第三讲轴对称的性质及应用
全等三角形构造之轴对称
第三讲全等三角形构造之轴对称基础知识巩固：一、轴对称定义：把图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。
两个图形关于直线对称也叫做轴对称。
二、轴对称图形 定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
三、直角三角形的性质⑴ 直角三角形两个锐角互余。
⑵ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
⑶ 直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半。
⑷ 在直角三角形中，两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即 a ²+b ²=c ²。
四、直角三角形的判定⑴ 有一个角为90°的三角形。
⑵ 一条边上的中线等于这边的一半的三角形。
⑶ 若a ²+b ²=c ²，则以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形。
【例1】如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A’处，折痕为CD ，则∠A’DB 的度数？AA'B CDB DC A E F BD C AE M 【例2】如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B′处，点A 落在点A ′处。
若AE =a 、AB =b 、BF =c ，请写出a 、b 、c 之间的一个等量关系_____。
ABCDEFA'B'【例3】如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A落在点A ′处，且点A ′在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为_____。
【例4】如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在边BC 的点F 处，如果AB =8，BC =10，求EC 的长。
轴对称图形性质及应用
轴对称图形的性质及应用假如把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完整重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形拥有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连结两个对称点的线段的垂直均分线．在几何证题、解题时，假如是轴对称图形，则常常要添设对称轴以便充足利用轴对称图形的性质．比如，等腰三角形常常添设顶角均分线；矩形和等腰梯形问题常常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题常常添设对角线等等．此外，假如碰到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形经过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例 1 已知直线l外有必定点P ，试在 l 上求两点 A ， B ，使 AB m （定长），且PA PB 最短．剖析：当把 P 点沿 l 方向平移至 C （如图1），使 PC m ，那么问题就转变成在l 上求一点 B ，使 CB PB 为最短．作法：过 P 作 PC // l ，使 PC m ，作 P 对于 l 的对称点 P ，连结 CP 交 l 于B．在l 上作 AB m，点 A ， B 为所求之两点．证：在 l 上另任取 A B m ，连PA，PA ， PB ，CB ，A P ， B P ，则 PA P A ，PB PB ，又 PABC为平行四边形，∴CB PA ．∵CB ＋ BP ＞CP ，∴PA ＋ PB ＞PA＋PB．例 2 如图 2，△ ABC 中，P为∠ A 外角均分线上一点，求证：PB＋ PC＞ AB＋AC ．剖析：因为角均分线是角的对称轴，作AC对于AP的轴对称图形AD，连结 DP，CP，则 DP ＝ CP， BD ＝ AB＋ AC．这样，把 AB ＋AC， AC， PB， PC 集中到△ BDP 中，进而由PB＋ PD ＞BD，可得 PB ＋PC＞AB ＋AC．证：（略）．评论：经过变成轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如AB＋ AC 化直为 BD）．例 3 等腰梯形的对角线相互垂直，且它的中位线等于m ，求此梯形的高．解：如图 3．设等腰梯形AD∥ BC，AB＝ DC，对角线 AC 与 BD 订交于 O，且 AC⊥BD ，中位线 EF ＝ m.过 AD ， BC 的中点 M， N 作直线，由等腰梯形 ABCD 对于直线 MN 成轴对称图形，∴ O 点在 MN 上，且 OA＝ OD，OB＝ OC， AM＝ DM ，BN＝ CN．又 AC⊥ BD，故△ AOD 和△ BOC 均为等腰直角三角形． 2OM ＝ AD，2ON＝ BC．∵ AD＋ BC＝ 2EF＝ 2m，∴2OM ＋ 2ON＝ 2m．∴ OM ＋ ON＝m，即梯形高MN ＝m．例 4 凸四边形EFGH 的四个极点分别在边长为 a 的正方形ABCD的四条边上．求证：EFGH 的周长不小于22a ．证：如图 4，连结AA2， EE3．正方形ABCD 和正方形A1BCD 1对于 BC 对称； EFGH FG H对于 BC 对称； A BCD和ABCD对于CD对称；E FG H和 E F G H对于和E1 1111 2 11111 1 2 112CD1对称； A2B1CD 1和 A2B2C1D 1对于 A2D1对称，E2F1 G1H 2和 E3F2G2H2对于 A2D 1对称．AA2 2 2a ，又AE A2 E3EE3AA2 2 2aEF FG GH HE EF FG1 G1H 2H 2 E3≥ EE3AA2 2 2a 例 5假如一个四边形对于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知：如图5．四边形ABCD 中，M， F， N， E 分别为各边的中点，且MN ，EF 为它的对称轴．求证： ABCD 是矩形．剖析：欲证 ABCD 是矩形，第一证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证：∵四边形ABCD 对于 EF 成轴对称，∴DC⊥ EF ，AB⊥ EF ，∴ AB∥ DC ．同理AD ∥BC．∴ ABCD 是平行四边形．∴DC＝ AB．DC， AF ABAD∥ EF，又∵ DE．∴ D E AF ，∴ ADEF 为平行四边形．∴22而 DE ⊥ EF，∴ DE ⊥AD ，∠ D＝90o．∴ ABCD 是矩形．轴对称应用举例山东徐传军生活中好多图形的形状都有一个共同的特征———轴对称．在平时生活中利用轴对称的性质能解决好多问题，下边举例说明．一、确立方向例 1如图1，四边形ABCD 是长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于E、 F 两点的地点，试问，如何撞击黑球E，才能使黑球先碰撞台边DC，反弹后再击中白球 F ？解：作 E 点对于直线CD 的对称点E′，连结 FE ′，与 CD 的交点 P 即为撞击点，点P 即为所求．例 2如图2，甲车从A处沿公路L 向右行驶，乙车从 B 处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度同样，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向？解：作 AB 的垂直均分线 EF，交直线 L 于点 C，乙车沿着 BC 方向行驶即可．二、确立点的地点找最小值例 3 如图 3，AB ∥ CD ，AC⊥ CD ，在 AC 上找一点Ｅ ,使得 BE+DE 最小．解：作点 B 对于 AC 的对称点 B′,连结 DB ′，交 AC 于点 E，点 E 就是要找的点．