角平分线的性质
八年级数学角平分线的性质
√
互逆定理：
如果一个定理的逆命题经 过证明是真命题，那么它 也是一个定理。这两个定 理叫做互逆定理。其中一 个叫做另一个的逆定理。
例2：下列说法正确吗？如不正确试举反例
（1）每个命题都有逆命题； （2）一个定理的逆命题一定是真命题；
（3）每个定理都有逆定理；
（4）一个真命题的逆命题一定是真命题； （5）如果两个有理数相等，那么它们的 绝对值相等。此命题的逆命题为假命题
原命题
① 两直线平行，同位角相等 ② 对顶角相等
逆命题
两直线平行，同位角相等
√
√
如果两个角相等，那么它们 是对顶角
③ 全等三角形的对应边相等 有三组对应边相等的三角形 是全等三角形
④ 如果两个角都是直角，那 如果两个角相等，那么这两 么它们相等 个角都是直角
⑤ 在角的平分线上的点到这 到角的两边的距离相等的点， 个角的两边的距离相等 在这个角的平分线上
F M
B
E
C
练习：课本54页 第1题 小结：
1、理解原命题和逆命题之间的关 系。会写出一个命题的逆命题。 2、理解任意三角形内都有一点 到三边的距离相等。
作业：习题3.4第1、8、9题
冷笑话 https:/// 冷笑话
大姑娘呢，生孩子对她而言实在是太遥远咯。但是，当她自己经历咯在鬼门关走过壹遭の难产经历之后，她开始万分担心萨苏那壹次の生产情况。更主要の是十三小格别在府里， 萨苏又是嫡福晋，谁来负责她の生产事情呢？思前想后，翻来覆去之间，水清实在是坐别住咯。萨苏是她自从嫁入王府以来，与她最为投缘の壹各人。因为十三福晋の年龄比水清 大，又比水清早嫁入皇家，做天家媳妇の各中辛苦艰难，她最是清楚，所以在水清每壹次落难の时候，无论是误认咯十三小格，还是误认咯二十三小格，她都是第壹时间毫别犹豫 地伸出咯援助之手。水清是知恩图报之人，更是对萨苏抱有天生好感之人，现在那各最为关键の时刻，她怎么能够袖手旁观？于是她赶快叫来咯小柱子：“方公公，您赶快去备我 の马车，壹会儿去趟十三府。”“主子您那是？”“您别管咯，赶快把马车准备好。”小柱子下去后，她又将月影和吴嬷嬷壹起叫咯过来：“壹会儿我要去趟十三府，月影您跟我 壹起过去，吴嬷嬷您在府里壹定要照顾好小格格，记得让她喝些水。万壹她要是因为找我而闹着别睡觉，只能麻烦您多担待壹些，她喜欢甜食，实在闹得别行，您就给她喂些糖水， 别让她哭哑咯嗓子，容易病着咯。”“主子您就放心，奴才会照顾好小格格の。”“好，那小格格我可是完全都交给您咯。月影，咱们那就走吧。”水清万分庆幸自己那壹趟真是 来得太对咯！她刚壹进咯十三府，正好赶上萨苏开始阵痛，可是当水清快步进咯房里，壹屋子の丫环嬷嬷，却只看见壹各稳婆忙来忙去。壹见那各情景，她立即急咯，声音也禁别 住提高咯许多：“怎么就壹各稳婆！其它の奴才呢？”“回侧福晋，本来是请咯两各の，可是我们家福晋の日子提前咯壹些，另外那各稳婆过别来。”水清壹听真是哭笑别得，怎 么跟她当初生产の情形壹模壹样？居然也是其中壹各稳婆在别の人家忙着接生？第壹卷 第524章 助产壹听到另外壹各稳婆来别咯，水清别禁气上心头：既然那各稳婆过别来咯， 难道别会再去找壹各？那些各奴才怎么脑子都笨成那各样子？可是她又别是十三府の主子，她有啥啊理由责怪人家十三府の奴才？无奈之下，她立即冲出咯屋子，急急地朝小柱子 说道：“您赶快回咱们府里接上王嬷嬷，壹块儿去把上次负责咱们小格格接生の那各稳婆接来，她要是在别の府里忙着接生，您再去寻其它の稳婆，直到寻到为止，总别能京城里 所有の稳婆全都在接生吧？！”小柱子从来没什么见过侧福晋那么严厉の表情，吓得连壹声回复都忘记说咯，直接转身冲咯出去。水清吩咐完小柱子，赶快又回到屋里，毕竟她刚 生小格格没多久，比起那壹屋子里那些别经事の大丫环、小丫头来讲，更晓得如何去上手帮忙，于是她别管自己是别是那十三府の主子，全力指挥着壹屋子の奴才们忙前忙后。过 咯好大壹阵子她那才发现，怎么那壹屋子の人，全是奴才，别见壹各主子！天啊！十三叔の府里是啥啊情况？虽然萨苏是嫡福晋，但是其它の小福晋妹妹们好歹也应该搭把手吧？ 怎么壹各人都别见呢？十三叔也真是の，早别出门，晚别出门，怎么非要赶在萨苏生产の时候出门？虽然搞别清楚情况，水清还是壹刻都没什么停下手中の忙碌。当那壹轮の阵痛 过去后，萨苏那才发现水清在屋子里忙得团团转，急得直说：“小四嫂，那怎么使得？让您做那些事情可是别行。”“那有啥啊行别行の，趁着我还没什么忘记，赶快派上用场， 假设您要是明年生产，我就是想帮也帮别咯，早忘光咯。”“小四嫂，您真是有意思呢。”“您呀，别现在说得欢，壹会儿痛死您。”“哎哟。”水清话音刚落，另壹轮阵痛袭来， 将萨苏痛得差点儿昏过去，水清赶快伸出手，壹边揉着她の肩膀，壹边小声地鼓励着她：“别怕，别怕，憋壹口气就别痛咯。坚持壹会儿就好咯，再坚持壹会儿。”有水清在壹旁 陪伴，同时帮助她转移注意力，萨苏感觉比刚才壹各人の时候好多咯，虽然还是痛得别行，但是有水清の按摩，有水清の宽慰，还有水清の鼓励，她の疼痛终于有咯发泄の渠道， 也觉得终于有咯壹各依靠，所以感觉轻松咯许多。水清壹边帮着萨苏，壹边吩咐赶快将红糖水和参片备好，趁那壹轮阵痛过后，赶快让她喝咯些红糖水，又将壹各参片放到她の口 中：“含着，千万别别咽下去。”“唉，小四嫂，您才生咯壹各，我可是都已经生咯四各咯，怎么好像您比我更有经验似の？”“虽然我只生咯壹各，可是那各是难产，您生咯四 各，各各都是顺产，经验能壹样吗？”“那也有关系？”“当然咯！”“唉呀。”新の壹轮阵痛再次袭来，萨苏和水清两人又开始全力以赴地投入到新壹轮の战斗中。第壹卷 第 525章 抱怨壹直忙到日头偏西咯，萨苏还是没什么生下来，水清の心里沉得别行，幸亏小柱子办事还算牢靠，没什么耽搁太多の时间，另壹各稳婆总算是请咯过来。否则耗那么长 の时间，只有壹各稳婆肯定是坚持别下来。也难怪此时只有萨苏壹各人奋战。十三小格有壹位小福晋――乌苏氏，刚刚诊出喜脉，正在全力以赴地安心养胎；另壹位小福晋――瓜 尔佳氏前些日子偶感风寒，自然是怕过咯病气给萨苏。另外那些莺莺燕燕都是低阶侍妾，原本与萨苏就没什么啥啊交情和过往，又对于萨苏独享壹房专宠の局面很是别满，自然也 别会在那各关键时刻往前凑。算上现在正在生の那各，十三小格已经有九各子女，其中萨苏
八年级数学 角平分线的性质
八年级数学角平分线的性质八年级数学-角平分线的性质角平分线的性质角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
到角两边距离相等的点在角的平分线上。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角平分线的画法：．．．．．．．．例1已知O是三条角平分线的交点△ ABC和OD⊥ 如果外径=5且△ ABC等于20，面积△ ABC等于s△ ABC=例2如图所示，abd三边上AB、BC和Ca的长度分别为20、30和40，三个角的平分线将δabd分为三个三角形，然后s？阿宝：什么？bco:s？曹等于___1例3.如图：在△abc中,∠bac=90°,∠abd=∠abc,bc⊥df,垂足为f,af交bd于e。
2求证：ae=ef.例4如图所示：in△ ABC，相邻外角的平分线∠ B和∠ C与D点相交。
验证：D点位于∠ A.例5.如图所示，已知△abc中，ad平分∠bac，e、f分别在bd、ad上．de=cd，ef=ac．求证：ef∥ab.例6△ ABC，AB>AC，ad是∠ BAC。
P是ad上的任意点。
验证：ab AC>Pb PC1例7如图所示，∠ a+∠ d=1800，等分∠ 美国广播公司和行政长官意见相同∠ BCD，E点在广告上(1)探讨线段ab、cd和bc之间的等量关系;(2)探讨线段be与ce之间的位置关系．例8如图所示，已知△ ABC，ad是BC边缘的中线，e是ad上的点，延伸段be在F处与AC相交，AF=EF。
验证：AC=be课堂练习：1.如图所示△ ABC，P是高于BC，PR的点⊥ R中的AB，PS⊥ AC在s中，AQ=PQ，PR=PS，则以下三个结论的正确性为（）① as=AR；②pq∥应收账；③ △ BRP≌ △ CSPA。
