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高中一年级数学试题

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2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围（ ） A ．0a ≤ B ．2a ≥ C ．2a > D ．2a ≤【答案】B【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】由11x -<解得111x -<-<即02x <<， 所以{}02A x x =<<， 因为A B ⊆，所以2a ≥， 故选:B.2．命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是（ ） A ．x +∃∈R ，使得x e +∉R B ．x +∃∉R ，使得x e +∉R C ．x +∃∈R ，使得x e +∈R D ．x +∃∉R ，使得x e +∈R【答案】A【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是“x +∃∈R ，使得x e +∉R ”. 故选：A3．已知cos140m ︒=，则tan50︒等于（ ）AB C D 【答案】B【分析】利用诱导公式化简，求出sin50,cos50︒︒，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得. 【详解】()cos140cos 9050sin500m ︒=︒+︒=-︒=<，则sin50m ︒=-，cos50∴︒sin 50tan 50cos50︒∴︒==︒.故选：B.4．已知函数()tan 4(,R)f x a x a b =+∈且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =（ ）A ．-5B ．-3C ．3D ．随,a b 的值而定【答案】C【分析】先推导()()8f x f x +-=，再根据3lg log 10lg lg 30+=求解即可【详解】由题意，()()()tan 4tan 48f x a x a x f x =+++-+=-，又3lg10lg log 10lg lg3lg lg3lg10lg3⎛⎫+=⋅== ⎪⎝⎭，故3(lg log 10)(lg lg3)8f f +=.又3(lg log 10)5f =，故(lg lg3)853f =-= 故选：C5．已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数， 所以函数()f x 在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B6．已知m 为正实数，且22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（ ） A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D 【分析】()22222max tan 1515sin tan sin sin ≥mx m x x x x+⇒≥-，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立， 可得()222max 15sin tan sin m x x x ≥-.()()()22422222221cos sin 15sin tan sin 151cos 151cos cos cos x xx x x x x xx--=--=--2211716179cos cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+≤-=，当且仅当22116cos cos x x=，即21cos 4x =时取等号.则9m ≥.故选：D7．设sin7a =，则（ ）A ．222log aa a <<B ．22log 2a a a <<C ．22log 2aa a << D ．22log 2aa a <<【答案】D【分析】分别判断出21142a <<2a <211log 2a -<<-，即可得到答案. 【详解】()sin7sin 72a π==-.因为7264πππ<-<，所以12a <<所以21142a <<；因为2x y =在R 1222a =<<因为2log y x =在()0,∞+上为增函数，且12a <<2221log log log 2a <<211log 2a -<<-；所以22log 2aa a <<.故选：D8．设函数()()()cos cos f x m x n x αβ=+++，其中m ，n ，α，β为已知实常数，x ∈R ，若()π002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．对任意实数x ，()0f x =B ．存在实数x ，()0f x ≠C ．对任意实数x ，()0f x >D ．存在实数x ，()0f x <【答案】A【分析】根据π(0)()02f f ==，可推出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=-，整理化简后可得m n =或m n =-，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.【详解】由题意知π(0)()02f f == ，即cos cos sin sin 0m n m n αβαβ+=--= ，即cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=- ，两式两边平方后可得 22m n =，故m n =或m n =-，若0m n =≠ ，则cos cos sin sin αβαβ=-=-， ，故π2π,Z k k αβ=++∈， 此时()cos(π2π)cos()cos()cos()0f x m x k m x m x m x ββββ=++++=-++=++ ， 若0m n =-≠ ，则cos cos ,sin sin αβαβ== ，故2π,Z k k αβ=+∈ ， 此时()cos(2π)cos()0f x m x k m x ββ=++-+= ，若0m n == 或0m n =-= ，则()0f x = ，故对任意实数x ，()0f x =， 则A 正确，B,C,D 错误， 故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m 和n 之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.二、多选题9．下列三角函数值为负数．．的是（ ） A ．3tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．tan505︒C ．sin7.6πD ．sin186︒【答案】BCD【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】对于A ，33tan tan (1)144ππ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭，故A 为正数； 对于B ，tan505tan(360)tan145tan350145+︒︒=︒=︒=-︒<，故B 为负数； 对于C ，sin7.6π2sin(80.4)sin05πππ=-=-<，故C 为负数；对于D ，sin186sin(1806)sin 60︒=︒+︒=-︒<，故D 为负数； 故选：BCD10．下列计算或化简结果正确的是（ ） A ．若1sin cos 2θθ⋅=，cos tan 2sin θθθ+= B ．若1tan 2x =，则2sin 2cos sin x x x =- C ．若25sin 5α=，则tan 2α= D ．若α为第二象限角，则22cos sin 21sin 1cos αααα+=-- 【答案】AB【分析】利用22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.【详解】对于A 选项：1sin cos 2θθ=，cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos θθθθθθθθθ∴+=+==，故A 正确； 对于B 选项：1tan 2x =，则122sin 2tan 221cos sin 1tan 12x x x x x ⨯===---，故B 正确； 对于C 选项：∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定，故C 错误； 对于D 选项：α为第二象限角， sin 0,cos 0αα∴><,22cos sin cos sin cos sin =0cos sin cos sin 1sin 1cos αααααααααααα∴++=-+=--,故D 错误. 故选：AB.11．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确的有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD【解析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解； 当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.12．已知函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11xg x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ） A ．1αβ+= B ．αββα=+C ．32αβ-<-D ．2αβ->-【答案】BD【分析】先说明,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称，由题意可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，化简可得αββα=+，判断B;写出αβ+的表达式，利用基本不等式可判断4αβ+>，判断A;利用零点存在定理判断出322α<<，写出αβ-的表达式，由此设函数13,(2)1()12x h x x x <<-=--，根据其单调性可判断C,D . 【详解】对于函数,11xy x x =≠- ，有,11y x y y =≠-， 即函数,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称， 由题意函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β， 可知α为(),21,1x xy y x x ==>-的图象的交点的横坐标， β为()2,log ,11xy y x x x ==>-的图象的交点的横坐标， 如图示，可得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，则2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=， 故1)(0ααβ--=，即αββα=+，故B 正确； 由题意可知1,10αα>∴-> ， 所以11(111122241)11ααααβαααα+=-+=-+-++≥-⋅≥--， 由于()22221220,2f α=-≠-∴-≠=，即4αβ+>，A 错误； 因为32332232123220f ⎛⎫=- ⎪⎝=-->⎭，()22202221f =-=-<-， 且()()21111x f x x x =-+>-为单调减函数， 故()()211x x f x x x =->-在3(,2)2上存在唯一的零点 ，即322α<< ，故13,(2)1112αβαααααα-=-=--<<--， 设13,(2)1()12x h x x x <<-=--，则该函数为单调递增函数， 故3311()122322212()h h x >=--=->--，且1(2)211()02h h x =--=-<，故3202αβ-<-<-<， 故C 错误，D 正确， 故选：BD【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，从而可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，然后写出αβ+以及αβ-的表达式，问题可解.三、填空题13．已知()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---.若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】13-【分析】利用三角函数的诱导公式化简()f θ，结果为cos θ，结合π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，再利用诱导公式化简5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为πcos()6θ--，即得答案.【详解】由题意()()()()π3πsin cos tan π(cos )sin (tan )22cos tan πsin π(tan )(sin )f θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===-----， 由π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，故5π5πππ1cos cos[π()]cos()66663f θθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13-14．若正数a ，b 满足24log log 8a b +=，48log log 2a b +=，则82log log a b +的值为__________. 【答案】523-【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩即可求解.【详解】因为24log log 8a b +=，所以221log log 82a b +=，又因为48log log 2a b +=，所以2211log log 223a b +=，联立22221log log 8211log log 223a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩，所以8222152log log log log 33a b a b +=+=-，故答案为：523-. 15．已知实数,[0,2]a b ∈，且844a b +=，则22b a -的最大值是_______________． 【答案】2【分析】由已知可得22b a-=，令2a x =，构造函数()[1,4]f x x =∈，根据函数的单调性，即可求出最大值. 【详解】解：由844a b +=，可知()()()()22844222222b a b a b a b a =-=-=+-， 则82222b a b a -=+，且有2b =22b a ∴-=，令2a x =，[0,2]a ∈()[1,4]f x x =∈，可知()f x 在[1,4]上单调递减，max 8()(1)24f x f ∴====，即22b a -的最大值是2， 故答案为：2.16．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么经过_______h 污染物减少50%（精确到1h ）？取lg 0.50.3=-，lg 0.90.045=- 【答案】33【分析】代入给定的公式即可求解. 【详解】由题知， 当0=t 时，解得0P P =，当5t =时，()500110%ekP P P -=-=，解得：1ln 0.95k =-， 所以500.9t P P =， 当050%P P =时，则有：50000.950%0.5tP P P ==， 即50.90.5t=，解得：0.9lg 0.50.35log 0.55533lg 0.90.45t -==⨯=⨯≈-. 故答案为：33.四、解答题17．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=.(1)解关于x 的不等式2tan cos tan 0x x βαβ-+<的解集（解集用α的三角值表示）； (2)求tan β的最大值.【答案】(1)1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】(1)根据题意2sin cos tan 1sin ααβα=+，用α的三角函数值替换β的三角函数值，从而解一元二次不等式即可； (2)利用基本不等式求解. 【详解】（1）2sin cos tan 1sin ααβα=+，∴()22sin 1sin sin 0x x ααα-++<， ()()sin 1sin 0x x αα⋅--<，因为1sin sin αα<所以1sin sin x αα<<， ∴原不等式解集1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）222sin cos tan tan 2sin cos 2tan 1αααβααα===++当且仅当22tan 1α=即tan α=时取得等号.18．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了min t 会与时针重合，一天内分针和时针重合n 次.(1)建立t 关于n 的函数关系；(2)求一天内分针和时针重合的次数n .【答案】(1)72011t n =. (2)22次. 【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案. 【详解】（1）设经过min t 分针就与时针重合，n 为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为()2ππrad/min 6030=， 时针旋转的角速度为()2ππrad/min 1260360=⨯，所以ππ2π30360t n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即72011t n =. （2）因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ），所以720144011n ≤，于是22≤n , 故时针与分针一天内只重合22次.19．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=.(1)求函数()y f θ=的解析式，并求π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=()0,πθ∈，求4πtan 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，12(2) 【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【详解】（1）因为1sin 2α=-，且0m <，所以7π6α=，由此得()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ππ7π5π1sin sin 33662f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由()f θ=知7ππsin sin 664θθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由于()0,πθ∈，得ππ7π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，与此同时πsin 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭由平方关系解得：πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin cos 4π36tan tan ππ33cos sin 36θθπθθθθ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=-=== ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（a 为常数）.(1)当1a =，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（参考数据：lg30.5=，lg50.7=） (2)若函数()f x 为偶函数，求()f x 在区间[]2,1--上的值域.【答案】(1)0.3 (2)999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求a ，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当1a =时，()lg 254x x f x -=-，此时1122119lg 254lg 2lg 2lg3lg510.70.3255f -⎛⎫-=-=-==-=-= ⎪⎝⎭（2）函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++的定义域为()(),00,∞-+∞，()110110lg 52lg 52lg lg 55x xx x x x x x f x a a ---+-=-++=+()lg 110lg5lg 110lg5x x x x a =--++- ()101101lg 52lg 52lg lg 22x x x x x x x xf x a a ---+=-++=+ ()lg 101lg2lg 110lg2x x x x a =--++-由偶函数的定义得恒有()()=f x f x -即：lg5lg5lg 2lg 2x x x x a a --=--也就是恒有()lg2lg5lg5lg2x x x xa -=-,所以1a =-当[]2,1x ∈--时，()()()1102lg 25lg 52lg lg 1101101x x x x x x x f x ---⎛⎫=--+==-+ ⎪++⎝⎭， 因为函数101x y =+为[]2,1--上的增函数，所以()f x 在[]2,1--单调递减，∴[]2,1x ∈--，()999lg ,lg 11101f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()f x 在[]2,1--上值域999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y （元）与发车时间间隔t （分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当812t ≤≤时，单程营业额Y 与60412t t-+成正比；当58t ≤≤时，单程营业额会在8t =时的基础上减少，减少的数量为()2408t -.(1)求当512t ≤≤时，单程营业额Y 关于发车间隔时间t 的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均120t 次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间[]8,12t ∈，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额R 最大？求出该最大值.【答案】(1)2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. (2)10t =时，max 22080R =,【分析】（1）由题意设当812t ≤≤时的函数表达式，由12t =时满载求得比例系数，进而求得当58t ≤≤时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得6012040412R t t t ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，采用换元并结合二次函数性质,求得答案. 【详解】（1）当812t ≤≤时，设60412Y a t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，a 为比例系数， 由12t =时满载可知55042200Y =⨯=， 即6041212220012a ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则40a =， 当8a =时，6040481214608Y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， 故当58t ≤≤时，()221460408406401100Y t t t -+=--=-, 故2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. （2）由题意可得6012040412R t t t⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 化简得211192001531R t t ⎛⎫=-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 令111,,812u u t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2192001531R u u =-++， 当312(15)10u =-=-，即10t =时，[]108,12∈符合题意，此时max 22080R =. 22．已知函数()32x a f x x =+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a 是常数. (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)设函数()()2log g x f x a x =-，试问，函数()g x 是否有零点，若有，求a 的取值范围；若没有，说明理由.【答案】(1)⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭(2)答案见解析【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.【详解】（1）若()0f x ≥恒成立，即恒有32x a x ≥-⋅设()2x h x x =-⋅，任取121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且满足12x x <，由于1222x x <，由不等式性质可得121222x x x x -⋅>-⋅，即()()12h x h x >， 所以函数()g x 在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()max 12h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以3a ≥a ≥；所以a 的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. （2）由题意可知232log 0x a a x x +-=，即232log 0x a x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数2x y =单调递增，23log y x x =-单调递减， 所以231log ,72x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当0a ≥时，232log 0x a x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭； 当a<0时，2312log ,,22x y a x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦单调递增，2312log 7,42x y a x a a x ⎛⎫⎤=+-∈+ ⎪⎥⎝⎭⎦，70a >或1402a +<即07a <<或8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.综上，a >8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.。

四川省雅安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)

四川省雅安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)

雅安市2023-2024学年下期期末教学质量检测高中一年级数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数所表示的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．从小到大排列的数据1，2，3，7，8，9，10，11的第三四分位数为（）A ．B ．9C ．D ．103．复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在梯形ABCD 中，，E 在BC 上，且，设，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，则（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则()3i 1i -172192z 1i 22i z z +-=+z =31i 515--31i 515-+11i 155-11i 155+2AB DC =12CE EB =AB a = AD b = DE = 1233a b + 1233a b - 2133a b + 2133a b - αm α⊥n α∥m n⊥m α∥n α∥m n ∥m α⊥m n ⊥n α∥m α∥m n ⊥n α⊥6．一艘船向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东方向上，航行后到B 处，看到灯塔S 在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔S 的距离（即BS 的长）为（ ）AB ．C ．D ．7．在复平面内，满足的复数对应的点为Z ，复数对应的点为，则的值不可能为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知下面给出的四个图都是正方体，A ，B 为顶点，E ，F 分别是所在棱的中点，① ②③ ④则满足直线的图形的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座．为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是（ ）30︒10nmile 75︒5i 11iz --=-z 1i --0Z 0Z Z AB EF ⊥A ．讲座前问卷答题得分的中位数小于70B ．讲座后问卷答题得分的众数为90C ．讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差D ．讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差10．若平面向量，满足，则（ ）A ．B ．向量与的夹角为C ．D ．在上的投影向量为11．如图，在棱长为1的正方体中，M 是的中点，点P 是侧面上的动点，且平面，则（ ）A ．P 在侧面B ．异面直线AB 与MP 所成角的最大值为C ．三棱锥的体积为定值D ．直线MP 与平面所成角的正切值的取值范围是第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．a b 2a b a b ==+= 2a b ⋅=- a a b - π3a b -= a b - a 32a 1111ABCD A B C D -11A B 11CDD C MP ∥1AB C 11CDD C π21A PB C -12411ABB A ⎡⎣12．某学校高中二年级有男生600人，女生400人，为了解学生的身高情况，现按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则所抽取的男生人数为________．13．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，BC 边上，则________．14．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有8个面为正三角形，6个面为正方形的“阿基米德多面体”，包括A ，B ，C 在内的各个顶点都在球O 的球面上．若P 为球O 上的动点，记三棱锥体积的最大值为，球O 的体积为V ，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知复数，（其中）．（1）若为实数，求m 的值；（2）当时，复数是方程的一个根，求实数p ，q 的值．16．（15分）已知向量，．（1）若与垂直，求实数k 的值；（2）已知O ，A ，B ，C 为平面内四点，且，，．若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．17．（15分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间ABC △()πsin π2A A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭6b =c =P ABC -1V 1V V=12i z m =-2i z m =-m ∈R 12z z 1m =12z z ⋅220x px q ++=()1,2a =- ()3,2b =2ka b - 2a b + 2OA a b =+ 3OB a b =+ ()3,2OC m m =-，，…，分成5组，得到下图所示的频率分布直方图．（1）求图中a 的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？18．（17分）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知________．（1）求角C 的大小；（2）若点D 在AB 上，CD 平分，，，求CD 的长；（3a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．19．（17分）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD 是正方形，底面ABCD ，，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点[)50,60[)60,70[]90,10085%()in cos s a C C a B +=+πsin 62a b c B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()s sin s in in C A B A -=-ABC △ACB ∠2a =c =PA ⊥PA AB =（1）平面AEF 与平面PBC 是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；（2）求二面角的大小；（3）若直线平面AEF ，求直线AB 与平面AEF 所成角的正弦值．B PCD --PC ∥数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．A 8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．11题选对1个得2分，选对2个得4分，全部选对的得6分，有选错的得0分；10题选对1个得3分，全部选对的得6分，有选错的得0分．9．ACD10．AD11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．3013．314四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）【解析】（1），因为为实数，所以，解得．故为实数时，m 的值为．（2）当时，，，则复数，因为是方程的一个根，所以，化简得，由解得()()()2122232i 2i i 2i i 11m m m m z m m m m z +--+-===-++12z z 220m -=m =12z z 1m =12i z =-21i z =-()()1221i =1-3i z i z =--⋅13i -220x px q ++=()()2213i 13i 0p q -+-+=()16123i 0p q p +--+=()160,1230,p q p ⎩+-=-+⎧⎨=4,20.p q ⎧⎨⎩=-=16．（15分）【解析】（1），则，因为与垂直，所以，解得．（2），，，，因为A ，B ，C 三点共线，所以．所以，解得．17．（15分）【解析】（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0．2，0.4，0.3，由，解得．则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为．（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．方法1：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，设为，则，解得．所以，每天应该进苹果．()()()21,223,26,42ka b k k k -=--=--- ()()()221,23,25,2a b +=-+=- 2ka b - 2a b +()()562420k k ----=229k =()()()21,223,27,2OA a b =+=-+= ()()()331,23,26,4OB a b =+=-+=- ()()()6,47,21,6AB OB OA =-=--=-- ()()()3,27,237,22AC OC OA m m m m =-=--=--- AB AC∥()()22637m m ---=-⨯-2m =[)50,60[)60,70[]90,10010a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =[)50,60[)60,70[]90,100()506060707080809090100005005020403835kg 22..222....+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%90kg 10031007..-⨯=85%[]90,100()kg x ()0.031000.15x ⨯-=()95kg x =95kg方法2：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为．所以，每天应该进苹果．18．（17分）【解析】（1）若选条件①，依题意，得，根据正弦定理得，因为，所以，则，，所以．又，则，所以．若选条件②．由正弦定理得，所以，，，即．因为，所以，所以．若选条件③在中，因为，，所以，90kg 10.03100.7-⨯=85%[]90,10085%()g .0.8507901095k 10.7-+⨯=-95kg cos sin a A C a +=sin sin cos si n A A C C A +=π02A <<sin 0A >i 1cos n C C +=1c os C C -=1122cos C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πC <<ππ=66C -π3C =2sin sin s n πsin i 6A B C B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin sin sin 2s sin 1in c 2os 2B A B C B B B C ⎫++++==⎪⎪⎭sin cos cos 2sin sin B C B C B ++=i sin sin cos s n cos cos sin sin C B C B B C B C B +=++i sin s n cos sin C B B C B =+1c os C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πC ∈ππ=66C -π3C =ABC △()s sin s in in C A B A -=-πA B C ++=()()n s s s n i i in C A C A A +-=-即，化简得．又，则，故．因为，所以．（2）依题意，，即，则，在中，根据余弦定理，有，即，解得或（舍去），所以．（3）依题意，的面积，所以．又为锐角三角形，且，则，所以．又，则，所以．由正弦定理，得，所以，所以所以a 的取值范围为．19．（17分）【解析】（1）平面平面PBC．理由如下：因为平面ABCD ，平面ABCD ，sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A C A A C A C A +-=-sin co 2s sin A C A =()0,πA ∈sin 0A ≠cos 12C =0πC <<π3C =1π1π1πsin sin sin 262623D a b a CD b C ⋅+⋅=⋅⋅⋅()b CD a b ⋅+=CD =ABC △22222π2cos3c a b ab a b ab =+-=+-2742b b =+-3b =1a =-CD ==ABC △sin 1122ABC S C ab ab ===△4ab =ABC △π3C =2ππ0,32A B ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭π2π63B <<π02B <<ππ62B <<tan B >sin sin B a b A =sin sin A Bb a =221s sin sin s 2in π4sin 223B a B ab B BB ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭===228a <<a <<AEF ⊥PA ⊥BC ⊂所以，因为，又．所以平面PAB ，故．在中，，E 为PB 的中点，所以．因为平面PBC ，平面PBC ，，所以平面PBC ．又平面AEF ，所以平面平面PBC ．（2）不妨设，计算可得，，又，，，所以，则，作于G ，连结DG ，又，，可知，所以，所以是二面角的平面角．在中，由，，则，，连结BD ，知中，根据余弦定理，得，所以．（3）因为直线平面AEF ，平面PBC ，平面平面，所以直线直线EF ．又E 为线段PB 的中点，所以F 为线段BC 上的中点．由（2）知，所以．设BG 与EF 交点为H ，连结AH ，由（1）知，平面平面PBC ，平面平面，PA BC ⊥BC AB ⊥PA A AB = BC ⊥BC AE ⊥PAB △PA AB =AE PB ⊥PB ⊂BC ⊂PB BC B = AE ⊥AE ⊂AEF ⊥1AB =PB PD ==PC ==PB PD =BC DC =PC PC =PBC PDC △≌△PCB PCD =∠∠BG PC ⊥BC DC =CG CG =GBC GDC △≌△90DGC BGC ∠=∠=︒BGD ∠B PC D --Rt PBC △C P P BG C B B =⋅⋅1=BG =DG =BD =GBD △2221cos 22BG D D BGD DG G B BG +-=∠⋅==-120BGD ∠=︒PC ∥PC ⊂PBC AEF EF =PC ∥BG PC ⊥BG EF ⊥AEF ⊥AEF PBC EF =所以平面AEF ．所以直线AB 与平面AEF 所成角为．又由EF ，F 为BC 上的中点，可得H 为BG 的中点，可知，，又，所以．直线AB 与平面AEFBH ⊥BAH ∠PC ∥12BH BG ===1AB =sin A BA BH H B =∠=。

高一年级数学期末测试试卷

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高一年级数学期末测试试卷数学试题一、 单选题1．若集合{}2320A x ax x =-+=至多含有一个元素，则a 的取值范围是（ ）．A ．(]9,0,8⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭ C ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．90,8⎛⎤⎥⎝⎦2．①0∈∅，①{}∅∈∅，①{}0∅=，①满足{}1,2A ⊆ {}1,2,3,4的集合A 的个数是4个，以上叙述正确的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知a ∈R ，b ∈R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则20192020a b +的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．24．已知命题:R p x ∀∈，220x x a +->.则p 为假命题的充分不必要条件是（ ）A ．1a >-B ．1a <-C ．1a ≥-D ．1a ≤-5．已知正数x 、y 满足22933x y xy ++=，则3x y +的最大值为（ ）A ．1 BC ．2 D6．已知函数()2211,2,21x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪-⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,2--B ．[)3,0-C ．(],2-∞-D ．(],0-∞7．若1sin cos 3x x +=，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin cos x x -的值为（ ）A ．BC ．D ．138．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，对于()12,0,x x ∀∈+∞且12x x ≠，有()()1221210x f x x f x x x ->-，()216f =，142f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()00f =，则不等式()80f x x ->的解集为（ ）A ．()(),22,∞∞--⋃+B ．1,00,22⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭（） C ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,02,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭ 二、多选题9．（多选）{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，且A B A ⋃=，则m 的可能值为（ ） A ．13- B ．13 C ．0 D ．12- 10．下列推理正确的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b >D ．若a b c >>，则a c b c a b a c-->-- 11．下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4B ．()12x f x x +=+图象关于点()2,1-成中心对称C ．函数1y x =的单调递减区间是()(),00,∞-+∞D ．幂函数()()23433m f x m m x -=-+在()0,∞+上为减函数，则m 的值为1 12．若函数244y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]8,4--，则实数m 的值可能为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 三、填空题13．函数()221log 5428xy x x =+-+-的定义域_____ 14．已知π1cos 62α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 15．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．16．设函数()23y g x =-+是奇函数，函数()132x f x x -=+的图像与()g x 的图像有2022个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于_________ 四、解答题17．已知非空集合{|121}P x a x a =+≤≤+，{|25}Q x x =-≤≤．(1)若3a =，求R ()P Q ⋂；(2)若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．若函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x =． (1)求a 、b 的值；(2)若不等式()220x x f k -⋅≥在[1,1]x ∈-上有解，求实数k 的取值范围；19．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数()33x f x a -=--（0a > 且1a ≠）的定点M .(1)求sin 2cos +tan ααα-的值；(2)求()()()()3πsin πcos 2tan 3πcos 2πsin ααααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-+-+-的值.20．某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3x -与1t +成反比例，当年促销费用0=t 万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．(1)求x 关于t 的函数；(2)将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数；(3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）21．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈（1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同实根，求实数a 的取值.22．已知函数2()1|1|f x x k x =---，k ①R ．(1)若()y f x =为偶函数，求k 的值；(2)若()y f x =有且仅有一个零点，求k 的取值范围；(3)求()y f x =在区间[0,2]上的最大值．。

