高中理科数学第一轮复习：离散型随机变量的分布列
中职高考数学一轮复习讲练测专题10-4 离散型随机变量的分布列(讲)(含详解)
专题10.4 离散型随机变量的分布列【考纲要求】1. 了解离散型随机变量； 2．离散型随机变量的分布列． 3. 独立重复试验． 【考向预测】1. 独立重复试验与二项分布．2. 离散型随机变量的分布列．【知识清单】1. 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型__随机变量．2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的_概率分布列__(2)离散型随机变量的分布列的性质①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝_p 1＋p 2＋…＋p n __＝1. 3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N 、M ≤N ，n 、M 、N ∈N ＋，称随机变量X 服从超几何分布.4.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝_P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )__.(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )． 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝_np __，D (X )＝_np (1－p )__.【考点分类剖析】考点一 独立重复试验的概率例1. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)． (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【方法归纳】 1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验． 3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．【变式探究】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答)(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 考点二 离散型随机变量的分布列-二项分布例.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．【方法归纳】 解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．【变式探究】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；③从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627．其中所有正确结论的序号是__ __． 考点三 二项分布的应用例.高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为13，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次．求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．【方法归纳】 1.二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n ，p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率．2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．【变式探究】1.在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23．(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率．2.甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为23和34.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立．①用X表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X的分布列和数学期望；②设M为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M发生的概率．考点四离散型随机变量的分布列-超几何分布例1袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；【方法归纳】求离散型随机变量的分布列应注意的问题(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概率及互斥事件、对立事件的概率等知识．【变式探究】1.从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；(2)求出赢钱(即X>0时)的概率．2.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．专题10.4 离散型随机变量的分布列【考纲要求】1. 了解离散型随机变量； 2．离散型随机变量的分布列． 3. 独立重复试验． 【考向预测】1. 独立重复试验与二项分布．2. 离散型随机变量的分布列．【知识清单】1. 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型__随机变量．2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的_概率分布列__(2)离散型随机变量的分布列的性质①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝_p 1＋p 2＋…＋p n __＝1. 3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N 、M ≤N ，n 、M 、N ∈N ＋，称随机变量X 服从超几何分布.4.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝_P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )__.(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )． 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝_np __，D (X )＝_np (1－p )__.【考点分类剖析】考点一 独立重复试验的概率例1. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)． (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． [解析] (1)记预报一次准确为事件A ，则P (A )＝0.8． 5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05．(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.00672≈0.01．所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99．所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99． (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P ＝C 14×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02．【方法归纳】 1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．【变式探究】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答)(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．[解析] (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927．(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝16． 考点二 离散型随机变量的分布列-二项分布例.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．[解析] (1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ∪A B ”，且事件A ，B 相互独立．所以P (AB ∪A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋(1－12)×(1－12)＝12． (2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.且X ～B (4，12)．所以P (X ＝k )＝C k 4(12)k (1－12)4－k＝C k 4(12)4(k ＝0,1,2,3,4)． 所以变量X 的分布列为：【方法归纳】 解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．【变式探究】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；③从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627．其中所有正确结论的序号是__①③__．[解析] ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P (A )＝23，P (A ∩B )＝4×36×5＝25，∴P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝35，故②错；③每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为 1－(1－23)3＝2627，故③正确．考点三 二项分布的应用例.高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为13，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次．求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．[解析] (1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X ，则P (X ＝3)＝C 35×(13)3×(23)2＝40243，P (X ＝4)＝C 45×(13)4×23＝10243， P (X ＝5)＝C 55×(13)5×(23)0＝1243．所以至少有3次发芽成功的概率P ＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝40243＋10243＋1243＝51243＝1781．(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5． P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝2)＝23×13＝29，P (ξ＝3)＝(23)2×13＝427，P (ξ＝4)＝(23)3×13＝881，P (ξ＝5)＝(23)4×1＝1681．所以ξ的分布列为：【方法归纳】 1.二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n ，p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率．2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．【变式探究】1.在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23．(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率．[解析] (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为C 15·23·(13)4＋(13)5， 所以所求的概率为1－[C 15·23·(13)4＋(13)5]＝232243． (2)当X ＝4时记为事件A ， 则P (A )＝C 13·23·(13)2·23＝427．当X ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B ． 则P (B )＝C 14·23·(13)3＋(13)4＝19， ∴射击次数不小于4的概率为427＋19＝727．2.甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为23和34.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立．①用X 表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X 的分布列和数学期望；②设M 为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M 发生的概率．[解析] ①X 的所有可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127； P (X ＝1)＝C 13·23×⎝⎛⎭⎫132＝29； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232×13＝49； P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. ∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2或E (ξ)＝np ＝23.②设Y 为乙连续3次答题中答对的次数， 由题意知Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，34， P (Y ＝0)＝⎝⎛⎭⎫143＝164，P (Y ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫341⎝⎛⎭⎫142＝964，所以P (M )＝P (X ＝3且Y ＝1)＋P (X ＝2且Y ＝0) ＝827×964＋49×164＝7144. 即事件M 发生的概率为7144.考点四 离散型随机变量的分布列-超几何分布例1袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；[解析] (1)解法一：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23． 解法二：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A ，“一次取出的3个小球上的数字中有两个数字相同”为事件B ，事件A 和事件B 是对立事件．因为P (B )＝C 15C 22C 18C 310＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝1－13＝23．(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5．P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130；P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215； P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310；P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815． 所以随机变量X 的概率分布列为：【方法归纳】 求离散型随机变量的分布列应注意的问题(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概率及互斥事件、对立事件的概率等知识．【变式探究】1.从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．(1)以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值？求X 的分布列； (2)求出赢钱(即X >0时)的概率．[解析] (1)从箱中取两个球的情形有以下6种：{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．当取到2个白球时，随机变量X ＝－2；当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X ＝－1； 当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X ＝1； 当取到2个黄球时，随机变量X ＝0；当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X ＝2；当取到2个黑球时，随机变量X ＝4．所以随机变量X 的可能取值为－2，－1,0,1,2,4． P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522，P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211，P (X ＝0)＝C 22C 212＝166，P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411，P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433，P (X ＝4)＝C 24C 212＝111．所以X 的分布列如下：(2)P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝411＋433＋111＝1933．所以赢钱的概率为1933．2.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．[解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为。
离散型随机变量及分布列(一轮复习)
答案：D
离散型随机变量分布列
[例2] 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设 取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6分的概率．
[自主解答] (1)从袋中随机取 4 个球的情况为 1 红 3 黑， 2 红 2 黑，3 红 1 黑，4 红四种情况，分别得分为 5 分，6 分， 7 分，8 分，故 X 的可能取值为 5,6,7,8.
[易误辨析] (1)本题由于离散型随机变量ξ的取值情况较多，极易 发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误． (2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变 量的所有取值，但对某个取值考虑不全而导致解题错 误． (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的 概率和是否为1.
1－2q≥0， q2≥0， 12＋1－2q＋q2＝1，
解得
q＝1－
2 2.
或由 1－2q≥0⇒q≤12，可排除 A、B、C.