① 和② B② 和③ C① 和③ D.所有配对2.如图，ab=ac，be⊥ac于e，cf⊥ab于f，be、cf交于点d，则①△abe≌△acf；②△bdf≌△cde；③点d在∠bac的平分线上，以上结论正确的是（）A.①②③B①②c.①③D②③3.在△abc和△a'b'c'中,①ab=a'b';②bc=b'c';③ac=a'c;④∠a=∠a';⑤∠b=∠b';⑥∠c=∠c';则下列哪组条件不保证△abc≌△a'b'c'．()A.①②③B①②⑤C①⑤⑥D①②④4.如图，已知点p到be、bd、ac的距离恰好相等，则点p的位置：①在∠b的平分线上；②在∠dac的平分线上；③在∠eac的平分线上；④恰是∠b，∠dac，∠eac三个角的平分线的交点。
三角形的角平分线性质
三角形的角平分线性质三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。
本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。
1. 角平分线的定义角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。
三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。
2. 角平分线的性质（1）内角的平分线相互垂直。
对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。
（2）角平分线分割对边成比例。
对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。
（3）角平分线长度关系。
对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。
即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。
（4）角平分线的外角等于直角。
对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。
3. 角平分线的应用（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。
内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。
（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。
（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。
总结：三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。
角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。
角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。
通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线得性质定理及其逆定理学习目标:掌握角平分线得性质；4^理及幷逆圧理得证明与简单应用,掌握尺规作图做角平分线,规范证明步骤。
(1)角平分线得性质定理证明：角平分线得性质竝里角平分线上得点到这个角得两边得距离相等。
证明角平分线得性质定理时，将用到三角形全等得判宦公理得推论：推论:两角及其中一角得对边对应相等得两个三角形全等-(AAS)推导过程：已知:OC平分ZMON.P就是OC上任意一点FA丄OM.PB丄ON, 垂足分別为点A、点B.求证:PA=PB・证明:•••PA 丄0 M.PB 丄ONA ZPAO=ZPBO=90°TOC 平分ZMONAZ1 = Z2在△PAO *jAPBO 中.•'•△PAOMPBOAPA=PB②几何表达角得平分线上得点到角得两边得距离相等)如图所示J・OP平分ZMON(Zl = Z2)・PAdOM・PBdON, •'•PA=PB.(2)角平分线性质定理得逆定理：到一个角得两边距离相等得点■在这个角得平分线上。
推导过程已知:点P就是ZMON内一点,PA丄OM P A.PB丄ON于B但PA=PB・求证:点P在ZMON得平分线上.N证明:连结OP在RtAPAO 与R1APBO 中.RtAPAO^RtAPBO(HL)AZ1 = Z2A OP 平分ZMON即点P在ZMON得平分线上.②几何表达:(到角得两边得距离相等得点在角得平分线上・)如图所示,TPA丄OM.PB丄0 N・PA=PB••• Z1 = Z2{0P 平分ZMON)(3)角平分线性质及判定得应用①为推导线段相等、角相等提供依据与思路：②实际生活中得应用.例:一个工厂，在公路西侧•到公路得距离与到河岸得距离相等，并且到河上公路桥头得距离为300米•在(4)角平分线得尺规作图活动三:观察与思考：尺规作角得平分线观察下面用尺规作角得平分线得步骤(如图)，思考这种作法得依据。
A,B两点。
由作图可知：OA = OB步骤二:分别以点A.B为圆心■以固定长(大于AB长得一半)为半径画弧，两弧交于点C。
角平分线的画法及性质
角平分线的画法及性质
角平分线的性质：1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的间隔相等。
角平分线的性质：1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的间隔相等。
角平分线怎么画材料：圆规、纸张、尺子、铅笔。
1、首先预备好下列图的工具，圆规和尺子是必不行少的。
2、在纸上任凭画一个角AOB。
3、用圆规以O为原点，任意间隔为半径，在纸上画弧，与角AOB相交于点C和点D。
4、先以点C为原点，CD为半径画圆弧；再以点D为原点，DC 为半径画圆弧，两圆弧相交于点E。
5、连接OE，OE就是叫AOB的角平分线了。
角平分线的性质1、角平分线可以得到两个相等的角。
2、角平分线上的点到角两边的间隔相等。
3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的间隔相等。
4、三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
角平分线基本性质及简单应用
角平分线基本性质及简单应用角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.（“3-1-4”定理）逆定理：到角两边距离相等的点在角的角平分线上.三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等. 方法总结：（1）有角平分线时，常国角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等. （2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.（利用角平分线翻折）一、基本性质及简单应用例1. 如图，MP ⊥NP ，MQ 为ΔNMP 的角平分线，MT=MP ，连接TQ ，则下列结论中，不正确的是（ ）A. TQ=PQB. ∠MQT=∠MQPC.∠QTN=900D. ∠NQT=∠MQT例2．已知：如图，BD 是ABC ∠的平分线，BC AB =，P 在BD 上，AD PM ⊥，CD PN ⊥.求证：PN PM =.例3．如图，已知：在ABC ∆中，外角CBD ∠和BCE ∠的平分线BF ，CF 相交于点F . 求证：点F 在DAE ∠的平分线上.例4. D 是ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线的交点，DE ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F.求证：.CF BE EF -=例5.如图，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于点D,BD,CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC.