《导数的概念与基本运算》教案1
《导数的概念》教案
《导数的概念》教案教案：导数的概念1.教学目标：1.1.知识目标：学生能够了解导数的概念及其基本性质。
1.2.能力目标：学生能够应用导数的概念解决实际问题。
1.3.情感目标：通过对导数的学习，培养学生的分析和解决问题的能力，并培养学生的兴趣和热爱数学的情感。
2.教学重点：2.1.导数的定义和概念。
2.2.导数的基本性质。
3.教学难点：3.1.导数的基本性质的理解和应用。
3.2.导数的计算和应用。
4.教学过程：4.1.导入（10分钟）：引入导数的概念，通过一个简单的例子说明导数的作用和意义。
4.2.导数的定义（20分钟）：4.2.1.简单介绍导数的定义和符号表示。
4.2.2.讲解导数的物理意义和几何意义。
4.2.3.通过实例和图像说明导数的计算。
4.3.导数的基本性质（30分钟）：4.3.1.导数的定义区间和存在性。
4.3.2.导数的唯一性和连续性。
4.3.3.导数的运算法则。
4.4.导数的应用（30分钟）：4.4.1.导数在函数图像的研究中的应用。
4.4.2.导数在最值问题中的应用。
4.4.3.导数在速度和加速度中的应用。
4.5.小结（10分钟）：对导数的概念及其应用进行总结，并布置相应的作业。
5.教学手段：5.1.板书与讲解相结合的教学方法。
5.2.生动形象的实例和图像辅助讲解。
5.3.教师提问和学生互动的教学方式。
6.教学资源：教材、黑板、彩色粉笔、投影仪等。
7.教学评价：7.1.反馈评价：学生在课堂上积极参与，课堂气氛活跃。
7.2.笔试评价：设计一套综合性的习题，考查学生对导数概念理解和应用的能力。
7.3.直观评价：观察学生在计算和解决实际问题时运用导数的能力和方法。
8.教学延伸：8.1.导数的计算和应用在微积分的后续学习中具有重要的作用，学生还需继续加深对导数概念和应用的理解。
8.2.练习不同类型的导数计算题目，提高运算能力和分析解决问题的能力。
8.3.进一步了解导数的发展与应用，拓宽数学知识的广度。
导数概念教案
导数概念教案教案标题：导数概念教案教学目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教材：包含导数概念和计算方法的相关章节；2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔或马克笔、计算器；3. 学具：练习题集、实际问题案例。
教学过程：引入：1. 引导学生回顾函数的概念和图像特征；2. 提问学生是否知道如何描述函数在某一点的变化情况；3. 引出导数的概念，并解释导数是描述函数变化速率的工具。
讲解导数的定义：1. 介绍导数的定义：函数f(x)在点x处的导数表示函数在该点的变化率，记作f'(x)或dy/dx；2. 解释导数的几何意义：导数是函数曲线在某一点处的切线斜率；3. 通过几个示例图形化展示导数的概念。
计算导数的方法：1. 讲解导数的计算方法：使用极限的概念，计算函数在某一点的导数；2. 指导学生通过求导法则计算导数：常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则和除法法则；3. 给予学生一些练习题，巩固导数计算方法。
应用导数解决问题：1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用：如速度、加速度、最优化问题等；2. 通过实际问题案例，让学生应用导数解决相关问题；3. 强调导数在实际问题中的重要性和实用性。
总结：1. 总结导数的概念和意义；2. 强调导数的计算方法和应用；3. 鼓励学生继续练习和应用导数，提高数学问题解决能力。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更多导数的性质和应用；2. 引导学生进一步探究导数的图像和曲线变化特征；3. 提供更多的实际问题案例，让学生应用导数解决更复杂的问题。
教学评估：1. 教师观察学生对导数概念的理解和计算方法的掌握情况；2. 课堂练习题的完成情况和准确度；3. 学生在实际问题解决中的应用能力。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学内容：第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 导数的定义及其几何意义1.3 导数的计算法则第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的四则运算2.3 高阶导数第三章：导数的应用3.1 函数的单调性3.2 函数的极值3.3 曲线的切线与法线第四章：导数与实际问题4.1 运动物体的瞬时速度与加速度4.2 函数的优化问题4.3 导数在经济学中的应用第五章：导数的进一步应用5.1 曲线的凹凸性与拐点5.2 函数的单调区间与最大值、最小值5.3 函数的渐近线教学步骤：1. 引入导数的概念：通过生活中的例子，如物体运动的瞬时速度，引出导数的定义。
2. 讲解导数的定义及其几何意义：解释导数的定义，并通过图形演示导数的几何意义。
3. 导数的计算法则：讲解基本导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。
4. 导数的应用：通过实例讲解函数的单调性、极值等概念，并引导学生运用导数解决实际问题。
5. 总结与拓展：总结本章内容，提出进一步的学习要求和思考题。
教学评价：1. 课堂讲解：评价教师的讲解是否清晰、生动，能否引导学生理解和掌握导数的概念和计算方法。
2. 课堂练习：评价学生是否能够正确计算导数，并应用导数解决实际问题。
3. 课后作业：评价学生是否能够独立完成作业，并对导数的应用有深入的理解。
教学资源：1. 教案、PPT等教学资料；2. 数学软件或计算器；3. 实际问题案例。
教学建议：1. 注重引导学生从实际问题中抽象出导数的概念，提高学生的学习兴趣和积极性；2. 通过图形演示导数的几何意义，帮助学生直观理解导数的概念；3. 鼓励学生进行课堂练习和课后作业，及时巩固所学知识；4. 结合实际问题，引导学生运用导数解决实际问题，提高学生的应用能力。
第六章：导数与函数的单调性6.1 单调增函数与单调减函数6.2 利用导数判断函数的单调性6.3 单调性在实际问题中的应用第七章：函数的极值与导数7.1 极值的概念7.2 利用导数求函数的极值7.3 极值在实际问题中的应用第八章：曲线的切线与法线8.1 切线方程的求法8.2 法线方程的求法8.3 切线与法线在实际问题中的应用第九章：导数与函数的图像9.1 凹凸性的定义与判断9.2 拐点的定义与判断9.3 利用导数分析函数的图像特点第十章：导数在经济、物理等领域的应用10.1 导数在经济学中的应用10.2 导数在物理学中的应用10.3 导数在其他领域的应用案例分析教学步骤：6.1-6.3：通过具体例子讲解单调增函数与单调减函数的概念，引导学生利用导数判断函数的单调性，并应用于实际问题。
导数的概念教案
导数的概念教案教案标题：导数的概念教案教案目标：1. 理解导数的概念及其在数学中的作用；2. 能够计算简单函数的导数；3. 掌握导数的基本性质。
教案内容：引入导数的概念（10分钟）：1. 通过简单的例子引出导数的概念，如一个物体在一段时间内移动的速度；2. 引导学生思考物体移动速度的变化情况，并提问他们是否可以用数学的方式表示和计算物体的速度。
导数的定义（15分钟）：1. 介绍导数的定义：函数在某一点的导数是该点的切线斜率；2. 引导学生理解切线的概念，并通过具体函数的图形展示切线的斜率如何表示导数。
导数的计算（20分钟）：1. 通过具体函数的例子，逐步教授导数的计算方法，如用极限法求导、使用导数公式等；2. 练习不同类型函数的导数计算，包括多项式、指数、对数、三角等函数。
导数的基本性质（15分钟）：1. 介绍导数的基本性质，如常数函数的导数为0、导数的线性性质、导数的乘积法则和商法则等；2. 引导学生通过具体例子理解和应用导数的基本性质。
综合练习（20分钟）：1. 提供一些综合性的导数计算题目，并鼓励学生尝试自己解答；2. 老师对学生的解答进行点评和纠正，加深对导数概念和计算方法的理解。
总结和拓展（10分钟）：1. 总结导数的概念、计算方法和基本性质；2. 引导学生思考导数在实际生活和其他学科中的应用，并鼓励他们自主学习和探索更多有关导数的知识。
教学资源：1. 教学课件或投影仪；2. 教材、作业本和练习题。
评估方式：1. 教师通过课堂参与度、问题回答情况和练习题完成情况来评估学生的学习情况；2. 可以设计小组或个人综合性评估题目，考察学生对导数概念和计算方法的整体掌握情况。
