北师大版初中数学九年级(下 册)知识点汇总
(最新版)北师大版初中数学各册章节知识点总结
(最新版)北师大版初中数学各册章节知识点一、七年级数学1.1 第一章常数与代数式本章主要介绍了常数、代数式的概念，以及代数式的基本运算法则。
其中，重点掌握同类项的概念和合并同类项的方法，能够用数学符号正确表示代数式及其运算过程。
1.2 第二章整式的加减本章介绍了整式加减的基本法则和实际应用，重点掌握某些常见整式的加减法则。
在学习整式加减时，需要积极练习，掌握加减法的基本原理，熟悉各种整式的加减运算法则。
1.3 第三章一元一次方程本章主要介绍一元一次方程及其解法，包括方程的定义、方程的解等。
其中，需要掌握方程的基本概念，学会应用代数运算解决实际问题。
1.4 第四章图形的初步认识本章主要介绍平面图形的性质和种类，包括点、线、面图形的定义及其特点。
学生需要掌握平面图形的基本概念和应用，同时也需要理解三视图和等轴测图等图形展开方法。
1.5 第五章角与三角形本章主要介绍角的概念、角的度量、三角形的定义和分类等内容。
要掌握角的概念和相邻角、补角、余角等基本知识，以及三角形的性质和分类等基本概念。
二、八年级数学2.1 第一章整式的乘法本章主要介绍整式乘法的基本法则和实际应用，涉及整式相乘的一般法则和模型法则，以及代数式的因式分解等内容。
需要掌握各种整式乘法法则和方法，尤其是模型法则的应用。
2.2 第二章一元二次方程与因式分解本章主要介绍一元二次方程的定义和解法，以及因式分解的基本原理。
需要掌握二次方程解法和因式分解方法，能够应用数学知识解决实际问题。
2.3 第三章向量的初步认识本章主要介绍向量的定义、加法、减法、数量积等基本概念和运算法则。
要掌握向量的基本性质和应用，学会用向量方法解决实际问题。
2.4 第四章几何变形与相似本章主要介绍几何变形的定义和分类，以及相似三角形的定义和判定方法。
需要掌握几何变形和相似三角形的基本知识和方法，能够应用数学知识解决实际问题。
2.5 第五章勾股定理及其应用本章主要介绍勾股定理及其证明、三角形的面积和周长等内容。
初中数学教材知识梳理-九年级下册
初中数学教材知识梳理·系统复习北师大版本初中数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA3313知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；第二章二次函数实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；⑤解决提出的实际问题.解决最值应用题要注意两点：①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；③利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.第三章圆第1讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论O4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第2讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第3讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：lrrlππ=•=221S圆锥侧2S rlrππ+=全在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。
北师大版九年级数学下册第三章2圆的对称性
于点E,AD=OB,试说明 B︵D
︵
= DE
,并求∠A的度数.
解析 设∠A=x°.∵AD=OB,OB=OD,∴OD=AD.
∴∠AOD=∠A=x°.∴∠ABO=∠ODB=∠AOD+∠A=2x°.
∵AO=AB,∴∠AOB=∠ABO=2x°.
︵
︵
∴∠BOD=2x°-x°=x°,即∠BOD=∠AOD.∴ BD = DE .在△AOB中,由三角形的内
解析 ∵ A︵E = B︵D ,∴∠BOD=∠AOE=32°, ∵∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=32°,∴∠COE=32°+32°=64°. 答案 D
点拨 本题在求角的度数时运用了转化思想,在同圆或等圆中,利用圆心 角、弧、弦之间的关系可以实现角、线段、弧之间的转化.
题型二 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等 例2 (2019江苏南京中考)如图3-2-3,☉O的弦AB、CD的延长线相交于 点P,且AB=CD.求证:PA=PC.
︵
︵
圆心角的度数,因为∠BOA=2∠COD,所以 AB 的度数= CD的度数的2倍,所
︵
︵
以在同圆或等圆中, AB =2 CD ,所以B项正确.C、D项错误.
4.如图3-2-2,AB、CD是☉O的两条直径,弦BE=BD,则 A︵C 与 B︵E 是否相等?为 什么?
