5讲 函数的单调性与最值
2021年新高考数学一轮专题复习第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)
【例
2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数
f
x
2x2 1
3 x2
，则
f
x
的值域为（
）
A． ,3
B． 2,3
C． 2,3
D．3,
【答案】C 【分析】
利用分子分离法化简 f x ，再根据不等式的性质求函数的值域.
【详解】
f
x
2x2 3 1 x2
2(x2 1) 1 1 x2
2
1
1 x
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例 1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，
对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A．
f
x1
x1
f x2
x2
>0
B．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)
C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1 的单调性相反.
f（x） 3.“对勾函数”y＝x＋a(a>0)的增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调减区间是[－ a，0)，
x (0， a].
三、 经典例题
的最大值为（ ）
A．-2
B．-3
C．-4
D．-6
10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数 f (x) log 1 (3x2 ax 5) 在 (1, ) 上是减函数，则实数 a
2
函数的单调性与最值(讲义)
函数的单调性与最值【知识要点】 1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．（3）判断函数单调性的方法①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。
2．函数的最值求函数最值的方法：①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。
【复习回顾】一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题:①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数.简称为：步调一致增函数.几何意义：增函数的从左向右看,图象是的。
5讲 函数的单调性与最值
［2,+≦)，减区间为［
·2014年高考第1轮总复习·理科数学 · 长沙同升湖实验学校
考向一
2
求函数的单调区间
求学同升 受益终生
【例 1】? 求函数 y＝ x ＋x－6的单调区间． [审题视点] 先确定定义域，再利用复合函数的单调性求 解．
解 令 u＝x2＋x－6， y＝ x2＋x－6可以看作有 y＝ u
f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，
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求学同升 受益终生
答题模板 解函数不等式的问题一般是： 第一步：确定函数 f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：将函数不等式转化为 f(M)<f(N)的形式； 第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号 “f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：解不等式或不等式组确定解集； 第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．
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求学同升 受益终生
2．函数的最值
设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集．
(1)上界和下界 如果有实数B使得f(x)≤B对一切x∈D成立，称B是函数f的 上界 一个_____；如果有实数A使得f(x)≥A对一切x∈D成立， 下界 称A是函数f的一个_____，有上界又有下界的函数叫 有界函数 无界函数 _________，否则叫_________．
②当3-
=-5的较大根，
≨M(a)=
-8- 64-32a 2a
当且仅当a=-8时，等号成立.
5 1 1 又 ＞ ,≨当且仅当a=-8时，M(a)取最大值 2 2
函数的单调性与最值讲义
函数的单调性讲义知识点一：函数单调性(1)相关概念增函数：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于属于定义域I 某个区间上任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f 在这个区间上是增函数，如下图（1）；用数学符号表示：()()()()()[]()x f x f x f x x x x x f x f ⇔>--⇔>--0021212121是增函数.减函数：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于属于定义域I 某个区间上任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f 在这个区间上是减函数，如下图（2）.用数学符号表示：()()()()()[]()x f x f x f x x x x x f x f ⇔<--⇔<--0021212121是减函数.单调性：如果函数)(x f 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性.单调区间：函数)(x f 在某个区间上具有单调性，则这一区间就叫做函数)(x f y =的单调区间.（2）对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：①单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；②单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的21,x x 具有任意性，不能用特殊值代替.③由于定义都是充要性命题，因此由)(x f 是增（减）函数，且)()()(212121x x x x x f x f ><⇔<，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1） 定义法（基本法）；①取值：任取D x x ∈21,，且21x x <； ②作差：()()21x f x f -； ③变形：通常是因式分解或配方； ④定号：即判断差()()21x f x f -的正负；⑤下结论：即指出函数()x f 在给定区间D 上的单调性.例：判断函数xx y 1+=在（1，+∞）上的单调性． 变式训练：证明函数()xx f 1=在()+∞,0上是减函数.（2） 利用已知函数的单调性；在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.如果函数()x f y =在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数()x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的单调区间.①()0≠+=a b ax y 的单调性：0>a 增函数，0<a 减函数； ②()0≠=k xky 的单调性：0>k 减区间()()+∞∞-,0,0,；0<k 增区间()()+∞∞-,0,0,；③()02≠++=a c bx ax y 的单调性：0>a ，减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，增区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； 0<a ，增区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，减区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ；④()x f 在区间A 上是增（减）函数，则0>k 时，()x kf 在A 上是增（减）函数；0<k 时则相反；⑤若()x f 、()x g 是区间A 上的增（减）函数，则()()x g x f +在区间A 上是增（减）函数；⑥若()0>x f 且在区间A 上是增（减）函数，则()x f 1在A 上是减（增）函数，()x f 在A 上是增（减）函数；⑦轴（与x 轴垂直）对称图形的函数在它们的对称区间上的单调性相反，中心对称图形的函数在它们的对称区间上单调性相同，例如求下列函数的单调区间：x y =，2-=x y ，212-+=x y .（3） 利用函数的图像；函数y ＝|x 2－2x －3|的单调增区间是________． 【解析】 y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|， 作出该函数的图像(如图)．由图像可知，其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．（4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法； ①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数； ③奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性； ④偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； ⑤互为反函数的两个函数有相同的单调性；⑥如果)(x f 在区间D 上是增（减）函数，那么)(x f 在区间D 的任一子区间上也是增（减）函数；⑦如果)()(x g u u f y ==和单调性相同，那么)]([x g f y =是增函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相反，那么)]([x g f y =是减函数.上述规律可概括为“同性则增，异性则减” 例：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）A.]3,(--∞B.),1[+∞-C.]1,(--∞D.),1[+∞（5） 求导（以后会学到）.知识点三：函数单调性的应用（1） 利用函数的单调性可以比较函数值的大小；例：已知2()f x x bx c =++对称轴为2x = ，比较(1)f 、(2)f 、(4)f 的大小。