教学反思：在教案中，关键是引导学生理解导数的概念及其作用，同时通过具体例子和计算方法让学生掌握导数的计算和基本性质。
在教学过程中，要注重与学生的互动和思维激发，鼓励学生积极参与问题解答和练习，加深对导数的理解。
另外，要结合实际生活和其他学科的应用，让学生认识到导数在数学中的重要性和广泛应用的价值。
数学高中导数定律教案
数学高中导数定律教案
教学目标：
1.理解导数的定义和意义。
2.掌握导数的基本运算法则。
3.掌握导数的常用定律。
教学重点：
1.导数的定义和基本运算法则。
2.导数的常用定律。
教学难点：
1.对导数的理解和应用。
2.导数的运算法则及定律的灵活运用。
教学准备：
1.教科书、教具、黑板、彩色粉笔。
2.学生练习本。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾导数的定义和意义，引出导数的运算法则和常用定律。
二、讲解导数的基本运算法则（10分钟）
1.导数的四则运算法则。
2.导数的复合函数法则。
三、讲解导数的常用定律（15分钟）
1.常数函数导数的定理。
2.幂函数导数的定理。
3.指数函数导数的定理。
4.对数函数导数的定理。
四、巩固练习（15分钟）
教师出示几道相关的练习题，让学生运用所学的导数定律进行练习，并进行讲解。
五、课堂小结（5分钟）
教师和学生一起回顾本节课的重点内容，并对导数的定律进行总结。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，要求学生运用导数的定律进行求解。
教学反思：
通过本节课的学习，学生能够掌握导数的基本运算法则和常用定律，并能够灵活运用导数
定律解决相关问题。
同时，教师也要引导学生多进行练习，加深对导数定律的理解和掌握。
导数公式和运算法则教案
导数公式和运算法则教案一、教学目标1.理解导数的定义和概念。
2.掌握导数的公式和运算法则。
3.能够灵活运用导数公式和运算法则解决实际问题。
二、教学准备1.教材：高中数学教材。
2.工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT。
三、教学过程1.导入导数的定义和概念（15分钟）教师使用PPT展示导数的定义和概念，引导学生回顾导数的概念，并解释导数与函数的变化率之间的关系。
通过一些例题让学生感受导数的实际应用。
2.导数公式的介绍和讲解（30分钟）教师依次讲解常见函数的导数公式，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
对每个函数的导数公式进行逐一证明和解释，引导学生理解其中的推导过程。
3.导数的基本运算法则（30分钟）教师介绍导数的基本运算法则，包括常数规则、加减法则、乘法法则和除法法则。
通过实例演示，让学生理解和掌握这些运算法则的应用。
并提醒学生注意特殊情况和需要注意的问题。
4.实例演练与讨论（30分钟）教师提供一些实际问题，让学生利用导数公式和运算法则进行求解。
鼓励学生积极思考和参与讨论，提高他们的解题能力。
5.小结和课后作业（15分钟）教师对本节课的内容进行小结，并强调要求学生掌握导数的公式和运算法则。
布置相关的课后作业，巩固和深化学生的学习。
四、教学反思本节课通过对导数公式和运算法则的介绍和讲解，培养了学生对导数的理论和实际应用的理解能力，同时通过实例演练和讨论，培养了学生解决问题的能力和思维能力。
在教学过程中，教师注重直观性的解释和举例，并给予学生足够的练习机会，提高了学习效果。
同时，在教学过程中也注意对学生解题过程的引导和问题的提问，以激发学生的思考，提高他们的思维水平。
高中数学教案导数的基本概念与计算
高中数学教案导数的基本概念与计算高中数学教案——导数的基本概念与计算1. 概述高中数学中，导数是一个重要的概念，用于描述函数在某个点上的变化率。
在教学中，理解导数的基本概念以及掌握导数的计算方法是学生掌握微积分的关键。
本教案将通过引入导数的概念、导数的性质以及导数计算法则等内容，帮助学生深入理解导数的基本概念与计算方法。
2. 导数的概念导数可以看作是函数f(x)在某个点x=a的切线斜率，用f'(a)或者dy/dx|_(x=a)表示。
引导学生通过图像、实例等方式感受导数的概念，并了解导数的几何意义和物理意义。
3. 导数的性质在导数的教学中，应当重点突出导数的局部性和增加性。
局部性指导数只与某个特定点附近的函数值相关，而与其他地方无关；增加性表示函数单调递增时，导数的变化情况。
4. 导数计算法则4.1 基本导数法则介绍导数的基本运算法则，如常数倍法则、和差法则、积法则、商法则等。
通过实例演示和练习，使学生掌握这些基本法则的应用。
4.2 常见函数的导数引导学生熟悉常见函数的导数表达式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
重点讲解这些函数的导数推导过程，并通过例题演示如何计算导数。
4.3 链式法则链式法则用于计算复合函数的导数。
通过引入中间变量和链接函数的概念，帮助学生理解链式法则的运用，并通过练习加深对链式法则的掌握。
4.4 隐函数求导隐函数求导用于计算由给定方程所确定的函数的导数。
介绍利用隐函数求导公式和求导规则进行隐函数求导的方法，并通过实例演示求解过程。
5. 应用题与拓展在导数的教学中，应通过应用题和拓展知识的讲解，帮助学生将导数运用到实际问题中。
包括利用导数求函数的极值、函数的单调性、曲线的凹凸性等应用题的解答。
6. 总结与归纳对导数的基本概念与计算方法进行总结归纳，强调导数在高中数学中的重要性，并和以后学习微积分的知识做关联。
通过本教案的学习，相信学生能够全面理解导数的基本概念与计算方法，并能够熟练运用导数进行函数分析和问题求解。
导数的概念教案
导数的概念教案教案名称：导数的概念教案教学目标：1. 了解导数的概念及其意义；2. 理解导数的计算方法；3. 掌握导数的性质和应用；4. 能够应用导数解决实际问题。
教学准备：1. 打印教学材料，包括导数的定义和计算方法；2. 准备多个实例进行演示；3. 录制导数的演示视频或准备PPT。
教学流程：引入导数概念（10分钟）1. 显示导数的定义：导数是描述函数在某一点附近的变化率的量，也可看作是函数图像在某一点处的切线斜率。
2. 解释导数的意义：导数可以告诉我们函数在某点的瞬时变化速率。
比如，如果一个函数的导数为正，表示函数在该点上升；若导数为负，表示函数在该点下降；若导数为零，表示函数在该点处于极值。
3. 引导学生举例说明导数在实际生活中的应用场景，如速度为时间的导数，可以表示物体的加速度；收入为销售额的导数，可以表示销售额的增长速率等。
导数的计算方法（20分钟）1. 讲解导数的计算方法：导数的计算方法有多种，主要介绍以下几种：a. 使用定义计算导数：利用导数的定义公式，计算函数在某一点处的导数，即导数等于函数在该点的极限。
b. 使用公式计算导数：介绍常用函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。
c. 使用求导法则：介绍导数四则运算法则，如求和法则、差法则、积法则和商法则，以及复合函数求导法则等。
2. 举例演示导数的计算方法：通过几个具体的函数例子，进行导数的计算演示，包括使用定义计算导数、使用公式计算导数和使用求导法则计算导数。
导数的性质和应用（20分钟）1. 解释导数的性质：导数的性质有连续性、可导性和递增、递减性等，侧重讲解连续性和可导性的概念和性质。
2. 展示导数的应用：介绍导数在数学和实际问题中的应用，如极值问题、最优化问题、函数图像的绘制等。
解决实际问题（10分钟）1. 给学生提供几个实际问题，让他们应用导数求解，如最大值问题、最小值问题、最优化问题等。
2. 引导学生分析问题，提供解决问题的导数计算方法。
导数的定义及可导条件教案
导数的定义及可导条件教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，表示函数在某一点的局部性质。
举例说明导数的含义：如速度、加速度等物理量的变化率。
1.2 导数的符号与表示方法介绍导数的符号：常用的导数符号为dy/dx 或f'(x)解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
1.3 导数的计算法则强调导数的计算法则：导数的计算遵循一些基本的法则，如四则运算法则、链式法则、幂函数法则等。
第二章：导数的计算2.1 常数函数的导数证明常数函数的导数为0：由于常数函数的图像为水平线，其斜率为0，导数为0。
