三角形正弦余弦定理

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高中正弦定理和余弦定理公式

当谈到三角函数的定理时，正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。

以下是它们的公式：
1. 正弦定理（Sine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，正弦定理给出了边长和角度之间的关系：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
2. 余弦定理（Cosine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，余弦定理给出了边长和角度之间的关系：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。

通过应用正弦定理和余弦定理，可以计算未知边长或角度，以及解决各种涉及三角形的几何问题。

三角函数与解三角形：正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理【考点梳理】1．正弦定理和余弦定理(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．【考点突破】考点一、利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．[解析] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0＜B＜π4，所以cos B＝1－sin 2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sin Bsin(π－2B)＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.【类题通法】1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．【对点训练】1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B ＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]A[解析] 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[答案] 2113[解析] 在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.考点二、判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] (1)D (2)A[解析] (1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＜C ，可得C ＞π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不成立．故选A. 【类题通法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．【对点训练】1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .2．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形[答案] D[解析]根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D．考点三、与三角形面积有关的问题【例3】已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sinC.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解析] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.【类题通法】三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【对点训练】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．[解析] (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即2cos C sin(A＋B)＝sin C，故2sin C cos C＝sin C.可得cos C＝12，所以C＝π3.(2)由已知得12ab sin C＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.。

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。

如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

正弦定理的概念与余弦定理的概念

正弦定理的概念与余弦定理的概念正弦定理和余弦定理是在三角形中用于计算边长和角度的重要定理。

1. 正弦定理（Sine Rule）：正弦定理是用来计算三角形中的边长和角度的关系。

对于一个三角形ABC，正弦定理可以表述为：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示对应边的角度。

2. 余弦定理（Cosine Rule）：余弦定理是用来计算三角形中的边长和角度的关系。

对于一个三角形ABC，余弦定理可以表述为：
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC
其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示对应边的角度。