第5讲 函数及其性质之3-函数单调性及值域
变式训练 3
函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切 x>0，y>0 都有 ＝f(x)－f(y)，当 x>1 时，有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的单调性并加以证明． (3)若 f(4)＝2，求 f(x)在[1,16]上的值域．
x fy
函数的单调性与不等式
[难点正本
疑点清源]
1．函数的单调性是局部性质 函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个 子区间上的单调性， 是局部的特征． 在某个区间上单调， 在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数 的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等 函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函 数、对数函数、指数函数等；
(14 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R，都有 f(m＋n)＝f(m)＋ f(n)－1，并且 x>0 时，恒有 f(x)>1. (1)求证：f(x)在 R 上是增函数； (2)若 f(3)＝4，解不等式 f(a2＋a－5)<2.
一、抽象函数的单调性与最值
例1. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足, f(0)≠0 , 且当 x>0时，f(x)>1,且对任意的a,b∈R, f(a+b)= f(a) · f(b). (1)求f(0)的值； (2)判断f(x)的单调性.
图象 描述
下降的 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是
要点梳理
(2)单调区间的定义
忆一忆知识要点
若函数 f(x)在区间 I 上是 增函数或 减函数，则称函数 f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间 I 叫做 y＝f(x)的单 调区间．
函数单调性与最值公开课一等奖课件省赛课获奖课件
x b
0a
x b
从几何上看, y = f (x) 在 [a, b] 上单增(或单减)，
其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。
上升的曲线每点处的切线斜率均为正，
即 f ( x) 0 ;
下降的曲线每点处的切线斜率均为负， 即 f ( x) 0 .
定 理：
设函数 y f x在 a,b连续, 在 a,b 可导,
y
x 0
二. 极值的求法. 由上图可知，函数取到极值处，曲
线的切线都是水平的，但有水平切线的 点不一定都是函数的极值点。
定理 1：（必要条件）
设 f (x)在 x0 处可导，且在 x0 处获得极
值，则必有 f ( x0 ) 0 .
阐明：
1.使导数 f ( x)为 0 的点，称为 f (x) 的驻点。 可导函数的极值点必是驻点， 但 驻点不一定是极值点。
定义：设 f x在a,b内有定义，x0 a,b.
对 x U ( xˆ0 , ),
若 f (x0) > f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种 极大值， x0 称为极大值点；
若 f (x0) < f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种
极小值， x0 称为极小值点。 极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。
2. 证明方程根的唯一性
例3：证明方程 x5 5x 1 0 在 1，0内
有唯一的实根。 证：先证明根的存在性：
设 f x x5 5x 1 且在 1，0 连续，
f 1 5 0, f 0 1 0，
由零点定理, f (x) = 0 在 (-1,0) 内最少有一根; 再证明根的唯一性：
sec3 x sin x(2 cos3 x) 0
函数讲函数的单调性与最值课件
函数讲函数的单调性与最值课件pptxxx年xx月xx日contents •函数的单调性•函数的单调性的判定方法•函数的最值•函数最值的求法•典型例题分析目录01函数的单调性单调性的概念单调函数是指在其定义域内，对于任意自变量x，都有f'(x) > 0 (或f'(x) < 0)，即函数值y与自变量x之间呈单调递增（或递减）的关系。
严格的单调性在单调区间内，函数值y与自变量x之间为严格单调递增（或递减）的关系，即不存在自变量x1和x2，使得f'(x1) = f'(x2) = 0。
定义如果对于函数f(x)在定义域内的任意自变量x，都有f'(x) > 0，那么函数f(x)在该定义域内单调递增。
图形表现函数图像从左到右逐渐上升。
定义如果对于函数f(x)在定义域内的任意自变量x，都有f'(x) < 0，那么函数f(x)在该定义域内单调递减。
图形表现函数图像从左到右逐渐下降。
单调区间的概念单调区间是指函数在某个区间内具有单调性，即在这个区间内，函数值y与自变量x之间呈单调递增或递减的关系。
要点一要点二求法对于一个给定的函数f(x)，可通过求解不等式f'(x) > 0或f'(x) < 0来确定其单调区间。
函数的单调区间02函数的单调性的判定方法总结词最基础、最直观详细描述定义法是判断函数单调性的最基础方法，也是最直观的方法。
通过观察函数在某区间上的变化趋势，可以得出函数在该区间上的单调性总结词形象、简单详细描述图像法是通过观察函数图像来判断函数单调性的简单方法。
如果函数图像从左到右是上升的，则函数在该区间上单调递增；如果函数图像从左到右是下降的，则函数在该区间上单调递减。
需要注意的是，图像法只适用于一些简单函数，对于复杂函数不适用。
总结词适用范围广、复杂详细描述复合函数法是通过将一个函数作为另一个函数的自变量，将函数嵌套起来，来判断函数单调性的方法。
第5讲函数的单调性
第5讲 函数的单调性【知识点】1． 从图象上看，单调性表示函数的一种在自变量的某范围内，当自变量增大时，因变量保持一致的变大（或变小）的趋势。
从解析式看，是表示在一个特定区域内，当21x x <时，)(1x f 与)(2x f 总有一个确定的相同的大小关系。
2． 用定义证明函数的单调性的方法为：对任意D x x ∈21,，当21x x <时，-)(2x f 0)(1>x f 恒成立，则)(x f 在D 上是增函数；反之，-)(2x f 0)(1<x f 恒成立，则)(x f 在D 上是减函数。
【例题】例1 定义在),(+∞-∞上的偶函数)x (f 满足：),x (f )x (f -=+1且在[－1，0]上是增函数，下面是关于)x (f 的判断：（1）)(x f 是周期函数；（2）)(x f 的图象关于直线1=x 对称；（3）)(x f 在［0，1］上是增函数；（4）)(x f 在［1，2］上是减函数；（5）)0()2(f f =。
其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。
例2 若函数f （x ）=a x a x 2)1(32+-+在区间（-2，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是 。
例3 若21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是 。
例4 讨论函数)0()(≠+=x xa x x f 的单调性。
结论：在研究形如x a x y +=的函数的单调性时，需分两种情况讨论：（1）当0≤a 时，在),0(+∞∈x 及)0,(-∞∈x 是单调增函数；（2）当0>a 时，在],0(a 上是减函数，在),[+∞a 上是增函数；由对称性，当0<x 时，在],(a --∞上是增函数，在)0,[a -上是减函数。
例5 （1）若函数)(x f 在区间M 上是增函数，且M x x ∈21，，如果)()(21x f x f <. 试判断1x 和2x 的大小，并证明之.（2）已知函数)(x f 是奇函数，且)(x f 在定义域)11(，-上递增， 若0)1()1(2<-+-a f a f ，试求实数a 的取值范围.例6 设),,(1)(2Z c b a cbx ax x f ∈++=是奇函数，且在),1[+∞上单调递增，若3)2(,2)1(<=f f 。
函数的单调性、奇偶性与最值
