 k2 =
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17 1 1 5 FP l 2 − FP l 2 + FP l 2 = FP l 2 48 EI 6 EI 48 EI 24 EI
∆CV
C1
这样， 这样，图示结构就可以变换为具有荷载和支座位移的结 在荷载和支座位移共同作用下， 构。在荷载和支座位移共同作用下，所求位移
∆=∑∫
MM P d s − ∑ FR c EI
式中， 为实际状态支座处的已知广义位移 为实际状态支座处的已知广义位移， 式中，c为实际状态支座处的已知广义位移，
FR M +∑MR R k∆ kθ
对于梁和刚架，只考虑弯曲变形，它由实际状态中的 对于梁和刚架，只考虑弯曲变形，它由实际状态中的MP引 MP 于是， 起， θ = d ds 。于是，简化为
EI
MM P FR MR ∆= ∑∫ ds + ∑ FR + ∑MR EI k∆ kθ
如果满足图乘法的适用条件，可用图乘法计算。 如果满足图乘法的适用条件，可用图乘法计算。 当抗移动弹性支座的反力 FR 和FR、抗转动弹性支座的反 方向一致时，乘积取正，反之取负。 力矩 M 和MR方向一致时，乘积取正，反之取负。
FP C
∆CV
k1
k1
3EI
A处产生转角 处产生转角
M R FP l / 2 FP l 2 θA = = = k2 k2 96 EI
(
)
须注意，弹性支座的位移与反力正好是反向的。 须注意，弹性支座的位移与反力正好是反向的。
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θA
A B
FP C