2022-2023学年天津市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年天津市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．若{}24xA x =<，{}12B x x =∈-<N ，则A B =（ ）A ．{}12x x -<<B ．{}0,1C ．{}1D ．{}13x x -<<【答案】B【分析】分别解指数不等式与绝对值不等式，列举法写出集合B ，再求交集可得结果. 【详解】∵242x x <⇒<，|1|213x x -<⇒-<< ∴{|2}A x x =<，{0,1,2}B = ∴{0,1}A B =. 故选：B.2．命题“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为（ ） A ．x ∃∈R ，210x x ++≥ B ．x R ∃∉，210x x ++≥ C ．x ∀∈R ，210x x ++≥ D ．x R ∀∉，210x x ++≥【答案】C【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解. 【详解】“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为“x ∀∈R ，210x x ++≥”， 故选：C.3．已知3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．45C ．35 D ．45-【答案】C【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项. 【详解】因为23sin sin cos cos 362665πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题4．已知在三角形ABC 中，1sin 3A =，则()cosBC +的值等于（ ）A B ．C ．D ．89【答案】C【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为在三角形ABC 中，πA B C ++=，则πC B A +=-， 所以()cos =cos(π)cos B C A A +-=-，又1sin 3A =，所以cos A ==所以()cos =B C +± 故选：C .5．若0.62a =，πlog 3b =，22πlog sin 3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【分析】利用指数、对数的单调性，以及三角函数特殊值，即可得出结果. 【详解】解：0.60221a =>=， πππ0log 1log 3log π1=<<=，01b <<，2222log sin πlog log 103c ==<=，∴a b c >>， 故选：A.6．要得到函数()sin(2)4f x x π=+的图象，可将函数()cos2g x x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移8π个单位 C ．向右平移4π个单位D ．向右平移8π个单位【答案】D【分析】先将cos2x 转化为sin[2()]4x π+，由此根据三角函数图像变换的知识判断出正确选项.【详解】()cos2sin(2)sin[2()]24g x x x x ππ==+=+，()sin[2()]8f x x π=+，因为()()848x x πππ+=+-，所以需要将()g x 的图象向右平移8π个单位. 故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，0πϕ≤<2，若对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ=（ ）A ．π6B ．5π6C ．7π6D ．11π6【答案】D【分析】根据题意可知，函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，所以2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，根据0πϕ≤<2即可求得ϕ的值.【详解】由函数()()sin 2f x x ϕ=+对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可知函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，即ππsin 2133f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，即π2ππ2π2π,Z 236k k k ϕ=-+=-+∈ 又因为0πϕ≤<2， 所以1k =时，π611ϕ= 故选：D 8．函数()sin 2cos x xf x x=-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的x ∈R ，2cos 0x ->，则函数()f x 的定义域为R ，()()()()sin sin 2cos 2cos x x x xf x f x x x---===---，则函数()f x 为偶函数，排除BC 选项，当02x π<<时，sin 0x >，则()sin 02cos x xf x x=>-，排除D 选项.故选：A.9．已知函数()()πsin 2cos 206f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．411,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．411,36⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．513,36⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】先化简函数式，然后根据x 的范围求出π23x ω+的范围，()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，再利用正弦函数相关知识求ω的范围．【详解】πππ3π()sin(2)cos2sin 2cos cos2sin cos 2cos2)66623f x x x x x x x x ωωωωωωωω=++=++++，因为当[]0,πx ∈时，πππ2,2π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 在[]0,π上有且仅有3个零点，所以π3π2π4π3ω+<，综上：43611ω<， 故选：A10．已知函数()11,02lg ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在不相等的实数a ，b ，c ，d 满足()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为（ ） A ．()0,+∞B ．812,10⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．612,10⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．810,10⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】将问题转化为y m =与|()|f x 图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围.【详解】由题设，将问题转化为y m =与|()|f x 的图象有四个交点，1,221,20|()|2lg ,01lg ,1xx xx f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪+-<≤=⎨⎪-<≤⎪⎪>⎩，则在(,2]-∞-上递减且值域为[0,)+∞；在(2,0]-上递增且值域为(0,1]；在(0,1]上递减且值域为[0,)+∞，在(1,)+∞上递增且值域为(0,)+∞；|()|f x 的图象如下：所以01m <≤时，y m =与|()|f x 的图象有四个交点，不妨假设a b c d <<<， 由图及函数性质知：142011010a b c d -≤<-<≤<≤<<≤，易知：4a b +=-，101(2,]10c d +∈， 所以61(2,]10a b c d +++∈-. 故选：C二、填空题11．120318(π1)lg2lg52-⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭___________.【答案】4【分析】根据指数对数运算性质化简计算即可【详解】120318(π1)lg2lg52-⎛⎫+--++ ⎪⎝⎭()()()21313212lg 25--=+-+⨯4121=+-+ 4=故答案为：4.12．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm ，内弧线的长为20cm ，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm ，则该扇形的中心角的弧度数为____________．【答案】209【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为α的关系，可求得9cm OC =，进而可得该扇形的中心角的弧度数. 【详解】解：如图，依题意可得弧AB 的长为60cm ，弧CD 的长为20cm ，设扇形的中心角的弧度数为α 则,AB OA CD OC αα=⋅=⋅，则60320OA OC ==，即3OA OC =． 因为18cm AC =，所以9cm OC =，所以该扇形的中心角的弧度数209CD OC α==． 故答案为：209. 13．已知tan 2θ=，则2sin cos sin sin θθθθ++的值为______.【答案】2310【分析】进行切弦互化即可求值【详解】22222sin sin tan 4cos 1sin θθθθθ===-，∴24sin 5θ=，∴22sin cos 11423sin 1sin 1sin tan 2510θθθθθθ++=++=++=.故答案为：231014．函数()2sin cos f x x x =+在区间2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是______.【答案】14##0.25【分析】由题得()2cos cos 1f x x x =-++，转化为求函数()21g t t t =-++，12[]2t ∈-的最小值得解.【详解】解：()221cos cos cos cos 1f x x x x x =-+=-++，设π212cos ,[,π],[432t x x t =∈∴∈-，所以()21g t t t =-++，12[2t ∈-.二次函数抛物线的对称轴为112(1)2t =-=⨯-, 由于111112424g ⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭，212211124g +=-=>⎝⎭.所以函数的最小值是14.故答案为：1415．已知函数()()21ln 11f x x x=+-+，若实数a 满足()()313log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是______． 【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据奇偶性定义可判断出()f x 为定义在R 上的偶函数，从而将所求不等式化为()()32log 21f a f ≤；根据复合函数单调性的判断以及单调性的性质可确定()f x 在[)0,∞+上单调递增，由偶函数性质可知()f x 在(],0-∞上单调递减，由此可得3log 1a ≤，解不等式即可求得结果. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()()21ln 11f x x f x x-=+-=+， f x 为定义在R 上的偶函数，()()()()313333log log log log 2log f a f a f a f a f a ⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭；当0x ≥时，21y x =+单调递增，()2ln 1y x ∴=+在[)0,∞+上单调递增；又11y x=+在[)0,∞+上单调递减，f x 在[)0,∞+上单调递增，()f x 图象关于y 轴对称，f x 在(],0-∞上单调递减；则由()()32log 21f a f ≤得：3log 1a ≤，即31log 1a -≤≤，解得：133a ≤≤，即实数a 的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．已知关于x 函数()322253sin x tx x x tf x x t++++=+在[]2022,2022-上的最大值为M ，最小值N ，且2022+=M N ，则实数t 的值是______.【答案】1011【分析】先利用常数分离法化得函数3253sin ()x x x f x t x t ++=++，再构造函数()3253sin x x xg x x t++=+，判断得()g x 为奇函数，从而利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为()()233222253sin 53sin t x t x x x x tx x x t f x x t x t++++++++==++3253sin x x x t x t ++=++，[]2022,2022x -∈，令()3253sin x x xg x x t++=+，[]2022,2022x -∈，则()()f x g x t =+，因为()g x 定义域关于原点对称，()33225()3()sin()53sin ()()x x x x x xg x g x x t x t-+-+-----===--++， 所以()g x 是在[]2022,2022-上的奇函数， 故由奇函数的性质得()()max min 0g x g x +=，所以()()max min max min ()()2022M N f x f x g x t g x t +=+=+++=， 所以22022t =，则1011t =. 故答案为：1011.【点睛】关键点睛：由于奇函数的图像关于原点对称，所以其最大值与最小值也关于原点对称，这一性质是解决本题的关键所在.三、解答题17．已知0,022ππαβ<<<<，且3cos ,cos()510ααβ=+=. (1)求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求β的值.【答案】 (2)4πβ=.【分析】（1）由同角平方关系可得4sin 5α，再由二倍角正余弦公式有7cos 225α=-、24sin 225α=，最后利用和角正弦公式求值.（2）由题设可得sin()αβ+=，根据()βαβα=+-，结合差角余弦公式求出β对应三角函数值，由角的范围确定角的大小. 【详解】（1）由02πα<<，3cos 5α=，则4sin 5α， 所以27cos 22cos 125αα=-=-，24sin 22sin cos 25ααα==，而17sin 22cos 2)425αααπ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭（2）由题设0αβ<+<π，而cos()αβ+=sin()10αβ+=，而cos cos[()]cos()cos 3sin (45)si 5n βαβααβααβα=+-=+++==又02βπ<<，则4πβ=.18．已知函数ππ())cos()sin(2π)(0)44f x x x x ωωωω=+⋅+-+>，且函数()f x 的最小正周期为π．(1)求函数()f x 的解析式； (2)若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值，并指出此时x 的值．【答案】(1)()2sin(2)3f x x π=+(2)0x =时，最小值为 512x π=时，最大值为 2．【分析】（1）利用三角恒等变换可得π()2sin(2)3f x x ω=+，再由最小正周期可得解；（2）利用三角函数的图象变换可得π()2sin(2)3g x x =-，再利用整体法可得解.【详解】（1）∵函数ππ())cos()sin(2π)44f x x x x ωωω=+⋅+-+ππ)sin 22sin 22sin(2)23x x x x x ωωωωω=++=+=+的最小正周期为π，∴2ππ2ω=，解得1ω=，π()2sin(2)3f x x ∴=+. （2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度， 得到函数πππ()2sin 2()2sin(2)333g x x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦的图象，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当233x ππ-=-，即当0x =时，函数()g x 取得最小值为当ππ232x -=，即当5π12x =时，函数()g x 取得最大值为 2．19．已知函数()2cos 2cos f x x x x =+. (1)求函数()f x 的周期和单调递减区间；(2)将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到()g x 的图象，已知()02313g x =，0,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 值.【答案】(1)π，()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先根据三角函数的平移变换规则求出()g x 的解析式，根据()02313g x =，得到05sin 2613x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出0cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后根据两角和的余弦公式计算可得；【详解】（1）解：∵()2cos 2cos f x x x x =+2cos 21x x =++122cos 212x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππ==， 令()3222262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得()263k x k k ππππ+≤≤+∈Z . 故函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）解：由题意可得()2sin 212sin 216666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵()002sin 2163231g x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴05sin 2613x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以052266x πππ≤-≤，则012cos 2613x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，因此0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦125113132=-⨯=. 20．已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =．（1）求()f x 的解析式；（2）已知0a >，0b >，且128a b+=，若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，求实数t 的取值范围．【答案】（Ⅰ）22()1x f x x =+；（Ⅱ）(2⎤⎦． 【解析】（1）根据题意分析可得()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解可得m 、n 的值，则可得出函数()f x 的解析式； （2）因为128a b +=，所以112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开利用基本不等式可得122b a +≥， 则只需使1()2f t >，然后求解不等式即可解得实数t 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，函数2()1mx n f x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， 则(0)0f =，可得0n =，则2()1mx f x x =+， 又由()11f =得，则12m =，可得2m =， 则22()1x f x x =+． （2）因为0a >，0b >，且128a b+=，所以1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22b a a b =，即14a =，12b =时，等号成立， 若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，则1()2f t >，即22112t t >+，解得：22t <[]1,1t ∈-，所以实数t 的取值范围是(2⎤⎦．【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：（1）当奇函数()f x 在0x =处有意义时，则有()00f =；（2）若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，只需使min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后根据128a b +=，利用基本不等式求解2b a +的最小值．。

2022-2023学年江苏省南京市高淳中学高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省南京市高淳中学高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

高淳中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）{}{}1,2,3,2A B x N x ==∈≤∣A B ⋃=A. B. C. D.{}2,3{}0,1,2,3{}1,2{}1,2,32.命题“”的否定是（ ）0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭A. B.0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭C. D.0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈≤ ⎪⎝⎭0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭3.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）3π6πB. C. D.13π23π43π4.，不等式恒成立，则的取值范围为（）x R ∀∈2410ax x +-<a A.B.或4a <-4a <-0a =C.D.4a ≤-40a -<<5.已知，则（ ）0.50.5e ,ln5,log e a b c -===A.B.c a b <<c b a <<C.D.b a c <<a b c <<6.已知函数是定义在上的奇函数，，且，则()f x R ()()4f x f x =+()11f -=-（）()()20202021f f +=A. B.0 C.1D.21-7.已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（()()()e ,ln ,sin x f x x g x x x h x x x =+=+=+,,a b c ,,a b c ）A.B.c b a <<b a c <<C.D.a c b <<c a b <<8.已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（ ()()sin f x A x ωϕ=+）A.B.122y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()21y f x =+C.D.122x y f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12x y f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（ ）()0,∞+A. B.21y x =+3y x =C. D.23y x =3xy -=10.若，则下列不等式正确的是（ ）110a b <<A. B.a b <a b<C. D.a b ab +<2b a a b +>11.若函数，则下列选项正确的是（ ）()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A.最小正周期是πB.图象关于点对称,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.在区间上单调递增7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.图象关于直线对称12x π=12.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令x ∈R []x x []y x =，以下结论正确的是（ ）()[]22f x x x =-A.()1.10.8f -=B.为偶函数()f x C.最小正周期为()f x 12D.的值域为()f x []0,1第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）5log 25+=14.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：__________.（1），若则12,x x R ∀∈12x x >()()12f x f x >（2）()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=15.在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于，两xOy Ox ,αβP Q 点，的纵坐标分别为.则的终边与单位圆交点的纵坐标为__________.,P Q 34,55αβ+16.已知函数，使方程有4个不同的解：，则()2log ,04,2cos ,482x x f x t R x x π⎧<<⎪=∃∈⎨≤≤⎪⎩()f x t =1234,,,x x x x 的取值范围是__________；的取值范围是__________.1234x x x x 1234x x x x +++四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题10.0分）求值：（1）22log 33582lg2lg22+--（2）251013sincos tan 634πππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭18.（本小题12.0分）已知全集，集合，集合.U R ={}2120A x x x =--≤∣{}11B x m x m =-≤≤+∣（1）当时，求；4m =()U A B ⋃ （2）若，求实数的取值范围.()U B A ⊆ m 19.已知函数的部分图象如图.()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，()f x 6π得到函数的图象，当时，求值域.()g x ,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x 20.（本小题12.0分）已知函数()()()()()sin cos sin cos 2cos tan sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）化简；()f α（2）若，求的值.()1,052f παα=-<<sin cos ,sin cos αααα⋅-21.（本小题12.0分）某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要500m 500m ⨯建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.S（1）分别用表示和的函数关系式，并给出定义域；x y S （2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值.S 22.（本小题12.0分）已知函数.()1ln1x f x x -=+（1）求证：是奇函数；()f x （2）若对于任意都有成立，求的取值范围；[]3,5x ∈()3f x t >-（3）若存在，且，使得函数在区间上的值域为(),1,αβ∞∈+αβ<()f x [],αβ，求实数的取值范围.ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦m 高淳中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题参考答案）第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再求.B A B ⋃【详解】因为，所以.{}{}1,2,3,0,1,2A B =={}0,1,2,3A B ⋃=故选：B2.【答案】D【解析】【分析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.【详解】命题“”为全称命题，0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭按照改量词否结论的法则，所以否定为：，0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭故选：D3.【答案】B【解析】【分析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为，所以扇形面积为.326ππ=12233ππ⋅⋅=故选：B4.【答案】A【解析】【分析】先讨论系数为0的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可.【详解】，不等式恒成立，x R ∀∈2410ax x +-<当时，显然不恒成立，0a =所以，解得：.0Δ1640a a <⎧⎨=+<⎩4a <-故选：A.5.【答案】A【解析】【分析】借助指对函数的单调性，利用中间量0或1比较即可.【详解】因为，0.500.50.50e e 1,ln5lne <1,log e log 10a b c -<===>==<=所以，c a b <<故选：A.6.【答案】C【解析】【分析】由得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值.()()4f x f x =+【详解】是奇函数，，()f x ()()()00,111f f f ∴==--=又是周期函数，周期为4.()()()4,f x f x f x =+∴.()()()()2020202101011f f f f ∴+=+=+=故选：C.7.【答案】C【解析】【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可.【详解】函数的零点转化为与()()()e ,ln ,sin x f x x g x x x h x x x =+=+=+e ,ln ,sin x y y x y x ===的图象的交点的横坐标，因为零点分别为，y x =-,,a b c 在坐标系中画出与的图象如图：e ,ln ,sin x y y x y x ===y x =-可知，0,0,0a b c <>=满足.a cb <<故选：C.8.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果.【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到的图象，再把()1y f x =+的图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到的，()1y f x =-12所以如图的图象所对应的解析式为.()21y f x =+故选：B 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.【答案】AC【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的概念进行判断.【详解】对于A ：22()11y x x =-+=+函数是偶函数，在上是增函数，故A 正确；∴21y x =+()0,∞+对于：B 33()y x x =-=- 函数是奇函数，故错误；∴3y x =B 对于：C 2233()y x x=-= 是偶函数，在上是增函数，故C 正确；23y x ∴=()0,∞+对于：D 33x x y ---== 是偶函数，在上是减函数，故错误.3xy -∴=()0,∞+D 故选：AC10.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性质求解即可【详解】由于，则，故错误；110a b <<0b a <<a b <正确；正确；，正确0a b ab +<<a b <2222,2a b a b ab b a b a ab ab a b ++=>=∴+>故选：BC D.11.【答案】BC【解析】【分析】利用正切函数的周期，对称中心，函数的单调性，判断选项即可.【详解】函数，函数的最小正周期为：错误；tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,A 2π令，2,3246k k x x k Z ππππ+=⇒=-∈当时，，所以图象关于点对称，正确；2k =3x π=,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭B 因为，解得，当时，，所2,232k x k k Z πππππ-<+<+∈5,212212k k x ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭1k =7,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以在区间上单调递增，C 正确；又正切函数不具有对称轴，所以D 错误7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B C.12.【答案】AC【解析】【分析】根据高斯函数的定义逐项检验即可，对于，直接求解即可，对于，取，检验可得反A B 1.1x =-例，对于，直接求解即可；对于，要求的值域，只需求时的C ()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ()f x 102x ≤<()f x 值域即可.【详解】对于A ，，故A 正确.()[]1.1 2.2 2.2 2.230.8f -=---=-+=对于，取，则，而，B 1.1x =-()1.10.8f -=()[]1.1 2.2 2.2 2.220.2f =-=-=故，所以函数不偶函数，故B 错误.()()1.1 1.1f f -≠-()f x 对于，则，故C 正确.C [][]()1212121212f x x x x x f x ⎛⎫+=+-+=+--= ⎪⎝⎭对于，由的判断可知，为周期函数，且周期为，D C ()f x 12要求的值域，只需求时的值域即可.()f x 102x ≤<()f x 当时，则，0x =()[]0000f =-=当时，，102x <<()[]()222020,1f x x x x x =-=-=∈故当时，则有，故函数的值域为，故错误.102x ≤<()01f x ≤<()f x [)0,1D 故选：A C.第II卷（非选择题共90分）三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.【答案】6【解析】【分析】利用根式性质与对数运算进行化简.，5log 25426+=+=故答案为：614.【解析】【分析】由条件（1），若则.可知函数为上增函数；12,x x R ∀∈12x x >()()12f x f x >()f x R 由条件（2）.可知函数可能为指数型函数.()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=()f x 【详解】令，()2x f x =则为上增函数，满足条件（1）.()2x f x =R 又()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++==⨯=故()()()1212f x x f x f x +=即成立.()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=故答案为：等均满足题意()()()(2,3,4x x x f x f x f x ===)15.【答案】1【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义可得，再由展开3443sin ,cos ,sin ,cos 5555ααββ====()sin αβ+求解即可.【详解】以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，的纵坐标分别Ox ,αβ,P Q ,P Q 为34,55所以是锐角，可得，3sin ,5αα=4cos 5α=因为锐角的终边与单位圆相交于点，且纵坐标为，βQ 45所以是锐角，可得，4sin ,5ββ=3cos 5β=所以，()3344sin sin cos cos sin 15555αβαβαβ+=+=⨯+⨯=所以的终边与单位圆交点的纵坐标为1.αβ+故答案为：1.16.【答案】①.②.()32,354⎝⎭【解析】【分析】先画出分段函数的图像，依据图像得到之间的关系式以及之间的关系式，分别把()f x 12,x x 34,x x 和转化成只有一个自变量的代数式，再去求取值范围即可.1234x x x x +++1234x x x x 【详解】做出函数的图像如下：()2log ,042cos ,482x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩在单调递减：最小值在单调递增：最小值0，最大值2；()f x (]0,1()0;f x []1,4在上是部分余弦型曲线：最小值，最大值2.()f x []4,82-若方程有4个不同的解：，则()f x t =1234,,,x x x x 02t <<不妨设四个解依次增大，则12341145,784x x x x <<<<<<<<是方程的解，则，即；12,x x 2log (04)x t x =<<2122log log x x =-121x x =是方程的解，则由余弦型函数的对称性可知.34,x x ()2cos 482x t x π=≤≤3412x x +=故，()()212343433312636x x x x x x x x x ==-=--+由得即345x <<()233263635x <--+<12343235x x x x <<1234121111212x x x x x x x x +++=++=++当时，单调递减，1114x <<()112m x x x =++则1116514124x x <++<故答案为：①；②()32,354⎝⎭四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）解：；()()22log 33582lg 2lg243lg5lg22lg27lg5lg27162+--=+---=-+=-=（2）解：251013sincos tan 634πππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭sin 4cos 3tan 3634ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11sin cos tan 1063422πππ=+-=+-=18.解：（1）集合，{}34A x x =-≤≤∣当时，或，4m ={}35,{3U B x x B x x =≤≤=<∣∣ 5}x >所以或；(){4U A B x x ⋃=≤∣ 5}x >（2）由题可知或，{3U A x x =<-∣ 4}x >由可得或，U B A ⊆ 13m +<-14m ->解得或，4m <-5m >故的取值范围为或.m {4mm <-∣5}m >19.（1）由图象可知，的最大值为2，最小值为，又，故，()f x 2-0A >2A =周期，则，452,,03123T πππππωω⎡⎤⎛⎫=--=∴=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2ω=从而，代入点，得，()()2sin 2f x x ϕ=+5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭5sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则，即，52,Z 62k k ππϕπ+=+∈2,Z 3k k πϕπ=-+∈又，则.2πϕ<3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，()f x 故可得；2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象6π()g x 故可得；()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5,,,sin 66366x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈-∴-∈--∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 的值域为.()2sin 2,6x g x π⎛⎫⎡⎤-∈∴ ⎪⎣⎦⎝⎭2⎡⎤⎣⎦20.解（1）()()()()()sin cos sin cos 2cos tan sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭()sin cos sin cos cos cos tan ααααααα-=+⋅-，sin cos αα=+故；()sin cos f ααα=+（2）由，()1sin cos 5f ααα=+=平方可得，221sin 2sin cos cos 25αααα++=即.242sin cos 25αα⋅=-所以，12sin cos 25αα⋅=-因为，249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=又，所以，2πα-<<sin 0,cos 0αα<>所以，sin cos 0αα-<所以.7sin cos 5αα-=-21.解：（1）由已知，其定义域是.30003000,xy y x =∴=()6,500，()()()46210S x a x a x a=-+-=-，150026,332y a y a x +=∴=-=- ，其定义域是.()150015000210330306S x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()6,500（2），15000303063030303023002430S x x ⎛⎫=-+≤-=-⨯= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，上述不等式等号成立，150006x x =()506,500x =∈此时，.max 50,60,2430x y S ===答：设计时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.50m,60m x y ==22.（1）证明：由函数，可得，()1lg 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭101x x ->+即，解得，故函数的定义域为，关于原点对称.101x x -<+11x -<<()1,1-再根据，可得是奇函数.()()11lg lg 11x x f x f x x x +-⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭()f x （2）由（1）知，其定义域为.()1ln 1x f x x -=+()(),11,∞∞--⋃+.因为在上为增函数，()2ln 11f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()211u x x =-+()1,∞+在上为增函数，当，时，()f x ()1,∞+[]3,5x ∈()ln2ln2ln3f x -≤≤-对任意都有成立，，即，[]3,5x ∈()3f x t >-ln23t ->-3ln2t <-的取值范围是.t (),3ln2∞--（3）由（2）知在上为增函数，()f x ()1,∞+又因为函数在上的值域为.()f x [],αβ11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，且，0m >1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩所以1,121,12m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩则是方程的两实根，,αβ112x m mx x -=-+问题等价于放程在上有两个不等实根，211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭()1,∞+令，对称轴()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭1124x m =-则，即解得.()2011124Δ14102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩0,20,522,9m m m m ⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或209m <<。

2022-2023学年山东省菏泽市成武高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省菏泽市成武高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省菏泽市成武高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）A ．B ．C ．D ．π3π3-π6π6-【答案】B【分析】利用分针转一周为分钟，转过的角度为，得到分针是一周的六分之一，进而可得602π10答案．【详解】∵分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨快是顺时针旋转，602π∴分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为.10π2π603-⨯=-故选：B2．设，则的大小关系为（ ）0.30.20.212,,log 0.32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A ．B ．a b c <<b a c <<C ．D ．b<c<a c<a<b【答案】D【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系.,,a b c ,,a b c 【详解】解：，，0.30.30.201()22212-=>>= 0.20.2log 0.3log 0.21<=∴．c<a<b 故选：D3．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）()(1)nf x a x =-(2,8)(2)(12)f b f b -<-b A ．B ．C ．D ．(0,1)(1,2)(,1)-∞(1,)+∞【答案】C【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.3()f x x =【详解】解：因为幂函数的图像过点，()(1)nf x a x =-(2,8)所以，所以，所以，1128n a -=⎧⎨=⎩23a n =⎧⎨=⎩3()f x x =所以，解得：．(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-1b <故的取值范围是.b (,1)-∞故选：C.【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.14．sin 345︒=ABC ．D．【答案】A【分析】直接利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求出．【详解】()()sin 345sin 36015sin15sin 4530︒=︒-︒=-︒=-︒-︒，故选A．12⎫=-=⎪⎪⎭【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式应用．5．设函数在区间内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）()32log x f x a x +=-()1,2A ．B ．C ．D ．()31,log 2--()30,log 2()3log 2,1()31,log 4【答案】C 【分析】令得，由复合函数单调性即可求解.()0f x =32log x a x +=【详解】令得，令，由复合函数单调性可知，当()0f x =32log x a x +=()3322log log 1x h x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，单减，，，故，要使在()1,2x ∈()h x ()32log 2h =()31log 31h ==()()3log 2,1h x ∈()32log x f x a x +=-区间内有零点，即.()1,2()3log2,1a ∈故选：C 6．已知函数，则其图象可能是（ ）()2cos 4x xf x x =-A ．B ．C．D．【答案】C【分析】从奇偶性，特殊点处的函数值的正负即可判断.【详解】函数的定义域为，其定义域关于原点对称，{}|2x x ≠±由函数的解析式可得：，()()f x f x -=-则函数图象关于坐标原点对称，选项B,D 错误；而，选项A 错误，C正确；06f π⎛⎫=< ⎪⎝⎭故选：C.7．已知函数，下列说法正确的有（ ）()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭①函数最小正周期为；()f x 2π②定义域为|R,,Z 28k x x x k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭③图象的所有对称中心为；()f x ,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭④函数的单调递增区间为．()f x 3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.【详解】对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确；()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 2T π=对②，令，解得，2,Z42x k k πππ-≠+∈3,Z 82k x k ππ≠+∈即函数的定义域为，所以②错误；()f x 3{|,Z}82k x x k ππ≠+∈对③，令，解得，所以函数的图象关于点2,Z 42k x k ππ-=∈,Z 84k x k ππ=+∈()f x 对称，所以③正确；,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭对④，令，解得，故函数的单调递2,Z242k x k k πππππ-<-<+∈3,Z 2828k k x k ππππ-<<+∈()f x 增区间为，所以④正确；3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭故①③④正确；故选：C8．若函数y ＝f （x ）（x ∈R ）满足f （x +2）＝f （x ），且x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝1﹣x 2，已知函数g （x ），则函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣6，6]内的零点的个数为（ ）lg 0xx x e x ⎧=⎨⎩，＞，＜A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B【分析】由题意可判断函数y ＝f （x ）在R 上是周期为2的函数，从而作出函数f （x ）与g （x ）的图象，得到交点的个数即可．【详解】∵f （x+2）＝f （x ），故函数y ＝f （x ）在R 上是周期为2的函数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如下，由于当时，，因此在轴左侧有6个交点；0x <01xe <<y [6,0)-当时，，，因此在轴右侧有6个交点；0x >max ()1f x =lg 61<y (0,6]综上可知函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣6，6]内的零点的个数为12个．二、多选题9．下列计算正确的有（ ）A ．B ．120318202072-⎛⎫++= ⎪⎝⎭522545log lg lg +-=C ．D ．()20.50.51log log=2=【答案】AB【分析】利用指数的运算性质可判断A ；利用对数的运算性质可判断B 、C ；由根式的性质可判断D.【详解】，正确；120318202024172-⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭A ，B 正确；52254525421002220log lg lg lg lg lg +-=+-=-=-=，C 不正确；()20.520.510log log log ==，D 不正确.21122a a a =-+-=-故选：AB.10．下列函数中，最小正周期为的是（ ）π2A ．B ．cos y x=sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．cos 24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭tan2y x=【答案】BD【分析】首先根据函数的性质判断出A 错误，然后再根据三角函数的周期计算公式可判断cos y x =选项C 错误，选项B 和D 正确.【详解】对于A ，由函数的性质可知：函数的最小正周期为，故选项A 错误；cos y x =cos y x=π对于B ，由正弦函数的周期公式可得：，最小正周期为，故选项B 正确；2ππ42T ==π2对于C ，由余弦函数的周期公式可得：，最小正周期为，故选项C 错误；2ππ2T ==π对于D ，由正切函数的周期公式可得：，最小正周期为，故选项D 正确；ππ22T ==π211．设函数，则下列结论正确的是（ ）()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．的一个周期为B ．的图象关于直线对称()f x 2π-()y f x =83x π=C ．的一个零点为D ．在上单调递减()f x π+6x π=()f x ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】根据周期、对称轴、零点、单调性，结合整体思想即可求解.【详解】对于A 项，函数的周期为，，当时，周期，故A 项正确；2k π,0k k ∈≠Z 1k =-2T π=-对于B 项，当时，为最小值，此时的83x π=89cos cos cos cos3cos 13333x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=-π=π=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =图象关于直线对称，故B 项正确；83x π=对于C 项，，，所以的一个零点为，故4()cos 3f x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭43cos cos 0632πππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭()f x π+6x π=C 项正确；对于D 项，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D 项错2x ππ<<54633x πππ<+<()f x 误.故选：ABC.12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）()25()log 23f x x x =--A ．函数的单调递增区间是()f x [1,)+∞B ．函数的值域是R()f x C ．函数的图象关于对称()f x 1x =D ．不等式的解集是()1f x <(2,1)(3,4)-- 【答案】BCD【解析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.【详解】对于A:因为为增函数,所以求的单调递增区间即求()5log f x x=()25()log 23f x x x =--的单调递增区间,即.又对数函数的定义域有,解得.故函223t x x =--[)1,+∞2230x x -->()3,x +∈∞数的单调递增区间是.A 错误；()f x ()3,+∞对于B ：，由对数函数的定义域解得：，则，由于，223t x x =--()(),13,x ∈-∞-+∞ 2log y t =0t >所以，即函数的值域是，B 正确；R y ∈()f x R 对于C:,关于对称，所以函数的图象关于对称，故C 正确；()222312t x x x =--=--1x =()f x 1x =对于D: ,即，解得：，故D 正确；()25log 231x x --<22230235x x x x ⎧-->⎨--<⎩(2,1)(3,4)x ∈-- 故选：BCD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.23π3π【答案】2π【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．r 【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，23απ=3π则扇形的面积，解得：，221123223S r r παπ==⨯⨯=3r =此扇形所含的弧长.2323l r παπ==⨯=故答案为：.2π14．已知函数的图象恒过点，且点在角的终边上，则的值()()log 130,1a y x a a =-+>≠A A αsin α为______.【分析】根据对数函数过定点的求法可求得点坐标，由三角函数定义可直接得到结果.A【详解】当时，，，.2x =log 133a y =+=()2,3A ∴sin α∴==15．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式<0的解集为________.()()f x f x x --【答案】(－1，0)∪(0，1)【分析】首先根据奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，得到f (－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为或，进而求得结果.0()0x f x >⎧⎨<⎩0()0x f x <⎧⎨>⎩【详解】因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数.因为＝2·<0，()()f x f x x --()f x x 即或0()0x f x >⎧⎨<⎩0()0x f x <⎧⎨>⎩解得x ∈(－1，0)∪(0，1).故答案为：(－1，0)∪(0，1).【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.16．已知，且是第二象限角．则的值为__________．3cos 5α=-α()()()sin 6cos sin tan 2απαπααπ+-⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】##-0.635-【分析】由诱导公式化简求值.【详解】由，∴.3cos 5α=-()()()sin 6πcos sin cos sin cos 3cos πcos tan sin 5sin tan π2αααααααααααα+-====-⎛⎫+- ⎪⎝⎭故答案为：35-四、解答题17．计算下列各式的值：(1)；)21132330.0021028---⎛⎫-+-⨯+ ⎪⎝⎭(2)7log 2log lg25lg47++0.53954-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()281lg500lg lg6450lg2lg5+-++【答案】(1)1679 -(2)15 4(3)2 e3 +(4)52【分析】（1）（3）利用指数的运算性质化简可得所求代数式的值；（2）（4）利用对数的运算性质化简可得所求代数式的值.【详解】（1）解：原式())212123232331271315001021 85008----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+=+-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4167201.99=+-+=-（2）解：原式143115log3lg100222.44-=++=-++=（3）解：原式．20.52211e e33⨯⎛⎫=-++=+⎪⎝⎭（4）解：原式.()2881lg500lg lg850lg10lg50050lg1005052558⎛⎫=+-+=⨯⨯+=+=⎪⎝⎭18．已知函数．()π2sin2,R4f x x x⎛⎫=-∈⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间；()f x(2)求函数在区间上的值域．()f xππ,44⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】(1)π3ππ,π,88k k k⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)⎡-⎣【分析】（1）根据复合函数的单调性可知，内层函数单调递增，找外层函数的单调递增区间整体代入化简求解.(2)根据的范围，求出内层函数的范围，根据内层函数的范围求函数的值域.xπ24x-【详解】（1）证明：令，πππ2π22π,242k x k k-+≤-≤+∈Z得π3πππ,.88k x k k -+≤≤+∈Z 所以函数的单调递增区间：．()f x π3ππ,π,88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）因为，所以．ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦π3ππ2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以．πsin 24x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣当，即时，；ππ242x -=-π8x =-min ()2f x =-当，即时，．ππ244x -=π4x =max ()f x =所以函数在区间上的值域为．()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎡-⎣19．如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边xOy αx 与单位圆交于点，11(,)P x y cos α=(1)求的值；1y (2)将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，求的值；OP O π222(,)M x y 2x (3)若点与关于轴对称，求的值.N M x tan MON ∠【答案】(1)1y =(2)2x =(3)43-【分析】（1）由三角函数的定义得到，再根据且点在第一象限，即可求出；1x 22111x y +=P 1y （2）依题意可得，再由（1），即可得解；2πcos()sin 2x αα=+=-1sin y α=（3）首先求出的坐标，连接交轴于点，即可得到，再利用二倍角公式计N MN x Q tan 2MOQ ∠=算可得；【详解】（1）解：因为角的终边与单位圆交于点，且α11(,)P xy cos α=由三角函数定义，得.1x =因为，所以.22111x y +=221115y =-=因为点在第一象限，11(,)P x y 所以1y =（2）解：因为射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，OP O π222(,)M x y 所以.2πcos()sin 2x αα=+=-因为，1sin y α=所以.2x =（3）解：因为点与关于轴对称，N M x 所以点的坐标是.N (连接交轴于点，所以． MN x Q tan 2MOQ ∠=所以tan tan 2MON MOQ∠=∠.222tan 2241tan 123MOQ MOQ ∠⨯===--∠-所以的值是.tan MON ∠43-20．已知定义域为 的函数是奇函数.R 2()2xxb f x a -=+(1)求 的值;,a b (2)用定义证明 在上为减函数;()f x (,)-∞+∞(3)若对于任意 ，不等式 恒成立，求的范围.R t ∈()()22220f t t f t k -+-<k 【答案】(1)，.1a =1b =(2)证明见解析.(3)1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案.（2）根据函数单调性的定义即可证明结论.（3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的()()22220f t t f t k -+-<232k t t <-都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.R t ∈【详解】（1）为上的奇函数，，可得()f x R 002(0)02b f a -∴==+1b =又 , ,解之得,(1)(1)f f -=-11121222aa ----∴=-++1a =经检验当 且时， ，1a =1b =12()21xxf x -=+满足是奇函数,1221()()2112x x x xf x f x -----===-++故，.1a =1b =（2）由（1）得，122()12121x x xf x -==-+++任取实数 ，且，12,x x 12x x <则 ，()()()()()211212122222221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，可得，且，故，12x x < 1222x x <()()1221210x x ++>()()()211222202121x x x x ->++，即，()()120f x f x ∴->()()12f x f x >所以函数在上为减函数;()f x (,)-∞+∞（3）根据 （1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数.()f x (,)-∞+∞不等式恒成立，∴()()22220f t t f t k -+-<即恒成立，()()()222222f t t f t k f t k-<--=-+也就是:对任意的都成立，2222t t t k ->-+R t ∈即对任意的都成立，232k t t <-R t ∈ ，当时取得最小值为，221132333t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 13t =232t t -13-，即的范围是.13k ∴<-k 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭21．已知函数的最小正周期．()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭π(1)求函数单调递增区间；()f x (2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．()()g x f x m =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)5,,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)[]2,1m ∈-【分析】（1）由最小正周期求得，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；ω（2）转化为求在上的值域．()f x [0,]2π【详解】（1）因为函数的最小正周期，()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭π所以，由于，所以．2T ππω==0ω<2ω=-所以，()2sin 22sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，()f x 2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，解得，3222,Z262k x k k πππππ+-+∈ 5,Z 36k x k k ππππ+≤≤+∈所以函数单调递增区间为．()f x 5,,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）因为函数在上有零点，()()g x f x m =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以函数的图像与直线在上有交点，()y f x =y m =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为，50,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故函数在区间上的值域为()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,1-所以当时，函数的图像与直线在上有交点，[]2,1m ∈-()y f x =y m =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以当时，函数在上有零点．[]2,1m ∈-()()g x f x m =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．已知函数.44()log (2)log (4)f x x x =++-（1）求的定义域；()f x （2）若函数，且对任意的，，恒成立，求实1()42x x g x a a +=⋅--1[5,6]x ∈2[1,2]x ∈()()12f x g x <数a 的取值范围.【答案】（1）.（2）（2，+∞）.(4,)+∞【解析】（1）使对数式有意义，即得定义域；（2）命题等价于，如其中一个不易求得，如不易求，则转化为max min ()()f x g x <min ()g x 恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解．max ()()f x g x <【详解】（1）由题可知且，20x +>40x ->所以.>4x 所以的定义域为.()f x (4,)+∞（2）由题易知在其定义域上单调递增.()f x 所以在上的最大值为，()f x [5,6]x ∈4(6)log 162f ==对任意的恒成立等价于恒成立.1[5,6],x ∈2[1,2],x ∈()()12f x g x <max ()2()f x g x =<由题得.()2()222x x g x a a=⋅-⋅-令，则恒成立.2([2,4])x t t =∈2()22h t a t t a =⋅-->当时，，不满足题意.0a =1t <-当时，，a<022242482a a a a ⎧⋅-->⎨⋅-->⎩解得，因为，所以舍去.2a >a<0当时，对称轴为，0a >1t a =当，即时，，所以；12a <12a >2242a a ⋅-->2a >当，即时，，无解，舍去；124a ≤≤1142a ≤≤2122a a a a ⎛⎫⋅--> ⎪⎝⎭当，即时，，所以，舍去.14a >10a 4<<2482a a ⋅-->23a >综上所述，实数a 的取值范围为（2，+∞）.【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．。

