连续平衡网络设计问题的求解算法
第9讲 双层规划
四、双层规划计算的复杂性
设 K E n ，若任意两点 X 1 K , X 2 K 的凸组合属于 K， 即 X X 1 ( 1 ) X 2 K ( 0 1 ) 则称 K 为凸集。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
上图中(a)、(b)是凸集，(c)、(d)不是凸集，任何两个 凸集的交集是凸集，如图(e)。从直观上说，凸集没有凹入 部分，其内部没有空洞。
四、双层规划计算的复杂性
定义: 若函数图形上任意两点的连线段必在函
数图形的上方(下方)，则称该函数为凸函数(凹
函数)。
数学表达式定义为： 函数f(X)，对任意不相等
的X1，X2∈(a,b), 以及λ∈(0, 1)，有
f[λX1+(1-λ)X2]≤λf(X1)+(1-λ)f(X2) ,
则f(x)称作凸函数。
用于求解双层线性规划。 基本观点：双层线性规划问题的任何解都出现
在下层问题的约束集合的极点位置。因此，首先
可以利用各种方法来寻找约束空间的极点（不要 求寻找全部极点），然后从中再找出双层问题的 局部最优解或全局最优解。
二、下降法（Descent Method） ：
主要用于求解非线性连续变量的双层规划问题
x
，那么下层面临的是以
x为参数的简单最小值最优化问题。在有些情 况下，对固定的 x ，下层对应的最优问题可能
包含不止一个最优解。
什么情况下会有 这种问题？？
如：如果所有的函数都是线性的，很可能当
X X 固定的下层问题的所有最优解组成一个
集 y (x) ，这意味着 y (x)中的任何一点对下层是
1* 1* ， F (x3* , y 3* )与 F (x , y )之间的差异。
第9讲双层规划
上述例子说明：
当上层给定一个允许决策后，如果下层问题的
最优解不唯一，将导致整个求解的复杂性，甚
至无法保证能求得问题的最优解。
依赖性——各层决策者的容许策略集通常是
不可分离的，形成一个相关联的整体（举例 说明）。
三、双层规划模型的基本形式
一般来说，双层规划模型具有如下形式
（U）
min F(x ,y)
x
上层决策者通过设置
s.t. G ( x ,y )0
的值影响下层决 x
策者。下层决策变量 是上层决策变量的函
y
) 由下述规划求得 其中 y y(x
即使能找出双层问 题的解，通常也只 可能是局部最优解 而非全局最优解。
• NP-hard，其中的NP是指非确定性多项式（nondeterministic polynomial，缩写NP）。所谓的非确 定性是指，可用一定数量的运算去解决多项式时 间内可解决的问题。 NP 问题通俗来说是其解的 正确性能够被“很容易检查”的问题，这里“很 容易检查”指的是存在一个多项式检查算法。 • 例如，著名的推销员旅行问题（Travel Saleman Problem or TSP）：假设一个推销员需要从香港出 发，经过广州，北京，上海，…，等 n 个城市， 最后返回香港。 任意两个城市之间都有飞机直达， 但票价不等。假设公司只给报销 C 元钱，问是否 存在一个行程安排，使得他能遍历所有城市，而 且总的路费小于 C？
自主性——上层的决策可能影响下层的行为，
因而部分地影响下层目标的实现，但上层不 能完全控制下层的选择行为，在上层决策允 许范围内，下层有自主决策权（举例说明） 。
数学建模-城市公交线网问题
进行
比较。假如求得的
已接近理想值
，而
小于理想值
太多。决策
者要求提高 的值，为此决策者提出将 提高到 ，以便使 增大，这是分析者根据决策 者的要求，将原约束条件修改为
:
因为将第二个目标值的要求放宽了，所以权系数 ，于是线性规划问题为
LP(2):
求解 LP(2)得到
相应的目标值
8
模型结果分析
1 没有考虑到一天时间内的人流量变化，在早高峰和晚高峰时段，原有的平均客流量所 计算出的车流量是不能满足需求的，容易造成交通拥堵，所以考虑在高峰时间段增加 A 快速公交：改变原有公交的速度，使得每一个站点间的运输时间减少 B 区间车：只考虑客流量大的起点和终点，路线中间的站点不会作停留，减少车辆停靠 时间 2 只考虑了公交线网优化设计，没有考虑各公交线网的发车频率，每条线路的平均客流 量是不同的，根据客流量的不同，每条公交线路的发车频率应该适当的进行调整。 3 没有考虑乘客的出行费用，不满足公共交通作为城市基础设施便民的目的。 4 交通限流：当原有的线路由于条件限制，但随着城市化的加快客流量的增多无法再进 行扩容的时候，进行高峰期交通限流
符号说明
符号 A aij SM si V µ
δ ρ
T0 L LG Lij
VL
符号意义 O-D 调查所得的 O-D 矩阵 A 中的项，从第 i 小区到第 j 小区的客流量
小区面积集 第 i 小区的面积，且 si ∈SM
乘客步行的平均速度 路网密度有关的系数，取值范围为 2—4
平均发车间隔时间（δ 可取经验常数） 平均留站率（ ρ 可取经验常数） 从下车站到上车站的中转时间
乘客下车后步行到达目的地的最短距离 同一线路中公交两相邻节点 s 至节点 t 的距离
pso算法
三、PSO算法的应用
（1）PSO 最直接的应用或许就是多元函数的优化问题, 包括带约束的优化问题。如果所讨论的函数受到严重的 噪音干扰而呈现非常不规则的形状,同时所求的不一定是 精确的最优值, 则PSO 算法能得到很好的应用。 （2）另外, 还有一种应用更广泛的方法: 简单而有效地 演化的人工神经网络, 不仅用于演化网络的权重, 而且包 括网络的结构。
参数设定： 1)粒子飞行速度必须限定在 V max 之内。较大的V max 可以提高 算法的全局搜索能力，而较小的V max可以提高算法的局部开发 能力。如果当前对微粒的加速导致它的速度超过最大速度V max, 则速度被限制为最大速度V max 。 V max决定当前位置与最好位置 之间的区域的分辨率(或精度)。如果V max太高, 微粒可能会飞过好 解; 如果V max太小, 微粒不能在局部好区间之外进行足够的探索, 导致陷入局部优值。根据经验V max 设定为变量的变化范围的1020％较好； 2）加速度常数c1,c2代表将每个微粒推向pbest 和gbestest 位置的统 计加速项的权重。低的值允许微粒在被拉回之前可以在目标区 域外徘徊, 而高的值则导致微粒突然的冲向或越过目标区域。经 验表明 c1,c2设为2.0为宜； 3）种群大小的设定与具体的问题有关。一般为20-50；
1999年，Clerc提出了带收缩因子的PSO算法。实验表明， 这种方法可以保证PSO算法的收敛性。方程（5）和（6） 描述了这种算法。
vid K *[vid c1 * rand ( ) *( pid xid ) c2 * rand ( ) *( pg d xid )] K 2 2 4
四、PSO算法的研究现状
（1）通过在基本的ＰＳＯ中引入繁殖和子种群的概念,增强其 收敛性和寻求最优解的能力.在每轮迭代中随机选择一定的粒子 作为父代,通过繁殖公式生成具有新的空间坐标和速度的子代粒 子,并取代父代以保持种群规模.其实这是一种提高对解空间搜索 能力和粒子多样性的数学交叉,可在一定程度上增强系统跳出局 部极小的能力. （2）将ＰＳＯ与模拟退火算法相结合的ＰＳＯＳＡ算法,解决 了微粒群算法性能分析过程中发现的初始参数依赖性问题和算 法搜索能力问题.通过模拟退火算法赋予搜索过程一种时变且最 终趋于零的概率突跳性,有效地降低了陷入局部极小的概率,从 而获取更佳的近似最优解.而且,模拟退火算法的串行优化结构 和微粒群算法的群体并行搜索相结合,拓展了微粒群在解空间中 的搜索范围,提高了其优化性能,促进了种群群体多样性的发展.