正弦定理和余弦定理都可以在解决三角形问题时使用，它们提供了计算边长和角度的方法，可以帮助我们求解各种三角形相关的问题。

正弦定理、余弦定理知识点

正弦定理、余弦定理1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝21ca sin B ；2．三角形中的边角不等关系:A>B ⇔a>b,a+b>c,a-b<c ；； 3．正弦定理：A asin ＝Bb sin ＝Ccsin ＝2R （外接圆直径）；正弦定理的变式：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b AR a sin 2sin 2sin 2；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC ．4．正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角a=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解两解一解(2)A 为锐角或钝角当a>b 时有一解.5．余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ．若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．知识点1 运用判断三角形形状例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形解法2:由余弦定理: 22222222bca cb b ac b c a a -+⋅=-+⋅ 22b a = ∴ b a = 即△ABC 为等腰三角形.巩固练习1．在中，若2222sin sin 2cos cos b C c B b B C +=，试判断三角形的形状．2．在ABC ∆中,已知a 2tanB=b 2tanA,试判断这个三角形的形状.3．已知ABC ∆中，有cos 2cos sin cos 2cos sin A C BA B C+=+，判断三角形形状.知识点2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题2 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【答案】解法1：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+=将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒ ，C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ 巩固练习1．已知在ABC ∆中，2,6,45==︒=∠BC AB A在ABC ∆中，213,2tan tan +=-=c b bb c B A ，求三内角2．在ABC ∆中，已知B C A 2=+，32tan tan +=⋅C A ，求A 、B 、C 的大小，又知顶点C 的对边C 上的高等于34，求三角形各边a 、b 、c 的长．知识点3 解决与三角形在关的证明、计算问题例题3 已知A 、B 、C 为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C 的值．【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求出A+B 和C 的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C ．【答案】 A B C 、、为锐角 ∴<++<0270°°A B C 又，，由公式可得tan tan A B ==12tan()tan tan tan tan A B A B A B +=+-⋅=+-=-112123[]tan()tan ()A B C A B C ++=++=++-+⋅tan()tan tan()tan A B C A B C 1 =-+--⨯33133() =0所以A+B+C=πsin sin sin sin cos cos cos cos 2222221336ααββααββ-++-+=221336-+=(cos cos sin sin )αβαβ --=-25936cos()αβ∴-=cos()αβ5972巩固练习1．在∆ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,设a+c=2b,A-C=3π,求sinB 的值.2．在中，a ，b ，c 分别是的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且，求的大小及的值．3．在ABC ∆中，若4,5==b a且3231)cos(=-B A ，求这个三角形的面积．例题4 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,证明:C B A cb a sin )sin(222-=-.【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次.【答案】证法一:由正弦定理得C A B C B A c b a 2222222sin 22cos 2cos sin sin sin -=-=-=C A B A B 2sin 2)sin()sin(2-+-=CB AC 2sin )sin(sin -=C B A sin )sin(-.证法二:由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA,则222c b a -=22cos 2cA bc c -=1-c b 2∙cosA,又由正弦定理得c b =C Bsin sin ,∴222cb a -=1-C B sin sin 2∙cosA=C A B C sin cos sin 2sin -=C A B B A sin cos sin 2)sin(-+=C A B B A sin cos sin cos sin -=C B A sin )sin(-. 证法三:C B A sin )sin(-=CAB B A sin cos sin cos sin -. 由正弦定理得cbC B c a C A ==sin sin ,sin sin ,∴CB A sin )sin(-=cAb B a cos cos -,又由余弦定理得C B A sin )sin(-=cbc a c b b ac b c a a 22222222-+⋅--+⋅=22222222)()(c a c b b c a -+--+=222c b a -.巩固练习1．已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=. （1）求证tan 2tan A B =；（2）设3AB =，求AB 边上的高．参考答案课堂互动例题1 巩固练习1．【答案】[解法1]：由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，R 为外接圆的半径，将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =，sin sin 0B C ≠，sin sin cos cos B C B C ∴=. 即cos()0B C +=,90B C ∴+=，90A =.故为直角三角形[解法2]：将已知等式变为2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B b B C -+-=，由余弦定理可得22222222222222a b c a c b b c b c ab ac ⎛⎫⎛⎫+-+-+-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222a c b a b c bc ac ab+-+-=⋅⋅，即22b c +22222222()()4a b c a c b a ⎡⎤+-++-⎣⎦=也即222b c a +=，故为直角三角形．