图3-2-2
解析 A︵C= B︵E .理由:连接AC.∵AB、CD是☉O的直径,且∠AOC=∠BOD,
2.如图3-2-1,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形 各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影 部分的面积是( )
图3-2-1 A.4π B.3π C.2π D.π 答案 D 利用圆的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积的四分之
北师大版九年级数学上册和下册定理知识点汇总
北师大版初中九 (上)数学学问点总结第一章 证明(二)※等腰三角形的“三线合一〞：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必定等于斜边的一半。
※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。
※假如知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：222c b a =+〔留意区分斜边及直角边〕②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半〔此定理将在第三章出现〕 ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。
〔留意着重号的意义〕 <直线及射线有垂线，但无垂直平分线>※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点间隔 相等。
※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点间隔 相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的间隔 相等。
〔如图1所示，〕※角平分线上的点到角两边的间隔 相等。
※角平分线逆定理：在角内部的，假如一点到角两边的间隔 相等，那么它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边间隔 相等的全部点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边间隔 相等，交点即为三角形的内心。
(如图2所示，)第二章 一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax 〔a 、b 、c 为 常数，a ≠0〕的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=++c bx ax 〔a 、b 、c 为常数，a ≠0〕称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式>②公式法 aac b b x 242-±-= 〔留意在找时须先把方程化为一般形式〕 ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
北师大版初中数学各册章节知识点总结
北师大版初中数学各册章节知识点总结第一册：《初二上册》1.直角三角形：直角三角形的定义、直角三角形的性质、勾股定理。
2.平面图形的表示：点、线、线段、射线、角度、平行线、垂直线、相交线等基本概念。
3.二次根式：二次根式的定义、运算法则。
4.初中平面几何基本定理：垂线定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、角平分线定理等。
5.多边形：多边形的定义、正多边形、变位积分、多边形的内角和、多边形的外角和。
6.梅涅劳斯定理：梅涅劳斯定理的概念、定理的应用。
第二册：《初二下册》1.线性方程：线性方程的定义、解线性方程的常用方法。
2.三角函数的定义和初步认识：三角函数的定义、正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.平行线与相交线：平行线的性质、平行线之间的角对、相交线之间的角对等。
4.二次函数：二次函数的基本性质、二次函数图像的性质与应用。
5.海伦公式：海伦公式的概念、海伦公式的应用。
第三册：《初三上册》1.集合：集合的概念、集合的运算、集合的表示等。
2.图形的相似：图形相似的概念、相似比、相似三角形的性质等。
3.三角形的性质：三角形的角与边的关系、角边关系等。
4.空间几何基本概念：欧几里得空间几何学的基本概念、空间图形与平面图形的关系等。
5.高中数学预修知识：比例与相似、复数等。
第四册：《初三下册》1.数系的扩充：有理数和无理数的概念、实数的分类等。
2.几何体的计算：几何体的表面积、几何体的体积等。
3.空间几何基本定理：角的平分线、角的辅助线等。
4.三角恒等式：三角函数的反函数、三角函数的周期等。
第五册：《九年级上册》1.一次函数：一次函数的定义、一次函数图像的性质、线性规律等。
2.向量几何：向量的定义、向量的运算、向量的平行和垂直等。
3.数的四则运算：整数、有理数、无理数的四则运算等。
4.二次方程与不等式：二次方程的定义、解二次方程的方法等。
5.三角形的面积：三角形的名字、面积的计算公式等。
第六册：《九年级下册》1.指数与对数：指数、对数和底数的概念、指数与对数的性质等。
北师大版初中数学九年级下册知识讲解(教学资料)：第6讲二次函数y=a(x-h)^2+ k(a≠0)的图像与性质(提高)
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax =2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax =2y ax k =+2()y a x h =-2()+(0y a x h k a =-≠）⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1. 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a 、h 、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗? 【答案与解析】()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k，h k c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(22()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度， 再向右平移1个单位长度得到的抛物线是， ∴ ，1h =，． (2)函数与的图象如图所示．(3)观察的图象知，当时，y 随x 的增大而增大； 当时，y 随x 增大而减小，当x ＝1时，函数y 有最大值是2．