辽宁省朝阳市凌源市三校2018-2019学年高一下学期第二次联考数学试题(解析版)
凌源市高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学
凌源市高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学一、选择题1． 已知直线y=ax+1经过抛物线y 2=4x 的焦点，则该直线的倾斜角为（ ） A ．0B．C．D．2． 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a 的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ） A ．15 B ．16 C ．314 D ．133． 某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如表几组样本数据：0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A ． =0.7x+0.35B ． =0.7x+1C ． =0.7x+2.05D ． =0.7x+0.454． 已知函数sin(2)y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图象（ ）A ．关于点(0)6π,对称 B ．关于点(0)3π,对称 C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称5． 下列关系正确的是（ ）A ．1∉{0，1}B ．1∈{0，1}C ．1⊆{0，1}D ．{1}∈{0，1}6． 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）A ．B 2=ACB ．A+C=2BC ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）D ．B （B ﹣A ）=C （C ﹣A ）7． 在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i +8． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9． 设集合M={x|x ≥﹣1}，N={x|x ≤k}，若M ∩N ≠￠，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．[﹣1，+∞）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．11．下列命题正确的是（ ）A ．已知实数,a b ，则“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件B ．“存在0x R ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意x R ∈，均有210x ->”C ．函数131()()2xf x x =-的零点在区间11(,)32内D ．设,m n 是两条直线，,αβ是空间中两个平面，若,m n αβ⊂⊂，m n ⊥则αβ⊥ 12．函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（ ）A ．（0，1）B ．（0，3）C ．（1，0）D ．（3，0）二、填空题13．81()x x-的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.14．函数f （x ）=﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是 ．15．△ABC 中，，BC=3，，则∠C=．16．函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．17．双曲线x 2﹣my 2=1（m ＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m 的值为 ．18．已知点A （﹣1，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），求向量在方向上的投影．三、解答题19．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．20．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4x的焦点，离心率是．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得与k的取值无关，试求点M的坐标．21．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5A B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率；（Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．22．如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）．（I）若∠AOB=α，求cosα+sinα的值；（II）设点P为单位圆上的一个动点，点Q满足=+．若∠AOP=2θ，表示||，并求||的最大值．23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（I）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（II）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．24．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=1﹣，b n=，其中n∈N*．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）设c n =b n+1•（），数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ； （3）证明：1+++…+≤2﹣1（n ∈N *）25．（本题满分15分）若数列{}n x 满足：111n nd x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，123451111115a a a a a ++++=. （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）数列2{}nna 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存在，请说明理由.【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.26．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 中点． （1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；（2）若四边形BCC 1B 1是正方形，且A 1D=，求直线A 1D 与平面CBB 1C 1所成角的正弦值．凌源市高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】D【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点（1，0），直线y=ax+1经过抛物线y 2=4x 的焦点，可得0=a+1，解得a=﹣1， 直线的斜率为﹣1，该直线的倾斜角为：．故选：D ．【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．2． 【答案】D 【解析】考点：等差数列． 3． 【答案】A【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a ，由样本数据可得， =4.5， =3.5．因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a ，解得a=0.35．故选A ．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4． 【答案】A 【解析】∵22,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，∴2,6k k Z πϕπ=+∈，∴cos(2)cos(22)cos(2)66y x x k x ππϕπ=+=++=+， 当6x π=时，cos(2)066y ππ=⨯+=，故选A ．5． 【答案】B【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，故选：B【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．6． 【答案】C【解析】解：若公比q=1，则B ，C 成立；故排除A ，D ； 若公比q ≠1，则A=S n =，B=S 2n =，C=S 3n =，B （B ﹣A ）=（﹣）=（1﹣q n ）（1﹣q n ）（1+q n）A （C ﹣A ）=（﹣）=（1﹣q n ）（1﹣q n ）（1+q n）；故B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）；故选：C ．【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．7． 【答案】D【解析】解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算，21zi i=-+，(1)(2)3z i i i =+-=+，选D ． 8． 【答案】B【解析】解：∵b ⊥m ，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a ⊥b 成立， 若a ⊥b ，则α⊥β不一定成立， 故“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件， 故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．