直线和圆的方程

1、二元一次不等式 Ax By C 0
在平面直角坐标系中表示直线
l : Ax By C 0 一侧所有点
组成的平面区域，直线应画成虚线。 2、不等式组表示的平面区域是各个 不等式所表示的平面区域的点集的交集， 因而是各个不等式所表示的平面区域的 公共部分。
评注： 1.画区域时，注意边界的虚实 （有等号为实，无等号为虚）； 2.准确判断区域的位置，边界直线 不过原点时，取原点；边界直线过 原点时，取单位点（1，0）.
【变式 3】过点 P(1, 4) 作直线与两坐标轴正半轴相交,
当直线在两坐标轴上的截距之和最小时,求此直线方程.
§7.2.3 直线的方程（3）
【例 1】根据下列条件写出直线方程, 并且化为一般式.
(1)斜率是 1 ,经过点 A(8, 2) ； 2
(2)经过点 B(4, 2) ,平行于 x 轴；
A. 4 2 B. 4 C. 2 2 D.2
【变式 2】求不等式 x 2 y 2 2
所表示的平面区域的面积
§7.4.2 简单的线性规划（2）
引例：设 z 2x y, 其中变量
(m 1)x (2m 1) y m 5必
过定点
.
3.已知 A 2B 3C 0 ,则 直线 Ax By C 0 必过定点 .
§7.3.4点到直线的距离（1）
问题 1：求点 P(2,1) 到直线 l : x 2y 1 0的距离；
问题 2：分别求点 P(2,1) 到直线 x 5, y 9 的距离；
（2）已知点 A(4,1), B(0, 4), 试在
直线 l : 3x y 1 0 上求一点 P ，
使得| PA | | PB | 的绝对值最大。
作业：1、入射光线沿直线 x 2 y 3 0
射向直线 l : y x ，求反射后的光线所在
直线的方程；
2、一条光线经过点 P(2, 3) ，射到直线
x y 1 0 上，反射后穿过点 Q(1,1) ，
分别求入射光线和反射光线所在直线的方程。
3、已知点 A(1, 2), B(4, 0) ，试在 直线 l : x 2y 10 0上分别求一点 P ， （1）使得 | PA | | PB | 最小； （2）使得|| PA | | PB || 最大。
【例 1】给出下了四个命题:
①一条直线 l 一定是某个一次函数的图像；
②一次函数 y kx b 的图像一定是一条
不过原点的直线；
③如果一条直线上所有点的坐标都是某个
方程的解,那么这个方程叫直线的方程；
④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点
都在某条直线上,那么这条直线就叫做这个
方程的直线.
其中正确命题的个数是( )
【例 2】求经过两条直线 2x 3y 1 0 和 x 3y 4 0 的交点,并且垂直于直线 3x 4 y 7 0 的直线的方程.
1.求经过两条直线 x 3y 4 0
和 5x 2 y 6 0 的交点,并且过
点 (2,3) 的直线的方程.
2.无论 m 取任何实数时,直线
何条件时, l1 // l2 ?
2.求过 (3,2) 且与直线 2x 3y 5 0 平行的直线方程?
【例 2】已知直线 l1 : (a 2)x (1 a) y 1 0, l2 : (a 1)x (2a 3) y 2 0 .当 a 为何值时, l1 l2 ?
【变式 2】 1.若直线 l1 : ax (1 a) y 3, l2 : (a 1)x (2a 3) y 2 ， 当 a 为何值时, l1 l2 ?
对称的点的坐标。
【例 2】求直线 l1 : 2x y 4 0 关于直线 l : 3x 4 y 1 0 对称的 直线 l2 的方程。
【例 3】求满足下列条件的点 及相应的最值：
（1）已知点 A(3,5), B(2,15) ，
试在直线 l : 3x 4y 4 0 上找
一点 P ，使得| PA | | PB | 最小；
【例 3】已知直线 l 的一个方向向量为 a ( 3, 3) ,求直线 l 的倾斜角和斜率. 【变式 3】已知直线 l1 的斜率 k1 3 , 直线 l2 l1 ,求直线 l2 的方向向量.