milp优化问题的典型求解方法
Milp（Mixed Integer Linear Programming）是一类线性规划问题，其变量包括整数型和实数型变量。
对于Milp优化问题，常见的求解方法包括整数规划分支定界法、整数规划切割平面法、启发式算法等。
本文将着重介绍Milp优化问题的典型求解方法，以便读者更好地理解和应用这些方法。
一、整数规划分支定界法1. 整数规划分支定界法是一种常用的Milp求解方法，其基本思想是通过不断地分支和界定变量取值范围来逐步逼近最优解。
具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。
（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。
（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则进行分支操作。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
二、整数规划切割平面法2. 整数规划切割平面法是另一种常用的Milp求解方法，其核心思想是通过不断添加约束条件来逼近最优解。
具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。
（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。
（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则添加约束条件。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
三、启发式算法3. 启发式算法是一类常用的Milp求解方法，其特点是通过启发式策略来搜索最优解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。
这些算法通过不断地迭代和搜索来寻找最优解，其求解步骤包括：（1）初始化种群或解空间。
（2）根据指定策略进行选择、交叉和变异操作。
（3）更新种群或解空间，并计算适应度值。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
四、优化问题的特点及应用4. Milp优化问题的求解方法在实际应用中具有广泛的适用性，常见的应用领域包括生产调度、物流规划、网络设计等。
由于Milp问题的复杂性和求解困难性，对于实际问题的建模和求解需要充分考虑问题特点和求解方法的选择。
算法设计与优化关键技术研究
算法设计与优化关键技术研究1. 引言在信息化时代，算法设计与优化是计算机领域的基石。
算法设计是指根据问题特征，运用数学、计算机科学中的各种方法，设计出解决问题的算法。
算法优化是指在该算法的基础上，不断改进算法的运行效率、空间复杂度和准确性等方面，使其更加适合实际应用场景。
算法设计与优化的关键技术研究是计算机领域关注的重点之一，本文主要探讨算法设计与优化关键技术的研究现状和未来发展方向。
2. 分类与概述算法设计与优化包括不同种类的算法和不同的优化目标，主要可分为三大类，即：常用算法、高级算法和优化算法。
常用算法包括排序算法、搜索算法、图论算法等；高级算法包括机器学习算法、数据挖掘算法、神经网络算法等；优化算法包括模拟退火算法、遗传算法、粒子群算法等。
在这些算法中，常用算法设计主要关注算法的正确性和时间复杂度；高级算法的设计主要考虑算法的复杂性、可解释性和泛化性；优化算法的设计主要关注算法的收敛速度和最优解的搜索能力。
3. 常用算法的设计与优化3.1 排序算法排序算法是计算机科学中最基本的算法之一，主要用于对数据进行排序，如查找、统计和排名等操作。
目前，常用的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序等。
从时间复杂度的角度来看，快速排序和归并排序是最优的排序算法，时间复杂度都为O(N*logN)。
而在实际应用中，快速排序受到中位数选取的影响，容易出现最差运行时间，因此，在应用时需要进行优化。
优化方法包括三种：1）随机化快排，在快排序的基础上，加入随机选取pivot减少出现最差运行时间的概率；2）三路快排，根据pivot将序列分为三部分，递归排序其中的小于、等于和大于pivot的子序列；3）优化排序递归深度，递归深度过大导致栈空间不够，可改为非递归实现。
这些优化方法都可以在一定程度上提高快速排序的运行效率。
3.2 搜索算法搜索算法主要应用于问题的求解，包括深度优先搜索、广度优先搜索、A*算法等。
求解城市交通连续平衡网络设计问题的混合算法
Ａｂ ｔａ ｔＡ ｉ ｅ ｅ ｐ ｏ ｒｍｍ ｉｇ ｍｏ ｅ ａ ｄ ｍｉｅ ｌｏ ｉ ｍ ｒｔ ｅｃ ｎ ｉｕ ｕ ｑ ｉｂ ｉｍ ｅ — ｓｒｅ ： ｂ— ｖ ｌ ｒ ｇａ ｌ ｎ ｄ ｌ ｎ ｘ ｄａｇ ｒｃ ｈ ｆ ｈ ｏ ｔ ｏ ｓｅ ｕ ｌ ｒ ｏ ｎ ｉ ｕ ｎ ｔ ｗｏ ｋ ｄ ｓｇ ｒｂｅ ｗｉｈ ａｆ ｅ ｒｖ ｌ ｅ ｎ ａｅ ｉ Ｇｅ ｅｉ ｇ ｒ ｈ ｎ ｒ ｅｉｎ ｐ ｏ ｌｍ ｔ ｉ ｄｔａ ｅ ｄ ｍａ ｄｈ ｓａＯｌ ｎ ｔｃＡｌｏ ｉ ｍｓａ ｄＤＦＰ Ｍ ｅｈ ｄｉ ｘ ｌ ｔ ｔｏ ｓ ｐ ｏ ｏ ｈｓｐ ｐ ｒ Ｔｈ ｈ ｏ ｙ ａ ａｙ ｉ ａ ｄ ｎ ｍｅｉａ ｅ ｕｔ ｈ ｗ ｈ ｔｔ ｅｎ ｗ ｌｏ ｔ ｍ ｒ ｐ ￣ａ ｉ ｔ ｉ ａ ｅ ｎ ｅｔ ｅ ｒ ｎ ｌｓｓｎ ｕ ｒｃｌｒｓ ｌ ｓ ｏ ｔ ａ ｈ ｅ ａｇ ｒ ｈ ｓ ｉ
ｍａ ｅａ ｐｉ ｏ ｔｅｌＮｅｓａ ｅｔａ ｓｏ ｔｔ ｎｎ ｔ ｒ ｅ ｇ ｒ ｂｅ ｙ ｂ ｐ ｌ ｄ ｔ ｈ ａ －ｃｌ ｒｎ ｐ ｒａｉ ｅｗｏ ｋ ｄ ｉ ｎ ｐ ｏ ｌｍ． ｅ ｏ
Ｋｅ ｒｓ ｇ ｎ ｔ ｇ ｒｔｍ ； ｃ ｎ ｉｕ ｕ ｕｌ ｒｕ ｅｗｏｋ ｅｉｎ； ｂ— ｖ ｌｐ ｏ ｒｍｍ ｉｇ ｙ ｗｏｄ ： ｅ ｅｉ ａ ｏ ｈ ｃｌ ｉ ｏ ｔ ｏ ｓ ｅ ｉｂ ｉ ｎ ｑ ｉ ｍ ｎ ｔ ｒ ｄｓｇ ｉ ｅ ｅ ｒ ｇ ａ ｌ ｎ ｍｏ ｅ ：ｖ ｒ ｂｅｍｅ ｒ ｅｈ ｄ ｌ ａ ａ ｌ ｔｉ ｍ ｔ ｏ ｉ ｃ ｄ
城市交通连续平衡网络设计问题的求解算法
为路 段 口 的能 力增 加 的 向量表 示 ； Ｙ＝（ ｙ ，） 口∈ Ｌ ｏＬ ， Ａ； 为 ０一Ｄ对 Ｗ间 的 固定需求 量 Ｗ ∈Ｗ； （ｄＹ ） ｔ ｔ， ，
（ ）函数 ｈ Ｖ Ｙ 关于任何可行的 （ ｌ 是连 ２ （ ，） ， ） ， 为路段 口 的费 用 ， 上 口∈Ａ；ａ） ） ｇ （， 为路 段 口上 的能力 续可微 ； ｄ 增加的投资函数 ， 口∈Ａ； 为如果路段 口 在连接 ０一
［ 收稿 Ｅ期 ］０ ７—１ ０ ｌ ２０ １－ ８ ［ 作者简 介］李 敏（ ９６ ） 女 ， １７ 一 ， 湖北随州 人， 硕士 ， 襄樊学 院数学 系讲 师 ， 主要研 究系统优 化和管理决策 。
・
８ ・ ９
维普资讯
李
敏 ： 市交通 连 续平 衡 网络设计 问题 的求解 算法 城 显然 ， 间隙 函数有 如 下性 质 ：１ ｈ ＶＹ （ ） （ ， ）≥ ０ ；
． 值， 而且 能够用 来解决 实 际 的交通 问题 ， 有 重 大 的 １ １连 续平衡 网络 设计 问题 的二 层规 划模 型 具
现实 意义 。
（ ｍｎＣｙ ＝∑ｔ ， 。 ∑ｇ（ ） ∽ （） ｉ Ｓ ａ Ｙ ｖ＋ （ ｏ 。。 ｙ
（） １
在研究 城市 交 通 网络 设 计 问题 时 ， 果 不 考 虑 如 城 市 交 通 网 络 中用 户 的 路径 选 择 行 为 ， 即不 考 虑 城 市 交 通 网络 中 的流 量 分 布 ， 而一 味 的增 加 新 的路 段 或 改 进 某 些路 段 的能力 ， 仅 不 能使 整 个 交 通 网络 不 达 到 系统性 能最优 ， 而会使 系统 性 能更 加 恶 化 ， 反 即 产 生 了著名 的 Ｂａｓ 诡异 现象 。本 文 研究 的是 采 用 ｒｅｓ 二 层 规 划模 型 描 述 固定 需 求 条 件 下 ， 网络 中用 户 的