(2)由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解
得m＝0.3.首先列表为：
ξ
01234
2ξ＋1 1 3 5 7 9
|ξ－1| 1 0 1 2 3
离散型随机变量分布列的性质
[例1] (1)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：
ξ －1
0
1
P
1 2
1－2q
q2
则q的值为
()
A．1
B．1±
2 2
C．1＋
2 2
D．1－
2 2
(2)设离散型随机变量ξ的分布列为： ξ0 1 2 34 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：①2ξ＋1的分布列；②|ξ－1|的分布列． [自主解答] (1)由分布列的性质，有
2022年高三数学一轮复习检测第9章第七讲离散型随机变量及其分布列
第七讲 离散型随机变量及其分布列A 组基础巩固一、单选题1．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：X 0 1 2 Pa1316F (x )＝P (X ≤x )，则当x D ) A ．13B ．16C ．12D ．56[解析] ∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12.∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.2．(2019·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( C )A ．0B ．12C ．13D ．23[解析] X 可能取值为0或1，而P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝13.故选C.3．(2019·陕西西安高三检测)已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<ξ≤4)等于( A )A ．316B ．14C ．116D ．15[解析] P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝316.故选A.4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X 为取出3个球的总分值，则E (X )＝( B )A ．185B ．215C ．4D ．245[解析] 由题意知，X 的所有可能取值为3,4,5，且P (X ＝3)＝C 33C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23·C 12C 35＝35，P (X ＝5)＝C 13·C 22C 35＝310，所以E (X )＝3×110＋4×35＋5×310＝215. 5．(2020·安徽六校联考)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( B )A ．2764B ．916C ．81256D ．716[解析] 4名同学去旅游的所有情况有：44＝256种，恰有一个地方未被选中共有：C 14·C 24·A 33＝144种情况，∴恰有一个地方未被选中的概率：P ＝144256＝916.故选B. 二、填空题6．(2019·吉林质检)设随机变量的概率分布为则ξ的数学期望的最小值是 12.[解析] E (ξ)＝0×p 3＋1×p 3＋2×(1－2p3)＝2－p ，又∵1>p 3≥0,1≥1－23p ≥0，∴0≤p ≤32.∴当p ＝32时，E (ξ)的值最小，E (ξ)＝2－32＝12.7．(2019·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为__________.[解析]8.从一批含有13只正品，23件，则取得次品数为ξ的分布列为____________.[解析]设随机变量ξN ＝15，M ＝2，n ＝3.它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.三、解答题9．(2019·湖北模拟)随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于网购，2名倾向于实体店购物，5名女性购物者中有2名倾向于网购，3名倾向于实体店购物．(1)若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少有1名倾向于实体店购物的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少有1名倾向于实体店购物”为事件A ，则A 表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于网购”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 13×C 12C 15×C 15＝1925.(2)X 所有可能的取值为0,1,2,3，且P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，则P (X ＝0)＝724，P (X ＝1)＝2140，P (X ＝2)＝740，P (X ＝3)＝1120.所以X 的分布列为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.10．(2019·山东临沂模拟)甲、乙两人轮流射击，每人每轮射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束．设甲每次射击命中的概率为23，乙每次射击命中的概率为25，且每次射击互不影响，约定甲先射击．(1)求甲获胜的概率；(2)求射击结束时甲的射击次数X 的分布列和数学期望E (X )． [解析] (1)记甲第i 次射击中获胜的事件为A i (i ＝1,2,3)， 则A 1，A 2，A 3彼此互斥，甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3， P (A 1)＝23，P (A 2)＝13×35×23＝215，P (A 3)＝(13)2×(35)2×23＝275.故P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝23＋215＋275＝6275.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. P (X ＝1)＝23＋13×25＝45，P (X ＝2)＝13×35×23＋13×35×13×25＝425，P (X ＝3)＝(13)2×(35)2×1＝125.X 的分布列为：X 1 2 3 P45425125故E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.B 组能力提升1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 Pabc其中a ，b ，c ( B ) A ．16B ．13C ．12D ．56[解析] 由题意知a ，b ，c ∈[0,1]，且⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13，又函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x 2＋2x ＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， 所以P (ξ＝1)＝13.2．(2019·长沙模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( D )A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)[解析] 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n，故选D.3．(2019·吉林模拟)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球，设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝310. [解析] P (ξ＝2)＝C 11C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝310. 4．设离散型随机变量X 的分布列为则|X －1|的分布列为________.[解析] ∵0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3， |X －1|的取值为0,1,2， P (|X －1|＝0)＝P (X ＝1)＝0.1，P (|X －1|＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.4， P (|X －1|＝2)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝3)＝0.5， ∴|X －1|的分布列为5.(2019·海南模拟)4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． [解析] (1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P ＝1－C 45C 47＝1－535＝67.(2)由题意知，X 的可能取值为1,2,3,4，且 P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是6.(2019·名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其中7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．[解析] (1)所求概率P ＝C 13C 27＋C 37C 310＝4960；(2)X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130，∴随机变量X 的分布列为7.(2020·喜迎国庆”歌咏比赛活动，《歌唱祖国》《精忠报国》《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班就是否选择《精忠报国》作为本班参赛歌曲进行投票表决，投情况如下表.(1)若从第14人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率；(2)若从第五组和第七组的同学中各随机选取2进行调查，选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解析] (1)P 1＝1－C 23C 23＋C 14C 13C 23＋C 23C 13C 13C 27C 26＝2735. (2)各小组人员情况：X P (X ＝0)＝C 25C 24C 27C 26＝421，P (X ＝1)＝C 12C 15C 24＋C 25C 14C 12C 27C 26＝49， P (X ＝2)＝C 22C 24＋C 25C 22＋C 15C 12C 14C 12C 27C 26＝32105， P (X ＝3)＝C 22C 12C 14＋C 15C 12C 22C 27C 26＝235， P (X ＝4)＝C 22C 22C 27C 26＝1315，随机变量X 的分布列为E (X )＝0＋49＋2×32105＋3×235＋4×1315＝2621.。
高考数学一轮复习---离散型随机变量的均值与方差、正态分布
离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、基础知识1.均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.,(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.2.方差设离散型随机变量X的分布列为：则(x i－E(X))2描述了x i(i＝)＝(x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.3.两个特殊分布的期望与方差4.正态分布(1)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(2)正态分布的三个常用数据①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6；②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 4；③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 4.二、常用结论若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数； (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)； (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2；(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2).(6)若X ～N (μ，σ2)，则X 的均值与方差分别为：E (X )＝μ，D (X )＝σ2. 三、考点解析考点一 离散型随机变量的均值与方差例、为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).跟踪训练1.随机变量X 的可能取值为0,1,2，若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝( )A.15B.25C.55D.1052.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率； (2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望.考点二 二项分布的均值与方差例、某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨).若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标.(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差.[解题技法]二项分布的期望与方差(1)如果ξ ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (a ξ＋b )，同样还可求出D (a ξ＋b ).跟踪训练1.设X 为随机变量，且X ～B (n ，p )，若随机变量X 的数学期望E (X )＝4，D (X )＝43，则P (X ＝2)＝________.(结果用分数表示)2.一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率).考点三 均值与方差在决策中的应用例、某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解题技法]离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算.(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单.(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E (ξ1)＝E (ξ2)或E (ξ1)与E (ξ2)较为接近时，就需要用D (ξ1)与D (ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.跟踪训练某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.考点四 正态分布例、(1)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B.P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C.对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D.对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) (2)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( ) A.0.682 6 B.0.341 3 C.0.460 3 D.0.920 7(3)某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人.