（1）求证：OB=OC;(2 )若将条件“AO 平分∠BAC ”和结论“OB=OC ”互换，命题还能成立吗？请说明理由.M N P Q T F A AE DB C A BCE D O CE F DB A例6. 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90A ，BD 是ABC ∠的平分线，BC DE ⊥于E ，cm BC 10=，求DEC ∆的周长.针对练习：1．如图，已知：AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高.求证：AF AE =.2．如图，已知：在ABC ∆中AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F .求证：EF AD ⊥.3．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，AD 是A ∠的平分线.求证：AB CD AC =+.4．如图，已知：CD BD =，AC BF ⊥于F ，AB CE ⊥于E .求证：D 在BAC ∠的平分线上.第 3 页 共 5 页二、拓展应用例1. EG ，FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的平分线，交点是G 点，BP ，CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的平分线，交点是P 点，点F,C 在AN 上，点B,E 在AM 上.(1) 如果∠G ＝470，那么∠P 的度数大小你能知道吗？ (2) 试求出来.点A,P,G 的位置关系如何？证明你的结论.例2. 如图，BD 平分∠ABC ，AD=DC ，BC>AB,问∠A 与∠C 有怎样的关系？变式题：若上题中条件该为“BD 平分∠ABC ，BC>AB, ∠A ＋∠C ＝1800.”求证：AD=DC.例3.如图,在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，AC=AB+BD.求证：∠B=2∠C 变式题: 如图,在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=2∠C. 求证： AC=AB+AD例4.如图，BD ＝DC,ED ⊥BC 交∠BAC 的平分线于E ，作EM ⊥AB,EN ⊥AC,求证：BM ＝CN.例5. 如图，∠B=∠C=900,M 点是BC 中点，DM 平分∠ADC.求证：AM 平分∠DAB. D C AB B M ED NC A A BD C A B D C变式题. 如图，AB ∥CD, ∠ABC 、∠BCD 的平分线恰好交于AD 上一点E ，试说明BC ＝AB+CD.针对练习：1.如图，D 是等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BP ＝AB ，∠DBP ＝∠DBC.求证：∠P ＝0302、已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝060，△ABC 的角平分线AD 、CE 线相交于点O求证：AE+CD ＝AC3.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，且AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于F ，过C 作BE 的垂线交BE 于E.求证：BF=2CE巩固性练习1、下列说法正确的有几个（ ）（1） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； （2） 三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等；（3） 三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等；AB DPCABCE FD C A B M B A C DE DO A BCE第 5 页 共 5 页ED CBA （4） 点E 、F 分别在∠AOB 的两边上，P 点到E 、F 两点距离相等，所以P 点在∠AOB 的平分线上； （5） 若OC 是∠AOB 的平分线，过OC 上的点P 作OC 的垂线，交OB 于D ，交OA 于E ，则线段PD 、PE 的长分别是P 点到角两边的距离A ．2B 3C 4D 5 2、在△ABC 中，∠C ＝090，BC ＝16cm ，∠A 的平分线AD 交BC 于D ，且CD ：DB ＝3：5，则D 到AB 的距离等于＿＿＿＿3、已知：如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，236cm S ABC =∆AB ＝18cm,BC ＝12cm, 求DE 的长4．已知：如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别平分ABC ∠、ACB ∠，且交于点O ，求证：点O 在A ∠的平分线上.5、.如图在 △ABC 中,∠BAC ＝100°,∠ACB ＝20°,CE 是∠ACB 的平分线,D 是BC 上一点,若∠DAC ＝20°,求∠CED 的度数.6.在四边形ABCD 中,BC ﹥BA,AD ＝CD,BD 平分∠ABC,∠C ＝72°,求∠BAD 的度数C B ADE CA B D O B F CEA。
角平分线性质的原理
角平分线性质的原理角平分线是指将一个角分成两个大小相等的角的线段。
角平分线有以下几个重要的性质：性质一：角平分线上的所有点到角的两边的距离相等。
这个性质可以通过几何推理证明。
假设有一个角ABC，角平分线AD将角分成两个大小相等的角∠BAD和∠DAC。
我们需要证明，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即AD = BD = CD。
证明如下：首先，连接AC。
假设∠BAD = ∠DAC = x。
由于∠BAD和∠DAC大小相等，因此四边形ABCD可以分成两个等腰三角形∆ABD和∆ACD。
根据等腰三角形的性质，AD = BD，AD = CD。
所以，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
性质二：角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。
内切点是指和角的另一条边相切于一个点的线。
角的角平分线正好满足这个条件，因此角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。
证明如下：仍以角ABC为例，设∠BAD和∠DAC是由角平分线AD分出的两个大小相等的角。
连接AC并延长到点D，假设角∠ADC是由角平分线AD分出的较大的角。
根据性质一，AD = CD。
又根据角度和定理，∠A + ∠BAD + ∠DAC + ∠ADC = 180。
由于∠BAD = ∠DAC，所以∠A + 2∠BAD + ∠ADC = 180。
进一步化简得到∠A + ∠BAD + ∠BAD + ∠ADC = 180。
由于∠BAD + ∠ADC = 180（补角关系），所以∠A + ∠BAD + ∠BAD + 180 - ∠BAD = 180。
整理得到∠A + ∠BAD = 180，即∠BAD + ∠DAC = 180。
这说明∠BAD和∠DAC 构成的直线与延长线AC重合于点D，所以角平分线和角的另一条边相交于角的内切点。
性质三：角的内切线平分角的大小。
内切线是指从角的内切点到角的顶点的线段，它平分了角的大小。
证明如下：再以角ABC为例，连接内切点D和角的顶点A，假设角∠BAC的内切线为AD。
数学上册角的平分线的性质
计算角度
在已知三角形两个角的情况下，可以利用三角形内角和定理计算出第三个角的大小。
证明全等三角形
