第43课时 简单的线性规划

题组层级快练(四十三)1．(2017·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3)答案 C解析 点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C.2．(2017·浙江宁波调研)二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0，0≤x ≤4表示的平面区域是( )A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形答案 D解析 由(x －y ＋3)(x ＋y)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ＋y ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，x ＋y ≤0，且0≤x ≤4，表示的区域如图阴影部分所示，故所求平面区域为等腰梯形，故选D.3．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)答案 C解析 作出可行域如图．图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝12x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－23.4．(2016·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( ) A ．－4 B ．6 C ．10 D ．17答案 B解析 通性通法：如图，已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0，2)，B(3，0)，C(1，3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B(3，0)时，z 取得最小值2×3＋5×0＝6.光速解法：由题意知，约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域的顶点分别为A(0，2)，B(3，0)，C(1，3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10，6，17，故z 的最小值为6.5．(2015·安徽，文)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．1答案 A解析 作出满足条件的可行域，如图中阴影部分所示，易知在点A(1，1)处，z 取得最大值，故z max ＝－2×1＋1＝－1.6．(2017·贵阳监测)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．[53，5]B ．[0，5]C ．[53，5)D ．[－53，5)答案 D解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．7．(2017·南昌调研)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y|的最大值为( )A ．10B ．8C ．6D ．4答案 B解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，所表示的平面区域如图中阴影部分所示．当平移直线x －3y ＝0过点A 时，m ＝x －3y 取最大值； 当平移直线x －3y ＝0过点C 时，m ＝x －3y 取最小值．由题意可得A(－2，－2)，C(－2，2)，所以m max ＝－2－3×(－2)＝4，m min ＝－2－3×2＝－8，所以－8≤m ≤4，所以|m|≤8，即z max ＝8.8．(2014·安徽，理)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1答案 D解析 作出约束条件满足的可行域，根据z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解．如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a>0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a<0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.9．(2015·福建)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 C解析 如图所示，目标函数z ＝2x －y 取最大值2即y ＝2x －2时，画出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，表示的区域，由于mx －y ≤0过定点(0，0)，要使z ＝2x －y 取最大值2，则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A(2，2)，因此直线mx －y ＝0过点A(2，2)，故有2m －2＝0，解得m ＝1.10．(2017·泉州质检)已知O 为坐标原点，A(1，2)，点P 的坐标(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y|≤1，x ≥0则z ＝OA →·OP →的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 D解析 作出可行域如图中阴影部分所示，易知B(0，1)，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，显然当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，且z max ＝2.故选D.11．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －2）2≤1，x －y －1≥0，则z ＝yx －2的最小值为( )A ．3＋ 2B ．2＋ 2 C.34 D.43答案 C解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．目标函数z ＝yx －2＝y －0x －2表示在可行域取一点与点(2，0)连线的斜率，可知过点(2，0)作半圆的切线，切线的斜率为z ＝yx －2的最小值，设切线方程为y ＝k(x －2)，则A 到切线的距离为1，故1＝|k －2|1＋k 2.解得k ＝34.12．(2016·浙江，理)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB|＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6答案 C解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C(2，－2)，D(－1，1)，所以|AB|＝|CD|＝（2＋1）2＋（－2－1）2＝3 2.故选C.13．(2016·课标全国Ⅱ，文)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________． 答案 －5解析 通性通法：作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y＝12x 并平移，观察可知，当直线经过点A(3，4)时，z min ＝3－2×4＝－5.光速解法：因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得z min ＝－5.14．(2016·课标全国Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 答案 216 000解析 由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．15．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax(a ∈R )．若z 取最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 作出可行域，可行域为三条直线所围成的区域，则它的最大值在三条直线的交点处取得，三个交点分别为(1，3)，(7，9)，(3，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a>9－7a ，3－a>1－3a.所以a>1.16．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个、乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总用料面积最省？ 答案 A ，B 两种金属板各取5张．解析 设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，总用料面积为z ， 则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ，y ∈N ，目标函数z ＝2x ＋3y.作出不等式组的可行域，如图所示．