9． 【答案】B【解析】解：∵M={x|x ≥﹣1}，N={x|x ≤k}， 若M ∩N ≠￠， 则k ≥﹣1． ∴k 的取值范围是[﹣1，+∞）．故选：B ．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题．10．【答案】A【解析】解：因为底面半径为R 的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R ，长半轴为：=，∵a 2=b 2+c 2，∴c=，∴椭圆的离心率为：e==． 故选：A ．【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．11．【答案】C 【解析】考点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断,p q q p ⇒⇒的真假），最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断. 12．【答案】B 【解析】解：由于函数y=a x （a ＞0且a ≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a x+2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（0，3）， 故选B ．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．二、填空题13．【答案】70【解析】81()x x -的展开式通项为8821881()(1)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-，所以当4r =时，常数项为448(1)70C -=.14．【答案】 ﹣ ．【解析】解：∵f （x ）=﹣2ax+2a+1，∴求导数，得f ′（x ）=a （x ﹣1）（x+2）． ①a=0时，f （x ）=1，不符合题意；②若a ＞0，则当x ＜﹣2或x ＞1时，f ′（x ）＞0；当﹣2＜x ＜1时，f ′（x ）＜0， ∴f （x ）在（﹣2，1）是为减函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为增函数； ③若a ＜0，则当x ＜﹣2或x ＞1时，f ′（x ）＜0；当﹣2＜x ＜1时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（﹣2，1）是为增函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为减函数因此，若函数的图象经过四个象限，必须有f （﹣2）f （1）＜0，即（）（）＜0，解之得﹣．故答案为：﹣【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断等知识，属于基础题．15．【答案】【解析】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．16．【答案】[﹣1，3]．【解析】解：∵函数y=sin2x﹣2sinx=（sinx﹣1）2﹣1，﹣1≤sinx≤1，∴0≤（sinx﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）2﹣1≤3．∴函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．故答案为[﹣1，3]．【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．17．【答案】4．【解析】解：双曲线x2﹣my2=1化为x2﹣=1，∴a2=1，b2=，∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，解得m=4．故答案为：4．【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．18．【答案】【解析】解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），∴向量=（1+1，2﹣1）=（2，1），=（3+2，4+1）=（5，5）；∴向量在方向上的投影是==．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．20．【答案】【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，…1分c=e•a=×=，故b===，…4分所以，椭圆E的方程为，即x2+3y2=5…6分（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；…7分设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则x1+x2=﹣，x1x2=；…8分∴=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；∴=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2=m2+2m﹣﹣，要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；∴存在点M（﹣，0）满足题意…13分【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵（7+7+7.5+9+9.5）=8，=（6+x+8.5+8.5+y），∵，∴x+y=17，①∵，=，∵，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，②由①②解得或，∵x＜y，∴x=8，y=9，记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含个基本事件，共有个基本事件，∴P（C）=，即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）．可得sinα=，cosα=，∴cosα+sinα=．（Ⅱ）因为P（cos2θ，sin2θ），A（1，0）所以==（1+cos2θ，sin2θ），所以===2|cosθ|，因为，所以=2|cosθ|∈，||的最大值．【点评】本题考查三角函数的定义的应用，三角函数最值的求法，考查计算能力．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=|x+1|+|x﹣1|，由f（x）≥3即|x+1|+|x﹣1|≥3当x≤﹣1时，不等式可化为﹣x﹣1+1﹣x≥3，解得x≤﹣；当﹣1＜x＜1时，不等式化为x+1+1﹣x≥3，不可能成立，即x∈∅；当x≥1时，不等式化为x+1+x﹣1≥3，解得x≥．综上所述，f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；（Ⅱ）由于|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|，则f（x）的最小值为|a﹣1|．要使∀x∈R，f（x）≥2成立，则|a﹣1|≥2，解得a≥3或a≤﹣1，即a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，运用分类讨论和绝对值不等式的性质，是解题的关键．24．【答案】【解析】（1）证明：b n+1﹣b n=﹣=﹣=1，又b1=1．∴数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为1．（2）解：由（1）可得：b n=n．c n=b n+1•（）=（n+1）．∴数列{c n}的前n项和为T n=+3×++…+（n+1）．=+3×+…+n+（n+1），∴T n=+++…+﹣（n+1）=+﹣（n+1），可得T n=﹣．（3）证明：1+++…+≤2﹣1（n∈N*）即为：1+++…+≤﹣1．∵=＜=2（k=2，3，…）．∴1+++…+≤1+2[（﹣1）+（）+…+（﹣）]=1+2=2﹣1．∴1+++…+≤2﹣1（n∈N*）．25．【答案】（1）1nan=，（2）详见解析.当8n=时911872222015S=⨯+>>，…………13分∴存在正整数n，使得2015nS≥的取值集合为{}*|8,n n n N≥∈，…………15分26．【答案】【解析】证明：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点，∵D为AB的中点，∴DO∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点，四边形BCCB1是正方形，且A1D=，1∴CD⊥AB，CD==，AD=1，∴AD2+AA12=A1D2，∴AA1⊥AB，∵，∴，∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC，∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC，∵底面△ABC是等边三角形，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），A（1，0，），D（，0，），A1（1，2，），=（，﹣2，﹣），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ，则sinθ===．∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为．。
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。
辽宁省凌源二中2018-2019届高三数学三校联考试题 理(含解析)