[解题技法]正态分布下2类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.跟踪训练1.已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( ) A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.72.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2). (1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝9.97，s ≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.课后作业1.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C.2D.832.已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ＞1)＝0.5，P (X ＞2)＝0.3，则P (X ＜0)＝( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.83.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5) A.4 093件 B.4 772件 C.6 827件 D.8 186件4.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A.3B.83C.2D.535.某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝( )A.1B.43C.53D.26.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.7.若随机变量ξ的分布列如表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝________.8.一个人将编号为1,2,3,4每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________. 9.某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2018年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选择的贷款期限的频数如下表：. (1)某大学2019年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率；(2)设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为X 元，写出X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2019年全市有600人申报此项贷款，则估计2019年该市共要补贴多少万元.10.某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.提高练习1.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.32.设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ 没有零点的概率是12，则μ等于( )A.1B.2C.4D.不能确定 3.已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则P (X ＜1)＝________.4.甲、乙两家外卖公司，元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.5.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？。
高中数学知识点总结及公式：离散型随机变量的分布列
高中数学知识点总结及公式：离散型随机变量的分布列>常用公式1.离敢型随机变量的分布列的性质土(O Pi > Or </=1, 2, 3,…，n)；〔2) Pi 5 十…十％二1-2.离散型随机变量朋g从参数为M M, Ti的超几何分布』则P(Z= m) = (0 < m- < 0^ E和M中较小的—个.C N3.条件概率公式：F〔E ⑷二鶴^ P(A)>0.4.如果事件眉一生，…「山就互相独立"那么讴个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即卩(久门彼门…PM』=P(A) P(4Q • P(A n) “N如果在一次试验中事件4发生的概率是戸那么在加吹独立重复试验中事件?1恰好发生花次的概率：P n (fc) = C^p ft (1 - p)n-ft (fc = Q7 1, 2,…，n).6・离散型随机变量X的均值或数学期EQO =扫巧 + x 佃+ …+ x rt p n(p i+ 宀+ …+ % = 1).特别地二Q)若*服从两点分布，贝fjE(X)-p(2)^X-B(n f p),则E(X} = xp(3)E(aX ± b) = aE(X) ± b7.离散型随机变量X的方差！D(X)=站一EC?)]% + [x2一E(Z)hi + …+ 必一E(Z)]%・特别地2(1)若X服从两点分布，则D(JQ = p(l - p)(2)若X~B(m p),则D(X) = np(l-p)(3)D(aX + &) = a2D(X)8.正态变量概率密度曲线的函数表达式，i _d)2fM = V^e 2ff2 , %GR,其中“，CT是参数，且CT > 0, —OO < fl <十8,式中“和CT分别是正态变量的数学期望和标准差.期望为如标准差为(J的正态分布通常记作N(/l，。
2).当“ =0,(7=1时，正态总体称为标准正态分布：记作N(0, 1).标准正态分布的函数表示式是/(x) = -7= e~T, r e R.。
高中总复习第一轮数学 第十二章概率与统计(理)12.1 离散型随机变量的分布列
第十二章概率与统计(理)网络体系总览考点目标定位1.离散型随机变量的分布列.离散型随机变量的期望和方差.2.抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归.复习方略指南在复习中,要注意理解变量的多样性,深化函数的思想方法在实际问题中的应用,充分注意一些概念的实际意义,理解概率中处理问题的基本思想方法,掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类:一类是应用随机变量的概念,特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识,讨论随机变量的取值范围,取相应值的概率及期望、方差的求解计算;另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用,教材以实习作业作为一节给出,应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识,迅捷准确的运算能力,严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程,引导学生发现解决问题的方法,达到举一反三的目的,还要进行题后反思,使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构,形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系,从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验,找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练,以培养利用所学知识解决实际问题的能力.12.1 离散型随机变量的分布列巩固·夯实基础一、自主梳理1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量,它常用希腊字母ξ、η等表示.(1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)若ξ是随机变量,η=aξ+b,其中a、b是常数,则η也是随机变量.2.离散型随机变量的分布列(1)概率分布(分布列).设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,x i,…,ξ取每一个值x i(i=1,2,…)的概率P(ξ=x i)=p i,则称表为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.(2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(ξ=k)=C k n p k q n-k .C k n p k q n-k =b(k;n,p). 二、点击双基1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（ ） A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 解析:对A 、B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D 是 ξ=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键. 答案:DA.1B.1±22 C.1+22 D.1-22解析：∵0.5+1-2q+q 2=1,∴q=1±22. 当q=1+22时,1-2q<0,与分布列的性质矛盾, ∴q=1-22. 答案：D3.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=k21,k=1,2,…,则P(2<ξ≤4)等于( ) A.163 B.41 C.161 D.51 解析:P(2<ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=321+421=163.答案:A4.某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件,其中次品数ξ的分布列为 __________________________.解析:本题中商品数量较大,故从中任意抽取5件(不放回)可以看作是独立重复试验n=5,因而次品数ξ服从二项分布, 即ξ—B(5,0.1).5.某射手有5发子弹,射击一次命中目标的概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则耗用子弹数ξ的分布列为___________________________. 解析：ξ可以取1,2,3,4,5,P(ξ=1)=0.9,P(ξ=2)=0.1×0.9=0.09,P(ξ=3)=0.12×0.9=0.009,P(ξ=4)=0.13×0.9=0.000 9,P(ξ=5)=0.14=0.000 1. 诱思·实例点拨【例1】 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.剖析:因为在编号为1,2,3,4,5的球中,同时取3只,所以小号码可能是1或2或3,即ξ可以取1,2,3.解:随机变量ξ的可能取值为1，2，3.当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P （ξ=1）=3524C C =106=53;当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P （ξ=2）=3523C C =103;当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P （ξ=3）=3522C C =101.讲评:求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有k 次发生的概率等.本题中基本事件总数,即n=C 35,取每一个球的概率都属古典概率(等可能性事件的概率).【例2】(2005北京高考,理)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为21,乙每次击中目标的概率为32. (1)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ;(2)求乙至多击中目标2次的概率;(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.剖析:(1)甲射击有击中目标与击不中目标两个结果,且3次射击是3次独立重复试验.∴ξ—B(3,21).(2)“乙至多击中目标2次”的对立事件是“乙击中目标3次”.(3)“甲恰好比乙多击中目标2次”即“甲击中2次乙没击中目标或甲击中目标3次乙击中1次”.解:(1)P(ξ=0)=C 03(21)3=81; P(ξ=1)=C 13(21)3=83;P(ξ=2)=C 23(21)3=83;P(ξ=3)=C 33(21)3=81.∵ξ—B(3,2), ∴E ξ=3×21=1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1-C 33(32)3=2719. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2,B 1、B 2为互斥事件,∴P(A)=P(B 1)+P(B 2)=83×271+81×92=241. ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为241.讲评:求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1)找出随机变量ξ的所有可能的值x i (i=1,2,…);(2)求出各值的概率P(ξ=x i )=p i ;(3)列成表格.【例3】(2005广东高考)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为s ∶t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n 次.以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. (1)求ξ的分布列; (2)求ξ的数学期望.解:(1)ξ的可能取值为0,1,2,…,n.(2)ξ的数学期望为E ξ=0×t s s ++1×2)(t s st++2×32)(t s st ++…+(n-1)×n n t s st )(1+-+n ×n n t s t )(+. ① t s t +E ξ=3)(t s st ++42)(2t s st ++…+n n t s st n )()2(1+--+1)()1(++-n n t s st n +11)(+++n n t s nt . ②①-②,得E ξ=s t +1)()1(-+-n n t s s t n -n n t s t n )()1(+--nn t s s nt )(1++. 讲评:本题是几何分布问题,其中用到数列的错位相减法求和,注意运算的严谨性.。
高考数学一轮总复习课件：离散型随机变量的分布列、均值与方差
超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次
CMkCN－Mn－k
品，则P(X＝k)＝________C_N_n __，k＝0，1，2，…，m，其中m
＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列：
X
0
P
CM0CN－Mn－0 CNn
为超几何分布列．
1
…
m
CM1CN－Mn－1 CNn
…
CMmCN－Mn－m CNn
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，那么称随机变量
X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n)．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量． (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概 率之和可以小于1. (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的．
思考题2 (1)(2021·吉林省汪清县高三月考)已知随机变 量ξ的分布列如下表，则x＝____12____．
ξ01 2
P x2 x
1 4
【解析】
由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋
1 4
＝1，且0≤x≤1，解得x＝12.