2.2 幂函数的导数推导幂函数的导数公式：对于函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1) 2.3 指数函数与对数函数的导数引入指数函数的导数：对于函数f(x) = a^x，其中a 是常数，其导数为f'(x) = a^x ln(a)引入对数函数的导数：对于函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x第三章：可导条件3.1 连续性是可导的条件之一解释连续性是可导的条件：函数在某一点连续是其在该点可导的必要条件，但不是充分条件。
3.2 不同的iable性是可导的条件之一介绍不同的iable性：函数在某一点可导的充分必要条件是其在该点不同的iable，即存在极限。
3.3 导数的极限性是可导的条件之一解释导数的极限性：函数在某一点可导的充分必要条件是其在该点的导数存在极限。
第四章：导数的应用4.1 函数的单调性解释单调性的概念：函数在某个区间内单调递增或单调递减，即导数的符号不变。
4.2 函数的极值介绍极值的概念：函数在某一点取得局部最大值或最小值，即导数为0的点。
4.3 函数的图像分析利用导数分析函数图像：通过导数的正负变化来判断函数的单调性、极值等性质。
第五章：练习题提供一些有关导数定义及可导条件的练习题，让学生巩固所学知识。
导数的概念及运算(教案)
铭智教育一对一个性化教案学生姓名教师姓名授课日期授课时段课题导数的概念与运算重难点1.导数的概念2.导数的运算3.导数的几何意义教学步骤及教学内知识点梳理1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)－f(x1)x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，教育要对民族的未来负责教育要对民族的未来负责容切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.4． 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝__0__ f (x )＝x α (α为实数)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x f ′(x )＝ 1xf (x )＝tan x f ′(x )＝1cos 2xf (x )＝cot xf ′(x )＝－1sin 2x5. 导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [难点正本 疑点清源]1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；(2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一教育要对民族的未来负责点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1． f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________．答案 3解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.2. 如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______. 答案 2解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2. 3．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________. 答案 －2解析 由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.4． 已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于3x －y ＝0，则点P 的坐标为________．答案 (1,0)解析 由题意知，函数f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f (x )中可得P (1,0)．5． 曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________________________．教育要对民族的未来负责答案 y ＝2x ＋1解析 易知点(－1，－1)在曲线上，且f ′(x )＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴切线斜率f ′(－1)＝21＝2.由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键． 解 f ′(x 0)＝lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0 (x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20.曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．探究提高 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δf Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1； (3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →0ΔfΔx. 利用导数的定义，求：(1)f (x )＝1x在x ＝1处的导数；教育要对民族的未来负责(2)f (x )＝1x ＋2的导数．解 (1)∵Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx－1Δx＝1－1＋ΔxΔx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx )＝－ΔxΔx (1＋Δx ＋1＋Δx )＝－11＋Δx ＋1＋Δx ，∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ＋1＋Δx＝－12.(2)∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx＝(x ＋2)－(x ＋2＋Δx )Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx ) ＝－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )， ∴f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)2. 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)．思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．教育要对民族的未来负责解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， 因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.探究提高 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．求下列各函数的导数：(1)y ＝11－x ＋11＋x ；(2)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ；(3)y ＝(1＋sin x )2； (4)y ＝ln x 2＋1.解 (1)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.教育要对民族的未来负责(2)∵y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .(3)设u ＝1＋sin x ，则y ＝(1＋sin x )2， 由y ＝u 2与u ＝1＋sin x 复合而成．因此y ′＝f ′(u )·u ′＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )． (4)y ′＝(lnx 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12(x 2＋1)－12·(x 2＋1)′＝xx 2＋1. 题型三 导数的几何意义 例3 已知曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．