函数的单调性、奇偶性与最大(小)值1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．2．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．3．奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.4．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．5．函数的最值1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(2)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( ) (3)(教材改编)函数f (x )＝1x 在其定义域上是减函数．( )(4)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( ) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1， ＋∞)．( ) (6)(教材改编)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (7)(2013·北京卷改编)函数y ＝lg|x |的单调递减区间为(0，＋∞)．( ) (8)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的最小值为0.( ) 3．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( )(4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝－2.( )(6)(2014·鹰潭模拟改编)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是[－2,2]．( )4．对函数周期性的理解(7)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R 上是周期函数．()考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)判断函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)(2013·高安中学模拟)求函数y＝log 13(x2－4x＋3)的单调区间．【训练1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．考点二利用单调性求参数【例2】若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a的取值范围是________．【训练2】(1)函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．A．{－3}B．(－∞，3)C．(－∞，－3]D．[－3，＋∞)(2)(2014·贵溪模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)D．(0,1]考点三利用函数的单调性求最值【例3】已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2 3.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．考点四函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2－1＋1－x 2；②f (x )＝ln 1－x1＋x.(2)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【训练1】 (1)(2013·湖南卷)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2， f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )． A ．4 B ．3 C ．2D ．1(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3考点五 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝－x C ．f (x )＝2－x －2xD ．f (x )＝－tan x(2)(2013·江西九校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(2，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞)【训练2】 (2013·天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )．A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D ．(0,2]考点六 函数的单调性、奇偶性、周期性【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)【训练3】 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝1－1x 在[3,4)上( )． A ．有最小值无最大值 B ．有最大值无最小值 C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，343．(2013·玉山一中模拟)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2014·南昌模拟)已知函数y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c5．(2013·渭南模拟)下列函数中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )． A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2x6. (2013·咸阳二模)若函数f (x )＝sin x(x ＋a )2是奇函数，则a 的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2D ．47. 函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )．A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)二、填空题8．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．9．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.10．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________. 11. (2014·临川二中)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________. 12. 设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．14. f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．能力提升题组1．(2014·宜春模拟)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是( )． A ．y ＝cos x B ．y ＝－|x －1| C ．y ＝ln2＋x2－xD ．y ＝e x ＋e －x 2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在 区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数3. (2013·吉安模拟)已知偶函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2 013)＝( )．A ．1B ．－1C ．12D ．－123．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．。
函数的单调性与最值(含例题详细讲解)
函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地.设函数f (x )的定义域为I .区间D ⊆I .如果对于任意x 1.x 2∈D .且x 1<x 2.则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数.则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性.区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y ＝f (x )的定义域为I .如果存在实数M 满足条件 ①对于任意x ∈I .都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I .使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I .都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I .使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值 M 为最小值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示.不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写.不能用并集 符号“∪”联结.也不能用“或”联结．2．两函数f (x ).g (x )在x ∈(a .b )上都是增(减)函数.则f (x )＋g (x )也为增(减)函数.但f (x )·g (x ).()1f x 等的单调性与其正负有关.切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中.在区间(0.＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2.＋∞).所以在(0.＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1.单调增区间为[1,4].f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8.答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减.即内外函数的单调性相同时.为增函数.不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的.或者f (x )的图像易作出.