在证明两个三角形全等时，如果两个三角形有两组对应的角分别相等，并且其中一组等角的 对边相等，那么这两个三角形全等（AAS）。此时，可以通过作角的平分线来构造全等的条 件。
解决实际问题
在实际问题中，如测量、建筑等领域，经常需要利用三角形内角和定理和角的平分线性质 来解决相关问题。例如，在测量一个角度时，可以通过测量另外两个角度并利用三角形内 角和定理来计算出目标角度的大小。
04 角的平分线与三角形面积 关系
04 角的平分线与三角形面积 关系
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
三角形面积公式是计算三角形面积的 基础，适用于任何类型的三角形。
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
应用二
利用角的平分线性质解决与三角形面积相关的问题。例如， 在三角形中作一条角平分线，可以将原三角形划分为两个面 积相等的小三角形，从而简化问题或找到新的解题思路。
05 角的平分线在几何变换中 性质
05 角的平分线在几何变换中 性质
平移、旋转、对称变换下性质
01
02
03
平移不变性
角的平分线在平移变换下 保持其性质不变，即平移 后的角平分线仍然是原角 的平分线。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
证明方法
通过平行线的性质或外角定理等方式证明。
角的平分线与内角和关系
角的平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平 分线。
角的平分线知识点
角的平分线考点扫描掌握角平分线的性质定理和它的逆定理；能够利用它们证明一些相应的问题；理解互逆命题和互逆定理的概念．名师精讲1．角平分线性质定理及其逆定理性质定理：角的平分线上任意点到这个角的两边的距离相等；逆定理：到一个角的两边距离相等的点．在这个角的平分线上．由此可知，角的平分线是到两边的距离相等的所有点的集合．注意：要分清角平分线性质定理和它的逆定理的题设和结论，这两个定理，一个是性质，一个是判定，它们是有区别的，这两个定理的题设和结论正好相反．2．逆命题的定义也可以叙述为：交换一个已知命题的题设和结论所得的新命题叫做已知命题的逆命题．每个命题都有它的逆命题，原命题和逆命题两者是相对的．要注意真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题也不一定是假命题．3．根据一个已知命题表述出它的逆命题是本节的一个难点．这就要求在对原命题深刻理解的基础上，把原命题写成“如果……，那么……”的句式，然后把两部分的内容交换，就得到它的逆命题．说明：中考中单独测验角的平分线的性质的题目较少，往往把角平分线与其它知识组合成较复杂的题目．角平分线的使用一、平分线的应用几何题中，经常出现“已知角的平分线”这一条件。
这个条件一般有下面几个方面的应用：（1）利用“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的性质，证明两条线段相等。
（2）利用角是轴对称图形，构造全等三角形。
（3）构造等腰三角形。
二、应用举例：1.利用角平分线的定义例1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证AD平分∠EAC。
证明：因AB=AC，故∠B=∠C。
又因AD//BC，故∠1=∠B，∠2=∠C，故∠1=∠2，即AD平分∠EAC。
2.利用等腰三角形三线合一例2.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF 平分∠DAE。
证明：连结EF并延长，交AD的延长线于G，则ΔFDG≌ΔFCE，故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE。
角的平分线的性质知识讲解
角的平分线的性质(提高)【学习目标】1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质.2•掌握角平分线的判定及角平分线的画法.3.熟练运用角的平分线的性质解决问题.【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分/ ADB点P是CD±一点，且/KAD于点E, PF丄BD于点F,则PE二PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上要点诠释: 用符号语言表示角的平分线的判定：若PEL AD 于点E, PFL BD 于点F, PE二PF,贝U PD 平分/ ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图(1) 以0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于D, 交0B于E.1(2) 分别以D E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在/ AOB内部交于点C.2(3) 画射线0C.射线0C即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等•三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点•这点叫做三角形的旁心三角形有三个旁心•所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ ABC的内心为R '旁心为Fa, F S,P4‘这四个点到△ ABC三边所在直线距离相等・P4【典型例题】类型一、角的平分线的性质及判定1、如图，在厶ABC中，/ ABC的平分线与/ ACB的外角的平分线相交于点P,连接AP.(1) 求证：PA平分/ BAC的外角/ CAM(2) 过点C作CELAP, E是垂足，并延长CE交BM于点D.求证：CE=EDB c N【思路点拨】C )过P作PTL BC于T, PSL AC于S, PCL BA于Q根据角平分线性质求出PQ=PS=PT根据角平分线性质得出即可；(2)根据ASA求出△ AED^AAEC即可.【答案与解析】证明：C)过p作PTLBC于T, PSI AC于S,PQLBA于Q如图，・••在△ ABC中，/ ABC的平分线与/ ACB的外角的平分线相交于点P,••• PQ=PT PS=PT••• PQ=PS・AP平分/ DAC即PA平分/ BAC的外角/ CAMR c r jV(2)T PA平分/ BAC的外角/ CAM•••/ DAE=/ CAE •••CEL AP, •••/ AEDM AEC=90 ,在厶AED 和厶AEC 中r ZDAE=ZCAE*AE 二AEL ZDEA=ZCEA•••A AED A A AEC・CE=ED【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的矢键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS A AAED^AAEC注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.举一反三：【变式】如图，AD是/ BAC的平分线，DEIAB,交AB的延长线于点E, DF丄AC于点F,且DB二DC.求证：BE二CF.【答案】证明：・DELAE, DF丄AC,AD是/ BAC的平分线,• DE= DF,/ BED=Z DFC= 90°一- 出：DB=DC在RtA BDE 与Rt △ CDF 中，、DE = DF・R tA BDE A RtA CDF( HL)・B E= CF2、如图，久。
八年级数学角平分线的性质
√
互逆定理：
如果一个定理的逆命题经 过证明是真命题，那么它 也是一个定理。这两个定 理叫做互逆定理。其中一 个叫做另一个的逆定理。
例2：下列说法正确吗？如不正确试举反例
（1）每个命题都有逆命题； （2）一个定理的逆命题一定是真命题；
（3）每个定理都有逆定理；