(2)(2021·青铜峡市高三期末)设随机变量ξ的概率分布列如下
表，则P(|ξ－3|＝1)＝( A )
3．设ξ是一个离散型随机变量，则下列不一定能成为ξ的概
率分布列的一组数是( C )
A．0，0，0，1，0
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，1－p(p为实数)
D.1×1 2，2×1 3，…，（n－11）·n，1n(n∈N*，n≥2)
解析
显然A、B满足分布列的两个性质；对于D，有
高中理科数学-离散型随机变量和分布列
理科数学复习专题 统计与概率 离散型随机变量及其分布列知识点一1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y ,x h g g g 表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。
2、离散型随机变量的分布列及其性质：（1）定义：一般的，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x g g g g g g X 取每一个值(1,2,,)i x i n =g g g 的概率为()i i P X x p ==，则表称为离散型随机变量离散型随机变量X ，简称X 的分布列。
（2）分布列的性质：①0,1,2,,i p in ?g g g ；②11ni i p ==å（3）常见离散型随机变量的分布列：①两点分布：若随机变量X 的分布列为,则称X 服从两点分布，并称(1)p P x ==为成功概率②超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X件次品，则()(0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --===g g g g 其中m i n {,m M n =，且*,,,,)n N M N n MN N ＃?,称分布列为超几何分布列。
如果随机变量X 的分布列题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】已知一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 值为( )A. 5 【变式1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是________．题型二 由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布）【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．【变式2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．知识点二1．条件概率及其性质对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝P(AB)P(B)(P(B)>0)．在古典概型中，若用n(B)表示事件B中基本事件的个数，则P(A|B)＝n(AB) n(B).2．相互独立事件(1)对于事件A、B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，称A、B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．题型三 条件概率例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝ ________.(2)如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.练：某地空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．题型四 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列（二项分布）例1 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求X ≥2”的事件概率．例2在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．练习：一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的概率分布． (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【误区解密】抽取问题如何区分超几何分布和二项分布？例：某学校10个学生的考试成绩如下：（≥98分为优秀） （1）10人中选3人，求至多1人优秀的概率（2）用10人的数据估计全级，从全级的学生中任选3人，用X 表示优秀人数的个数，求X 的分布列练：18、某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在[)30,40的人数； （Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5从，求[)50,60年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽到2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[)50,60年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.2、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； （Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．。
高中理科数学-离散型随机变量及分布列汇编
理科数学复习专题 统计与概率 离散型随机变量及其分布列知识点一1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y ,x h g g g 表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。
2、离散型随机变量的分布列及其性质：（1）定义：一般的，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x g g g g g g X 取每一个值(1,2,,)i x i n =g g g 的概率为()i i P X x p ==，则表称为离散型随机变量离散型随机变量X ，简称X 的分布列。
（2）分布列的性质：①0,1,2,,i p in ?g g g ；②11ni i p ==å（3）常见离散型随机变量的分布列：①两点分布：若随机变量X 的分布列为,则称X 服从两点分布，并称(1)p P x ==为成功概率②超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X件次品，则()(0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --===g g g g 其中m i n {,m M n =，且*,,,,)n N M N n MN N ＃?,称分布列为超几何分布列。
如果随机变量X 的分布列题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】已知一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 值为( )A. 5 【变式1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是________．题型二 由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布）【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．【变式2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．知识点二1．条件概率及其性质对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝P(AB)P(B)(P(B)>0)．在古典概型中，若用n(B)表示事件B中基本事件的个数，则P(A|B)＝n(AB) n(B).2．相互独立事件(1)对于事件A、B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，称A、B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．题型三 条件概率例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝ ________.(2)如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.练：某地空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．题型四 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列（二项分布）例1 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求X ≥2”的事件概率．例2在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．练习：一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的概率分布．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【误区解密】抽取问题如何区分超几何分布和二项分布？例：某学校10个学生的考试成绩如下：（≥98分为优秀） （1）10人中选3人，求至多1人优秀的概率（2）用10人的数据估计全级，从全级的学生中任选3人，用X 表示优秀人数的个数，求X 的分布列练：18、某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在[)30,40的人数； （Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5从，求[)50,60年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽到2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[)50,60年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.2、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．。
2023年高考数学(理科)一轮复习——离散型随机变量及其分布列
感悟提升
分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机 变量在某个范围内的概率.
索引
考点二 离散型随机变量的分布列
例1 (12分)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行 “庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活 动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小 组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色， 再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记 它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.
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6.(2021·郑州检测)设随机变量X的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
5 则P(|X－3|＝1)＝___1_2____.
解析 由13＋m＋14＋16＝1，解得 m＝14， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝152.
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考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
索引
P(ξ＝1)＝CC13·C29 16＝1386＝12， P(ξ＝2)＝CC23·C29 06＝336＝112.
所以ξ的分布列为
ξ 012
P
5 12
1 2
1 12
索引
感悟提升
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超 几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查 某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古 典概型.
2020年高考数学专题复习离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12 C ．14D ．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________．解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________． 解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3.答案：P(X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．【解】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为在本例条件下，求P (1<X ≤4)． 解：由本例知，m ＝0.3，P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋(X ＝3)＋P (X ＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ， P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920； P (X ＝5)＝C 35C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．解：X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4， P (X ＝k )＝C k 5C 4－k5C 410，k ＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．[基础达标]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34.4．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A ．13 B ．16 C ．12D ．56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________． 解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n ＝C 26C 13＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，C 984P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2. 答案：45 211．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12. 12．(2019·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列． 解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，C 1015故X 的分布列为[能力提升]1．(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584， P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)． 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X 的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ， 则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。
高考数学一轮复习讲义 第67课时 离散型随机变量及其分布列 理
517课题：离散型随机变量及其分布列考纲要求：①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；②理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用. 教材复习1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为1x 、2x 、…、i x 、… ξ为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：()1i p ≥0，1,2,i =…；()212p p ++…1=对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅7.两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列：其中P =(1)P X =称为成功概率(表中01p <<).8.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =， ()(1)k p A q q p ==-，那么 112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q pξ---====(0,1,2,k =…，p q -=1)518称这样的随机变量ξ服从几何分布，记作(,)g k p 1k q p -=，其中0,1,2,k =…，p q -=19.超几何分布：一般地，设有N 件产品，其中有M （M ≤N ）件次品，从中任取n （n ≤N ）件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么()P X k == （其中k 为非负整数）.如果一个随机变量的分布列由上式确定，那么称X 服从参数10.求离散型随机变量分布列的步骤：1要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；()2分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；()3列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.11.几种常见的分布列的求法：()1取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有化归法、数形结合法、对应法等，对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.()2射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.()3对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解. 典例分析：考点一 由古典概型求离散型随机变量的分布列问题1．（2013天津）一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张, 编号分别为2,3,4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张 卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (Ⅱ) 在取 出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.519考点二 由统计数据求离散型随机变量的分布列问题2．（2010广东）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]490,495，(]495,500，…，(]510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示. ()1根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量.()2在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产 品数量， 求Y 的分布列.()3从流水线上任取5件产品， 求恰有2件产品合格的重量 超过505克的概率.考点二 两点分布问题3．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6红色玻璃球，从中摸出两球.当两球全为红色520玻璃球时，记0X =；当两球不全为红色玻璃球时，记为1X =.试求X 的分布列.考点三 超几何分布问题4．（2012浙江）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和．()1求X 的分布列；()2求X 的数学期望EX ．走向高考：1.（2012江苏）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． ()1求概率(0)P ξ=； ()2求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．2.（2013浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.()1当1b=ca时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，=,2,3=记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；()2略3.（2011江西）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.()1求B的分布列；()2求此员工月工资的期望.5214.（2011广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；()2当产品中的微量元素,x y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；()3从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.5225.（2013重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一．二．三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.()1求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；()2求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望()E X.523。
一轮复习配套讲义：第11篇 第4讲 离散型随机变量及其分布列.pdf
X0 1 2 3
P
1 12
5 12
5 12
1 12
1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避
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免分类不全面或计算错误． 2．注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误． 3．求概率分布的常见类型 (1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列； (2)由古典概型求离散型随机变量的分布列； (3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
当两条棱相交时，X＝0；当两条棱平行时，X 的值为两条棱之间的距离；当两条 棱异面时，X＝1.求随机变量 X 的分布列． 解 若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个，过任意 1 个顶点恰有 3 条棱，所以共有 8C23对相交棱， 因此 P(X＝0)＝8CC12232＝141， 若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 2，其中距离为 2的共有 6 对， 故 P(X＝ 2)＝C6212＝111， 于是 P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝ 2)＝1－141－111＝161， 所以随机变量 X 的分布列是
－2012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方
米～75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超
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标．
从某自然保护区 2013 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据 作为样本，监测值频数如下表所示：
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表
高考理科第一轮课件(10.7离散型随机变量及其分布列)
5.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题，比赛规
定：对于每一道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答
正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是
甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能 取值是＿＿＿＿＿． 【解析】甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一道题并回答 错误，乙抢到两道题并且都回答错误，此时甲得－1分，故X的 所有可能取值为－1,0,1,2,3. 答案：－1,0,1,2,3
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的.( )
(5)如果随机变量X的分布列由下表给出， X P 2 0.3 ) 5 0.7
则它服从超几何分布.(
【解析】(1)正确.离散型随机变量的分布列是所有离散型随机 变量的概率分布情况，因此该说法是正确的. (2)错误.有些离散型随机变量的概率可以用公式表示出来，但 分布列不能. (3)错误.由概率分布列的性质可知：在分布列中随机变量的概 率之和为1.
