2021年高中数学《向量减法运算及其几何意义》教案4 新人教A版必修4
数学：2.2.2《向量减法运算及其几何意义》教案(必修4) 最新!!
①规定 的相反向量仍是 ．
②相反向量性质： ， ．
（3）向量的减法： 加上 的相反向量，叫做 的差，记作 ．求两个向量差的运算，叫做向量的减法．记作： ．
已知 ，在平面内任取一点，作 ， ，则 ．即
可以表示为从 （减向量）的终点，指向 （被减向量）的终点的向量．
②本题中，当 满足什么条件时， ？（ 互相垂直）
③本题中， 和 有可能是相等向量吗？（不可能，因为平行四 边形的对角线的方向不可能相同．）
例3．化简 ； ．（
练习：（1）P96练习
(2)如图，已知D、Ｅ、Ｆ分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，则 ．
(3)如图， ∥ ，怎样作出 呢？
作业
Ｐ101习题2.2 / 4.(4)~(7) . 8
教学内容：§2.2.2向量减法运算及其几何意义
教学目标
1．明确相反向量的意义，在此基础上理解向量减法的意义；
2．能准确作出两个向量的差向量，并且能掌握差向量的起点和终点的规律；
3．知道向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，是加法运算的逆运算；
４．通过本节课的学习，对学生渗透化归思想和数形结合的思想，继续培养学生识图和作图的能力，及运用图形解题的能力．
后记
(强调： 同起点时， 是连结 的终点，反思
主要内容及板书
想一想：向量 ．
(4)P95/思考
例1． (P95/例3)如图，已知向量 求作向量 ．
例2．（P96例4）在平行四边形ABCD中， ，你能用 表示向量 ， 吗？
追问：①本题中，当 满足什么条件时， 和 互相垂直？（ ）
本节重点
向量的减法运算及其几何意义
新人教A版必修四2.2《向量的减法运算及其几何意义》word教案
§2.2.2向量的减法运算及其几何意义【学习目标】1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：求作两个向量和的方法有 法则和 法则.（二）自主探究：（预习教材P85—P87） 探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？ 1、相反向量：与a 的向量，叫做a 的相反向量，记作a - .零向量的相反向a 与其相反向量a - 的和是什么？ 如果a 、b 是互为相反的向量，那么a = ， b = ，a b += .2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+a b 是互为相反的向量，那么 a =____________， b =____________，+ a b =____________。
问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +- 的作图方法. 3、已知 a ， b ，在平面内任取一点O ，作== ,OA a OB b ，则__________=- a b ，即- a b 可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量 a 的终点到 b 的终点作向量，那么所得向量是________。
这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.二、合作探究1例3和例4ABCD 中，下列结论中错误的是( )A. AB →＝DC →B. AD →＋AB →＝AC →C. AB →－AD →＝BD →D. AD →＋CB →＝2、在△ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+ ； ⑵OE OA EA -+ .变式：化简AB FE DC ++ .三、交流展示1、化简下列各式：①AB AC DB -- ； ②AB BC AD DB +-- .2、在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +- 等于（ ）A ．BAB ．BDC ．ACD ．AB3、下列各式中结果为 O 的有（ ）①++ AB BC CA ②+++ OA OC BO CO ③-+- AB AC BD CD ④+-+ MN NQ MP QPA ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③ 4、下列四式中可以化简为 AB 的是（ ）①+ AC CB ②- AC CB ③+ OA OB ④- OB OAA ．①④B ．①②C ．②③D ．③④ 5、已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中=== ,,OA a OB b OC c 则 EF =（ ）A ．a b +B ．b a -C ．- c bD ．-b c 四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 下列等式中正确的个数是（ ）. ①a o a -= ；②b a a b +=+ ；③()a a --= ； ④()0a a +-= ；⑤()a b a b +-=- A.2 B.3 C.4 D.5 2. 在△ABC 中，,BC a CA b == ，则AB 等于（ ）. A.a b + B.()a b -+- C.a b - D.a b -+3. 化简OP QP PS SP -++ 的结果等于（ ）. A.QP B.OQ C.SP D.SQ4. 在正六边形ABCDEF 中，AE m = ，AD n = ，则BA = .5. 已知a 、b 是非零向量，则a b a b -=+ 时，应满足条件 .B 组：1、化简：AB DA BD BC CA ++-- =_______________。
高中数学2.2.2向量减法运算及其几何意义教案新人教A版必修4
课题 2.2.2 向量减法运算及其几何意义教学目标知识与技能理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．过程与方法掌握向量减法的几何意义情感态度价值观启发引导，讲练结合重点理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．难点能熟练地进行向量的加、减运算．教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一向量的减法对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表：根据相反向量的含义，完成下列结论：(1)－AB→＝___；(2)－(－a)＝__；(3)－0＝__；(4)a＋(－a)＝__；(5)若a与b互为相反向量，则有：a＝____，b＝____，a＋b＝__.探究点二向量减法的三角形法则(1)由于a－b＝a＋(－b)．因此要作出a与b的差向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量．已知向量a，b如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量a－b.(2)当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到：①连接两个向量(a与b)的终点；②差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a与b的差向量a－b.探究点三|a－b|与|a|、|b|之间的关系(1)若a与b共线，怎样作出a－b?（2)通过上面的作图，探究|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系：当a与b不共线时，有：_____________________；当a与b同向且|a|≥|b|时，有：_______________；当a与b同向且|a|≤|b|时，有：_______________.教学内容教学环节与活动设计【典型例题】例1 如图所示，已知向量a 、b 、c 、d ， 求作向量a －b ，c －d .解 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ， OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d . BA →＝a －b ，DC →＝c －d .跟踪训练1 如图所示，在正五边形ABCDE 中，AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r .例2 化简下列式子：(1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.原式＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)；(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．例3 若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .(1)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ (2)当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (3)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？(4)a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．。