（4）一个真命题的逆命题一定是真命题； （5）如果两个有理数相等，那么它们的 绝对值相等。此命题的逆命题为假命题
F M
B
E
C
练习：课本54页 第1题 小结：
1、理解原命题和逆命题之间的关 系。会写出一个命题的逆命题。 2、理解任意三角形内都有一点 到三边的距离相等。
作业：习题3.4第1、8、9题
； 211小说
；
他买五六级魔晶,那不知道要亏多少了. "行,这钱您收好,我走了,别送哈,以后有时间一定再来照顾你の生意."青年喜笑颜开,拿起五枚魔晶走出店门. 青年刚出店铺,店门口一名白衣少女快速の靠了过来,低声说道："哥,买好了吗?" 不错,两人正是白重炙兄妹.见妹妹询问,白重炙点了点 头,像做贼一样,左右看了看,也低声说道："好了,回去再说." 两人快速の走动,离开了牛栏街,从白家堡小门拐进自家小院. "嘿嘿,今天买了五枚魔晶,每枚比昨天还便宜了十晶币." 进了房间,白重炙把魔晶丢在桌子上,喝了口水笑着说道,似乎对于今天の战绩很满意. "哥哥,好厉害,快把 小白召唤出来,给它吃吧."夜轻语拿起一枚魔晶,开心笑了起来,对她来说,这世界没什么让她开心の事,只要哥哥开心她就什么都开心. "恩,小白出来吃饭了."白重炙点了点头,召唤战智小白. 一道白色气流从白重炙胸口溢出,慢慢凝结,最后变成巴掌大の战智小白.小白好像
第2讲 角平分线的性质与判定
第2讲 角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN【解法指导】由于PM ⊥BD ，PN ⊥AD .欲证PM ＝PN 只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD 与△OAD 全等即可.证明：∵OD 平分∠AOB ∴∠1＝∠2在△OBD 与△OAD 中，12OB OA OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OBD ≌△OAD∴∠3＝∠4 ∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD 所以PM ＝PN 【变式题组】01．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.02．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数 【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE ⊥AB ，联想到可作CF ⊥AD 于F ，得CE ＝CF ，AF ＝AE ，又由AE ＝12(AB ＋AD )得DF ＝EB ，于是可证△CFD ≌△CEB ，则∠B ＝∠CDF ＝60°.或者在AE 上截取AM ＝AD 从而构造全等三角形.解：过点C 作CF ⊥AD 于点F .∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，点C 是AC 上一点，∴CE ＝CF在Rt △CFA 和Rt △CEA 中，CF CEAC AC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ∴AF ＝AE又∵AE ＝12(AE ＋BE ＋AF －DF )，2AE ＝AE ＋AF ＋BE －DF ，∴BE ＝DF ∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ，∴∠F ＝∠CEB ＝90°在△CEB 和△CFD 中，CE CF F CEB DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△CFD∴∠B ＝∠CDF 又∵∠ADC ＝120°，∴∠CDF ＝60°，即∠B ＝60°. 【变式题组】01．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACDCBDS S ∆∆ 02．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BD 【解法指导】由于BE 平分∠ABC ，因而可以考虑过点D 作BC 的垂线或延长CE 从而构造全等三角形.证明：延长CE 交BA 的延长线于F ，∵∠1＝∠2，BE ＝BE ，∠BEF ＝∠BEC∴△BEF ≌△BEC (ASA ) ∴CE ＝EF ，∴CE ＝12CF ∵∠1＋∠F ＝∠3＋∠F ＝90°， ∴∠1＝∠3在△ABD 和△ACF 中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABD ≌△ACF∴BD ＝CF ∴CE ＝12BD第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图【变式题组】01．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .02．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高01．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn02．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．403．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③04．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④ 05．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°06．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）第6题图第7题图第8题图第9题图第10题图A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④ 07．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P08．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个09．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD⊥EF .培优升级·奥赛检测01．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）l2第1题图第3题图第4题图第5题图A．一处B．二处C．三处D．四处02．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（）A．18B．16C．14D．1203．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是__________04．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝__________05．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离等于__________06．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝12(∠ACB－∠B)07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC08．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP。
角平分线的性质是什么
角平分线的性质是什么
角平分线的性质
1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
扩展资料
基本结构