思维启迪：求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程． 解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43上，且f ′(x )＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为f ′(2)＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为f ′(x 0)＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，教育要对民族的未来负责∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为x 20＝1，x 0＝±1. 切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.探究提高 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．已知抛物线y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴抛物线在点Q (2，－1)处的切线斜率为k ＝f ′(2)＝4a ＋b .∴4a ＋b ＝1.① 又∵点P (1,1)、Q (2，－1)在抛物线上，∴a ＋b ＋c ＝1， ② 4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.一审条件挖隐含教育要对民族的未来负责典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1① ↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ② ↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52教育要对民族的未来负责↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516.[9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.教务处签字：日期：年月日课后评价一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○差二、教师评定1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差作业布置飞.s.5.u.1112百日学案：专题十二飞百1教师留言教师签字：教育要对民族的未来负责家长意见家长签字：日期：年月日教育要对民族的未来负责。
高中数学导数的概念教案
高中数学导数的概念教案
一、教学目标：
1. 理解导数的定义及其物理意义；
2. 掌握导数计算的方法和规则；
3. 能够应用导数解决实际问题；
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点：
1. 理解导数的定义及其物理意义；
2. 导数计算的方法和规则；
3. 实际问题应用。
三、教学内容与安排：
第一课时：导数的基本概念
1. 定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率；
2. 物理意义：导数表示了函数的变化速率，可以用来解释速度、加速度等物理现象；
3. 讨论导数存在的必备条件。
第二课时：导数的计算方法
1. 导数的计算法则：和、差、积、商、复合函数的导数；
2. 高阶导数的计算方法；
3. 计算导数的基本技巧。
第三课时：导数的应用
1. 利用导数求函数的极值；
2. 利用导数解决优化问题；
3. 利用导数解决曲线的切线问题。
四、教学方法：
1. 讲授相结合，引导学生主动探究；
2. 注重示范和实例讲解，提高学生的问题解决能力；
3. 课堂小组讨论，促进学生之间的合作与交流。
五、教学评价：
1. 课堂练习与作业；
2. 实际问题解决能力的考核；
3. 学生的课堂表现和参与度。
六、教学反思：
1. 根据学生的理解情况调整教学内容和节奏；
2. 激发学生的学习兴趣，增强学生的主动学习意识；
3. 关注学生的学习过程，及时给予反馈和帮助。
《导数的概念教案》
《导数的概念教案》word版第一章：导数的概念1.1 导入利用实际例子引入变化率的概念，如物体运动的速度、温度变化等。
引导学生思考如何描述函数在某一点的“变化率”。
1.2 导数的定义介绍导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
1.3 导数的计算介绍导数的计算方法：极限法、导数的基本公式、导数的运算法则。
强调导数计算中需要注意的问题，如函数的连续性、可导性等。
1.4 导数的应用介绍导数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理运动问题等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第二章：导数的性质与法则2.1 导数的性质介绍导数的性质，如单调性、连续性、可导性等。
通过实例引导学生理解导数性质的应用。
2.2 导数的运算法则介绍导数的运算法则，如四则运算法则、复合函数运算法则等。
利用导数的运算法则进行函数求导。
2.3 导数的应用利用导数研究函数的单调性、极值、拐点等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第三章：函数的单调性与极值3.1 函数的单调性介绍函数单调性的概念，如何判断函数的单调性。
利用导数判断函数的单调性。
3.2 函数的极值介绍函数极值的概念，如何求解函数的极值。
利用导数求解函数的极值。
3.3 函数的拐点介绍函数拐点的概念，如何求解函数的拐点。
利用导数求解函数的拐点。
第四章：导数在实际问题中的应用4.1 运动物体的瞬时速度与加速度利用导数求解运动物体的瞬时速度与加速度。
解释瞬时速度与加速度的概念及物理意义。
4.2 函数的最值问题利用导数求解函数的最值问题。
解释最值问题的实际意义，如成本最小化、收益最大化等。
4.3 曲线的切线与法线利用导数求解曲线的切线与法线。
解释切线与法线的概念及几何意义。
第五章：高阶导数与隐函数求导5.1 高阶导数介绍高阶导数的概念，如何求解高阶导数。
强调高阶导数在实际问题中的应用，如加速度与瞬时加速度的关系。
导数的初步运算教案
导数的初步运算教案教案标题：导数的初步运算教案教学目标：1. 了解导数的定义和基本概念。
2. 掌握导数的初步运算规则。
3. 能够运用导数的初步运算规则解决相关问题。
教学内容：1. 导数的定义和基本概念a. 导数的定义：导数表示函数在某一点处的变化率，可以用极限的概念进行定义。
b. 导数的几何意义：导数表示函数曲线在某一点处的切线斜率。
c. 导数的符号表示：使用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
d. 导数的计算方法：使用极限的定义或运用导数的基本运算规则进行计算。
2. 导数的初步运算规则a. 常数规则：常数的导数为0。
b. 幂函数规则：求导幂函数时，指数不变，底数乘以指数再减1。
c. 和差规则：求导和函数的导数等于分别求导再相加。
d. 积法则：求导积函数时，使用乘法法则进行计算。
e. 商法则：求导商函数时，使用除法法则进行计算。
教学步骤：1. 导入导数的定义和基本概念，引发学生对导数的兴趣。
2. 通过示例和练习，讲解导数的初步运算规则，确保学生理解和掌握。
3. 给予学生一些简单的导数计算练习，帮助他们熟悉和掌握运用导数的初步运算规则。
4. 引导学生运用导数的初步运算规则解决实际问题，培养他们的问题解决能力。
5. 结合课堂讨论和练习，对学生进行评价和反馈，帮助他们加深对导数的初步运算规则的理解和应用。
教学资源：1. 导数的定义和基本概念的讲义或教材。
2. 导数的初步运算规则的讲义或教材。
3. 导数计算的练习题集。
4. 实际问题解决的练习题集。
评估方法：1. 课堂练习：通过课堂上的练习题，检查学生对导数的初步运算规则的掌握程度。
2. 实际问题解决：通过实际问题的解决过程和答案，评估学生运用导数的初步运算规则解决问题的能力。
3. 课堂讨论和互动：通过课堂上的讨论和互动，评估学生对导数的初步运算规则的理解和应用能力。
拓展活动：1. 邀请学生研究更复杂的导数运算规则，如复合函数的导数、反函数的导数等。
《导数的概念教案》