可由图像的直观性 判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性.再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像.再观察其最高点、最低点.求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数.再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形.使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导.然后求出在给定区间上的极值.最后结合端点值.求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时.应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中.既是偶函数又在区间(0.＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C 2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________.最小值是________． 答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义.则210x +>.即12x >-.而5log y u =为()0,+∞ 上的增函数.当12x >-时.u ＝2x ＋1也为R 上的增函数.故原函数的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________． 解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知.该函数的单调增区间是(－∞.1]． 答案：(－∞.1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k .定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=.当k ＝12时.函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞.0)B ．(0.＋∞)C ．(－∞.－1)D ．(1.＋∞)解析：选C 由f (x )>12.得－1<x <1.由f (x )≤12.得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩.故()12f x 的单调递增区间为(－∞.－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断[典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知.函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0.＋∞)内任取1x .2x .令12x x <.那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<.所以210x x ->.120x x >. 故当()12,,x x k ∈+∞时.()()12f x f x <.即函数在(),k +∞上单调递增．当()12,0,x x k ∈时.()()12f x f x >.即函数在()0,k 上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数.在关于原点对称的区间上具有相同的单调 性.故在(),k -∞-单调递增.在(),0k -上单调递减． 综上.函数f (x )在(),k -∞-和(),k +∞上单调递增.在(),0k -和()0,k 上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时.作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时.求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1.＋∞)上的单调性．解：任取x 1.x 2∈(1.＋∞).且x 1<x 2.则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----. 由于1<x 1<x 2.所以x 1－x 2<0.(x 1－1)(x 2－1)>0. 因此g (x 1)－g (x 2)<0.即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1.＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x .y ∈R .总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ).且当x >0时.f (x )<0.f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x .y ∈R .总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ).∴令x ＝y ＝0.得f (0)＝0. 再令y ＝－x .得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2.则x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时.f (x )<0.而x 1－x 2>0.∴f (x 1－x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数.∴f (x )在[－3,3]上也是减函数. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2.f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2.最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小 2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x.若x 1∈(1,2).x 2∈(2.＋∞).则( ) A ．f (x 1)<0.f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0.f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0.f (x 2)<0D ．f (x 1)>0.f (x 2)>0解析：选 B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1.＋∞)上为增函数.且f (2)＝0.∴当x 1∈(1,2)时.f (x 1)<f (2)＝0.当x 2∈(2.＋∞) 时.f (x 2)>f (2)＝0.即f (x 1)<0.f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像.如图所示.则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a2－4)>f (3a ).可得a 2－4<3a .整理得a 2－3a －4<0.即(a ＋1)(a －4)<0.解得－1<a <4.所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠.都有()()12120f x f x x x -<-成立.则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞.2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞.2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数.于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩.由此解得a ≤138. 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式.然后根据函数的单调性去掉“f ”.转化为具体的不等式(组).此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时.若自变量的值不在同一个单调区间内.要利用其函数性质.转化到同一个单调区间上进行比较.对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1.＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a .当a ≤1时f (x )在[1.＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1.＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.若f (2－a 2)>f (a ).则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞.－1)∪(2.＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞.－2)∪(1.＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数.由题得2－a 2>a .解得－2<a <1. 3．用min{a .b .c }表示a .b .c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x.x ＋2,10－x }(x ≥0).则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x.y 2＝x ＋2.y 3＝10－x 中的较小者.作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数.则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a .