辽宁省凌源二中2018届高三数学三校联考试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】求解一元二次不等式可得：，求解指数不等式可得：，据此可得：，本题选择D选项.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】由题意可得：，则.本题选择A选项.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】由题意可得：，则：，结合同角三角函数基本关系可得：.本题选择B选项.点睛：同角三角函数基本关系式的应用：(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知圆（），当变化时，圆上的点与原点的最短距离是双曲线（）的离心率，则双曲线的渐近线为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆E的圆心到原点的距离，据此可得，当m=4时，圆上的点与原点的最短距离是，即双曲线的离心率为，据此可得：，双曲线（）的渐近线为.本题选择C选项.6. 已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即：.本题选择B选项.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，即时推出循环，则①中应填.本题选择C选项.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用奇函数的性质可得：，即当时，函数的解析式为：，令，由函数的奇偶性的定义可得函数g(x)是定义域内的偶函数，且：，，即函数在区间上单调递减，且：，结合函数的单调性可得：.本题选择C选项.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为：.本题选择D选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10. 已知函数（）的部分图象如图所示，其中.即命题，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】C【解析】由可得：，解得：，结合可得：，结合可得：，函数的解析式为：，则命题p是真命题.将函数的图像上所有的点向右平移个单位，所得函数的解析式为：的图像，即命题q为假命题，则为假命题；为真命题；为真命题；为假命题.本题选择C选项.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线方程中：令可得，即，结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，据此可得：，且：，将代入可得，故，故,故△ABM的周长为,本题选择D选项.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（）A. B. 49 C. D.【答案】C【解析】当时，，解得：或(舍去)，且：，两式作差可得：，整理可得：，结合数列为正项数列可得：,数列是首项为3，公比为3的等差数列，，则：，据此裂项求和有：结合恒成立的条件可得：.本题选择C选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________.【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 在的展开式中，含项的为，的展开式中含项的为，则的最大值为__________.【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则，结合排列组合的性质可知，由，当且仅当时等号成立.综上可得：的最大值为.....................................(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．15. 已知满足其中，若的最大值与最小值分别为1，，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由两两垂直，可知为和的斜边，故点到点的距离相等，故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由.得，解得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，，设函数.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.（1）若，求函数的值域；（2）已知分别为中角的对边，且满足，，，，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)结合题意可得..结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域是；(2)由题意得到三角方程：.据此可得，然后利用余弦定理求得.最后利用面积公式可得的面积是.试题解析：（1）由题意，得.所以.因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.（2）因为，所以.因为，所以.所以，解得.所以.又，且，，所以.所以的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)当时，平面.证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.(2)①；②；.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，. 所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为点，其离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，过点的直线与椭圆交于两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数（），其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性及极值；（2）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得导函数的解析式，分类讨论可得：当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）分类讨论：当时，明显成立；当时，由（1），知在内单调递增，此时利用反证法可证得结论；当时，构造新函数，结合函数的单调性即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即时，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得极小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）当时，成立.当时，由（1），知在内单调递增，令为和中较小的数，所以，且，则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为，结合三角函数的性质可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.(2)原问题等价于对，有恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)将函数的解析式写成分段函数的形式，然后分类讨论可得不等式的解集为；(2)利用绝对值不等式的性质可得，g(x)的值域为.然后结合恒成立的条件即可证得题中的不等式.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2）当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于.∵，∴，.∴.∴.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
辽宁省凌源二中2018届高三三校联考理数试题Word版含答案
2018届高三三校联考理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2540M x x x =-+≤，{}24xN x =>，则（ ）A ．M N =R UB ．{}24M N x x =<<I C ．{}2M N x x =>U D ．{}24M N x x =<≤I 2．记复数z 的虚部为()Im z ，已知复数5i2i 2i 1z =--（i 为虚数单位），则()Im z 为（ ）A ．3-B ．2C ．3i -D ．33．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos -=+ααααα（ ） A ．12 B ．35 C ．2 D ．38- 4．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．2363mm 10π B ．2363mm 5π C ．2726mm 5π D ．2363mm 20π5．已知圆()()22:341E x y m -++-=（m ∈R ），当m 变化时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是双曲线2222:1x y C a b-=（00a b >>，）的离心率，则双曲线C 的渐近线为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y x = 6．已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan 3a a ⎛⎫⋅=⎪⎝⎭π（ ）A ．．．7．执行如图的程序框图，若输出的S 的值为10-，则①中应填（ ）A ．18?n ≥B ．19?n ≥C ．20?n ≥D ．19?n < 8．已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，()e 1cos xf x m x =-++，记()22a f =--，()1b f =--，()33c f =，则,,a b c 间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）A ．