《导数的概念教案》word版一、教学目标：1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法及应用；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
二、教学内容：1. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的瞬时变化率；2. 导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数；3. 导数的应用：求函数的极值、单调性、曲线的凹凸性等。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义、计算方法及应用；2. 难点：导数的计算规则、复合函数的导数、导数在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解导数的定义、计算方法和应用；2. 利用例题解析，让学生掌握导数的计算技巧；3. 开展小组讨论，引导学生将导数应用于实际问题。
五、教学过程：1. 导入：回顾函数的概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率；2. 讲解导数的定义，通过图形和实例使学生理解导数的物理意义；3. 讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数；4. 利用例题解析，让学生掌握导数的计算技巧；5. 开展小组讨论，引导学生将导数应用于实际问题；6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。
教案内容仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评估：1. 课后作业：布置有关导数计算和应用的习题，巩固所学知识；2. 课堂练习：及时反馈学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导；3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现，了解学生的理解程度和团队合作能力。
七、教学拓展：1. 导数在实际应用中的例子：如优化问题、物理运动方程等；2. 导数与其他数学概念的联系：如微分方程、泰勒公式等；3. 导数在高等数学中的作用：如多元函数的导数、隐函数的导数等。
八、教学资源：1. 教材：选用合适的教材，如《高等数学》、《数学分析》等；2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示；3. 习题库：整理一份全面的习题库，便于学生课后练习。
导数的概念与运算教案
导数的概念与运算教案江苏省海州高级中学 佟成军（222023）一、 教案背景1、面向学生：高中 学科：数学2、课时：13、学生课前准备： （1）记忆导数的概念。
（2）根据课本，自学利用导数的概念进行运算。
二、 教学课题:了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．通过变式辨析问题的异同，提高对导数的认识，形成导数的一般的应用方法，养成严谨的、辩证的思维习惯。
三、教材分析：了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．通过变式辨析问题的异同，提高对导数的认识，形成导数的一般的应用方法，养成严谨的、辩证的思维习惯。
【教学目标】 1、知识与技能：（1）了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义．（2）能根据导数定义，求函数y c =，y x =，2y x =，1y x=，y （3）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．2、过程与方法：预习回顾导数的概念、公式、几何意义，对照、比较、归纳解决问题的方法、规律．3、情感态度与价值观：通过变式辨析问题的异同，提高对导数的认识，形成导数的一般的应用方法，养成严谨的、辩证的思维习惯． 【教学重点】导数的运算及导数几何意义的应用． 【教学难点】 导数的切线问题． 【考纲要求】导数的概念（A 级），导数的几何意义（B 级），导数的运算（B 级）． 【考题示例】1、（2007年江苏高考第9题）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 （ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．322、（2008年江苏高考第8题）直线b x y +=21是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ．ln 21-3、（2009年江苏高考第9题）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．(2,15)-y()y f x =()y f x '=1 【考试说明典型题示例】1、（2010年考试说明第59页第16题）设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=． （1）求()f x 的解析式；3()f x x x=-（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =及直线y x =所围成的三角形的面积是一个定值，并求此定值．6设计意图：通过高考题和典型题示例使学生首先感受高考题的考查形式、内容、方法及相应难度，使之明确这部分内容的重点． 【知识梳理】见选修2—2课本第5—27页 1、 导数的概念： 2、 导数的几何意义：3、基本初等函数的导数公式（见学案）4、导数运算法则（见学案）设计意图：使学生能够认识基础的概念在课本上，要重视基础知识的掌握． 6、已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= ．【自学质疑】 1、函数()f x =00[,]x x x +∆上的平均变化率yx∆=∆ ，在0x x =时的瞬时变化率等于．2、一质点M 的运动方程为21S t =+（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在2 s 到2t +∆s 的平均速度st∆=∆ ，质点M 在2 s 时的速度2|t S ='= ．4x +∆m/s ，4 m/s 3、（1）2(log )x '= ；（2）(3)x'= ；（3）(cos )x '-= ； （4）(sin 2)x '= ．4、函数233x y x +=-+在3x =处的导数为 ．23-5、已知函数()y f x =在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ． 变式：如图，已知函数()y f x =及其导函数()y f x '= 的图象，则在点(1,0)P 处的切线方程_____． 链接：选修课本2—2第26页第12题．（对数学符号、图象语言的准确理解、转化、把握） 6、已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= ．追问：(1)f '的含义及作用，采用了什么方法（赋值法）？还可以求()f x '，强调把握数学符号． 7、点P 在曲线312y x x =-+上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ．变式：在函数38y x x =-图象上，其切线倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点个数为 . （导数的几何意义与直线斜率以及倾斜角的关系，关注逆向问题的差异性，注意） 8、设曲线ln(21)y x =-上点到直线230x y -+=距离为d ，则min d = . 变式：设曲线ln(21)y x =-上点到直线270x y --=距离为d ，则min d = . （提示：曲线ln(21)y x =-与直线270x y --=相交，故min 0d =.能够应用数形结合的思想，并注意解题过程的监控）设计意图：使学生能够熟悉概念、公式，变式是为了对照比较问题的异同演变． 【学习过程】例1、求下列函数在0x x =处导数． （1）230()cos sin cos ,3f x x x x x π=⋅+=；（2）20()sin(12cos ),246x x f x x π=--=；（3）0()2x xf x x ==；（4）3202ln (),1x x xf x x x+==．