例 4如图4，点A是总邮局，想在公路L1 上建一分局D，在公路 L2 上建一分局E，使 AD +DE +EA 的和最小．解：作点 A 对于 L1 和 L2 的对称点B、C．连结 BC，交 L1 于点 D，交 L2 于点 E．点D、 E 就是要找的点．三、与其余学科联合唐代某地建筑了一座十佛寺，完工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰到好处，你能对出下联来吗?春联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生经过，感觉庙前没有下联不像话，十分感触．一连几日在庙前冥思苦想，未能对出下联，有次在庙前漫步，看见一条大船由远而来，船夫正用力的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联———“一舟二橹四人摇过八仙桥”．太守再次经过此庙时，看到下联，连连夸赞“妙妙妙”．这副春联数字对数字，事物对事物，对称美这样的和睦．可见，对称美在文学方面也有生动深刻的表现．生活中的轴对称无处不在,只需你擅长察看,将会发现此间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的耐人回味的享受．用轴对称解本质问题山东于秀坤在我们本质生活中，很多问题设计到轴对称的应用，下边介绍几例.例 1要在河岸所在直线l 上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B 两村送水，请你设计水泵站应修在哪处，所用管道最短？剖析：设水泵站修在 C 点，本题的本质是求折线AC+BC 的最短长度，可作出 A 点关于直线 l 的对称点A′，如图 1，依据对称性， AC+BC=A′C+BC，因此连结BA′交直线 l 于点C，点 C 即是水泵站的地点，因为此时折线长AC+CB 化成线段A′B 的长，依据两点之间线段最短的道理即可确立点 C 是水泵的地点．图1图2例 2 如图 2，角形铁架∠ MON 小于 60°，A、 D 是 OM 、 ON 上的点，为本质应用的需要，须在 OM 和 ON 上各找点 B、 C，使 AB+BC+CD 最小，问应如何找？剖析：学习了轴对称，能够利用对称性化折为直的道理，分别作出点A、点 D 对于ON、 OM 的对称点A′、 D ′，连结 A′D′与 ON、 OM 交于 B、 C，则点 B、 C 即是所求的点．例 3如图3，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B 两点的地点．（ 1）试问：如何撞击黑球A，使黑球 A 先碰撞台边EF 反弹后再撞击白球B？（ 2）如何撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH 反弹后再击台边EF ，最后击白球B？图 3剖析：利用轴对称的性质，分别作出 B 点对于 EF 的对称点， A 点对于 HG 的对称点，问题得解．解：（ 1）①作点 B 对于 EF 的对称点 B′，②连结 AB ′交 EF 于 C 点，则沿 AC 撞击 A，球 A 必沿 BC 反弹击中白球 B（如图 4）．图4图5（ 2）如图 5，作法近似（ 1）．例 4如图5，小河畔有两个乡村，要在河对岸建一自来水厂向 A 村与 B 村供水，要切合条件：（1）若要使厂部到 A、B 的距离相等，则应选在哪儿？（2）若要使厂部到 A 村、 B 村的水管最省料，应建在什么地方？图5图6图7解：（ 1）如图 6，取线段 AB 的中点 G，过中点 G 作 AB 的垂线 ,交 EF 于 P，则 P 到 A、B的距离相等．（2）如图 7，作点 A 对于河岸 EF 的对称点 A′，连结 A′B 交 EF 于 P，则 P 到 A、 B 的距离和最短．用轴对称知识解决打台球一题山东于秀坤题目：小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球竞赛．（ 1）小强把白球放在如图 1 所示的地点，想经过击打白球撞击黑球，使黑球撞AC 边后反弹进 F 洞；想一想看小强这样击打，黑球能进 F 洞吗？请绘图的方法考证你的判断，并说明原因．图 1（ 2）小勇想经过击打白球撞击黑球，使黑球至多撞台球桌边一次后进 A 洞，请你猜想小勇有几种方案？并分别在下边的台球桌上画出表示图，解说你的原因．剖析：本题是一道操作型研究题，主要依据轴对称的知识的相关进行研究．第(1)题可以经过击打AC 边使球反弹进 F 洞．第 (2) 题有多种方法．击球入洞需要对每一杆的角度进行适合的估量，本质上等同于几何角度的计算，两者有着亲密的关系．要想至多撞台球桌边一次击黑球于 F 洞．方案能够有以下状况：(1)不击台球桌边，直接用白球撞击黑球;(2)经过白球击CF 边反弹再撞击黑球进 A 洞； (3) 用白球撞击DF 边反弹撞击黑球进 F 洞．要想正确撞击黑球，一定找准击球的方向角度，正确估量击球的方向．在数学上，能够借助轴对称的知识来解决问题．解 : (1)如图 2，将白球与黑球视为两点，过这两点画直线交台球桌边AC 于 M ，过点 M作法线 MN ⊥ AC，在 MN 右边∠ F′MN=∠ PMN ，因为射线 MF ′过 F 洞，知黑球经过一次反弹后必进入 F 洞．图 2（ 2）方案 1：如图 3，视白球、黑球为两点P， G，使 A、 G、 P 在同向来线上．方案 2：如图 4，延伸 AC 到 H 点，使 AC=CH ，连结 GH 交 FC 于点 K，依据轴对称的知识可知，用白球沿GK 方向撞击边CF 反弹后可进行 A 洞．方案 3：如图 5，延伸 AD 到 M 点，使 MD =AD，连结 GM 交 DF 于 N，依据轴对称知识可知，沿GN 方向用白球撞击黑球经反弹后可进入 A 洞．图3图4图5最短线路问题河北欧阳庆红吴立稳同学们，对于最短线路问题你必定很陌生吧 ?运动着的车、船、飞机，包含人们每日走路都要碰到这样的问题．古今中外的任何旅游者总希望追求最正确的旅游路线，尽量走近道，少走冤枉路．我们把这种求近道的问题统称最短线路问题．此外，从某种意义上说，一笔划问题也属于这种问题，这种问题在生产、科研、生活中应用宽泛．请同学们看下边几个生活中的最短线路问题．一、两点一线问题例 1 如图 1，某同学打台球时想绕过黑球，经过击黑球A，使主球 A 撞击桌边 MN后反弹，来击中白球 B．请在图中注明，黑球撞在 MN 上哪一点才能达到目的？(以球心 A、B 来代表两球 )?剖析：要撞击黑球 A，使黑球 A 先撞击台边 MN 上的 P 点后BA反弹击中白球 B，需∠ APN=∠BPM ，如图 2，可作点 A 对于 MN的对称点 A’，连结 A’B 交 MN 于点 P，则 P 点即为所求作的点．M P N图 1作法 : （图 2）：⑴作点 A 对于 MN 的对称点A’；⑵连结 A’B，交 MN 于 P．则经 AP 撞击台边 MN ，必沿 P B 反弹击中白球B．∴点 P 就是所要求的点．说明：本题黑球A，白球 B 在 MN 的同侧，直接确立撞A击点的地点不简单，但若A、 B 在 MN 的异侧，击球路线就BB简单确立了．本题可利用轴对称的特点将 A 点转变到 MN 的P NM另一侧，设为 A’，连结 A’B 即可确立撞击点．A’图 2二、一点两线问题例 2 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图 3），岸与小岛有一桥相连．现准备在小岛的三边小上各建立一个水质取样点．水利部门在岸边建立了一个岛观察站，每日有专人从观察站步行去三个取样点取样，而后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位观察点置，才能使得每日取样所用时间最短(假定速度必定 )?图 3剖析：本题要求时间最短，而速度必定，因此可转变成求最短行程．如图4，小桥为必走之路，因此简单获得 D 为边上的取样点．重点是确立此外两边上的取样点，这BC是线段之和最小的问题，我们的想法是将三条线段拼起来，对于线段最短，我们有“两点之间，线段最短” ，利用对称即可使问题获得解决．分析：如图 4，作点 D 对于 AB 的对称点F；点 D 关AF MN于 AC 的对称点 G，连结 FG，交 AB 于 M，交 AC 于 N．∴ D 、M、N 即所求三个取样点．（请同学们试着证一证）．BD CE三、同类变式图 4DEG例 3某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图５中的AO，BO）， AO 桌面上摆满了糖果， BO 桌面上摆满了桔子，坐在C处的学生小亮先拿糖果再拿桔子，而后回到座位，请你帮他设一条行走路线，使其所走的总行程最短？剖析：本题是轴对称的特别应用，需分两种状况议论：①∠ AOB 小于 90°；②∠ AOB 等于 90°。