2022-2023学年山东省济南市高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省济南市高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省济南市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{12}M x x =-<<∣，{N x y ==∣，则M N ⋃=（ ）A ．{1}xx >-∣ B ．{02}x x ≤<∣ C ．{12}x x -<<∣ D ．{0}xx ≥∣ A【分析】求出y =.【详解】{{}0N xy x x ==≥∣，所以{}1M N x x ⋃=>-. 故选：A2．已知命题:p x ∀∈R ，12x x+≥，则p ⌝为（ ） A ．x ∃∈R ，12x x +≥ B ．x ∃∈R ，12x x +< C ．x ∃∈R ，12x x+≤ D ．x ∀∈R ，12x x+< B【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】解：命题:p x ∀∈R ，12x x+≥为全称量词命题， 其否定为：x ∃∈R ，12x x+<. 故选：B3．下列函数中， 既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．21y x =+ B ．1y x=-C ．3y x =D ．2y xC【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.【详解】解：对于A ：()21y f x x ==+，则()21f x x -=-+，故21y x =+为非奇非偶函数，故A 错误；对于B ：1y x=-为奇函数，函数在(),0∞-，()0,∞+上单调递增，在定义域上不具有单调性，故B错误；对于C ：3y x =为奇函数，且在定义域R 上单调递增，故C 正确；对于D ：2y x 为偶函数，故D 错误；故选：C4．平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（ ） A ．“屏占比”不变 B ．“屏占比”变小 C ．“屏占比”变大 D ．“屏占比”变化不确定B【分析】设法列出升级前后的屏占比表达式，由作差法可比较大小. 【详解】设升级前屏幕面积为a ,整机面积为b ,则屏占比为()10a w a b b=<<，设减小面积为m ()0m a <<，则升级后屏占比为：2a mw b m-=-，则()()120m b a a a m w w b b m b b m ---=-=>--，即12w w >，屏占比变小.故选：B5．已知a ，b ∈R ，若0ab <，0a b +>，a b >，则下列不等式正确的是（ ） A ．11a b <B ．0b aa b +>C ．22a b >D ．||a b <C【分析】由0ab <，0a b +>，a b >，可得0,0a b ><，再结合不等式的性质逐一判断即可. 【详解】解：因为0ab <，0a b +>，a b >， 所以0,0a b ><， 所以110a b>>，故A 错误； 则0,0b aa b <<，所以0b a a b+<，故B 错误； 由0a b +>得a b >-，即a b >，所以22a b >，故C 正确，D 错误. 故选：C.6．不等式()()2233131x x ->+的解为（ ） A ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞B22(1)(31)x x >-+，再根据二次不等式的解法即可得答案.【详解】解：()()2233131x x ->+∴22(1)(31)x x >-+，即：20x x +<，解得.10x -<< 所以不等式()()2233131x x ->+的解为()1,0- 故选：B .7．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且(1)0f -=，若对于任意两个实数1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-⋃ B ．,1(),)1(-∞-⋃+∞ C ．(1,0)(1,)-⋃+∞ D ．(1,0)(0,1)-B【分析】由题意可得()f x 在()0,∞+上单调递增，再由函数为奇函数，可得()f x 在(),0∞-上单调递增，(1)0f -=且()()110f f =--=，由此可求出()0f x >和()0f x <的解集，从而可求得结果． 【详解】因为对于任意两个实数()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠时，不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，因为()10f -=，所以()()110f f =--=，所以当10x -<<或1x >时，()0f x >；当01x <<或1x <-时，()0f x <， 所以当1x >或1x <-时，()0xf x >，所以不等式()0xf x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞． 故选：B ．8．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若函数()[]f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．()f x 在[0,1]上单调递增D ．()f x 的值域为[0,1)D【分析】由定义可作出函数图象，直接判断选项即可.【详解】因为()[]f x x x =-，故函数图象如图所示，易知选项ABC 错误，选项D 正确.故选：D二、多选题9．已知集合}{1,1,24M =-，，}{1,2,416N =，，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从M 到N 的函数的是（ ） A ．2y x = B ．y x = C ．2y x =+ D ．2y xBD【分析】根据函数的概念逐一判断即可.【详解】A ，集合M 中1-在集合N 中没有对应元素，故A 不选.B ，由函数的定义集合M 中的每一个元素在集合N 中都有唯一元素与之对应，故B 可选；C ，集合M 中1、4在集合N 中没有对应元素，故C 不选.D ，由函数的定义集合M 中的每一个元素在集合N 中都有唯一元素与之对应，故D 可选； 故选：BD10．已知函数()1=+xf x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的对称中心为()1,1- B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在区间()1,-+∞上单调递增D ．111(1)(2)(3)(2022)232022f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为40432 ACD【分析】选项A ，利用函数的对称性定义验证即可；选项B ，计算值域即可；选项C ，根据函数的单调性运算判断单调性即可；选项D ：找到()11111x f x f x x x ⎛⎫+=+= ⎪++⎝⎭，计算即可. 【详解】由题可知()1x f x x =+111x x +-=+111x =-+ 选项A ：由题可知()222211x x f x x x --+--==--++，所以得()()22211x xf x f x x x +--+=+=++，故()f x 的对称中心为()1,1-，选项A 正确；选项B ：因为()111f x x =-+，显然101x ≠+，所以()f x 的值域为{}1y y ≠，选项B 错误； 选项C ：当1x >-时，11y x =+单调递减，所以11y x =-+单调递增，所以()111f x x =-+单调递增，选项C 正确；选项D ：111111x f x x x ⎛⎫== ⎪+⎝⎭+，所以()11111x f x f x x x ⎛⎫+=+= ⎪++⎝⎭，所以有111(1)(2)(3)(2022)232022f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1111232022232022f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦202111112=++++40432=，选项D 正确. 故选：ACD11．若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ） A B ．22a b +最小值为12C ．ab 最小值为14D ．1122a b a b +++最小值为43ABD【分析】对A ，B ，C 选项，结合基本不等式进行求最值即可；D 选项将等式构造变形为()()()1133[22]133a b a b a b+=+++=与1122a b a b +++相乘化成能用基本不等式的形式即可. 【详解】对A 选项：由0,0ab >> ，1a b +=≥当且仅当12a b ==时等号成立，故A 正确；对B 选项；2222221()2()2()()222a b a b a b ab ab a b ++=+-≥+-⨯==+， 当且仅当12a b ==时等号成立，故B 正确； 对C 选项；因为0,0a b >>，1a b =+≥1124ab ⇒≤ 当且仅当12a b ==时等号成立，故C 不正确； 对D 选项；因为0,0a b >>，1a b +=，所以111111(33)[(2)(2)]322322a b a ba b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1221411232233a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=+++≥⨯+= ⎪ ++⎝⎭⎝当且仅当12a b ==时等号成立，故D 正确； 故选：ABD.12．已知函数21,2()43,2x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+->⎩，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的单调减区间为(,1][2,)-∞⋃+∞B ．若()f x k =有三个不同实数根123,,x x x ，则12345x x x <++<C ．若()()f x a f x +>恒成立，则实数a 的取值范围是9,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．对任意的1234,,(,,2)x x x x ∈+∞，不等式()()()()12341234144x x x x f f x f x f x f x +++⎛⎫⎡⎤≥+++ ⎪⎣⎦⎝⎭恒成立 BCD【分析】对A ：利用分段函数图象判断单调性；对B ：根据题意结合图象、对称性分析运算；对C ：根据图象结合图象平移分析运算；对D ：先证()()22f m f n m n f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，再根据题意分析证明. 【详解】对A ：作出()f x 的图象，如图1所示， 则()f x 的单调递减区间为(,1],[2,)-∞+∞，A 错误； 对B ：不妨设123x x x <<，则12,x x 关于直线1x =对称， ∴()123,22,3x x x +=∈，则12345x x x <++<，B 正确；对C ： 当0a =时，()()f x f x >显然不成立，0a =不合题意，舍去；当0a >时，()f x a +可以通过()f x 向左平移a 个单位得到，如图2，显然不成立，舍去；当0a <时，()f x a +可以通过()f x 向右平移a 个单位得到，如图3，以射线1y x a =-+-与2=+43y x x --相切为临界，即2143x a x x -+-=-+-，则2540x x a -+-=， ∴()()25440a ∆=--⨯-=，解得94a =-，则94a <-；综上所述：实数a 的取值范围是9,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，C 正确；对D ：对任意的,(2,)m n ∈+∞，则(2,)2m n+∈+∞ ()()()()22243434322222m m n n f m f n m n m n m n f -+-+-+-⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()204m n -=-≤，当且仅当m n =时等号成立，即()()022f m f n m n f ++⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则()()22f m f n m n f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ∴()()()()12343412,2222f x f x f x f x x x x x f f ++++⎛⎫⎛⎫≥≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵3412,(2,)22x x x x ++∈+∞，则()()()()341212343412222222222x x x x f x f x f x f x x x x x f f f ++⎛⎫⎛⎫++++⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥⎪⎪⎝⎭，∴()()()()12341234144x x x x f f x f x f x f x +++⎛⎫⎡⎤≥+++ ⎪⎣⎦⎝⎭，D 正确； 故选：BCD.三、填空题13．2038π+______． 7【分析】根据指数幂的运算法则求解即可.【详解】2203338(2)127π++=++= 故714．若“x k >”是“32x -≤<”的必要不充分条件，则实数k 的取值范围是______．(),3-∞-【分析】根据集合之间的包含关系，列出不等式，即可求得结果.【详解】根据题意，[)3,2-是(),k +∞的真子集，故可得3k <-，即(),3k ∈-∞-. 故答案为.(),3-∞-15．已知0a >，0b >，且3ab a b =++，则a b +的最小值为______． 6【分析】利用不等式()214ab a b ≤+，结合已知条件，即可求得a b +的最小值. 【详解】因为()2134ab a b a b =++≤+， 故可得：()()24120a b a b +-+-≥， 即()()620a b a b +-++≥， 解得：6a b +≥或2a b +≤-.因为0,0a b >>，故6a b +≥（当且仅当3a b ==时取得最小值） 故答案为.6四、双空题16．已知函数22,2(),2a ax x f x x ax x ⎧-<=⎨-≥⎩．①若[()]1f f a =，则a 的值为______．②若不等式()(2)f x f ≥对任意x ∈R 都成立，则实数a 的取值范围是______． 1± []2,4【分析】对①：根据题意，分类讨论当2a <和2a ≥时，代入分段函数，分别解方程即可；对②：根据题意可得函数()f x 的最小值为(2)f ，结合分段函数单调性分析运算.【详解】对①：当2a <时，则()2[()]01f f a f a ===，则1a =±；当2a ≥时，则()2[()]01f f a f a ===，则1a =±（舍去）；综上所述：1a =±；对②：∵不等式()(2)f x f ≥对任意x ∈R 都成立，则函数()f x 的最小值为(2)f ， ∴2022242a a a a a-≤⎧⎪⎪≤⎨⎪-≥-⎪⎩，解得24a ≤≤，故实数a 的取值范围是[]2,4； 故①1±；②[]2,4.五、解答题17．已知集合{}2230A xx x =+->∣，{50}B x x =-≤<∣，R 为实数集． (1)求A B ⋂； (2)求()()R RA B ．(1)[)5,3-- (2)[]0,1【分析】（1）化简集合,A B ，由交集运算即可求解； （2）先求,A B 的补集，再求交集即可.【详解】（1）{}{22303A xx x x x =+->=<-∣或}1x >，则[)5,3A B =--； （2）[]3,1R A =-，()[),50,R B =-∞-+∞，则()()[]0,1R RA B =.18．已知函数2()2f x x x a =++．(1)当5a =，[2,3]x ∈-时，求()f x 的值域；(2)若不等式()0f x <的解集中的整数解恰好有三个，求实数a 的取值范围． (1)[]4,20 (2)[)3,0-【分析】（1）当5a =时，由函数的单调性，求出函数在区间[]2,3-上的最值，得函数值域； （2）由2()2f x x x a =++的单调性及函数图象的对称性可知，若()0f x <的解集中整数解恰有三个，必为-2，-1，0，列出不等式组，解得a 的取值范围.【详解】（1）当5a =时，2()25f x x x =++在[]2,1--上单调递减，在[]1,3-上单调递增，所以()f x 的最小值为(1)4f -=，又因为(2)5f -=，(3)20f =，所以()f x 的最大值为20，函数值域为[]4,20. （2）2()2f x x x a =++在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞ 上单调递增，根据图象的对称轴性，若()0f x <的解集中整数解恰有三个，这三个整数必为-2，-1，0，则(0)0(1)30f a f a =<⎧⎨=+≥⎩，解得[)3,0a ∈-.19．已知函数()y f x =是定义在(0,)+∞上的增函数，满足(2)1f =，且对任意的12,x x 都有()()()1212f x x f x f x =+．(1)求(4)f 的值；(2)求不等式()(2)2f x f x ++≤的解集． (1)2(2)(1⎤⎦【分析】（1）令122x x ==可直接求解；（2）易得()()()22f x f x f x x ++=+⎡⎤⎣⎦，结合定义域与增函数性质去“f ”建立不等式即可求解. 【详解】（1）令122x x ==，则()()()22222f f f ⨯=+=，即()42f =；（2）因为()()()22f x f x f x x ++=+⎡⎤⎣⎦，所以()(2)2f x f x ++≤等价于()()24f x x f +≤⎡⎤⎣⎦，因为()y f x =是定义在(0,)+∞上的增函数，所以()024020x x x x ⎧<+≤⎪>⎨⎪+>⎩，解得(1x ⎤∈⎦，故不等式()(2)2f x f x ++≤的解集为(1⎤⎦.20．济南高新区一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地租赁费为1y 万元，仓库到车站的距离为()0x x >km ，每月库存管理费为2y 万元，其中1y 与1x +成反比，2y 与x 成正比，若在距离车站9km 处建仓库，则120y =，272y =．(1)分别求出1y ，2y 关于x 的函数解析式；(2)该公司把仓库建在距离车站多远处，能使这两项费用之和最少，并求出最少费用（万元）． (1)()12200(0),801y x y x x x =>=>+ (2)该公司把仓库建在距离车站4k m 处，能使这两项费用之和最少，为72万元【分析】（1）设12,1a y y kx x ==+，利用待定系数法求解即可； （2）根据两项费用之和为12y y +结合基本不等式即可得解.【详解】（1）解：设12,1a y y kx x ==+， 则20,97210a k ==，所以200,8a k ==， 所以()12200(0),801y x y x x x =>=>+； （2）解：两项费用之和()()12200200881811f x y y x x x x =+=+=++-++872≥=， 当且仅当()200811x x =++，即4x =时，取等号， 所以该公司把仓库建在距离车站4k m 处，能使这两项费用之和最少，为72万元. 21．定义两种新的运算：a b ⊕=a b ⊗=2()2(2)x f x x ⊕=-⊗． (1)求(1)f 的值；(2)求函数()f x 的定义域；(3)判断函数()f x的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明．(2)[)(]2,00,2-(3)()f x 为奇函数，证明见解析【分析】（1）根据所给定义求出()f x 的解析式，再代入计算可得；（2）根据分母不为零及偶次方根的被开方数大于等于0得到不等式组，解得即可；（3）根据函数的定义域将函数解析式化简，再根据奇偶性的定义判断即可.【详解】（1）解：因为2x ⊕22x x ⊗==-，所以()f x ==所以(1)f ==（2）解：因为()f x =240x -≥且220x --≠， 解得22x -≤≤且0x ≠，则函数()f x 的定义域为[)(]2,00,2-.（3）解：函数()f x 为奇函数，证明：由（2）可知函数的定义域为[)(]2,00,2-，定义域关于原点对称，当[)(]2,00,2x ∈-时，222(2)x x x --=--=，所以()f x =，又()()f x f x -===-，所以函数()f x 为奇函数. 22．若函数()y f x =自变量的取值区间为[,]a b 时，函数值的取值区间恰为33,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，就称区间[,]a b 为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当,()0x ∈+∞时，()4g x x =-+．(1)当(,0)x ∈-∞时，求()g x 的解析式；(2)求函数()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”；(3)若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数()y h x =的图像，是否存在实数t ，使集合21{(,)()}(,)2x y y h x x y y x t ⎧⎫=⋂=-+⎨⎬⎩⎭∣∣恰含有2个元素．若存在，求出满足条件的所有实数t 所构成的集合；若不存在，说明理由．(1)()4g x x =--(2)[]1,3 (3)72⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】（1）结合奇函数定义直接求解；（2）由“和谐区间”定义解方程直接求解；（3）由“和谐区间”定义可求另一区间为[]3,1--，求出()h x ，令()()22x m x h x t =+-，分类讨论[]3,1x ∈--和[]1,3x ∈时()m x 与0的关系，即可求解.【详解】（1）当(,0)x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()()44g x x x -=--+=+，又()()g x g x -=-， 即()4g x x =--，所以当(,0)x ∈-∞时，()4g x x =--；（2）当,()0x ∈+∞时，()4g x x =-+，函数为单减函数，[],x a b ∈，()()3434g a a a g b b b ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩， 解得1,3a b ==，所以()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”为[]1,3；（3）由“和谐区间”定义可知，当[,]x a b ∈，()33,g x b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则,a b 同号， 当0a b <<时，()()3434g a a a g b b b ⎧=--=⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩，解得3,1a b =-=-，故()4,314,13x x h x x x ---≤≤-⎧=⎨-+≤≤⎩， 若两交点全落在[]1,3x ∈对应图像上，必满足()2402x m x x t =-+-=在[]1,3x ∈有两解， ()m x 的对称轴为1x =，故不可能有两解，要使()h x 与212y x t =-+恰有两交点，则一交点必落在[]3,1x ∈--对应图象上， 另一交点必落在[]1,3x ∈对应图像上，令()()22x m x h x t =+-， 当[]3,1x ∈--时，()224422x x m x x t x t =--+-=---， 必满足()()933402111402m t m t ⎧-=+--≥⎪⎪⎨⎪-=+--≤⎪⎩，解得57,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 当[]1,3x ∈时，()224422x x m x x t x t =-++-=-+-，必满足()()111402933402m t m t ⎧=-+-≤⎪⎪⎨⎪=-+-≥⎪⎩，解得711,22t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上，则只有一个实数72t=满足，故实数t构成的集合为72⎧⎫⎨⎬⎩⎭.。

河南省南阳市2023-2024学年高一下学期期末质量评估数学试题

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2024年春期高中一年级期终质量评估数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（）AB ．CD2．已知：，其中为虚数单位，则（ ）A ．1B CD ．23．如图是底面半径为1的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则滚动过程中该圆锥上的点到水平面的距离最大值为（）A ．B ．2C D4．已知：，，，若，则与的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞，，，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（）22cos 15sin 15︒-︒=12()11z i i -=+i z =O ()1,2a = ()2,4b =-- c = ()52a b c +⋅= a c xOy ()3,4OA = OA 23πOB OB OA322⎛+-⎝3,22⎛⎫⎪⎝⎭322⎛---+ ⎝3,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E F :::2:1SD DA SE EB CF FS ===A．B ．C ．D ．7．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（）A ．函数的对称中心为B ．若，则C ．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为D ．若，则8．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（）A ．B ．C ．D ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．下列有关复数内容表述正确的是（）A ．若复数满足，则一定为纯虚数B ．对任意的复数均满足：C ．设在复数范围内方程的两根为，，则D ．对任意两个复数，，若，则，至少有一个为019272327293331351cos θ-θsin ver θ1sin θ-θcov ers θ()sin cov 1f x ver x ersx =-+,14k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ()sin cov 1g x ver x ersx =⋅-()g x 1()sin 2cov 1h x ver x ersx =-+()1h α=02πα<<α43πsin 1cov 1ver x ersx -=-cov 311cov 13ers x ersx -=-ABCD AD BC 1AD AB ==90BAD ∠=︒45BCD ∠=︒ABD △BD PBD △P BD C --P BCD -83π143π4π6πz 0z z +=z z 22z z=24130x x -+=1x 2x 124x x +=1z 2z 120z z ⋅=1z 2z10．已知函数，且，则（ ）A ．B ．函数是偶函数C ．函数的图像关于直线对称D ．函数在区间上单调递减11．如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（）A ．若，则不可能存在这样的点，使得B ．若，，则C ．若平面，则D ．周长的最小值是三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________.13．如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________.14．设为函数图象上任意一点，的最大值是___________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分13分）（1）已知复数满足，求；()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b=4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭()f x 54x π=()f x ,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭A BCD -a 2a E F AC AD BE AC ⊥F EF AC⊥13AE AC = 23AF AD = 29E ABF B EFDCV V --=CD BEF EF CDBEF △52a ()1,2OA = ()2,1OB =-P AB P ABC △60ABC ∠=︒AC =2BC =ABC ∠AC D A BC E DE =(),P x y ()[]()sin cos 11,122f x x x x ππ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭z 13z i z =+-()()1334i i z++（2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.16．（本小题满分15分）已知为锐角，为钝角，且，.（1）求的值；（2）求的值.17．（本小题满分15分）在中，，.（1）求证：；（2）若，，求的值.18．（本小题满分17分）如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点.（1）求证：；（2）若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由.19．（本小题满分17分）x ∈R ()2121log 1log cos 2z x i x ⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭x αβsin α=1tan 7β=-sin 2β2βα-ABC △ABD α∠=DBC β∠=()sin sin sin BD BA BCαββα+=+AB AC =72C ∠=︒cos36︒PA ⊥ABCD ABCD 112PA AB BC ===E PB AE PC ⊥M N PD AC 2PM ANDM CN==Q MN P ABQ -已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为.（1）求证：；（2）若，，①求的最大值；②当时，求的值.ABC △AB C a b c M ABC △AC BA BC M ABC △M AC T ABC △S M r 2Sr a b c=-+3B π=8b =r r =AM AC ⋅。