a1
a2 p2
p1
.
(2)离散型随机变量分布列的性质
> 1 ①pi__0(i=1,2,„);②p1+p2+„=__.
3.超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取 n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么，
C k C n kM M N Cn P(X=k)=＿＿＿＿(其中k为非负整数).如果一个随机变量的分布 N
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( (A)0.28 (B)0.88 (C)0.79 (D)0.51
)
(2)一个均匀的正四面体的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字， 现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x1，x2，记X ＝(x1－3)2＋(x2－3)2. ①分别求出X取得最大值和最小值时的概率； ②求X的分布列．
2022新高考大一轮复习第九章离散型随机变量的分布列和数字特征
§9.5 离散型随机变量的分布列和数字特征考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w ，都有唯一的实数X (w )与之对应，我们称X 为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，…，x n ，我们称X 取每一个值x i 的概率P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 为X 的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质： ①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. 4．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n ＝∑i ＝1nx i p i 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝(x 1－E (X ))2p1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，并称D (X )为随机变量X 的标准差，记为σ(X )，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 5．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)．微思考1．某电子元件的使用寿命x 1，掷一枚骰子，正面向上的点数x 2，思考x 1，x 2可作为离散型随机变量吗？提示 x 1不可作为离散型随机变量，x 2可作为离散型随机变量． 2．期望和算术平均数有何区别？提示 期望刻画了随机变量取值的平均水平；而算术平均数是针对若干个已知常数来说的．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ ) (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( √ ) 题组二 教材改编2．设随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 4 5 P112161316p则p 为( ) A.16 B.13 C.14 D.112 答案 C解析 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________． 答案 0,1,2,3解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X 的可能取值为0,1,2,3. 4．若随机变量X 满足P (X ＝c )＝1，其中c 为常数，则D (X )的值为________． 答案 0解析 ∵P (X ＝c )＝1，∴E (X )＝c ×1＝c ， ∴D (X )＝(c －c )2×1＝0. 题组三 易错自纠5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数答案 C解析 选项A ，B 表述的都是随机事件；选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2. 6．若随机变量X 的分布列为X －2 －1 0 1 2 3 P0.10.20.20.30.10.1则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2)答案 C解析 由随机变量X 的分布列知，P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2].题型一 分布列的性质例1 (1)离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 因为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54，所以P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝54×12＋54×16＝56.故选D.(2)设离散型随机变量X的分布列为X 0123 4P 0.20.10.10.3m求2X＋1的分布列．解由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为X 0123 42X＋113579从而2X＋1的分布列为2X＋113579P 0.20.10.10.30.31.若例1(2)中条件不变，求随机变量η＝|X－1|的分布列．解由例1(2)知m＝0.3，列表为X 0123 4|X－1|1012 3所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为η012 3P 0.10.30.30.32.若例1(2)中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列．解依题意知η的值为0,1,4,9,16.列表为X 0 1 2 3 4 X 214916从而η＝X 2的分布列为η 0 1 4 9 16 P0.20.10.10.30.3思维升华 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．跟踪训练1 (1)已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.516 答案 A解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.(2)已知随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 P110310x310yz则P (X ≥2)等于( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6 答案 D解析 P (X ≥2)＝x ＋310＋y ＋z ＝1－⎝⎛⎭⎫110＋310＝0.6.题型二 分布列的求法例2 (2021·河南新乡模拟)2021年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．(1)求a 同学摸球三次后停止摸球的概率；(2)记X 为a 同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X 的分布列． 解 (1)设“a 同学摸球三次后停止摸球”为事件E ， 则P (E )＝A 23A 34＝14，故a 同学摸球三次后停止摸球的概率为14.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝14，P (X ＝1)＝2A 24＝16，P (X ＝2)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝3)＝C 12A 22A 34＝16，P (X ＝4)＝A 33A 44＝14.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1416161614思维升华 离散型随机变量分布列的求解步骤跟踪训练2 有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入座编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法． (1)求n 的值；(2)求随机变量X 的分布列．解 (1)因为当X ＝2时，有C 2n 种方法，因为C 2n ＝6，即n (n －1)2＝6，也即n 2－n －12＝0， 解得n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ， 由题意可知X 的可能取值是0,2,3,4，所以P (X ＝0)＝1A 44＝124，P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝14，P (X ＝3)＝C 34×2A 44＝13，P (X ＝4)＝1－124－14－13＝38，所以X 的分布列为X 0 2 3 4 P124141338题型三 离散型随机变量的数字特征例3 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E (ξ)，方差D (ξ)． 解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－14－12＝14，1－16－23＝16.两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)ξ的所有可能取值为0,40,80,120,160，则 P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003.思维升华 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值． (2)求ξ取每个值的概率． (3)写出ξ的分布列． (4)由均值的定义求E (ξ)． (5)由方差的定义求D (ξ)．跟踪训练3 现有A ，B ，C 3个项目，已知某投资公司投资A 项目的概率为23，投资B ，C 项目的概率均为p ，且投资这3个项目是相互独立的，记X 是该投资公司投资项目的个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的均值E (X )＝________.答案 53解析 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，由于P (X ＝0)＝112，故13(1－p )2＝112，∴p＝12.P (X ＝1)＝23×12×12＋13×12×12＋13×12×12＝412＝13， P (X ＝2)＝23×12×12＋23×12×12＋13×12×12＝512，P (X ＝3)＝1－112－412－512＝212＝16，∴E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.课时精练1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( ) A ．第一枚6点，第二枚2点 B ．第一枚5点，第二枚1点 C ．第一枚1点，第二枚6点 D ．第一枚6点，第二枚1点 答案 D解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.故选D. 2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( )A.19B.16C.13D.14答案 C解析 由分布列的性质，得1＋2＋32a ＝1，解得a ＝3，所以P (X ＝2)＝22×3＝13，故选C.3．(2020·沈阳模拟)设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3,4，P (X ＝k )＝ak ＋b ，若X 的均值为E (X )＝3，则a －b 等于( ) A.110 B ．0 C ．－110 D.15 答案 A解析 由题意知(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1，又X 的均值E (X )＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3，即30a ＋10b ＝3，∴a ＝110，b ＝0，∴a －b＝110. 4．已知随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( )ξ 4 a 9 P0.50.1bA.5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 由概率分布列性质，知0.5＋0.1＋b ＝1，所以b ＝0.4，所以E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a ＝7，故选C.5．(多选)(2020·泰安期末)设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1，则下列结果正确的有( ) A ．q ＝0.1B ．E (X )＝2，D (X )＝1.4C ．E (X )＝2，D (X )＝1.8 D ．E (Y )＝5，D (Y )＝7.2 答案 ACD解析 因为q ＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q ＝0.1，故A 正确； 又E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C 正确；因为Y ＝2X ＋1，所以E (Y )＝2E (X )＋1＝5，D (Y )＝4D (X )＝7.2，故D 正确．故选ACD. 6．