解决单目标和多目标优化问题的进化算法
解决单目标和多目标优化问题的进化算法一、本文概述随着科技的发展和现实问题的复杂性增加，优化问题在我们的日常生活和工程实践中变得越来越重要。
特别是单目标和多目标优化问题，这两类问题在诸如工程设计、经济决策、物流规划等众多领域都有广泛的应用。
进化算法作为一种模拟自然选择和遗传机制的优化方法，在解决这类问题上展现出了强大的潜力和效率。
本文旨在探讨进化算法在解决单目标和多目标优化问题中的应用，分析其原理、特点、优势以及面临的挑战，并展望未来的发展方向。
我们将介绍进化算法的基本原理和主要特点，包括其如何模拟自然选择和遗传机制，以及其在优化问题中的通用性和灵活性。
然后，我们将重点讨论进化算法在解决单目标和多目标优化问题上的具体应用，包括算法设计、性能评估以及实际应用案例。
我们还将分析进化算法在解决这些问题时所面临的挑战，如计算复杂度、收敛速度、全局最优解的保证等，并探讨可能的解决策略。
我们将展望进化算法在解决单目标和多目标优化问题上的未来发展趋势，包括与其他优化方法的结合、自适应和动态调整策略的发展、以及在新兴领域如深度学习、大数据处理中的应用等。
我们期望通过本文的探讨，能够为读者提供一个全面而深入的理解，以推动进化算法在优化问题中的更广泛应用和发展。
二、单目标优化问题的进化算法单目标优化问题（Single-Objective Optimization Problem, SOOP）是优化领域中最基本也是最常见的一类问题。
在SOOP中，我们的目标是在给定的搜索空间中找到一个最优解，使得某个预定的目标函数达到最优值。
这个目标函数通常是一个实数函数，可以是线性的，也可以是非线性的，甚至可能是离散的或连续的。
进化算法（Evolutionary Algorithms, EAs）是一类基于自然进化原理的优化算法，特别适合于解决单目标优化问题。
EAs通过模拟自然进化过程中的选择、交叉、变异等机制，在搜索空间中逐步搜索并逼近最优解。
连续Hopfield神经网络的优化——旅行商问题优化计算
案例背景：
利用神经网络解决组合优化问题是神经网络应用的一个重要方面。
所谓组合优化问题，就是在给定约束条件下，使目标函数极小（或极大）的变量组合问题。
将Hopfield网络应用于求解组合优化问题，把目标函数转化为网络的能量函数，把问题的变量对应到网络的状态，这样，当网络的能量函数收敛于极小值时，问题的最优解也随之求出。
由于神经网络是并行计算的，其计算量不随维数的增加而发生指数性“爆炸”，因而对于优化问题的高速计算特别有效。
[ 以下有详细的Hopfield网络理论知识..........]
问题描述：
TSP问题，即所谓的旅行商问题（Traveling Salesman Problem）。
问题的提法是：在N个城市中各经历一次后回到出发点，使所经过的路程最短。
不考虑方向性和周期性，在给定N 的条件下，可能存在的闭合路径数目为1/2(N-1)!。
当N较大时，枚举法的计算量之大难以想象。
将Hopfield网络用于求解该问题，效果非常显著。
模型建立：
该处有完整的数学理论推导过程....
Matlab程序实现：
该处有完整的Matlab程序代码，以及代码的详细说明
* 清空环境变量、定义全局变量
* 导入城市位置
* 初始化网络
* 计算相互城市间距离
* 寻优迭代
* 检查路径合法性
* 结果绘图
* 绘制能量函数变化过程
结果分析：
该处有详细的运行结果。
智能计算
智能计算也有人称之为“软计算”，是们受自然（生物界）规律的启迪，根据其原理，模仿求解问题的算法。
从自然界得到启迪，模仿其结构进行发明创造，这就是仿生学。
这是我们向自然界学习的一个方面。
另一方面，我们还可以利用仿生原理进行设计(包括设计算法)，这就是智能计算的思想。
这方面的内容很多，如人工神经网络技术、遗传算法、模拟退火算法、模拟退火技术和群集智能技术等。
1人工神经网络算法“人工神经网络”(ARTIFICIAL NEURAL NETWORK，简称ANN)是在对人脑组织结构和运行机制的认识理解基础之上模拟其结构和智能行为的一种工程系统。
早在本世纪40年代初期，心理学家McCulloch、数学家Pitts就提出了人工神经网络的第一个数学模型，从此开创了神经科学理论的研究时代。
其后，F Rosenblatt、Widrow和J. J .Hopfield等学者又先后提出了感知模型，使得人工神经网络技术得以蓬勃发展。
神经系统的基本构造是神经元(神经细胞)，它是处理人体内各部分之间相互信息传递的基本单元。
据神经生物学家研究的结果表明，人的一个大脑一般有1010～1011个神经元。
每个神经元都由一个细胞体，一个连接其他神经元的轴突和一些向外伸出的其它较短分支——树突组成。
轴突的功能是将本神经元的输出信号(兴奋)传递给别的神经元。
其末端的许多神经末梢使得兴奋可以同时传送给多个神经元。
树突的功能是接受来自其它神经元的兴奋。
神经元细胞体将接受到的所有信号进行简单处理(如：加权求和，即对所有的输入信号都加以考虑且对每个信号的重视程度——体现在权值上——有所不同)后由轴突输出。
神经元的树突与另外的神经元的神经末梢相连的部分称为突触。
2.1 人工神经网络的特点人工神经网络是由大量的神经元广泛互连而成的系统，它的这一结构特点决定着人工神经网络具有高速信息处理的能力。
人脑的每个神经元大约有103～104个树突及相应的突触，一个人的大脑总计约形成1014～1015个突触。
基于NS-3仿真平台的无线传感器网络路由算法性能分析
基于NS-3仿真平台的无线传感器网络路由算法性能分析无线传感器网络（Wireless Sensor Networks, WSNs）是由大量低成本的无线传感器节点组成的自组织、分布式的网络系统。
这些节点能够以无线电的形式进行通信，并通过协作来完成各种任务，如环境监测、目标跟踪、军事侦察等。
无线传感器网络具有自组织性、自适应性和自愈性等特点，因此广泛应用于农业、环保、交通、安防等领域。
而无线传感器网络中的路由算法对网络性能有着重要的影响，因此研究和优化路由算法是提升无线传感器网络性能的关键。
NS-3（Network Simulator 3）是一个广泛应用于无线网络研究的开源仿真平台。
它提供了一系列用于模拟和分析网络协议性能的工具和库。
NS-3可以模拟不同类型的网络，包括无线传感器网络。
在NS-3中，我们可以使用不同的路由算法来模拟无线传感器网络，并对其性能进行分析。
在无线传感器网络中，节点通常使用最小功率以节约能量，并且通过多跳传输来达到目标节点。
因此，路由算法需要选择合适的路径和节点，以最小化能量消耗和延迟，并提高网络吞吐量。
以下是几种常见的无线传感器网络路由算法：1. 集中式路由算法：集中式路由算法由中心节点负责网络拓扑发现、路径选择和能量管理。
这种算法的优点是能够快速适应网络拓扑的变化，并通过全局知识选择最佳路径。
然而，由于需要全局信息，集中式路由算法通常会带来更高的通信和计算开销。
2. 分布式路由算法：分布式路由算法通过利用节点之间的局部信息来进行路径选择和能量管理。
这种算法的优点是分布式决策，不需要全局信息，并且具有较低的通信和计算开销。
但是，分布式路由算法需要更长的时间来适应网络拓扑的变化，并且可能会导致不完全优化的路径选择。
3. 距离向量路由算法：距离向量路由算法通过节点之间的距离向量更新来选择最短路径。
每个节点维护一个距离向量表，并根据相邻节点的更新来更新自己的距离向量。
然而，距离向量路由算法容易发生路由环路和计数到无穷的问题，需要引入一些机制来解决这些问题。
第10章-双层规划解析
如果每个决策者都按规定的指标函数在其可能 范围内做出决策，那么，双层决策系统可能描述为 双层规划问题。
如果每个决策者的指标函数由单个函数组成，这 样的双层规划为双层单目标规划问题。
如果有的决策者的指标函数是一组函数，这样的 双层规划问题为双层多目标规划问题。