轴对称图形的性质及应用
轴对称图形的性质及应用轴对称图形是指通过对称轴将图形分为两个互补的部分，两侧部分完全对称的图形。
本文将介绍轴对称图形的特点、性质以及在日常生活中的应用。
特点：轴对称图形在对称轴两侧完全对称，也就是说，左右两侧完全相同，而相应的点到对称轴的距离也完全相等。
轴对称图形最简单的例子就是欧拉线。
性质：轴对称图形与一般图形相比，具有许多独特性质。
1.对称坐标：轴对称图形在对称轴两侧完全对称，因此可以将其坐标进行相应的简化，将对称轴视为原点，将图形分解为x轴和y轴两个部分。
这种简化的坐标系统被称为对称坐标系。
2.取消相似性：一个轴对称图形绕对称轴旋转180度后，两部分分别重叠，正反都是一样的。
这也就说明了轴对称图形并不具有缩放不变性。
与此相反，使用其他变换，如旋转和平移时，图形可能变形，但尺寸和形状不变化。
3.构造对称轴：如果给定一个轴对称图形，很容易通过观察来确定它的对称轴。
但是，如果给定一个线段，如何通过它来构造轴对称图形呢？有一种简单的方法是，将线段的中点作为对称轴，然后用半径相等的圆弧将线段两端连接起来，就可以得到一个轴对称图形。
应用：轴对称图形在各个领域都有着广泛的应用。
1.设计：在建筑设计过程中，轴对称设计可以增强结构的平衡和美感。
对称图案也常常出现在布艺和墙壁装饰品上。
2.生物学：轴对称图形在生物学中也有着广泛的应用。
例如，许多植物和动物的身体结构都具有轴对称性。
轴对称性在遗传学中也发挥着重要作用，它对生物特征的分析和研究有重要的指导作用。
3.艺术：轴对称图形是艺术中常常使用的一种形式。
例如，一些字母、标志和图形都是轴对称的，这在机器制图和商业设计中都很常见。
4.数学：轴对称图形在数学中也发挥着重要作用，特别是在几何学中。
几何转化和对称操作常常用于证明数学定理，而轴对称图形则是证明某些性质的好例子。
总结：轴对称图形是一种可以通过对称轴将图形分为两个互补的部分，两侧部分完全对称的图形。
轴对称图形具有特殊的性质，例如对称坐标，取消相似性以及构造对称轴等。
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。
3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。
(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。
二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。
在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。
2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。
可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。
3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。
三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。
(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。
因此B点到直线m的距离为2.5cm。
例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。
求三角形ABC 的面积。
解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。
轴对称及其性质
轴对称及其性质轴对称是一种几何特征，指的是图形经过某条线对称后，两侧完全重合。
在数学和几何学中，轴对称性质被广泛应用于解决问题和分析形状的对称性。
本文将介绍轴对称的定义、性质以及它在现实生活和数学领域的应用。
一、定义及例子轴对称是指一个形状可以通过某条直线旋转180度并完全重合。
这条直线被称为轴线，轴线两侧的图形是镜像关系。
例如，一个正方形具有4条轴对称线，分别是水平线、垂直线和两条对角线。
而心形、圆形、椭圆形等也都具有轴对称。
二、轴对称的性质1. 自反性：轴对称图形中的每个点都和关于轴线对称的另一个点相关联。
反过来，如果一个点和另一个点关于轴对称线对称，那么这个图形就是轴对称的。
2. 保角性：轴对称不改变图形的角度。
如果一个图形是轴对称的，那么对于轴上的任意一对相应点，它们构成的角度相等。
3. 保长度性：轴对称不改变图形的边长。
如果一个图形是轴对称的，那么轴上的每对相应点之间的距离相等。
4. 结构性：轴对称图形的结构和形状在镜像轴两侧是完全对称的。
这意味着一个轴对称图形的一半可以通过镜像来获得另一半。
三、轴对称的应用1. 图案设计：轴对称被广泛应用于图案设计中。
通过利用轴对称性质，设计师可以创造出美观、对称的图案来增强视觉效果。
2. 建筑设计：轴对称的概念在建筑设计中起着重要的作用。
许多建筑物的设计中都使用了轴对称性，使得建筑物的外观显得平衡和谐。
3. 数学推理：轴对称性质被广泛应用于数学推理和证明中。
通过分析轴对称，我们可以推导出关于图形的特定性质和关系，从而解决各种数学问题。
4. 自然界：自然界中很多物体都具有轴对称性，如植物、昆虫身体结构等。
通过研究这些轴对称物体，我们可以更好地理解自然界的形态和结构。
总结：轴对称是一种形状经过某条轴线旋转180度并完全重合的几何特征。
它具有自反性、保角性、保长度性和结构性等性质。
轴对称不仅在图案设计和建筑设计中起着重要作用，也在数学推理和自然界中具有广泛的应用。
轴对称的性质
在工程和物理学领域，轴对称被广泛应用于各种实际问题的研究中。例如，在机械工程中，轴对称被用于设计 各种机构和结构；在物理学中，轴对称被用于描述和分析各种自然现象，如晶体结构和量子力学中的对称性。
艺术和设计中的轴对称
在艺术和设计领域，轴对称被广泛应用于各种艺术设计品的构图中，以增强作品的美感和平衡感。例如，在建 筑、绘画、摄影和装潢设计中，轴对称的应用非常常见。
轴对称在现代数学中的发展
微分几何中的轴对称
在现代数学中，轴对称被广泛应用于微分 几何领域。例如，在研究曲线和曲面的几 何性质时，轴对称起着非常重要的作用。
VS
代数和拓扑中的轴对称
在代数和拓扑领域，轴对称也被深入研究 。例如，在研究群、环和模等代数结构时 ，轴对称的性质是一个重要的研究课题。
轴对称在其他领域的应用
轴对称的几何定义
点关于点对称
两个点关于原点对称，满足距 离和坐标的关系
线关于点对称
一条直线上的点关于原点对称后 ，满足直线的方程和坐标的关系
面关于点对称
一个平面上的点关于原点对称后， 满足平面的法向量和坐标的关系
轴对称的应用
物理学
物理现象中的平衡、稳定等现 象可以用轴对称来解释
生物学
人体的某些器官、肢体等结构 呈轴对称分布
在物理学中，轴对称性质可以应用于 描述对称性破缺等现象，对于理解和 研究复杂系统的性质具有重要意义。
在工程领域，轴对称性质可以应用于 机械零件的设计和制造等方面，提高 效率和精度。
对轴对称未来发展的思考
未来可以利用轴对称性质来探索和发 展新的数学理论和算法，为解决实际 问题提供更多有效的方法。
轴对称性质在未来也可以应用于更多 领域，如人工智能、数据科学、经济 学等，为解决复杂问题提供新的思路 和方法。
七年级轴对称知识点
七年级轴对称知识点轴对称是初中数学中重要的知识点，它是一种特殊的对称形式，即图像被直线对称而不发生变化。
七年级学生在学习轴对称时，需要掌握以下内容：一、轴对称的定义轴对称是指一个点、一条线或一个面将图像对称重合的变换。
二、轴对称的性质轴对称有以下三个性质：1. 对称轴上的任何点到该图像的距离相等。
2. 对称轴与对称图形垂直相交。
3. 对称图形可在对称轴上旋转 180 度而重合。