23+πB ．12+π C ．26+π D ．23+π 10．已知函数()()2sin f x x =+ωϕ（0,,2⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦πωϕπ）的部分图象如图所示，其中52MN =.即命题()5:2sin 36p f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ，命题q ：将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数22sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ的图象.则以下判断正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．p q ∨为假C ．()p q ∧⌝为真D ．()p q ⌝∨为真11．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ） A．7112+．9．8312．912．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，*n ∈N ，()()122121n nn a n a a b +=--，若*n ∀∈N ，n k T >恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．17 B ．49 C ．149 D ．8441第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知在ABC ∆中，BC AB CB =-uu u r uu u r uu r ，()1,2AB =uu u r，若边AB 的中点D 的坐标为()3,1，点C 的坐标为(),2t ，则t = ．14．在812x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的为p ，32127x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含2x -项的为q ，则p q +的最大值为 ．15．已知,x y 满足3,,60,x y t x y +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩π其中2t >π，若()sin x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为 ．16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bi ē n ào ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量()sin ,cos u x x =r ，()6sin cos ,7sin 2cos v x x x x =+-r ，设函数()f x u v =⋅r r.将函数()f x 的图象向右平移24π个单位，得到函数()g x 的图象. （1）若,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ，求函数()g x 的值域； （2）已知,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，且满足()2g A =，0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，a =，2b =，求ABC ∆的面积.18．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中CD AB ∥，BC AB ⊥，侧面ABE ⊥平面ABCD ，且AB AE BE ===222BC CD ==，动点F 在棱AE 上，且EF FA =λ.（1）试探究λ的值，使CE ∥平面BDF ，并给予证明； （2）当1=λ时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值.19．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为点12,F F ，其离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于,M N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于,P Q 两点，且12l l ∥，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形.21．已知函数()()e 1xf x a x b =-+-（,a b ∈R ），其中e 为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性及极值；（2）若不等式()0f x ≥在x ∈R 内恒成立，求证：()1324b a +<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,sin x t y =⎧⎨=⎩αα（0t >，α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ. （1）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+. 理数参考答案及评分细则一、选择题1-5:DABAC 6-10:BBCDC 11、12：DC 二、填空题13．1 14．-．57,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ 16．24-π 三、解答题17．解：（1）由题意，得()f x u v =⋅r r()sin 6sin cos x x x =++()cos 7sin 2cos x x x -226sin 2cos 8sin cos x x x x =-+4sin 24cos 22x x =-+224x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π.所以()22244g x x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π.因为,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ， 所以22,363x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦πππ， 所以1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π，所以()2,2g x ⎡⎤∈-⎣⎦，所以函数()g x 的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦.（2）因为()2g A =，所以sin 23A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π. 因为0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π， 所以22,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭πππ. 所以233A -=ππ，解得3A =π.所以1cos 2A =.又222cos 2b c a A bc+-=，且a =2b =，所以4c =.所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==18．解：（1）当12=λ时，CE ∥平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵CD AB ∥，2AB CD =， ∴12CG CD GA AB ==.∵12EF FA =，∴12EF CG FA GA ==. ∴GF CE ∥.又∵CE ⊄平面BDF ，GF ⊂平面BDF ， ∴CE ∥平面BDF .（2）取AB 的中点O ，连接EO . 则EO AB ⊥.∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE I 平面ABCD AB =，且EO AB ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD .∵BO CD ∥，且1BO CD ==，∴四边形BODC 为平行四边形，∴BC DO ∥. 又∵BC AB ⊥，∴AB OD ⊥.由,,OA OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则()0,0,0O ，()0,1,0A ，()0,1,0B -，()1,0,0D ，()1,1,0C -，(E .当1=λ时，有EF FA =uu u r uu r，∴可得10,2F ⎛ ⎝⎭.∴()1,1,0BD =uu u r，(CE =-uur，30,2BF ⎛= ⎝⎭uu u r .设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r，则有0,0,n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r即0,30,22x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令z =1y =-，1x =，即(1,n =-r.设CE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin cos ,CE n ==θuu rr 15=.∴当1=λ时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为15. 19．解：（1）由列联表可知2K 的观测值()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++()220050405060 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得1110,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:， 所以()111110202E X =⨯=； ()1199910202040D X =⨯⨯=. 