设计意图：使学生熟悉求导公式应用的同时，能够体会解本题时的步骤合理性——应该是先化简，后求导，再代入，即将问题的形式尽可能转化到我们熟悉的形式，能够直接应用形成的公式、结论，不要再去重复课本上已经做过的工作．以期培养学生求简优化的解题意识． （回溯到自学质疑6） 例2、已知曲线31433y x =+． （1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程； （3）求满足斜率为4的曲线的切线方程．我们所做的都是点在曲线上的题目，若点不在曲线上如何求解？ 变式1：求曲线过点(0,4)R -的切线方程． 变式2：若直线44y x =-与曲线313y x b =+相切，则实数b 的值为_____________.设计意图：原题是点(2,4)P 在曲线上，而变式1中点(0,4)R -不在曲线上.其实无论点是否在曲线上，都要能够意识到：要求切线，先找切点．使学生熟悉导数的几何意义，能够求曲线的不同条件下的切线问题，变式更是为了对照比较后能够更好地理解掌握求切线问题的一般方法及步骤：一般地，若曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线为y kx b =+，则满足00000,(),().y kx b y f x k f x =+⎧⎪=⎨⎪'=⎩即切点处于核心枢纽的地位，是一点三位的.（本题是具体函数的切线问题，可以回溯到自学质疑5及其变式，研究抽象函数的的切线问题，进而再到自学质疑8及其变式，关注导数几何意义的应用）例3、向底面半径与高相等的圆锥形容器中注水，速度为39cm /s π，在水面高度为10cm 时，水面上升的速度为 .变式：若以n 立方厘米/秒的速度向一底面半径为r 厘米，高为h 厘米的倒立圆锥容器内注水，求在注水t 秒时，水面上升的速率． 变式的演绎（一般到特殊）：选修课本2—2第40页第3题． 设计意图：本例是导数的求导公式的应用问题. 【巩固检测】1、已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a = ．2、曲线2ln xx x y e e=-在点2x =处的切线斜率为 ．3、过原点作曲线xy e =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．4、设点P是曲线32y x =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 ．5、已知直线21y x =+与曲线3y x x b =-+相切，则b 的值为 ．6、曲线32y x x =+-在点A 处的切线平行于直线4y x =，则点A 的坐标是 ． 7、设010()sin ,()()f x x f x f x '==，211()(),,()()n n f x f x f x f x +''== ，则2009()f x = . 8、已知函数()()sin cos 2f x f x x π'=+，则()4f π= ．9、水波的半径以50cm/s 的速度向外扩张，当半径为250cm 时，圆面积的膨胀率是 .10、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 ． 11、已知函数32()(,)f x x ax b a b =-++∈R ，若曲线[])1,0)((∈=x x f y 在其上任意一点处的切线的斜率均在区间[]1,0内，试求a 的取值范围.12、已知0a >，曲线33y x a =-在11(0)x x x =>处的切线为l . （1）求l 的方程；（2）设l 与x 轴的交点为2(,0)x ，求证：①2x a ≥；②若1x a >，则21x x <.设计意图：巩固本节课所学内容. 【目标反思】设计意图：新课程的理念下，教师不是教教材，而是用教材教，新课程突出了教师在课程建设中的重要作用。
高三数学教案范文：导数的概念及其运算
高三数学教案范文：导数的概念及其运算教案标题：导数的概念及其运算教学目标：1. 理解导数的概念及其运算；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的概念；2. 导数的计算方法。
教学难点：1. 导数的计算方法。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念：导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点的变化速率。
导数的概念和计算方法在解决实际问题中具有重要应用。
二、提出问题（5分钟）1. 通过实例引出导数的计算方法：假设有一段直线走进山谷，我们想知道在每个位置上，直线的斜率是多少？三、导数的定义（10分钟）1. 定义导数（以函数f(x)为例）：函数f(x)在某一点x=a处的导数，记作f'(a)，表示函数曲线在点(x=a, f(a))处的切线的斜率。
2. 根据导数的定义，讨论导数的几何意义：导数表示函数曲线在某一点上的切线的斜率，也反映了函数在该点的变化趋势。
四、导数的计算方法（15分钟）1. 导数的计算方法：使用导数的定义，通过极限过程求得导数。
2. 计算导数的示例：（1）求常数函数的导数；（2）求多项式函数的导数；（3）求分式函数的导数。
五、导数运算法则（15分钟）1. 导数运算法则：（1）和法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；（2）积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；（3）商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2；（4）复合函数的导数：若y=f(u)，u=g(x)，则y的导数为dy/dx = dy/du * du/dx。
六、应用导数解决实际问题（10分钟）1. 利用导数求函数的增减性和极值；2. 通过实例讲解应用导数解决实际问题的方法。
高一数学课程教案导数的定义与基本运算法则
高一数学课程教案导数的定义与基本运算法则教案：高一数学课程导数的定义与基本运算法则导数是高等数学中一个重要的概念，它是微积分的基础，也是计算变化率和切线斜率的关键工具。
在本节课中，我们将学习导数的定义以及一些基本运算法则，为以后的微分学学习奠定基础。
一、导数的定义导数描述了一个函数在某一点处的变化率。
具体来说，对于函数 y= f(x)，导数可以定义为函数在某一点 x=a 处的极限，表示为 f'(a) 或dy/dx |x=a。
二、导数的计算方法1. 通过极限求导要计算导数，我们通常使用的方法是通过极限求导，即求取极限的过程。
对于给定的函数f(x)，导数可以表示为lim(x->a) [f(x)-f(a)]/(x-a)，其中 a 是指定的点。
2. 常用函数导数求法对于常见的函数，我们可以利用一些常用函数的导数求法来计算导数，这些常用函数的导数求法可以通过基本的运算法则和已知的导数公式来推导。
a. 常数函数导数对于常数函数 y = c，其中 c 为常数，其导数等于 0，即 dy/dx = 0。
b. 幂函数导数对于幂函数y = x^n，其中 n 为正整数，其导数为 dy/dx = nx^(n-1)。
c. 指数函数导数对于指数函数 y = e^x，其导数为 dy/dx = e^x。
d. 对数函数导数对于对数函数 y = log_a(x)，其中 a 为正数且a ≠ 1，其导数为 dy/dx = 1/(xln(a))。
e. 三角函数导数对于三角函数，其导数可以通过以下公式计算：- 正弦函数导数：d(sin x)/dx = cos x- 余弦函数导数：d(cos x)/dx = -sin x- 正切函数导数：d(tan x)/dx = sec^2 xf. 反三角函数导数对于反三角函数，其导数可以通过以下公式计算：- 反正弦函数导数：d(arcsin x)/dx = 1/√(1-x^2)- 反余弦函数导数：d(arccos x)/dx = -1/√(1-x^2)- 反正切函数导数：d(arctan x)/dx = 1/(1+x^2)三、导数的基本运算法则1. 常数乘法规则导数的常数乘法规则表明，如果 y = kf(x)，其中 k 为常数，则dy/dx = k*dy/dx。
高二数学导数的定义与计算的优秀教案范本
高二数学导数的定义与计算的优秀教案范本第一节：导数的定义在数学中，导数是用来衡量函数在某一点的变化率的概念。
导数的定义如下：设函数f(x)在点x=a附近有定义，若极限lim (f(x) - f(a))/(x - a) 存在，那么称之为函数f(x)在a点的导数，记作f'(a)，即f'(a) = lim (f(x) - f(a))/(x - a)。