S在上层决策空间上的投影为
T{x:(x,y)S}
定义2.1 对每个固定的 xT，称 S(x ) { y:(x ,y ) S }为下层问题的可行解集合，
P ( x ) { y : y a r g m i n { f ( x , y ) : y S ( x ) } } 为下层问
题的合理反应集。
关于双层规划的一些定义
如果组成这种上、下层关系不止一个时，这样的 系统为多层决策系统。
如果只有一个上、下层关系时，这样的系统通常称 为双层规划问题。
由此可见，双层规划问题虽然是多层决策系统的 特殊形式，但它是最基本的形式。
双层规划：
双层规划是双层决策问题的数学模型，它是一种具 有双层递阶结构的系统优化问题，上下层问题都有 各自的目标函数和约束条件。上层问题的目标函数 和约束条件不仅与上层决策变量有关，而且还依赖 于下层问题的最优解，而下层问题的最优解又受上 层决策变量的影响。
如：Cassidy(1971)的政府政策效力分析，Kyland(1975) 的经济层次分析，Bracken (1973-1977)等人的战备武器 配置研究，Candler和 Norton(1977)的奶制品工业模型和 墨西哥农业模型等。
多层规划（Multilevel Programming）一词就 是Candler和 Norton在其论文中提出的，它的原 意是一组嵌套着的数学规划问题，即在约束条件 中含有优化问题的数学规划。
组合优化算法及其应用
组合优化算法及其应用组合优化算法是一种针对组合问题的最优解问题的求解算法。
组合问题是指从一个固定的集合中，按照某种规则选取一些元素构成子集或排列，使得子集或排列满足某种条件。
组合优化问题的目标是在所有可能解中找到一个最优解。
组合优化算法可以应用于不同领域的问题，比如物流、机器学习、计划安排、网络设计、电路布局等。
以下将介绍四种常见的组合优化算法及其应用。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单但有效的组合优化算法。
在每一步中，贪心算法总是选择局部最优解，最终使得全局最优解。
贪心算法通常适用于满足贪心选择性质、最优子结构性质、无后效性质的优化问题。
一个经典的应用就是活动选择问题。
给定一个集合S={a1,a2, ..., an}表示一些活动，其中每个活动ai包括开始时间si和结束时间fi。
每个活动可以占用同一时间段，要求从S中选择一个最大子集，满足所选择的活动互不冲突。
可以用贪心算法按结束时间从小到大排序，然后依次选择每个结束时间最早的活动。
2. 分支定界算法分支定界算法是一种高效的组合优化算法，适用于离散问题的求最优解。
它通过对搜索树上某个节点进行分支扩展和界限计算，快速剪枝不必要的搜索分支，仅保留可能出现最优解的分支。
分支定界算法的一个经典应用是旅行商问题（TSP）。
TSP是从一个给定的起点出发，经过所有点后回到起点的最短路径问题。
可以用分支定界算法遍历所有可能的路径，进行剪枝优化，找到最优路径。
3. 动态规划算法动态规划算法是一种求解多阶段决策过程最优解的组合优化算法。
动态规划算法适用于有最优子结构和重叠子问题的优化问题。
动态规划算法基于递归的思想，但使用了状态记录和记忆化搜索的技巧来避免重复计算。
背包问题是组合优化问题的经典案例。
背包问题是指一个固定大小的背包，一些物品有各自的价值和重量，要求在不超过背包容量的前提下，选择最有价值的物品放入背包。
动态规划算法可以通过记录每个不同背包容量和不同物品下的最优解，推导出最终结果。
城市交通连续平衡网络设计问题的量子进化算法
２ 南车株 洲 电力研 究 所 电气股份 有 限公 司 ，湖 南 株 洲 ．
４ ２０ ） １０ １
摘 要 ：在 研 究连 续 平衡 网络 设 计 的 网络 双 层 规 划 模 型 的 算 法 中 ，很 多求 解 思路 是在 下层 用 户平 衡 配 流模 型 用Ｇ 算 法 或 Ｆａ ｋ Ｗ０ｆ算 法 等 ，在 上 层 模 型 求 解 算 法 用 遗 传 算 法 、模 Ｐ ｒｎ — ｌ ｅ 拟 退 火算 法 、 粒子 群 算 法等 ，而 文 中的上 下层 模 型 都 是 用 量 子 进 化 算 法 去 求 解 的 。 文 中通 过 一 个 实例 对 算 法进 行 验 证 ，并 与 其他 算 法 进 行 比较 ，结 果 表 明 量 子 进 化 算 法性 能优 于遗 传算法。 关键 词 ：量 子进 化算 法 ；双层规 划模 型 ；遗 传算 法
ｍｏ ｇ （ ｎ ｔ Ｐ ）；
１ 量 子 进 化 算 法
量 子进 化算 法 （ ｑ ａ ｔｍ—ｎｐｒｄｅｏｕｉｎｒ ａ ｕ ｎｕ ｉｓｉ ｌｔ ａｙ ｅ ｖ ｏ
（ ｐａｅ （ ｓ ｇＱ ｇｔｓ ４ ）Ｕ ｄｔＱ ｔ ｉ －ａｅ； ）ｕ ｎ
（）ｔ ｔ１ ５ ＋
Ｅｎ ｄ
Ｖ∈， Ｓ Ｒ ∈ ｒ ｓ
化算 法 的求 解步 骤如 下 ：
种 群 规 模 小 、收 敛 速 度 快 、全 局 寻 优 能 力 强 的 特 点 。本 文 尝 试 将 量 子 进 化 算 法 引 入 到 城 市 交通 连 续 平 衡 网络 设 计 问题 的 双 层 规 划 模 型 中去 优 化 分
析
（）Ｉｉａｉ （ １ ｎｔ ｌｅＱ ｔ ｉｚ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
：路 段０ ，０∈ 上 的走 行 时 间 函数 ， Ａ。
算法设计与分析习题解答(第2版)
第1章算法引论11.1 算法与程序11.2 表达算法的抽象机制11.3 描述算法31.4 算法复杂性分析13小结16习题17第2章递归与分治策略192.1 递归的概念192.2 分治法的基本思想262.3 二分搜索技术272.4 大整数的乘法282.5 Strassen矩阵乘法302.6 棋盘覆盖322.7 合并排序342.8 快速排序372.9 线性时间选择392.10 最接近点对问题432.11 循环赛日程表53小结54习题54第3章动态规划613.1 矩阵连乘问题62目录算法设计与分析(第2版)3.2 动态规划算法的基本要素67 3.3 最长公共子序列713.4 凸多边形最优三角剖分753.5 多边形游戏793.6 图像压缩823.7 电路布线853.8 流水作业调度883.9 0-1背包问题923.10 最优二叉搜索树98小结101习题102第4章贪心算法1074.1 活动安排问题1074.2 贪心算法的基本要素1104.2.1 贪心选择性质1114.2.2 最优子结构性质1114.2.3 贪心算法与动态规划算法的差异1114.3 最优装载1144.4 哈夫曼编码1164.4.1 前缀码1174.4.2 构造哈夫曼编码1174.4.3 哈夫曼算法的正确性1194.5 单源最短路径1214.5.1 算法基本思想1214.5.2 算法的正确性和计算复杂性123 4.6 最小生成树1254.6.1 最小生成树性质1254.6.2 Prim算法1264.6.3 Kruskal算法1284.7 多机调度问题1304.8 贪心算法的理论基础1334.8.1 拟阵1334.8.2 带权拟阵的贪心算法1344.8.3 任务时间表问题137小结141习题141第5章回溯法1465.1 回溯法的算法框架1465.1.1 问题的解空间1465.1.2 回溯法的基本思想1475.1.3 递归回溯1495.1.4 迭代回溯1505.1.5 子集树与排列树1515.2 装载问题1525.3 批处理作业调度1605.4 符号三角形问题1625.5 n后问题1655.6 0\|1背包问题1685.7 最大团问题1715.8 图的m着色问题1745.9 旅行售货员问题1775.10 圆排列问题1795.11 电路板排列问题1815.12 连续邮资问题1855.13 回溯法的效率分析187小结190习题191第6章分支限界法1956.1 分支限界法的基本思想1956.2 单源最短路径问题1986.3 装载问题2026.4 布线问题2116.5 0\|1背包问题2166.6 最大团问题2226.7 旅行售货员问题2256.8 电路板排列问题2296.9 