20．解：（1）由已知，得12c a =，b = 又222c a b =-，故解得24a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1），知()11,0F -，如图，易知直线MN 不能平行于x 轴， 所以令直线MN 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ， 联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+.此时MN =同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，此时342634m y y m -+=+，342934y y m -=+，此时PQ =故MN PQ =.所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ Y 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u r u u u r，于是有12120x x y y +=. 又()()121211x x my my =--()212121m y y m y y =-++，所以有()()21212110m y y m y y +-++=， 整理得到22125034m m --=+， 即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ 不可能是菱形.21．解：（1）由题意得()()e 1xf x a '=-+. 当10a +≤，即1a ≤-时，()0f x '>，()f x 在R 内单调递增，没有极值.当10a +>，即1a >-时，令()0f x '=，得()ln 1x a =+，当()ln 1x a <+时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()ln 1x a >+时，()0f x '>，()f x 单调递增，故当()ln 1x a =+时，()f x 取得极小值()()ln 11f a a b +=+--()()1ln 1a a ++，无极大值.综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；当1a >-时，()f x 在区间()(),ln 1a -∞+内单调递减，在区间()()ln 1,a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为()()a 1b 1ln 1a a +--++，无极大值.（2）当1a =-时，()13024b a +=<成立. 当1a <-时，由（1），知()f x 在R 内单调递增，令c 为1-和11b a-+中较小的数， 所以1c ≤-，且11b c a-≤+， 则1e e c -≤，()()11a c b -+≤--+.所以()()1e 1e c f c a c b -=-+-≤()11e 10b b ----=-<，与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.当1a >-时，()()()min ln 11f x f a a b =+=+--()()1ln 10a a ++≥，即()()11ln 1a a a b +-++≥，所以()()()()22111ln 1a b a a a +≤+-++.令()()22ln 0g x x x x x =->， 则()()12ln g x x x '=-.令()0g x '>，得0<令()0g x '<，得x >故()g x在区间(内单调递增，在区间)+∞内单调递减.故()max e e eln 2g x g ==-=，即当11a a +=时，()max e 2g x =. 所以()()211a b a +≤+-()()2e 1ln 12a a ++≤. 所以()1e 24b a +≤. 而e 3<， 所以()1324b a +<. 22．解：（1）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=.曲线C 上的点到直线l 的距离d ==， 当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时，max 22d +==，即曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为22+. （2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方，∴对∀∈R α，有cos sin 30t +-<αα恒成立，()3-<αϕ（其中1tan t=ϕ）恒成立，3<.又0t >，∴解得0t <<∴实数t的取值范围为(0,. 23．解：（1）依题意，得()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩ 于是得()1,333,x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{}11x x -≤≤.（2）()()121g x f x x x =++=-+2221223x x x +≥---= 当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号，∴[)3,M =+∞. 原不等式等价于2331t t t-+- ()()2323133t t t t t t t-+-+-==. ∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴()()2310 t tt-+≥.∴23 13t tt+≥+.。
【全国百强校】辽宁省2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题+答案
2018～2019学年度第二学期期末考试试卷高一数学第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 求值tan()为 ( )A. 1B. .C. .D.2. 对于线性回归方程，下列说法中不正确．．．的是（）A. 叫做回归系数B. 当>0，每增加一个单位，平均增加个单位C. 回归直线必经过点D. 叫做回归系数3. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车应抽取的数量依次为（）A. 16，16，16B. 8，30，10C. 4，33，11D. 12，27，94. 已知点A(2,3)，B(,1),C(，2),若∥，则( )A. 3B. 2C. -2D. 15. 执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填的值为( )A. 3B.4C.5D.26. 已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则等于( )A. B. 1 C. D.7. 把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A. y＝sin，x∈RB. y＝sin，x∈RC. y＝sin，x∈RD. y＝sin，x∈R8. 以下程序运行的结果是( )A. B. C. D.9. 在平行四边形ABCD中，E、F分别是边和的中点，若其中R，则（）A. B. 2 C. D. 110. 在斜三角形ABC中，（）A. 1B.C. 2D.11. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形12. 设函数.若存在的一条对称轴，满足成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上）13. 已知角的终边经过则__________________.14. 函数y＝Asin（ωx＋φ）部分图象如图，则函数解析式为_________.15. 向量a、b ，已知a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝_________________.16. 在上随机取一个值，使得关于的方程有实根的概率为______.三．解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 同时抛掷甲、乙两颗骰子.（1）求事件A“甲的点数大于乙的点数”的概率；（2）若以抛掷甲、乙两颗骰子点数m，n作为点P的坐标（m,n），求事件B“P落在圆内”的概率.18. 如图，在平面直角坐标系中，角的终边OP与单位圆交于点P，角的终边OQ与单位圆交于点Q.（1）写出P、Q两点的坐标；（2）试用向量的方法证明关系式：.19. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下表：（1）绘制两人得分的茎叶图；（2）分析并比较甲、乙两人七场比赛的平均得分及得分的稳定程度.20. 如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若是的角平分线，，求的长.21. 如图，两条公路AP与AQ夹角A为钝角，其正弦值是.甲乙两人从A点出发沿着两条公路进行搜救工作，甲沿着公路AP方向，乙沿着公路AQ方向.（1）当甲前进5km的时候到达P处，同时乙到达Q处，通讯测得甲乙两人相距k m，求乙在此时前进的距离AQ；（2）甲在5公里处原地未动，乙回头往A方向行走至M点收到甲发出的信号，此时M点看P、Q两点的张角为（张角为QMP），求甲乙两人相距的距离MP的长.22. 已知函数的图象与直线y=2相交，且两相邻交点之间的距离为.(1)求;(2)已知函数，若对任意的，均有，求的取值范围.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 求值tan()为 ( )A. 1B. .C. .D.【答案】D 【解析】 由题意得，故选D .2. 对于线性回归方程，下列说法中不正确．．．