2．【答案】解法1:由已知得A A b B B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得AAB B B A cos sin sin cos sin sin 22=,∵sinAsinB ≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B 或2A=1800-2B,即A=B 或A+B=900.∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.解法2: 由已知得A A bB B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得A a b b a cos cosB 22=,即Ab a cos cosB =,又由余弦定理得bcac b b a 22ac b -c a 222222-+=+,整理得(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,∴a=b,或a 2+b 2=c 2, ∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形. 3．解：由已知得例题2 巩固练习1．【答案】解法1：由正弦定理，得2345sin 26sin =︒=C 因3226sin =⨯=⋅A AB 6,2==AB BC 由623<<，则有二解，即︒=∠60C 或︒=∠120C︒=︒-︒-︒=∠754560180B 或︒=︒-︒-︒=∠1545120180B故13sin sin +=⇒⋅=AC B ABC AC 或13-=AC ，︒=∠︒=∠15,120B C ︒=∠︒=∠75,60B C 解法2：令AC=b ，则由余弦定理222245cos 62)6(=︒-+b b 1302322±=⇒=+-b b b又C b b cos 222)6(222⋅-+=︒=∠±=⇒60,21cos C C 或︒=∠120C ︒=︒+︒-︒=∠⇒75)6045(180B 或︒=︒+︒-︒=∠15)12045(180B . 2【答案】由已知有bc B A 21tan tan =+，化简并利用正弦定理：B C B A B A B A sin sin 2sin cos sin cos cos sin =+ BCB A B A sin sin 2sin cos )sin(=+0cos sin 2sin =-A C C由0sin ≠，故︒=⇒=6021cos A A 由213+=cb，可设k c k b 2,)13(=+=，由余弦定理，得 k a k k k a 6)13(24)13(22222=⇒+-++=由正弦定理Cc A a sin sin =得 226232sin sin =⋅==kk a A c C 由b c <则C 是锐角，故︒=--︒=︒=75180,45C A B C3．【答案】由已知，得2C A B +=，又由︒=++180C B A ︒=⇒60B 故4160cos sin sin 2=︒=C A ①又由B c a S ABC sin 2134⋅⋅==∆164334=⇒=⇒ac ac ② 故64)sin ()sin (sin sin 22===C c A a C A ac 8sin sin ==⇒Cc A a由3460sin 8sin 8sin sin =︒⋅=⋅==B AB a b 则21260cos cos 222=-+=︒=ac b c a B即964848)(3)(222=+=+⇒=-+c a ac b c a 64=+⇒c a ③ 把③与②联立，得)26(2),26(2-=+=c a 或)26(2),26(2+=-=c a4．【答案】由已知B C A 2=+，及︒=+︒=⇒︒=++120,60180C A B C B A由CA C A C A tan tan 1tan tan )tan(-+=+及32tan tan ,3)tan(+=⋅-=+C A C A得33tan tan +=+C A ，以C A tan ,tan 为一元二次方程032)33(2=+++-x x 的两个根，解方程，得⎩⎨⎧+==32tan 1tan C A 或⎩⎨⎧=+=1tan 32tan C A ⎩⎨⎧︒=︒=⇒7545C A 或⎩⎨⎧︒=︒=4575C A 若︒=︒=75,45C A ，则860sin 34=︒=a ，6445sin 34=︒=b ，)13(445sin 75sin 8sin sin +=︒︒==A C a c 若︒=︒=45,75C A ，则︒=60sin 34a ︒==75sin 34,8b )13(64-=)623(4-=)13(8sin sin -==B C b c 例题3 巩固练习1．【答案】由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得2sin 2C A +cos 2C A -=2sinB. 由A+B+C=π得sin2C A +=cos 2B .又A-C=3π,得2cos 23B =sinB.∴2cos 23B=2sin 2B cos 2B ,∵0<2B <2π,∴cos 2B ≠0,∴sin 2B =43.∴cos 2B =2sin 12B -=413,∴sinB=2sin 2B cos 2B =2∙43∙413=839. 2．【答案】（I ）成等比数列又在中，由余弦定理得（II ）在中，由正弦定理得．3．【答案】解法1：由余弦定理得c c bc a c b A 892cos 2222-=-+= cc ac b c a B 1092cos 2222+=-+= 由正弦定理得：B A B A sin 45sin sin 4sin 5=⇒= 3231)cos 1(4510989222=-++⋅-⇒B c c c c 3231])109(1[4580812224=+-+-c c c c 63632318016282222=⇒=⇒=-⇒c c cc 故1694893689cos 2=-=-=c c A 7165sin =A 4715sin 21=⋅⋅=∆A c b S ABC解法2：如图，作B A CAD -=∠，AD 交BC 于D ，令x CD =则由5=a 知，x AD x BD -=-=5,5，在CAD ∆中由余弦定理3231)5(84)5()cos(222=--+-=-x x x B A 化简得199=⇒=x x ，在CAD ∆中由正弦定理)sin(4)sin(sin )sin(sin B A B A CD AD C B A CD C AD -=-⋅=⇒-=783)(cos 142=--=B A 74158735421sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆C BC AC S ABC例题4 巩固练习1．【答案】（1）证明：因为3sin()5A B +=，1sin()5A B -=，所以3sin cos cos sin 51sin cos cos sin 5A B A B A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，2sin cos 51cos sin 5A B A B ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩，tan 2tan A B ⇒=.所以tan 2tan A B =（2）因为2A B ππ<+<，3sin()5A B +=，所以3tan()4A B +=-，即tan tan 31tan tan 4A B A B +=--，将tan 2tan A B =代入上式并整理得 22tan 4tan 10B B --=.解得2tan 2B =，舍去负值得2tan 2B +=，从而tan 2tan 2A B ==. 设AB 边上的高为CD.则tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+=AB=3，得CD= 2AB 边上的高等于2。