(4)由图象知，对于一切x 的值，总有函数值y ≤2． 【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a 、h 、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题．举一反三：【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． （1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5）， 当x ≥1时，y 随x 的增大而减小； 当x ＜1时，y 随x 的增大而增大.212y x =-21(1)22y x =--+12a =-2k =21(1)22y x =--+212y x =-21(1)22y x =--+1x <1x >212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+21(1)12y x =-+-2()y a x h k =-+1,1,52a h k =-==-2. 已知函数，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D ；【解析】函数 的图象如图： ，根据图象知道当y=3时，对应成立的x 恰好有三个，∴k=3． 故选D ．【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3.（2019秋•滨海县期末）已知：二次函数y=x 2﹣4x+3． （1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y ＜0． 【解析】解：（1）∵y=x 2﹣4x+3，∵y=（x ﹣2）2﹣1， ∵对称轴为：直线x=2， ∵顶点（2，﹣1）； （2）令y=0，则，x 2﹣4x+3=0， ∵（x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∵x 1=1，x 2=3，∵与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； （3）当1＜x ＜3时，y ＜0．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 举一反三：【变式】（2019秋•岑溪市期末）已知抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8． （1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ；()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞（2）x 取何值时，y 随x 增大而增大？ 【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；故答案为（1，﹣8），直线x=1； （2）当x ＞1时，y 随x 增大而增大．4. 如图所示，抛物线的顶点为C ，与y 轴交点为A ，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ．(1)求直线AC 的解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)当自变量x 满足什么条件时，有? 【答案与解析】(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x ＝0，得，∴ ．由待定系数法可求出，∴(2)∵ 抛物线的对称轴为x ＝-1，根据抛物线对称性知．∴ ． (3)根据图象知或时，有．【总结升华】 图象都经过A 点和C 点，说明A 点、C 点同时出现在两个图象上，A、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．二次函数y=a （x -h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题213(1)y x +2y kx b =+12y y >211)y x +y =A b =k =2y 211)y x +(B -122ABC S =⨯=△0x >1x <-12y y >1. 不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点都( )A.在y=x 直线上B.在直线y=－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上 2．二次函数的最小值是( )．A ．-2B ．2C ．-lD ．13．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )． A ． B ． C ． D ．，0n ＜第3题 第5题4．（2019•牡丹江）将抛物线y=（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是（ ）．A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（0，4）D ．（0，7） 5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( )． A ． B ． C ． D ．6．若二次函数．当≤l 时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）A ．=lB ．>lC ．≥lD ．≤l二、填空题 7．（2019•巴中模拟）抛物线y=x 2+2x+7的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 ．8．若点A （３，－４)在函数的图象上，则_ _.这个抛物线的对称轴是 ；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是 ．9．如果把抛物线向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线，则求的值为 ；的值为 . 10．请写出一个二次函数，图象顶点为(-1，2)，且不论x 取何值，函数值y 恒为正数．则此二次函数为______ __． 11．若二次函数中的x 取值为2≤x ≤5，则该函数的最大值为 ；最小值为 ．12．已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点，则y 1的值是_____.三、解答题2(1)2y x =-+h m =k n =k n >0k>3x >3x <1x >1x <2()1y x m =--x y x m m m m m 2)(m x y --==m 2)(b x a y +=3)2(212-+=x y a b 23(1)2y x =-+13．