的是（ ）A. 叫做回归系数B. 当>0，每增加一个单位，平均增加个单位C. 回归直线必经过点D. 叫做回归系数【答案】D【解析】 由题意得，对于回归直线方程中，称为回归系数，所以A 是正确的；当时， 每增加一个单位，平均增加个单位，所以是正确的；回归直线都必经过样本中心，所以是正确的，故选D .的3. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车应抽取的数量依次为（ ） A. 16，16，16 B. 8，30，10 C. 4，33，11 D. 12，27，9 【答案】B【解析】试题分析：本题考查分层抽样．总数量为9600，则三种型号轿车依次应抽取：；；．考点：1．分层抽样；4. 已知点A(2,3)，B(,1),C(，2),若 ∥，则( )A. 3B. 2C. -2D. 1 【答案】C【解析】 由题意得，向量，因为，所以，故选C .5. 执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填的值为( )A. 3B.4C.5D.2【答案】A【解析】由题意得，当判断框中的条件是时，因为第一次循环结果为，第二次循环结果为，第三次循环结果为不满足判断框中的条件，输出的结果是16满足已知条件，故选A.6. 已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则等于( )A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】因为为锐角，，所以，所以，故选C.7. 把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A. y＝sin，x∈RB. y＝sin，x∈RC. y＝sin，x∈RD. y＝sin，x∈R【答案】C【解析】由的图象向左平行移动个单位得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，故选C.8. 以下程序运行的结果是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，运行该程序，输出计算的结果为，故选A.9. 在平行四边形ABCD中，E、F分别是边和的中点，若其中R，则（）A. B. 2 C. D. 1【答案】C又因为，所以,所以，所以，故选C.10. 在斜三角形ABC中，（）A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】在中，，所以，可得，由两角和的正切公式，得，所以，即，所以，故选B.11. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】，则，所以，即为直角三角形，故选B12. 设函数.若存在的一条对称轴，满足成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得，函数，函数的对称轴为，可得，即有则存在满足，即为，由，即有整数，当时，，解得或，故选A.点睛：本题主要考查了存在性问题的求解，同时涉及到正弦函数的对称性和最值，及一元二次不等式的解法，试题有一定的难度，属于中等试题，本题的解答中利用正弦函数的对称轴，得到，代入不等式，化为，求得实数的范围，取整数得到，代入不等式，即可求解实数的取值范围.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上）13. 已知角的终边经过则__________________.【答案】【解析】由题意得，，根据三角函数的定义可得.14. 函数y＝Asin（ωx＋φ）部分图象如图，则函数解析式为_________.【答案】【解析】由函数的图象可得,由，可得，在根据五点法作图可得，所以函数.15. 向量a、b ，已知a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝_________________.【答案】5【解析】，因为向量，所以，因为所以，所以.点睛：本题考查了的向量的模的运算、向量数量积的应用，主要考查了学生的计算能力，解答中涉及到向量的模的运算，向量的数量积的求解，熟记向量的运算公式是解答的关键.16. 在上随机取一个值，使得关于的方程有实根的概率为______.【答案】【解析】由题意得，要使得方程有实根，则，即或，解得或，所以方程有实根的概率为.三．解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 同时抛掷甲、乙两颗骰子.（1）求事件A“甲的点数大于乙的点数”的概率；（2）若以抛掷甲、乙两颗骰子点数m，n作为点P的坐标（m,n），求事件B“P落在圆内”的概率.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：抛掷甲乙两枚骰子，得出基本事件空间共有36种，（1）找出事件A，共15个基本事件，利用古典概型的概率计算公式，即可求解概率；(2)找出事件B包括的基本事件个数，共13个，利用公式即可求解概率.试题解析：基本事件空间{（1,1），（1,2）…（6,6）}共36个（1）事件A包括（2,1）（3,1）（3,2）（4,1）（4,2）（4,3）（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）共15个所以，P(A)=(2)事件B包括（1,1）（1,2）(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(4,1)(4,2)共13个所以P(B)=18. 如图，在平面直角坐标系中，角的终边OP与单位圆交于点P，角的终边OQ与单位圆交于点Q.（1）写出P、Q两点的坐标；（2）试用向量的方法证明关系式：.【答案】(1) P（），Q（）;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）根据三角函数的定义，即可求解两点的坐标.（2）根据向量向量的数量积的坐标运算及定义运算，即可证明该关系式.试题解析：（1）P（），Q（）（2）19. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下表：（1）绘制两人得分的茎叶图；（2）分析并比较甲、乙两人七场比赛的平均得分及得分的稳定程度.【答案】(1)详见解析;(2) 这七场比赛甲的平均得分低于乙，但甲的得分更稳定一些. 【解析】试题分析：（1）根据茎叶图的制作规则，即可画出茎叶图；（2）利用公式，求解甲乙的平均数和方差，比较后，即可得到结论.试题解析：如图（2）甲的平均得分方差乙的平均得分方差∴，则这七场比赛甲的平均得分低于乙，但甲的得分更稳定一些.20. 如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若是的角平分线，，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意得，利用正弦定理得，化简得到的值，即可得出角的值；（2）在△ABC中，由余弦定理得，再利用角平分线定理，即可求解的长.试题解析：（1）2acosC－c＝2b，由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB，2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC，∴－sinC＝2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA＝－，而A∈(0, π)，∴A＝.（2）在△ABC中，由余弦定理得，21. 如图，两条公路AP与AQ夹角A为钝角，其正弦值是.甲乙两人从A点出发沿着两条公路进行搜救工作，甲沿着公路AP方向，乙沿着公路AQ方向.（1）当甲前进5km的时候到达P处，同时乙到达Q处，通讯测得甲乙两人相距k m，求乙在此时前进的距离AQ；（2）甲在5公里处原地未动，乙回头往A方向行走至M点收到甲发出的信号，此时M点看P、Q两点的张角为（张角为QMP），求甲乙两人相距的距离MP的长.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）在△APQ中，得出的值，再由余弦定理，即可求解的值；（2）在△APM中，，得到，由正弦定理，即可求解的值.试题解析：（1）在△APQ中，由余弦定理得，代入上式，则（2）在△APM中，可知点睛：本题考查了解三角形的实际应用问题，着重考查了正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，解答中根据图象合理应用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的关键.22. 已知函数的图象与直线y=2相交，且两相邻交点之间的距离为.(1)求;(2)已知函数，若对任意的，均有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，再根据直线的图象的两个交点之间的距离为，得到，即可求解函数的单调区间；(2)由，当时，要使恒成立，只需，解得，当时，要使恒成立，只需，即可得到结论.试题解析：（1）与直线y=2的图象的两相邻交点之间的距离为.则T= .所以单调增区间(2)由，得，当时，，要使恒成立，只需，解得当时，，要使恒成立，只需，矛盾.综上的取值范围是点睛：本题考查了三角函数的图象与性质及不等式的恒成立问题的求解，着重考查了学生分析问题和解答的能力，解答中根据三角恒等变换的公式得到，即可求解函数的单调区间，再根据使恒成立，列出不等关系式是解答的关键.。
2018~2019学年第二学期高一第二次月考试卷及答案20190612 (1)
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2018年高一下学期期末三校联考数学答案
法三： ∵ a b ，∴ a b 2cos2 x 3 sin 2x 1 0 ……………………………1 分
即 3 sin 2x cos 2x ，即 2sin(2x ) 0 6
∴ 2x k (k Z ) ，即 2x k ……………………………………………2 分
∴ a2n1 4n 3=2 2n 1 1 ， a2n 4n 1=2 2n 1.