(多选)(2020·杭州质检)已知随机变量ξ的分布列如下：则当a 在⎝⎛⎭⎫0，12内增大时( ) A ．E (ξ)增大B ．E (ξ)减小C ．D (ξ)先增大后减小 D ．D (ξ)先减小后增大答案 AC解析 由随机变量ξ的分布列得⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －a ≤1，0≤b ≤1，0≤a ≤1，b －a ＋b ＋a ＝1，解得b ＝0.5,0≤a ≤0.5，∴E (ξ)＝0.5＋2a ,0≤a ≤0.5.故a 在⎝⎛⎭⎫0，12内增大时，E (ξ)增大． D (ξ)＝(－2a －0.5)2(0.5－a )＋(0.5－2a )2×0.5＋(1.5－2a )2a ＝－4a 2＋2a ＋14＝－4⎝⎛⎭⎫a －142＋12， 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，D (ξ)单调递增，当a ∈⎝⎛⎭⎫14，12时，D (ξ)单调递减，故选AC. 7．某射击选手射击环数的分布列为若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为______． 答案 40%解析 由分布列的性质得a ＋b ＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%. 8．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 答案 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.9．已知随机变量ξ的分布列为若E (ξ)＝158，则D (ξ)＝________.答案5564解析 由分布列性质，得x ＋y ＝0.5.又E (ξ)＝158，得2x ＋3y ＝118，可得⎩⎨⎧x ＝18，y ＝38.D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 10．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝________. 答案310解析 由题意可知，P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝310. 11．(2021·皖南八校模拟)小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A ，如果A 猜中，A 将获得红包里的所有金额；如果A 未猜中，A 将当前的红包转发给朋友B ，如果B 猜中，A ，B 平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 将当前的红包转发给朋友C ，如果C 猜中，A ，B 和C 平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A ，B ，C 猜中的概率分别为13，12，13，且A ，B ，C 是否猜中互不影响．(1)求A 恰好获得4元的概率；(2)设A 获得的金额为X 元，求X 的分布列． 解 (1)依题意，当且仅当C 猜中时A 恰好获得4元， ∴A 恰好获得4元的概率为23×12×13＝19.(2)X 的所有可能取值为0,4,6,12， P (X ＝0)＝23×12×23＝29，P (X ＝4)＝19，P (X ＝6)＝23×12＝13，P (X ＝12)＝13，∴X 的分布列为12．某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．解 若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，X 1的所有可能取值为300，－150.则X 1的分布列为∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利X 2万元，X 2的所有可能取值为500，－300,0.则X 2的分布列为∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．D (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.所以E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．13．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( ) A ．10% B ．20% C ．30% D ．40% 答案 B解析 设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x ·C 110－xC 210＝x (10－x )45＝1645，所以x ＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x ＝2，所以次品率为210＝20%.14.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝________.答案 65解析 由题意知X ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，∴E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.15．(多选)(2020·烟台质检)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是( ) A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为518B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为11 296C ．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为25216D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为23答案 ACD解析 四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A 46种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为A 4664＝518，故A 正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为664＝1216，故B 错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为C 24×5264＝25216，故C正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3,4.则P (ξ＝0)＝5464，P (ξ＝1)＝C 145364，P (ξ＝2)＝C 245264，P (ξ＝3)＝C 34×564，P (ξ＝4)＝164，则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值E (ξ)＝0×5464＋1×C 145364＋2×C 245264＋3×C 34×564＋4×164＝23，故D 正确． 16．(2020·唐山模拟)某城市美团外卖配送员底薪是每月1 800元，设每月配送单数为X ，若X ∈[1,300]，每单提成3元，若X ∈(300,600]，每单提成4元，若X ∈(600，＋∞)，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2 100元，设每月配送单数为Y ，若Y ∈[1,400]，每单提成3元，若Y ∈(400，＋∞)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2020年4月份(30天)的送餐量数据，如下表： 表1：美团外卖配送员甲送餐量统计表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计(1)设美团外卖配送员月工资为f (X )，饿了么外卖配送员月工资为g (Y )，当X ＝Y ∈(300,600]时，比较f (X )与g (Y )的大小关系；(2)将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率． ①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值E (x )和E (y )； ②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由． 解 (1)因为X ＝Y ∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，当X∈(300,400]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300>0，当X∈(400,600]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300<0，故当X∈(300,400]时，f(X)>g(Y)，故X∈(400,600]时，f(X)<g(Y)．(2)①甲日送餐量x的分布列为乙日送餐量y的分布列为则E(x)＝13×115＋14×15＋16×25＋17×15＋18×115＋20×115＝16，E(y)＝11×215＋13×16＋14×25＋15×110＋16×16＋18×130＝14.②E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)，美团外卖配送员，估计月薪平均为1 800＋4E(X)＝3 720(元)，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为2 100＋4E(Y)＝3 780元>3 720元，故小王应选择做饿了么外卖配送员．。
高中数学离散型随机变量分布列、期望与方差
离散型随机变量——分布列、期望与方差从近几年高考试题看,离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有:①产品检验问题；②射击,投篮问题；③选题、选课,做题,考试问题；④试验,游戏,竞赛,研究性问题；⑤旅游,交通问题；⑥摸球球问题；⑦取卡片,数字和入座问题；⑧信息,投资,路线问题；⑨与概率分布直方图关联问题；⑩综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识问题着重考查分析问题和解决问题的能力。
一、离散型随机变量的分布列、期望与方差1.离散型随机变量及其分布列: (1)离散型随机变量:如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,这样的变量X 叫做一个随机变量.如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. (2)离散型随机变量的特点:①结果的可数性；②结果的未知性。
(3)离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X 所有可能的取值为i x ,与i x 对应的概率为i p (1,2,,)i n =,则下表:称为离散型随机变量X 的概率分布,或称为离散型随机变量X 的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质:①0i p >(1,2,,)i n =；②11nii p==∑(1,2,,)i n =.③(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅ 2.离散型随机变量的数学期望:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ,2x ,…,n x , 这些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则1122()n n E x x p x p x p =+++,叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望).(2)离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.3.离散型随机变量的方差:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,这 些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差.(2)离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 (离散程度).(3)()D X的算术平方根叫做离散型随机变量X 的标准差,它也是一个衡量离散 型随机变量波动大小的量.4.随机变量aX b +的期望与方差:①()()E aX b aE X b +=+；②2()().D aX b a D X +=二、条件概率与事件的独立性:1.条件概率:对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件 概率,用符号“(|)P B A ”来表示.把由事件A 与B 的交(或积),记做D A B =(或D AB =). 2.事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,即(|)()P B A P B =,这时,我们称两 个事件A ,B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件1A ,2A ,…,n A 相互独立,那么这n 个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯,并且上式中任意多个事 件i A 换成其对立事件后等式仍成立.三、几类典型的概率分布:1.两点分布:如果随机变量X 的分布列为其中01p <<,1q p =-,则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布.