三、轴对称的应用1. 构造轴对称图形通过画出对称轴，然后在对称轴的一侧画出一个图形，再通过轴对称变换将其对称到对称轴的另一侧，就可构造出轴对称图形。
2. 用轴对称判断图形是否对称如果一个图形经过轴对称变换后与原图形完全重合，则说明该图形具有轴对称性质。
3. 计算对称点的坐标对称点的坐标可以通过对称轴的方程和原点的坐标计算得出。
四、轴对称的例题1. 以直线 y=x 为轴对称线，画出点 P(x,y) 在轴对称变换后对应点的坐标。
答：轴对称变换后的坐标为 Q(y,x)。
2. 图形 ABCD 经过轴对称变换后得到图形 A'B'C'D'，判断A'B'C'D' 是否为 ABCD 的轴对称图形。
答：如果 A'B'C'D' 与 ABCD 重合，则 A'B'C'D' 为 ABCD 的轴对称图形。
以上就是七年级轴对称知识点的基本内容，掌握了这些知识点，就能够顺利学习相关题目，并能够将轴对称应用于实际问题中，提高数学解决问题的能力。
轴对称图形的性质及应用
轴对称图形的性质及应用如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1已知直线l 外有一定点 P ，试在l 上求两点A ，B ，使AB m =（定长），且PA PB +最短．分析：当把P 点沿l 方向平移至C （如图1），使PC m =，那么问题就转化为在l 上求一点B ，使CB PB +为最短．作法：过P 作//PC l ，使PC m =，作P 关于l 的对称点P '，连结CP '交l 于B ．在l 上作AB m =，点A ，B 为所求之两点．证：在l 上另任取A B m ''=，连PA ，PA '，PB '，CB '，A P ''，B P ''，则P A PA'''=，PB P B '''=，又PA B C ''为平行四边形，∴CB PA ''=． ∵CB '＋B P ''＞CP '， ∴PA '＋PB '＞PA ＋PB ．例2如图2，△ABC 中，P 为∠A 外角平分线上一点，求证：PB ＋PC ＞AB ＋AC ．分析：由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP，CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把AB＋AC，AC，PB，PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证：（略）．点评：通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如AB＋AC化直为BD）．例3等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解：如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m.过AD，BC的中点M，N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．求证：EFGH的周长不小于．证：如图4，连结AA 2，EE 3．正方形ABCD 和正方形A 1BCD 1关于BC 对称；EFGH和E 1FG 1H 1关于BC 对称；A 1BCD 1和A 2B 1CD 1关于 CD 1对称；E 1FG 1H 1和 E 2F 1G 1H 2关于CD 1对称；A 2B 1CD 1和A 2B 2C 1D 1关于A 2D 1对称，E 2F 1G 1H 2和E 3F 2G 2H 2关于A 2D 1对称．2AA =，又23AE A E =32EE AA ==1122332EF FG GH HE EF FG G H H E EE AA ∴+++=+++==≥例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知：如图5．四边形ABCD 中，M ，F ，N ，E 分别为各边的中点，且MN ，EF 为它的对称轴．求证：ABCD 是矩形．分析：欲证ABCD 是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证：∵四边形ABCD 关于EF 成轴对称，∴DC ⊥EF ，AB ⊥EF ， ∴AB ∥DC ．同理AD ∥BC ．∴ABCD 是平行四边形．∴DC ＝AB ．又∵2DC DE =，2AB AF =．∴D E AF ，∴ADEF 为平行四边形．∴AD ∥EF ，而DE ⊥EF ，∴DE ⊥AD ，∠D ＝90 ．∴ABCD 是矩形．轴对称应用举例山东 徐传军生活中很多图形的形状都有一个共同的特性———轴对称．在日常生活中利用轴对称的性质能解决很多问题，下面举例说明．一、确定方向例1 如图1，四边形ABCD 是长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于E 、F 两点的位置，试问，怎样撞击黑球E ，才能使黑球先碰撞台边DC ，反弹后再击中白球F ？解：作E 点关于直线CD 的对称点E ′，连接FE ′，与CD 的交点P 即为撞击点，点P即为所求．例2 如图2，甲车从A 处沿公路L 向右行驶，乙车从B 处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向？解：作AB 的垂直平分线EF ，交直线L 于点C ，乙车沿着BC 方向行驶即可．二、确定点的位置找最小值例3 如图3，AB ∥CD ，AC ⊥CD ，在AC 上找一点Ｅ,使得BE +DE 最小．解：作点B 关于AC 的对称点B ′,连接DB ′，交AC 于点E ，点E 就是要找的点．例4如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小．解：作点A关于L1和L2的对称点B、C．连接BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点．三、与其他学科结合唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分，你能对出下联来吗?对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉庙前没有下联不像话，十分感慨．一连几天在庙前苦思冥想，未能对出下联，有次在庙前散步，望见一条大船由远而来，船夫正使劲的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联———“一舟二橹四人摇过八仙桥”．太守再次路过此庙时，看到下联，连连称赞“妙妙妙”．这副对联数字对数字，事物对事物，对称美如此的和谐．可见，对称美在文学方面也有生动深刻的体现．生活中的轴对称无处不在,只要你善于观察,将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的回味无穷的享受．用轴对称解实际问题山东于秀坤在我们实际生活中，许多问题设计到轴对称的应用，下面介绍几例.例1要在河岸所在直线l上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B两村送水，请你设计水泵站应修在何处，所用管道最短？分析：设水泵站修在C点，此题的实质是求折线AC+BC的最短长度，可作出A点关于直线l的对称点A′，如图1，根据对称性，AC+BC=A′C+BC，所以连结BA′交直线l于点C，点C便是水泵站的位置，因为此时折线长AC+CB化成线段A′B的长，根据两点之间线段最短的道理便可确定点C是水泵的位置．图1 图2例2如图2，角形铁架∠MON小于60°，A、D是OM、ON上的点，为实际应用的需要，须在OM和ON上各找点B、C，使AB+BC+CD最小，问应如何找？分析：学习了轴对称，可以利用对称性化折为直的道理，分别作出点A、点D关于ON、OM的对称点A′、D′，连结A′D′与ON、OM交于B、C，则点B、C便是所求的点．例3如图3，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置．（1）试问：怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？（2）怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF，最后击白球B？