三角形正弦定理和余弦定理公式

三角形正弦定理和余弦定理公式三角形正弦定理公式可表述为：在任意三角形ABC中，设三个边的长度分别为a，b，c，对应的角度为A，B，C，则有以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC
三角形余弦定理公式可表述为：在任意三角形ABC中，设三个边的长度分别为a，b，c，对应的角度为A，B，C，则有以下关系：a² = b² + c² - 2bc*cosA
b² = a² + c² - 2ac*cosB
c² = a² + b² - 2ab*cosC
这两个定理是解决三角形问题中常常使用的定理，可以用于计算缺失的边长或角度大小，以及求解三角形的各种性质。

拓展：这两个定理在解决三角形问题时起到了重要作用，但是也有一些特殊情况的应用。

比如，当角A=90°时，余弦定理可以简化为勾股定理：
c² = a² + b²
也就是著名的勾股定理。

此外，正弦定理和余弦定理也可以用于
解决其他类型的几何问题，比如用于求解四边形的面积或角度。

同时，这两个定理还可以推广到高维空间中的三角形，称为n维三角学。

正弦余弦定理

正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）这一定理对于任意三角形ABC，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RR为三角形外接圆半径余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c。

a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。

)a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc正弦是sin是xx的锐角的对边比斜边的值xxcos是xx的锐角的邻边比斜边的值正切是tan是xx的锐角的对边比邻边的值反正切的cot是xx的锐角的邻边比对边的值在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与对边的比，叫做∠切，记作cotA 在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边的比，叫做∠弦，记作cos A．在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠切，记作tanA在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与斜边的比，叫做∠弦，记作sinAA的余A的正。

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。

正弦定理和余弦定理所有公式

正弦定理和余弦定理所有公式在三角形学中，正弦定理和余弦定理是两个基本的定理，它们分别描述了三角形中角和边之间的关系。

这篇文章将介绍正弦定理和余弦定理的所有公式及其应用。

正弦定理正弦定理描述三角形中任意一角的正弦值与相对边长之间的关系。

具体公式如下：sinA/a = sinB/b = sinC/c其中A、B、C分别为三角形的三个角度，a、b、c分别为相应的边长。

应用：1. 计算三角形的边长：已知一角及其对边，以及另外两边，可以通过正弦定理求解第三边。

2. 判断三角形的形态：如果正弦定理中最大的sin对应最长的边，则三角形为锐角三角形；如果最大的sin对应最短边，则三角形为钝角三角形；如果三边长度关系为c2=a2+b2，则三角形为直角三角形。

3. 计算三角形的面积：三角形的面积可以通过正弦定理和海龙公式求解，其中海龙公式为s=(a+b+c)/2，S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。

余弦定理余弦定理描述三角形中任意一角的余弦值与相对边长之间的关系。

具体公式如下：a² = b² + c² - 2bcCosA b² = a² + c² - 2acCosB c² = a² + b² - 2abCosC应用：1. 计算三角形的边长：已知三角形中一个角度和另外两边的长度，可以通过余弦定理求解剩余一边的长度。

2. 判断三角形的形态：如果余弦定理中最大的Cos对应最大的边，则三角形为钝角三角形；如果最大的Cos对应最短的边，则三角形为锐角三角形；如果三边长度关系为c2=a2+b2，则三角形为直角三角形。

3. 计算三角形的面积：三角形的面积可以通过余弦定理和海龙公式求解，其中海龙公式为s=(a+b+c)/2，S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。

练习题：1. 已知三角形ABC的边长分别为a=8, b=10, c=12，求角A的正弦值和余弦值。

三角函数正余弦定理

二解还是无解．
课堂互动讲练
互动探究
若例 1 的要求不变，条件为(1)a＝7， b＝8，A＝105°；
(2)b＝10，c＝5 6，C＝60°.
课堂互动讲
练解：(1)a＝7，b＝8，a<b，∴B>A＝105°>90°.
∴本题无解．
(2)b＝10，c＝5 6，b<c， ∴B<C＝60°<90°.∴本题有一解．
解得a＝2 3 3，
b＝4
3
3 .
10 分
课堂互动讲
练
所以△ABC 的面积
S＝
12absinC＝
1× 2
2 3
3×4 3
3×
3 2
＝23
3 .
12 分
易误点评在第 2 题中容易犯约分的错误而不分cosA＝0
和cosA≠0去讨论．
课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分 12 分)(2009 年高考湖北卷)在锐角 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、 B、C 所对的边，且 3a＝2csinA.
∵B 为三角形的内角，∴B＝23π.
课堂互动讲练
法二：ccoossBC＝－2sinsAin＋BsinC ∴2sinAcosB＋cosBsinC＝－sinBcosC ∴2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0 ∴2sinAcosB＋sinA＝0. ∴cosB＝－12，∴B＝23π.
课堂互动讲练
A．60° C．135° 答案：B
B．120° D．150°
三基能力强
化
2．在 ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b ＝4 2，则 B 等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45°