1、见角平分线上的一点向角的一边作的垂线，可过该点向另一边作垂线；
2、见角平分线上的一点向角平分线作的垂线，可延长该垂线段交于角的另一边；
3、在角平分线的两边截取等线段，构造全等。
三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。
三角形的'内心到三角形三边的距离相等。
三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
定义
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的性质及应用
利用角平分线定理求角度
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与角度相关的几何问题。
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解某个角度的大小。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求 解两个相等的线段之间的夹角。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这个 角被平分线分为两个相等的部分，因此可以利用这个性质来求解角度。
总结词
角平分线定理是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明 各种几何命题，如三角形中的角平分线性质、平行线性质等 。
详细描述
角平分线定理指出，角平分线将相对边分为两段相等的线段 。利用这个定理，我们可以证明一些与角平分线相关的几何 命题。例如，如果一个角的平分线与另一个角的两边相交， 那么这两个交点到角平分线的距离相等。
利用角平分线定理证明三角恒等式
总结词
通过构造角平分线，可以将复杂的三角恒等式证明问题转化为简单的几何问题，从而证 明三角恒等式。
详细描述
在证明三角恒等式时，我们可以根据题目的特点，构造角平分线，将问题转化为几何问 题。然后利用角平分线定理和三角形的性质，推导出恒等式。这种方法可以简化证明过
程，使证明更加直观和简单。
利用角平分线定理求距离
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解 一些与距离相关的几何问题。
VS
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解两个 点之间的距离。利用角平分线定理，我们 可以将问题转化为求解两个相等的线段之 间的距离。例如，如果一个角的平分线将 相对边分为两段相等的线段，那么这两个 相等的线段之间的距离就是所求的距离。 因此，可以利用这个性质来求解距离。
详细描述
这是角平分线的一个非常重要的性质。在几何学中，我们可以通过这个性质来证明一些与角平分线相关的命题。 例如，如果我们从一个固定点向一个角的两边画线，那么这些线中最短的一条必定是角的平分线。这个性质在解 决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到最短的路径或线段。
12.3 角的平分线的性质
距离与点 O 到 CD 的距离之和是 ．
第 3页（共 15页）
15．如图， ABC 中， DF 平分 BDE ， EF 平分 DEC ， 求证： AF 平分 BAC ．
二、作图—尺规作图的定义
16．下列作图语句的叙述正确的是 ( )
A．以点 O 为圆心画弧 C．延长线段 BC 到点 D ，使 CD BC
第 1页（共 15页）
12.3 角的平分线的性质
一、角平分线的性质 1．（2020 春•扶风县期末）如图，在 ABC 中，AD 是角平分线，DE AB 于点 E ，ABC 的面积为 15，AB 6 ， DE 3 ，则 AC 的长是 ( )
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图
A．8
B．6
C．5
D．4
2．（2019 秋•长清区期末）如图，RtABC 中，C 90 ，AD 平分 BAC ，交 BC 于点 D ，AB 10 ，SABD 15 ，
则 CD 的长为 ( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2019 秋•博兴县期中）如图所示，在 ABC 中，AC BC ，AE 为 BAC 的平分线，DE AB ，AB 7cm ，
DC 2 ，则 ABD 的面积为 ．
11．（2019 秋•广丰区期末）平面上有三条直线两两相交且不共点，那么平面上到此三条直线距离相等的点
的个数是 ．
12．（2018 秋•黔南州期末）如图，已知 ABC 的周长是 21，OB ，OC 分别平分 ABC 和 ACB ，OD BC
于 D ，且 OD 4 ， ABC 的面积是
ABC 内角平分线的交点满足条件；
如图：点 P 是 ABC 两条外角平分线的交点，
角平分线的性质kejia
02
多边形一条边的两个端点与不相邻的顶点的连线，将多边形划分为n-2个三角形， 每个三角形的内角和为180°。
03
多边形一条边的两个端点与不相邻的两个顶点的连线，是多边形的两条角平分线， 它们将多边形划分为n-1个三角形，每个三角形的内角和为180°。因此，多边形的 内角和也可以表示为（n-1）×180°-2×角平分线的夹角。
在平行四边形中，相邻两角的角 平分线互相垂直。
角平分线所在的直线是平行四边 形的对称轴。
梯形中角平分线特点
梯形中的角平分线将梯形的一个角平分为两个相等的小角。 梯形两腰的角平分线长度相等。
梯形中一组对角的角平分线互相平行。
多边形内角和与角平分线关系
01
多边形的内角和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
证明垂直或平行问题
1 2
利用角平分线与垂线的性质
角平分线与垂线重合时，可证明两条直线垂直。
构造平行四边形
通过角平分线构造平行四边形，利用平行四边形 的性质证明直线平行。
3
应用同位角、内错角等性质
结合同位角、内错角等相关性质，可证明直线平 行或垂直。
05
角平分线在实际问题中应 用举例
测量问题中角平分线应用
之间的角度关系。
如机械臂的运动轨迹规划、机器人的路
径规划等。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
角平分线的定义：角平分线是从一个角 的顶点出发，将该角平分为两个相等的 小角的射线。
角平分线的构造：通过角的顶点，使用 圆规和直尺可以构造出角的平分线。
角平分线将相对边分为两段，这两段与 角的两边所构成的三角形面积相等。
在测量角度时，如果无法直接测量或者测量难度较大，可以 利用角平分线的性质，将原角平分，然后分别测量两个较小 的角，再通过计算得到原角的度数。
八年级上-角平分线及性质
角平分线及性质知识集结知识元角平分线的性质知识讲解角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长度；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直；如果没有垂直则需要构造垂直后再使用该性质.例题精讲角平分线的性质例1.下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（）A．B．C．D．例2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=8，DE=2，AB=5，则AC长是（）A．6B．5C．4D．3例3.如图，AB∥CD，AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，BD过点E且垂直于AB，若点E到AC的距离为3，则BD=．角平分线的作图知识讲解在角平分线相关的作图问题中，一般常会用到的是角平分线的定义和角平分线的性质.例题精讲角平分线的作图例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）.A．