故 an 2n 1 n N ，且 an1 an 2 ……………………………………………6 分
∴数列an
是等差数列，且
Sn
n(1
2n 2
1)
n2
∵ bn 2n
2
62
3
6
∴ f (x) 的单调递减区间为[ k , 5 k ](k Z ) ……………………………10 分
3
6
18.（1）由 anan1 4Sn 1 …………………①
得 an1an2 4Sn1 1 …………………②
① ②，得 an1(an2 an ) 4an1 ……………………………………………………2 分
∴ T2018 2+2017 22019 19.（1）解法 1：由已知，得 a cos B bcos A 2c cos A ．
由正弦定理，得 sin Acos B sin B cos A 2sin C cos A ，………………………1 分
即 sin(A B) 2sin C cos A．………………………………………………………2 分
Sn n
，∴ bn
2n Sn n
n 2n ……………………………………………………8 分
辽宁省朝阳市凌源市三校2018-2019学年高一下学期第二次联考数学试题(含精品解析)
凌源市2018～2019学年第二学期高一年级第二次联考数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由并集的计算求解即可【详解】由题故选：D【点睛】本题考查集合的简单运算，并集的定义，是基础题2.命题“，”的否定为（）A. ，B. ，C.， D. ，【答案】B【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P“∀x∈N，x2＞1，则￢P为∃x0∈N，1．故选：B．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式的性质逐项分析判定即可【详解】对A,,则,故A错误；对B,，∴. ，又，∴,故B正确；对C,则又，则,故C错误；对D,，∴. ∴,故D错误故选：B【点睛】本题考查不等式性质，熟记基本性质，准确推理是关键，是基础题4.若函数的图象向右平移个单位，则得到的图象所对应的函数解析式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三角函数图像平移求解即可【详解】由题函数图象向右平移个单位，即故选：D【点睛】本题考查三角函数图像平移变换，考查诱导公式，熟记平移变换是关键，是基础题5.若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（）A. 1B. C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】先求的解析式，再利用二次函数求最值【详解】设f（x）＝xα，∵f（x）的图象过点（2，），∴f（2）＝2α，则α，则f（x），故其最大值为.故选：B【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，二次函数求值域，考查计算能力，是基础题6.已知、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】A【解析】【分析】由空间线面的位置关系及基本定理逐项分析即可【详解】对于选项，因为，所以可以在任取两条相交的直线，，所以，，又因为，所以，，所以.A正确；对B, 若，，则或，B错误；对C, 若，，则,C错误；对D, 若，，则或a,c相交或a,c异面，D错误故选：A【点睛】本题考查空间线面的位置关系，熟记基本定理是关键，是基础题7.海水养殖场收获时随机抽取了100个养殖网箱，测量各网箱水产品产量（单位：），其频率分布直方图如图，则估计此样本中位数为（）A. 50.00B. 51.80C. 52.35D. 52.50【答案】C【解析】【分析】由中位数的公式求解即可【详解】由图可知，七个组的频率依次为：0.02，0.10，0.22，0.34，0.23，0.05，0.04，因此中位数位于第4组，设为，则，解得.故选：C【点睛】本题考查频率分布直方图，中位数的运算，熟记公式是关键，考查计算能力，是基础题8.若，，，则的最小值为（）A. 5B. 6C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】把看成（）×1的形式，把“1”换成，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．详解】∵（）（a+2b）＝(312)≥×(15+29等号成立的条件为，即a=b=1时取等所以的最小值为9．故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题9.已知函数满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得.因为，所以，所以.故选B.10.函数的定义域为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质以及正切函数的性质求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：≥0，故≥1，故kπx kπ，解得：x∈k∈z，故选：A．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数的性质，是一道基础题．11.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论即可求出．【详解】log a（4a﹣1）＜1＝log a a，当a＞1时，0＜4a﹣1＜a，解得a，此时无解，当0＜a＜1时，4a﹣1＞a且4a﹣1＞0，解得a，即a＜1，综上所述a的范围为（，1）．故选：C．【点睛】本题考查了对数函数的单调性，解对数不等式问题，考查分类讨论思想，属于基础题．12.若函数的定义域为，且是奇函数，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性可得m=1，再根据f（x）的单调性、定义域可得，由此求得x的取值范围．【详解】由得，在上是增函数，y=在上是增函数，故在是增函数∴，∴.故选：A【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数的定义域及单调性的应用，准确判断函数的单调性是关键，注意定义域，属于中档题．二、填空题.13.已知，则________.【答案】【解析】【分析】已知等式左边分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理即可求出tanα的值．【详解】，解得故答案为【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是基础题14.已知集合，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】先化简集合，再由x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，A是B的一个真子集求解．【详解】由题解得，∵成立的一个充分不必要条件是，∴，∴，∴.故答案为【点睛】本题主要通过简易逻辑来考查集合间的关系，考查充分不必要条件的应用，是基础题15.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.【答案】【解析】试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为．考点：正四棱柱外接球表面积．16.已知函数图象上的一个最高点与相邻的最低点之间的距离为5，若，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，所以T＝6，进而求出再利用正弦函数性质求值域即可．【详解】因为函数f（x）图象上的一个最高点与相邻一个最低点之间的距离是5，即，所以T＝6．因为T，所以ω．故，又则则的取值范围是故答案为【点睛】本题考查三角函数图象的应用，三角函数的最值、周期的应用，正确理解一个最高点与相邻一个最低点之间的距离求得是解题关键．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17.已知角终边经过点，且，求，，.【答案】，【解析】【分析】根据三角函数的定义，利用正弦函数的定义求出m,再求，即可【详解】∵，∴，，解得，∴，.【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是正确运用定义，属于基础题．18.已知函数，.（1）若，求关于的不等式的解集；（2）若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围.【答案】(1) {，或}，(2)【解析】【分析】（1）化为即可求解（2）即，利用求解即可【详解】（1）化为，因为，所以，所以的解集为{，或}，（2）即，，因为对任意都成立，所以，，故.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题，考查计算能力，是基础题19.