人教课标版高中数学必修四《向量减法运算及其几何意义》教案-新版
2.2.2 向量减法运算及其几何意义一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握向量的减法运算及其几何意义，会根据向量减法的法则的几何意义进行代数与图形之间的转换，在数学抽象与具象的转化过程中体会数形结合的思想.（二）学习目标1．理解相反向量的概念，通过类比实数的运算理解向量减法的定义，并掌握作两个向量的差向量的方法，体会类比的数学思想．2．掌握向量减法的几何意义并明确向量加减法的内在联系，体会转化、数形结合的数学思想方法.3．通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识.（三）学习重点1．向量减法运算的定义．2．向量减法运算的三角形法则与平行四边形法则．3．差向量的作法．（四）学习难点1．向量减法运算的定义的理解．2．向量减法的运用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第96页至第97页，填空：①与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a，零向量的相反向量是零向量.②向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.③向量减法的几何意义是a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量（a,b起点相同）. （2）写一写：-(-a)=a,a+(-a)=a-a=02．预习自测（1）下列等式中正确的个数是（）①a-0=a；②b+a=a+b；③-(-a)=a；④a+(-a)=0；⑤a+(-b)=a-bA.2B.3C.4D.5答案：D.解析：【知识点】向量的减法运算.【解题过程】①②③④⑤均正确.点拨：明确向量减法的定义.（2）在△ABC中，BC=a,AC=b则AB等于（）A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.-a+b答案：D.解析：【知识点】向量减法法则.【解题过程】AB AC BC=-=b-a=-a+b.点拨：明确向量减法法则.（3）非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )A.m=nB.m=-nC.|m|=|n|D.方向相反答案：A.解析：【知识点】相反向量的概念.【解题过程】非零向量m与n是相反向量，则长度相等，方向相反，则有m=-n，|m|=|n|. 点拨：明确相反向量的概念.（4）设a表示向西走10km,b表示向北走则a-b表示（）A.南偏西30°走20kmB.北偏西30°走20kmC.南偏东30°走20kmD.北偏东30°走20km【知识点】向量减法运算的三角形法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】作出差向量a-b，由图知，a-b表示南偏西30°走20km.点拨：作两个向量的差向量要注意起点要重合、箭头指向的是被减向量的终点.答案：A.(二)课堂设计1．知识回顾（1）向量加法的概念：已知向量a,b在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即：a+b=+=.AB BC AC（2）向量加法的三角形法则与平行四边形法则：（3）向量加法的运算律：①交换律：a+b=b+a ②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2．问题探究探究一向量减法的定义★●活动①结合生活实例，归纳提炼相反向量的概念我们知道，在实数运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.类比相反数，我们在学习向量减法时，是否也有这样的相反的向量呢？生活情境一：一架飞机由重庆到北京,再由北京返回重庆,飞机的两次位移分别是什么？生活情境二：在物理学中我们学习过作用力与反作用力的概念，是如何定义的呢？两个情境中涉及的两个量，具有怎样的关系呢？大小相等，方向相反.满足这样特点的两个向量，我们就把它称作相反向量.a的相反向量怎样用数学符号表示？-a.【设计意图】问题从类比减法运算方法的提出，为学生研究向量减法运算提供了思考方法，同时从生活、物理学情境引入新知可以激发学生的学习兴趣.教学过程中，相反向量的定义由学生自己发现并总结.●活动②用相反向量定义向量的减法思考1：-a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？- (-a)=a规定：零向量的相反向量仍是零向量.思考2：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量a-b可以怎样理解？定义：a-b＝a+(-b). 并强调：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.【设计意图】遵循数学研究问题的一般规律，即用已知的相反向量定义来探究未知，让学生自己发现问题并解决问题.●活动③用加法的逆运算定义向量的减法我们知道，实数的减法是加法的逆运算，即如果实数a,b,x,满足b+x=a,那么x叫做a与b的差，记x=a-b,类似的，向量的减法运算该如何定义？对于向量a，b，c，若a+c＝b，则c=b－a，c叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法.【设计意图】通过类比实数的减法运算得到向量减法的定义，体现了数学学习中由已知探索未知的转化过程.探究二向量减法的几何意义★▲●活动①向量减法运算的三角形法则思考1：如果向量a与b同向，如何作出向量a－b？思考2：如果向量a与b反向，如何作出向量a－b？思考3：设向量a与b不共线，设OA=a,OB=b,探究：如何作出a-b？差向量a-b的“箭头”指向有何特点？根据结论能否直接求a-b?如图,作OA=a,OB=b,则a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，-=a-b=OA OB BA作两个向量的差时，需要三个步骤：①将两个向量平移，使它们的起点重合；②将两个向量的终点相连；③差向量指向被减向量.概括为：作平移，共起点，两尾连，指被减.【设计意图】从研究两向量共线时的几何意义到不共线的情况，让学生体会从特殊到到一般、分类讨论的数学思想.●活动②向量减法的平行四边形法则如图，设向量AB＝b，AC＝a，则AD＝－b，由向量减法的定义，知AE＝a＋(－b)＝a－b.→＝a－b，由此，我们得到a－b的作图方法．又b＋BC＝a，所以BC【设计意图】由向量加法的平行四边形法则得出向量减法的平行四边形法则，进一步完善其几何意义.●活动③向量减法几何意义的深入理解思考1：向量a－b与b－a是什么关系？|a－b|与|a|＋|b|、|a|－|b|的大小关系如何？a－b与b－a是相反向量.|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取等号；|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时取等号.思考2：|a－b|与|a＋b|有什么大小关系吗？为什么？|a－b|与|a＋b|表示平行四边形对角线长度，没有大小关系.【设计意图】向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．探究三向量的减法的运用★▲●活动①归纳梳理、理解提升1.