图3分析：利用轴对称的性质，分别作出B点关于EF的对称点，A点关于HG的对称点，问题得解．解：（1）①作点B关于EF的对称点B′，②连结AB′交EF于C点，则沿AC撞击A，球A必沿BC反弹击中白球B（如图4）．图4 图5（2）如图5，作法类似（1）．例4如图5，小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？图5 图6 图7解：（1）如图6，取线段AB的中点G，过中点G作AB的垂线,交EF于P，则P到A、B的距离相等．（2）如图7，作点A关于河岸EF的对称点A′，连结A′B交EF于P，则P到A、B 的距离和最短．用轴对称知识解决打台球一题山东于秀坤题目：小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球比赛．（1）小强把白球放在如图1所示的位置，想通过击打白球撞击黑球，使黑球撞AC边后反弹进F洞；想想看小强这样击打，黑球能进F洞吗？请画图的方法验证你的判断，并说明理由．图1 （2）小勇想通过击打白球撞击黑球，使黑球至多撞台球桌边一次后进A洞，请你猜想小勇有几种方案？并分别在下面的台球桌上画出示意图，解释你的理由．分析：本题是一道操作型探究题，主要根据轴对称的知识的有关进行探究．第(1)题可以通过击打AC边使球反弹进F洞．第(2)题有多种方法．击球入洞需要对每一杆的角度进行适当的估算，实质上等同于几何角度的计算，二者有着密切的关系．要想至多撞台球桌边一次击黑球于F洞．方案可以有以下情况：(1)不击台球桌边，直接用白球撞击黑球;(2)通过白球击CF边反弹再撞击黑球进A洞；(3)用白球撞击DF边反弹撞击黑球进F洞．要想准确撞击黑球，必须找准击球的方向角度，准确估算击球的方向．在数学上，可以借助轴对称的知识来解决问题．解: (1)如图2，将白球与黑球视为两点，过这两点画直线交台球桌边AC于M，过点M 作法线MN⊥AC，在MN右侧∠F′MN=∠PMN，由于射线MF′过F洞，知黑球经过一次反弹后必进入F洞．图2（2）方案1：如图3，视白球、黑球为两点P，G，使A、G、P在同一直线上．方案2：如图4，延长AC到H点，使AC=CH，连接GH交FC于点K，根据轴对称的知识可知，用白球沿GK方向撞击边CF反弹后可进行A洞．方案3：如图5，延长AD到M点，使MD=AD，连结GM交DF于N，根据轴对称知识可知，沿GN方向用白球撞击黑球经反弹后可进入A洞．图3 图4 图5最短线路问题河北欧阳庆红吴立稳同学们，对于最短线路问题你一定很陌生吧?运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题．古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路．我们把这类求近道的问题统称最短线路问题．另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题，这类问题在生产、科研、生活中应用广泛．请同学们看下面几个生活中的最短线路问题．一、两点一线问题例1 如图1，某同学打台球时想绕过黑球，通过击黑球A，使主球A撞击桌边MN后反弹，来击中白球B．请在图中标明，黑球撞在MN上哪一点才能达到目的？(以球心A、B来代表两球)?分析：要撞击黑球A，使黑球A先撞击台边MN上的P点后反弹击中白球B，需∠APN=∠BPM，如图2，可作点A关于MN的对称点A’，连结A’B交MN于点P，则P点即为所求作的点．作法:（图2）：⑴作点A关于MN的对称点A’；⑵连结A’B，交MN于P．则经AP撞击台边MN，必沿P B反弹击中白球B．∴点P就是所要求的点．N图1说明：本题黑球A ，白球B 在MN 的同侧，直接确定撞击点的位置不容易，但若A 、B 在MN 的异侧，击球路线就容易确定了．本题可利用轴对称的特征将A 点转化到MN 的另一侧，设为A ’，连接A ’B 即可确定撞击点．二、一点两线问题例2 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图3），岸与小岛有一桥相连．现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点．水利部门在岸边设立了一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位置，才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)? 分析：此题要求时间最短，而速度一定，所以可转化为求最短路程．如图4，小桥DE为必走之路，所以容易得到D 为BC 边上的取样点．关键是确定另外两边上的取样点，这是线段之和最小的问题，我们的想法是将三条线段拼起来，关于线段最短，我们有“两点之间，线段最短”，利用对称便可使问题得到解决．解析：如图4，作点D 关于AB 的对称点F ；点D 关于AC 的对称点G ， 连接FG ，交AB 于M ，交AC 于N ．∴D 、M 、N 即所求三个取样点．（请同学们试着证一证）．三、同类变式 例3 某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图５中的AO ，BO ），AO 桌面上摆满了糖果，BO 桌面上摆满了桔子，坐在C 处的学生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到座位，请你帮他设一条行走路线，使其所走的总路程最短？分析：此题是轴对称的特殊应用，需分两种情况讨论：①∠AOB 小于90°；②∠AOB 等于90°。
轴对称的作用用途有
轴对称的作用用途有轴对称（也称为镜像对称）是指一个图形分别关于某条直线对称对折后，两部分重叠在一起，即左右对称。
轴对称的作用和用途在多个领域中具有重要意义，下面将详细介绍轴对称的作用和用途。
1. 几何学中的作用和用途：轴对称在几何学中具有重要的作用和用途。
例如，在做图形的复制、放大和缩小时，通过轴对称可以准确地绘制出图形的对称部分，从而保持图形的整体对称性。
对称的图形也常用于设计中，因为对称的图形给人以平衡、美观的感觉。
2. 艺术与设计中的作用和用途：在艺术与设计领域中，轴对称被广泛应用。
例如，在绘画和雕塑中，通过轴对称可以创造出平衡和和谐的效果，使作品更具有吸引力。
轴对称还可以用来设计装饰品、家具、建筑等，为其增加美感和艺术性。
同时，通过轴对称可以突出某些重要的元素，使设计更加突出。
3. 自然科学中的作用和用途：轴对称在自然科学中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，轴对称是生物体的一种常见形态，包括人类和许多其他动植物。
生物体的轴对称起到了平衡身体结构、提供运动和保护内部器官的作用。
轴对称也在晶体学中起到重要的作用，因为晶体的结构通常具有轴对称性，这是物质性质研究和应用的基础。
4. 计算机图形学中的作用和用途：在计算机图形学中，轴对称的概念被广泛运用于图像处理和计算机辅助设计等领域。
通过使用轴对称算法，可以实现图像的镜像反转、图像修复和图像特征提取等操作，提高图像处理和分析的效果。
轴对称还可以应用于3D模型的对称构建，减少模型的复杂度，并提高计算效率。
5. 数学中的作用和用途：轴对称是数学中一种重要的对称性质，具有广泛的应用。
在代数学和几何学中，轴对称的概念被广泛运用于研究对称性和变换等问题。
轴对称在线性代数、群论、微积分等数学分支中都有着重要的应用。
此外，轴对称还被应用于函数的分析和绘制中，例如，对称函数的图像在坐标系中具有轴对称性。
另外，轴对称还在解析几何学中有重要的应用，例如，通过轴对称可以推导出很多关于点、直线和曲线等的性质。
初中数学轴对称基础知识点详解
初中数学轴对称基础知识点详解轴对称是初中数学中的基础知识点之一，是在平面几何中经常出现的重要概念。
轴对称是指图形相对于条轴线对称，即图形中的每一点与轴线上与该点距离相等、且在轴线上的点关于轴线对称。
下面将详细介绍轴对称的基本概念、性质和相关例题。
轴对称的基本概念：轴对称是指图形相对于条轴线对称。
轴线可以是任意直线，可以是水平线、垂直线、倾斜线或曲线。
在轴对称中，轴线的选择对图形的对称性质有一定影响，但图形始终是关于轴线对称的。
轴对称的性质：1.图形的每一点关于轴线对称，意味着轴线上的点与轴线之间的距离相等。
2.如果图形的一部分与轴线对称，则图形的其他部分与轴线对称。