§7.2.1 直线的方程（1）
【例 1】直线 l 经过点 P(2,1) ，倾斜角为 ， 且 cos 4 ，求直线 l 的方程.
A. 0
B.1
C. 2
D. 3
【例 2】设直线 l 过坐标原点,它的倾斜角为 , 如果将 l 绕坐标原点逆时针旋转 得到直线
4
l1 ,那么直线 l1 的倾斜角为( )
A. B. 3 C. 3
4
4
4
D. ( [0, 3 ) )或 3 ( [3 , ))
4
4
4
4
【例 3】设直线的斜率为 k ,且 3 k 3 , 3
5 【例 2】求倾斜角是直线 y 3x 1 的倾斜 角的 1 ，在 y 轴上的截距为 5 的直线方程。
4
【百度文库 3】一条直线经过点 A(1, 2) ，且与两条坐标
轴的正半轴围成的三角形的面积为 4，求这条直 线的方程。
§7.2.2 直线的方程（2）
【例 1】已知 ABC 的三个顶点是 A(5, 0) ,
问题 3：求点 P(x0 , y0 ) 到 直线 Ax By C 0 的距离。
§7.3.5 点到直线的距离（2）
【例 1】（1）求 P(3, 2) 到下列直线的距离： y 3 x 1 ， y 6, x 4
44 （2）求平行线 Ax By C1 0
与 Ax By C2 0(C1 C2 ) 之间的距离。
【例 2】在 y 轴的正半轴上给定两点 A(0, a), B(0,b)(a b 0) ，试在 x 轴 的正半轴上求一点 C ，使得 ACB 最大？
【例 3】已知正方形 ABCD 的对 角线 AC 在直线 x 2 y 1 0 ,且 A(5,3), B(a,0)(a 5) ,求顶点 B,C, D 的坐标.
x y 5
【例
1】画出不等式组
x
2
y
3
x 2 y 0
表示的平面区域.
3x 2 y 6 0
【变式
1】画出不等式组
2 y 3 y
x x
9
x 3
表示的平面区域 新疆 王新敞 学案
【例 2】在平面直角坐标系中，不等式组
x y 2 0
x
y
2
0
表示的平面区域的面
x 2
积是（ ）
求直线倾斜角的取值范围.
§7.1.2直线的倾斜角和斜率（2）
【例 1】已知直线 l 过点 A(1, 2) , B(m,3) (m R) , 求直线 l 的斜率和倾斜角.
【变式 1】求经过两点 P1(2,1) 和
P2 (m, 2) (m R) 的直线 l 的斜率,
并且求出 l 的倾斜角 及其取值范围.
§7.3.1直线的平行与垂直
【例 1】已知直线 l1 : x a2 y 6 0, l2 : (a 2)x 3ay 2a 0 . 当 a 为何值时, l1 // l2 ?
【变式 1】 1.若直线 l1 : ax 4 y 2 0,
l2 : x ay b 0 ，当 a,b 满足
（2）设两条直线间的距离为 d ，求 d 的取值范围。
【例 4】已知直线 l 经过点 P(1, 2) ，
被 l1 : 4x 3y 1 0,l2 : 4x 3y 6 0
截得的线段长度为 2 ，求直线 l 的方程。
§7.3.6 对称问题
【例 1】（1）求点 P(a, b) 关于点 M (m, n) 对称的点的坐标； （2）求点 P(a,b) 关于直线 y x c
2.求过 (3,2) 且与直线 2x 3y 5 0 垂直的直线方程?
【例 3】已知 A(1,3), B(1,1),C(2,1) . (1) 求 ABC 的 BC 边上的高线所在 的直线方程; (2) 若直线 l // BC ,分别交 AB, AC 于
P,Q 两点,且 APQ 的面积等于 ABC 的一半,求直线 l 的方程.