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．14.（2019秋•湘西州期末）已知二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B、C．（1）求B、C两点的坐标．（2）求∵ABC的面积．15．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE•的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点为（-m,m ）,所以顶点在直线y=－x 上. 2.【答案】B ；【解析】当时，二次函数有最小值为2． 3.【答案】B ；【解析】由两抛物线对称轴相同可知，且由图象知，，0n ＜． 4.【答案】B ；【解析】抛物线y=（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3）， 所以平移后抛物线解析式为y=x 2+3，所以得到的抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）． 故选：B ．5.【答案】C ；【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线，因此当时，y 随x 的增大而减小． 6.【答案】C ；【解析】画出草图进行分析得出结论.二、填空题 7．【答案】上，x=﹣1，（﹣1，6）． 【解析】∵y=x 2+2x+7，而a=1＞0， ∵开口方向向上，∵y=y=x 2+2x+7=（x 2+2x+1）+6=（x+1）2+6， ∵对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，6）．8．【答案】５或１； 直线x=5或直线x=1； 或（－１，－４）；【解析】因为点A （３，－４)在函数的图象上，所以把点A （３，－４)代入函数得或；对称轴是直线x=5或直线x=1；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是或（－１，－４）.9．【答案】 ，； 【解析】抛物线向上平移－３个单位得到，再向右平移３个单位长度得到，即与相同，故，.1x =2(1)2y x =-+h m =k n >0k >1x =1x >(7,4)-2)(m x y --=2)(m x y --=5m =1m =(7,4)-12a =5b =2)(b x a y +=2()3y a x b =+-2(3)3y a x b =+--2(3)3y a x b =+--3)2(212-+=x y 12a =5b =10．【答案】 等；【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即，所以或等均可． 11．【答案】50；5.【解析】由于函数的顶点坐标为(1，2)，，当时，y 随x 的增大而增大，当x ＝5时，函数在2≤x ≤5范围内的最大值为50； 当x ＝2时，函数的最小值为．12．【答案】；【解析】把1(,)4a -代入y=x 2+x+b 2得22104a a b +++=，221()02a b ++=， ，代入即可求得.三、解答题13.【答案与解析】∵ 抛物线y=3(x －2)2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴ A(2，0)，B(0，12)，∴ S △AOB =12，△AOB 的周长为14十．14.【答案与解析】解：由二次函数y=﹣x 2+2（m ﹣1）x+2m ﹣m 2的图象关于y 轴对称，得m ﹣1=0． 解得m=1．函数解析式为y=﹣x 2+1， 当y=0时，﹣x 2+1=0． 解得x 1=﹣1，x 2=1， 即B （﹣1，0），C （1，0）； （2）当x=0时，y=1，即A （0，1）， S △ABC =×2×1=1． 15.【答案与解析】（1）连接ME ，设MN 交BE 交于P ， 根据题意得MB=ME ，MN ⊥BE ．2(1)2y x =++0a >2(1)2y x =++22(1)2y x =++23(1)2y x =-+30a =>1x >23(21)25y =⨯-+=最小过N 作NF ⊥AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠BMN=90°， ∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF ，又AB=FN ，Rt △EBA ≌Rt △MNF ，MF=AE=x ． 在Rt△AME 中，由勾股定理得 ME 2=AE 2+AM 2，所以MB 2=x 2+AM 2，即（2-AM ）2=x 2+AM 2，解得AM=1-x 2． 所以四边形ADNM 的面积S=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-x 2）+x=-x 2+x+2． 即所求关系式为S=-x 2+x+2． （2）S=-x 2+x+2=-（x 2-2x+1）+=-（x-1）2+． 当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，此时最大值是．1422AM DN AM AF AD ++⨯=141212121252125252。
北师大版初中数学知识点总结(最新最全)
初中数学知识点总结第一章 实数考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
北师大版九年级数学下册第一章30°,45°,60°角的三角函数值
方法归纳 特殊角的三角函数值的记忆方法: (1)数形结合记忆法:如图1-2-1所示,由定义可得各角的三角函数值.
图1-2-1
(2)增减规律记忆法:①正弦值随锐角度数的增大而增大,依次为 1 , 2 , 3 ; 222
②余弦值随锐角度数的增大而减小,依次为 3 , 2 , 1 ;③正切值随锐角度 222
点拨 从实际问题中抽象出数学问题,添加辅助线,构造矩形及含有特殊角 的直角三角形是解题关键.
知识点一 30°,45°,60°角的三角函数值
1.(2019天津滨海新区模拟)tan 45°的值等于 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.1
2
2
2
答案 D tan 45°=1.
2.(2019广东阳江一模)已知∠A是锐角,且满足3tan A- 3=0,则∠A的大小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.无法确定
综上所述,可归纳如下口诀进行记忆:一二三,三二一,三九二十七.
解析 (1)原式=3× 3 -2× 3 -2× 2 = 3 - 3 - 2 =- 2 . 322
1 -1
(2)原式= 2
3
2 = 3-6 3
3 = -3 3
3 = (-3 3
3)(2
3-3) = 27-15
3
=9-5 3 .