注:①两点分布又称01-分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验, 所以这种分布又称为伯努利分布. ②();().E X p D X np ==2.超几何分布:一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件 ()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个),称离散型随机变量X 的这 种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N ,M ,n 的超几何分布.记为:(,,)X H N M n .注:();ME X n N=2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-. 3.二项分布:(1)定义:如果每次试验,只有两个可能的结果A 及A ,且事件A 发生的概率相同(p ). 那么重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,这种试验称为n 次独立重复试验.在n 次试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为:()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,,)k n =.(2)二项分布:若将事件A 发生的次数为X ,事件A 不发生的概率为1q p =-,那么在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q-==, 其中0,1,2,,k n =,于是得到X 的分布列:由于表中第二行恰好是二项展开式00111()C C C C n n n kk n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布, 记作~(,)X B n p . (3)二项分布的均值与方差:若~(,)X B n p ,则()E X np =,()D x npq =(1)q p =-.4.几何分布:(1)定义:在独立重复试验中,某事件第一次发生时,所作试验的次数X 也是一个正 整数的离散型随机变量.“X k =”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ,()k p A p =,()1,k p A p =- 那么112311231()()()()()()()(1)k k k k k P X k P A A A A A P A P A P A P A P A p p ---====-.(0,1,2,k =…)；于是得到随机变量ξ的概率分布如下:记作(,),Xg k p(2)若(,),X g k p 则1()E X p =；21()pD X p-=(1)q p =-. 5.正态分布(1)概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时,直方图上 面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变量X ,则 这条曲线称为X 的概率密度曲线.(2)曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. (2)正态分布:①定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的, 而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作 用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分 布.服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. ②正态变量概率密度曲线的函数表达式为 22()2()x f x μσ--=,x ∈R , 其中μ,σ是参数,且0σ>,μ-∞<<+∞.式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差. 期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作:2(,)XN μσ.③正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.④标准正态分布:我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布. ⑤正态变量在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+内,取值的概率分别是 68.3%,95.4%,99.7%.⑥正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1,在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是 0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内,这就是正态分布的3σ原则.⑦若2~()N ξμσ，,()f x 为其概率密度函数,则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函 数,特别的,2~(01)N ξμσ-，,称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数,()()x P x μξφσ-<=.离散型随机变量——分布列、期望与方差考点1.产品检验问题:例1.已知甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件,乙盒子内有5个正品元件和4个次品 元件,现从两个盒子内各取出2个元件,试求(1)取得的4个元件均为正品的概率； (2)取得正品元件个数ε的数学期望.例2.某车间在三天内,每天生产10件某产品,其中第一天,第二天分别生产出了1件、 2件次品,而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品, 则当天的产品不能通过.(1)求第一天通过检查的概率；(2)求前两天全部通过检查的概率；(2)若厂内对车间生产的产品采用记分制:两天全不通过检查得0分,通过1天、 2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.考点2.比赛问题:例3.,A B 两队进行篮球决赛,共五局比赛,先胜三局者夺冠,且比赛结束。
(新课标)高三数学一轮复习 第10篇 离散型随机变量及其分布列学案 理-人教版高三全册数学学案
第六十五课时离散型随机变量及其分布列课前预习案1.会求与现实生活有密切关系的离散型随机变量的分布列；2.掌握二点分布与超几何分布的特点，并会应用．1．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能出来，则称X为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率为p1，p2，…，p n，则表称为离散型随机变量X(2)离散型随机变量分布列的性质：①p i 0 ， (i＝1,2,3，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝；③P(x i≤x≤x j)＝p i＋p i＋1＋…＋p j.3．常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，q＝，则称离散型随机变量p的二点分布．(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M 中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n 的超几何分布．1． 设随机变量X 的分布列如下：则p ＝________.2． 设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X 的分布列是________．3． 在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为_____________．4． 已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.5165． 随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于 ( )A.16 B.13C.12D.23课堂探究案考点1 离散型随机变量的分布列的性质【典例1】设随机变量ξ的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则常数a 的值为________，P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝________.【变式1】 若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________.考点2 离散型随机变量的分布列的求法及应用【典例2】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ. (1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的概率分布列和数学期望．考点3 超几何分步【典例3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．【变式3】2013年10月1日，为庆祝中华人民共和国成立64周年，来自北京大学和清华大学的6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京大学志愿者的概率是35.(1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率；(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ξ的分布列．1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为( )A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋222． 某射手射击所得环数X 的分布列为)A ．0.28B ．0.88C ．0.79D ．0.513． 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B.12 C.13 D.234． 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)5． 设随机变量X 等可能取值为1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝______.课后拓展案组全员必做题1． 随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1) (n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( )A.23B.34C.45D.562．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A．ξ＝4 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤53．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X 01 2P a 1316F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于 ( )A.13B.16C.12D.564．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝12k－1，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________. 5．设随机变量X的概率分布列为X 123 4P 13m1416则P(|X－3|＝1)＝________.6.已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．7.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为X 01 2P8.从一批含有13件正品与2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数的分布列．B组提高选做题1．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝_______.2.某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人.力为中等或中等以上的概率为25.(1)试确定a ，b 的值；(2)从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率； (3)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．参考答案1．【答案】 13【解析】 由分布列的性质知：所有概率之和为1，所以p ＝13.2． 【答案】30,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为4．【答案】 A【解析】 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.5． 【答案】 D【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.