批处理作业调度232小结237习题238第7章概率算法2407.1 随机数2417.2 数值概率算法2447.2.1 用随机投点法计算π值2447.2.2 计算定积分2457.2.3 解非线性方程组2477.3 舍伍德算法2507.3.1 线性时间选择算法2507.3.2 跳跃表2527.4 拉斯维加斯算法2597.4.1 n 后问题2607.4.2 整数因子分解2647.5 蒙特卡罗算法2667.5.1 蒙特卡罗算法的基本思想2667.5.2 主元素问题2687.5.3 素数测试270小结273习题273第8章 NP完全性理论2788.1 计算模型2798.1.1 随机存取机RAM2798.1.2 随机存取存储程序机RASP2878.1.3 RAM模型的变形与简化2918.1.4 图灵机2958.1.5 图灵机模型与RAM模型的关系297 8.1.6 问题变换与计算复杂性归约299 8.2 P类与NP类问题3018.2.1 非确定性图灵机3018.2.2 P类与NP类语言3028.2.3 多项式时间验证3048.3 NP完全问题3058.3.1 多项式时间变换3058.3.2 Cook定理3078.4 一些典型的NP完全问题3108.4.1 合取范式的可满足性问题3118.4.2 3元合取范式的可满足性问题312 8.4.3 团问题3138.4.4 顶点覆盖问题3148.4.5 子集和问题3158.4.6 哈密顿回路问题3178.4.7 旅行售货员问题322小结323习题323第9章近似算法3269.1 近似算法的性能3279.2 顶点覆盖问题的近似算法3289.3 旅行售货员问题近似算法3299.3.1 具有三角不等式性质的旅行售货员问题330 9.3.2 一般的旅行售货员问题3319.4 集合覆盖问题的近似算法3339.5 子集和问题的近似算法3369.5.1 子集和问题的指数时间算法3369.5.2 子集和问题的完全多项式时间近似格式337 小结340习题340第10章算法优化策略34510.1 算法设计策略的比较与选择34510.1.1 最大子段和问题的简单算法34510.1.2 最大子段和问题的分治算法34610.1.3 最大子段和问题的动态规划算法34810.1.4 最大子段和问题与动态规划算法的推广349 10.2 动态规划加速原理35210.2.1 货物储运问题35210.2.2 算法及其优化35310.3 问题的算法特征35710.3.1 贪心策略35710.3.2 对贪心策略的改进35710.3.3 算法三部曲35910.3.4 算法实现36010.3.5 算法复杂性36610.4 优化数据结构36610.4.1 带权区间最短路问题36610.4.2 算法设计思想36710.4.3 算法实现方案36910.4.4 并查集37310.4.5 可并优先队列37610.5 优化搜索策略380小结388习题388第11章在线算法设计39111.1 在线算法设计的基本概念39111.2 页调度问题39311.3 势函数分析39511.4 k 服务问题39711.4.1 竞争比的下界39711.4.2 平衡算法39911.4.3 对称移动算法39911.5 Steiner树问题40311.6 在线任务调度40511.7 负载平衡406小结407习题407词汇索引409参考文献415习题1-1 实参交换1习题1-2 方法头签名1习题1-3 数组排序判定1习题1-4 函数的渐近表达式2习题1-5 O(1) 和 O(2) 的区别2习题1-7 按渐近阶排列表达式2习题1-8 算法效率2习题1-9 硬件效率3习题1-10 函数渐近阶3习题1-11 n !的阶4习题1-12 平均情况下的计算时间复杂性4算法实现题1-1 统计数字问题4算法实现题1-2 字典序问题5算法实现题1-3 最多约数问题6算法实现题1-4 金币阵列问题8算法实现题1-5 最大间隙问题11第2章递归与分治策略14 习题2-1 Hanoi 塔问题的非递归算法14习题2-2 7个二分搜索算法15习题2-3 改写二分搜索算法18习题2-4 大整数乘法的 O(nm log(3/2))算法19习题2-5 5次 n /3位整数的乘法19习题2-6 矩阵乘法21习题2-7 多项式乘积21习题2-8 不动点问题的 O( log n) 时间算法22习题2-9 主元素问题的线性时间算法22习题2-10 无序集主元素问题的线性时间算法22习题2-11 O (1)空间子数组换位算法23习题2-12 O (1)空间合并算法25习题2-13 n 段合并排序算法32习题2-14 自然合并排序算法32习题2-15 最大值和最小值问题的最优算法35习题2-16 最大值和次大值问题的最优算法35习题2-17 整数集合排序35习题2-18 第 k 小元素问题的计算时间下界36习题2-19 非增序快速排序算法37习题2-20 随机化算法37习题2-21 随机化快速排序算法38习题2-22 随机排列算法38习题2-23 算法qSort中的尾递归38习题2-24 用栈模拟递归38习题2-25 算法select中的元素划分39习题2-26 O(n log n) 时间快速排序算法40习题2-27 最接近中位数的 k 个数40习题2-28 X和Y 的中位数40习题2-29 网络开关设计41习题2-32 带权中位数问题42习题2-34 构造Gray码的分治算法43习题2-35 网球循环赛日程表44目录算法设计与分析习题解答（第2版）算法实现题2-1 输油管道问题（习题2-30) 49算法实现题2-2 众数问题（习题2-31) 50算法实现题2-3 邮局选址问题（习题2-32) 51算法实现题2-4 马的Hamilton周游路线问题（习题2-33) 51算法实现题2-5 半数集问题60算法实现题2-6 半数单集问题62算法实现题2-7 士兵站队问题63算法实现题2-8 有重复元素的排列问题63算法实现题2-9 排列的字典序问题65算法实现题2-10 集合划分问题（一）67算法实现题2-11 集合划分问题（二）68算法实现题2-12 双色Hanoi塔问题69算法实现题2-13 标准二维表问题71算法实现题2-14 整数因子分解问题72算法实现题2-15 有向直线2中值问题72第3章动态规划76习题3-1 最长单调递增子序列76习题3-2 最长单调递增子序列的 O(n log n) 算法77习题3-7 漂亮打印78习题3-11 整数线性规划问题79习题3-12 二维背包问题80习题3-14 Ackermann函数81习题3-17 最短行驶路线83习题3-19 最优旅行路线83算法实现题3-1 独立任务最优调度问题（习题3-3) 83算法实现题3-2 最少硬币问题（习题3-4) 85算法实现题3-3 序关系计数问题（习题3-5) 86算法实现题3-4 多重幂计数问题（习题3-6) 87算法实现题3-5 编辑距离问题（习题3-8) 87算法实现题3-6 石子合并问题（习题3-9) 89算法实现题3-7 数字三角形问题（习题3-10) 91算法实现题3-8 乘法表问题（习题3-13) 92算法实现题3-9 租用游艇问题（习题3-15) 93算法实现题3-10 汽车加油行驶问题（习题3-16) 95算法实现题3-11 圈乘运算问题（习题3-18) 96算法实现题3-12 最少费用购物（习题3-20) 102算法实现题3-13 最大长方体问题（习题3-21) 104算法实现题3-14 正则表达式匹配问题（习题3-22) 105算法实现题3-15 双调旅行售货员问题（习题3-23) 110算法实现题3-16 最大 k 乘积问题（习题5-24) 111算法实现题3-17 最小 m 段和问题113算法实现题3-18 红黑树的红色内结点问题115第4章贪心算法123 习题4-2 活动安排问题的贪心选择123习题4-3 背包问题的贪心选择性质123习题4-4 特殊的0-1背包问题124习题4-10 程序最优存储问题124习题4-13 最优装载问题的贪心算法125习题4-18 Fibonacci序列的Huffman编码125习题4-19 