2022-2023学年山东省青岛市青岛高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市青岛高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市青岛高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列能正确表示集合和关系的是（ ）{}1,0,1M =-{}220N x x x =+=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出集合N ，再求出即可得答案.M N ⋂【详解】解：，{}{}2202,0N x x x =+==-故，{}0M N = 故选：A 2．若，是第二象限的角，则的值等于（ ）4sin 5α=αtan αA ．B ．C ．D ．433443-34-【答案】C【分析】先求得，然后求得.cos αtan α【详解】由于，是第二象限的角，4sin 5α=α所以，3cos 5α==-所以.sin tan s 43co ααα==-故选：C3．半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果【详解】半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（其中为扇形所22111121222S lr r α===⨯⨯=l 对应的弧长，为半径，为扇形所对应的圆心角）.r α故选：A.4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）21log 2a =212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭122c =a b c A ．B ．b c a <<<<b a c C ．D ． a c b << a b c<<【答案】C【解析】根据对数函数与指数函数的性质，分别判断，，的范围，即可得出结果.a b c 【详解】因为，，，221log log 102a=<=221242b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭12124c <==<所以. a c b <<故选：C.5．已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩12x x ≠1212()()0f x f x x x -<-的取值范围为（ ）a A ．B ．C ．D ．(),2∞-13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],2∞-13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.R 【详解】因为函数满足对任意的，都有成立，()f x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-所以函数是定义在上的减函数，()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩R所以，解得，所以220112(2)2a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩2138a a <⎧⎪⎨≥⎪⎩13,8a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∈故选：B【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊0.23(53)()=1e t I Kt --+病例数．当I ()=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）*t *t A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C【分析】将代入函数结合求得即可得解.t t *=()()0.23531t K I t e--=+()0.95I t K*=t *【详解】，所以，则，()()0.23531t KI t e --=+ ()()0.23530.951t K I t Ke**--==+()0.235319t e*-=所以，，解得.()0.2353ln193t *-=≈353660.23t *≈+≈故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.7．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ）2y ax bx =+(0)bay x x =>A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >bx 02a =->0b a <幂函数为减函数，符合题意；(0)b ay x x =>对于B ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0bx 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b ay x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a =-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)bay x x =>对于D ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)bay x x =>故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.8．已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则的2y x bx c =-++20x bx c m -++->()00,2x x +m 值为（ ）A ．B ．C ．D ．14-2-1-【答案】C【分析】根据函数只有一个零点可得，又不等式的2y x bx c =-++240b c ∆=+=20x bx c m -++->解集为，转化为一元二次方程的根问题，结合一元二次方程方程的根与系数的关系最终()00,2x x +可得，联合即可得的值.2444b c m +-=m 【详解】解：函数只有一个零点，则，2y x bx c =-++240b c ∆=+=不等式的解集为，即的解集为.20x bx c m -++->()00,2x x +20x bx c m --+<()00,2x x +设方程的两根为，则，且，20x bx c m --+=12,x x 1212,x x b x x c m +=⋅=-+212x x -=∴，则，整理得，.22212112()()44x x x x x x -=+-=24()4b c m --+=2444b c m +-=1m ∴=-故选：C.二、多选题9．已知幂函数的图象过点，则（ ）()2()22mf x m m x =--1(2,2A ．()3f x x =B ．()1f x x -=C ．函数在上为减函数()f x (,0)-∞D ．函数在上为增函数()f x (0,)+∞【答案】BC【分析】根据幂函数的定义以及图象过点可得，故选项A 错误、故选项B 正确.根1(2,2()1f x x -=据幂函数的单调性可判断C 正确、D 错误.()1f x x -=【详解】∵为幂函数，∴，即，()2()22mf x m m x =--2221m m --=2230m m --=∴或，3m =1m =-当时，，此时，函数图象不过点，故，故选项A 错误：3m =()3f x x =(2)8f =1(2,2()3f x x ≠当时，，此时，函数图象过点，故，故选项B 正确；1m =-()1f x x -=1(2)2f =1(2,2()1f x x -=因为幂函数在上为减函数，故选项C 正确；()1f x x -=(,0)-∞因为幂函数在上为减函数，故选项D 错误.()1f x x -=(0,)+∞故选：BC10．下列各式的值等于1的有（ ）A ．B ．()22sin cos x x-+5πsin 2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．()cos 5π-()πcos 2sin 3παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+【答案】AD【分析】根据同角平方关系可判断A ，根据诱导公式可判断BCD.【详解】，选项A 正确；()2222sin cos sin cos 1x x x x -+=+=，选项B 错误；5π3π3πsin sin 4π+sin 1222⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项C 错误：()()cos 5πcos 6π+πcos π1-=-==-，选项D 正确，()πcos sin 21sin 3πsin αααα⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-+-故选:AD11．定义在R 上的函数满足：对任意的，有，集合A()f x 12x x ≠()()()1212012f x f x f x x -<=-，}，若“”是“”的充分不必要条件，则集合B 可以是（ ）(){20x x f x =-x A ∈x B ∈A ．B ．{}|0x x <{}|1x x <C ．D ．{}|2x x <{}|3x x <【答案】CD【分析】可先判断出函数在R 上单调递减，结合图象即可得，再由“”是()f x {}|1A x x =<x A ∈“x ∈B ”的充分不必要条件，对应集合是集合的真子集即可求解.A B 【详解】依题意得，函数在R 上单调递减，且图象过点()f x ()1,2()()202x xf x f x ->⇔>在同一坐标系下画出函数与的图象，()y f x =2xy =由图易知不等式的解集为，即，()20x f x ->{}|1x x <{}|1A x x =<因为“”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集．x A ∈A B 可以取满足集合是集合的真子集．{}{}|2,|3B x x B x x =<=<A B 故选：CD.12．若函数对，，不等式成立，则称在()f x ()12,1,x x ∀∈+∞()12x x ≠()()1222121f x f x x x -<-()f x 上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（ ）()1,+∞A ．B ．()21f x x =-+()221f x x x =++C ．D ．()22log f x x x =-()22f x x x x=-+【答案】ACD【解析】令，题中条件转化为判断在上是减函数，再逐项构造函数，进2()()g x f x x =-()g x (1,)+∞行判断即可．【详解】若函数满足对，，当时，不等式恒成立，()f x 1x ∀2(1,)x ∈+∞12x x ≠122212()()1f x f x x x -<-则，2211221222121212()()()()10()()f x x f x x f x f x x x x x x x ⎡⎤⎣⎡⎤----⎣⎦⎦-=<--+令，因为，则，，且恒成立，2()()g x f x x =-122x x +>1212()()0g x g x x x -<-1x ∀2(1,)x ∈+∞12x x ≠在上是减函数，2()()g x f x x ∴=-(1,)+∞对于A 选项，，则，对称轴是，开口向下，所以()21f x x =-+22()()12g x f x x x x =--=-+=1x -在递减，故A 正确；()g x (1,)+∞对于B 选项，，则在上单调递增，故B 错；()221f x x x =++2()()21g x f x x x =-=+(1,)+∞对于C 选项，，则在上显然单调递减，故C 正确；()22log f x x x=-22()()log g x f x x x =--=(1,)+∞对于D 选项，，则，因为与在都是减函()22f x x x x =-+22()()g x f x x x x =-=-+y x =-2y x =(1,)+∞数，所以在递减，故D 正确；()g x (1,)+∞故选：ACD【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将恒成立转化为新函数满足122212()()1f x f x x x -<-2()()g x f x x =-上恒成立，根据单调性的定义，判断新函数的单调性，即可求解.()()1212g x g x x x -<-三、填空题13．若sinα＜0 且tanα＞0，则α是第___________象限角．【答案】第三象限角【详解】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0，则α是第三象限角．【解析】三角函数值的象限符号.14．已知幂函数的图象经过点，则___________．()y f x =(2,4)(2)f -=【答案】4【分析】由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值．【详解】设，则，，即，()af x x =24a=2a =2()f x x =所以．(2)4f -=故答案为：415．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则log ba a Nb N =⇔=3log 6a =236b =______________.123ab a b ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭【答案】【解析】由题，分别化简的值代入即可.22log 362log 6b ==12,3ab a b +【详解】因为，所以，236b=22log 362log 6b ==所以，66321212log 3log 21log 62log 6a b +=+=+=3332ln 6ln3log 6ln 22ln 611log 2log 22log 62ln3ln 22233333332a b=====⨯==所以.1231aba b ⎛⎫+⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：【点睛】本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.16．设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则()y f x =[]1,1-()f x []0,1(1)()f a f a -<实数的取值范围是_______．a 【答案】1[0,)2【详解】∵函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若()y f x =[]1,1-()f x []0,1，()()1f a f a -<∴，解得：，111111a a a a ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩021112a a a ⎧⎪≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩10a 2≤<故答案为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)6(2)0【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；(2)根据诱导公式化简求值即可.【详解】（1）22log 33582lg 2lg 22+--()()2lo 23g 3322lg 5lg 22lg 2=+---223lg 5lg 22lg 2=+-+-7(lg 5lg 2)=-+71=-；6=（2）25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭πππsin 4πcos 3πtan 3π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsin cos tan634=+-11122=+-．0=18．已知全集，集合，集合.U =R {}2120A x x x =--≤{}11B x m x m =-≤≤+(1)当时，求；4m =()U A B ⋃ (2)若，求实数的取值范围.()U B A ⊆ m 【答案】(1)或；{4x x ≤5}x >(2)或.4m <-5m >【分析】（1）确定集合A ，B ，求出集合B 的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案.（2）求出集合A 的补集，根据，列出相应不等式，求得答案.()U B A ⊆ 【详解】（1）集合，{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤当时，，则或，4m ={}35B x x =≤≤{3U B x x =< 5}x >故或；()U A B = {4x x ≤5}x >（2）由题意可知或 ，,{3U A x x =<- 4}x >{}11B x m x m =-≤≤+≠∅由，则或，U B A ⊆ 13m +<-14m ->解得或.4m <-5m >19．已知函数，()2f x x x =-（1）判断的奇偶性；()f x （2）用定义证明在上为减函数.()f x ()0,∞+【答案】(1)奇函数；(2)证明见解析.【详解】试题分析：(1)首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用可说明是奇()()f x f x -=-()f x函数.(2)利用函数单调性的定义设设是上的任意两数，且，讨论12,x x ()0,+∞12x x <的符号即可证明函数在上为减函数.()()12f x f x -()f x()0,+∞试题解析：（1）函数的定义域为，()2f x x x =-{|0}x x ≠又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭∴是奇函数.()f x （2）证明：设是上的任意两数，且，12,x x ()0,+∞12x x <则 ()()12f x f x -=121222x x x x --+()()2121122x x x x x x -=+-()211221x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵且，120,0x x >>12x x <∴()2112210x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭即.()()12f x f x >∴在上为减函数.()f x ()0,+∞点睛：判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．20．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位xOy Ox αβ圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为，.3545（1）求的值；sin α（2）求.αβ+【答案】（1）；（2）.352π【解析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出、、的值，再计算的值即可出cos αsin βcos β()cos αβ+的值.αβ+【详解】（1）因为点的为角终边与单位圆的交点，且纵坐标为，P α35将代入，因为是锐角， ，所以， 35y =221x y +=α0x >45x =43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：，3sin 5α=（2）由，是锐角，可得，3sin 5α=α4cos 5α=因为锐角的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为，β45将代入，因为是锐角， ，可得， 45y =221x y +=β0x >35x =34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，4sin 5β=3cos 5β=所以，()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=因为，，所以，02πα<<02βπ<<0αβ<+<π所以.2παβ+=21．设函数，若实数使得对任意恒成立，求()sin 1f x x x =+,,a b c ()()1af x bf x c +-=x ∈R 的值.cos b ca 【答案】1-【分析】整理得，，()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可整理得，()()1af x bf x c +-=，据此，列出方程组，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解方程组，可得答案.22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪=⎨⎪--=⎩【详解】解：，()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()2sin 12sin 1133af x bf x c a x b x c ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++++-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦即，2sin 2sin 133a x b x c a bππ⎛⎫⎛⎫+++-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，2sin 2sin cos 2cos sin 1333a x b x c b x c a bπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为：，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭依题意，对任意恒成立，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R ，22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪∴=⎨⎪--=⎩由得：，22cos 0a b c +=cos 1b ca =-故答案为：1-22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使()y f x =1x 2x成立，则称该函数为“依赖函数”.()()121f x f x =（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；()sin g x x=（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；()12x f x -=[](),0m n m >mn （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，()()243h x x a a ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.t R ∈()()24h x t s t x ≥-+-+s 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）最大值为.()0,14112【解析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范()()1f m f n =2m n +=0n m >>01m <<m 围即可求出的取值范围；mn （3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求443a ≤≤4a >()f x 4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到a 2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭0∆≤，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭53239y x x =+4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦s 最大值.【详解】（1）对于函数的定义域内存在，则无解，()sin g x x=R 16x π=()22g x =故不是“依赖函数”.()sin g x x=（2）因为在上递增，故，即，，()12x f x -=[],m n ()() 1f m f n =11221m n --=2m n +=由，故，得，0n m >>20n m m =->>01m <<从而在上单调递增，故.()2mn m m =-()0,1m ∈()0,1mn ∈（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；443a ≤≤()()2h x x a =-4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦2x ②若，故在上单调递减，4a >()()2h x x a =-4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦从而，解得(舍)或，()4413h h ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭1a =133a =从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t R ∈()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭即恒成立，2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭由，得.22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭由，可得，4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦265324339s x x ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭又在单调递减，故当时，，53239y x x =+4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦43x =max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭从而，解得，26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭4112s ≤综上，故实数的最大值为.s 4112【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；()a f x ≥()maxa f x ≥()a f x ≤()mina f x ≤② 数形结合( 图象在 上方即可)；()y f x =()y g x =③ 讨论最值或恒成立.()min 0f x ≥()max 0f x ≤。

2022-2023学年四川省南充市西华师范大学附属中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年四川省南充市西华师范大学附属中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年四川省南充市西华师范大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ）{}1,2,3,4,5U ={}1,3A ={}3,5B =()U A B = A ．B ．C ．D ．{}1,2,4,5{}1,3,5{}2,4{}1,5【答案】C【解析】先根据并集的运算，求得，再结合补集的运算，即可求解.A B ⋃【详解】由题意，全集，，，{}1,2,3,4,5U ={}1,3A ={}3,5B =可得，所以.{1,3,5}A B = (){}2,4U C A B ⋃=故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．B ．，()f x =()2g x =()1f x =()0g x x =C ．，D ．，(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩()g t t =()1f x x =+()211x g x x -=-【答案】C【分析】根据函数定义域与函数解析式是否相同，可得答案.【详解】对于A ，由函数，且函数的定义域为，()f x (),-∞+∞()2g x =[)0,∞+则不是同一函数，故A 错误；对于B ，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一()1f x =(),-∞+∞()0g x x ={}0x x ≠函数，故B 错误；对于C ，由函数的定义域为，且的定义域为，则是(),0,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩(),-∞+∞()g t t =(),-∞+∞同一函数，故C 正确；对于D ，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不()1f x x =+(),-∞+∞()211x g x x -=-{}1x x ≠是同一函数，故D 错误.故选：C.3．若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）22103x x -+<x a >a A ．B ．C ．D ．1a ≥12a ≥12a ≤1a ≤【答案】C【分析】解不等式得，进而根据题意得集合是集合的真子集，22103x x -+<112x <<1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭(),+∞a 再根据集合关系求解即可.【详解】解：解不等式得，22103x x -+<112x <<因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，22103x x -+<x a >所以集合是集合的真子集，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭(),+∞a 所以12a ≤故选：C4．已知，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）1.42.25log 0.6,3,0.9a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b<<c<a<b b<c<a【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为，即，，即，，即55log 0.6log 10<=a<0 1.41333>=3b >202.100.90.9<<=，所以01c <<b c a>>故选：B 5．函数的零点所在区间是（ ）3ln y x x =-A ．B ．C ．D ．()3,4()2,3()1,2()0,1【答案】B【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.【详解】由在上递减，3,ln y y xx ==-(0,)+∞所以在上递减，3ln y x x =-(0,)+∞又，，3(2)ln 202f =-=>e (3)1ln 3ln 03f =-=<所以零点所在区间为.()2,3故选：B6．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足，当时，，则()()3f x f x +=-(]0,1x ∈()2ln x f x x=+（ ）()2023f =A ．2B ．C ．－2D ．－1212【答案】A【分析】由题意可得函数的周期，从而得到，由解析式可得答案.(2023)(1)f f =【详解】解：依题意，，，()()3f x f x +=-()()()63f x f x f x +=-+=函数的周期为6，()f x 故，()(2023)(33761)1f f f =⨯+=又，则．()12ln12f =+=(2023)2f =故选：A ．7．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足R ()f x [0,)+∞()30f =的的取值范围为（ ）()2(9)20x f x --≤x A ．B ．[3,1][3,5]-- (],1[3,5]-∞- C ．D ．[][-10]3,5 ，[13]--5]，（，∞ 【答案】A【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【详解】解：偶函数在上是增函数，()f x (0,)+∞函数在上为减函数，则，∴()f x (,0)-∞()()330f f -==则不等式等价为时，，此时，解得，()2(9)20x f x --≤290x ->(2)0f x - 33323x x x ⎧-⎨--⎩或 35x < 当时，，此时，解得，290x -<(2)0f x - 332323x x x -<<⎧⎨---⎩或 31x -<- 当时，显然满足题意，3x =±综上不等式的解为或，即的取值范围为.{|31x x -- 35}x x [3,1][3,5]--故选：A ．8．设正实数分别满足，则的大小关系为（ ）,,a b c 322log log 1a a b b c c ⋅=⋅=⋅=,,a b c A ．B ．a b c >>b c a >>C ．D ．c b a >>a c b>>【答案】B 【分析】作出的图像，利用图像和图像交点的横坐标比较大小即可.232,log ,log xy y x y x ===1y x =【详解】由已知可得，，，12aa =31logb b =21logc c =作出的图像如图所示：232,log ,log xy y x y x ===它们与交点的横坐标分别为，1y x =,,a b c 由图像可得，b c a >>故选：B二、多选题9．对于任意实数a ，b ，c ，d ，则下列命题正确的是（ ）A ．若ac 2>bc 2，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +d C ．若a >b ，c >d ，则ac >bd D ．若a >b ，则11a b >【答案】AB【分析】可由性质定理判断A 、B 对，可代入特例判断选项C 、D 错.【详解】解：若ac 2>bc 2，两边同乘以则a >b ，A 对，21c 由不等式同向可加性，若a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，B 对，当令a =2，b =1，c =﹣1，d =﹣2，则ac =bd ，C 错，令a =﹣1，b =﹣2，则，D 错.11a b <故选：AB.10．若，且，则（ ）0,0a b >>1a b +=A ．B 2212a b +≥12≥C ．D ．14ab ≥114a b +≥【答案】ACD【分析】根据基本不等式逐一分析ABC ，即可判断ABC ，结合基本不等式即()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可判断D.【详解】解：因为，且，0,0a b >>1a b +=所以，所以，()()22222221a bab ab a b +≥++=+=2212a b +≥当且仅当时，取等号，故A 正确；12a b ==，当且仅当时，取等号，故B 错误；a b +≥1212a b ==，所以，当且仅当时，取等号，故C 正确；()21144ab a b ≤+=14ab ≥12a b ==，所以，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭114a b +≥当且仅当，即时，取等号，故D 正确.b aa b =12a b ==故选：ACD.11．下列说法中正确的是（ ）A ．命题“，”的否定是“，”R x ∃∈220x x -<R x ∀∈220xx -≥B ．函数且的图象经过定点()3x f x a x -=+(0a >)1a ≠()3,4A C ．幂函数在上单调递增，则m 的值为4()()223169mm f x m m x -+=-+()0,∞+D ．函数的单调递增区间是()()25log 23f x x x =--[)1,+∞【答案】ABC【分析】根据存在量词命题的否定的概念以及函数的性质即可求解.【详解】对于A ，根据存在量词命题的否定的概念，易知，A 正确；对于B ，由于指数函数必经过点，所以函数的图象必过点，故B 正x y a =()0,1()3x f x a x -=+()3,4确；对于C ，幂函数中，，解得或，()2231()69mm f x m m x -+=-+2691m m -+=2m =4m =当时，，在上是单调减函数，不满足题意，2m =2()f x x -=(0,)+∞当时,，在上是单调增函数，满足题意，4m =4()f x x =(0,)+∞所以的值是4.故C 正确；m 对于D ，函数的定义域为，又二次函数在()()25log 23f x x x =--()(),13,-∞-⋃+∞2=23y x x --上单调递增，根据复合函数单调性的判定方法，故函数在上[)1,+∞()()25log 23f x x x =--()3,+∞单调递增，故D 错误.故选：ABC12．设函数，若函数有四个零点分别为且()2ln ,04,0x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩()()g x f x m =-1234,,,x x x x ，则下列结论正确的是（ ）1234x x x x <<<A ．B ．C ．D ．04m ≤<124x x +=-341x x ⋅=434412,e e x x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】画出函数图象，数形结合进行求解.【详解】画出函数的图象，如图所示：()f x要想函数有四个零点，则，A 错误；()()g x f x m=-04m <<由于当时，对称轴为，所以，B 正确；0x ≤()24f x x x =--2x =-124x x +=-当时，，所以，所以，C 正确；0x >()ln f x x=34ln ln x x -=341x x ⋅=因为，所以，故，由于，所以，由对勾函数04m <<40ln 4x <<441e x <<341x x ⋅=34441x x x x +=+知：在上单调递增，故，D 正确.441y x x =+()41,e 434444112,e e x x x x ⎛⎫+=+∈+ ⎪⎝⎭故选：BCD三、填空题13．若幂函数的图像经过点，则__________．()y f x =49,316⎛⎫⎪⎝⎭()2f -=【答案】14【分析】设出幂函数，代入点计算函数表达式，将代入得到答案.2-【详解】设：，图像经过点，即()af x x =49,316⎛⎫ ⎪⎝⎭94()2163aa =⇒=-()21(2)4f x x f -=⇒-=故答案为14【点睛】本题考查了幂函数的计算，属于简单题.14．关于不等式对于任意恒成立，则的取值范围是__________．x 240kx kx -+≥R x ∈k 【答案】[]0,16【分析】首先根据和两种情况进行分类讨论，根据题目条件利用判别式即可求解参数的=0k 0k ≠k 取值范围.【详解】当时，得恒成立，故满足题意；=0k 40≥当时，若要满足对于任意恒成立，0k ≠240kx kx -+≥R x ∈只需满足，解得：.()2>0Δ=4×4×0k k k --≤⎧⎪⎨⎪⎩016k <≤综上所述得.[]0,16k ∈故答案为：[]0,1615．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：，）lg20.3010≈lg30.4771≈【答案】2027【分析】年后产生的垃圾为，得到不等式，解得答案.n ()3000150%n⨯+()3000150%30000n⨯+>【详解】年后产生的垃圾为，故，n ()3000150%n⨯+()3000150%30000n⨯+>即，即，即，故，3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭()lg 3lg 21n ->1 5.68lg 3lg 2n >≈-6n ≥故年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.2027故答案为：202716．已知函数，，若存在，任意，使得()29x f x x +=()2log g x x a =+[]13,4x ∈[]24,8x ∈，则实数的取值范围是___________.()()12f x g x ≥a 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】将问题转化为在对应区间上，结合对勾函数、对数函数的性质求、max max ()()f x g x ≥()f x 的区间最值，即可求的范围.()g x a 【详解】若在上的最大值，在上的最大值，()f x [3,4]max ()f x ()g x [4,8]max ()g x 由题设，只需即可.max max ()()f x g x ≥在上，当且仅当时等号成立，[3,4]9()6f x x x =+≥=3x =由对勾函数的性质：在上递增，故.()f x [3,4]max 25()4f x =在上，单调递增，则，[4,8]()g x max ()3g x a =+所以，可得.2534a ≥+134a ≤故答案为：.13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦四、解答题17．计算下列各式的值：(1)；22300.7523(131638-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2).1lg163lg5lg5+-【答案】(1)7-(2)4【分析】(1)利用指数幂的运算性质即可求解；(2)利用对数的运算性质即可求解.【详解】（1）22300.7523(131638-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3991244=+--7=-（2）1lg163lg5lg5+-4lg 24lg 5=+4=18．（1）设全集，集合，，求U R ={}4A x x =≥{}15B x x =<<()U A B（2）若求函数的最小值.0,x >()()12x x y x++=【答案】（1）；（2）.{}5x x <min3y=【分析】（1）根据补集和并集的运算法则，即可求解.（2）根据基本不等式的定义，即可求解.【详解】解：（1）根据题意得，，={}U 4A x x =< ()U A B {}5x x <（2），则0x >232x x y x ++=23x x=++3≥3=（当且仅当即，故2x x=x =min 3y =+19．若函数满足()f x ()2121f x x x +=++(1)求函数的解析式；()f x (2)若函数，试判断的奇偶性，并证明.()()1g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x 【答案】(1)()2f x x =(2)偶函数，证明见解析【分析】（1）利用凑配法求得.()f x （2）根据函数奇偶性的定义证得的奇偶性.()g x 【详解】（1）由于，()()221211f x x x x +=++=+所以.()2f x x =（2），()()()22110g x f x f x x x x ⎛⎫=-=-≠ ⎪⎝⎭为偶函数，证明如下：()g x 的定义域为，()g x {}|0x x ≠且，()()()()222211g x x x g x x x -=--=-=-所以是偶函数.()g x 20．设函数 ()()()23,R f x ax a x b a b =-++∈(1)若不等式的解集为，求的值；()0f x <()1,3,a b (2)若，时，求不等式的解集．=3b 0a >()0f x >【答案】(1)1,=3a b =(2)答案见解析【分析】（1）不等式解集区间的端点是方程的解，运用韦达定理可得；（2）含参的一元二次不等式需要分情况进行解决.【详解】（1）函数 ，()()()23,R f x ax a x b a b =-++∈由不等式的解集为，得，()0f x <()1,30a >且1和3是方程的两根；则，()230ax a x b -++=3133=a a b a +⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得1,=3a b =（2）时，不等式为，=3b ()2330ax a x -++>可化为，()()130x ax -->因为，所以不等式化为，0a >()31(0x x a -->当时，，解不等式得或；0<3a <31a >1x <3x a >当时，不等式为，解得；=3a ()210x ->1x ≠当时，，解不等式得或；>3a 31a <3x a <1x >综上：时，不等式的解集为；0<3a <()3,1,a -∞+∞ （）当时，不等式的解集为；=3a {}|1x x ≠当时，不等式的解集为．>3a ()3,1,a -∞+∞ （）21．已知是定义在上的奇函数，当时，．()f x R 0x ≥()21xf x =-（1）求；(3)(1)f f +-（2）求的解析式；()f x （3）若，，求区间.x A ∈()[7,3]f x ∈-A 【答案】（1）6；（2）；（3）.()()()210210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩[]3,2-【解析】（1）利用函数的奇偶性将化为，再代入解析式可解得结果；(1)f -(1)f -（2）利用函数的奇偶性可求得结果；（3）分类讨论的范围代入解析式可解得结果.x 【详解】（1）∵是奇函数()f x ∴。

2022-2023学年山东省济南市历城高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省济南市历城高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省济南市历城高一上学期期末数学试题一、单选题1．方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为A ．B ．C ．D ．()0,1(){}0,1{}0,1{}2xx =【答案】C【分析】解方程x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，由此能求出方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合【详解】解：解方程x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为．{}0,1故选：C ．【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题.2．设命题，则命题的否定是（ ）2:{|1},21p n n n n n ∃∈>>-p A ．B ．2{|1},21n n n n n ∀∈>≤-2{|1},21n n n n n ∀∈≤≤-C ．D ．2{|1},21n n n n n ∃∈>≤-2{|1},21n n n n n ∃∈≤≤-【答案】A【分析】由特称命题的否定即可得解.【详解】因为命题为特称命题，2:{|1},21p n n n n n ∃∈>>-所以该命题的否定为“”.2{|1},21n n n n n ∀∈>≤-故选：A.【点睛】本题考查了特称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题.3．“”是“对任意的正数，”的（ ）18a =x 21a x x +≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】分析：当对任意的正数恒成立时，可得，21ax x +≥x ()2max 2a x x ≥-+由，所以当时，，此时.22112248y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭14x =max 18y =18a ≥所以“”是“对任意的正数，”的充分不必要条件.18a =x 21a x x +≥故选A4．函数的图象的大致形状是（ ）()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭A．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据已知中函数的解析式，可得函数f （x ）为偶函数，可排除C,D ，由得()0,0x f x →>到答案．【详解】()211sin sin 11x x xe f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故则是偶函数，排除C 、D ，又当()()f x f x -=()f x ()0,0x f x →>故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．5．已知函数的定义域为（ ）()f x =()11f x x -+A ．B ．(),1∞-(),1-∞-C ．D ．()(),11,0-∞-- ()(),11,1-∞--【答案】D【分析】先求得函数的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项.()f x 【详解】因为解得，所以函数的定义域为，()f x =24>0x x -0x <()f x ()0-∞，所以函数需满足且，解得且，()11f x x -+10x -<+10x ≠1x <1x ≠-故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域，以及复合函数的定义域的求解方法，属于基础题.6．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：,A C B）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===0.866≈中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．B ．C ．D ．3π4π2π23π【答案】A【解析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结6AB BC ==2ABC θ∠= 5.196sin 0.8667θ==θ论．【详解】解：依题意，设．6AB BC ==2ABC θ∠=则5.196sin 0.8666θ==≈，．3πθ∴=223πθ=设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．α则，2αθπ+=．3πα∴=故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知的三个内角分别为、、，若满足，ABC A B C 1sin 3A =tan C =（ ）()tan 22A C +=A ．B ．C ．D -【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的正切公式和二倍角公式即tan A可求解.【详解】因为，所以在中，角为锐角，tan 0C =<ABC A 由可得：1sin 3A =cosA ==sin tan cos A AA ===所以，tan tan tan()1tan tan A C A C A C ++==-⋅则，22tan()tan(22)1tan ()A C A C A C ++==--+故选：.C 8．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心()12212.5lg lg m m E E -=-k m (1,2)k E k =宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当较小时，）||x 2101 2.3 2.7x x x ≈++A ．1.27B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算．12E E 【详解】由题意，,211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-12lg 0.1E E =∴．0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．二、多选题9．下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．0.30.31.2 1.3<0.30.20.20.2>C ．D ．0.30.3log 1.2log 1.3> 1.20.2log 0.3log 0.3>【答案】AC【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质进行判断【详解】对于A ，因为在上递增，且，所以，所以A 正确，0.3y x =(0,)+∞ 1.2 1.3<0.30.31.2 1.3<对于B ，因为在上递减，且，所以，所以B 错误，0.2xy =R 0.30.2>0.30.20.20.2<对于C ，因为在上递减，且，所以，所以C 正确，0.3log y x =(0,)+∞ 1.2 1.3<0.30.3log 1.2log 1.3>对于D ，因为，，所以，所以D 错误，1.2 1.2log 0.3log 10<=0.20.2log 0.3log 10>= 1.20.2log 0.3log 0.3<故选：AC10．已知，，，则( )0a >0b >1a b +=A ．B ()4baC ．的最小值为0D ．()222log a b +2212a ab +1【答案】ABD【分析】选项A ：利用基本不等式和的单调性即可求解；选项B ：利用基本不等式的变形即4xy =可求解；选项C ：利用基本不等式的变形和的单调性即可求解；选项D ：首先对2log y x =变形，然后利用基本不等式即可求解.2212a ab +【详解】对于选项A ：因为，，，0a >0b >1a b +=，即，当且仅当时，有最大值，122a b +=14ab ≤12a b ==ab 14又因为是单调递增函数，所以A 正确；4xy =()14444abba =≤=对于选项B ，≤≤当且仅当，故B 正确；12a b ==对于选项C ，即，122a b +≥=2212a b +≥当且仅当时，取得最小值，12a b ==22a b +12因为在上单调递增，所以，2log y x =(0,)+∞()22221log log 12a b +≥=-从而的最小值为，故C 错误；()222log a b +1-对于选项D ：因为，，，0a >0b >1a b +=所以，22212113122222222a a a b a a a b a b a bab ab b b a b b a b a +++++==++=++=++故，2213111222a a b ab b a +=++≥=当且仅当，即，，故D 正确.322a b b a =a =b =2212a ab +1故选：ABD.11．已知函数下列说法正确的是（ ）()|cos |cos |2|f x x x =+A ．若，则有2个零点B ．的最小值为[,]x ππ∈-()f x ()f x C ．在区间上单调递减D ．是的一个周期()f x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭π()f x 【答案】CD【分析】利用余弦的二倍角公式展开，并利用换元法令，，|cos |t x =2()21(21)(1)f t t t t t =+-=-+根据一元二次函数的性质求得原函数的性质，并对选项一一分析.【详解】2()|cos |cos |2||cos |cos 22|cos ||cos |1f x x x x x x x =+=+=+-令，，则，|cos |t x =[0,1]t ∈2()21(21)(1)f t t t t t =+-=-+若，是函数的零点，即，共4个零点，故A 错误；[,]x ππ∈-1|cos |2t x ==()f x 22,,,3333x ππππ=--，函数单增，则当时，取最小值为-1，故B 错误；[0,1]t ∈0=t ()f x时，，，函数单增，单减，由复0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2()2cos cos 1f x x x =+-t ∈221y t t =+-cos t x =合函数单调性知，在区间上单调递减，故C 正确；()f x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭，()|cos()|cos |2()||cos |cos |2|()f x x x x x f x πππ+=+++=+=则是的一个周期，故D 正确；π()f x 故选：CD12．（多选）定义：表示的解集中整数的个数.若，{()()}N f x g x ⊗()()f x g x <2()|log |f x x =，则下列说法正确的是（ ）2()(1)2g x a x =-+A ．当时，=00a >{()()}N f x g x ⊗B ．当时，不等式的解集是0a =()()f x g x <1(,4)4C ．当时，=30a ={()()}N f x g x ⊗D ．当时，若，则实数的取值范围是a<0{()()}1N f x g x ⊗=a (,1]-∞-【答案】BCD【解析】根据定义可得，可转化为满足的整数的个数．分类讨论，{()()}N f x g x ⊗22|log |(1)2x a x <-+x 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，结合图象一一判断各选项即2()|log |f x x =2()(1)2g x a x =-+可得出答案．【详解】解：根据题意，可转化为满足的整数的个数．{()()}N f x g x ⊗22|log |(1)2x a x <-+x 当时，如图，数形结合得的解集中整数的个数有无数多个，故A 错误；0a >()()f x g x <当时，，数形结合（如图），由解得，0a =()2g x =()2f x <144x <<所以在内有3个整数解，为1，2，3，故B 和C 都正确；1(,4)4当时，作出函数和的图象，如图所示，a<02()|log |f x x =2()(1)2g x a x =-+若，即的整数解只有一个，{()()}1N f x g x ⊗=22|log |(1)2x a x <-+只需满足，即，解得，(2)(2)(1)(1)f g f g ≥⎧⎨<⎩2log 2202a ≥+⎧⎨<⎩1a ≤-所以时，实数的取值范围是，故D 正确；{()()}1N f x g x ⊗=a (,1]-∞-故选：BCD ．【点睛】本题主要考查新定义问题，考查函数图象的应用，考查数形结合思想，属于中档题．三、填空题13．计算：___________.2031lg16(1)27lg504π-+++=【答案】10【分析】利用指数的运算性质和对数的运算性质求解【详解】231lg16(1)27lg 504π-+++()24331lg 213lg 504=-++2lg 213lg 50=-++，lg1001910=-+=故答案为：1014．已知函数的图象恒过点P ，若点P 在角的终边上，则()log (2)1(0,1)a f x x a a =-+>≠α_________．sin 2α=【答案】35【分析】由对数函数的性质可得点的坐标，由三角函数的定义求得与的值，再由()3,1P sin αcos α正弦的二倍角公式即可求解.【详解】易知恒过点，即，()()log 21a f x x =-+()3,1()3,1P 因为点在角()3,1Pα=所以sin α=cos α所以，3sin 22sin cos 25ααα==⨯=故答案为：.3515．已知，若方程有四个不同的解，则21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =1234x x x x <<<的取值范围是___________．123411x x x x +++【答案】1(0,]2【分析】作出函数的图象可得：，，进而得到122x x +=-2324log log x x -=，然后，利用函数的单调性进而求解.123434112x x x x x x +++=-++2324log ,log x a x a =-=【详解】作出函数的图象，如下图所示：21,0()log,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩方程有四个不同的解，()f x a=1234x x x x <<<则，，所以，122x x +=-2324log log x x -=341x x =则，34123434341122x x x x x x x x x x ++++=-+=-++设，所以，2324log ,log x a x a =-=3422a ax x -+=+因为，所以，则，01a <≤52222a a -<+≤341022x x <-++≤则的取值范围为，123411x x x x +++1(0,]2故答案为：.1(0,216．定义在上函数满足，且当时，．若当R ()f x ()()112f x f x +=[)0,1x ∈()121f x x =--时，，则的最小值等于________．[),x m ∈+∞()116f x ≤m 【答案】154【分析】转化条件为在区间上，，作出函数的图象，[)(),1n n n Z +∈()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦数形结合即可得解．【详解】当时，故，[)1,2x ∈()()()11112322f x f x x =-=--当时，故…，[)2,3x ∈()()()11112524f x f x x =-=--可得在区间上，，[)(),1n n n Z +∈()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦所以当时，，作函数的图象，如图所示，4n ≥()116f x ≤()y f x =当时，由得，7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()11127816f x x =--=154x =由图象可知当时，，所以的最小值为．154x ≥()116f x ≤m 154故答案为：．154四、解答题17．已知集合，集合，其中实数．{}|1215A x x =≤-≤()(){}|1210B x x a x a =-++-≥1a >(1)当时，求；3a =()R A B ⋃ (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．x A ∈x B ∈a【答案】(1)；()(]5,3R A B ⋃=- (2).(]1,2【分析】（1）解一元一次、一元二次不等式求集合A 、B ，再应用集合的并补运算求.()R A B ⋃ （2）由题设可得是的真子集，结合已知条件列不等式求参数范围.A B 【详解】（1）由条件知：，，[]1,3A =(][),52,B ∞∞=--⋃+∴，故．()5,2R B =- ()(]5,3R A B ⋃=- （2）由题意知，集合是集合的真子集． A B 当时，，于是，而且，1a >()121320a a a ---+=->121a a ->-+211a -+<-∴，(][),211,B a a ∞∞=--+⋃-+又，则只需，又，解得[]1,3A =11a -≤1a >12a <≤∴实数的取值范围为．a (]1,218．（1）已知方程，的值．sin(3)2cos(4)απαπ-=-sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求1tan ,tan ααx 2230x kx k -+-=732παπ<<的值．cos sin αα+【答案】（1）；（2）34-【解析】（1）由已知利用诱导公式化简得到的值，再利用诱导公式化简tan α为含有的形式，代入即可；sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭tan α（2）由根与系数的关系求出的值，结合的范围求出，进一步求出，即可求k αtan αα的值．cos sin αα+【详解】解：（1）由得：，sin(3)2cos(4)απαπ-=-sin 2cos αα-=即，tan 2α=-，cos 0α∴≠sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭sin 5cos 2cos sin αααα+=-+sin 5cos cos cos 2cos sin cos cos αααααααα+=-+ tan 52tan αα+=-+ 2522-+=--；34=-（2），是关于的方程的两个实根，tan α 1tan αx 2230x kx k -+-= ，21tan tan 1tan 3tan k k αααα⎧+=⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩解得：， 2k =±又，732παπ<< ，tan 0α∴>，2k ∴=即，1tan 2tan αα+=解得：，tan 1α=，134πα∴=1313cos sin cossin 44ππαα+=+==【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.19．已知函数.()22sin cos 3f x x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求的最小正周期以及对称轴方程；()f x (2)设函数，求在上的值域.5()1212g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)最小正同期为，对称轴方程为π()212k x k ππ=+∈Z (2)32⎡-⎢⎣【分析】（1）利用三角函数的恒等变换公式将化为只含有一个三()22sin cos 3f x x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭角函数形式，即可求得结果；（2）将展开化简，然后采用整体处理的方法，求得答案.5()1212g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）()22sin cos 3f x x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1cos 22sin 22x x x ⎫=-⎪⎪⎭12sin 22x x =+，sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以的最小正同期为.()f x 22ππ=令，得对称轴方程为.2()32x k k πππ+=+∈Z ()212k x k ππ=+∈Z（2）由题意可知，3()sin 2cos22cos22623g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故，所以sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭3()2g x -≤≤故在上的值域为.()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32⎡-⎢⎣20．已知实数大于0，定义域为的函数是偶函数.a R 3()13x x af x a =++(1)求实数的值并判断并证明函数在上的单调性；a ()f x ()0,∞+(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.t ∈R ()()212f t f t m -≥-m 【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析；1a =()f x ()0,∞+(2).14m =【分析】（1）利用偶函数的性质求，利用单调性的定义证明函数的单调性即可；a ()f x（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】（1）因为为偶函数，且，所以()313x x a f x a =++()3113133x x x xa f x a a a ---=++=+⋅+⋅，解得，又，所以,；()()=f x f x -1a =±0a >1a =()1313xx f x =++设，则，因为，120x x >>()()()121212121211131313313333x x x x x x x xf x f x ⎛⎫-=++---=-- ⎪⋅⎝⎭120x x >>所以，，所以12330x x ->1212121133101103333x x x x x x ⋅>⇒<<⇒->⋅⋅，所以在上单调递增.()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>()f x ()0,∞+（2）因为为定义在上的偶函数，且在上单调递增，，所以()f x R ()0,∞+()()212f t f t m -≥-，平方得，又因为对任意不等式恒成立，所以212t t m-≥-()22344140t m t m +-+-≥R t ∈，解得.()()224443140m m∆=--⨯⨯-≤14m =21．科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖y x 金总数不超过投资收益的20%．（1）现有三个奖励函数模型：①，②，③，．试分析这()0.038f x x =+()0.8200x f x =+()20100log 50f x x =+[]3000,9000x ∈三个函数模型是否符合公司要求？（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？【答案】（1）见解析；（2）投资收益至少要达到万元8000【解析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证()f x ()100f x ≥()5xf x ≤所给的函数模型即可；（2）由，解不等式即可.2010050350log x +≥【详解】（1）由题意符合公司要求的函数在为增函数，()f x []3000,9000在且对，恒有且．[]3000,9000x ∀∈()100f x ≥()5xf x ≤①对于函数，当时，，不符合要求；()0.038f x x =+3000x =()300098100f =<②对于函数为减函数，不符合要求；()0.8200x f x =+③对于函数在，()2010050f x log x =+[]3000,10000显然为增函数，且当时，；()f x 3000x =()2030001002050100f log >+≥又因为；()()2020900010090005010016000050450f x f log log ≤=+<+=而，所以当时，．300060055x ≥=[]3000,9000x ∈()5max min x f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭所以恒成立；()5xf x ≥因此，为满足条件的函数模型．()2010050f x log x =+（2）由得：，所以，2010050350log x +≥203log x ≥8000x ≥所以公司的投资收益至少要达到万元．8000【点睛】本题主要考查的是函数模型的选择与运用，考查函数的单调性和最值以及恒成立问题，对数不等式的解法，考查学生的分析问题解决问题的能力.22．已知奇函数和偶函数满足．()f x ()g x ()()3sin e e x xg x x f x -+=++(1)求和的解析式；()f x ()g x (2)存在，，使得成立，求实数a 的取值范围．1x [)20,x ∈+∞()()()2211e x f x a x g --=-【答案】(1)，()3sin f x x=()e e x xg x -=+(2)9,4a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解和的解析式；（2）在第一问的基础上，问()f x ()g x 题转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出[]22e e 3,3x x a -+∈-[)20,x ∈+∞的最值，进而求出实数a 的取值范围.()e e x xh x a -=+【详解】（1）因为奇函数和偶函数满足①，所以()f x ()g x ()()3sin e e x xg x x f x -+=++②；联立①②得：()()()()3sin e e x xf g x f x g x x x -+-=-+=-++-，；()3sin f x x=()e e x xg x -=+（2）变形为，因为，所以，()()()2211e x f x a x g --=-221e e 3sin x x a x -+=[)10,x ∈+∞[]13sin 3,3x ∈-所以，[]22e e 3,3x x a -+∈-当时，在上有解，符合要求；0a =[]2e 3,3x ∈-[)20,x ∈+∞令，由对勾函数可知，当时，在上单调递减，在()e e xxh x a -=+1a >()e e xxh x a -=+ln 0,2a x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，，要想上有解，只需ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()min ln 2a h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()[]e e 3,3x x h x a -=+∈-，解得：，所以；()min 3h x =≤94a ≤91,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦若且，在上单调递增，要想上有解，只1a ≤0a ≠()ee xxh x a -=+[)0,x ∈+∞()[]e e 3,3x x h x a -=+∈-需，解得：，所以；综上：实数a 的取值范围为()()min 013h x h a ==+≤2a ≤()(],00,1a ∈-∞ .9,4a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦。