【典例1】【答案】115 45【解析】随机变量ξ的分布列为由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝15.P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P (ξ＝1)＝3a ＋4a ＋5a ＝12a ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P (ξ≤25)＝1－3a ＝45.【变式1】【答案】 13 13【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可知： ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝10≤9c 2－c ≤10≤3－8c ≤1，解得c ＝13.P (X ＝1)＝3－8×13＝13.【典例2】【解析】 (1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P (ξ＝6)＝126200＝0.63，P (ξ＝2)＝50200＝0.25，P (ξ＝1)＝20200＝0.1，P (ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为(2)1件产品的平均利润为E 4.34(万元)． 【变式2】【解析】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34. 所以X 的概率分布列为故X 的数学期望为E (X )＝2×14＋3×34＝114.【典例3】【解析】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， 其中P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0,1,2,3.于是可得其分布列为【变式3】【解析】(1)A ，则事件A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x 名，1≤x <6，那么P (A )＝1－C 26－x C 26＝35，解得x ＝2，即来自北京大学的志愿者有2名，来自清华大学的志愿者有4名．记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名”为事件B ，则P (B )＝C 12C 14C 26＝815，所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率是815.(2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数ξ服从超几何分布， 其中N ＝6，M ＝2，n ＝2，于是 P (ξ＝k )＝C k 2C 2－k4C 26，k ＝0,1,2，∴P (ξ＝0)＝C 02C 24C 26＝25，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (ξ＝2)＝C 22C 04C 26＝115.所以ξ的分布列为1．【答案】 C【解析】 由分布列的性质得： 2211212112010q q q q ⎧+-+=⎪⎪>-≥⎨⎪-≥⎪⎩，∴q ＝1－22.故选C.2．【答案】C【解析】P (X >7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 3．【答案】 C 4．【答案】 C【解析】X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4.5．【答案】 10【解析】 由于随机变量X 等可能取值为1,2,3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.组全员必做题1．【答案】 D 【解析】 ∵P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.2．【答案】C【解析】“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，第6次摸到红球，故ξ＝6. 3． 【答案】D【解析】∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12，∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.4．【答案】716【解析】P (2<ξ≤5)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＋P (ξ＝5) ＝14＋18＋116＝716. 5．【答案】512【解析】由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.6.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 【解析】设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0得－13≤d ≤13.7.【答案】0.1 0.6 0.3【解析】 P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.8.【解析】设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2，其相应的概率为P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.所以ξ的分布列为组提高选做题1． 【答案】 45【解析】 方法一 由已知，ξ的取值为7,8,9,10， ∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的分布列为∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝310＋25＋110＝45.方法二 P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45.2.【解析】(1)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10＋a )人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则P (A )＝10＋a 40＝25，解得a ＝6.所以b ＝40－(32＋a )＝40－38＝2. 答 a 的值为6，b 的值为2.(2)由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．方法一 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ， 所以P (B )＝1－P (B )＝1－C 332C 340＝1－124247＝123247.答 从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247.方法二 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ， 所以P (B )＝C 18C 232＋C 28C 132＋C 38C 340＝123247. 答 从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247.(3)由于从40位学生中任意抽取3人的结果数为C 340，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3人，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C k 24C 3－k16，所以从40位学生中任意抽取3人，其中恰有k 人具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P (ξ＝k )＝C k24C 3－k16C 340(k ＝0,1,2,3)，ξ的可能取值为0,1,2,3，因为P (ξ＝0)＝C 024C 316C 340＝14247，P (ξ＝1)＝C 124C 216C 340＝72247，P (ξ＝2)＝C 224C 116C 340＝5521 235，P (ξ＝3)＝C 324C 016C 340＝2531 235，所以ξ的分布列为。
人教版高中数学高考一轮复习--离散型随机变量及其分布列
0分,通过对学生甲以往同类模拟考试情况的统计,得到他各题得分的概率
如表所示.
题目
第1题
第2题
代数
0.6
0.5
几何
0.8
0.7
数论
0.7
0.7
组合
0.7
0.6
第3题
第4题
0.4
0.2
0.5
0.3
0.5
0.3
0.3
0.2
假设学生甲考试中各题的得分相互独立.
(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列.
3.求离散型随机变量分布列的关键是求随机变量取每个值的概率,在求解
时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.
对点训练2
(1)已知一批100件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件
进行检查,设抽取的2件产品中不合格品数为X,求X的分布列.
2
1 2 2
1 1 2
2
P(X=1)=3,P(X=2)=3 × 3 = 9,P(X=3)=3 × 3 × 3 = 27.
故 X 的分布列为
X
1
2
3
P
2
3
2
9
2
27
出现这种错误解法的原因是没有明确随机变量X的意义,X=1表示第一次
试验成功;X=2表示第一次试验失败,第二次试验成功;X=3表示前两次试验
X
P
40
0.147
80
0.343
100
0.126
140
0.294
160
0.027
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概率，相互独立事件同时发生的概率、 n
次独立重复试验有
k 次发生的概率等。本 题中基本事件总数，即 n C 3 ，取每一 5
个球的概率都属古典概率（等可能性事件
的概率）。
(练习)：从一批有13个正品和2个次品的产
品中任意取出3个, (1)求抽得的次品数
的分布列;
A发生的次数 是一个随机变量，其所有可
能取的值为0，1，2，3，…，n，并且
P( k ) C p q （其中k=0,1,2,…,n， p+q=1）,称这样的随机变量 服从参数为n
k n k n k(n, p) 。
注意：要理解二项分布的实质，善于在实
连续型随机变量：随机变量可以取某一区
间内的一切值。
说明：①分类依据：按离散取值还是连续
取值。 ②离散型随机变量的研究内容：随机变量
取什么值、取这些值的多与少、所取值的
平均值、稳定性等。
3. 离散型随机变量的分布列：
可能取的值 为 x , x , , x , ， 1 2 i 且 P( x ) p ，则 i i
1 5 (2)求 P ( ) 的值. 2 2 1 5 说明：理解 P ( ) 的含义. 2 2
例3：（2004年春季安微）已知盒中有10个 灯泡，其中8个正品，2个次品。需要从中 取出2个正品，每次从中取出1个，取出后 不放回，直到取出2个正品为止，设 为取
出的次数，求 的分布列及E 。
离散型随机变量的分布列
一、基本知识概要：
1.随机变量：随机试验的结果可以用一个
变量来表示，这样的变量的随机变量，记
作 , ；
说明：若 是随机变量， 其中 a, b 是常数，则 也是随机变量。
a b
，
一、基本知识概要：
2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值，
可以按一定顺序一一列出
设离散型随机变量
P
x1
x2
p2
… …
xi
pi
… …
p1
称为随机变量 的分布列。
离散型随机变量的分布列的两个性质： ①
②
p1 p2 1
P( xi ) pi 0
求解离散型随机变量的分布列的两个步骤：
①确定该随机变量所有可能的取值；
②分别计算相应的概率。
4.二项分布：在n次独立重复试验中，事件
际问题中看出随机变量服从二项分布。
二、例题：
每次抽1件，求：
例1：在10件产品中有2件次品，连续抽3次，
(1)不放回抽样时，抽到次品数 的分布列；
(2)放回抽样时，抽到次品数 的分布列。
剖析：随机变量 可以0，1，2， 也可以 取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对 随机变量的取值和相应的概率都产生了变 化，要具体问题具体分析。 说明：放回抽样时，抽到的次品数为独立 重复试验事件，即
四、作业布置： 教材P193页闯关训练
例4、某人骑车从家到学校的途中有5个路
口,假设他在各个路口遇到红灯的事件是相 1. 互独立的,且概率均为 3 (1)求此人在途中遇到红灯的次数 的分布 列; (2)求此人首次遇到红灯或到达目的地而停 车时所经过的路口数 的分布列;
(3)此人途中至少遇到一次红灯的概率.
说明：要能从所给的条件中看出特殊的分
剖析：每次取1件产品，所以至少需2次， 即 最小为2，有2件次品，当前2次取得的 都是次品时， =4，所以 可以取2，3，4。
说明：本题考查离散型随机变量的分布列 和数学期望的概念，考查运用概率知识解 决实际问题的能力。
思考讨论：
（1） ＝4时哪些情况？
（2）本题若改为取出后放回，如何求解？
1 . 布，如本题中 ~ B (5, ) 3
例5甲乙两名篮球队员独立地轮流投篮，直 到某人投中为止。甲投中的概率为0.4，乙 为0.6，分别求出甲乙两人投篮次数的分布 列。（假设甲先投） 说明：求分布列的关键是正确计算概率。
三、课堂小结
1.会根据实际问题用随机变量正确表示某
些随机试验的结果与随机事件； 2.熟练应用分布列的两个基本性质； 3.能熟练运用二项分布计算有关随机事件 的概率。
~ B(3,0.8)
。
例2：一袋中装有5只球，编号为1,2，3，4，
5，在袋中同时取3只，以 表示取出的三
只球中的最小号码，写出随机变量 的分
布列。
剖析：因为在编号为1，2，3，4，5的球中，
同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，
即 可以取1，2，3。
说明：求随机变量的分布列，重要的基础