最优前缀码的编码序列125习题4-21 任务集独立性问题126习题4-22 矩阵拟阵126习题4-23 最小权最大独立子集拟阵126习题4-27 整数边权Prim算法126习题4-28 最大权最小生成树127习题4-29 最短路径的负边权127习题4-30 整数边权Dijkstra算法127算法实现题4-1 会场安排问题（习题4-1) 128算法实现题4-2 最优合并问题（习题4-5) 129算法实现题4-3 磁带最优存储问题（习题4-6) 130算法实现题4-4 磁盘文件最优存储问题（习题4-7) 131算法实现题4-5 程序存储问题（习题4-8) 132算法实现题4-6 最优服务次序问题（习题4-11) 133算法实现题4-7 多处最优服务次序问题（习题4-12) 134算法实现题4-8 d 森林问题（习题4-14) 135算法实现题4-9 汽车加油问题（习题4-16) 137算法实现题4-10 区间覆盖问题（习题4-17) 138算法实现题4-11 硬币找钱问题（习题4-24) 138算法实现题4-12 删数问题（习题4-25) 139算法实现题4-13 数列极差问题（习题4-26) 140算法实现题4-14 嵌套箱问题（习题4-31) 140算法实现题4-15 套汇问题（习题4-32) 142算法实现题4-16 信号增强装置问题（习题5-17) 143算法实现题4-17 磁带最大利用率问题（习题4-9) 144算法实现题4-18 非单位时间任务安排问题（习题4-15) 145算法实现题4-19 多元Huffman编码问题（习题4-20) 147算法实现题4-20 多元Huffman编码变形149算法实现题4-21 区间相交问题151算法实现题4-22 任务时间表问题151第5章回溯法153习题5\|1 装载问题改进回溯法（一）153习题5\|2 装载问题改进回溯法（二）154习题5\|4 0-1背包问题的最优解155习题5\|5 最大团问题的迭代回溯法156习题5\|7 旅行售货员问题的费用上界157习题5\|8 旅行售货员问题的上界函数158算法实现题5-1 子集和问题（习题5-3) 159算法实现题5-2 最小长度电路板排列问题（习题5-9) 160算法实现题5-3 最小重量机器设计问题（习题5-10) 163算法实现题5-4 运动员最佳匹配问题（习题5-11) 164算法实现题5-5 无分隔符字典问题（习题5-12) 165算法实现题5-6 无和集问题（习题5-13) 167算法实现题5-7 n 色方柱问题（习题5-14) 168算法实现题5-8 整数变换问题（习题5-15) 173算法实现题5-9 拉丁矩阵问题（习题5-16) 175算法实现题5-10 排列宝石问题（习题5-16) 176算法实现题5-11 重复拉丁矩阵问题（习题5-16) 179算法实现题5-12 罗密欧与朱丽叶的迷宫问题181算法实现题5-13 工作分配问题（习题5-18) 183算法实现题5-14 独立钻石跳棋问题（习题5-19) 184算法实现题5-15 智力拼图问题（习题5-20) 191算法实现题5-16 布线问题（习题5-21) 198算法实现题5-17 最佳调度问题（习题5-22) 200算法实现题5-18 无优先级运算问题（习题5-23) 201算法实现题5-19 世界名画陈列馆问题（习题5-25) 203算法实现题5-20 世界名画陈列馆问题（不重复监视）（习题5-26) 207 算法实现题5-21 部落卫队问题（习题5-6) 209算法实现题5-22 虫蚀算式问题211算法实现题5-23 完备环序列问题214算法实现题5-24 离散01串问题217算法实现题5-25 喷漆机器人问题218算法实现题5-26 n 2-1谜问题221第6章分支限界法229习题6-1 0-1背包问题的栈式分支限界法229习题6-2 用最大堆存储活结点的优先队列式分支限界法231习题6-3 团顶点数的上界234习题6-4 团顶点数改进的上界235习题6-5 修改解旅行售货员问题的分支限界法235习题6-6 解旅行售货员问题的分支限界法中保存已产生的排列树237 习题6-7 电路板排列问题的队列式分支限界法239算法实现题6-1 最小长度电路板排列问题一（习题6-8) 241算法实现题6-2 最小长度电路板排列问题二（习题6-9) 244算法实现题6-3 最小权顶点覆盖问题（习题6-10) 247算法实现题6-4 无向图的最大割问题（习题6-11) 250算法实现题6-5 最小重量机器设计问题（习题6-12) 253算法实现题6-6 运动员最佳匹配问题（习题6-13) 256算法实现题6-7 n 后问题（习题6-15) 259算法实现题6-8 圆排列问题（习题6-16) 260算法实现题6-9 布线问题（习题6-17) 263算法实现题6-10 最佳调度问题（习题6-18) 265算法实现题6-11 无优先级运算问题（习题6-19) 268算法实现题6-12 世界名画陈列馆问题（习题6-21) 271算法实现题6-13 骑士征途问题274算法实现题6-14 推箱子问题275算法实现题6-15 图形变换问题281算法实现题6-16 行列变换问题284算法实现题6-17 重排 n 2宫问题285算法实现题6-18 最长距离问题290第7章概率算法296习题7-1 模拟正态分布随机变量296习题7-2 随机抽样算法297习题7-3 随机产生 m 个整数297习题7-4 集合大小的概率算法298习题7-5 生日问题299习题7-6 易验证问题的拉斯维加斯算法300习题7-7 用数组模拟有序链表300习题7-8 O(n 3/2)舍伍德型排序算法300习题7-9 n 后问题解的存在性301习题7-11 整数因子分解算法302习题7-12 非蒙特卡罗算法的例子302习题7-13 重复3次的蒙特卡罗算法303习题7-14 集合随机元素算法304习题7-15 由蒙特卡罗算法构造拉斯维加斯算法305习题7-16 产生素数算法306习题7-18 矩阵方程问题306算法实现题7-1 模平方根问题（习题7-10) 307算法实现题7-2 集合相等问题（习题7-17) 309算法实现题7-3 逆矩阵问题（习题7-19) 309算法实现题7-4 多项式乘积问题（习题7-20) 310算法实现题7-5 皇后控制问题311算法实现题7-6 3-SAT问题314算法实现题7-7 战车问题315算法实现题7-8 圆排列问题317算法实现题7-9 骑士控制问题319算法实现题7-10 骑士对攻问题320第8章NP完全性理论322 习题8-1 RAM和RASP程序322习题8-2 RAM和RASP程序的复杂性322习题8-3 计算 n n 的RAM程序322习题8-4 没有MULT和DIV指令的RAM程序324习题8-5 MULT和DIV指令的计算能力324习题8-6 RAM和RASP的空间复杂性325习题8-7 行列式的直线式程序325习题8-8 求和的3带图灵机325习题8-9 模拟RAM指令325习题8-10 计算2 2 n 的RAM程序325习题8-11 计算 g(m,n)的程序 326习题8-12 图灵机模拟RAM的时间上界326习题8-13 图的同构问题326习题8-14 哈密顿回路327习题8-15 P类语言的封闭性327习题8-16 NP类语言的封闭性328习题8-17 语言的2 O (n k) 时间判定算法328习题8-18 P CO -NP329习题8-19 NP≠CO -NP329习题8-20 重言布尔表达式329习题8-21 关系∝ p的传递性329习题8-22 L ∝ p 330习题8-23 语言的完全性330习题8-24 的CO-NP完全性330习题8-25 判定重言式的CO-NP完全性331习题8-26 析取范式的可满足性331习题8-27 2-SAT问题的线性时间算法331习题8-28 整数规划问题332习题8-29 划分问题333习题8-30 最长简单回路问题334第9章近似算法336习题9-1 平面图着色问题的绝对近似算法336习题9-2 最优程序存储问题336习题9-4 