高中一年级数学试题和答案解析

高中一年级数学试题和答案解析

高中一年级数学试题和答案解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题；满分50分）一、选择题（本大题共10小题；每小题5分；共50分．在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的；把正确的答案填在指定位置上.） 1. 若角αβ、满足9090αβ-<<<oo；则2βα-是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2. 若点(3,)P y 是角α终边上的一点；且满足30,cos 5y α<=；则tan α=（ ） A ．34- B ．34 C ．43 D ．43-.3. 设()cos30()1f x g x =-o；且1(30)2f =o；则()g x 可以是（ ） A ．1cos 2x B ．1sin 2x C ．2cos x D ．2sin x 4. 满足tan cot αα≥的一个取值区间为（ ） A ．(0,]4πB ．[0,]4πC ．[,)42ππD ． [,]42ππ5. 已知1sin 3x =-；则用反正弦表示出区间[,]2ππ--中的角x 为（ ）A ．1arcsin3 B ．1arcsin 3π-+ C ．1arcsin 3- D ． 1arcsin 3π+6. 设0||4πα<<；则下列不等式中一定成立的是：( ）A ．sin 2sin αα>B ．cos2cos αα<C ．tan 2tan αα>D ．cot 2cot αα< 7. ABC ∆中；若cot cot 1A B >；则ABC ∆一定是（ ） A ．钝角三角形 B ． 直角三角形 C ．锐角三角形 D ．以上均有可能 .8. 发电厂发出的电是三相交流电；它的三根导线上的电流分别是关于时间t 的函数：2sin sin()sin()3A B C I I t I I t I I t πωωωϕ==+=+且0,02A B C I I I ϕπ++=≤<；则ϕ=（ ） A ．3π B ．23π C ．43π D ．2π.9. 当(0,)x π∈时；函数21cos 23sin ()sin x xf x x++=的最小值为（ ）A ．B ．3C ．D ．410.在平面直角坐标系中；横、纵坐标均为整数的点叫做格点. 若函数()y f x =的图象恰好经过k 个格点；则称函数()f x 为k 阶格点函数. 下列函数中为一阶格点函数的是 （ ）A ．sin y x =B ．cos()6y x π=+C ．lg y x =D ．2y x =第Ⅱ卷（非选择题；共计100分）二、填空题（本大题共5小题；每小题5分；共25分；把正确的答案填在指定位置上.） 11．已知3cos 25θ=；则44sin cos θθ-的值为 12．若3x π=是方程2cos()1x α+=的解；其中(0,2)απ∈；则α=13．函数13()tan(2)3f x log x π=+的单调递减区间为14．函数y =的值域是15．设集合{}(,)M a b =平面内的点； {}()|()cos3sin3N f x f x a x b x ==+. 给出M 到 N 的映射:(,)()cos3sin3f a b f x a x b x →=+. 关于点(的象()f x 有下列命题： ①3()2sin(3)4f x x π=-；②其图象可由2sin3y x =向左平移4π个单位得到； ③点3(,0)4π是其图象的一个对称中心 ④其最小正周期是23π⑤在53[,]124x ππ∈上为减函数其中正确的有三．解答题（本大题共5个小题；共计75分；解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．）16. （本题满分12分）已知3,(,)4παβπ∈；tan()24πα-=-；3sin()5αβ+=-. （1）求sin 2α的值； （2）求tan()4πβ+的值.17. （本题满分12分） 已知函数2()cos 2cos f x x x x m =++.（1）求函数()f x 在[0,]π上的单调递增区间； （2）当[0,]6x π∈时；|()|4f x <恒成立；求实数m 的取值范围.18. （本题满分12分）已知函数426cos 5sin 4()cos 2x x f x x+-=（1）求()f x 的定义域并判断它的奇偶性； （2）求()f x 的值域.19. （本题满分12分）已知某海滨浴场的海浪高度()y m 是时间t （时）(024)t ≤≤的函数；记作()y f t =.下表是某日各时的浪高数据：经长期观察；()y f t =的曲线可近似的看成函数cos (0)y A t b ωω=+>.（1）根据表中数据；求出函数cos y A t b ω=+的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式； （2）依据规定；当海浪高度高于1m 时才对冲浪者开放；请根据（1）中的结论；判断一天中的上午8：00到晚上20：00之间；有多少时间可供冲浪者运动？20．（本题满分13分）关于函数()f x 的性质叙述如下：①(2)()f x f x π+=；②()f x 没有最大值；③()f x 在区间(0,)2π上单调递增；④()f x 的图象关于原点对称.问：（1）函数()sin f x x x =⋅符合上述那几条性质？请对照以上四条性质逐一说明理由. （2）是否存在同时符合上述四个性质的函数？若存在；请写出一个这样的函数；若不存在；请说明理由. 21. （本题满分14分）（甲题）已知定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的奇函数()f x 满足(1)0f =；且在(0,)+∞上是增函数. 又函数2()sincos 2(0)2g m m πθθθθ=+-≤≤其中（1）证明：()f x 在(,0)-∞上也是增函数；（2）若0m ≤；分别求出函数()g θ的最大值和最小值；（3）若记集合{}|()0M m g θ=<恒有；{}|[()]0N m f g θ=<恒有；求M N I . .（乙题）已知,αβ是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根；函数22()1x t f x x -=+的定义域为[,]αβ.（1）证明：()f x 在其定义域上是增函数； （2）求函数()max ()min ()g t f x f x =-； （3）对于(2)；若已知(0,)(1,2,3)2i u i π∈=且123sin sin sin 1u u u ++=；证明：123111(tan )(tan )(tan )4g u g u g u ++<.1.A 解析：由9090αβ-<<<oo得；10()902βα<-<oo ；故2βα-是第一象限角。

2021-2022学年上海市进才中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市进才中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市进才中学高一上学期期末数学试题一、填空题1．若集合2{,}A x x =，则实数x 可取的值的全体所构成的集合为 __． 【答案】()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+【分析】根据集合元素的互异性求解即可. 【详解】解：∵2x x ≠ ，∴0x ≠且1x ≠ ；所以，实数x 可取的值的全体所构成的集合为()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+； 故答案为：()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+ 2．已知1x >，则41x x +-的取值范围是__________. 【答案】[5,)+∞【分析】化成积为定值的形式后,利用基本不等式可得. 【详解】因为1x >,所以10x ->,所以41x x +-411151x x =-++≥=-,当且仅当411x x -=-,即3x =时取等号. 故答案为:[5,)+∞.【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,属于基础题.3．已知函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，写出函数()12y f x =--的图象的一个对称中心______. 【答案】1,2【分析】由奇函数的定义可得()f x 的1个对称中心为()0,0，由函数图象的变换规律分析可得答案. 【详解】根据题意，函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，其对称中心为()0,0，将()y f x =的图象向右平移1个单位得()1y f x =-，再向下平移2个单位可得()12y f x =--的图象，所以函数()12y f x =--的图象的一个对称中心为1,2； 故答案为：1,2.4．已知函数1y kx =+的零点在区间()1,1-内，常数k 的取值范围为______.【答案】()(),11,-∞-⋃+∞【分析】利用函数零点存在性定理即可解决问题. 【详解】∵函数1y kx =+恰有一个零点在区间()1,1-内， ∴()()110-+<k k ， ∴()(),11,k ∈-∞-+∞，故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.5．已知2log 90a <，实数a 的取值范围为__________. 【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用对数的性质得到22log 9log 1a a <，从而判断得2log a y x =的单调性，由此即可求得a 的范围.【详解】因为22log 90log 1a a <=，91>， 所以2log a y x =在()0,∞+上单调递减， 则021a <<，得102a <<，即10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.6．已知集合11,,0,2,32A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，()(){,kB y f x f x x k A ===∈且()y f x =为奇函数}，则集合B 的子集个数为______. 【答案】4【分析】根据题意，由幂函数的性质可得集合B ，进而分析可得答案. 【详解】根据题意，集合11,,0,2,32A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，()(){,k B y f x f x x k A ===∈且()y f x =为奇函数}，则()(){}13,B f x x f x x -===，则集合B 有2个元素，所以集合B 的子集有224=个， 故答案为：4.7．函数22y x x =-，[]2,1x ∈-的反函数为______.【答案】1y =[]1,8x ∈-【分析】先由二次函数的性质求得[]1,8y ∈-，即为反函数的定义域，再由220x x y --=，解得1x =.【详解】解：函数22y x x =-的对称轴为1x =， ∴当[]2,1x ∈-时，22y x x =-单调递减，∴[]1,8y ∈-，由22y x x =-可得220x x y --=，解得1x =又∵[]2,1x ∈-，∴1x =∴函数22y x x =-，[]2,1x ∈-的反函数为1y =[]1,8x ∈-.故答案为：1y =[]1,8x ∈-8．函数()2lg 82y x x =+-的单词递增区间是_________.【答案】(]2,1-【分析】先求()2lg 82y x x =+-的定义域，再通过282y x x =+-的单调增区间求函数()2lg 82y x x =+-的单词递增区间．【详解】解：函数()2lg 82y x x =+-的定义域为()2,4-，在区间()2,4-内，由复合函数的单调性得函数()2lg 82y x x =+-的单词递增区间即为函数282y x x =+-的单调增区间，即为(]2,1-， 故答案为：(]2,1-【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，注意函数的定义域，是基础题．9．要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价y （元）关于池底一边的长度x （米）的函数关系为：______.【答案】166000150016y x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭，0x >【分析】根据条件便可得到池底面积为4平方米，底面的另一边长16x，从而便可得到总造价y 与x 的解析式.【详解】根据条件，该蓄水池的总造价y 元，池底一边的长度x 米，底面另一边长为16x米,∴长方体的底面积为16，侧面积为1632x x ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，由题意得：166000150016y x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭，0x >,故答案为：166000150016y x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭，0x >.10．若函数()()()3141112x a x a x y a x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的严格减函数，则实数a 的取值范围为______.【答案】11,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可.【详解】()()()3141112x a x a x y a x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的严格减函数，310011712a a a a ⎧⎪-<⎪<<⎨⎪⎪-≥-⎩，解得11123a ≤<，实数a 的取值范围是11,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭.11．商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买a 公斤，乙每次购买b 元（a ，b 互不相等），该方案实施2次后______的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”） 【答案】乙【分析】设每次购买时商品的价格分别为x 元/公斤、y 元/公斤(),0x y >，可将甲乙2次购买的平均价格用x ，y 表示出来，再用基本不等式比较即可得答案.【详解】设每次购买时商品的价格分别为x 元/公斤、y 元/公斤(),0x y >， 则甲的平均价格为：22ax ay x ya ++=；乙的平均价格为：22bxyb b x y xy =++， 因为,0x y >，所以2x y+≥=2xy x y=+（当且仅当x y =时取“=”号）， 所以22x y xyx y+≥+（当且仅当x y =时取“=”号），故乙的平均价格更低， 故答案为：乙.12．已知函数()y f x =为()22f ax x b x =++，其中a b >，若()0f x ≥对任意x ∈R 的恒成立，且函数存在零点，则22a b a b+-的最小值为______.【答案】【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得1ab =，由此可得()()22222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---，结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意，函数()22f ax x b x =++满足()0f x ≥对任意x ∈R 的恒成立，且函数存在零点，必有440ab ∆=-=，则有1ab =，则()()22222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---，又由a b >，则()2a b a b -+≥-当且仅当a b -=即22a b a b+-的最小值为故答案为：二、单选题13．已知函数()y f x =的定义域为R ，则命题“()y f x =是偶函数”是命题“()()f x f x =对一切实数x 都成立”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析两个命题的关系，结合充分必要条件的定义可得答案． 【详解】解：根据题意，若()y f x =是偶函数，即()()f x f x -=，必有()()f x f x =成立， 反之，若()()f x f x =，当0x <时，有()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数， 故题“()y f x =是偶函数”是命题“()()f x f x =对一切实数x 都成立”的充分必要条件， 故选：C ．14．“对于任意R x ∈的实数，不等式|2||3|x x a +--≥恒成立”的一个充分必要条件是（ ） A ．][(),23,a ∞∞∈--⋃+B ．[]2,3a ∈-C ．(],5a ∞∈-D ．(],5a ∞∈--【答案】D【分析】将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，因此利用分类讨论法求得|2||3|x x +--的最小值，即可求得答案.【详解】对于任意R x ∈的实数，不等式|2||3|x x a +--≥恒成立，min [|2||3|]a x x ∴≤+--，由20x +=，得2x =-，由30x -=，得3x =， 当<2x -时，|2||3|235x x x x +--=---+=-；当23x -≤≤时，|2||3|2321[5x x x x x +--=+-+=-∈-，5]； 当3x >时，|2||3|235x x x x +--=+-+=, 综上，|2||3|[5x x +--∈-，5].min [|2||3|]5a x x ∴≤+--=-，∴“对于任意R x ∈的实数，不等式|2||3|x x a +--≥恒成立”的一个充分必要条件是(-∞，5]-.故选：D .15．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则2(lg )ab的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】运用二次方程的韦达定理和对数的运算性质，结合配方法，计算即可得到所求值． 【详解】lga lgb ， 是方程22410x x -+=的两个根，由韦达定理可得， 可得122lga lgb lgalgb +==， ， 则22221lg ?4244222a lga lgb lga lgb lgalgb b ⎛⎫=-=+-=-⨯=-= ⎪⎝⎭（）（）．故选C ．【点睛】本题考查对数的运算性质，以及二次方程根的韦达定理的运用，考查配方法，属于基础题． 16．已知函数()y f x =，x D ∈，若存在实数m ，使得对于任意的x D ∈，都有()f x m ≥，则称函数()y f x =，x D ∈有下界，m 为其一个下界.类似的，若存在实数M ，使得对于任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数()y f x =，x D ∈有上界，M 为其一个上界.若函数()y f x =，x D ∈既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.对于下列4个命题： ①若函数()y f x =有下界，则函数()y f x =有最小值；②若定义在R 上的奇函数()y f x =有上界，则该函数是有界函数； ③对于函数()y f x =，若函数()y f x =有最大值，则该函数是有界函数； ④若函数()y f x =的定义域为闭区间[],a b ，则该函数是有界函数. 其中真命题的序号为（ ） A ．①③ B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】B【分析】举特例说明①、④不正确；由奇函数的性质结合已知，可判断②；根据已知推导出()M f x M -≤≤，即可判断③；【详解】根据函数上界，下界，有界的定义分别进行判断即可. 对于①，设()1f x x=()0x >，则()0f x ≥恒成立，即函数()y f x =有下界，但函数()y f x =没有最小值，故①错误；对于②，若定义在R 上的奇函数()y f x =有上界，设上界为M ，则0M >，根据题意有，x ∀∈R ，有()f x M ≤成立.所以当0x >，()f x M ≤成立，则当0x <时，有0x ->，则()f x M -≤，即()f x M -≤，则()f x M ≥-； 当0x <时，()f x M ≤成立，则当0x >时，0x -<，则()f x M -≤，即()f x M -≤，则()f x M ≥-； 当0x =时，由奇函数性质可得()()00f f =-，所以()00f =.所以，当0x >时，()M f x M -≤≤成立；当0x <时，()M f x M -≤≤成立；当0x =时，()00f =，显然满足()0M f M -≤≤.所以x ∀∈R ，都有()M f x M -≤≤成立，所以函数是有界函数，故②正确；对于③，对于函数()y f x =，若函数()y f x =有最大值，设()f x M ≤，则()M f x M -≤≤，该函数是有界函数，故③正确；对于④，令()1,01,01x f x x x=⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则函数()y f x =的定义域为闭区间[]0,1，则函数()f x 的值域为[)1,+∞，则()f x 只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数.故④错误； 所以真命题的序号为②③. 故选：B.三、解答题17．设全集U =R ，设函数2lg(1)y ax =-的定义域为集合A ，函数1y x x=+的值域为集合B ． (1)当1a =时，求A ；(2)若R A B =，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)[1,1]A =- (2)1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）当1a =时解不等式210x ->，再求A 即可； （2）先求函数1y x x=+的值域得到集B ，根据R A B =可转化为当(2,2)x ∈-时，210ax -≤恒成立，从而分类讨论即可．【详解】（1）当1a =时，由对数函数的定义域可得210x ->， 解得1x >或1x <-， 故[1,1]A =-.（2）由对勾函数的值域可得(,2][2,)B =-∞-+∞， 又因为R A B =，所以(2,2)A -⊆，即当(2,2)x ∈-时，210ax -≤恒成立， ①当0x =时，10-≤恒成立，符合题意， ②当0x ≠时，210ax -≤即21a x ≤， 因为2114x >，所以14a ≤；综上所述，实数a 的取值范围为1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.18．已知关于x 的不等式()lg 37x x a ++-≤. (1)当1a =时，解该不等式；(2)若该不等式的解集为∅，求常数a 的取值范围. 【答案】(1)[]3,7-； (2)(),1-∞【分析】（1）利用对数函数单调性，原不等式等价为3710x x ++-≤，分类讨论求解或由绝对值几何意义求解均可；（2）不等式的解集为∅，则()min lg 37a x x ⎡⎤<++-⎣⎦恒成立，求37x x ++-最小值即可.【详解】（1）24,73710,3724,3x x y x x x x x ->⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪-+<-⎩，则10y ≥当1a =时，关于x 的不等式()lg 371lg10x x ++-≤=，∴3710x x ++-≤，解集为[]3,7-； （2）若该不等式的解集为∅，则()lg 37a x x <++-恒成立，即()min lg 37a x x ⎡⎤<++-⎣⎦， lg101a <=，则常数a 的取值范围为(),1-∞.19．某条货运线路总长2000千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速50千米/时（含），最高限速100千米/时（含）.汽油的价格是每升8元，汽车在该路段行驶时，速度为x 千米/时，每小时油耗为24240x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升.（假设汽车保持匀速行驶）(1)求该线路行车油费y （元）关于行车速度x （千米/时）的函数关系； (2)车速为何值时，行车油费达到最低？并求出最低的行车油费；(3)运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在24小时内送达，否则将少支付50元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速. 【答案】(1)640002003xy x =+，[]50,100x ∈ (2)50x =，138403元 (3)50千米/时【分析】（1）行车所用时间为2000x ，汽车每小时油耗24240x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，然后求解行车总费用.（2）当[]50,100x ∈时，函数严格增，然后求解函数的最小值.（3）求出行车总费用6400200250,[50,]33()6400020025050,(,100]33xx x y f x x x x⎧+∈⎪⎪==⎨⎪+-∈⎪⎩，通过分段函数，求解函数的最小值即可.【详解】（1）行车所用时间为2000x，根据汽油的价格是每升8元， 而汽车每小时油耗24240x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，则行车总费用为2200064000200842403x x y x x ⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭，[]50,100x ∈.（2）由（1）知640002003x y x =+，[]50,100x ∈ 令64000200()3xg x x =+，[]50,100x ∈ 设2150x x >≥， 则()2112212121122002009606400064000()()200333x x x x g x g x x x x x x x ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭因为2150x x >≥，故129600x x ->，所以21()()g x g x > 所以当[]50,100x ∈时，函数640002003xy x =+严格增， 则当50x =时，行车油费最低，最低为138403元. （3）在24小时内送达行驶速度为1000250243＝，由题意知行车总费用 6400200250,[50,]33()6400020025050,(,100]33xx x y f x x x x⎧+∈⎪⎪==⎨⎪+-∈⎪⎩，当25050,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数640002003x y x =+严格增，()y f x =的最小值为()13840503f =，当250,1003x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数64000200503x x y +-=严格增，()f x >2505646213840393f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 所以综上所述，最优车速为50千米/时. 20．已知函数()y f x =满足()()1log 0,11a mxf x a a x -=>≠-且()y f x =为奇函数. (1)求m 的值；(2)判断()y f x =在区间()1,+∞上的单调性；(3)当12a =时，若对于任意的[]3,4x ∈，总有()12xf x b ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，求实数b 的取值范围.【答案】(1)1m =- (2)答案见解析(3)9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）先由()y f x =是奇函数得到()()f x f x -=-，从而由x 不恒为0求得m 即可； （2）利用复合函数的单调性的性质，先判断得12111x t x x +==+--在()1,+∞上单调递减，再通过讨论a 的范围即判断函数()y f x =的单调性；（3）构造函数()()12xg x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将问题转化为()min b g x <，再结合（2）中结论判断得()g x 的单调性，从而得解.【详解】（1）因为()y f x =是奇函数， 所以()()f x f x -=-，即111log log log 111a a a mx mx x x x mx+--=-=----， 则11011mx x x mx+-=>---，得22211m x x -=-， 则()2210m x -=，由于x 不恒为0，故21m =，即1m =±，当1m =时，111011mx xx x --==-<--，不满足题意，舍去； 当1m =-时，()1log 1ax f x x +=-，由101xx +>-得1x <-或1x >，所以()f x 的定义域关于原点对称， 又有()()f x f x -=-，故()f x 是奇函数，满足题意； 综上：1m =-.（2）由（1）知()1log 1a x f x x +=-， 令12111x t x x +==+--，易知其在()1,+∞上单调递减，且2111t x =+>-， 所以当1a >时，log a y t =在()1,+∞上单调递增，则()y f x =在()1,+∞上单调递减； 当01a <<时，log a y t =在()1,+∞上单调递减，则()y f x =在()1,+∞上单调递增； 综上：当1a >时，()y f x =在()1,+∞上单调递减； 当01a <<时，()y f x =在()1,+∞上单调递增.（3）对于任意的[]3,4x ∈，总有()12x f x b ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，即()12xb f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，令()()12xg x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()min b g x <，因为当12a =时，由（2）知()121log 1x f x x +=-在区间()1,+∞上单调递增， 又易知12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]3,4上单调递增，所以()()12xg x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]3,4上单调递增，故()()311min22131193log log 231288g x g +⎛⎫==-=-=- ⎪-⎝⎭，所以98b <-，即9,8b ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.21．对于函数()y f x =,x D ∈,设区间I 是D 上的一个子集,对于区间I 上任意的1x ,2x ,3x ,当123x x x <<时,如果总有()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --<--,则称函数()y f x =是区间I 上的T 函数.(1)判断下列函数是否是定义域上的T 函数:①2yx ,②21y x =+;(2)已知定义域上的严格增函数()y f x =也是定义域上的T 函数,试问:()1y f x -=是否是定义域上的T 函数?若是,请给出证明;若不是,请说明理由;(3)若函数()y f x =为区间I 上的T 函数,证明:对于任意的1x ,2x I ∈和任意的()0,1λ∈,总有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-<+-⎡⎤⎣⎦. 【答案】(1)①是;②不是 (2)不是,理由见解析 (3)证明见解析【分析】(1)利用作差法,结合T 函数的定义即可逐个判定;(2)()1y f x -=不是定义域上的T 函数,由反函数的性质及T 函数的定义即可证明;(3)假设12x x <,则()11221x x x x λλ<+-<,利用T 函数的定义化简即可得证. 【详解】（1）①当123x x x <<时,()()()()()()222221323221213213213221320f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -----=-=+-+=-<----，所以①是定义域上的T 函数;②当123x x x <<时,()()()()21322132f x f x f x f x x x x x ---=--()()()()2132213221212121220x x x x x x x x +-++-+-=-=--,所以②不是定义域上的T 函数.（2）()1y f x -=不是定义域上的T 函数,理由如下:因为()y f x =是定义域上的严格增函数,所以当123x x x <<时,()()()231f x f x f x <<,即123y y y <<,若原函数为增函数,则反函数也是增函数,即若123x x x <<,则()()()111123f x f x f x ---<<,又因为()y f x =是定义域上的T 函数,即当123x x x <<时,总有()()()()213221320f x f x f x f x x x x x --<<--,所以()()()()32212132x x x x f x f x f x f x -->--,即当123x x x <<时,()()()()111121322132f y f y f y f y y y y y ------>--, 综上所述,()1y f x -=不是定义域上的T 函数.（3）证明:若对于任意的1x ,2x I ∈和任意的()0,1λ∈,假设12x x <,则()11221x x x x λλ<+-<, 因为函数()y f x =为区间I 上的T 函数,所以()()()()()()()()1212121212121111f x x f x f x f x x x x x x x x λλλλλλλλ+---+-<+---+-⎡⎤⎣⎦,化简得()()()()()()()()()1212122121111f x x f x f x f x x x x x x λλλλλλ+---+-<---,∵21x x >,∴210x x ->,∴()()()()()()()121212111f x x f x f x f x x λλλλλλ+---+-<-,∴()()()()()()()()1212121111f x x f x f x f x x λλλλλλλλ+--<---+-, ∴()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-<+-.【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，解题的关键是对新函数定义的理解与应用，考查逻辑推理能力，属于难题.。