导数的定义可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，也可以表示函数曲线上的切线斜率。
第二节：导数的计算法则为了能够方便、快速地计算函数的导数，我们有一些常用的导数计算法则：1. 常数法则：如果c是一个常数，那么对于任意的x，有d(c)/dx = 0。
2. 基本初等函数的导数法则：a) 反比例函数法则：对于y = 1/x，有d(y)/dx = -1/x^2。
b) 幂函数法则：对于y = x^n，有d(y)/dx = nx^(n-1)。
c) 指数函数和对数函数法则：对于y = a^x，有d(y)/dx = a^x *ln(a)；对于y = ln(x)，有d(y)/dx = 1/x。
d) 三角函数法则：对于y = sin(x)，有d(y)/dx = cos(x)；对于y = cos(x)，有d(y)/dx = -sin(x)；对于y = tan(x)，有d(y)/dx = sec^2(x)。
3. 导数的四则运算法则：a) 和差法则：若f(x)和g(x)都在点x=a处可导，则(f(x) + g(x))' = f'(a) + g'(a)，(f(x) - g(x))' = f'(a) - g'(a)。
b) 积法则：若f(x)和g(x)都在点x=a处可导，则(f(x) * g(x))' = f'(a) * g(a) + f(a) * g'(a)。
c) 商法则：若f(x)和g(x)都在点x=a处可导，且g(a) ≠ 0，则(f(x) / g(x))' = (f'(a) * g(a) - f(a) * g'(a))/[g(a)]^2。
高中数学备课教案导数与导数应用的基本概念
高中数学备课教案导数与导数应用的基本概念备课教案：导数与导数应用的基本概念一、引言导数作为微积分的基础知识，既是高中数学的难点又是重点。
为了帮助学生更好地掌握导数的基本概念和应用，本次备课教案将从以下三个方面进行：1.导数的定义及其基本概念；2.导数的计算方法；3.导数在实际问题中的应用。
二、导数的定义及其基本概念1.导数的定义导数是用来描述函数在某一点处的变化率的概念，也叫做函数的斜率。
2.导数的基本概念导数是函数变化率的极限，求导运算是一个基本的微积分运算，算出导数可以确定函数的变化趋势。
导数的符号表示为f’(x)，表示函数f(x)在点x处的导数。
3.导数的性质导数具有如下性质：（1）导数可以是正的、负的或零，分别表示函数在该点上升、下降或不变。
（2）如果函数单调递增，那么导数始终是非负的；如果函数单调递减，那么导数始终是非正的。
（3）导数唯一，函数的导数有唯一的值。
（4）导数具有可加性，也就是说，对于两个函数的和，它们导数的和等于这两个函数导数的和。
三、导数的计算方法1.导数的基本计算法则导数的基本计算法则有如下几个：（1）常数规则：对于常数函数，其导数始终为零。
（2）幂函数规则：求幂函数的导数，可以直接使用以下公式：f’(x) = n * x^(n-1)。
（3）指数函数规则：求指数函数的导数，可以直接使用以下公式：f’(x) = a^x * ln(a)。
（4）和、差、积的导数：设f(x)和g(x)的导数分别为f’(x)和g’(x)，则有以下公式：(i)和的导数：(f + g)’(x) = f’(x) + g’(x)(ii)差的导数：(f - g)’(x) = f’(x) - g’(x)(iii)积的导数：(f * g)’(x) = f’(x) * g(x) + f(x) * g’(x)2.导数的高级计算法则为了更快速地求导，有一些高级的导数计算法则也可以使用：（1）复合函数法则：设g(x) = u(f(x))，则g’(x) = u’(f(x)) * f’(x)。
导数运算的教案
导数运算的教案教案标题：导数运算的教案教学目标：1. 理解导数的概念和意义。
2. 掌握导数运算的基本规则和方法。
3. 能够应用导数运算解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法。
2. 导数运算的基本规则。
3. 应用导数运算解决实际问题。
教学难点：1. 理解导数的概念和意义。
2. 掌握导数运算的基本规则和方法。
3. 运用导数解决实际问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：课件、教材、黑板、白板、书写工具等。
2. 学生准备：教材、笔记本、铅笔、计算器等。
教学过程：Step 1: 导入导数的概念（15分钟）1. 教师向学生介绍导数的概念，解释导数在数学中的重要性和应用领域。
2. 通过具体例子引导学生思考导数的意义，并与实际问题联系起来。
Step 2: 导数的定义和计算方法（30分钟）1. 教师介绍导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。
2. 通过图示和实例演示导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数的两种方法。
3. 强调导数的符号表示和几何意义。
Step 3: 导数运算的基本规则（30分钟）1. 教师向学生介绍导数运算的基本规则，包括常数倍规则、和差规则、乘积规则和商规则。
2. 通过具体例子演示每个规则的应用和计算步骤。
3. 强调规则的正确使用和注意事项。
Step 4: 应用导数运算解决实际问题（30分钟）1. 教师提供一些实际问题，如最值问题、曲线的切线问题等，引导学生运用导数运算解决问题。
2. 学生进行个人或小组练习，并在黑板上展示解题过程和答案。
3. 教师进行点评和总结，强调导数运算在解决实际问题中的应用。
Step 5: 总结与拓展（15分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调导数运算的重要性和应用。
2. 提供一些拓展问题，让学生继续巩固和拓展所学内容。
3. 鼓励学生积极参与讨论和思考，激发他们对数学的兴趣和求知欲。
教学评估：1. 教师通过课堂练习和黑板展示学生的解题过程和答案，对学生的掌握情况进行评估。
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导数的概念与基本运算1．导数的概念设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，自变量x 在点x 0有增量△x ，函数y ＝f (x )相应有增量△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)，比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00是函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋△x 的平均变化率。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，则称函数y ＝f (x )在点x 0处有导数（又称可导），而这个极限值就叫做函数y ＝f (x )在点x 0处的导数（或变化率），记作f ' (x 0)或y'|0x x =，即)(x f '=x yx ∆∆→∆0lim＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000。
2．导数概念的某些实际背景瞬时速度是导数概念的一个物理背景，切线的斜率是导数概念的一个几何背景。
3．求导数的方法导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用。
教科书上只介绍了两个求导公式：C'=0，及()n x'=（n 为正整数）；两个法则：[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g '(x)， [Cf（x ）]'=C f '(x) 。
根据定义不难证明上述两个法则：[f(x)±g(x)]'=== ±=()f x '()g x '±；()Cf x '⎡⎤⎣⎦0lim x C ∆→==()Cf x '。
有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了。
另外，∵=≈，∴当△x 很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。