三角公式总结正弦定理余弦定理诱导公式二倍角公式半角公式积化和差公式和差化积公式

三角公式总结正弦定理余弦定理诱导公式二倍角公式半角公式积化和差公式和差化积公式三角公式是解决三角形问题的基本工具，包括正弦定理、余弦定理、诱导公式、二倍角公式、半角公式、积化和差公式和和差化积公式等。

下面我们详细介绍这些公式。

1. 正弦定理（Sine Rule）：在一个三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C满足如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC这个公式可以用于求解已知三角形任意两边及其夹角，求解三角形内外角和的问题。

2. 余弦定理（Cosine Rule）：在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与其对应的角A、B、C满足如下关系：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC这个公式可以用于求解已知三角形两边及其夹角，求解三角形内外角和的问题。

3. 诱导公式（Tangent Addition Formula）：对于角A和角B，有如下关系：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)这个公式可以用于求解角的和与差的正切值。

4. 二倍角公式（Double Angle Formula）：对于角A，有如下关系：sin(2A) = 2*sinA*cosAcos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)tan(2A) = 2*tanA / (1 - tan^2(A))这个公式可以用于求解角的两倍角的正弦、余弦和正切值。

5. 半角公式（Half Angle Formula）：对于角A，有如下关系：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]这个公式可以用于求解角的半角的正弦、余弦和正切值。

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式.教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形知识点清单一.正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R（其中R是三角形外接圆的半径）sin A sin B si2.变形：1) a b c a b csin sin si nC sin sin si nC2）化边为角：a :b: c sin A: sin B :s in C -a si nA.b sin B a sin AJb sin Bc sin C c sin C '3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsi nB, c 2Rs inC4）化角为边：sin A a ;J sin B b ; si nA aJ7sin B b sin C c sin C c5）化角为边：sin A a sin B b si nC c2R‘2R'2R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理-Sn） - Sn^; b sin B c sin C a sin A;求出b与cc sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理旦血求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正b sin B弦定理旦泄求出c边c sin C4. △ ABC中，已知锐角A,边b,贝U①a bsin A时，B无解；②a bsinA或a b时，B有一个解;③ bsin A a b 时，B 有两个解。

如：①已知A 60 ,a 2,b2, 3 ,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a23,求B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

余弦正弦定理

余弦正弦定理在数学中，余弦正弦定理是三角形中常用的定理之一。

它可以用来计算三角形中的各个角度和边长。

余弦正弦定理的公式如下：余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cos C正弦定理：a/sin A = b/sin B = c/sin C其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 分别表示三角形的三个角度。

余弦定理可以用来计算三角形中的任意一个角度，只需要已知另外两个角度和两条边的长度即可。

例如，如果已知三角形的两条边分别为 3 和 4，夹角为 60 度，那么可以使用余弦定理来计算第三条边的长度：c² = a² + b² - 2ab cos Cc² = 3² + 4² - 2×3×4×cos 60°c² = 9 + 16 - 12c² = 13c = √13因此，第三条边的长度为√13。

正弦定理可以用来计算三角形中的任意一个角度或边长，只需要已知另外两个角度或边长即可。

例如，如果已知三角形的两条边分别为 3 和 4，夹角为 60 度，那么可以使用正弦定理来计算第三个角度的大小：a/sin A = b/sin B = c/sin C3/sin 60° = 4/sin B = c/sin Csin B = 4sin 60°/3sin B = √3/2B = 60°因此，第三个角度的大小为 60 度。

余弦正弦定理是解决三角形问题的重要工具，可以帮助我们计算三角形中的各个角度和边长。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择使用哪种定理来解决问题。

正弦定理和余弦定理公式

正弦定理和余弦定理公式设任意三角形△ABC，角A、B、C的对边分别记作a、b、c，则可得到正弦定理、余弦定理的公式及其推论如下。

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。

一、正弦定理公式a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。

【注1】其中“R”为三角形△ABC外接圆半径。

下同。

【注2】正弦定理适用于所有三角形。

初中数学中，三角形内角的正弦值等于“对比斜”仅适用于直角三角形。

二、正弦定理推论公式1、（1）a=2RsinA；（2）b=2RsinB；（3）c=2RsinC。

2、（1）a:b=sinA:sinB；（2）a:c=sinA:sinC；（3）b:c=sinB:sinC；（4）a:b:c=sinA:sinB:sinC。

【注】多用于“边”、“角”间的互化。

三角板的边角关系也满足正、余弦定理3、由“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可得：（1）(a+b)/(sinA+sinB)=2R；（2）(a+c)/(sinA+sinC)=2R；（3）(b+c)/(sinB+sinC)=2R；（4）(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R。