2021-2022学年山东省临沂市临沂高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年山东省临沂市临沂高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年山东省临沂市临沂第四中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．命题“，”的否定是（ ）x ∃∈Z ()210x +≤A ．，B ．，x ∀∉Z 2(1)0x +≥x ∀∉Z 2(1)0x +<C ．，D ．，x ∀∈Z 2(1)0x +≥x ∀∈Z 2(1)0x +>【答案】D【分析】该题考查了特称命题及否定形式知识，量词要改变，结论要否定．【详解】根据特称命题的否定形式得，“，”的否定是：，，故A ，B ，C 错误.x ∃∈Z 2(1)0x +≤x ∀∈Z 2(1)0x +>故选：D ．2．已知集合，，若，则实数的值为（ ）{}2,,0A a a ={1,2}B ={}1A B ⋂=a A ．B ．01-C ．1D ．1±【答案】A 【分析】根据，得到，再由集合元素的互异性求解.{}1A B ⋂=1A ∈【详解】因为，所以，{}1A B ⋂=1A ∈又，所以且，2a a ≠0a ≠1a ≠所以，所以或（舍去），21a =1a =-1a =此时满足.{}1A B ⋂=故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念，集合中元素的互异性，属于基础题.3．“是钝角”是“是第二象限角”的（ ）ααA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据钝角和第二象限角的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】因为是钝角，所以，因此是第二象限角，α90180α︒︒<<α当是第二象限角时，例如是第二象限角，但是显然不成立，α451︒90180α︒︒<<所以“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件，αα故选：A4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．B ．与y =2y x =-ln y x =22e log y x =C ．与D ．与2562x x y x ++=+3y x =+2y x =3log 9xy =【答案】D【分析】对于A ，根据两个函数的对应关系不同可知不表示同一个函数；对于B ，利用对数的性质化简函数解析式，再根据两个函数的对应关系不同可知不表示同一个函数；对于C ，根据两个函数的定义域不同可知不表示同一个函数；对于D ，利用对数的性质化简函数解析式，再根据两个函数的对应关系和定义域都相同可知表示同一个函数；【详解】对于A ，函数与函数的对应关系不同，不表示同一个函数，y 2||x =-2y x =-故A 不正确；对于B ，函数与的对应关系不同，不表示同一个函数，故B 不正确；ln y x =22e log y x =ln ||x =对于C ，函数与的定义域不同，不表示同一个函数，故C 不正确；2563(2)2x x y x x x ++==+≠-+3y x =+对于D ，函数与的定义域和对应关系都相同，表示同一函数，故D2y x =3log 9xy =23log 32x x ==正确.故选：D 5．函数的零点所在的区间为（ ）()121log f x x x=+-A ．B ．C ．D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1143⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用函数的零点存在定理判断.【详解】因为，1211131log 04444f ⎛⎫=+-=-< ⎪⎝⎭，1433112222211141161log log log 2log 3log 03333327f ⎛⎫⎛⎫=+-=-=-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1211111log 02222f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭所以函数的零点所在的区间为，()121log f x x x=+-11,32⎛⎫⎪⎝⎭故选：C6．设，，则（ ）ln 2x =lg 2y =A ．B ．tan()x y xy x y ->>+tan()x y x y xy ->+>C ．D ．tan()x y xy x y +>>-tan()x y x y xy+>->【答案】D【分析】先判断的范围，利用和判断出，，再结合正切函数判,x y 11x y +11y x -x y xy +>x y xy ->断出，即可求解.()tan x y x y+>+【详解】由，可得，故0ln 2ln e 1x <=<=10lg 22y <=<=2211log e,log 10x y ==，即，，即()22211log e log 10log 10e 1x y +=+=>x y xy +>2221110log 10log e log 1e y x ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，又时，，，故，综上x y xy ->(0,)2x π∈tan x x >3022x y π<+<<()tan x y x y +>+.()tan x y x y x y xy +>+>->故选：D.7．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()y f x =3π数的图象，若，则的最小值为（ ）()y g x =()()g x g x -=ωA ．2B ．C ．3D ．5272【答案】B【分析】利用图象的变换可得，进而可得，即求.()sin 33g x x ππωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,Z 332k k πππωπ-+=+∈【详解】由题可得，又，()sin sin 3333y g x x x ππππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()g x g x -=∴函数为偶函数，()y g x =∴，即，,,Z 332k k πππωπ-+=+∈13,Z2k k ω=--∈0ω>∴时，有最小值为.1k =-ω52故选：B8．在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：，记作）和氢/mol L []H +氧根离子的物质的量的浓度（单位：，记作）的乘积等于常数.已知值的定义/mol L []OH -1410-pH 为，健康人体血液值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为lg[]pH H +=-pH [][]OH H -+（参考数据：，）lg 20.301≈lg 30.477≈A ．5B ．7C ．9D ．10【答案】B【分析】首先根据题意，求出所求式子的常用对数，结合题中所给的条件，将其转化为与相关[]H +的量，借助于题中所给的范围以及两个对数值，求得结果.【详解】由题意可知，，且，lg[](7.35,7.45)pH H +=-∈14[][]10H OH +--⋅=所以，1410[][]lg lg 142lg[][][]OH H H H H --++++==--因为，所以，7.35lg[]7.45H +<-<[]lg (0.7,0.9)[]OH H -+∈，lg 6lg 2lg 30.778,lg 92lg 30.954,lg83lg 20.903=+=====分析比较可知，所以可以为7，lg 7(0.7,0.9)∈[][]OH H -+故选B.【点睛】该题考查的是有关健康人体血液中的的求值问题，该题属于现学现用型，在解题OH H -+⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦的过程中，需要认真审题，明确题意，借助于题中所给的两个对数值，寻求解题思路，属于较难题目.二、多选题9．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法{1,1,2,4},{1,2,4,16}M N =-=则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．2||y x =2y x =+||2x y =2y x =【答案】CD【解析】对A,B 利用特殊值即可判断；对C ，D 利用函数的定义逐一验证即可.【详解】解：对A ，当时，，故A 错误；4x =248y N=⨯=∉对B ，当时，，故B 错误；1x =123y N =+=∉在C 中，当时，，=1x -122y N -==∈当时，，1x =122y N ==∈当时，，2x =224y N ==∈当时，，4x =4216y N ==∈即任取，总有，故C 正确；x M ∈2xy N =∈在D 中，当时，，=1x -()211y N=-=∈当时，，1x =211y N ==∈当时，，2x =224y N ==∈当时，，4x =2416y N ==∈即任取，总有，故D 正确．x M ∈2y x N =∈故选：CD ．10．已知实数，满足等式，则下列不等式可能成立的是（ ）a b 32a b=A ．B ．C ．D ．0a b <<0b a <<0a b <<0b a <<【答案】AD【分析】作出函数与函数的图像，分，两种情况求解.2xy =3xy =321a b =>321a b=<【详解】作出函数与函数的图像，如图，2xy =3xy =当时，根据图像得，故A 选项正确；321a b=>0a b <<当时，根据图像得，故D 选项正确；321a b=<0b a <<故选：AD.11．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为，圆心角为，天坛中剩余部分扇形的面积为，圆心角为，1S 1α2S 2α当与时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么（ ）()12αα<1S 2S 0.618≈A．B ．1137.5α︒≈1127.5α︒≈C ．D．21)απ=-12αα=【答案】ACD【分析】理解题意，根据扇形的面积公式化简，对选项依次判断【详解】设天坛的圆形的半径为，由，故D 正确；R 211122221212R S S R αααα===由，解得，故C 正确；122ααπ+=222απ+=21)απ=，所以，0.618≈1 1.236≈21) 1.236180222.5απ︒︒=-≈⨯≈所以，故A 正确，B 错误．1360222.5137.5α︒︒︒≈-=故选：ACD 12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）()1ln1xf x x -=+A ．是奇函数()f x B ．函数与坐标轴有且仅有两个交点()()cos g x f x x=-C ．函数的零点大于()()ln g x f x =25-D ．函数有且仅有4个零点()()cos h x f x =【答案】AB【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性与单调性，再结合函数的性质一一分析分析即可；【详解】解：因为，所以，即，解得，即函数的定()1ln1xf x x -=+101x x ->+()()110x x +-<11x -<<义域为，且，故为奇函数，故A 正确，()1,1-()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭()f x 又在上单调递减，在定义域上单调递增，所以()12121111x x y x x x -++-===-+++()1,1-ln y x =在定义域上单调递减，则与只有一个交点，即()1ln1xf x x -=+()1,1-()y f x =cos y x =与轴有一个交点，又，所以与坐标()()cos g x f x x=-x ()()00cos 01g f =-=-()()cos g x f x x=-轴有两个交点，故B 正确；令，则，因为，所以，()()ln 0g x f x ==()1f x =()1ln 1x f x x -=+21275ln ln ln e 125315f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭-==<= ⎪⎝⎭-所以函数的零点小于，故C 错误；()()ln g x f x =25-因为在定义域上单调递减，且，则令，即，解得()f x ()1,1-()00f =()()cos 0h x f x ==cos 0x =，，即函数有无数个零点，故D 错误；2x k π=+πZ k ∈()()cos h x f x =故选：AB三、填空题13．已知幂函数的图像过点，则____________．()y f x =(16)f =【答案】14【详解】试题分析：设幂函数，代入点，得，所以，所()ay f x x ==12a =-121(16)164f -==以答案应填：．14【解析】幂函数．14．函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，()f x R ()()10f x f x ++=102x <<()2f x x =则__________.12343333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】19【分析】根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数()f x (0)(1)f f 、的周期性，奇偶性进行计算即可.()f x 【详解】解：因为，故，则函数的周期是2，()()10f x f x ++=()(2)f x f x =+()f x 又函数是定义在上的奇函数，则；()f x R ()00f =则，，4422((2)()()3333f f f f =-=-=-()()31003f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭当时，，则，102x <<()2f x x =2111()()339f ==则.1234133339f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：.1915．2020年12月4日，我国科学家宣布构建了76个光子（量子比特）的量子计算原型机“九章”．“九章”得名于我国古代的数学名著《九章算术》，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水10CD =岸齐接（如图所示）.设，则的值为__________．BAC θ=∠tan2θ【答案】23【分析】根据题意，将长度设为尺，则长度为尺，利用勾股定理求出得各边长，BC x AC 1x +ABC 得到的值，再利用二倍角公式即可求解.tan θ【详解】根据题意得，在中，，，ABC 90ABC ∠=152AB CD ==设长度为尺，则长度为尺，BC x AC ()1x +所以，即，解得，即，222AB BC AC +=()22251x x +=+12x =12BC =所以，又因为，12tan 5BC AB θ==22tan122tan 51tan 2θθθ==-所以或，2tan23θ=3tan 22θ=-因为，所以，所以.090θ<<0452θ<<2tan23θ=故答案为：.23四、双空题16．已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.【答案】 8 (4,2)-【解析】x +2y =xy 等价于1，根据基本不等式得出xy ≥8，再次利用基本不等式求出x +2y 的21x y +=最小值，进而得出m 的范围.【详解】∵x >0，y >0，x +2y =xy ，∴1，21x y +=∴121x y =+≥∴xy ≥8，当且仅当x =4，y =2时取等号，∴x +2y =8(当x =2y 时，等号成立)，xy ≥∴m 2+2m <8，解得﹣4<m <2.故答案为：8；(﹣4，2)【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.五、解答题17．化简求值：（1）；20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）．3log 22311lg 25lg 2log 9log 223⎛⎫++-⨯ ⎪⎝⎭【答案】(1);(2)012-【分析】（1）根据指数幂的运算,化简即可.（2）由对数的运算化简即可得解.【详解】（1）根据指数幂的运算,化简20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20.52323442214339⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯÷ ⎪ ⎡⎤⎢⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎥⎝⎢⎣⎭⎥⎦29392214416⎛⎫=-⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭99922041616=-⨯-⨯=（2）由对数的运算,化简3log 22311lg 25lg 2log 9log 223⎛⎫++-⨯ ⎪⎝⎭()3log 2231g51g232log 3log 2-=++-⨯11g51g222=++-111222=+-=-【点睛】本题考查了分数指数幂的运算与化简,对数的运算性质的应用,属于基础题.18．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点.xOy θOx ()1,2--(1)求的值；tan 2θ(2)求的值.cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1)；43-【分析】（1）利用三角函数的定义先求，再利用二倍角公式求解即可；tan θtan 2θ（2）利用三角函数的定义先求，再利用余弦两角和公式求解即可sin ,cos θθcos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】（1）解：角以为始边，终边经过点θOx ()1,2--所以2tan 21θ-==-所以.222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---（2）解：角以为始边，终边经过点θOx ()1,2--所以sin θθ===所以cos cos cos sin sin (444πππθθθ⎛⎫+=⋅-⋅== ⎪⎝⎭19．已知函数是上的偶函数．2()(0)2x x a f x a a =+>R （1）解不等式；17()4f x <（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．x ()21x mf x m -≤+-(0,)+∞m 【答案】（1）；（2）.(2,2)-13m ≤-【解析】(1）先利用偶函数的定义求出，设，则不等式即为，1a =2x t =217110444t t t -+<⇒<<再解关于x 的不等式即可;(2）问题转化为在恒成立，设，(t <0) ，则在212221xx x m -≤-+(0,)+∞12x t -=111m t t ≤+-时恒成立，即可求出的取值范围.(,0)t ∈-∞m 【详解】（1）为偶函数()f x 恒成立，()()f x f x ∴-=恒成立，2222x x x x a a a a --∴+=+即恒成立，()1220x x a a -⎛⎫--= ⎪⎝⎭，，101a a a ⇒-=⇒=±0a >，1a ∴=，()21717()22221044x x x x f x -=+<⇒-⋅+<设，则不等式即为，2x t =217110444t t t -+<⇒<<，124224x x ∴<<⇒-<<所以原不等式解集为．(2,2)-（2）在上恒成立，()2221x x x m m --+≤+-(0,)+∞即：在上恒成立，22112221221x xx x x x m ----≤=+--+(0,)+∞令，则，12x t -=2221211221(1)11x x x t t m t t t t t t -≤===-+-+-++-在时恒成立，所以，(,0)t ∈-∞min 111m t t ⎛⎫ ⎪≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭又，当且仅当时等号成立，12t t +≤-1t =-则．min 11131t t ⎛⎫ ⎪≥- ⎪ ⎪+-⎝⎭所以．13m ≤-20．研究发现，在分钟的一节课中，注力指标与学生听课时间（单位：分钟）之间的函数关40p t系为.()231646,014483log 5,1440t t t p t t ⎧-++<≤⎪=⎨⎪--<≤⎩(1)在上课期间的前分钟内（包括第分钟），求注意力指标的最大值；1414(2)根据专家研究，当注意力指标大于时，学生的学习效果最佳，现有一节分钟课，其核心内8040容为连续的分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间25内，学习效果均在最佳状态？【答案】(1)；(2)不能.82【解析】（1），，配方求出函数的对称轴，结合函数图像，即可求解；014t <≤216464p t t =-++（2）求出时，不等式解的区间，求出区间长度与25对比，即可得出结论.80p >【详解】（1），，014t <≤2211646(12)8244p t t t =-++=--+当时，取最大值为，12t =p 82在上课期间的前分钟内（包括第分钟），注意力指标的最大值为82；1414（2）由得，或80p >()201411282804t t <≤⎧⎪⎨--+>⎪⎩()3144083log 580t t <≤⎧⎨-->⎩整理得或，()2014128t t <≤⎧⎪⎨-<⎪⎩()31440log 53t t <≤⎧⎨-<⎩解得或，1214t -<≤1432t <<的解为，80p>1232t -<<而，32(122025--=+<所以教师无法在学生学习效果均在最佳状态时，讲完核心内容.【点睛】本题考查函数应用问题，考查函数的最值，以及解不等式，属于中档题.21．已知函数，直线是函数f (x )的图象的一条对称2()2cos 1cos (01)f x x x x ωωωω=-+<<3x π=轴.（1）求函数f (x )的单调递增区间;（2）已知函数y =g (x )的图象是由y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若求的值.23π6(2),(0,352g ππαα+=∈sin α【答案】（1）；（222,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）首先化简函数，再根据是函数的一条对称轴，代入求，()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3x π=ω再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到，并代入后，()12cos 2g x x =6(235g πα+=得，再利用角的变换求的值.3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin α【详解】（1），()cos 222sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭当时，，得，3x π=2,362k k Z πππωπ⨯+=+∈13,22k k Z ω=+∈，，01ω<< 12ω∴=即，令，()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22262k x k πππππ-+≤+≤+解得：，，22233k x k ππππ-+≤≤+Z k ∈函数的单调递增区间是；22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2），()1212sin 2cos 2362g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得，622cos 365g ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，，，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭4sin 65πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭ sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=-⨯=【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，()sin y A ωx φ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，()sin y A x ϕ=+1ω()sin y A ωx φ=+若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或sin y A x ω=ϕ0ϕ>()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦.()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦22．已知函数．2()21f x ax x =-+（Ⅰ）当时，求在区间上的值域；34a =()f x [1,2]（Ⅱ）当时，是否存在这样的实数a ，使方程在区间内有且只有一个根？12a ≤2()log 04x f x -=[1,2]若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102a <≤【解析】（Ⅰ）先把代入解析式，再求对称轴，进而得到函数的单调性，即可求出值域；34a =（Ⅱ）函数在区间内有且只有一个零点，转化为函数和2()log 4x y f x =-[]1,22()log h x x =的图象在内有唯一交点，根据中是否为零，分类讨论，结合函数的性2()23g x ax x =-+[]1,2()g x a 质，即可求解.【详解】（Ⅰ）当时，，34a =23()214f x x x =-+对称轴为：，43x =所以函数在区间单调递减，在区间单调递增；()f x 41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦则，()()()min max 41,2033f x f f x f ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭所以在区间上的值域为；()f x [1,2]1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由，222()log 23log 4x y f x ax x x =-=-+-令，可得，0y =2223log 0ax x x -+-=即，2223log ax x x -+=令，，，2()23g x ax x =-+2()log h x x =[]1,2x ∈函数在区间内有且只有一个零点，2()log 4x y f x =-[]1,2等价于两个函数与的图象在内有唯一交点；()g x ()h x []1,2①当时，在上递减，0a =()23g x x =-+[]1,2在上递增，2()log h x x =[]1,2而，()()()()1101,2112g h g h =>==-<=所以函数与的图象在内有唯一交点.()g x ()h x []1,2②当时，图象开口向下，a<0()g x 对称轴为，10x a =<在上递减，()g x []1,2在上递增，2()log h x x =[]1,2与的图象在内有唯一交点，()g x ()h x []1,2当且仅当，(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩即，10411a a +≥⎧⎨-≤⎩解得，112a -≤≤所以.10a -≤<③当时，图象开口向上，102a <≤()g x 对称轴为，12x a =≥在上递减，()g x []1,2在上递增，2()log h x x =[]1,2与的图象在内有唯一交点，()g x ()h x []1,2，(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩即，10411a a +≥⎧⎨-≤⎩解得，112a -≤≤所以.102a <≤综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2()log 4x y f x =-[]1,2【点睛】关键点睛：本题主要考查了求一元二次函数的值域问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.。

2022-2023学年山东省菏泽市高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省菏泽市高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省菏泽市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{}16A x x =≤≤，集合{}25B x x =<<，则A B =（ ） A ．{5x x ≥或}2x ≤ B ．{12x x ≤≤或}56x ≤≤ C ．{12x x ≤<或}56x <≤ D ．{12x x <≤或}56x ≤<B【分析】由补集定义可直接得到结果.【详解】由补集定义知：{12A B x x =≤≤或}56x ≤≤. 故选：B.2．“3x =-”是“260x x +-=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 A【分析】解方程可求得260x x +-=的解，根据推出关系可得结论. 【详解】由260x x +-=得：3x =-或2x =，2360x x x ∴=-⇒+-=，2603x x x +-==-，∴“3x =-”是“260x x +-=”的充分不必要条件.故选：A.3．已知函数()()2,01,0x x f x f x x >⎧=⎨+<⎩，则32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．1- B ．1C ．12D ．3B【分析】将x 的值代入对应的解析式进行求解即可. 【详解】3111212222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.4．命题“x ∃∈R ，2330x x -+≥”的否定是（ ） A ．x ∀∈R ，2330x x -+<B ．x ∀∈R ，2330x x -+≥C ．x ∃∈R ，2330x x -+≤D ．x ∃∈R ，2330x x -+<A【分析】改量词，否结论，直接写出命题的否定即可.【详解】x ∃∈R ，2330x x -+≥的否定是：x ∀∈R ，2330x x -+<. 故选：A.5．设集合{}14A x x =-≤≤，集合{}B x x a =≥，若A B ⊆，则a 的取值范围为（ ） A ．4a ≥ B ．14a -≤≤ C ．1a <- D ．1a ≤-D【分析】根据集合的包含关系即可得解.【详解】解：因为集合{}14A x x =-≤≤，集合{}B x x a =≥，A B ⊆， 所以1a ≤-. 故选：D.6．已知2a >，函数[]()2210,y x x x a =--∈的值域是（ ）A ．[]2,1--B ．21,21a a ⎡⎤---⎣⎦C ．22,21a a ⎡⎤---⎣⎦D ．[]22-,C【分析】由二次函数性质求解，【详解】由题意得221y x x =--图象的对称轴为1x =，而2a >，故当1x =时，min 2y =-，当x a =时，2max 21y a a =--，函数[]()2210,y x x x a =--∈的值域是22,21a a ⎡⎤---⎣⎦，故选：C7．某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为15000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数()21400,0400280000,400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是“玉兔”的月产量，则该厂所获最大利润为（ ）（总收益＝成本＋利润） A ．4万元 B ．3万元C ．2.5万元D ．2万元B【分析】列出总利润()f x 的解析式，结合二次函数性质即可求得最大值. 【详解】设总利润为()f x ，依题意可得：()()10015000f x R x x =--， 即2130015000,0400()265000100,400x x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩，当0400x ≤≤时，221()15000(300)30000130220f x x x x =+-=---+，当300x =时，max ()(300)30000f x f ==， 当400x >时，()(400)25000f x f <=，所以，当300x =时，该厂所获利润最大，最大利润为30000元. 故选：B.8．定义：{}min ,x y 为实数x ，y 中较小的数，已知224min ,4y a x x y ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，其中x ，y 均为正实数，则a 的最大值是（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2C【分析】由基本不等式可知22414y x y x ≤+，从而比较x 与1x的大小，即可得出a 的最大值.【详解】22244144y x x y x y y =≤=++， 当且仅当24x y y=，即2x y =时等号成立，当1x x ≥，即1x ≥时，1a x=，此时a 的最大值为1； 当10x x <<，即01x <<时，224min ,14y a x x y ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭， 综上所述，a 的最大值为1. 故选：C二、多选题9．下列关系中正确的是（ ） A ．{}0∅=B ．{}1,2 RC ．(){}{},,a b a b ⊆D ．{}{}0,11,0⊆BD【分析】根据元素和集合的关系、集合与集合的关系依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，∅表示没有任何元素的集合，{}0∴∅≠，A 错误； 对于B ，1∈R ，2∈R ，3∈R 且{}31,2∉，故{}1,2 R ，B 正确； 对于C ，(){},,a b a b ∉，(){},a b ∴不是{},a b 的子集，C 错误； 对于D ，{}{}0,11,0=，{}{}0,11,0∴⊆，D 正确.故选：BD.10．设b a >，0ab >，则下列不等关系正确的是（ ） A ．11a b> B ．01a b<< C ．2a b b +< D ．b a a b> AC【分析】根据不等式的性质与作差法比价大小即可判断. 【详解】解：由于b a >，0ab >，则0b a >>或0b a >>，则11a b>，故A 正确； 当0b a >>时，1>ab，故B 不正确； 由b a >得，b b a b +>+，即2a b b +<，故C 正确；()()22b a b a b a b a a b ab ab-+--==，当0b a >>时，0b a a b ->，即b a a b >，当0b a >>时，0b a a b -<，即b aa b<，故D 不正确. 故选：AC.11．已知0a >，函数()()2,1,1a a x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则以下说法正确的是（ ）A ．若()f x 有最小值，则2a ≥B ．存在正实数a ，使得()f x 是R 上的减函数C ．存在实数a ，使得()f x 的值域为RD ．若2a >，则存在()01,x ∈+∞，使得()()002f x f x =-【分析】根据幂函数性质可知()f x 在()1,+∞上单调递增，由函数有最小值可得()f x 在(],1-∞上的单调性和分段处函数值大小关系，从而解不等式组求得a 的范围，知A 正确；由幂函数性质知B 错误；假设()f x 的值域为R ，结合单调性和分段处函数值大小关系可得a 的范围，知C 正确；将D 中问题转化为()()00222ax a x a =-+-在()1,+∞上有解，通过放缩可得()()()()1000000222220a a a x a x a x a x x x a ----->--=-+>，知方程无解，则D 错误.【详解】对于A ，当0a >时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()f x 有最小值，则2021a a -≤⎧⎨-≤⎩，解得：2a ≥，A 正确；对于B ，当1x >时，()af x x =，由幂函数性质知：当0a >时，()f x 单调递增，B 错误； 对于C ，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴当1x >时，()f x a >；若()f x 的值域为R ，则2021a a ->⎧⎨-≥⎩，解得：01a <≤，C 正确；对于D ，当()01,x ∈+∞时，()02,1x -∈-∞，由()()002f x f x =-得：()()()()00022222ax a x a x a =--=-+-；当2a >，01x >时，()()()()100000022222a a a x a x a x a x x x a ----->--=-+，102121a x a a a --+>--+=，()10020a x x a -∴-+>， ()()002220ax a x a ∴---->恒成立，()()00222a x a x a ∴=-+-在()1,+∞上无解，即不存在()01,x ∈+∞，使得()()002f x f x =-，D 错误. 故选：AC.12．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且()()22f x f x +--=-，()01f =，则以下说法正确的是（ ） A ．()()4f x f x =+ B ．函数()f x 的图像关于直线2x =对称 C ．()31f = D ．()()()()1232020f f f f ++++=-【分析】根据奇偶性结合()()22f x f x +--=-得出()()4f x f x =+，由()()(4)f x f x f x -==+判断B ；由对称性判断C ；根据周期性判断D.【详解】因为()f x 是偶函数，且()()22f x f x +--=-，所以()(2)2f x f x +-=-，即()(2)2f x f x =---，所以()(4)(2)2()22()f x f x f x f x +=-+-=----=，周期为4，故A 正确； 因为()f x 是偶函数，所以()()(4)f x f x f x -==+，即函数()f x 的图像关于直线2x =对称，故B 正确；因为()(1)32f f +=-，且函数()f x 的图像关于直线2x =对称，所以()()()()()()()131,041,202,23f f f f f f f ==-==+=-=-，故C 错误；因为(1)(2)(3)(4)2314f f f f +++=--+=-，所以(1)(2)(20)4520f f f +++=-⨯=-，故D 正确；故选：ABD三、填空题13．{}{}21,1,,1a a ⊆-，则=a _____________．【分析】由集合间关系列式求解， 【详解】由题意得2a a =或1a =-， 当0a =时，{1,0}{1,0,1}⊆-满足题意， 当1a =±时，21a =，舍去， 综上，0a =， 故014．函数13y x -的定义域为_____________． [)()2,33,⋃+∞【分析】根据具体函数的定义域求法即可得解.【详解】由题可知：24030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得2x ≥且3x ≠，故答案为.[)()2,33,⋃+∞3【分析】采用换元法，令t 法可求得结果.【详解】令t =0t ≥，21x t ∴=-， 令()()2221122213g t t t t t t =-++=-++=--+， ∴当1t =时，()max 3g t =，即()max 3f x =.故答案为.316．已知()1,11x x f x x +≤⎧⎪=>，若()()1f x f x >+，则x 的取值范围是___________.(]0,1【分析】分0x ≤、01x <≤、1x >三种情况解不等式()()1f x f x >+，综合可得出原不等式的解集. 【详解】当11x +≤时，即当0x ≤时，由()()1f x f x >+可得12x x +>+，矛盾；当11x x ≤<+时，即当01x <≤时，由()()1f x f x >+可得1x +>，1>，解得0x >，此时01x <≤；当1x >时，由()()1f x f x >+1x x >+，矛盾. 综上所述，满足不等式()()1f x f x >+的x 的取值范围是(]0,1. 故答案为.(]0,1关键点点睛：本题考查分段函数不等式的求解，求解时需要对自变量的取值进行分类讨论，根据自变量的取值选择合适的解析式来求解.四、解答题17．已知幂函数()()21713t f x t t x -=-+为奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)令()()13g x f x ⎡⎤=⎣⎦，若函数()()221y gx ag x =++在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．(1)()3f x x =(2)1a ≥-【分析】（1）依题意可得27131t t -+=，解得t ，再代入检验即可； （2）首先求出()()221y gx ag x =++的解析式，再根据二次函数的性质计算可得.【详解】（1）解：因为()f x 为幂函数， 所以27131t t -+=，所以27120t t -+=，解得3t =或4t =，当3t =时，()2f x x =为偶函数，不满足题意，当4t =时，()3f x x =为奇函数，满足题意，所以()3f x x =；（2）解：由（1）可得()()13g x f x x ⎡⎤==⎣⎦，所以()()()22221212y g x ag x x a x x ax a =++=++=++，对称轴为x a =-，开口向上，又()()221y gx ag x =++在[)1,+∞上单调递增，所以1a -≤，解得1a ≥-．18．已知集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >． (1)若1a =-，求A B ⋃R；(2)若A B ⋂=∅，求a 的取值范围． (1){}25A C B x x ⋃=-≤≤R(2)1232x a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭或【分析】(1)根据题意，先求出集合A 的补集，再利用集合的并集运算求解即可； (2)根据集合的包含关系分A =∅和A ≠∅两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）若1a =-，则集合{}22A x x =-≤≤， 所以{}15B x x =-≤≤R ， 所以{}25A C B x x ⋃=-≤≤；（2）因为集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >， 因为A B ⋂=∅，所以分以下两种情况： 若A =∅，即23a a >+，解得3a >，满足题意，若A ≠∅，则213523a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩解得122a -≤≤，综上所述a 的取值范围为1232x a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭或19．设全集U =R ，集合{}2650A x x x =-+≤，集合{}122B x a x a =--≤≤-．(1)若A B A ⋂=R，求实数a 的取值范围：(2)若“x B ∀∈”是“x A ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围． (1)(),3-∞ (2)1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）解一元二次不等式可求得集合A ；分别在B =∅和B ≠∅的情况下，根据交集结果构造不等式求得结果；（2）根据充分条件定义可知B A ⊆，分别在B =∅和B ≠∅的情况下，根据包含关系构造不等式组求得结果.【详解】（1）由2650x x -+≤得：15x ≤≤，即[]1,5A =； 当B =∅时，B =RR ，满足A B A ⋂=R ，此时122a a -->-，解得：13a <； 当B ≠∅时，()(),122,B a a =-∞---+∞R，由A B A ⋂=R得：122512a a a --≤-⎧⎨<--⎩或12221a a a --≤-⎧⎨-<⎩，解得：133a ≤<； 综上所述：实数a 的取值范围为(),3-∞. （2）由充分条件定义可知：B A ⊆；当B =∅时，满足B A ⊆，此时122a a -->-，解得：13a <；当B ≠∅时，由B A ⊆得：12212125a a a a --≤-⎧⎪--≥⎨⎪-≤⎩，不等式组无解；综上所述：实数a 的取值范围为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.20．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-．(1)求出函数()f x 在R 上的解析式； (2)在给出的坐标系中画出()f x 的图象；(3)解关于x 的不等式()f x x ≥．(1)()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩(2)图象见解析 (3)(][),13,-∞⋃+∞【分析】（1）当0x <时，0x ->，根据()()=f x f x -可求得0x <时的解析式，由此可得结果； （2）根据解析式可直接作出函数图象；（3）结合函数图象可确定()f x 的解析式，分别在每一段上求解不等式，综合所有情况可得结果. 【详解】（1）当0x <时，0x ->，()()2222f x x x x x ∴-=-+=+，又()f x 为偶函数，()()22f x f x x x ∴=-=+；综上所述.()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩ （2）()f x 图象如下图所示，（3）由（2）知：当22x -≤≤时，()0f x ≤，此时()()222,022,20x x x f x f x x x x ⎧-+≤≤=-=⎨---≤<⎩； ()22222,22,022,202,2x x x x x x f x x x x x x x ⎧->⎪-+≤≤⎪∴=⎨---≤<⎪⎪+<-⎩； 当2x >时，由22x x x -≥得：3x ≥；当02x ≤≤时，由22x x x -+≥得：01x ≤≤；当20x -≤<时，由22x x x --≥得：20x -≤<；当<2x -时，由22x x x +≥得：<2x -；综上所述：不等式()f x x ≥的解集为(][),13,-∞⋃+∞.21．已知二次函数()2f x ax bx c =++．(1)若()0f x <的解集为{1x x >-或}4x <，解关于x 的不等式08ax b cx b+<-； (2)若不等式()2f x ax b ≥+对R x ∈恒成立，求2223b a c+的最大值． (1)()(),36,∞∞-⋃+ (2)23【分析】（1）由题意可得0a <，且方程20ax bx c ++=的解为1,4-，利用韦达定理求得,b c ，再根据分式不等式的解法即可得解；（2）()2f x ax b ≥+恒成立，即()220ax b a x c b +-+-≥恒成立，则()()2Δ2400b a a c b a ⎧=---≤⎪⎨>⎪⎩，求得,a b 的关系，再结合基本不等式求解即可.【详解】（1）因为20ax bx c ++<的解集为{1x x >-或}4x <，所以0a <，且方程20ax bx c ++=的解为1,4-， 则14b a -+=-，()14c a-⨯=， ∴3b a =-，()40c a a =-<， 由08ax b cx b +<-，得30424ax a ax a-<-+，即30424x x -<-+， 得306x x ->-，即()()360x x -->，解得6x >或3x <， 所以不等式08ax b cx b +<-的解集为()(),36,-∞⋃+∞； （2）因为()2f x ax b ≥+恒成立，即()220ax b a x c b +-+-≥恒成立，所以()()2Δ2400b a a c b a ⎧=---≤⎪⎨>⎪⎩， 得()224400b a ac a +->≤，所以()204b a c a ≤≤-， 所以()222222414333c a c a b a a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤， 令1c t a=-， 因为()240a c a b -≥≥， 所以1cc a a≥⇒≥，从而0t ≥， 所以()222224432431b t t a c t t t =+++++≤， 令()()24024t g t t t t =++≥ 当0=t 时，()00g =；当0t >时，44t t +≥=，当且仅当4t t =即2t =时，取等号， 所以()44244232g t t t==+++≤， 综上所述2223b a c+的最大值为23. 22．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足下面三个条件：①对任意正数a ，b ，都有()()()f a f b f ab +=；②当1x >时，()0f x >；③()31f =(1)求()1f 和19f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)试用单调性定义证明：函数()f x 在()0,∞+上是增函数；(3)求满足()()3291823f x x f x -->的x 的取值集合． (1)()10f =，129f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)证明见解析(3)()3,+∞【分析】（1）由赋值法求解，（2）由单调性的定义证明，（3）由函数的单调性转化后求解，【详解】（1）令1a b ==得()()()111f f f =+，则()10f =， 而()()()933112f f f =+=+=，且()()19109f f f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，则129f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）取定义域中的任意的1x ，2x ，且120x x <<，所以211x x >， 当1x >时，()0f x >，所以210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以()()21f x f x -()()2211110x x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,∞+上为增函数．（3）由条件①及（1）的结果得，()()3291823f x x f x -->， 所以()()32191839f x x f f x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， 所以()()3223f x x f x ->，所以3232203023x x x x x x ⎧->⎪>⎨⎪->⎩，解得3x >， 故x 的取值集合为()3,+∞。