【例 2】已知正方形 ABCD的中心在点 E(1,0) ， 其一边 AB 所在的直线的方程是 x 3y 5 0 ，
求其余三边的直线所在的方程。
【例 3】两条平行线 l1, l2 分别过点 P1(1, 0), P2 (0,5) .
（1）是否存在 l1, l2 的距离为 5 的情形？
若存在，求出这两条平行线的方程；
(3)在 x 轴, y 轴上的截距分别是 3 , 3 ； 2
(4)经过两点 P1(3, 2) , P2 (5, 4) .
【变式 1】过点 A(0,1) 作一条直线 l , 使它夹在直线 l1 : 2x y 8 0 和 l2 : x 3y 10 0 间的线段被 A 点 平分,试求直线 l 的方程.
2.两条直线 l1 与 l2 的交点:
求两条直线 l1 与 l2 的交点,
只需解方程组
A1 x A2 x
B1 y C1 B2 y C2
0 0
即可.
【例 1】已知直线 l1 : x my 6 0, l2 : (m 2)x 3y 2m 0 .求 m 为何值时: (1) l1 与 l2 相交; (2) l1 与 l2 平行; (3) l1 与 l2 重合.
【变式 3】已知 ABC的顶点
A(1,3), B(2,3),C(4,0) ,若直
线 l 平行于 BC 边上的高,且 被 ABC的边截得的线段长 为此高的 1 ,求直线 l 的方程.
3
§7.3.2相交直线的到角和夹角
【例 1】已知直线 l1 : 3x 2 y 12 0, l2 : 2x 3y 0,l3 : x 3. (1)求 l2 到 l1 的角; (2)求 l2 与 l1 的夹角; (3)求 l3 与 l1 的夹角.
B(3, 3) , C(1, 2) ,求 ABC 的三边 AB , BC , AC 所在直线方程.
【例 2】已知直线 l 经过点 (3, 2) ,且在两 坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程.
【例 3】过点 P(2,1) 作直线 l 与 x 轴、 y 轴正半轴 分别交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点,求 AOB 面 积的最小值及此时直线 l 的方程.
第七章 直线和圆的方程
§7.1.1直线的倾斜角和斜率（1）
自学教材第36页——37页， 思考下列问题：
1.怎样理解直线的方程和方程的直 线的概念？
2.什么叫做直线的倾斜角？直线的 倾斜角的取值范围是什么？以前学 过的向量的夹角的取值范围是什么？
3.什么叫做直线的斜率？
4.直线的斜率与直线的倾斜角和 斜率有什么区别和联系？
§7.3.3两直线的位置关系
1.两条直线位置关系的判定: 已知直线 l1 与 l2 的方程为 l1 : A1x B1 y C1 0 ,
l2 : A2 x B2 y C2 0 .则 (i) A1B2 A2 B1 0 l1 // l2 或重合; (ii) A1 A2 B1B2 0 l1 l2 ; (iii) A1B2 A2 B1 0 l1 与 l2 相交.
【例 2】设直线 l 的方程为
(m2 2m 3)x y 2m 6 ,
根据下列条件分别确定 m 的值.
(I)在 x 轴上的截距是 3 ； (II) l 的斜率是 1.
【变式 2】求证:无论 m 为何实数, 直线 (m 1)x (2m 1) y m 5
必过定点.
【例 3】若方程 x2 my2 2x 2y 0 表示两条直线,求 m 的值.
4、一束光线从 M (5, 3) 射出，被直线
l1 : x y 1 0 反射，若入射光线绕点
M 逆时针旋转 后与直线 l1 平行，且 tan 2 ，求入射光线和反射光线所
在直线的方程。 5、（选作）求函数
f (x) x2 4x 5 x2 4x 8
的最小值。
§7.4.1 简单的线性规划（1）
【例 2】求证:
(1) A(3,3) , B(1, 5) , C(7,11) 三点共线.
(2) A(1, 1) , B(2, 7) , C(0, 3) 三点共线. 【变式 2】若直线 l 经过点 P(0, 2) 且与 线段 AB 有交点,其中 A(2,3) , B(3, 2) ,
求 l 的斜率的取值范围.