（1）几种常用函数的导数公式如下：C ′=0（C 为常数）； (x m )′=mx m-1(m ∈Q)； (sin x )′=cos x ； (cos x )′= -sin x ； (e x )′= e x ； (a x )′= a xln a (ln x )′=x 1； (log a x )′=x1log a e （2）两个函数四则运算的导数(u +v )′=u ′+v ′； (uv )′=v u v u '+'； )0()(2≠'-'='v v v u v u v u 。
注意事项1．在导数的定义中，应注意：⑴当△x →0时，xy∆∆有极限是函数y ＝f (x )在点x 0处有导数的前提，不可忽视。
⑵函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，是借助于函数的极限来定义的，这时△x 是自变量，x 0是事先固定好的，是常量，而xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00是△x 的函数，导数f ' (x 0)就是自变量△x 无限趋近于0时，函数xy∆∆的极限。
（3）要注意函数的变化（增量），变化率（增量之比），局部变化率（求增量比的极限）的区别。
2．导数的另一个定义式令x ＝x 0＋△x ，得△x ＝x －x 0，于是f ' (x 0)＝00)()(limx x x f x f x x --→，它与f ' (x 0)＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000是一个意思。
3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ' (x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点M(x 0，f (x 0))处的切线的斜率。
4．导函数与在一点处的导数的区别与联系在点x 处求得的函数f ' (x )是随着点x 而变的，所以f ' (x )又可以看成x 的一个新的函数，称为原来的函数y ＝f (x )的导函数，简称导数。
函数f (x )的导数仍然是一个函数，而函数f (x )在定点x 0的导数则是一个常数。
f (x )在点x 0处的导数就是导函数f ' (x )在点x 0处的函数值。
导函数简称导数，如不特别指明求某一点处的导数，求导数就是指求导函数。
5．函数的可导性与连续性的关系函数y ＝f (x )在点x 0处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。
即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。
因此若函数f (x )在点x 0处不连续，则f (x )在点x 0处必不可导。
典型例题讲评例1．n ∈N * ，求函数y=x —n （x≠0）的导函数 分析：我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。
解： y'====－=－=－ .说明：这与n 为正整数时(x n )'= 法则相合（即以－n 代n ，即得上式），这会使我们猜测α∈R 时，=α，这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与上面的方程不同（不能再用二项式定理了）.例2．求证：若函数f (x )在点x 0处可导，则f (x )在点x 0处连续。
分析：运用可导和连续的概念。
解：设x =x 0+△x ，当0x x →时，0→∆x 。
∵函数f (x )在点x 0处可导，∴)(x f '＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，∴[])()()(lim )(lim )(lim 0000000x f x f x x f x x f x f x x x +-∆+=∆+=→∆→∆→∆ =)]()()([lim 0000x f x xx f x x f x +∆⋅∆-∆+→∆ =)(lim )()(lim 00000x f x xx f x x f x x +∆⋅∆-∆+→∆→∆=)(0)(00x f x f +⋅'=f （x 0）。
∴)()(lim 00x f x f x x =→，即f (x )在点x 0处连续。
例3．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离S=12gt 2其中t 为经历的时间，g=9.8m/s 2， 若V==g=9.8m/s ，则下列说法正确的是（ ）（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8m/s. （B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8m/s. （C ）在1s 末的速率为9.8m/s（D ）若△t ＞0，则9.8m/s 是1～1+△ts 时段的速率. 若△t ＜0，则9.8m/s 是1+△ts ～1时段的速率.分析：本题旨在强化对导数意义的理解，无论是从极限的本质，还是从导数的物理意义考虑，都应选（C ），但值得指出的是：中的△t 可正可负.答案：（C ）例4。
求下列函数的导数：（1）y =(1-x )(1-2x )； （2）y=(5x -4)3；（3）y =4x+ x 4-ln4； （4）y =ln(21x +-x )。
分析：根据函数的四则运算求导法则和复合函数求导法则进行求导。
解：（1）y ′=-(1-2x )-2(1-x )= 4x -3。
说明：也可以先将表达式化为y =1-3x +2x 2，再求导。
（2）y ′=3(5x -4)2·5=15(5x -4)2。
（3）y ′=4x ln4 + 4x 3-0=4x ln4+ 4x 3。
（4）y ′=xx -+211·(1211212-⋅+x x )=-211x+。
例5．定义在（α、β）上的函数f(x)满足f(1)=2，f ' (1)=3. （α＜1＜β）.（1）求 的值;（2）求 的值分析：本题无具体的函数解析式，但所求两极限的形式很象导数的定义，故应该往导数定义的形式上去凑，这就需要设法把x→1转化为△x→0的形式.解：（1） ＝＝ （f(x)+2）f '(1)0lim x ∆→ [f(1+△x)+2]= f '(1)·(f(1)+2)=3·(2+2)＝12；（2）＝()1x +f '(1)0lim x ∆→ (1+1)=6.例6．已知f(x)=(x －a)(x －b)，g(x)=cx+d.（a 、b 、c 、d 为常数），G(x)=f(x)g(x). 求证：G'x=f'xg(x)+f(x)g'(x) 解：f(x)=x 2－(a+b)x+ab ()f x '=2x －(a+b). ()g x '=c∴()f x 'g(x)+f(x) ()g x '=[2x －(a+b)](cx+d)+c(x 2－(a+b)x+ab)=3cx 2+2(d －ac －bc)x+abc －ad －bd.又G(x)=[x 2－(a+b)x+ab](d+cx)=cx 3+(d －ac －bc)x 2+(abc －ab －bd)x+abd. ∴G'(x)=3cx 2+2(d －ac －bc)x+abc －ad －bd ∴G'(x)= ()f x 'g(x)+f(x) ()g x '.例7．（1）（1982年·全国高考试题）求y=cos 23x的导数；（2）（1987年·全国高考附加题）设y = x ln(1+x 2)，求y ′。
分析：（1）根据复合函数求导法则进行求导。
解：（1）y'=2cos3x ·(cos 3x )′=-2 cos 3x sin 3x ·(3x )′=-32 os 3x sin 3x =-32sin 31x。
（2）y'=ln(1+x 2)+2212x x +。
例8．（1）已知函数y =xx x x x 4323--+，求1|='x y（2）设f (x ) =x x )11(+，求)21(f '。
分析：（1）先将函数化为几个指数函数的和，再求导；（2）先将f (x )化为以e 为底的复合指数函数，再求)(x f '，最后求值。
解：（1）∵y = 2312123432-----+xx xx ，∴y ′=2522321)23(4)1()21(3232----⋅----⋅+⋅x x x x =25223216233---++-x x x x 。
∴1|='x y =252232116112313---⋅++⋅-⋅=217；(2)∵f (x )= )11ln(xx e+，∴)(x f '=)11ln(xx e +[)11ln(x x +]′=x x )11(+[)11ln(x++xx x 1112+-⋅]=x x )11(+[)11ln(x +-11+x ]。
∴)323(ln 3)21(-='f 。
说明：第（1）题如果直接用四则运算求导法则求导，将增加运算量。