高中一年级数学试卷及答案

高中一年级数学试卷及答案

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)=x^24x+3，则f(1)的值为（）A.0B.1C.2D.32.已知一组数据的平均数为10，标准差为2，则这组数据的众数（）A.一定大于10B.一定小于10C.一定等于10D.无法确定3.在三角形ABC中，若sinA=3/5，则cosB的值为（）A.4/5B.3/4C.4/3D.5/34.若函数y=2x+1的图像经过点(2,y)，则y的值为（）A.3B.4C.5D.65.已知等差数列的前三项分别为1,3,5，则第10项的值为（）A.17B.19C.21D.23二、判断题（每题1分，共5分）1.若两个角互为补角，则它们的正切值相等。

（）2.在任何情况下，两个实数的和的平方等于它们平方和的两倍。

（）3.若函数f(x)=x^3在x=0处取得极小值，则f'(0)=0。

（）4.在等差数列中，若公差为0，则该数列的各项都相等。

（）5.若函数f(x)=x^2在区间(-∞,+∞)上单调递增，则f'(x)>0。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)=x^33x，则f'(x)=_______。

2.在直角坐标系中，点(3,4)关于y轴的对称点的坐标为_______。

3.若等差数列的前三项分别为2,5,8，则公差为_______。

4.在三角形ABC中，若sinA=4/5，则cosA的值为_______。

5.若函数y=x^22x+1的最小值为0，则x的值为_______。

四、简答题（每题2分，共10分）1.简述函数的单调性与导数之间的关系。

2.解释等差数列和等比数列的定义。

3.简述直角坐标系中两点之间的距离公式。

4.解释正弦函数和余弦函数的定义。

5.简述函数极值的定义及求法。

五、应用题（每题2分，共10分）1.已知函数f(x)=x^24x+3，求f(x)在区间[-1,4]上的最大值和最小值。

2.在直角坐标系中，已知点A(1,2)和点B(4,6)，求线段AB的长度。

2022-2023学年湖南省株洲市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省株洲市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省株洲市第二中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，则的子集的个数是（ ）51,N M x x x +⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭M A ．15B ．8C ．7D ．16【答案】D【分析】根据不等式的性质，结合子集个数公式进行求解即可.【详解】因为，所以由，N x +∈{}51551,2,3,4x x M x >⇒>⇒<⇒=所以的子集的个数是，M 4216=故选：D2．已知，，则“”是“”的（ ）a b ∈R 1>a b a b >A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当时，若，则，故充分性不成立.1>a b 0b <a b <当时，若，则 ，故必要性不成立，a b >0b <1a b <所以“”是“”的既不充分又不必要条件.1>a b a b >故选：D3．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将以坐标原点O 为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数”的为（ ）A ．B ．22y x x =-cos y x=C ．D ．sin y x =1y x x=-【答案】C【分析】根据题意可知优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，再分别检验四个选项即可得出正确选项.【详解】根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，对于A ，不是奇函数，A 选项错误；22y x x =-对于B ，不是奇函数，B 选项错误；cos y x =对于C ，的定义域为，且是奇函数，C 项正确；sin y x =R 对于D ，的定义域为，所以图像不经过坐标原点，D 选项错误；1y x x =-{}0x x ≠故选：C ．4．已知函数的定义域为（ ）()f x =()()2f x f x -+A ．B ．C ．D ．[)0,∞+[]4,0-[]0,2[]0,4【答案】C【分析】根据二次根式的性质，结合复合函数的定义域性质进行求解即可.【详解】由，()24022f x x x =⇒-≥⇒-≤≤于是有，2202222x x x -≤≤⎧⇒≤≤⎨-≤-≤⎩故选：C5．下列函数中，以为最小正周期且在区间上单调递减的是（ ）ππ0,2⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．sin 2y x =cos y x=tan y x=cos2x y =【答案】B【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，对于函数，由得，sin 2y x =π02x <<02πx <<所以不满足“区间上单调递减”，A 选项错误.sin 2y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B 选项，对于函数，根据函数的图象可知，函数的最小正周期为，cos y x=cos y x=π且函数在区间上单调递减，符合题意，B 选项正确.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭C 选项，对于函数，其在区间上单调递增，不符合题意，C 选项错误.tan y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D 选项，对于函数，最小正周期，不符合题意，D 选项错误.cos2xy =2π4π12T ==故选：B6．函数的部分图象大致为（ ）2sin ()||2xfx x =+A．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为，定义域为R2sin ()2x f x x =+所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以为奇函数，且，排除CD ()f x (0)0f =当时，，即，排除A()0,x π∈sin 0x >()0f x >故选：B.7．若，，，则、、的大小关系为（ ）0.7e a =πlog 3b =22πlog sin3c =a b c A ．B ．C ．D ．b c a >>b a c >>c a b>>a b c>>【答案】D【分析】借助中间量比较大小即可.0,1【详解】解：由题知，，0.70e e 1a =>=ππ0log 3log π1b b <=<==，2222πlog sinlog log 103c c ===<=所以，即.01c b a <<<<a b c >>故选：D8．函数 ，若互不相等，且，则的取值2sin π(01)()lg (1)x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩a b c 、、()()()f a f b f c ==a b c ++范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()1,100()1,11()2,101[]2,11【答案】C【分析】先利用三角函数、对数函数的图像和性质，画出函数的图像，再利用图像数形结合即()f x 可发现、、间的关系和范围，最后求得所求范围.a b c 【详解】函数的图像如图所示：()fx 设，由函数图像数形结合可知：，a b c <<1212a b +=⨯=，0lg 2c <<1100c ∴<<．2101a b c ∴<++<故选：C ．二、多选题9．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）33log log a b >A ．B ．110b a<<()3log 0a b ->C ．D ．31a b->1132a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD【分析】先求得的关系式，然后对选项逐一分析，从而确定正确答案.,a b 【详解】由于，所以，33log log a b >0a b >>A 选项，由于，所以，所以A 选项错误.0a b >>110a b <<B 选项，当时，，所以B 选项错误.2,1a b ==()33log log 10a b -==C 选项，由于，所以，所以C 选项正确.,0a b a b >->0331a b->=D 选项，在上递减，，所以，所以D 选项正确.13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R 0a b >>1132ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：CD10）A ．B ．7πtan3πππ3π2sin cos cos sin 124124⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．D ．1tan151tan15+︒-︒cos15︒︒【答案】ABC【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式、正切公式逐一判断即可.【详解】对于A ，A 正确；7πππtantan 2πtan 333⎛⎫=+== ⎪⎝⎭对于B ，，故B正确：πππ3ππππππ2sin cos cos sin 2sin cos cos sin 2sin 1241241241243⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，，故C 正确；()1tan15tan45tan15tan 4515tan601tan151tan45tan15+︒︒+︒==︒+︒=︒=-︒-︒︒对于D，1cos152cos152⎛⎫︒︒=︒︒ ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误；()()2sin30cos15cos30sin152sin 30152sin15=︒︒-︒︒=︒-︒=︒≠故选：ABC 11．设函数（））()()2sin 2x x f ϕ=+π2ϕ≤()0f =A ．的最小正周期为B ．的图象关于直线对称()f x π()f x 5π12x =C ．在上的最小值为D ．的图象关于点对称()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-()f x 2π,03⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】根据正弦型函数的周期公式、对称性、最值逐一判断即可.【详解】∵∴，又，∴，∴；()02sin f ϕ==sin ϕ=π2ϕ≤π3ϕ=-()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ，的最小正周期，A 正确；()f x 2ππ2T ==对于B ，因为，所以的图象关于直线对称，B 正确；5π5ππ2sin 2212123f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 5π12x =对于C ，当时，，则当，即时，，C 错π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π5π2,333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦π3π232x -=11π12x =()min 2f x =-误；对于D ，当时，，此时，∴的图象关于点对称，D 正确.2π3x =π2π3x -=()0f x =()f x 2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：ABD12．已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，()f x x ∀∈R ()()2f x f x +=-()1y f x =-()1,0当时，，则下列结论正确的是（ ）(]0,1x ∈()21x f x =-A ．B ．在区间上单调递减()20220f =()f x ()7,9C ．是上的奇函数D ．函数有6个零点()f x R ()log y f x x=-【答案】ACD【分析】先分析清楚函数的单调性，对称性和周期性，再逐项分析.()f x 【详解】对都有，则，x ∀∈R ()()2f x f x +=-()()()42f x f x f x +=-+=即函数是周期函数，周期为4；()f x 令，依题意有，即，()()1g x f x =-()()2g x g x -=-()()()2111f x f x f x --=-=--令 ，则有 ，所以是奇函数，，C 正确；1t x =-()()f t f t =--()f x ()00f =又，令 ，则有，()()()2f x f x f x +=-=-t x =-()()2f t f t -=关于直线 对称；()f x 1x =当时，，当时，，(]0,1x ∈()21x f x =-[)1,0x ∈-()()2112x xf x --=--=-对于A ，，A 正确；()()()()202250542200f f f f =⨯+==-=对于B ，因函数在上递增，函数的周期为4，则在上递增，B 错误；()f x []1,1-()f x ()f x ()7,9对于D ，函数的零点，即函数与图像交点的横坐标，()lg y f x x =-()y f x =lg y x=在同一坐标系内作出函数与的部分图像，如图，()y f x =lg y x=因函数的最大值为1，而当时，，因此函数与图像的交点在()y f x =10x >lg 1x >()y f x =lg y x=内，()0,10观察图像知，函数与图像在内只有6个交点，所以函数有6()y f x =lg y x=()0,10()lg y f x x =-个零点，D 正确；故选：ACD.三、填空题13．函数的图象恒过定点P ，P 在幂函数的图象上，则___________.()log 238a y x =-+()f x ()4f =【答案】64【分析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得.()2,8P ()f x ()4f 【详解】令，则，故点；2x =8y =()2,8P 设幂函数，()bf x x =则，28b=则；3b =故；()464f =故答案为：64.14．若正实数、，满足，则的最小值为______.a b lg lg 1a b +=52a b +【答案】2【分析】求得的关系式，然后结合基本不等式求得正确答案.,a b 【详解】正数满足，,a b lg lg lg 1,10a b ab ab +===所以，当且仅当时等号成立.522a b +≥=52,,5,2a b a b ===故答案为：215．已知______.πcos 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭2πsin c 63πos αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】0【分析】根据诱导公式进行求解即可.【详解】2πππππsin cos sin cos πcos cos 0,63233π3π3αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++-+=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：0四、双空题16．已知函数（，）在区间上单调，且满足()()sin f x x ωϕ=+0ω>Rϕ∈75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若，则函数的最小正周期为______.()56πf x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x （2）若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为______.()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ω【答案】 π833ω<≤【分析】（1）由题可得对称中心，根据三角函数的性质结合条件判断的大概取值范围，再()f x ω结合条件可得函数的对称轴即可得到的值从而得出最小正周期；ω（2）根据函数的对称中心及的大概取值范围，结合三角函数的图象可得ω，从而解出.2π13π2π523632T T +<≤+【详解】因为函数在区间上单调，且满足，()()sin f x x ωϕ=+75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴对称中心为，()f x 2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入可得，，①12ππ3k ωϕ+=1k Z ∈∵在区间上单调，且对称中心为，()f x 75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭又∵，，5π2ππ636-=2πππ7π36212-=<∴在区间上单调，()f x π5π,26⎛⎫⎪⎝⎭∴， ，即，5πππ2623T ≥-=23T π≥2π2π3ω≥∴.03ω<≤（1）∵，()56πf x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴关于对称，代入可得，，②()f x 5π12x =2π5ππ122k ωϕ+=+2k Z∈①－②可得，，即，，又，πππ42k ω=-+Z k ∈24k ω=-+Z k ∈03ω<≤∴，；2ω=2ππT ω==（2）∵对称中心为，∴，()f x 2π,03⎛⎫⎪⎝⎭20π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵在区间上恰有5个零点，()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∵相邻两个零点之间的距离为，五个零点之间即，六个零点之间即，()f x 2T2T 52T ∴只需即可，2π13π2π523632T T +<≤+所以，又∵，81033ω<≤03ω<≤∴.833ω<≤故答案为：；.π833ω<≤五、解答题17．计算：(1)；2323272e log 3log 88⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭(2)()()sin 120cos210cos 300sin150-︒⋅+-︒⋅︒︒【答案】(1)；54(2)1.【分析】（1）根据指数幂的运算性质，结合对数换底公式进行求解即可；（2）根据诱导公式，结合两角和正弦公式进行求解即可.【详解】（1）；2323279lg3lg8952e log 3log 822384lg2lg344⎛⎫+-⨯=+-⨯=+-= ⎪⎝⎭（2）.()()()()sin 120cos210cos 300sin150sin60cos30cos60sin30sin 6030sin901-︒⋅︒+-︒⋅︒=-︒⋅-︒+︒⋅︒=︒+︒=︒=18．已知全集，集合，.U =R 11282x A x +⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭{}3221B x a x a =-<<+(1)当时，求；1a =()U A B ⋃ (2)若，求的取值范围.A B B = a 【答案】(1)或{2x x <}3x ≥(2)[)10,3,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先求出集合、，进而求出，再根据集合间的并集运算即可；A B U B （2）由可得，分和两种情况讨论即可求解.A B B = B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）由，所以，即，113222x -+<<113x -<+<22x -<<所以，{}22A x x =-<<当时，，全集，1a ={}13B x x =<<U =R 所以或，{1U B x x =≤ }3x ≥所以或.(){2U A B x x ⋃=< }3x ≥（2）因为，所以，A B B = B A ⊆当时，满足，所以，解得；B =∅B A ⊆3221a a -≥+3a ≥当时，则，解得.B ≠∅3221322212a a a a -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩102a ≤≤综上所述，的取值范围是.a [)10,3,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦19．已知，.()()ππ6cos sin 2282cos π3sin παααα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---+π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求的值；tan α(2)若，且的值.π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πcos 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭αβ+【答案】(1)1tan 2α=(2)π4αβ+=【分析】（1）根据诱导公式化简整理，上下同除，计算即可得答案.cos α（2）根据题意及的范围，可求得的值，根据两角差的余弦公式，βsin 4πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得的值，进而可得的值，根据两角和的正切公式，可得的值，即可得答案.cos βtan βtan()αβ+【详解】（1）∵，()()ππ6cos sin 2282cos π3sin παααα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---+∴，解得.6sin cos 6tan 182cos 3sin 23tan αααααα++==--+-+1tan 2α=（2）∵，∴，且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π444β<+<πcos 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴，πsin 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ππcos cos 44ββ⎡⎤⎛⎫=+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴，sin β=1tan 3β=∴，()11tan tan 23tan 1111tan tan 123αβαβαβ+++===--⨯又∵，∴.3π0,4αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π4αβ+=20．已知函数.()πcos2cos 213f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭(1)求函数的最小正周期、单调增区间及对称中心；()f x (2)求函数在上的值域.()f x π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】(1)；，；，ππππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈ππ,1212k ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈(2)1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）先化简函数，可得，再结合正弦函数的性质求解即可；()f x ()πsin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）根据正弦函数的性质求解即可.【详解】（1），()πππ1cos2cos 2cos2cos2cos sin2sin cos 213332f x x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭即.()πsin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期.()f x 2ππ2T ==令，，即，πππ2π22π262k x k -≤+≤+Z k ∈ππππ36k x k -≤≤+Zk ∈所以的单调递增区间，.()f x πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈令，，解得，π2π6x k +=Z k ∈ππ212k x =-所以对称中心为，.ππ,1212k ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈（2）由（1）知：，()πsin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当，，即，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π1sin 2,162x ⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以在上的值域为.()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦21．已知函数为奇函数，.()221x f x a =++R a ∈(1)求的值；a (2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；()f x (3)若存在，不等式有解，求实数的取值范围.[]2,1x ∈--()()210f x f x t -++<t 【答案】(1)；1a =-(2)在上单调递减，证明见解析；()f x R (3).()1,-+∞【分析】（1）根据奇函数的性质，求出参数的值，再代入检验即可；()00f =a （2）根据指数函数的单调性结合条件可得函数的单调性，再利用定义法证明即得；（3）根据函数的奇偶性与单调性得到在有解，然后根据二次函数的性质即21t x x >--+[]2,1x ∈--得.【详解】（1）因为的定义域为R ，又为奇函数，()221x f x a =++()f x 所以，即，解得，()00f =02021a +=+1a =-所以，()21212121xx x f x -=-+=++则，()()12212121x x x x f x f x -----===-++所以为奇函数，()2121x f x =-++故；1a =-（2）在R 上单调递减，()f x 证明：设任意的，且，1x 2R x ∈12x x <所以，()()()()()2112212112222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=---=-= ⎪++++++⎝⎭又因为，在上单调递增，12x x <2x y =R 所以，即，且，1222x x <21220x x ->()()1221210x x ++>所以，即，()()120f x f x ->()()12f x f x >所以在上单调递减；()f x R （3）因为是定义在上的奇函数，()f x R 所以，()()()()22101f x f x t f x t f x -++<⇒+<-因为函数在上单调递减，()f x R 所以，21x t x +>-因为存在，不等式有解，[]2,1x ∈--()()210f x f x t -++<即在有解，21t x x >--+[]2,1x ∈--因为，[]221511,124x x x ⎛⎫--+=-++∈- ⎪⎝⎭所以，1t >-即实数的取值范围为.t ()1,-+∞22．函数，，记，且为偶函数.()()4log 41x f x =+()()1g x k x =-()()()F x f x g x =-()F x (1)求常数的值；k (2)若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；a ∈R ()12F a m >-m (3)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值()44log 23x M x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭()F x ()M x a 范围.【答案】(1)32k =(2)1m >-(3){}()31,-⋃+∞【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求出常数的值；k （2）将不等式恒成立，转化为恒成立，利用换元法和基本不等式求()12F a m >-()424log 41a a m >+出的最大值，即可得实数的取值范围；()424log 41a a +m （3）将函数与的图象有且只有一个公共点，转化为()F x ()M x 仅有一解，设，依题意只有()444log 41log 223x x x a a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭20x t =>()()241103h t a t at =---=一个正实根，分类讨论a 的不同情况，即可求出实数的取值范围.m 【详解】（1）由题意可知，，，()()()4log 411x F x k x =+--x ∈R 为偶函数，，()F x ()()F x F x ∴-=即，()()()()44log 411log 411x x k x k x -++-=+--，()()()()44log 411log 411x x x k x k x +-+-=+--，，()230k x ∴-=x ∈R .32k ∴=（2）由（1）得，()()4log 412x x F x =+-条件，即：，()12F a m >-()41log 4122a a m +->-，()()24424log 41log 41a a a m a >-+=+设，()4a t a =∈R 0t ∴>令，444211log log log 112142t U t t t t ==≤=-++++当且仅当，即时等式成立，1t t =1t =，max 1U ∴=-即；1m >-（3）依题意：，即仅有一解，()()M x F x =()444log 41log 223x x x a a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭则44414log log 223x x x a a +⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭即，故4142234203x x x x a a a a ⎧+=⋅-⎪⎪⎨⎪⋅->⎪⎩()()24122103x x a a --⋅-=设，依题意只有一个正实根.20x t =>()()241103h t a t at =---=当时，，1 1a =()4103h t t =--=（舍）34t ∴=-当时，方程有一正根，一负根，2 1a >()()241103h t a t at =---=由，得.10(0)10a h ->⎧⎨=-<⎩1a >当时，方程有两个相等的正根.3 1a <()()241103h t a t at =---=由，得，21016Δ4(1)09a a a -<⎧⎪⎨=+-=⎪⎩214990a a a <⎧⎨+-=⎩即，()()4330a a -+=其中，当时，符合题意；当时，不符合题意.3a =-12t =34a =2t =-综上所述，实数的取值范围是a {}()31,-⋃+∞【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.。