3.如果图形中的两个点A、B关于轴线对称，则点A关于点B对称，点B关于点A对称。
轴对称与平移的关系：平移是指将图形沿着一些方向按照一定规律进行移动。
在平移中，图形的每一点都按照相同的方向和相同的距离进行移动，而保持形状不变。
轴对称图形可以通过平移得到相对的轴对称图形，平移的方向和距离与轴线的位置有关。
轴对称与旋转的关系：旋转是指将图形以一些点为中心按照一定角度进行旋转。
在旋转中，图形的每一点都按照相同的角度和相同的方向进行旋转，而保持形状不变。
轴对称图形可以通过旋转得到相对的轴对称图形，旋转的角度和中心与轴线的位置有关。
轴对称的判断：判断一个图形是否具有轴对称性可以通过以下方法进行验证：1.观察图形是否在一个直角坐标系中，并找出其中心轴（满足轴对称性的直线）。
2.随机选择图形中的一点，并绘制一个与中心轴相互垂直的线段。
3.测量选定点到中心轴和该点对称点到中心轴的距离是否相等，若相等则该图形具有轴对称性。
轴对称的性质与应用：1.轴对称性是一种重要的对称性质，它在几何构造中常常用于求解问题。
2.轴对称性可以用于判断一些图形的性质，如判断一个图形是否是正多边形。
3.轴对称性也可以应用于计算几何中的一些问题，如确定一个平面图形的对称中心。
轴对称的例题：1.给定一个图形ABCD，其中AB=BC=4，AD=6，AC=8，请问该图形是否具有轴对称性？如果具有，请给出轴对称线的方程。
轴对称知识点汇总
轴对称知识点汇总轴对称是数学中的一个重要概念，它在几何学、代数学等领域中起着重要作用。
本文将对轴对称的基本概念、性质和应用进行详细的介绍。
一、轴对称的定义和基本概念轴对称，又称对称轴，是指图形中的一条线，使得图形关于该线对称。
具体来说，如果将图形沿着某条线对折，两边完全重合，那么这条线就是图形的轴对称线。
任何一个图形都可以有多个轴对称线，有些图形可能甚至有无穷多条轴对称线。
而有些图形则没有轴对称线。
对于有轴对称线的图形，它们的轴对称线可以是水平线、垂直线、或者斜线。
二、轴对称的性质1. 轴对称图形的性质：轴对称图形的两侧是完全相同的，对称轴是图形中的一部分，把图形分成了两个完全相同的部分。
2. 轴对称线上的点：对于一个轴对称图形，轴对称线上的点在折叠时会与它们在轴对称线的对称点重合。
3. 轴对称与图形的变换：轴对称是一种图形的变换方式，通过轴对称变换可以将图形变成它自身。
4. 轴对称图形的不变性：轴对称图形具有不变性，即通过轴对称变换后的图形与原来的图形完全相同。
三、轴对称的应用1. 几何学中的应用：轴对称的概念在几何学中有广泛的应用。
例如，我们可以利用轴对称性质判断一个图形是否是轴对称图形，可以利用轴对称线进行图形的构造等。
2. 统计学中的应用：在统计学中，轴对称性质可以用于数据的处理和分析。
通过利用图形的轴对称性，我们可以找到数据的对称特征，进而进行统计推断和预测。
3. 计算机图形学中的应用：轴对称性质在计算机图形学中也有广泛的应用。
通过利用轴对称性质，可以对图像进行压缩、旋转和对称变换等操作。
四、轴对称的例题解析为了更好地理解轴对称的概念和应用，接下来将通过几个例题进行解析。
例题一：判断图形是否具有轴对称性质，并找出它的轴对称线。
解析：首先观察图形，如果把图形沿某条线对折后，两边完全重合，那么这条线就是图形的轴对称线。
如果通过观察发现存在这样的轴对称线，那么该图形具有轴对称性质。
例题二：给定一个轴对称图形和一个点P，求点P关于轴对称线的对称点P'。
八年级轴对称知识点讲解
八年级轴对称知识点讲解在初中数学中，轴对称是一种重要的几何概念，也是学生需要掌握的常识之一。
本文将为八年级学生详细讲解轴对称的概念、性质以及常见应用。
一、轴对称的概念轴对称是指一种对称方式，在平面内将图形分为两部分，其中一部分通过某个轴的旋转后可以恰好重合于另一部分，这个轴就被称为轴对称轴。
换言之，轴对称是指一种图形上下左右对称的状态。
二、轴对称的性质1. 坐标关系对于坐标系中的轴对称，其轴与坐标轴的交点处的坐标为(a, 0)或(0, a)，其中a为实数。
2. 图形特征轴对称有以下几个特征：对称轴上的点不变；对称轴上的任何点到图形内的对应点的距离相等；对称轴将图形分为两个完全相同的部分。
3. 作图方法作图一个图形的轴对称需要以下几个步骤：确定对称轴的位置和方向；确定图形中所有对称的点或线段；将每个点或线段依次沿对称轴复制，直至构成整个轴对称图形。
三、常见应用1. 绘制轴对称图形轴对称在绘制各种图形时都可以派上用场。
所以，掌握绘制轴对称图形的技能是至关重要的。
2. 模拟新图形通过所给轴对称图形和轴对称轴，可以模拟出新的图形。
比如说，拥有线段CB、直线AB和DE且过点A的轴对称轴，通过绘制一条ADE的边来构建新的轴对称图形。
3. 发现轴对称图形性质在解题时，掌握轴对称图形的性质可以给我们提供更多的思路。
比如说，对于轴对称图形来说，它们的对称轴和对称图形上的任何一个点的坐标都是对应的；轴对称图形的面积等于其对称轴两侧图形面积之和。
以上是对轴对称的概念、性质以及常见应用的详细讲解。
希望通过本文的阐述，能够帮助八年级学生更好地理解轴对称的知识点，掌握轴对称应用技巧，从而提高其数学成绩。
轴对称的基本性质
轴对称的性质：轴对称图 形的对称轴是唯一的，且 对称轴两侧的图形是完全
相同的。
轴对称的判定方法：可以 通过观察图形是否沿某条 直线折叠后能够完全重合
来判断。
轴对称的应用：轴对称在 几何学、物理学、艺术等 领域都有广泛的应用，如 建筑设计、图案设计等。
轴对称的应用案例分享
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轴对称的性质的应用
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轴对称的证明
证明轴对称的基本方法
利用定义：根据轴对称的定义， 证明两个图形关于某条直线对称。
利用全等：通过证明两个图形关 于某条直线对称，进而证明两个 图形全等。
利用中心对称：通过证明两个图 形关于某个点对称，进而证明两 个图形中心对称。
利用旋转：通过证明两个图形可 以通过旋转变换相互转化，进而 证明两个图形轴对称。
感谢您的耐心观看
方向相反。
B
C
D
这条直线称为对称轴，两侧的图 形或物体称为对称部分。
轴对称的常见例子包括：矩形、 正方形、圆等。
轴对称的例子
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蝴蝶：翅膀的形 状是对称的
雪花：六边形的 雪花是对称的
树叶：树叶的形 状是对称的
建筑：许多建筑 设计是对称的， 如故宫、天坛等
轴对称的性质
轴对称的性质
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常见几何图形的轴对称性
● 线段：关于其中点对称 ● 矩形：关于对角线对称 ● 正方形：关于对角线对称 ● 圆：关于圆心对称 ● 正三角形：关于重心对称 ● 正六边形：关于中心对称 ● 正十二边形：关于中心对称 ● 正二十边形：关于中心对称 ● 正三十边形：关于中心对称 ● 正四十边形：关于中心对称 ● 正五十边形：关于中心对称 ● 正六十边形：关于中心对称
八年级数学必背几何定理定义公式之轴对称
轴对称是几何形状的一种特殊属性，简单来说，轴对称就是形状能够在条直线上镜像对称。
在数学中，轴对称的性质可以用来解决各种几何问题，例如确定形状的对称中心、计算对称线的方程、推断特定的性质等等。
在本篇文章中，我将为您解释轴对称的定义和公式，并且提供一些重要的定理和应用。
希望这些信息能帮助您更好地理解轴对称的概念。
一.轴对称的定义和性质1.轴对称的定义：一个图形或物体如果可以围绕一个轴旋转180度，并且旋转后的图形和原来的图形完全重合，那么这个图形或物体就是轴对称的。
这个轴称为轴对称的轴线或中轴线。
2.轴对称的图形：轴对称的图形是一种两边镜像对称的图形，在轴对称图形中，可以找到一个中心轴称为中轴线，物体或图形的任意一个点关于轴线对称的点也在轴上。
3.轴对称的性质：-轴对称的图形在中轴线两侧的点关于中轴线上的点是镜像对称的。
-轴对称的图形的两边在中轴线上的对应点距离相等。
-轴对称的图形可以由一个部分沿着中轴线复制后叠加而成。