＋∞)上是减函数.对于g (x ).只有当a >0时.它有两个减区 间为(－∞.－1)和(－1.＋∞).故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可.则a的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x ).满足f (－x )＋f (x )＝0.x 1.x 2.x 3∈R .且x 1＋x 2>0.x 2＋x 3>0.x 3＋x 1>0.则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0.∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0.x 2＋x 3>0.x 3＋x 1>0.∴x 1>－x 2.x 2>－x 3.x 3>－x 1.又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2).f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3).f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1). ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)．∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数.则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．答案：[0.32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0.32]．8．设0<x <1.则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x 1－x .当0<x <1时.x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4. 三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0.＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1.＋∞)上恒成立.求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0.＋∞)时.f (x )＝a －1x.设0<x 1<x 2.则x 1x 2>0.x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2).即f (x )在(0.＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x<2x 在(1.＋∞)上恒成立.设h (x )＝2x ＋1x.则a <h (x )在(1.＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2.x ∈(1.＋∞).∴2－1x2>0.∴h (x )在(1.＋∞)上单调递增．故a ≤h (1).即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞.3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a .若x ∈[－2,2]时.f (x )≥0恒成立.求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a ).则只需g (a )≥0. 由题意知.f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2.即a >4时.g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0.得a ≤73.又a >4.故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2].即－4≤a ≤4时.g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2. 又－4≤a ≤4.故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2.即a <－4时.g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7. 又a <－4.故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数.且f (1)＝1.若a .b ∈[－1,1].a ＋b ≠0时. 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性.并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立.求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1.x 2∈[－1,1].且x 1<x 2. 则－x 2∈[－1,1].∵f (x )为奇函数. ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-.x 1－x 2<0.∴f (x 1)－f (x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增.∴112111121111xxxx⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x<－1.(3)∵f(1)＝1.f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上.f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1.即m2－2am≥0.对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0.则g(a)＝0≥0.自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0.则g(a)为a的一次函数.若g(a)≥0.对a∈[－1,1]恒成立.必须g(－1)≥0. 且g(1)≥0.∴m≤－2.或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。
函数的单调性与最值(含解析)
函数单调性与最值一、知识要点1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠：1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M (2)①f(x)≥N②f(x0)＝N二、题型训练题组一1．定义在R 上的偶函数在[)0+∞，上是减函数则 ( ) ． A ． B ． C ． D ．2．如果偶函数)(x f 在上]3,7[--是增函数且最小值是2，那么)(x f 在]7,3[上是（ ） A ．减函数且最小值是2 B ．减函数且最大值是2 C ．增函数且最小值是2 D ．增函数且最大值是2．3．已知)(x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，若)1()(lg f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛1,101 B ．()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,1101,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛10,101 D ．()()+∞⋃,101,0 4．函数的图像关于直线对称，且在单调递减，(0)0f =，则的解集为（ ）A ．(1,)+∞B ．C ．D ．5．设奇函数()f x 在 （0，＋∞）上是增函数，且(1)0f =，则不等式[()()]0x f x f x --<的解集为（ ） A ．{|10x x -<<或}1x > B ．{|1x x <-或}01x << C ．{|1x x <-或}1x > D ．{|10x x -<<或}01x <<6．已知偶函数f （x ）在区间（0，＋∞）单调增加，则满足f （x －1）<f ⎪⎭⎫⎝⎛31的x 取值范围是（ ）A ．B ．C ．24(,)33D ．7．已知定义在R 上的偶函数，在时，，若，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数)(x f 为奇函数，且在),0(+∞上是增函数，又0)2(=f ，则0)()(<--xx f x f 的解集为（ ）A ．)2,0()0,2(⋃-B ．)2,0()2,(⋃--∞C ．),2()2,(+∞⋃--∞D ．),2()0,2(+∞⋃-9．若函数)x (f y =是定义在R 上的增函数，且满足1)b a (f )b (f )a (f ,0)1(f -+=+=，那么=)2(f ，关()f x (3)(2)(1)f f f <-<(1)(2)(3)f f f <-<(2)(1)(3)f f f -<<(3)(1)(2)f f f <<-()y f x =1x =[)1,+∞(1)0f x +>(1,1)-(,1)-∞-(,1)(1,)-∞-⋃+∞11(,)33-11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦24,33⎢⎥⎢⎥⎣⎦()f x 0x >()ln xf x e x =+()()1f a f a <-(),1-∞1(,)2-∞1(,1)2()1,+∞于x 的不等式0)x 1(f )1x (f 2>-+-的解集是。
2021届新高考数学一轮课件：第二章+第5讲+函数的单调性与最值
答案：D
难点突破 ⊙函数的最值与值域 例题：求下列函数的值域：
(1)y＝3xx－＋22； (3)y＝x2＋x－x＋1 2(x>1)；
(2)y＝x2x－2－x＋x 1； (4)y＝|x＋1|＋|x－2|.