2022-2023学年云南省保山市文山州高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省保山市文山州高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省保山市文山州高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}ln 1A x x =<{}1,0,1,2,3,4B =-A B = A ．B ．C ．D ．{}1,2{}0,1,2{}1,2,3{}1,2,3,4【答案】A【分析】解对数不等式化简集合，再由交集运算即可求解.A 【详解】由得，所以，所以，ln 1x <0e x <<{}0e A x x =<<{}1,2A B = 故选：A.2．命题“，”的否定是（ ）0x ∃>sin 1x x =A ．，B ．，0x ∃>sin 1x x ≠0x ∀>sin 1x x =C ．，D ．，0x ∀>sin 1x x ≠0x ∀≤sin 1x x ≠【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，根据命题“，”的否定是“，”解决x M ∃∈()p x x M ∀∈()p x ⌝即可.【详解】由题知，命题“，”是特称命题，0x ∃>sin 1x x =于是其否定是“，”，0x ∀>sin 1x x ≠故选：C3．若，则“”是“”的（ ）0,0a b >>4a b +=4ab ≤A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要条件的概念验证题中的命题即可得出答案.【详解】，，根据基本不等式可得，0,0a b >>4a b +=，当且仅当 时取等号242a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭2a b ==“”是“”充分条件；∴4a b +=4ab ≤时，显然不一定成立，4ab ≤4a b +=“”不是“”的必要条件.∴4a b +=4ab ≤“”是“”的充分不必要条件，选项A 正确.∴4a b +=4ab ≤故选：A.4．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）()0,∞+A ．B ．C ．D ．cos y x =2y x=-1y x=y x=【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.【详解】对于A ：为偶函数，但是在上不具有单调性，故A 错误；cos y x =()0,∞+对于B ：为偶函数，但是在上单调递减，故B 错误；2y x =-()0,∞+对于C ：为奇函数，故C 错误；1y x =对于D ：，则，所以为偶函数，()y f x x==()()f x x f x -=-=y x=且当时，则函数在上单调递增，故D 正确；0x >y x =()0,∞+故选：D5．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）()()()1,2log 1,12a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<<⎪⎩()1,+∞a A ．B ．C ．D ．21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭10,2⎛⎫⎪⎝⎭20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】根据分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，即可求得实数的取值范围.a 【详解】由题意解得，10,01,log 122,a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≥-+⎩203a <≤所以实数的取值范围是，a 20,3⎛⎤⎥⎝⎦故选：C.6．已知，，，则x ，y ，z 的大小关系是（ ）lg 9x =0.13y =1ln3z =A ．B ．y x z <<z x y <<C ．D ．y z x<<x y z<<【分析】由对数、指数得运算性质，分别将与比较大小，即可得到结果.,,x y z 0,1【详解】，即；0lg1lg 9lg101x =<=<=01x <<，即；00.1133y =<=1y >，即.1ln ln103z =<=0z <故.y x z >>故选：B.7．在中,若且则（ ）ABC tan tan tan B C B C ++=sin 2B =C =A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°【答案】C【分析】根据利用两角和的正切公式可得,即可得tan tan tan B C B C +60B C +=,根据的范围可得,进而可求得.120A = sin 2B =B 30B = 30C =【详解】解:因为tan tan tan B C B C ++=所以,)tan tan 1tan tan B C B C +=-即()tan tan tan 1tan tan B CB C B C ++==-因为B ,C 为的内角,所以,即,ABC 60B C += 120A =所以,,因为所以,060B <<02120B <<sin 2B =260B = 即,所以.30B = 30C =故选:C8．重庆有一玻璃加工厂，当太阳通过该厂生产的某型防紫外线玻璃时，紫外线将被过滤为原来的，而太阳通过一块普通的玻璃时，紫外线只会损失10％，设太阳光原来的紫外线为，通13()0k k >过x 块这样的普通玻璃后紫外线为y ，则，那么要达到该厂生产的防紫外线玻璃()*0.9x y k x N =⋅∈同样的效果，至少通过这样的普通玻璃块数为（ ）（参考数据：）lg 30.477≈A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由题意得，化简得，两边同时取常用对数得，利用30.9(0)x k k k ⋅<>10.93x <110.913x g g<对数的运算性质可得选项.【详解】由题意得，化简得，两边同时取常用对数得，因为30.9(0)x k k k ⋅<>10.93x <110.913x g g<，所以，则至少通过11块玻璃.lg 0.90<11130.477310.37lg 0.92lg 310.046gg x -->=≈≈--故选：C.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若，则,a b ∈R 2ab ba+≥B ．若，，则0a b >>0m n >>b b ma a n +<+C ．若，则a b>22a b>D ．若，，则a b >c d >22a c b d ->-【答案】BC【分析】当，异号时即可判断A ；利用作差法得，再根据题意判断a b ()b m b ma nba n a a n a+--=++的符号即可判断B ；根据，两边平方后不等式也成立即可判断C ；利用特殊值法ma nb -0a b >≥即可判断D ．【详解】对于A ，，异号时，不等式不成立，故A 错误；a b 对于B ，由，()()()()b m a b a n b m b ma nba n a a n a a n a+-++--==+++又，，所以，即，故B 正确；0a b >>0m n >>0ma nb ->b b ma a n +<+对于C ，由，所以，故C 正确；a b >≥22a b >对于D ，，，，，则，，不满足，故D 错2a =1b =1c =0d =20a c -=21b d -=22a c b d ->-误．故选：BC ．10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭（ ）A ．，，2A =2ω=π3ϕ=B ．函数的图象关于坐标原点对称π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数的图象关于直线对称()f x 17π12x =-D ．函数在上的值域为()f x ππ,124⎛⎤- ⎥⎝⎦(]1,2【答案】ABC【分析】最值求，周期求，特殊点求，观察图像找出特征值即可求出函数，后根据A ωϕ()f x 的性质可作出判断.()f x 【详解】A 选项：由图象知；2A =设的最小正周期为T ，，所以得，()f x 7ππ3π3T 12644⎛⎫--== ⎪⎝⎭2πT πω==2ω=当时，函数取得最小值，则，7π12x =()f x ()7ππ22π122k k ϕ⨯+=-∈Z 即，又，()52ππ3k k ϕ=-∈Z π2ϕ<则当时，符合题意．所以，，，所以A 正确．1k =π3ϕ=2A =2ω=π3ϕ=B 选项：为奇函数，所以B 正确．πππ2sin 22sin 2663f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C 选项：令，解得，()ππ2π32x k k Z +=+∈()ππ212k x k Z =+∈所以函数图象的对称轴方程为，当时，，所以C 正确．()f x ()ππZ 212k x k =+∈3k =-17π12x =-D 选项：因为，，，ππ,124x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦ππ2,62x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦ππ5π2,366x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦所以，所以，所以D 不正确．π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()[]1,2f x ∈故选：ABC11．已知函数，下列说法正确的是（ ）2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩A ．((0))3f f =B ．函数的值域为()y f x =[2,)+∞C ．函数的单调递增区间为()y f x =[0,)+∞D ．设，若关于x 的不等式在R 上恒成立，则a 的取值范围是a R ∈()2xf x a ≥+[2,2]-【答案】ABD【解析】作出函数的图象，先计算，然后计算，判断A ，根据图象判断BC ，而()f x (0)f ((0))f f利用参变分离可判断D ．【详解】画出函数图象.如图，()f xA 项，，，(0)2f =((0))(2)3f f f ==B 项，由图象易知，值域为[2,)+∞C 项，有图象易知，区间内函数不单调[0,)+∞D 项，当时，恒成立，1x ≥22xx a x +≥+所以即在上恒成立，222x x a x x x --≤+≤+32222x x a x x --≤≤+[)1,+∞由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，222x x +≥2x =，当且仅当时等号成立，322x x +≥x =所以.2a -≤≤当时，恒成立，所以在上恒成立，1x <22x x a +≥+222x x a x --≤+≤+(),1∞-即在上恒成立2222x xx a x ---≤≤+-(),1∞-令，()32,02222,012x x x g x x xx ⎧-+≤⎪⎪=+-=⎨⎪+<<⎪⎩当时，，当时，，故；0x ≤()2g x ≥01x <<()322g x <<()min 2g x =令，()12,022322,012x x x h x x xx ⎧-≤⎪⎪=---=⎨⎪--<<⎪⎩当时，，当时，，故；0x ≤()2h x ≤-01x <<()722h x -<<-()max 2h x =-所以.22a -≤≤故在R 上恒成立时，有.()2x f x a ≥+22a -≤≤故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围．12．设，用表示不超过的最大整数（例如：，，已知函数x ∈R []x x []2.83-=-[]2.52=，，下列结论中正确的是（ ）()sin sin f x x x =+()()x f x ϕ⎡⎤=⎣⎦A ．函数是周期函数()x ϕB ．函数的图象关于直线对称()x ϕπ2x =C ．函数的值域是()x ϕ{}0,1,2D ．函数只有一个零点()()π2g x x xϕ=-【答案】CD【分析】首先判断函数的性质，奇偶性和周期性，对的取值范围讨论，进而得出函数()f x x的解析式并且画出的图象，由的图象分别对选项ABC 进行判断，对于D()()x f x ϕ⎡⎤=⎣⎦()x ϕ()x ϕ选项，函数的零点个数可由与函数交点个数确定.()()π2g x x x ϕ=-2πy x=()y x ϕ=【详解】∵，，()sin sin f x x x=+x ∈R ∴，()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=∴函数为偶函数，()sin sin f x x x =+不是周期函数，是周期函数.sin y x =sin y x=对于，当，时，.0x ≥2π2ππk x k ≤≤+k ∈Z ()2sin f x x =当，时，，2ππ2π2πk x k +<<+k ∈Z ()0f x =∴当时，0x ≥()()π2,2π,Z 2π5π0,2π2π,2π2π2π,Z,66π5ππ1,2π2π,2π,Z 662x k k x f x k x k k x k k k x k x k k ϕ⎧=+∈⎪⎪⎪⎡⎤==≤<++<<+∈⎨⎣⎦⎪⎪+≤≤+≠+∈⎪⎩由函数为偶函数，可得的图象如图所示，()sin sin f x x x=+()x ϕ由图易知函数不是周期函数，所以A 错误；()x ϕ∵，，ππ222ϕϕ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π02ϕ⎛⎫=⎪⎝⎭∴函数的图象不关于直线对称，故B 错误；()x ϕπ2x =由上述可知函数的值域是，故C 正确；()x ϕ{}0,1,2由可得，()()π02g x x x ϕ=-=()2πx x ϕ=当时，，；20πx =0x =()00ϕ=当时，，；21πx =π2x =π22ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭当时，，，22πx =πx =()π0ϕ=故直线与的图象只有一个交点，即函数只有一个零点，故D 正确.2πy x =()y x ϕ=()()π2g x x x ϕ=-故选：CD.三、填空题13．已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边过点，则α()43P ,-______.sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1225【分析】根据角终边过点，可求出角三角函数值，再利用正弦和余弦的和差角公式，α()43P ,-α以及同角三角函数的平方关系，即可求出结果.【详解】∵的终边过点，α()43P ,-∴，（三角函数的概念），3sin 5α=4cos 5=-α∴11sin cos cos sin 6622ππαααααα⎫⎛⎫⎛⎫+-=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，)2212sin cos sin cos 25αααα=++=-.122514．已知，则___________.tan 3α=sin cos 2sin cos αααα=-【答案】65-【分析】首先利用二倍角公式化简，再变形为的齐次分式形式，用表示，代入即可sin ,cos ααtan α求解.【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin sin cos sin cos αααααααααααα-==-+--.()222222sin cos sin tan tan 336sin cos tan 1315αααααααα+++=-=-=-=-+++故答案为：65-15．已知，，则______.lg5a =104b =22a ab b ++=【答案】2【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化及对数运算法则计算作答.【详解】因，则，又，104b=lg42lg2b ==lg5a =所以.22(2)lg5(2lg52lg2)2lg22(lg5lg2)lg52lg2a ab b a a b b ++=++=⋅++=+⋅+2lg52lg22=+=故答案为：2四、双空题16．已知函数满足，则_________；若函数()f x ()()226412f x f x x x +-=-+()f x =，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是_________.()2816g x x x m=+-[]3,3x ∈-()()f xg x ≥m 【答案】 2244x x ++[)86,+∞【分析】将原式中的代换成，再消去即可得到的解析式；若对任意，x x -()f x -()f x []3,3x ∈-恒成立，利用参变分离，得到，转化为，即可求()()f xg x ≥26124m x x ≥+-()2max 6124m x x ≥+-得实数的取值范围.m 【详解】由知，()()226412f x f x x x +-=-+将原式中的代换成得x x -()()226412f x f x x x -+=++，消去得；()()()()222641226412f x f x x x f x f x x x ⎧+-=-+⎪⎨-+=++⎪⎩()f x -()2244f x x x =++由，得，()()f xg x ≥22244816x x x x m ++≥+-即对任意，恒成立，26124m x x ≥+-[]3,3x ∈-∴，()2max6124m x x ≥+-当时，取得最大值86.3x =26124x x +-∴实数的取值范围为.m [)86,+∞故答案为：；2244x x ++[)86,+∞五、解答题17．已知集合，.()(){}110A x x a x a =-+--<{}1139x B x -=≤≤(1)若，求；1a =A B ⋃(2)若是的必要不充分条件，求实数的值.x B ∈x A ∈a 【答案】(1){}03A B x x ⋃=<≤(2)2【分析】（1）将代入集合，解不等式求出集合与集合，再求并集即可；1a =A A B （2）由是的必要不充分条件确定集合是集合的真子集，由此求实数的值即可.x B ∈x A ∈A B a 【详解】（1）∵不等式等价于，且函数在上单调递增，1139x -≤≤012333x -≤≤3xy =R ∴，即，∴，012x ≤-≤13x ≤≤{}{}113913x B x x x -=≤≤=≤≤若，则，1a =(){}{}2002A x x x x x =-<=<<∴.{}03A B x x ⋃=<≤（2）不等式即，()()110x a x a -+--<()()110x a x a ---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∵，∴解得，11a a -<+11a x a -<<+∴，()(){}{}11011A x x a x a x a x a =-+--<=-<<+由（1）知，{}13B x x =≤≤若是的必要不充分条件，即，，x B ∈x A ∈x B ∈ x A ∈x A ∈⇒x B ∈∴集合是集合的真子集，A B ∴，即，1311a a +≤⎧⎨-≥⎩22a a ≤⎧⎨≥⎩∴.2a =18．已知函数.()222sin sin 63f x x x xππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求的单调递增区间；()f x(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程()f x 3π()y g x =x在上有四个根，从小到大依次为，求的()g x 7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1234x x x x <<<123422x x x x +++值.【答案】(1)()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (2).92π【分析】（1）根据三角函数的诱导公、二倍角公式以及差角公式，整理函数，利用辅助角公式，化简为单角三角函数，结合整体思想，建立不等式，可得答案；（2）根据函数变换，写出新函数解析式，利用其对称性，可得答案.【详解】（1）()222sin cos 623f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦))2sin cos cos 21sin 2cos 21663x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭令，解得，()222232k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z 51212k x k ππππ-+≤≤+所以的单调递增区间为.()f x ()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）由题意知：∴，()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()23y g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为和是在上的对称轴，512x π=1112π=x sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由对称性可知：，，1256x x π+=34116x x π+=所以.12349222x x x x π+++=19．已知函数（）.()21log 3f x ax a x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭0a ≥(1)当时，解关于的不等式：；0a =x ()2f x >(2)若在时都有意义，求实数的取值范围.()f x 0x >a【答案】(1)107x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(2).{}1a a >【分析】（1）由时得到，再根据结合对数函数的单调性得到0a =()21log 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2f x >，即可求解.130134x x ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩（2）根据对数函数的定义域，得到在时都有意义，转化为在时()f x 0x >()2310ax a x +-+>0x >恒成立，分离参数得到在时恒成立，构造函数令（），22313111x x x a x x x -->=++0x >()23111x x g x x -=+0x >则只需即可，利用换元法令，得到，结合基本()maxa g x >10t x =>()()2341511t t h t t t t -==-+-+++不等式即可求解.【详解】（1）当时，，0a =()21log 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为在上单调递增，且，2log y x =()0,∞+2log 42=由得，解得：，()2f x >130134x x ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩107x <<即不等式解集为.107x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）在时都有意义，即在上恒成立，()f x 0x >130ax a x ++->0x >即在时恒成立，()2310ax a x +-+>0x >即在时恒成立，22313111x x x a x x x -->=++0x >令，，则只需即可，()23111x x g x x -=+0x >()max a g x >令，，10t x =>()()2341511t t h t t t t -==-+-+++∵，，0t >()4141t t ++≥=+当且仅当，，且，即时等号成立，411t t +=+0t >1t =∴，()()44151545111h t t t t t ⎛⎫=-+-+=-+++≤-+= ⎪++⎝⎭∴，即最大值为1，()1g x ≤()g x ∴，1a >∴的取值范围为.a {}1a a >20．已知函数，.()124212x x x a a f x +-⋅++=a ∈R (1)判断是否有零点，若有，求出该零点；若没有，请说明理由；()f x (2)若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围.()f x []1,3x ∈a 【答案】(1)没有，理由见解析(2)a ≤≤【分析】（1）将问题转化为是否有解，设，判断在124210x x a a +-⋅++=2xt =22210t at a -++=时是否有解即可；0t >（2）设，利用在上为单调递增函数得恒成立，常数分离后1213x x ≤<≤()f x []1,3x ∈12211022x x a +->得的取值范围.a 【详解】（1）设有零点，则方程有解，即有解，()f x ()0f x =124210x x a a +-⋅++=设，，得（*），2xt =0t >22210t at a -++=，（*）方程无正解，()224410a a ∆=-+<所以没有零点.()f x （2），()12242112222x x xx x a a a f x a+-⋅+++==++设，恒成立，1213x x ≤<≤()()210f x f x ->，()()()2121211222221111222212222x x x x x x x x a a a f x f x ⎛⎫+++-=+--=-- ⎪⎝⎭因为，所以恒成立，21220x x ->12211022x x a +->所以恒成立，112221222x x x x a +=+<又，12121326x x x x ≤<≤⇒<+<所以，214+≤a 所以的取值范围为.a a ≤≤21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.()f x R 0x >()ln f x x x=+(1)求的解析式；()f x (2)若正数m ，n 满足，求的最大值.22ln ln m m n n +=+n m -【答案】(1)()()ln ,0,0,0,ln ,0.x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩(2).14【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求出函数解析式；（2）根据题意，由（1）得，利用函数的单调性得，则()()2f m f n =20m n =>，结合二次函数的性质即可求解.21124n m n ⎛⎫-=--+⎪⎝⎭【详解】（1）当时，则，，0x <0x ->()()ln f x x x -=-+-函数是定义在上的奇函数，，()f x R ()()f x f x =--所以，当时，当时，0x <()()ln f x x x =--0x =()0f x =.()ln ,00,0ln(),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩（2）因为，22ln ln m m n n +=+由都为正数，得，,m n ()()2f m f n =设，则，120x x <<1111212122()()ln ln ()lnx f x f x x x x x x x x -=-+-=-+因为，所以，11220,lnln10x x x x -<<=11()()0f x f x -<故为单调递增的函数，()ln f x x x=+所以，，20m n =>221124n m n n n ⎛⎫-=-=--+ ⎪⎝⎭当且仅当时，求得最大值.12n =n m -1422．已知定义在上的函数,满足,且当时,.()0,∞+()f x ()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1x >()0f x >(1)讨论函数的单调性,并说明理由;()f x (2)若,解不等式.()21f =()()333f x f x +->【答案】(1)在上单调递增,理由见解析()f x ()0,∞+(2)30,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】(1)取,利用单调性的定义,进行取值,作差,变形,定号,结论即可得出结果;21,m x n x ==(2)先根据,求得,再利用抽象函数的式子化为,根据(1)中的单调性结()21f =()83f =()383x f f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭论,列出不等式,解出即可.【详解】（1）解:在上单调递增,理由如下:()f x ()0,∞+因为定义域为,()f x ()0,∞+不妨取任意,且,则,()12,0,x x ∈+∞12x x <211x x >由题意,即,()()22110x f f x f x x⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()()21f x f x >所以在上单调递增.()f x ()0,∞+（2）因为,令,由可得:,0m n ≠mnm n =()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()()()mn f m f f mn f n n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭即,()()()f mn f m f n =+由,可得,()21f =()()()4222f f f =+=令,,4m =2n =则,()()()8423f f f =+=所以不等式,()()333f x f x +->即,即,()()()338f x f x f +->()383x f f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭由(1)可知在定义域内单调递增,()f x 所以只需,解得,3030383x x x x ⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪>⎩0323x <<所以不等式的解集为.()()333f x f x +->30,23⎛⎫⎪⎝⎭。

2022-2023学年上海市崇明区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市崇明区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年高一上期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1. 函数__________．()f x =【答案】1[,)2+∞【解析】【详解】依题意，.1210,2x x -≥≥2. 直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为_____________．【答案】(){},0,0,Rx y x y y ∈【解析】【分析】根据给定条件，利用集合的描述法写出第二象限的点集作答.【详解】依题意，第二象限所有点组成的集合是.(){},0,0,Rx y x y y ∈故答案为：(){},0,0,Rx y x y y ∈3. 集合，，若，则_____________．{}2,3xA ={},B x y ={}3A B ⋂=A B ⋃=【答案】{}1,2,3【解析】【分析】根据交集运算得出，再由并集运算求解.,x y 【详解】若，则，，所以，所以．{}3A B ⋂=33x=3y =1x ={}1,2,3A B = 故答案为：{}1,2,34. 已知幂函数的图像经过点，则_____________．()y f x =()4,2()3f =【解析】【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出函数值作答.()f x 【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即，()f x x α=R α∈(4)42f α==12α=12()f x x =所以.(3)f =5. 已知方程的两个根为，则_____________．220x x +-=12,x x 221221x x x x +=【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用韦达定理计算作答.【详解】显然方程有两个实根，它们为，则，220x x +-=12,x x 12121,2x x x x +=-=-所以．()()2212211212212x x x x x x x x +=+=-⨯-=故答案为：26. 用反证法证明命题：“设x ，．若，则或”吋，假设的内容应该是R y ∈2x y +>1x >1y >_____________．【答案】且1x ≤1y ≤【解析】【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若，则或”的结论是“或”，其否定为“且”，2x y +>1x >1y >1x >1y >1x ≤1y ≤所以假设的内容应该是：且.1x ≤1y ≤故答案为：且1x ≤1y ≤7. 已知函数在区间上是严格减函数，则实数a 的取值范围是_____________．()224f x x ax =-+[]1,2【答案】[)2,+∞【解析】【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性求解作答.【详解】函数在上是严格减函数，依题意，，()224f x x ax =-+(,]a -∞2a ≥所以实数a 的取值范围是.[)2,+∞故答案为：[)2,+∞8. 若关于x 的不等式的解集是R ，则实数k 的取值范围是______．()2140x k x +-+>【答案】(3,5)-【解析】【分析】根据不等式的解集是R ，可得，解不等式可得答案.()2140x k x +-+>2(1)440k ∆=--⨯<【详解】关于x 的不等式的解集是R ，()2140x k x +-+>则方程的判别式,解得，()2140x k x +-+=2(1)440k ∆=--⨯<35k -<<即实数k 的取值范围是，(3,5)-故答案为：(3,5)-9. 已知偶函数，，且当时，，则_____________．()y f x =x ∈R 0x ≥()3221x f x x =+-()2f -=【答案】19【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义直接计算作答.【详解】R 上的偶函数，当时，，()y f x =0x ≥()3221x f x x =+-所以.()()3222222119f f -==⨯+-=故答案为：1910. 若则的最小值为_________.log 41,a b =-a b +【答案】1【解析】【详解】试题分析：由得，log 41,a b =-104a b =>所以（当且仅当即时，等号成立）114a b b b +=+≥=14b b =12b =所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.11. 甲、乙两人解关于x 的不等式，甲写错了常数b ，得到的解集为，乙写错了常20x bx c ++<()3,2-数c ，得到的解集为．那么原不等式的解集为_____________．()3,4-【答案】()2,3-【解析】【分析】根据给定条件，求出常数，再解一元二次不等式作答.,b c 【详解】依题意，，，即，326c =-⨯=-341b -=-+=1b =-因此不等式为：，解得，20x bx c ++<260x x --<23x -<<所以原不等式的解集为．()2,3-故答案为：()2,3-12. 已知函数的定义域为D ，对于D 中任意给定的实数x ，都有，，且()y f x =()0f x >x D -∈．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有的真命题序号）．()f x -⋅()1f x =①若，则；0D ∈()01f =②若当时，取得最大值5，则当时，取得最小值；3x =()f x 3x =-()f x 15③若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数．()f x ()0,∞+()f x (),0∞-【答案】①②【解析】【分析】根据给定条件，逐一验证各个命题在条件被满足时，结论是否成立作答.【详解】对于①，，有，则，又，所以，①0D ∈0D -∈2[(0)](0)(0)1f f f =-⋅=(0)0f >()01f =正确；对于②，依题意，，，x D ∀∈0()(3)5f x f <≤=则，，即当时，取得最小值，②正确；x D -∈11(3)(3)()(3)()5(3)f f f x f f x f -⋅-=≥==-3x =-()f x 15对于③，，有，则，依题意，在上是严格减函数，(,0)x ∈-∞(0,)x -∈+∞1()()f x f x =-()f x -(,0)-∞因此在上是严格增函数，即函数在上是严格增函数，③错误，1()f x -(,0)-∞()f x (,0)-∞所以3个命题中是真命题的有①②.故答案为：①②二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13. 已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A. a 2<－abB. |a |<|b |C. D. 11a b>1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由特殊值法可以排除选项A,B,D ，由指数函数的单调性可知选项C 正确.【详解】法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a|＝|b|，，所以1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，B ，D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a<0，ab <0，所以，所以一定成立，110b a a b ab --=>11a b >故选C.法二：因为a >0>b ，所以，所以一定成立，110ab >>11a b >故选：C.【点睛】对于不等式的判定，我们常取特殊值排除法和不等式的性质进行判断，另外对于指数式，对数式，等式子的大小比较，我们也常用函数的单调性．14. 函数的零点所在的区间可以是（ ）()357f x x x =+-A.B.C.D.()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】B 【解析】【分析】利用零点存在性定理，可得答案.【详解】，，，()070f =-<()115710f =+-=-<()28107110f =+-=>，，()327157350f =+-=>()464207770f =+-=>由，则函数的零点存在的区间可以是，()()120f f <()f x ()1,2故选：B.15. “”是“关于的不等式的解集为”的（）0a =x 21ax b ->∅A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系.x 21ax b ->∅a 【详解】解：关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合x 21ax b ->∅0a =21b ->∅题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为0a >21ax b >+21b x a +>a<0，则，不符合题意；综上，21ax b >+21b x a +<a =所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件.0a =x 21ax b ->∅故选：C .16. 设集合，，，{}21|10P x x ax =++>{}22|20P x x ax =++>{}21|0Q x x x b =++>其中，给出下列两个命题：命题：对任意的，是的子集；命{}22|20Q x x x b =++>,a b ∈R 1q a 1P 2P 题：对任意的，不是的子集．下列说法正确的是（ ）2q b 1Q 2Q A. 命题是真命题，命题是假命题1q 2q B. 命题是假命题，命题是真命题1q 2q C. 命题、都是真命题1q 2q D. 命题、都是假命题1q 2q 【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题.1q 1Q 2Q 2q 【详解】由于，即时，一定成立，故是22211x ax x ax ++=+++210x ax ++>220x ax ++>1P 的子集，因此命题是真命题.2P 1q 令，；20x x b ++=114104b b ∆=-⨯⨯<⇒>令，.从而可知，当时，，此时，是的220x x b ++=44101b b ∆=-⨯⨯<⇒>1b >12Q Q R ==1Q 2Q 子集，故命题是假命题.2q 故选：A三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17. 解下列不等式：（1）；212302x x -+-≤（2）.5331x x +-≤【答案】（1）；（2）.⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ [3,1)-【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，直接求解即可；（2）根据分式不等式的解法，等价于，再求解即可.5331x x +-≤(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩【详解】（1）由可得： ，212302x x -+-≤20461x x ≤-+解得：，x≤x≥故解集为：⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）由化简为：，5331x x +-≤531x x +--3≤0即，等价于，261x x +-≤0(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩解得，故解集为.31x -≤<[3,1)-18. 已知全集，集合，．U =R []2,10A =-{}2B x x m =-≤（1）若，求；10m =A B （2）若，求实数m 的取值范围；A B ⋂=∅（3）若“”是“”的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．x A ∈x B ∈【答案】（1）；()()212,-∞-+∞ （2）；()()212,-∞-+∞ （3）.[]0,8【解析】【分析】（1）把代入，求出集合B ，再利用并集、补集的定义求解作答.10m =（2）化简集合B ，利用交集的结果列出不等式，求解作答.（3）利用必要不充分条件的意义，结合集合的包含关系求解作答.【小问1详解】当时，，则，10m ={}[]28,12B x x m =-≤=[]2,12A B =- 所以.()()212,A B =-∞-+∞ 【小问2详解】，{}[]22,2B x x m m m =-≤=-+因为，则或，解得或，A B ⋂=∅210m ->22m +<-12m >4m <-所以m 的取值范围为．()()212,-∞-+∞ 【小问3详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则有，x A ∈x B ∈B A ⊂由（2）知，或，解得或，因此，21022m m +≤⎧⎨-+>-⎩21022m m +<⎧⎨-+≥-⎩08m <≤08m ≤<08m ≤≤所以实数m 的取值范围是.[]0,819. 设常数，函数．0a ≥()22x xaf x a +=-（1）若，判断函数在区间上的单调性，并说明理由；2a =()y f x =[)2,+∞（2）根据a 的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．()y f x =【答案】（1）函数在区间上是严格减函数，理由见解析()y f x =[)2,+∞（2）具体见解析【解析】【分析】（1）由定义结合指数函数的单调性得出单调性；()y f x =（2）分类讨论的值，结合奇偶性的定义判断即可.a 【小问1详解】当，，2a =()241222x x x a f x a +==+--任取，有，所以122x x ≤<1202222x x <-<-12442222x x >--所以，()()12f x f x >所以函数在区间上是严格减函数()y f x =[)2,+∞【小问2详解】①当时，，定义域为，故函数是偶函数；0a =()()1R f x x =∈x ∈R ()y f x =②当时，，定义域为，1a =()2121x xf x +=-()(),00,∞-+∞ ，故函数为奇函数；()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---()y f x =③当且时，定义域为关于原点不对称，0a >1a ≠()()22,log log ,a a -∞+∞ 故函数既不是奇函数，也不是偶函数，()y f x =所以当时，函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当且时，0a =()y f x =1a =()y f x =0a >1a ≠函数是非奇非偶函数.()y f x =20. 某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：①奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加；②奖金不低于10万元且不超过200万元；③奖金不超过投资收益的20%．（1）设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案()y f x =要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“恒成立”．请你用用数学语言表述另外两条()5xf x ≤奖励方案；（2）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；()3030xf x =+（3）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研()45g x =-课题组最多可以获取多少奖金？【答案】（1）答案见解析； （2）不符合； （3）195万元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用函数单调性、值域的意义写出方案的前两个要求作答.（2）根据给定函数，逐一判断方案中的3个要求是否都满足作答.（3）根据给定的函数模型，求出a 的取值范围，再求出最多可以获取的奖金作答.【小问1详解】“奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当时，[100,1600]x ∈是的增函数；()y f x =x “奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值.[10,200]y ∈【小问2详解】函数在上是增函数，，()3030x f x =+[100,1600]x ∈100250(100),(1600)33f f ==函数的值域，()f x 100250[,][10,200]33⊆由得：，解得，因此对，不成立，()5x f x ≤30305x x+≤180x ≥[100,180)x ∈()5x f x ≤即对，不等式不恒成立，[100,1600]x ∀∈()5xf x ≤所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求.()3030xf x =+【小问3详解】因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在上是增函数，()45g x =-()g x [100,1600]x ∈有，0a >，，解得，min ()(100)104510g x g a ==-≥max ()(1600)4045200g x g a==-≤114928a ≤≤由，不等式恒成立，得，[100,1600]x ∀∈()5x g x≤4555xa ≤⇔≤，，当且仅当，即时取等号，[10,40]30≥==225x =于是，解得，从而，530a≤6a≤1162a ≤≤因此当，时，，当且仅当且1162a ≤≤[100,1600]x ∈()4545195g x ≤-≤-=6a =时取等号，且，1600x =195200<所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金.。

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一．选择题：
1.下列说法正确的是
A 第一象限角是锐角
B -1200是钝角
C 1850和-1750是终边相同角
D 3
π
的终边相同的角是2k 3ππ+(k ∈R)
2.下列命题中，正确命题的个数为：
（ 1 ）c b a c b a ρ
ρρρρρ++=++)()(（ 2 ）a b b a ρϖρρ•=•
（ 3 ）c a b a c b a ϖϖρϖρρρ•+•=+•)( ( 4 )()()c b a c b a ρ
ρρρρρ••=••
个 个个 个
3.函数x
x
x x y cos cos sin sin +
=的值域是： A {2} B {0,2} C {-2,2} D {-2,0,2} 4设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则下列命题中，正确命题的个数为： ①与 OF 共线②=③=④OB OE 2个 个 D. 4个 5.函数x y sin = 的最小正周期是：
A.
2
π
B. π
C. π2
D.π4 6函数 )6
2sin(π
-=x y 的一条对称轴是
A. 23πχ=
B.2πχ=
C. 3πχ=
D.6
π
χ=
7.已知等于：则均为锐角，且βαβαβα+==,3
1
tan ...21tan .
6
5........43........3........4..ππππD C B A 8.在三角形ABC 中，记在：则点若P R t b
b
a a t p p
b a ∈+====),(,,...,ρρρρρρρρ
所在直线上 B.角AOB 的角平分线上 C.线段AB 的中垂线上 边的中线上 9.已知函数)3(),1(),1(),)..(3
(sin 3)(f f f R x x x f -∈+
=比较π
χ的大小，正确的是： A f(-1)<f(2)<f(3) B f(-1)<f(3)<f(1) C f(3)<f(-1)<f(1) D f(3)<f(1)<f(-1)
10.在三角形ABC 中，a=4 ,c=23,B=1500 则b 等于： A 2 B 213 C 2327- D 2327+
11．已知A （-3，3），B （-1，1），C （1，y ）三点共线，则y 等于： A -1 B 1 C 2 D 5
12．设函数 y=f(x) 的图像为 C 1 ，将C 1向右平移 4
π
个单位，可得曲线 C 2 ，若曲线 C 2与函数y=cos2x 的图像关于x 轴对称，那么y=f(x)的解析式可能是：
(x)=sin2x (x)=cos2x C. f(x)=-sin2x (x)=-cos(2x-4
π
)
二．填空题：（共4个小题，每小题4分，共16分） 13．已知cosa=-2
3
, a 为钝角，则a=________________ 14.函数 f(x)=sinx+cosx 的最大值为________________
15.已知),6,(),3,2(-==x b a ρρ若 a ρ
与 b ρ 的夹角为900 ,则x=____________
16.已知cosa= -41
9
,且π<a<23π 求tan()4απ- 的值____________
三.解答题(本大题有5个小题,共56分) 17.(10分) 化简:)
2cos()
4sin(
)4sin(
2a a a --+ππ
π
18.(10分) 已知cosa=-54,且a 为第三象限角,求cos(a+3
π) 的值.
19.(12分)已知函数：f(x)=,b a ρρ•且.).2sin 3,cos 2(),1,(cos R x x x b x a ∈==ρρ
⑴求f(x)的最小正周期;⑵若函数y=2sin2x 的图像按向量
m n m c )(,(ρ<2
π
), 平移后得到 y=f(x) 的图像，求实数m 、n 的值。

20.已知
,
2,3==b a ρρ
且()()
.21332=+-b a b a ρ
ρρρ
⑴ 求a ρ与b ρ
的夹角。

⑵求
b a ρρ+与.
b a ρρ-
21.（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =
，3tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；
（Ⅱ）若ABC △
13、65π 14、2 15: 9 16: 4931-
三.解答题(本大题有5个小题,共56分)
17(10分)解:原式=ααπαππ2cos 4sin 42sin 2-⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎤⎢⎢⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--…………..3分 =α
απαπ2cos 4sin 4cos 2-⎪
⎭⎫ ⎝⎛-•⎥⎥⎤⎢⎢⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-……………5分
=
α
απ2cos 242sin -⎪
⎭⎫ ⎝⎛-………………………………7分 =
α
α
2cos 2cos -=-1………………………………10分
18.(10分) )解:因为cosa=-54
,a 为第三象限角
所以sina=-53
…………………………………4分 所以cos(a+3π)=cosacos 3π-sinasin 3
π
=10
3
3423)53(21)54(+-=⨯--⨯-
=10
3352+-
………………10分 19.(12分) 解⑴f(x)==•=•)2sin 3,cos 2()1,(cos x x x b a ρ
ρ2cos 2x+x 2sin 3
=1+cos2x+1)6
2sin(22sin 3++=π
x x ………4分
所以T=
ππ
=2
2………5分 ⑵设函数y=2sin2x 的图像上任意一点（x,y ）按向量m n m c )(,(ρ<2
π
),
平移后对应的点为（x ｀,y ｀）则：
x ｀=x+m y ｀=y+n … 6分 所以x=x ｀-m y=y ｀-n 所以y ｀-n=2sin2(x ｀-m) 所以y ｀=2sin2(2x ｀-2m)+n *…8分
由⑴可知函数*的解析式为y=2sin(2x+6
π)+1 故可令-2m=6
π n=1 ………………………10分
得m=-
12π n=1 可满足m <2
π 故实数m 、n 的值分别为-12
π
，1……………………12分
20.(12分)解⑴因为（221)3)(3=+-b a b ρ
ρρρ
α
所以6a ρ2-7b b a ρρ
ρ3-•2
=21
又因为2,3==b a ρρ
所以3=•b a ρ
ρ ………………………………3分
所以cos<b a ρρ,〉=21
323=⨯=••b a b a ρρρρ………………………………5分
所以〈b a ρρ,〉=3π
………………………………6分
⑵由⑴有19=+b a ρ
ρ………………………………9分
7=-b a ρ
ρ………………………………12分
21.解：（Ⅰ）π()C A B =-+Q ，…………………2分
13
45tan tan()113145
C A B +
∴=-+=-=--⨯．又0πC <<Q ，3
π4C ∴=．……5分
（Ⅱ）3
4
C =πQ ，AB ∴
边最大，即AB =．……7分
又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭
Q ，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．
由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧
==⎪⎨⎪+=⎩
，，
且π02A ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，，……9分
得sin 17A =
．由sin sin AB BC C A =
得：sin sin A BC AB C
==g
所以，最小边BC =……12分。

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