向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2.对于向量的加减运算，做加法时要首尾相接，如AB＋BD＝AD，做减法时要保证起点相同，如AB－AC＝CB.同时，注意交换一个向量的起点和终点，所得向量与原向量是相反向量，如AB＝-BA，BD－CD＝BD＋DC＝BC，AB＋CA＝AB－AC＝CB.【设计意图】总结梳理本节课所学新知识，并强调重难点.●活动②巩固基础，检查反馈例1.如图,不共线的两个非零向量a,b，求作向量a-b,b-a【知识点】三角形法则的运用.【数学思想】化归思想.【解题过程】作OA=a,OB=b,则BA=a-b,AB=b-a，如图：【思路点拨】求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量的减法的三角形法则.【答案】见解题过程．同类训练如图，已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.答案：见解题过程解析：【知识点】三角形法则的运用.【数学思想】化归思想.【解题过程】以A为起点分别作AB和AC，使AB=a,AC=b.连接CB,得向量CB，再作向量CD=c,连接DB,得向量DB.则向量DB即为所作的向量.点拨：先作a-b,再作(a-b)-c即可.例2．化简：(AB＋DB)＋(BC－DC)．答案：AB.解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】()()()().AB DB BC DC AB BC DB DC AC CB AB ++-=++-=+=点拨：利用向量加减法法则化简.同类训练 下面给出了四个式子：① +AB BC CA +； ②+OA OC BO CO ++；② AB AC BD CD -+-； ④+-NQ QP MN MP +其中值为0的有（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③答案：C.解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】①+=+AB BC CA AC CA +=0③ +=()()OA OC BO CO CO OA BO OC CA BC BA +++++=+=；④ =AB AC BD CD CB BC -+-+=0；⑤ +-=NQ QP MN MP NP PN ++=0.点拨：利用向量加减法法则化简.【设计意图】巩固向量减法的定义与差向量的作法.●活动② 强化提升，灵活运用例3.在平行四边形ABCD 中，|+|||AB AD AB AD =-，则必有（ ）A ．AD =0B ．AB =0或AD =0C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是正方形【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在平行四边形ABCD 中，|+|||AB AD AB AD =-,即||||AC DB =，可得ABCD 是一个特殊的平行四边形——矩形.【思路点拨】利用向量加减法的几何意义求解.【答案】C.同类训练 求|a +b |=|a -b |的充要条件.注：若A B B A ⇒⇒且，则称A 是B 的充要条件.答案：a ⊥b .解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想．【解题过程】(1)当a ,b 不共线时，以a 与b 为邻边作平行四边形ABCD,如图，则AC =a +b , DB =a -b ,∴|a +b |=|a -b |||=||AC BD AB AD ⇔⇔⊥⇔ a ⊥b .(2)当a 与b 共线时，则当且仅当a 与b 中至少有一个为0时，才有|a +b |=|a -b |成立.此时也有|a +b |=|a -b |⇔a ⊥b .故所求的充要条件是a ⊥b .点拨：利用|a +b |与|a -b |的几何意义来探索求其充要条件.例4.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB =a ,AC =b ,AE =c ，试用a ,b ,c 表示向量,,,BD BC BE CD CE 及.【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵四边形ACDE 是平行四边形，∴=CD AE =c ,=BC AC AB -=b -a .=BE AE AB -=c -a , =CE AE AC -=c -b , ∴BD BC CD =+=b-a +c【思路点拨】先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表示出来，再表示BD ．【答案】∴CD =c , =BC b -a . =BE c -a , =CE c -b , ∴BD =b-a +c同类训练 如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，=OA a , =OB b , =OC c ,求OD .答案：c-a +b , b -a , c -a , c , c -b解析：【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴=CD BA =a -b ，∴=+OD OC CD =c +a -b 点拨：先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表示出来，再表示OD ．3.课堂总结知识梳理（1）与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为-a .规定：零向量的相反向量是零向量.（2）向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a -b =a +(-b )，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.（3）向量减法的几何意义是a -b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量（a ,b 起点相同）.重难点归纳（1）向量减法法则的两点说明①向量的减法法则有着丰富的几何背景：当a ，b 不共线时，a ，b 与a -b 围成一个三角形；当a ，b 共线时，a ，b 与a -b 不能围成一个三角形.②向量的加法与向量的减法互为逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.（2）两个向量的差可用平行四边形法则及三角形法则求得，用三角形法则时，把减向量与起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点被减向量的终点，解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．（3）以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB ＝a ，AD ＝b ，则两条对角线表示的向量为AC ＝a ＋b ，BD ＝b －a ，DB ＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.（三）课后作业基础型 自主突破1．已知AB 是单位向量，点M 是AB 的中点，点P 是平面上任意一点，则PA PB -等于（ ）A.BM AM -B.AM BM -C.AM BM +D.AB答案：A ．解析：【知识点】向量的减法运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】PA PB -=+=BA BM MA BM AM =-．点拨：掌握向量加减法化简的技巧．2.设平面内有四边形ABCD 和点O, =OA a , =OB b , =OC c , =OD d ,若a +c =b +d ，则四边形ABCD 的形状是_________.答案：平行四边形．解析：【知识点】向量的减法运算．【数学思想】转化思想.【解题过程】∵a +c =b +d ，∴+=+OA OC OB OD ,=OA OB OD OC --,=BA CD ∴,∴四边形ABCD 为平行四边形.点拨：将等式a +c =b +d 进行适当变形转化．3.平面上有不同的三点A,B,C ，设m =AB BC +,n =-AB BC ,若m ,n 的长度恰好相等，则有（ ）A.A 、B 、C 三点必在同一直线上.B.△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶点.C.