树的最优顶点覆盖337习题9-5 顶点覆盖算法的性能比339习题9-6 团的常数性能比近似算法339习题9-9 售货员问题的常数性能比近似算法340习题9-10 瓶颈旅行售货员问题340习题9-11 最优旅行售货员回路不自相交342习题9-14 集合覆盖问题的实例342习题9-16 多机调度问题的近似算法343习题9-17 LPT算法的最坏情况实例345习题9-18 多机调度问题的多项式时间近似算法345算法实现题9-1 旅行售货员问题的近似算法（习题9-9) 346 算法实现题9-2 可满足问题的近似算法（习题9-20) 348算法实现题9-3 最大可满足问题的近似算法（习题9-21) 349 算法实现题9-4 子集和问题的近似算法（习题9-15) 351算法实现题9-5 子集和问题的完全多项式时间近似算法352算法实现题9-6 实现算法greedySetCover（习题9-13) 352算法实现题9-7 装箱问题的近似算法First Fit（习题9-19) 356算法实现题9-8 装箱问题的近似算法Best Fit（习题9-19) 358算法实现题9-9 装箱问题的近似算法First Fit Decreasing（习题9-19) 360算法实现题9-10 装箱问题的近似算法Best Fit Decreasing（习题9-19) 361算法实现题9-11 装箱问题的近似算法Next Fit361第10章算法优化策略365 习题10-1 算法obst的正确性365习题10-2 矩阵连乘问题的 O(n 2) 时间算法365习题10-6 货物储运问题的费用371习题10-7 Garsia算法371算法实现题10-1 货物储运问题（习题10-3) 374算法实现题10-2 石子合并问题（习题10-4) 374算法实现题10-3 最大运输费用货物储运问题（习题10-5) 375算法实现题10-4 五边形问题377算法实现题10-5 区间图最短路问题（习题10-8) 381算法实现题10-6 圆弧区间最短路问题（习题10-9) 381算法实现题10-7 双机调度问题（习题10-10) 382算法实现题10-8 离线最小值问题（习题10-11) 390算法实现题10-9 最近公共祖先问题（习题10-12) 393算法实现题10-10 达尔文芯片问题395算法实现题10-11 多柱Hanoi塔问题397算法实现题10-12 线性时间Huffman算法400算法实现题10-13 单机调度问题402算法实现题10-14 最大费用单机调度问题405算法实现题10-15 飞机加油问题408第11章在线算法设计410习题11-1 在线算法LFU的竞争性410习题11-4 多读写头磁盘问题的在线算法410习题11-6 带权页调度问题410算法实现题11-1 最优页调度问题（习题11-2) 411算法实现题11-2 在线LRU页调度（习题11-3) 414算法实现题11-3 k 服务问题（习题11-5) 416参考文献422。
求解离散网络平衡设计问题的遗传算法
文提 出了一 种该 二层 规 划模 型 的新 的求 解方 法 ，模 型求 解 中 ， 层 模 型采 用 遗传 算法 ，而 下层 问题 直 上
接利 用 Ｆ ａ ｋ Ｗｏｆ 法 求解 ． ｒｎ — ｌ算 数值 试验 计算 结 果显
网络 平衡 设 计 问题 ［ 可分 为 两类 ： 是对 已有 １ ］ 一 路段 改造 以增 加其 通行 能 力 ， 另一 则是 添加 新路段 ．
Ｇｅ ｅ ｉ ｇ ｒ ｔ ｍ ｏ ｓ ｒ ｔ ｅ ｗｏ ｋ Ｅｑ ｌｂｒ ｕ ｓ ｇ ｏ ｌ ｍ ｎ ｔｃ Ａｌ ｏ ｉ ｈ ｆ ｒ Ｄｉ ｃ ｅ ｅ Ｎ ｔ ｒ ｕｉｉ ｉ ｍ Ｄｅ ｉ ｎ Ｐｒ ｂ ｅ
Ｃｈｅ ｎ ｏ ｇ ｎ Ｙｏ ｇｒ ｎ
（ Ｃｏｌｅ ｆＭ ａ ｈｅ ａ ｉ ｓａｎ ａ ｉｔｃ ｌ ｇｅ ｏ ｔ ｍ ｔｃ ｄ Ｓｔ ｔｓ ｉｓ，Ｓｏｕ ｈ— ｎｔ ａ ｎｉｅ ｓｔ ｏ ａ ｉ ｎａ ｉｉｓ，Ｗ ｕｈａ ３０ ４，Ｃｈｉ ） ｔ Ｃｅ ｒ ｌＵ ｖ ｒ ｉｙ ｆ ｒ Ｎ ｔｏ ｌｔｅ ｎ ４ ０７ ｎａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｅ ａｇ ｒｔ ｍ ｏ ｈ ｉｌｖ ｌ ｐ ｏ ｒ ｒ ｍｉ ｇ ｍｏ ｅ ｆ ｄ ｓ ｒ ｔ ｅ ｗｏ ｋ ｅ ｕ ｌ ｒ ｍ ｓ ｒ ｃ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ａ ｎ ｗ ｌ ｏ ｉｈ ｆ ｒ ｔ ｅ ｂ —ｅ ｅ ｒ ｇ ａ ｆ ｎ ｄ ｌ ｏ ｉｃ ｅ ｅ ｎ ｔ ｒ ｑ ｉ ｂ ｉ ｉ ｕ
过考 虑 道路 改造 的级 别 ，既探讨 增 加 车道后 对 交通 状况 的改 善情 况 ，也 考 虑投 资 费用 问题 ， 出了离 提 散 网络 平 衡设 计 问 题 的一 种 新 的二 层 规 划模 型 ． 本
使整 个 交通 网络 某种 系统 性 能 最 优 的 目的． 因此 城 市交 通 网 络设 计 问题 的 研 究 具 有 非 常 重 要 的 现 实
如何在强化学习算法中处理连续状态空间问题(四)
强化学习是一种通过与环境互动来学习如何最大化奖励的机器学习方法。
在强化学习中，智能体通过观察环境的状态并采取行动来最大化奖励。
其中，状态空间是描述环境状态的集合，而动作空间则是智能体可以采取的动作的集合。
在处理连续状态空间问题时，强化学习算法面临一些挑战，需要采取一些特殊的方法来解决这些问题。
一、值函数近似在强化学习中，值函数是描述智能体在特定状态下可以获得的奖励的函数。
对于离散状态空间问题，可以使用表格来存储值函数，但是对于连续状态空间问题，表格的存储会变得非常困难。
因此，值函数的近似成为处理连续状态空间问题的关键方法之一。
常见的值函数近似方法包括线性函数逼近、非参数方法以及深度神经网络等。
这些方法可以帮助智能体有效地处理连续状态空间问题。
二、策略梯度方法除了值函数近似之外，策略梯度方法也是处理连续状态空间问题的重要技术。
在强化学习中，策略是描述智能体在特定状态下采取的动作的概率分布。
在连续状态空间问题中，直接对策略进行建模是非常困难的，因此需要使用策略梯度方法来近似求解。
常见的策略梯度方法包括REINFORCE算法、Actor-Critic算法以及TRPO算法等。
这些方法可以帮助智能体有效地学习并优化策略，从而处理连续状态空间问题。
三、探索与利用的平衡在处理连续状态空间问题时，智能体往往面临探索与利用的平衡问题。
由于状态空间的连续性，智能体很难对所有可能的状态进行全面探索，因此需要采取一些特殊的方法来平衡探索和利用。
常见的方法包括ε-贪心策略、随机探索以及基于信息增益的探索等。
这些方法可以帮助智能体在处理连续状态空间问题时，有效地平衡探索与利用的关系，从而提高学习效率。
四、奖励设计与函数逼近在处理连续状态空间问题时，奖励设计与函数逼近也是非常重要的。
由于状态空间的连续性，智能体很难直接从环境中获得有效的奖励信号，因此需要设计合适的奖励函数来引导智能体的学习。
同时，函数逼近方法可以帮助智能体有效地近似奖励函数，从而提高学习的效率。
第9讲 双层规划
四、双层规划计算的复杂性
设 K E n ，若任意两点 X 1 K , X 2 K 的凸组合属于 K， 即 X X 1 ( 1 ) X 2 K ( 0 1 ) 则称 K 为凸集。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
上图中(a)、(b)是凸集，(c)、(d)不是凸集，任何两个 凸集的交集是凸集，如图(e)。从直观上说，凸集没有凹入 部分，其内部没有空洞。
双层规划及其应用
Bi-Level Programming
最为常见且得到广泛研究与应用的多层规划是
双层规划问题，即考虑只有两层决策者的情形。
这是因为现实的决策系统大都可以看成双层决策。
例如：中央和地方，公司和子公司，工厂的厂
部和车间，高校的校部和院所等。实际上任何多 层决策系统都是一系列双层决策系统的复合。
x ,y
s.t.