4、三角形ABC中，常用到的几个等价不等式。

（1）“a>b”、“A>B”、“sinA>sinB”，三者间两两等价。

（2）“a+b>c”等价于“sinA+sinB>sinC”。

（3）“a+c>b”等价于“sinA+sinC>sinB”。

（4）“b+c>a”等价于“sinB+sinC>sinA”。

5、三角形△ABC的面积S=(abc)/4R。

其中“R”为三角形△ABC的外接圆半径。

部分三角函数公式余弦定理公式及其推论余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

一、余弦定理公式（1）a^2=b^2+c^2-2bccosA；（2）b^2=a^2+c^2-2accosB；（3）c^2=a^2+b^2-2abcosC。

三角形的余弦定理与正弦定理

三角形的余弦定理与正弦定理三角形是几何学中最基本的形状之一。

在研究三角形的性质和特征时，余弦定理和正弦定理起到了重要的作用。

它们是利用三角形的边长和角度之间的关系来解决各种三角形问题的工具。

本文将详细介绍三角形的余弦定理与正弦定理的定义、公式推导和应用。

一、余弦定理余弦定理是描述三角形边长与角度关系的定理。

对于任意三角形ABC，假设a、b、c分别表示BC、AC和AB的边长，而∠A、∠B和∠C分别表示三角形的内角A、B和C，则余弦定理可以表示为以下公式：c² = a² + b² - 2ab·cosCb² = a² + c² - 2ac·cosBa² = b² + c² - 2bc·cosA其中，cosA、cosB和cosC分别表示角A、B和C的余弦值。

推导过程：我们可以通过向三角形ABC引入高，再利用勾股定理和直角三角形的性质推导余弦定理。

设三角形ABC的高为h，起点为顶点A，终点为D，连接BD和CD，如图所示。

[图示]由于三角形ADC为直角三角形，根据勾股定理，我们可以得到：AC² = AD² + CD² ------ (1)在三角形ABD中，我们可以应用勾股定理得到：AB² = AD² + BD² ------ (2)注意到BD = BC - CD，将其代入式(2)，我们可以得到：AB² = AD² + (BC - CD)²= AD² + BC² + CD² - 2BC·CD ------ (3)由于三角形ABC为平面图形，AD ⊥ BC，所以∠ADC = ∠C。

根据余弦定理，我们可以得到：CD² = AC² + AD² - 2AC·AD·cosC ------ (4)将式(1)代入式(4)，我们可以得到：CD² = (AD² + CD²) + AD² - 2√(AD² + CD²)√AD·cosC= 2AD² + CD² - 2AD·CD·cosC将式(4)代入式(3)，我们可以得到：AB² = 2AD² + BC² - 2BC·CD + 2AD² - 2√(AD² + CD²)√AD·cosC= 4AD² + BC² - 2BC·CD - 2√(AD² + CD²)√AD·cosC= 4AD² + BC² - 2BC·CD - 2AC·AD·cosC由于三角形为平面图形，所以CD = BC·cosA，代入上式得：AB² = 4AD² + BC² - 2BC²·cosA - 2AC·AD·cosC= 4AD² + BC² - 2BC²·cosA - 2AC²·cosC= 4AD² + BC² - 2AC²·cosC - 2BC²·cosA由几何性质可知，4AD² = c²，所以：c² = a² + b² - 2ab·cosC ------ (5)同理，可以推导出余弦定理的其他两个公式。

三角函数中的正弦定理与余弦定理

三角函数中的正弦定理与余弦定理主题：三角函数中的正弦定理与余弦定理引言：三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理等领域广泛应用。

在三角函数中，正弦定理与余弦定理是两个重要的定理，它们可以帮助我们计算三角形的边长和角度。

本教案将介绍正弦定理与余弦定理的原理和应用。

一、正弦定理的原理与应用1. 原理正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c与相应的角A、B、C之间满足如下关系：sin A / a = sin B / b = sin C / c2. 推导通过推导可以得到正弦定理的证明过程，但是本教案不涉及具体推导过程。