△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角.D.△ABC 必为等腰直角三角形.答案：C ．解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】m ==AB BC AC +，n =-AB BC ，如图，延长CB 至D,使得BD =CB,则： n =-=++AB BC AB CB AB BD AD == ，因|m |=|n |,则：||||AC AD =，∴△ABC 是等腰三角形,且点B 为底边DC 的中点,则△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形.点拨：利用m ,n 的几何意义求解.4.如图，向量AB =a , AC =b , CD =c ,则向量BD 可以表示为（ ）A.a +b -cB.a -b +cC.b -a +cD.b +a -c答案：C.解析：【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵=CB AB AC -=a -b , ∴=BD CD CB -=c -(a -b )=b +c -a .点拨：熟练掌握向量加减法的运算法则.5.若向量a ,b 满足|a |=8,|b |=12，则|a +b |的最小值为______，|a -b |的最大值为_______.答案：4；20．解析：【知识点】向量加减的三角形不等式．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】根据向量加减的三角形不等式得：| |a |-|b | |≤|a ±b |≤|a |+|b |，∴4≤|a ±b |≤20，故|a +b |最小值是4，|a -b |最大值是20．点拨：利用向量加减的三角形不等式．能力型 师生共研6．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB ＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，试求：(1)|a ＋b ＋c |；(2)|a －b ＋c |.答案：（1）（2）2.解析：【知识点】向量加减法法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】 (1)由已知得a ＋b ＝AB ＋BC ＝AC ，又∵AC ＝c ，∴延长AC 到E ，使||||CE AC =则a ＋b ＋c ＝AE ，且||=22AE |a ＋b ＋c |＝(2)作BF ＝AC ，连接CF ，则+=DB BF DF ，而=DB AB AD -＝a －BC ＝a －b ，∴a －b ＋c ＝+=DB BF DF 且||=2DF ，∴|a －b ＋c |＝2.点拨：掌握向量加减法法则．7.若AC＝a＋b，DB＝a－b.①当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？②当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|？③当a、b满足什么条件时，a＋b平分a与b所夹的角？④a＋b与a－b可能是相等向量吗？答案：①|a|＝|b|；②a、b互相垂直；③|a|、|b|相等；④不可能，因为对角线方向不同.解析：【知识点】向量加减法的平行四边形法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】如图，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线且AB＝a，AD＝b.由平行四边形法则，得AC＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b.由此问题就可转换为：①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|、|b|相等)④a＋b与a－b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点拨：利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题.探究型多维突破8．如图，O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心，⊙O为△ABC的外接圆，且()=++，OH m OA OB OC则m=_______.答案：1．解析：【知识点】向量加减法的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】作直径BD,连接DA,DC,有OB OD =-,DA ⊥AB,DC ⊥BC,CH ⊥AB,故CH ∥DA,AH ∥DC,则四边形ABCD 是平行四边形，进而AH DC =.又DC OC OD OC OB =-=+,则OH OA AH OA DC OA OB OC =+=+=++.∴m =1.点拨：通过添加辅助线将OH 用OA OB OC ,,表示出来. 自助餐1．化简：()()AC BO OA DC DO OB ++---.答案：0解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】()()()AC BO OA DC DO OB AC BA DC DO OB BC DC DBBD DB ++---=+-++=-+=+=0点拨：利用向量加减法法则化简.2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是（ ）A ．AB －DC ＝0B ．AD BA AC -=C ．AB AD BD -=D ．AD CB +=0答案：C ．解析：【知识点】向量加减法运算．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵AB ＝DC ，∴AB －DC ＝0，A 正确；∵AD BA AD AB AC -=+=,B 正确；∵AB AD AB DA DB -=+=，C 错误；∵,AD BC AD CB =∴=-,AD CB ∴+=0，D 正确． 点拨：掌握向量加减法的运算．3．已知m ,n 满足|m |=2,|n |=3,|m -n 则|m +n |=______.答案：3．解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由平行四边形的对角线与边的关系及|m -n |与|m +n |为以m ,n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m -n |2+|m +n |2=2|m |2+2|n |2=26,又|m -n |=故|m +n |2=26-17=9,故|m +n |=3. 点拨：利用向量加减法几何意义及平行四边形对角线与边的关系求解.4.已知a ,b ,c 是任意三个向量，求证:|a -b -c |≥||a |-|b |-|c ||.答案：见解题过程.解析：【知识点】向量加减的三角形不等式.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：|a -b -c |≥||a -b |-|c ||,又∵|a -b |≥||a |-|b ||,∴|a -b -c |≥||a |-|b |-|c ||.点拨：利用向量加减的三角形不等式证明.5.已知A,B,C 是不共线的三点，O 是△ABC 内一点，若OA OB OC ++=0，求证：O 是△ABC 的重心.答案：见解题过程．解析：【知识点】向量加减法的运用．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由于OA OB OC ++=0, ∴()OA OB OC =-+,即OB OC +是与OA 方向相反且长度相等的向量.如图所示,以OB,OC 为相邻的两边作□BOCD ,则OD OB OC =+,∴OD OA =-.在□BOCD 中,设BC 与OD 相交于点E,则,BE EC OE ED ==,∴AE 是△ABC 的BC 边上的中线，且||2||OA OE =.同理,可证BO,CO 分别在△ABC 的AC,AB 边的中线上, ∴点O 是△ABC 的重心,得证.++=0进行变形转化.。
数学：2.2.2《向量减法运算及其几何意义》教案(新人教A必修4)
2.2.2 向量减法运算及其几何意义教学目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