G(x, y) 0
g(x, y ) 0
设其最优解为 (x2* , y 2* )
第三种情况： 如果上下层决策者分别独立控制各自的决策变 量，双层规划变为
min F (x, y )
x
s.t. G (x, y ) 0
其中
min f (x, y)
s.t. g(x, y ) 0
无差别的，但对上层的目标函数可能会有差别。 上层最优解可能只在 y (x) 中某个特定点上达到， 但是没有办法使下层更愿意选择该点。
线性，就是指y=ax+b这种形式，往往指的就 是一次。 线性问题，往往是比较“良好”的问题，因 为它们形式简单，易求解。如果有误差，因
为是线性的缘故也比较容易估计。常见的线
• 迄今为止，这类问题中没有一个找到有效算法。 倾向于接受NP完全问题（NP-Complet或NPC） 和NP难题（NP-Hard或NPH）不存在有效算法 这一猜想，认为这类问题的大型实例不能用精 确算法求解，必须寻求这类问题的有效的近似 算法。 • 此类问题中，经典的还有 子集和问题； Hamilton回路问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的有 ＭＩ Ｏ 算法¨；Ｄ Ｅ ｕ ｂｉ ｅｏ ｐｓ ｐｉｉ ｔ ｎ算法 ；Ｄ Ｂｌ ｅ ｅｃｎＡｇｒｈ ） Ｎ Ｓ Ｅ Ｏ（ｑｉ ｒ ｍＤ ｃｍ ｏｅ Ｏ ｔ ｚ ｉ ） ｉ ｆ ｕ ｄ ｍ ａｏ Ｂ Ａ（ｉｖ ｓ ｔ ｌ ｉ ｍ 算法 ； ｅ Ｄ ｅ ｏｔ Ｊ Ｂ Ａ Ｄ 算法 本文是采用 二层规划模型描述固定需求条件下 ，网络 中用户的路径选择行为符合 Ｕ 准则 ＬＢ ． Ｅ
２１ ．２间隙函数的性质 ． 下层确 定性用 户平衡 问题 （） 述假设 条 件下是 一个 严格 凸优化 问题 ，故它有 唯一 的解 ． 可证 ： Ｌ在上 则
Ｙ １ （） ） ｙ ＝∑ｇ ’（， ）ｗ， ｏ ｆ ｗＹ ｄ 其中Ｖ（） ａ ’∑ ａｔ （ 且关于Ｙ是连续的； ｙ＝ ｒｖｎ Ｗ， ） ｇｙ ｎ ￣ ．
５ ）
，
ｄｒ
ａ
ａａ Ｙ
ａａ ｙ
屿 ｗ 一ｙ ｏ
Ⅱ
．
则与二层规划（ 等价的单层规划为 ： １ ）
ｍ
…
ｉ Ｆ Ｖ ＹＰ ＝∑ｔ １，ａＶ ＋ ∑ ｇ （ ） ， （ ， ） ｎ （，，） ａ １ Ｙ ） ８ ＋ｐｚ 】 （ ａ ａ ，
，
Ｓ． ． ｔ
＝
ｌ ＝ｑ ？ ｗ
维普资讯
２０ ０ ７年 １ 月 １
襄 樊 学 院 学 报
Ｊ ｒ ｌ ＇ ｉｎ ａ ｎ ｖ ｒ ｉ ｏｕ ｎａ Ｘ ａ ｇｆｎ Ｕ ｉ ｅ ｓｔ ｏｆ ｙ
Ｎ Ｏ ＿２０ 、． ０７ ． Ｖｏ１２ ． 】 ． ８ Ｎｏ １
第 ２ 卷第 ｌ 期 ８ 】
２１１间隙 函数 的定 义 ．．
ｈ Ｖ ｙ ＝ ∑ ｆ（ ， ｄ （ ） （，） ｗ Ｙ ）ｗ一 ｙ
ｆ Ｉ １
其 ） 中（ ｙ
ａ Ａ Ｅ
ｗ）， ｛ （ａ ， ， ， ＞ ，ｄＱ ＶＥ Ｙｗ ＝ ａ “ ， 点 美 ０ ｝
ａ
＇
— — 。 。 —
其中， 上层规划（） 。 Ｅ ） 中的 ， 由下层规划（） ａＡ Ｌ求得． Ａ为网络中 路段口 的集合；Ｗ为网络中 所有０Ｄ 一
对 Ｗ的集合 ；Ｒ 为 ０ Ｄ对 Ｗ问所有路径 ， ｗ 一 ． 的集合 ；ｆ 为路径 ， ｒ ． 上的流量 ；Ｖ＝（ ， ， … …） 为路段 口 上的流 量的向量表示 ；Ｙ …， ， ＝（ …） 为路ｇ ＆ａ的能力增加的向量表示 ； ０ Ｄ对 Ｗ间的固定需求量 ； （ ， ） ｑ为 一 Ｖ 。 为路段 ａ 上的费用 ；ｇ （。 为路段 ａ ａｙ） 上的能力增加 的投资函数 ； 的值为 ｌ 当路段 以 在连接 Ｏ Ｄ对 Ｗ问的 — 路径 ， ，否则为 ０ ． 上 ；０ 为匹配投资费用与系统总费用单位 的系数．
连续可微的．
收稿 日期 ：２０ —９２ ０ ７０ —７
作者简介 ：李 敏（９６ ） １７ ． ，女 ，湖北 随州人 ，襄樊学 院数学系讲师
维普资讯
李 敏 ：连 续平 衡 网络 设 计 问 题 的 求解 算法
２１间隙 函数 的定义及 其性 质 ．
，
ａＥＡ
ａ Ａ Ｅ
．
ｔ １ Ｙ ． ａ 。
。 ａＥ Ａ ，
（） 哪ｎ ｔＷＹ） Ｌ ∑ ａ ， ｄ （ 。ｗ
’ ａ∈＾
Ｓ． ∑ ｆ ． ｔ ｒ ＝ｑ ＇
（） １
Ｖ ＝∑ ∑ ｆ ６， 。 ｒ。 ｗｗ
ｗＷ
ｆｗ≥０ ， ＷＥＷ， ａ ｒ ， ． ∈Ｒ ， ∈Ａ
连续 平衡 网络设计 问题 的求解 算法
李 敏
（ 樊 学院 数 学 系 ，湖北 襄 樊 ４ １５ ） 襄 ４ ０ ３
摘要 ： 文章针对采用二层规划模型描述 的固定需求条件 下的连续平衡网络设计 问题 ， 出了一 给 种基于间隙函数的求解算法 ，并通过一个算例来说明算法的可行性、 关键 词 ：连 续平衡 网络 设计 ；二层规 划模 型 ；间 隙函数 ；用户平衡
２ 求解算法
为了利用间隙函数求解上述二层规划 ，先给出以下假设条件 ：（） １ 对任何 Ｙ 函数 ｔ Ｖ，。 关于 Ｖ是严格 。 。 。Ｙ ） （ 。
单调增加且连续可微的；２函 。 。 。 ￣ （ ，。 。 （ 数ｒｖ Ｙ） ｔＶ Ｙ） 关于（ ， ） ） （， ａ。 ／ Ｖ Ｙ 是连续的； ３ ａ。 （ 函数ｇ（ 关于 是 ） ａ ）
（） ２
∑ ∑
ｒ
＿ ０ ｒ ，ＷＥ Ｗ ， ｗ ， Ｅ Ｒｗ ａ∈Ａ
（ ｓｒｑ ｉ ｒ ｍ 的城市交通连续平衡网络设计问题 ， Ｕ ｅ ｅｕｉ ｕ ） ｌｉ ｂ 并利用基于间隙函数的求解算法 ， 能很好地避免著名的 Ｂａｓ诡 异现象 ． ｒｅｓ
１ 连续平衡 网络设计 问题 的二层规划模型
（ Ｕ） ｍ Ｓ （ ） ｉ Ｃ Ｙ ＝∑ Ｉ Ｖ，。Ｖ ＋ ｎ ａ ａＹ ） ∑ ｇ （ ） （ ａ
１ａＥＡ
２ 】 是可微 函数 ，且它的梯度为：ｖ （ ） …， ） ， （） ｙ ：（
， ｒ …），
： （ ： ’ ｒ
ｗ；
３ｈＶ 】 ＞ （ Ｙ ： 甘 Ｖ＝ （ ） Ｙ＝（ Ｙ ）， Ｙ ＜ ） （ ，） ０￣ｈＶ，） ０ ，－ Ｊ ’ ， ｙ Ｖ …， 一 ｌ Ｕ ； ａ － ４函数 ｈＶ 】 关于任何可行的（ ｙ 是连续可微 ； ） （ ，） ， ，）
中图分类号 ： ４ １１ Ｕ ９． ７ 文献标 志码 ： Ａ 文章 编号 ：０ ９２ ５ （０ ７１－０ ７０ １０ —８ ４２ ０ ）１０ １ —３
交通网络设计问题（ｅ ｏｋ ｅｉ ｒｂ ｍ， Ｎ ｔ ｒ ｓ ｎ ｏ ｌ 简称 Ｎ Ｐ研究的是通过在现有交通网络中增加新的路段或 ｗ Ｄ ｇＰ ｅ Ｄ） 改进某些路段的能力 ， 从而使整个交通网络达到某种系统性能最优． 求解交ຫໍສະໝຸດ 网络设计问题的算法很多 ． 常用