解：(1)方法一，y＝3xx－＋22＝3x－x－62＋8＝3＋x－8 2， ∵x－8 2≠0，∴y≠3. ∴函数 y＝3xx－＋22的值域是{y|y∈R，且 y≠3}. 方法二，由 y＝3xx－＋22，得 x＝2yy－＋31.∴y≠3.
∵log34>log33＝1,1＝20>2－23>2－32，∴log34>2
2 3
>2
3 2
，
又 f(x)在(0，＋∞)单调递减，
2
3
∴f(log34)<f(2 3 )<f(2 2 )，
∴f(2
3 2
2
)>f(2 3
)>flog314，故选
C.
答案：C
考向 2 解不等式
例 4：(1)(2017 年新课标Ⅰ)函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调
解析：x∈(－∞，0)时，xf′(x)>0，即 f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，又 f(x)为偶函数， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增. ∴f(3)<f(4)<f(5)， ∴f(－3)<f(4)<f(－5)，故选 A. 答案：A
(2)(2019 年新课标Ⅲ)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在
3.函数 y＝ 16－4x的值域是___[_0_,4_)__.
解析：∵4x>0，∴0≤16－4x<16，∴ 16－4x∈[0,4). 4.函数 f(x)＝x－x 1(x≥2)的最大值为___2___.
第05讲-函数的单调性与最值(解析版)
第05讲-函数的单调性与最值一、考情分析借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．二、知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)上是增函数或是减函数，性，区间M称为单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[微点提醒]1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].三、 经典例题考点一 确定函数的单调性(区间)【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ．()()1212f x f x x x -->0B ．f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)C ．(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0D ．()()2121x x f x f x -->0【答案】B 【解析】试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此()()12120f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0，()()21210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的大小，因此f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)不正确【例1－2】（2020·诸城市教育科学研究院高一期末）函数2y x =-的单调递增区间为( ) A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．()0,∞+D ．(,)-∞+∞【答案】A 【分析】由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为y 轴,故可得出其单调增区间. 【详解】∵函数2y x =-, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为y 轴 ∴函数的单调增区间为(],0-∞.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.考点二 求函数的最值【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数()22231x f x x+=+，则()f x 的值域为（ ） A ．(],3-∞ B ．()2,3 C ．(]2,3 D ．[)3,+∞【答案】C 【分析】利用分子分离法化简()f x ，再根据不等式的性质求函数的值域. 【详解】()22222232(1)112111x x f x x x x+++===++++， 又22211110122311x x x +≥⇒<≤⇒<+≤++， ∴()f x 的值域为(]2,3，故选：C.【例2－2】（2020·民勤县第一中学高二期中（理））下列结论正确的是( )A ．当2x ≥时，1xx+的最小值为2 B ．当0x >时，2≥ C ．当02x <≤时，1x x-无最大值D ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ 【答案】B 【分析】结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可． 【详解】 对于A ，x +1x 在[2，+∞）上单调增，所以x =2时，1x x +的最小值为52，故A 错误；对于B ，当x ＞0时，2x x+≥，当且仅当x =1时，等号成立，故B 成立； 对于C ，1x x -在（0，2]上单调增，所以x =2时，1x x-取得最大值，故C 不成立；对于D ，当0＜x ＜1时，lgx ＜0，1lg x＜0，结论不成立；规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 考点三 函数单调性的应用【例3－1】（2020·安徽师范大学附属中学高三月考（理））若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,1]-∞ B ．(–],e ∞C ．(01]，D ．(0,]e【答案】B 【分析】分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数a 的取值范围. 