会求作两个向量相减的图。
教学重点：向量减法运算的几何意义，求作两个向量相减的向量图。
教学难点：向量加法与减法的关系与画法。
教学过程一、复习提问向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++AD BA CB 解：CD AD CA AD BA CB =+=++ 二、新课1．用“相反向量”定义向量的减法1“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。
记作 a 2规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。
a + (a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = b , b = a , a + b = 0 3向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a b = a + (b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a b ) + b = a + (b ) + b =a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作OA = a , OB =b 则BA = a b即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。
注意：1AB 表示ab 。
强调：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，ab = a + (b )，显然，此法作图较繁，但A BOa bBa bab最后作图可统一。
4．a ∥b ∥c ab = a + (b ) ab例一、（P96 例3）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b 、c d 。
解：在平面上取一点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d , 作BA , DC , 则BA = a b , DC = cd例二、平行四边形中，，用表示向量， 解：由平行四边形法则得： AC = a + b, DB = AD AB = ab变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a b 垂直？（|a | = |b |）变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a b |？（a 变式三：a +b 与a b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：P96 作业：P101 4、7OAa B’b bBa + (b )abab ABB’Oa b a a b bOAOBab a bBAOb D CABCbad cDO。
高一数学人教A版必修四教案：向量减法及其几何意义
2.2.2 向量減法運算及其幾何意義一、教學分析向量減法運算是加法的逆運算.學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算.因此,類比數的減法(減去一個數等於加上這個數的相反數),首先引進相反向量的概念,然後引入向量的減法(減去一個向量,等於加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結合一定數量的例題,深刻理解向量的減法運算.通過闡述向量的減法運算,可以轉化為向量加法運算,滲透化歸的數學思想,使學生理解事物之間的相互轉化、相互聯繫的辨證思想,同時由於向量的運算能反映出一些物理規律,從而加強了數學學科與物理學科之間的聯繫,提高學生的應用意識.二、教學目標：1、知識與技能：瞭解相反向量的概念；掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，並理解其幾何意義。
2、過程與方法：通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量減法運算及其幾何意義，並會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法。
3、情感態度與價值觀：通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉化的辯證思想。
三、重點難點教學重點:向量的減法運算及其幾何意義.教學難點:對向量減法定義的理解.四、學法指導減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算；並利用三角形做出減向量。
五、教學設想（一）導入新課思路1.(問題導入)上節課,我們定義了向量的加法概念,並給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運算自然聯想到向量的減法運算:減去一個數等於加上這個數的相反數.向量的減法是否也有類似的法則呢?引導學生進一步探究,由此展開新課.思路2.(直接導入)數的減法運算是加法運算的逆運算.本節課,我們繼續學習向量加法的逆運算——減法.引導學生去探究、發現.（二）推進新課、新知探究、提出問題①向量是否有減法？②向量進行減法運算,必須先引進一個什麼樣的新概念？③如何理解向量的減法？④向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則,那麼,向量的減法是否也有類似的法則？活動:數的減法運算是數的加法運算的逆運算,數的減法定義即減去一個數等於加上這個數的相反數,因此定義數的減法運算,必須先引進一個相反數的概念.類似地,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算.可類比數的減法運算,我們定義向量的減法運算,也應引進一個新的概念,這個概念又該如何定義?引導學生思考,相反向量有哪些性質?由於方向反轉兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.於是-(-a)=a.我們規定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則圖1如圖1,設向量AB=b,AC=a,則AD=-b,由向量減法的定義,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則如圖2,已知a、b,在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,則=a-b,即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結果:①向量也有減法運算.②定義向量減法運算之前,應先引進相反向量.與數x的相反數是-x類似,我們規定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.③向量減法的定義.我們定義a-b=a+(-b),即減去一個向量相當於加上這個向量的相反向量.規定:零向量的相反向量是零向量.④向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運算的幾何意義所在,是數形結合思想的重要體現.提出問題①上圖中,如果從a的終點到b的終點作向量,那麼所得向量是什麼?②改變上圖中向量a、b的方向使a∥b,怎樣作出a-b呢?討論結果:①AB=b-a.②略.（三）應用示例如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.圖3活動:教師讓學生親自動手操作,引導學生注意規範操作,為以後解題打下良好基礎;點撥學生根據向量減法的三角形法則,需要選點平移作出兩個同起點的向量.作法:如圖3(2),在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.則BA=a-b,DC=c-d.變式訓練(2006上海高考) 在ABCD中,下列結論中錯誤的是( )A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=BDD.AD+BC=0分析:A顯然正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,AB-AD=BD錯誤,D中,AD+BC=AD+DA=0正確.答案:C例2 如圖4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB嗎?