③课后限时作业

课后限时作业（二）A级（时间：40分钟满分：90分）一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.（2013届·浙江考试院1月质检）设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（）A.原命题真，逆命题假B.原命题假，逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题解析：因为原命题的逆否命题为：若a,b都小于1，则a+b<2,显然为真，所以原命题为真；原命题的逆命题为：若a,b中至少有一个不小于1，则a+b≥2,是假命题，反例为a=1.2,b=0.3.故选A.答案：A2.（2011·福建）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：当a=1时，|a|=1成立；反过来，若|a|=1时，a=±1,即a=1不一定成立.答案：A3.全称命题：∀x∈R,x2+5x=4的否定是( )A. ∃x∈R，x2+5x=4B. ∀x∈R,x2+5x≠4C. ∃x∈R,x2+5x≠4D.以上都不正确解析：因为命题p：∀x∈M，p(x)的否定⌝p：∃x∈M, ⌝p(x),故选C.答案：C4.（2013届·厦门适应性考试）“x＞1”是“log2x＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：log2x＞0 ⇔x＞1.答案：C5.对任意实数a,b,c,给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析：a=b ⇒ac=bc,但c=0时，ac=bc不一定推出a=b,故①错误；②正确；-2＞-3,但22<-,故③错误；a＜3＜5 ⇒a＜5,故④正确.(-2)(3)答案：B6.下列命题中真命题的个数是( )①∀x∈R,x4>x2;②若p∧q是假命题，则p,q都是假命题；③命题“∀x ∈R,x 3-x 2+1≤0”的否定是“∃x ∈R,x 3-x 2+1>0”.A.0B.1C.2D.3解析：①不正确，当且仅当|x|>1时，x 4>x 2成立;②不正确，当p ∧q 为假命题时，只要p,q 中至少有一个为假命题即可；③正确，全称命题的否定是特称命题.答案：B二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7.命题：“设a 、b 、c ∈R,若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”的逆否命题是 .解析：考查原命题的逆否命题的写法.答案：设a 、b 、c ∈R ，若a ≤b,则ac 2≤bc 2”8.“函数f （x ）=|x-a|在区间［1,+∞)上为增函数”的充要条件是 .解析：当a=1时，函数f （x ）=|x-1|在区间(-∞,1］上为减函数，在区间［1,+∞)上为增函数，因此函数f （x ）=|x-a|在区间［1,+∞)上为增函数，必须且只需a ≤1即可.答案：a ≤19.有下列四个命题：①若x+y=0，则x 、y 互为相反数；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2+2x+q=0有实根”的逆命题;④“等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.其中命题的序号为 .解析：命题①是真命题；命题②可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②的否命题也是假命题；命题③的逆命题：“若x 2+2x+q=0有实根，则q ≤1”是真命题；命题④是真命题.答案：①③④10. 已知命题p ：m<1，命题q ：函数()(52)x f x m =--是减函数，若p 与q 一真一假，则实数m 的取值范围是 .解析：p ：m<1,q:m<2.因为p 与q 一真一假，所以p 真q 假或p 假q 真.所以1,1,1 2.22,m m m m m <≥⎧⎧≤<⎨⎨><⎩⎩或即 答案: 1≤m<2三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11.已知集合A= 1{|28}2x x R ∈<<,B={x ∈R|-1＜x ＜m+1},若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A,求实数m 的取值范围.解：A=1{|28}2x x R ∈<<={x|-1＜x ＜3}. 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A,所以A ⊂B ，所以m+1＞3，即m ＞2.12. 已知关于x 的方程（1-a ）2x +(a+2)x-4=0,a ∈R .（1）求方程有两个正根的充要条件.（2）求方程至少有一个正根的充要条件.