题型二 利用特殊角的三角函数值解决实际问题 例2 如图1-2-4,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40 cm,灯罩BC长 为30 cm,底座厚度为2 cm,灯臂与底座构成的角∠BAD=60°.使用发现,光线 最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE 是多少cm?(结果精确到0.1 cm,参考数据: 3 ≈1.732)
北师大版九年级数学下册第三章3垂径定理
知识点二 垂径定理的推论 3.下列说法: ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦; ②平分弦的直径平分弦所对的弧; ③垂直于弦的直线必过圆心; ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧. 其中正确的是 ( ) A.②③ B.①③ C.②④ D.①④
答案 D 平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧,故②错误;垂直于弦 且平分弦的直线必过圆心,故③错误.①④正 m,过点E作ME⊥AB,交 AB 于点M,过点F作NF⊥AB,交 AB 于点N.设
︵
AB 所在圆的圆心为点O,连接OA,ON,OD,MN,设MN交CD于点H,可知O,D,C
三点在同一条直线上,MN∥AB,AD= 1 AB=3.6 m.
2
图3-3-7 设OA=r m,则OD=OC-CD=(r-2.4)m. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2, 即r2=3.62+(r-2.4)2,∴r=3.9,
知识点二 垂径定理的推论
内容 详解
应用 格式 推论
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
①推论的条件:直径平分弦,弦不
能是直径;
推论的结论:直径垂直于弦,且平 分弦所对的弧. ②一定不能忽略“被平分的弦 不是直径”这个条件,因为圆中 任意两条直径都是互相平分的, 但它们未必垂直
∵CD平分AB,且CD是直径, ∴CD⊥AB, A︵C= B︵C, A︵D= B︵D
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一 条弧
例2 如图3-3-2,在☉O中,点C是 A︵B 的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB= 12,CD=2.求☉O的半径长.
图3-3-2 分析 连接OA,根据垂径定理的推论得出AD=6,∠ADO=90°,根据勾股定 理列出方程,求出方程的解即可.
初三数学知识点归纳北师大版
初三数学知识点归纳北师大版初三数学知识点归纳北师大版涵盖了初中数学的核心内容，为学生提供了一个系统性的复习框架。
以下是北师大版初三数学的主要知识点归纳：1. 数与式- 实数的概念和分类，包括有理数和无理数。
- 绝对值的性质和运算法则。
- 代数式的运算，包括加减乘除和乘方运算。
- 因式分解的方法，如提公因式法、公式法和分组分解法。
2. 方程与不等式- 一元一次方程的解法，包括移项和合并同类项。
- 一元二次方程的解法，如直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
- 不等式的基本性质和解法，包括一元一次不等式和一元二次不等式。
- 含绝对值的不等式的解法。
3. 函数- 函数的概念，包括定义域、值域和对应法则。
- 一次函数的图象和性质，以及一次函数与一元一次方程的关系。
- 二次函数的图象和性质，包括开口方向、顶点坐标和对称轴。
- 反比例函数的图象和性质，以及反比例函数与一次函数的关系。
4. 几何图形- 线段、射线和直线的性质和关系。
- 角的概念和分类，包括锐角、直角、钝角和平角。
- 多边形的性质，如三角形的内角和定理和多边形的内角和定理。
- 圆的性质，包括圆心角、弧长和扇形面积的计算。
5. 统计与概率- 数据的收集和整理，包括统计表和统计图的绘制。
- 描述性统计，如众数、中位数和平均数的计算。
- 概率的基本概念，包括随机事件和概率的计算方法。
- 简单事件的概率计算，如古典概型和几何概型。
通过以上知识点的归纳，学生可以对初三数学有一个清晰的认识和掌握，为中考做好充分的准备。
在复习过程中，建议学生结合实际例题进行练习，以加深对知识点的理解和应用能力。
同时，定期进行模拟测试，以检验学习效果和查漏补缺。
(完整版)北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲
图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值30 º45 º 60 º sin α21 22 23 h i=h:lBC三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
初中数学知识点总结北师大版
初中数学知识点总结北师大版初中数学知识点总结（北师大版）一、数与代数1. 有理数- 整数与分数- 正数、负数、零- 有理数的加法、减法、乘法、除法- 绝对值与有理数的大小比较2. 整数的性质- 素数与合数- 奇数与偶数- 整数的因数与倍数- 质因数分解3. 代数表达式- 单项式与多项式- 同类项与合并同类项- 代数式的加减运算4. 一元一次方程- 方程的概念与解法- 列方程解应用题5. 二元一次方程组- 代入法与消元法- 方程组的解与无穷多解、无解6. 不等式与不等式组- 不等式的性质与解集- 一元一次不等式与解应用题- 一元一次不等式组的解法7. 函数的概念与性质- 函数的定义与表示方法- 函数的图像与性质- 一次函数与反比例函数二、几何1. 图形初步- 点、线、面、体- 直线、射线、线段- 角的概念与分类2. 平面图形- 平行线与垂线- 三角形的分类与性质- 四边形的分类与性质- 圆的性质与圆周角3. 几何图形的计算- 三角形、四边形的面积计算- 圆的周长与面积计算- 体积的计算（长方体、立方体）4. 相似与全等- 全等三角形的判定与性质- 相似三角形的判定与性质- 相似多边形5. 解析几何初步- 坐标系的概念与应用- 直线与坐标轴的交点- 点与线的坐标关系三、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读（条形图、折线图、饼图）2. 概率- 随机事件的概率- 等可能事件的概率- 概率的加法公式四、综合应用题1. 数列的基本概念- 等差数列与等比数列- 数列的通项公式与求和公式2. 应用题的解题策略- 列方程解应用题- 利用函数关系解应用题- 利用图形解应用题3. 数学思想方法的应用- 转化与化归- 分类与整合- 归纳与演绎以上总结了北师大版初中数学的主要知识点。
在学习过程中，应注重理论与实践相结合，通过大量的练习题来巩固知识点，并培养解决实际问题的能力。
同时，要注意数学思维的培养，提高逻辑推理和抽象思维的能力。
北师大版初中数学知识点总结最新最全3篇
北师大版初中数学知识点总结最新最全第一篇：北师大版初中数学知识点总结之数与代数1. 自然数、整数、有理数、实数、复数：自然数是最基本的数，包括0和正整数；整数是自然数和其相反数（负整数）的集合；有理数是可以表示为两个整数比例的数；实数包括有理数和无理数；复数是可以写成a+bi的形式的数，其中a、b都是实数，i表示虚数单位，满足i²=-1。
2. 数轴：表示实数的图形方式，数轴上每个点均对应一实数。
3. 取反、相反数、绝对值、距离：取反是将一个数变为它的相反数，相反数是与一个数绝对值相等但符号相反的数，绝对值是一个数到0的距离，距离是两点间的距离4. 加法原理、减法原理、乘法原理、数学归纳法：加法原理是指对于不想关的两个事物进行选择时，分别选择它们的方法数相加即可；减法原理是指对于与已经选的事物有关的选择，先确定已选事物的后，将它们也视为不存在，再进行计数；乘法原理是指对于多个物体进行选择时，每个物体选择方式数相乘即可；数学归纳法是证明某种性质对于自然数具有普遍性的一种证明方法。