圖4活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎.要多注意這方面的訓練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關係.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道AC=a+b,同樣,由向量的減法,知DB=AB-AD=a-b.變式訓練1.(2005高考模擬) 已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,則向量等於( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c圖5解析:如圖5,點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,結合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2.若AC=a+b,DB=a-b.①當a、b滿足什麼條件時,a+b與a-b垂直？②當a、b滿足什麼條件時,|a+b|=|a-b|？③當a、b滿足什麼條件時,a+b平分a與b所夾的角？④a+b與a-b可能是相等向量嗎？圖6解析:如圖6,用向量構建平行四邊形,其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此問題就可轉換為:①當邊AB、AD滿足什麼條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當邊AB、AD滿足什麼條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)③當邊AB、AD滿足什麼條件時,對角線平分內角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因為對角線方向不同)點評:靈活的構想,獨特巧妙,數形結合思想得到充分體現.由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構造幾何圖形,轉化為平面幾何問題,這就是數形結合解題的威力與魅力,教師引導學生注意領悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有+BC+CA=0.(3)若++=0,則A、B、C三點是一個三角形的三頂點.(4)|a+b|≥|a-b|.活動:根據向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量,此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則AB+BC=AC,AC與CA是互為相反向量,所以有上述結論.(3)因為當A、B、C三點共線時也有AB+BC+AC=0,而此時構不成三角形.(4)當a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.當a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|>|a-b|,異向則有|a+b|<|a-b|;當a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|AB|=8,|AC|=5,則|BC|的取值範圍是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)當AB、AC同向時,|BC|=8-5=3;(2)當AB、AC反向時,|BC|=8+5=13;(3)當AB、AC不共線時,3<|BC|<13.綜上,可知3≤|BC|≤13.答案:C點評:此題可直接應用重要性質||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.變式訓練已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a b,b c,c a,(1)必要性:作=a,BC=b,則由假設CA=c,另一方面a+b=+=.由於與是一對相反向量,∴有AC+CA=0,故有a+b+c=0.(2)充分性:作=a,=b,則=a+b,又由條件a+b+c=0,∴AC+c=0.等式兩邊同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故順次將向量a、b、c的終點和始點相連接成一三角形.（四）課堂小結1.先由學生回顧本節學習的數學知識:相反向量,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,類比,數形結合,幾何作圖,分類討論. （五）作業。
2.2.2向量的减法运算及其几何意义 导学案-2021-2022学年高一数学人教A版必修4
2.2. 2向量的减法运算及其几何意义学习目标、细解考纲1、 了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.4．通过向量的减法运算学习，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养；一、自主学习—————（素养催化剂）预习教材P85—P861.相反向量：（1）“相反向量”的定义：与a、的向量.记作（2）规定：零向量的相反向量仍是；(3) -(-a ) =,a + (-a ) = ；(4) 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ，b = -a ， a + b = 02. 向量的减法：向量a 加上的b 的向量，叫做a 与b 的差.即：a -b = a + (-b ) ,求两个向量差的运算叫做向量的减法.3.两个向量差的作法: 若向量a 和b 有相同的起点，则a -b 可以表示为从向量b 的指向向量a 的的向量.4.（1）三角形法则：作,,,b a BA b OB a OA-===则即把两个向量的起点放在一起，这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。
(2) 平行四边形法则：如图2，作,,b OB a OA ==以OA,OB 为边作平行四边形OACB,连接BA ，,b a BA -=则从图中可以看出，一个向量减去另外一个向量，等于此向量加上另一个向量的 .二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)【例1】 已知向量a 、b 、c ,求作向量a -b +c .变式1：如图，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作向量并分别求模．(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .例2:化简：（-）-(-)=____________.变式2：已知一个点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 、的向量分别为a 、b 、c ，则向量=_______________.三、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）例3、如图所示四边形ABCD 为平行四边形，设AB →＝a ，AD →＝b .(1)求当a 与b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |；(2)求当a 与b 满足什么条件时，四边形ABCD 为菱形，正方形．变式3：已知平面内四边形ABCD 和点O ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，试判断四边形ABCD 的形状．备选例题如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：AB →＋DC →＝2EF →.四、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）AB CD AC BD OD。
2020-2021学年人教A版必修4 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 教案(2)
向量的减法
【教学目标】
1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．
2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．