二.轴对称的公式和特征1.轴对称的方程：一般来说，轴对称的方程可以用以下形式表示：-对于直线轴对称：y=k或x=k（k为常数）-对于曲线轴对称：x=f(y)或y=f(x)（f表示一个函数）2.轴对称的特征：-函数关系：轴对称的图形通常可以表示为一个函数关系的图形，例如，y=x^2是一个轴对称的抛物线。
-对称点：轴对称的图形中，图形上每个点关于中轴线都有一个对称的点。
-轴对称线的特征：轴对称的图形中，中轴线上的每一点都是图形的对称点，也就是说，如果(x,y)是图形上的一点，那么(-x,y)也是图形上的一点。
三.轴对称的定理和应用1.轴对称的定理：-对称中心定理：一个图形如果轴对称，那么图形上的任意两个点关于对称中心对称。
-垂直线对称：轴对称图形以垂直线为对称轴进行对称。
-水平线对称：轴对称图形以水平线为对称轴进行对称。
-原点对称：轴对称图形以原点为对称中心进行对称。
2.轴对称的应用：-计算对称轴的方程：通过已知的对称点和对称中心，可以计算出轴对称的方程。
认识轴对称知识点总结
认识轴对称知识点总结一、轴对称的定义轴对称是指一个几何图形相对于某条轴线对称，即图形的两侧关于轴线对称。
轴对称是一种基本的几何变换，它可以帮助我们理解和研究各种几何图形的性质，解决与几何图形相关的问题。
二、轴对称的性质1. 被轴对称的图形的对称轴上的点不动，对称轴的垂线上的点互为对称点。
2. 被轴对称的图形的对称轴上任意两点的对称点都在对称轴上。
3. 被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距离相等。
三、轴对称的应用轴对称在几何学中有着广泛的应用。
在平面几何中，我们经常通过轴对称来研究图形的性质、判断图形的对称特征、构造具有对称性的图形等。
在日常生活中，轴对称也有很多实际的应用，比如建筑设计、工艺品制作、装饰设计等。
四、轴对称的判定方法1. 通过观察图形的性质来判断是否具有轴对称性。
2. 通过观察图形的对称性来判断是否具有轴对称性。
3. 通过对称图形的性质和定理来判断是否具有轴对称性。
五、轴对称的性质及定理1. 轴对称的图形的对称轴上的点不动定理：轴对称的图形的对称轴上的点不动，即对称轴上的任意一点都是自身的对称点。
2. 轴对称的图形的对称轴是垂直的定理：如果一个图形具有轴对称性，那么图形的对称轴一定是垂直的。
3. 被轴对称的图形的对称轴上任意两点的对称点都在对称轴上定理：对任意一点A在对称轴上，A的对称点B也在对称轴上。
4. 对称中心位置可以通过对称图形的性质来判断定理：对称中心位置是轴对称的图形的重要性质之一。
5. 被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距离相等定理：被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距禿相等。
六、轴对称的图形1. 线段线段是具有轴对称性的图形。
2. 三角形三角形也可以是轴对称的图形。
3. 正方形和矩形正方形和矩形也是轴对称的图形。
4. 圆形圆形也具有轴对称性。
七、轴对称的构造1. 利用尺规作图的方法来构造轴对称的图形。
2. 利用计算机绘图软件来构造轴对称的图形。
轴对称的性质
除了在数学和几何领域的应用，轴对称在其他领域也有广泛 的应用。例如，在物理学中，晶体结构是轴对称的；在生物 学中，一些生物的形状和结构也具有轴对称的特点。
进一步研究轴对称的性质
对称轴的个数
对于一个图形，可能存在多个对称轴。研究对称轴的个数是数学中的一个重要问题。
高维空间中的轴对称
在三维空间中，轴对称是比较容易理解和研究的。但是，在更高维度的空间中，轴对称的性质和应用又是如何的呢？这需 要进一步的研究和探索。
轴对称的性质
xx年xx月xx日
目录
• 轴对称的定义 • 轴对称的性质 • 轴对称的应用 • 轴对称的例子 • 总结与展望
01
轴对称的定义
轴对称的数学定义
轴对称性是函数的一种特性，对于函数y=f(x)，在定义域内的 某个点x0，有f(x0+t)=f(x0-t)，其中t为常数。
在数学中，轴对称性被广泛地应用在各种函数、图形、代数 结构等对象上，它也是研究这些对象性质的重要工具。
对称性和拓扑关系
研究对称性和拓扑关系是现代数学中的重要课题，而轴对称在这其中又扮演着怎样的角色呢？这也是一个值得探讨的问题 。
THANKS
简单性
轴对称变换不会改变图形的简单性，也就是说，如果点A和点B之间有轴对称关系 ，那么它们之间的简单性就是不变的。
03
轴对称的应用
轴对称在几何中的应用
轴对称在几何中有着广泛的应 用，包括平面几何和空间几何 。
在平面几何中，轴对称可以用 来解决一些几何问题，如证明 某些几何定理，以及找到一些 图形的对称性等。
做对称轴。
性质
轴对称的性质包括对称轴的两 侧的图形全等、对应线段所在 直线互相垂直平分、对称轴与 对应点所连线段互相垂直平分
解析高考数学中的轴对称及应用
解析高考数学中的轴对称及应用高考数学中的轴对称及应用高考数学中的轴对称是一个比较基础但非常重要的概念。
它在几何学中占有重要的地位，不仅具有实用性，而且还是许多数学理论的基础。
一、轴对称的概念及性质轴对称是指物体沿一条轴线对称。
这条轴称为轴对称线。
基本上，轴对称就是将一物体的左、右两边通过轴线翻折变成一模一样的镜像图形。
在高考数学中，轴对称的概念有许多重要性质。
其中最为关键的有以下几点：1. 轴对称性质：轴对称的物体左、右对称，所以它的任何一个点都有对称点。
比如：图形A点对称的是B点，B点对称的是A 点，因为它们的轴线相等。
2.轴对称轴线对称性质：轴对称的物体沿轴线对称，轴线也对称。
这意味着，轴线上任意一点的两侧图形相等。
3. 轴对称保角性质：轴对称不破坏图形的原始角度，保证图形中每个角度仍保持不变。
4. 轴对称具有传递性：如果图形B是图形A关于轴线对称的，那么图形C就是图形B关于轴线对称的。
这个性质适用于几何中许多图形和关系。
二、轴对称在实际问题中的应用轴对称不仅仅是一种几何概念，它也有许多实际应用。
下面就介绍一些常见的应用：1. 体积测量：轴对称图形的体积计算通常可以通过对对称轴线进行切割、旋转或借助积分方法来计算。
比如：通过绕y轴旋转直线y=x得到的旋转体积公式是V=pi∫y^2-y^2 dx，通过绕x轴旋转直线y=x得到的体积公式是V=pi∫x^2-x^2 dy。
2. 模型制造：许多科学研究和技术领域都使用轴对称构造来制造物体，这种工艺可以通过几何分析和计算机模拟来设计出复杂的立体形状。
3. 平移图形：对于一般平移时，使用轴对称方法最为便利。
比如：平移正方形的时候，可以将其对称到y=-x这条轴线上，这样就可以使平移得到的新图形保持对称性。
4. 缩放图形：轴对称可以使对称轴线伸缩或旋转，从而使图形进行缩放或扭曲。
本文只是介绍了一些基本的轴对称概念和应用，实际上其应用非常之广泛。
为了更好地理解这一概念，我们需要在练习中不断巩固和深化。
八年级轴对称知识点手写
八年级轴对称知识点手写轴对称是初中数学中十分重要的一种几何变换，它可以让我们在解决很多问题时带来极大的便利。
轴对称变换是指，在平面内选定一条直线，将这条直线看作是一个轴线，然后将图形关于这条轴线做对称变换，得到的新图形与原图形在轴线上重合，并且沿着轴线交叉相反。
下面我们就来深入了解一下八年级轴对称的知识点。
一、轴对称的性质及应用实例轴对称的性质也就是所谓的对称性，在实际生活中非常常见。
比如我们可以通过轴对称的方式将一个图形转换成另一个完全相同的图形，或者通过轴对称来验证某些几何性质。
轴对称的性质还有很多，比如说轴对称的两个结果必须相等、轴对称的两个结果异侧，等等。
在实际应用中，轴对称也十分常用。
比如我们可以通过轴对称来求解平面图形的对称中心、验证等腰三角形的性质、求解物体对称切割面的位置等等。
二、轴对称的图形判断方法对于不知道如何判断一个图形是否具有轴对称性的同学，我们可以采用如下方法：首先，我们需要明确对称轴所在的位置，因为轴对称是在轴线上对折，所以轴线必须穿过图形中某个点或者穿过图形的某些边界。
其次，我们需要找出由对称轴分割的图形部分，即在轴线两侧的两个图形部分。
最后，通过比较这两个部分，判断是否完全一致，如果一致则说明图形具有轴对称性质。
三、轴对称图形的绘制方法绘制轴对称图形的方法同样也是我们需要了解的一个重要知识点。
首先，我们需要选定轴对称的轴线，能够将图形分为两个完全相等的部分，而轴线的数量可以有很多个。
其次，我们需要选择轴线两侧的两个点（或连线），将它们重合在轴线上，这样我们就可以轻松地完成图形的对称。