5. 代数式、方程式、不等式：代数式是由常数、变量和运算符号组成的式子，方程式是一个等式，在方程中出现的未知量称作方程的未知数，不等式就是两个数之间大小关系的表现方式。
6. 加法、减法、乘法、除法基本性质：加法交换律、结合律、零律；减法基本公式；乘法分配律，乘法结合律，乘法交换律，乘法零律，乘法单位元；除法不定式，除法存在性定理，能够整除定理，整除的必要条件和充分条件。
7. 分式：由多项式表示为分子、分母的除式，即a/b，其中a、b均为多项式。
8. 等式变形法：变形是将一个等式式子重新排列，即通过变形将等式转化为相同的形式。
9. 因式分解：将一个式子拆分成多个式子的乘积的过程。
10.方程的基本解法与判别式：方程的解是指使方程的等号两侧相等的数值，一元二次方程的通解公式为x=[-b±√(b²-4ac)]/2a，判别式为Δ=b²-4ac。
九年级数学下册知识讲义-3圆内接正多边形(附练习及答案)-北师大版
一、考点突破1. 了解圆内接正多边形的有关概念。
2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
3. 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。
二、重难点提示重点：圆内接正多边形的定义及相关性质。
难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
考点精讲 1. 圆内接正多边形的有关概念 ① 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。
这个圆叫做该正多边形的外接圆。
② 正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
如图：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， 圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的半径； OM 是这个正五边形的边心距。
AOB 叫做这个正五边形的中心角。
A E【要点诠释】① 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
② 求正n 边形中心角的常用方法：正n 边形有n 条边，每条边对应一个中心角，所以正n 边形的中心角为。
（正n 边形中心角度数与正n 边形的一个外角相等）2. 特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系① 正三角形——在中进行：；② 正四边形——在中进行，；③ 正六边形——在中进行，。
D E OC OB O D B A CA A B【规律总结】正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系：R 2＝r 2＋（a ）2，连接正n 边形的半径，弦心距，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。
典例精讲例题1 （义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如下图所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）A. 5：4B. 5：2C.：2D.：思路分析：先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可。
北师大版九年级下册数学知识点
北师大版九年级下册数学知识点北师大版九年级下册数学知识点1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ;重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x 3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1x2) (y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
北师大版初中数学知识点总结(最新最全)
初中数学知识点总结第一章 实数考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总
图1北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总第一章直角三角形边的关系※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A Atan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比；③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
※二. 正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A sin ;※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A cos ;※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A Acot ;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ；)90sin(cos A A ②)90cot(tan A A；)90tan(cot A A※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
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0º30 º45 º60 º90 ºsinα01cosα10tanα01—cotα—10北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总第一章 直角三角形边的关系※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比；③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
※二. 正弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即;※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即;※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则①；②；※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
图1※同角的三角函数间的关系：倒数关系：tgα·ctgα=1。
※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；(3)边与角之间的关系：(4)面积公式:(hc为C边上的高);(5)直角三角形的内切圆半径(6)直角三角形的外接圆半径◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：图2hi=h:llABC图3图4※如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。
用字母i表示，即◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。
第二章二次函数※二次函数的概念：形如的函数，叫做x的二次函数。
自变量的取值范围是全体实数。
是二次函数的特例，此时常数b=c=0.※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。
※二次函数y＝ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。