【教学重点】
向量减法的三角形法则．
【教学难点】
理解向量减法的定义．
【教学方法】
这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．。
人教A版高中数学必修四新课标优秀教案备课资料向量减法运算及其几何意义
备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是:两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减),这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点的向量.只要学生理解法则内容,那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手,尤其遇到向量的式子运算题时,一般不用画图就可迅速求解,如下面例题:例1 化简:-+-.解:原式=+-=-=0.例2 化简OA +OC +BO +CO .解:原式=(OA +BO )+(CO OC +)=(OA -OB )+0=BA .二、备用习题1.下列等式中,正确的个数是( )①a +b =b +a ②a -b =b ③0-a =-a ④-(-a )=a ⑤a +(-a )=0A.5B.4C.3D.2图72.如图7,D 、E 、F 分别是△ABC 的边、、的中点,则-等于( ) A B. C. D.3.下列式子中不能化简为的是( ) A.(+CD )+BC B.(+)+(BC +CM ) C.BM AD MB -+ D.OC -OA +CD4.已知A 、B 、C 三点不共线,O 是△ABC 内一点,若++=0,则O 是△ABC 的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心5.已知两向量a 和b,求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是a 的方向与b 的方向垂直.参考答案:1.C2.D3.C4.A5.证明:(1)充分性: 设=a ,=b ,使⊥,以OA 、OB 为邻边作矩形OBCA,则|a +b |=||,|a -b |=||.∵四边形OBCA为矩形,∴|OC|=||,故|a+b|=|a-b|.(2)必要性:设=a,=b,以OA、OB为邻边作平行四边形,则|a+b|=||,|a-b|=||.∵|a+b|=|a-b|,∴||=||.∴OBCA为矩形.∴a的方向与b的方向垂直.(设计者：沈献宏)。
人教A版数学必修四教案：2.2.2向量减法运算及其几何意义
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义一、教学分析向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.二、教学目标：1、知识与技能：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。
2、过程与方法：通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
3、情感态度与价值观：通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。
三、重点难点教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.四、学法指导减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。
五、教学设想（一）导入新课思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.（二）推进新课、新知探究、提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?引导学生思考,相反向量有哪些性质?由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则图1如图1,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.图2(2)三角形法则如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.讨论结果:①向量也有减法运算.②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.③向量减法的定义.我们定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?讨论结果:①AB=b-a.②略.（三）应用示例如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.图3活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=a-b,DC=c-d.变式训练(2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( )A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=BDD.AD+BC=0分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D中,AD+BC=AD+DA=0正确.答案:C例2 如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?图4活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b,同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.变式训练1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c图5解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2.若AC=a+b,DB=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？图6解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此问题就可转换为:①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.例3 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4 若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.变式训练已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a b,b c,c a,(1)必要性:作AB=a,BC=b,则由假设CA=c,另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA与AC是一对相反向量,∴有AC+CA=0,故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,则AC=a+b,又由条件a+b+c=0,∴AC+c=0.等式两边同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论. （五）作业。
高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义教案 新人教A版必修4
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1.知识与技能
(1)了解相反向量的概念.
(2)掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义.
2.过程与方法
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.
3.情感、态度与价值观
通过本节学习,使学生利用类比的方法探究向量减法的运算法则,培养学生的探索精神与创新
意识.
重点:向量减法的概念和向量减法的作图法.
难点:减法运算时方向的确定.
重难点突破:向量的减法运算是加法运算的逆运算.在进行减法运算时,有时可转化为加法运算.向量的减法满足三角形法则:连接两个向量的终点,箭头指向被减向量,所得的向量即为差向量.要
注意在用三角形法则时两向量必须是同一个起点.