【详解】作出32,1()3,1x e x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩的图象：当1x >时，()f x =x e a e a ->-，当1x ≤时，'2()363(2),f x x x x x =-+=--在(),0-∞上'()0,<f x 在 ()0,1上'()0,f x > 则()f x =323x x -+在(),0-∞上单调递减，在 ()0,1上单调递增，又(0)0f = ∴()0f x ≥，函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则0e a -≥， 即a e ≤，故选：B【例3－2】（2020·江苏省高一期末）函数()11xxe f x e -=+（e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ）. A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用分离常数的方法，将式子化简，可得()211x f x e =-++，根据单调性以及值域，可得结果. 【详解】因为()11211x x x x e e f x e e -+-==-++ 所以()211xf x e =-++， 可知y=x e 是递增的函数，所以2y=1x e +为递减的函数， 则()211x f x e =-++是递减的函数，且0,1x x e >>所以1112,012xxe e +><<+ 则21101x e -<-+<+，所以A 正确 故选：A【例3－3】（2019·会泽县第一中学校高二开学考试（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[- D．39[]16- 【答案】A 【解析】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x --=-+≤-x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ．规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”. [思维升华]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式. [易错防范]1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.四、 课时作业1．（2020·湖南省茶陵三中高二开学考试）已知函数()([1,5])y f x x =∈-的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．[1,1]-B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[1,5]-【答案】B 【分析】根据递减区间的性质分析即可. 【详解】由图像可得,函数在[1,3]内单调递减.2．（2020·湖北省高一月考）下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．||y x = B ．1y x =-+ C ．23y x x =- D ．2y x=【答案】A 【分析】根据四个函数解析式，依次判断即可得解. 【详解】对于A ，||y x =在(),0-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增，所以A 正确； 对于B ，1y x =-+在R 内单调递减，所以在(0,)+∞内也单调递减，所以B 错误； 对于C ，23y x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以在(0,)+∞内单调递增错误，即C 错误； 对于D ，2y x=在在(0,)+∞内也单调递减，所以D 错误. 综上可知，A 为正确选项，故选：A.3．（2019·湖南省长郡中学高二期中）下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数性质可得3y x =-，1y x=，24y x =-+在0,1不是增函数，在区间0,1上，y x x ==是增函数. 【详解】()0,1x ∈时， y x x ==，所以y x =在0,1上是增函数；13,y x y x=-=在0,1上均是减函数； 24y x =-+是开口向下以0x =为对称轴的抛物线，所以24y x =-+在在0,1上是减函数，所以A 正确．故选：A4．（2019·江苏省高一月考）下列函数，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =- B ．1y x=-C ．1y x =-D ．2yx x【答案】B 【分析】A 选项讲0x >的表达式写出易判断；B 选项注意改变单调性的两个因素：取倒数和加负号，易判断；C 选项一次函数看斜率正负，易判断；D 选项二次函数看对称轴，易判断。
函数单调性及其极值、最值
1
f(x)1x 3
3
x1
令
3x f(x)0，得驻点x 1，而x0 时
f
(x)不存在。
因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：
x (,0) 0
f (x) 不存在
f (x)
极大值1
(0,1)
1
0
极小值 1 2
(1,)
由表可知，f (x) 在 x0处取得极大值f (0)1， f (x) 在 x 1处取得极小值 f ( x) 1 。
(2)求出 f(x).
(3)求f出 (x)的所有f驻 (x)不 点存 和在的点 x1， ， xk.
(4)判定每个驻点和导数不存在的点 xi(i1 ,2,,k)两 侧(在xi较小的邻域内) f (x)的符号，依定理3判定 xi是否为f(x)的极值点.
例5 求函数 f (x)x3x32 1 的极值。 2
列表得
x (,0)
0
(0
,
2 5
)
2 5
(52, )
f (x) 无意义 0
f (x)
极大值0
极小值 0.33
x0是极大点，其极大值为 f(0)0
x
2 5
是极小点，其极小值为
f(52)0.33
定理4(判定极值的第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处 具有二阶导数，且 f(x 0 ) 0 ,f(x 0 ) 0 ,则
例7 利用判定极值的第 分二 条充 件 ，求 y x4 8x3 6x2的极值与极.值点 3
解 所给的函数定义域为 (,). y4x38x21x2 4 x(x 1 )x ( 3 ).