将z ＝2x ＋3y 化成y ＝－23x ＋z 3，得到斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z 变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上点M 时，截距最小，z 取得最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得点M 的坐标为(5，5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25.所以两种金属板各取5张时，总用料面积最省．1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．(0，4] C ．[4，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 B解析 作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by(a>0，b>0)过点A(1，1)时取得最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤(a ＋b 2)2＝4，∵a>0，b>0，∴ab ∈(0，4]．2．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A 原料1 kg ，B 原料2 kg ；生产乙产品1桶需消耗A 原料2 kg ，B 原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12 kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A ．1 800元 B ．2 400元 C ．2 800元 D ．3 100元答案 C解析 设生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，每天利润为 z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0且x ∈N ，y ≥0且y ∈N .z ＝300x ＋400y ，作出可行域，如图阴影部分所示．作直线300x ＋400y ＝0，向右上方平移，过点A 时，z ＝300x ＋400y取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，所以A(4，4)，所以z max ＝300×4＋400×4＝2 800.故选C.3．(2017·沈阳质检)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0，的平面点集中随机取一点M(x 0，y 0)，设事件A 为“y 0<2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.14 B.34 C.13 D.23答案 B解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0，表示的平面区域的面积为12×(1＋3)×2＝4；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0，y ≤2x ，表示的平面区域的面积为12×3×2＝3，因此所求的概率等于34，选B. 4．(2017·东北三校一联)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数个，则实数a 的取值集合是( ) A ．{－3，0} B ．{3，－1} C ．{0，1} D ．{－3，0，1} 答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14表示的区域如下图所示，由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z.当－a>0时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，当a ＝－1时，线段AC 上的所有点都是最优解；当－a<0时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当a ＝3时，线段BC 上的所有点都是最优解．故选B 项．5．(2017·衡水中学调研卷)设变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥2，x ＋y ≥4，x ≤5，则点P(x ＋y ，x －y)所在区域的面积为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10答案 C解析 作出不等式组表示的线性区域如图①所示．可知x ＋y ∈[4，8]，x －y ∈[2，6]，且当x ＋y ＝4时，x －y 可以取到[2，6]内的所有值；当x ＋y ＝8时，x －y ＝2，即△ABC 所表示的区域如图②所示，则S △ABC ＝12×4×4＝8，故C正确．6．(2017·山西检测)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x|＋|y|≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．答案 [－2，2]解析 作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1，0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为 [－2，2]．7．(2017·沧州七校联考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y ＋2≥0，x －y ＋1≥0表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为__________，z 的最大值为________． 答案252，5 解析 图像的三个顶点分别为(－3，－2)，(2，－2)，(2，3)，所以面积为252.因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y ， 得x ＝2，y ＝3时有z max ＝5.8．(2014·新课标全国Ⅰ，文)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7, 则a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3 D ．5或－3答案 B解析 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12.代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝ －5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B.9．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元 D ．18万元答案 D解析 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 吨，则利润z ＝3x ＋4y.由题意可列⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，其表示如图阴影部分区域：.当直线3x ＋4y －z ＝0过点A(2，3)时，z 取得最大值，所以z max ＝3×2＋4×3＝18，故选D 项．10．(2015·湖南，文)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 A解析 画出可行域，如图中阴影部分所示，平移参照直线2x －y ＝0，当直线2x －y ＝z 经过x ＋y ＝1与y －x ＝1的交点(0，1)时，z 取最小值为z min ＝2×0－1＝－1，选A.11．(2016·江苏卷改编)设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为( )A ．80B ．4 5C ．25 D.172答案 A解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图阴影部分表示，(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y)到点P(－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P(－1，0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得点A 的坐标为(3，8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80.故选A.12. (2015·北京，文)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P(x ，y)为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．答案 7解析 由题意，目标函数z ＝2x ＋3y 的可行域为△ABC 边界及其内部(如图所示)．令z ＝0，即2x ＋3y ＝0，平移直线2x ＋3y ＝0至目标函数于可行域内，可知当2x ＋3y ＝z 过点A(2，1)时，z 取得最大值，即z max ＝2×2＋3×1＝7.。