非零向量a,b的差向量的三角不等式:(1)当a,b不共线时,如图①,作=a ,=b,则a-b =.
(2)当a,b共线且同向时,若|a|>|b|,则a-b与a,b同向(如图②),
于是|a-b|=|a|-|b|;
若|a|<|b|,则a-b与a,b反向(如图③),
于是|a-b|=|b|-|a|.
(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向.于是|a-b|=|a|+|b|(如图④).
可见,对任意两个向量,总有下列向量不等式成立:
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
说明:若a,b至少有一个零向量时,向量不等式的等号成立.
1。
高中数学 2.2.2 向量减法运算及其几何意义备课资料 新人教A版必修4
高中数学 向量减法运算及其几何意义备课资料 新人教A 版必修4 一、向量减法法那么的理解 向量减法的三角形法那么的式子内容是:两个向量相减,那么表示两个向量起点的字母必须相同(否那么无法相减),这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点的向量.只要学生理解法那么内容,那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手,尤其遇到向量的式子运算题时,一般不用画图就可迅速求解,如下面例题:例1 化简:AB -AC +BD -CD .解:原式=CB +BD -CD =CD -CD =0.例2 化简OA +OC +BO +CO .解:原式=(OA +BO )+(CO OC +)=(OA -OB )+0=BA .二、备用习题1.以下等式中,正确的个数是( )①a +b =b +a ②a -b =b ③0-a =-a ④-(-a )=a ⑤a +(-a )=0 A.5 B.4C.3图72.如图7,D 、E 、F 分别是△A BC 的边AB 、BC 、CA 的中点,那么AF -DB 等于( ) A FD B. FC C. FE D. BEAD 的是( )A.(AB +CD )+BCB.(AD +MB )+(BC +CM )C.BM AD MB -+D.OC -OA +CD4.A 、B 、C 三点不共线,O 是△A BC 内一点,假设OA +OB +OC =0,那么O 是△A BC 的( )5.两向量a 和b,求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是a 的方向与b 的方向垂直.参考答案:5.证明:(1)充分性:设OA =a ,OB =b ,使OA ⊥OB ,以OA 、OB 为邻边作矩形OBCA,那么|a+b|=|OC|,|a-b|=|BA|.∵四边形OBCA为矩形,∴|OC|=|BA|,故|a+b|=|a-b|.(2)必要性:设OA=a,OB=b,以OA、OB为邻边作平行四边形,那么|a+b|=|OC|,|a-b|=|BA|.∵|a+b|=|a-b|,∴|OC|=|BA|.∴OBCA为矩形.∴a的方向与b的方向垂直.(设计者：沈献宏)。
高中数学下学期 222向量的减法运算及其几何意义教案 新人教A版必修4 教案
a+b=，b+c=，c-d=，a+b+c-d=.
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b= ，c-d= ，并画出b-c和a+d.
讨论记录
1．从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣。如可以通过物理中力与加速度的关系 ，位移与速度的关系 等实际问题引入实数与向量的积。
预习内容：
向量加法的法则：。
向量加法的运算定律：。
例：在四边形中，CB+BA+BC=.
解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD.
提出疑惑：向量有加法运算，那么它有减法吗？
课内探究学案
学习目标：
1、 了解相反向量的概念；
2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
主备教案
2.向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1、 了解相反向量的概念；
2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
变式二：当a，b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a，b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）
课后练习与提高
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2021年高中数学《向量减法运算及其几何意义》教案4 新人教A 版必修4
教学目标：
了解相反向量的概念；
掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.
学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路：
一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
例：在四边形中， .
解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++ 二、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(
a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a ) = 0
如果a 、b 互为相反向量，则a =
b ， b =
a ， a +
b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a b = a + (
b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a
b ) + b = a + (
b ) + b = a + 0 = a
A B
D C
O a b
a b
a
b
作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a b
即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1表示a b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2
用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (
b )
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
4． 探究：
１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是 b a.
２）若a ∥b ， 如何作出a b ？ 三、 例题：
例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b 、c d .
解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ， 作， ， 则= a b ， = c d
例二、平行四边形中，a ，b ，
用a 、b 表示向量、. 解：由平行四边形法则得：
O
A
B
a
B
b
b
B
a + (
b )
a b
D C
A
B
C
b
a
d c
D
O
a b
A
A
B
B
B ’
O
a
b
a a b
b
O
A
O B
a
b
a
b
B
A
O
b
= a + b， = = a b
变式一：当a，b满足什么条件时，a+b与a b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a，b满足什么条件时，|a+b| = |a b|？（a，b互相垂直）
变式三：a+b与a b可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）
练习：Ｐ98
四、小结：向量减法的定义、作图法|
五、作业：P103第4、５题
六、板书设计（略）
七、备用习题：
1.在△ABC中， =a， =b，则等于( )
A.a+b
B.-a+(-b)
C.a-b
D.b-a
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a， =b， =c， =d，则
A.a+b+c+d=0
B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0
D.a-b-c+d=0
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d 的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d.。