描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数；②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。
③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。
当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。
④函数的增减性：A、当a＞0时B、当a＜0时⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0．※二次函数的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线※二次函数的图象是以为对称轴，顶点在（，）的抛物线。
（开口方向和大小由a来决定）※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x 增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。
※二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。
※二次函数的图象与y＝ax2的图象的关系：的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，其步骤如下：①将配方成的形式；（其中h=，k=）；②把抛物线向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)2的图象；③再把抛物线向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到的图象。
※二次函数的性质：二次函数配方成则抛物线的①对称轴：x= ②顶点坐标：（，）③增减性： 若a>0，则当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大。
若a<0，则当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小。
④最值：若a>0，则当x=时，；若a<0，则当x=时，※画二次函数的图象：我们可以利用它与函数的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：①先找出顶点（，），画出对称轴x=；②找出图象上关于直线x=对称的四个点（如与坐标的交点等）；③把上述五点连成光滑的曲线。
¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。
¤解决最大（小）值问题的基本思路是：①理解问题；②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；③用数学的方式表示它们之间的关系；④做数学求解；⑤检验结果的合理性、拓展性等。
※二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程的两个实数根※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：>0 <===> 抛物线与x轴有2个交点；=0 <===> 抛物线与x轴有1个交点；<0 <===> 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；※当>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：化简后即为： ------ 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。
第三章圆一. 车轮为什么做成圆形※1. 圆的定义：述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
※2. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:※1. 与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三. 圆周角和圆心角的关系:°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.※2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB= ,这是错误的.※3. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.※4. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；※四. 确定圆的条件:※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.※2. 经过三点作圆要分两种情况:(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.※定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五. 直线与圆的位置关系※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L和⊙O相交.②d=r <===> 直线L和⊙O相切.③d>r <===> 直线L和⊙O相离.※3. 切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.※4. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.※6. 三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.六. 圆和圆的位置关系.※1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 <===> d>R+r(2)两圆外切 <===> d=R+r(3)两圆相交 <===> R-r<d<R+r (R≥r)(4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r)(5)两圆内含 <===> d<R-r (R>r)※3. 相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.※4. 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.七. 弧长及扇形的面积※1. 圆周长公式:圆周长C=2R (R表示圆的半径)※2. 弧长公式:弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)※3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.※4. 弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.※5. 圆的面积公式.圆的面积 (R表示圆的半径)※6. 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5)图5(1)当弓形所含的弧是劣弧时,(2)当弓形所含的弧是优弧时,(3)当弓形所含的弧是半圆时,八. 圆锥的有关概念:※1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.※2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:_图6_P_O_B_A¤九. 与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.¤十. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.※十一.北师版数学未出理的有关圆的性质定理1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。