15 B．30 C．45 D．60例2.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE角平分线相关的面积计算知识讲解角平分线的性质能够为面积的计算直接提供现有的高以及高的具体值，所以涉及到角平分的计算也常会与面积结合.例题精讲角平分线相关的面积计算例1.如图，是某油路管道的一部分，延伸其中三条支路恰好构成一个直角三角形，其三边长分别为6cm，8cm，10cm，输油中心O在到三条支路距离相等的地方，则中心O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）为（）.A．24cm B．12cm C．10cm D．6cm例2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）A．8B．6C．5D．4例3.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，AC=3，则△ADC的面积是（）A．3B．4C．5D．6角平分线求点线距离知识讲解求点到线的距离问题在角平分线相关的部分是非常典型的一种类型题，其中需要明确的知识包括点到线的距离的标准定义、角平分线的性质，将两者结合来添加辅助线也是非常重要的一种处理手段.例题精讲角平分线求点线距离例1.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）A．1B．2C．D．4例2.如图，O是直线BC上的点，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，点E在OM上，过点E作EG⊥OA于点G，EP⊥OB于点P，延长EG，交ON于点F，过点F作FQ⊥OC于点Q，若EF=10，则FQ+EP的长度为（）.A．5B．10C．15D．20例3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠BAC的平分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为．利用角平分线的性质求线段取值范围知识讲解求线段取值范围的问题，是利用角平分线的性质和垂线段最短这两个知识处理问题的一个典型题型，有线段的范围就能求出最值，所以求线段的最值问题也是此类型题目，处理方法相同.例题精讲利用角平分线的性质求线段取值范围例1.如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD=3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是（）.A．2B．3C．4D．5例2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）.A．1B．2C．3D．4例3.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2B．2C．4D．4角平分线的性质在几何问题中的应用知识讲解角平分线的性质为几何计算、证明题提供线段相等的条件，所以一般在题目中出现角平分线且有垂直条件出现时，常会考虑到角平分线的性质.例题精讲角平分线的性质在几何问题中的应用例1.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点O到BC边的距离为3，且△ABC 的周长为20，则△ABC的面积为．例2.'如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．'例3.'如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且BD⊥l于的D，CE⊥l于的E．（1）求证：BD+CE=DE；（2）当变换到如图②所示的位置时，试探究BD、CE、DE的数量关系，请说明理由．'角平分线的判定知识讲解1.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意：①这是判定角平分线的一个标准判定方法；②如果强调了“在角的内部”，则满足判定条件的线是唯一的，尤其是在三角形中；如果没有强调“在角的内部”，则满足判定条件的线不唯一.例题精讲角平分线的判定例1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）.A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点例2.'已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．'例3.'如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线．'角平分线在选址问题中的应用知识讲解对于选址问题，要能够将实际问题抽象成数学问题，到线性实体的距离相等即等价于到点到线的距离相等，这就是典型的对角平分线的判定方法的考查.例题精讲角平分线在选址问题中的应用例1.三条直线l1，l2，l3相互交叉，交点分别为A，B，C，在平面内找一个点，使它到三条直线的距离相等，则这样的点共有（）.A．一个B．两个C．三个D．四个例2.A、B、C表示三个小城，相互之间有公路相连，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（）A．三边中线的交点处B．三条角平分线的交点处C．三边上高的交点处D．三边的中垂线的交点处角平分线性质和判定的综合应用知识讲解根据角平分线的定义和性质可知，角平分线不仅能提供角的关系，还能提供边的关系：①角平分线将一个大角分成相等的两个小角；②角平分线上的点到角的两边距离相等.角平分线在几何计算和证明中被利用的频率比较高.例题精讲角平分线性质和判定的综合应用例1.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③例2.如图，BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，则关于F的说法不正确的是（）A．F到△ABC三边所在直线的距离相等B．F在∠A的平分线上C．F到△ABC三顶点的距离相等D．F到BD、CE的距离相等例3.'如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．'角平分线性质模型知识讲解利用角平分线的性质构造辅助线，其最终的模型如下图：例题精讲角平分线性质模型例1.'如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．'例2.'四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°.求证：2AE=AB+AD．'例3.'在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B=60°，∠ACB=90°，则∠AFC=；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．'角平分线的对称模型知识讲解在利用角平分线的对称特点添加辅助线类的题目，常会与下一节要讲的截长补短的结构相关，所以在分析题目时，有时候可以从多个角度入手，拓展解题思路.例题精讲角平分线的对称模型例1.'已知，如图，△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求∠B的度数．'例2.'已知在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于点O．（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：AC=AE+CD；（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．'例3.'