3. 应用正弦定理在解决三角形问题中有广泛的应用，例如可以用来计算未知边长或角度。

通过给定的已知信息，利用正弦定理可以求解三角形的各个角度和边长。

二、余弦定理的原理与应用1. 原理余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c与相应的角A、B、C之间满足如下关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos C2. 推导通过推导可以得到余弦定理的证明过程，但是本教案不涉及具体推导过程。

3. 应用余弦定理也在解决三角形问题中有广泛的应用，它可以用来计算未知边长或角度。

通过给定的已知信息，利用余弦定理可以求解三角形的各个角度和边长。

三、正弦定理与余弦定理的比较1. 区别正弦定理与余弦定理在表达形式上有所不同，前者是通过比例关系来描述，后者是通过角度和边长的平方和相互联系。

2. 应用场景正弦定理适用于解决未知边长或角度的问题，特别是在已知两个角和一个边长的情况下比较有用。

而余弦定理适用于计算三角形的边长，特别适合已知三个边长和一个角度的情况。

四、实例分析通过几个实例来演示正弦定理与余弦定理在解决三角形问题中的应用。

这些实例可以帮助学生更好地理解和掌握这两个定理的用法和原理。

小结：正弦定理与余弦定理是解决三角形问题中的重要工具。

了解它们的原理和应用可以帮助学生在解决实际问题时得到准确的答案。

三角形正弦余弦公式大全

三角形正弦余弦公式大全三角形是几何学中的重要概念。

在三角形中，正弦和余弦公式是用来计算三角形的边长和角度的关系的重要公式。

下面是关于三角形正弦和余弦公式的详细解释，包括证明和应用。

①正弦公式：在一个三角形ABC中，假设三个角分别为A、B和C，三条边分别为a、b和c。

那么，正弦公式用于计算三角形的边长和角度之间的关系。

a/sinA = b/sinB = c/sinC这个公式通过正弦比来表示三角形的边长与角度之间的关系。

正弦比是通过三角形的一个角的正弦值与它对应的边长之间的比值来定义的。

证明：根据三角函数的定义，sinA = opposite/hypotenuse，其中opposite是指与角度A相对的边长，hypotenuse是三角形的最长边。

根据这个定义，我们可以写出：a/sinA = b/sinB = c/sinC对于给定的一个角，这个公式说明了角度与它对边的比例是相等的。

这就是为什么叫做正弦公式。

应用：正弦公式可以用于解决各种三角形相关的问题。

例如，如果已知两条边和一个角，可以使用正弦公式来计算缺失的边和角。

此外，正弦公式还可以用于解决三角形的面积问题。

②余弦公式：与正弦公式类似，余弦公式也用于计算三角形的边长和角度之间的关系。

在一个三角形ABC中，假设三个角分别为A、B和C，三条边分别为a、b和c。

那么，余弦公式用于计算三角形的边长和角度之间的关系。

c² = a² + b² - 2abcosC这个公式通过余弦定理来表示三角形的边长与角度之间的关系。

余弦定理是通过三角形的一个角和它对边的长度来定义的。

证明：根据余弦定理，c² = a² + b² - 2abcosC这个定理可以通过将三角形分为两个直角三角形，并使用勾股定理来证明。

应用：余弦公式可以用于解决各种三角形相关的问题。

例如，如果已知三边的长度，可以使用余弦公式来计算三个角的大小。

解三角形(正、余弦定理)

解三角形1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin_B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)； (2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．利用正弦、余弦定理解三角形例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C －b cos C ＝c cos B －c cos A ，且C ＝120°.(1)求角A ；(2)若a ＝2，求c .例2在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6 ＝sin A ，求A 的值； (2)若cos A ＝14，4b ＝c ，求sin B 的值．利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．例4在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足b cos C ＋12c ＝a . (1)求角B ；(2)若a ，b ，c 成等比数列，判断△ABC 的形状．与三角形面积有关的问题例5在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°且cos(B＋C)＝－1114.(1)求cos C的值；(2)若a＝5，求△ABC的面积．例6在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b cos B是a cos C，c cos A的等差中项．(1)求B的大小；(2)若a＋c＝10，b＝2，求△ABC的面积．。