函数的单调性与最值(讲)
函数的单调性与最值函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.函数的最值1.最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得()0f x M =. 那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.2.最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥； （2）存在0x I ∈，使得()0f x m =. 那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值. 对点练习函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间上的最大值为________．【答案】3考点1 单调性的判定和证明1.给定函数①12y x ＝，②12(1)y log x ＝＋，③|1|y x ＝－，④12x y ＋＝.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( ) 【答案】B A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④【领悟技法】1.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.2.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.4.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.【变式一】下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) 【答案】AA.y ＝1x－xB.y ＝x 2－x C.y ＝ln x －xD.y ＝e x－x【变式二】定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________.【答案】103x x ⎧<<⎨⎩或}13x << 1.()212log 32y x x =-+的递增区间是（ ）A.(),1-∞B.()2,+∞C.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2.函数()23xy xe=-的单调递增区是（ ）A.(),0-∞B.()0,+∞C.(),3-∞-和()1,+∞D.()3,1-【答案】D 【领悟技法】1.基本初等函数的单调区间：2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，可设内层函数为()u g x =，外层函数为()y f u =，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递减.4.导数法：不等式()0f x '>的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递增区间，不等式()0f x '<的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递减区间. 【触类旁通】函数223y x x =--的单调递增区间为 .【答案】()1,1-和()3,+∞. 考点3 利用单调性确定参数取值范围1.已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若2()(2)f a f a <-，则实数的取值范围是 ．【答案】21a -<<【答案】(3,)-+∞【领悟技法】1.解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性.若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >. 2.在比较()1f x 、()2f x 、、()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x 、()2f x 、、()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小. 【领悟技法】 函数最值的求解方法：1.单调性法：考查函数的单调性，确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值.2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.3.分段函数的最值：将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.4.导数法：对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值. 【触类旁通】1.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的的取值范围是【答案】D A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]。
5.函数的单调性与最值
变式4-1 是否存在实数a，使函数 f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是增函数 ？如果存在，说明a可取哪些值； 如果不存在，请说明理由． 链接高考 x 2 1, x 0 (2010江苏)已知函数f(x)= 1, x 0 则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是 ( 1, 2 1) ________．
(1)若f(x)=2，求x的值；
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实
数m的取值范围．
变式3-1
已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R)． (1)若函数的值域为[0，+≦)，求a的值；
(2)若函数的值域为非负数，求函数g(a)=2-a|a+3|
的值域．
链接高考
3. 复合函数的单调性
对于复合函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a，b)上是单调增 (减)函数，且y=f(u)在区间(g(a)，g(b))(或(g(b)，g(a)))上是单 调函数，那么函数y=f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性如下表 定义域 所示，实施该法则时首先应考虑函数的________.
2. 值域与最值的关系
若函数y=f(x)的最大值为b，最小值为a，那么
y=f(x)的值域必定是集合[a，b]的子集；
若f(x)可以取到[a，b]中的一切值，那么其值域就 是[a，b]．
3.函数求值域常见的方法
1.图像法：借助图像观察值域。 2.单调性法：判断函数的单调性确定区间上的值域。 3.二次函数的配方法：二次函数配方确定对称轴， 讨论区间上的值域。
递减．
基础达标
减 1.函数f(x)=1-3x在(-∞，+∞)上是________函 数； 1 减 f(x)= x +2在(-∞，0)上是________函数． [1，+∞) 2. 函数f(x)=x2-2x+4的增区间为________； 减区间为________． (-∞，1]
函数的单调性与最值点的求解
函数的单调性与最值点的求解函数的单调性与最值点一直是数学中重要的概念和求解方法之一。
函数的单调性描述了函数在定义域内是否呈现递增或递减的趋势，而最值点则指函数在某一范围内取得最大或最小值的点。
本文将介绍函数单调性的概念、判断方法和最值点的求解方法。
一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在其定义域内是否具有递增或递减的趋势。
具体来说，对于函数f(x)，我们可以通过以下方法判断其单调性：1. 导数法：求函数的导数，通过导数的正负来判断函数的单调性。
若导数大于0，则函数递增；若导数小于0，则函数递减。
2. 函数值法：选取函数定义域内的不同取值，计算函数的函数值，通过函数值的大小关系判断函数的单调性。
若函数值递增，则函数递增；若函数值递减，则函数递减。
二、最值点的求解最值点是函数在某一范围内取得最大或最小值的点，通常用于解决优化问题。
以下是求解最值点的常用方法：1. 导数法：求函数的导数，通过导数为0的点来判断极值点。
具体步骤是求解导数为0的方程，找到对应的自变量值，再带入函数中求解函数值。
2. 边界法：对于定义在闭区间上的函数，极值点可能出现在区间的端点上。
因此，需要先计算函数在区间的端点处的函数值，与其他极值点进行比较，找到最值点。
综上所述，通过判断函数的单调性和求解最值点，我们可以更好地了解函数的特性，解决实际问题。
在实际应用中，我们可以结合具体的问题和函数形式选择合适的方法进行分析和求解。
对于更复杂的函数，可能需要借助数值计算或者计算机软件进行求解。
在这些情况下，我们可以使用数值方法，例如二分法、牛顿法等，来近似求解函数的单调性和最值点。
总之，函数的单调性和最值点是数学中重要的概念和求解方法，对于解决实际问题起到关键作用。
通过判断函数的单调性，我们可以了解函数的趋势；通过求解最值点，我们可以找到函数在某一范围内取得最大或最小值的点。
这些方法可以在各个领域的问题中得到应用，并为问题的建模和分析提供支持。
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第5讲 函数的单调性与最值1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．函数的最值1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 81．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．(2013·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110求函数的单调区间1.函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析：要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x >－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥1，2x －1， x <1.作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．[类题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．函数单调性的判断[典例] 试讨论函数f (x )＝x ＋kx(k >0)的单调性．[解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2. 因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－kx2.令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． [类题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2x x －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．函数单调性的应用角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ， 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵当x >0时，f (x )<0， 而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎡⎭⎫138，2解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138 . [类题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．。