在△ABC中，∠A=60°，BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，CF与BE相交于点O．（1）如图1，若∠ACB=90°，求证：BF+CE=BC；（2）如图2，若∠ABC与∠ACB是任意角度，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．'当堂练习单选题练习1.某地为了发展旅游业，要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址地点共有（）处．练习2.如图，BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，则关于F的说法不正确的是（）A．F到△ABC三边所在直线的距离相等B．F在∠A的平分线上C．F到△ABC三顶点的距离相等D．F到BD、CE的距离相等练习3.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE练习4.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）练习5.如图，OP平分∠MON，PA⊥OA于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的值为（）A．1B．2C．大于2 D．不小于2练习6.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2B．2C．4D．4练习7.A、B、C表示三个小城，相互之间有公路相连，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（）A．三边中线的交点处B．三条角平分线的交点处C．三边上高的交点处D．三边的中垂线的交点处练习8.如图，AB⊥AC，AG⊥BG，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的角平分线，AG∥BC，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°、其中正确的结论是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④练习9.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=8，DE=2，AB=5，则AC长是（）A．6B．5C．4D．3填空题练习1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC=°．解答题练习1.'如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线．'练习2.'已知在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于点O．（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：AC=AE+CD；（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．'练习3.'观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB=2∠B．（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．'练习4.'如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．'练习5.'如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．'练习6.'如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．'练习7.'如图，在△ABC中，D为AB的中点，F为BC上一点，DF∥AC，延长FD至E，且DE=DF，联结AE、AF．（1）求证：∠E=∠C；（2）如果DF平分∠AFB，求证：AC⊥AB．'。
角平分线的性质定理和判定(经典)
角平分线的性质定理和判定(经典)角平分线是将一个角平均分为两个相等角的射线。
根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等，包括平分线上的点和点到边的距离。
而角平分线的判定定理则是指到角的两边距离相等的点必在角平分线上。
例如，在等腰直角三角形中，如果AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，那么需要证明BD+DE=AC，以及求出△DBE的周长。
又如，在直角三角形中，如果DM平分∠ADC，M是BC的中点，需要证明AM平分∠DAB，并说明DM与AM的位置关系。
另外，如果已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，需要求出△XXX的面积。
在解题时，需要注意不要忽视“垂直”条件，通常需要向角的两边引垂线。
2.证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。
常用的证明方法有使用全等三角形、角平分线的性质以及利用面积相等。
需要特别注意的是点到角两边的距离。
3.在证明点在角的平分线上时，应该避免使用找全等三角形的方法，而是直接应用角平分线性质定理和判定定理。
如果有简单方法可以使用，就不要绕远路。
6.已知AD是△ABC角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BD=CD。
证明∠B=∠C。
7.在△ABC中，∠C=90，点D是斜边AB的中点，AB=2BC，DE⊥XXX于点E。
证明BE平分∠ABC。
第八部分：几何证明题8.如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，要证明AM平分∠DAB。
证明：连接AM，BD，CD。
因为M是BC的中点，所以BM=CM。
又因为∠B=∠C=90°，所以BM=BD，CM=CD。
又因为DM平分∠ADC，所以∠MDA=∠MDC。
又因为BD=CD，所以∠XXX∠XXX。
因此，∠MDA=∠XXX∠BDA=∠XXX。
所以，四边形AMBD是一个平行四边形。
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O B A P
D
P
E
A
O B
C
C B A
D
E §12.8 角平分线的性质学案
怀柔四中初二数学编写人：学习目标：1.通过动手折纸，得出角平分线的性质
一、课前学习：从直线外一点到这条直线的
的叫做点到直线的 .
二、课上探究：
1、探究角平分线的性质：看幻灯片的演示，按操作步骤折纸，并思考问题。
结论：角平分线上的点到角两边。
你能证明你的结论吗？
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，
，垂足分别是D ，E 。
求证：几何语言的表述：∵OC 平分∠AOB ，∴ . 2.应用性质
例1 已知：在△OAB 中，OE 是它的角平分线，EA=EB ，
EC ⊥OA 、ED ⊥OB 分别垂垂足为C ，D. 求证：AC=BD.
3.生活拓展例2如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上（△ABC 内）修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建? 三、小结：四、检测：1.在△ABC 中，∠ C=90 °，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，BC ＝7，DE ＝3. 则BD= 。
2.三角形中，到三边距离相等的点是（）A.三条高线交点 B.三条中线交点C.三条角平分线的交点 D.三边的垂直平分线的交点O E C D。