最后，我们需要检查绘制的图形是否符合轴对称的性质，即对于任意点，它在轴线两侧的图形部分都必须完全一致。
总之，八年级轴对称是初中数学中重要的一个知识点，在我们的生活和工作中都有着广泛的应用。
只有深入理解轴对称的原理和方法，我们才能很好地掌握它，更好地应用它。
轴对称总结
轴对称总结轴对称是一种几何性质，它在我们的生活中随处可见。
从自然界的形态到建筑学的设计，轴对称都扮演着重要的角色。
在本文中，我们将探讨轴对称的定义、特点以及应用，以及我们可以如何利用轴对称来提高实际问题的解决能力。
定义和特点轴对称是指物体或形状在一个轴线上左右对称。
这个轴线可以是任意的，但通常是通过物体的中心。
当物体的左右两侧对称地呈现相同的形态时，我们称该物体为轴对称。
根据定义，轴对称可以是平面的，也可以是立体的。
轴对称的特点是，对称物体的两侧是镜像对称的，即它们在轴线上的每个点都有一个相对的点，使得两侧的形态相同。
这种对称性质使得轴对称物体具有一种美感和平衡感。
许多人认为轴对称是一种美的表达方式，常常被应用于艺术和设计中。
应用领域1.自然界中的轴对称轴对称在自然界中是普遍存在的。
例如，许多花朵和植物都具有轴对称的特征。
它们的花瓣或叶子通常会在轴线两侧对称地排列，给人们一种和谐和美的感觉。
此外，某些动物的身体结构也是轴对称的，例如蝴蝶的翅膀和鸟类的翅膀。
2.建筑设计中的轴对称轴对称在建筑设计中经常被运用。
许多古代建筑以及现代建筑都采用了轴对称的布局和设计原则。
例如，希腊的巴比伦神庙和罗马的圆形竞技场都具有明显的轴对称特点。
这种布局不仅使建筑物具有美观的外观，而且增强了人们的视觉体验和感受。
3.数学和几何学中的轴对称轴对称是几何学研究的一个重要主题。
在数学中，轴对称被广泛应用于各种问题的解决和证明。
例如，在平面几何中，通过寻找轴对称的性质，可以确定一个图形是否是轴对称的。
通过应用轴对称的原理，我们可以推导出许多关于图形性质的重要结论。
轴对称的实际应用除了在艺术、建筑和几何学领域的应用之外，轴对称还可以在实际的问题解决中发挥作用。
例如，轴对称可以帮助我们设计出更优雅和平衡的产品。
无论是家具、汽车还是服装，轴对称的设计都可以提高产品的美观和使用体验。
此外，轴对称还可以用于解决一些具体的问题，例如物体的平衡和对称度的评估。
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第三讲 轴对称的性质及其应用
知识要点： 1、轴对称及其性质
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫对称轴。
轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
2、线段垂直平分线
线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直； ②数量关系——平分。
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条直线线段两个端点的距离相等。
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线），或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。
4、生活中的图形折叠实质是轴对称，此外，还有生活中的照镜子，人、像与镜子的距离保持相等，人、像关于镜面的对称叫镜面对称，如果把镜面用一条直线表示，人和像的一个侧面用平面图形表示，那么人、像关于镜子的对称轴也是轴对称。
例1 △ABC 中，∠C=90°，点A 关于BC 边的对称点为A '，点B 关于AC 边的对称点为B '，点C 关于B A '边的对称点为C '，若a S ABC =∆，求C B A S ''∆和四边形B A AB ''的面积（用a 的代数式表示）。
A '
B '
B
例2 如果，现有人骑马从C 点到D 点，但必须先到河岸1l 处的1P 点去让马饮水，然后再到河岸2l 处的2P 点再次让马饮水，最后到D 点，他如何选择饮水点1P 、2P ，才能使所走的
L 2
L 1
D
路程D P P P CP 2211++为最短？
'
L 2
L 1
例3 如图，P 为ABC ∆边BC 上的一点，且P C ＝2PB ，已知︒=∠45ABC ，︒=∠
60APC ，求ACB ∠的度数。
C C
巩固训练：
1、如图，将纸片ABC ∆沿DE 折叠，点A 落在点A '处，已知︒=∠+∠10021，则A ∠与
21∠+∠的关系是（
）
B
2、如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次放射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）。
A 、1号袋
B 、2号袋
C 、3号袋
D 、4号袋
3、如图，在ABC ∆中，AB=AC ，DE 为AB 的垂直平分线，且AEC ∆的周长为14，BC=5，那么AB 的长为 。
4、如图，设1L 和2L 是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球放在1L 和2L 之间，小球在1L 中的像为A '，A '在镜2L 中的像为A ''。
若1L 、2L 的距离为7，则=''A A 。
4号袋3号袋2号袋
1
号袋
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 5、小明从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时间应是。
6、在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)作出ABC ∆关于y 轴对称的111C B A ∆，并写出111C B A ∆各顶点的坐标。
(2)将ABC ∆向右平移6个单位，作出平移后的222C B A ∆，并写出222C B A ∆各顶点的坐标； (3)观察111C B A ∆与222C B A ∆，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴。
7、在直角坐标系中，已知点A （4，0）和点B （0，3），若有一直角三角形与ABO Rt ∆全等，且它们有一条公共边，请画出图形并写出这个直角三角形未知顶点的坐标（不必写出计算过程）。
8、在学习了例1后，肯动脑筋的阿聪图形发现一个有趣的现象：一个等腰三角形被一条直线分得的两个较小的三角形也是等腰三角形。
他想了想，很快画出一个类似规律的等腰三角形，如图所示。
它继续思考，边画边算，又画出了两类等腰三角形，你知道他画的是什么等腰三角形吗？请你试一试，并在图中标出角的而度数。
提高题
1、如图，已知ABC Rt ∆中，︒=∠30A ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得PAB ∆是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）。
A 、2个
B 、4个
C 、6个 D
、8个
B
C
A
'
B '
第1题图 第2题图 第4题图 2、如图，ABC Rt ∆中，C B ∠=∠，D 在BC 上，︒=∠50BAD ，AE=AD ，则EDC ∠的度数为（ ）。
3、一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角的度数是。
4、如图，A A '，B B '分别是EAB ∠、DBC ∠的角平分线。
若A A '=B B '=AB ，则BAC ∠的度数是 。
5、一个三角形可被分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为︒36，那么原三角形最大
内角的所有可能值为 。
6、已知：如图，ABC ∆中，AC=BC ，︒=∠90ACB ，D 是AC 上一点，BD AE ⊥交BD 的延长线于E ，且BD AE 2
1=。
求证：BD 是ABC ∠的平分线。
E
B
7、如图，在ABC Rt ∆中，CD 是直角C ∠的平分线，E 为AB 中点，AB PE ⊥交CD 延长线于点P 。
求证：ABP ∆为等腰直角三角形。