解：（1）方程(1-a) 2x +(a+2)x-4=0有两个实根的充要条件是21,10,0,(2)16(1)0,1,210,a a a a a a a ≠-≠⎧⎧⎨⎨∆≥++-≥⎩⎩≠⎧⎨≤≥⎩即所以或即a ≥10或a ≤2且a ≠1. 设此时两根为1x 、2x ，则存在两正根等价于12121,1,210,210,20,0,10,40,1a a a a a a a x x a x x a ≠⎧⎪≠⎧≤≥⎪⎪≤≥⎪⎪+⎨⎨>+>-⎪⎪⎪⎪+>⎩>⎪-⎩或或即 所以1＜a ≤2或a ≥10，即1＜a ≤2或a ≥10是方程有两个正根的充要条件.(2)由（1）可得1＜a ≤2或a ≥10时方程有两个正根.当a=1时，方程化为3x-4=0，有一正根3.4x = 因为方程有一正一负两实根等价于在方程中a ＜1,故方程至少有一个正根的充要条件是a ≤2或a ≥10.B 级1.已知命题p:“∀x ∈［1,2］,x 2-a ≥0”,命题q:“∃x ∈R,x 2+2ax+2-a=0”.若命题p 和q 都是真命题，则实数a 的取值范围为 （ ）A.a ≤-2或a=1B.a ≤-2或1≤a ≤2C.a ≥1D.-2≤a ≤1解析：由已知可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真得a ≤1，由命题q 为真得4a 2-4（2-a ）≥0,解得a ≤-2或a ≥1，所以a ≤-2或a=1.答案：A2.（2013届·山东烟台一模）“x>1”是“x 2>x ”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由x 2>x 可得x>1或x<0,所以x>1可得到x 2>x,但x 2>x 不一定得到x>1.答案：A3.已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面.命题p:若α∥β，m ⊂α,n ⊂β,则m ∥n;命题q:若m ⊥α,n ⊥β,m ∥n,则α∥β;下面的命题中:①p ∨q;②p ∧q;③p ∨（⌝q ）;④q ∨（⌝p ）,真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）.解析：因为命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以⌝p 是真命题，⌝q 是假命题，所以p∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∨（⌝q ）是假命题，q ∧（⌝p ）是真命题.答案：①④4. 已知命题p ：对任意x ∈R ，存在m ∈R ，使1420.x x m +-+=若命题 ⌝p 是假命题，则实数m 的取值范围是 .解析：1420.x x m +-+=可改为2(2)220.x x m -∙+=由题意知p 为真命题，则Δ≥0.即4-4m ≥0,解得m ≤1.答案：m ≤15. 设p:实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a<0；q:实数x 满足x 2-x-6≤0,或x 2+2x-8>0,且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.解：设A={x|p}={x|x 2-4ax+3a 2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},B={x|q}={x|x 2-x-6≤0或x 2+2x-8>0}={x|x 2-x-6≤0}∪{x|x 2+2x-8>0}={x|-2≤x ≤3}∪{x|x<-4或x>2}={x|x<-4或x ≥-2}.方法1：因为⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，综上可得-23≤a<0或a ≤-4. 方法2：即：p ⇒q,且q ≠>p ， 所以A B,所以a ≤-4或3a ≥-2.解得-23≤a<0或a ≤-4. 6.已知m ∈R,命题p:x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个根，不等式|m-5|≤|x 1-x 2|对任意实数a ∈［1,2］恒成立；命题q:函数f （x ）=3x 2+2mx+m+43有两个不同的零点.若“p ∧q ”为真命题，求实数m 的取值范围.解：由题设知x 1+x 2=a,x 1x 2=-2,所以12||x x -=a∈［1,23，要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈［1,2］恒成立, 只需|m-5|≤3,即2≤m≤8.由已知，得f（x）=3x2+2mx+m+43=0的判别式Δ=4m2-12(m+43)=4m2-12m-16＞0,解得m＜-1或m＞4.要使“p∧q”为真命题，只需p真且q真,即28,14,mm m≤≤⎧⎨<->⎩或解得4＜m≤8.故实数m的取值范围是(4,8］.。