如图，在三棱锥中，，分别为棱，上的三等份点，，.（1）求证：平面；（2）若，平面，求证：平面平面.【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）由，，得，进而得即可证明平面. （2）平面得，由，，得，进而证明平面，则平面平面【详解】证明：（1）因为，，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为，，所以，又，所以平面.又平面，所以平面平面.【点睛】本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，考查空间想象及推理能力，熟记判定定理是关键，是基础题20.某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应该在高三年级抽取多少名？（3）已知，，求高三年级中女生比男生多的概率.【答案】(1) (2) 12人(3)【解析】【分析】（1）先根据抽到高二年级女生的概率是0.19，求出高二女生的人数，可求出x值；（2）用全校的人数减去高一和高二的人数，得到高三的人数，全校要抽取48人，由每个个体被抽到的概率，得出高三被抽到的人数．（3）设高三年级女生比男生多的事件为A，高三年级女生，男生数记为（y，z），由y+z＝500，且y，z∈N，列举出基本事件空间包含的基本事件及事件A包含的基本事件数，得到结果．【详解】（1）∵，∴.（2）高三年级人数为：，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：人.（3）设高三年级女生比男生多的事件为，高三年级女生、男生数记为，由（2）且，基本事件有：，，，…，共11个， 事件包含的基本事件有：，，，，，共5个，∴.【点睛】本题考查分层抽样的应用，古典概型的应用，列举法，考查计算能力，是基础题21.已知函数的图象过点.（1）求的值；（2）当时，方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)【解析】 【分析】 (1)由题得，则可求；（2）分析的单调性求其最值即可求解 【详解】（1）由题知，∴，又，∴，∴.（2）∵当即在区间上f(x)为增函数;即在区间上f(x)为减函数，又，，，∴当方程恰有两个不同实根时，.【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，三角函数的单调性及最值，函数与方程的思想，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题题．22.已知函数（，且）.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，①求证：的零点在上；②求证：对任意，存在，使在上恒成立.【答案】(1) (2) ①见解析；②见解析【解析】【分析】（1）讨论a的范围，得出f（x）的单调性，利用单调性和定义域列出不等式组解出a的范围；（2）①利用零点的存在性定理证明；②利用f（x）的单调性和时，即可得出结论．【详解】（1）定义域为，当时，是增函数，由得∴，当时，）是减函数，由得∴，综上，.（2）①证明：∵在上是增函数，且，，∴的零点在上.②由①知的零点，又在上为增函数，∴时，，∴对任意，存在，使在上恒成立.【点睛】本题考查了指数函数，对数函数的性质，函数单调性的应用，零点的存在性定理，属于中档题．。
辽宁省朝阳市凌源联合中学2018-2019学年高一数学文月考试题含解析
辽宁省朝阳市凌源联合中学2018-2019学年高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷（guǐ）长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为A. 分B. 分C. 分D. 分参考答案：B【分析】首先“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分，即可求出,进而求出立春”时日影长度为.【详解】解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．，解得，“立春”时日影长度为：分．故选B．【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，利用等差数列的性质直接求解．2. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则参考答案：C试题分析：A中，两直线可能平行也可能相交或异面，故A错；B中，直线与可能平行也可能在平面内，故B错；C中，由线面垂直的定义可知C正确；D中，直线可能与面相交，也可能平行，还可能在面内，故D错，故选C．考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系．3. 函数y=﹣（x+1）0的定义域为（）A．（﹣1，] B．（﹣1，）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，] D．[，+∞）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数y=﹣（x+1）0，∴，解得x≤，且x≠﹣1；∴函数y的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，]．故选：C．4. 已知，则( )A． B． C D．参考答案：B略5. 若，，则sin=A． B． C． D．参考答案：B6. 已知，函数与图像关于y=x对称，若f (-2)·g(2) < 0，那么与在同一坐标系内的图像可能是( )A．B．C．D．参考答案：7. 已知函数，若关于x方程有两不等实数根，则k的取值范围（）A .(0，+∞)B . (－∞,0)C . (1，+∞)D . (0,1]参考答案：D作出函数程和程的图象，如图所示由图可知当方程有两不等实数根时，则实数的取值范围是0,1故选8. f(x)是定义在R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数，设a＝，b＝,c＝，则a，b，c的大小关系是A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜aD．c＜b＜a参考答案：C9. 已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（）A．B． C．D．参考答案：10. 设函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则有（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】一次函数的性质与图象；函数单调性的性质．【分析】根据一次函数的单调性由x的系数可得2a﹣1＜0，解可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则2a﹣1＜0∴a＜故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 幂函数的图象过点，则的解析式是．参考答案：或略12. 已知二次函数f(x)=a +2ax+1在[-3,2]上有最大值5，则实数a的值为____________参考答案：，13. 已知集合，是集合到集合的映射，则集合参考答案：14. 已知函数若存在实数a，b，c，d，满足，其中，则（1）ab= ；(2)abcd的取值范围为．参考答案：(1)1；(2)(21,24)15. 计算_________.参考答案：16. 过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小为________．参考答案：45°17. 已知函数，则f（log23）＝_____．参考答案：由已知得三、解答题：本大题共5小题，共72分。
辽宁省凌源二中2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题
第1页，总17页辽宁省凌源二中2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题 本大题共12道小题。
1.某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签，高一（l ）班先抽，则他们抽到的出场序号小于4的概率为（ ）A. 710B.15C.25D.310答案及解析：1.D 【分析】古典概率公式得到答案.【详解】抽到的出场序号小于4的概率：310P = 故答案选D【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题. 2.在△ABC 中，若30A =︒，4BC =，AC =B 的大小为（ ） A. 30°B. 45°或135°C. 60°D. 135°答案及解析：2.B 【分析】利用正弦定理得到答案. 【详解】在△ABC 中答案第2页，总17页正弦定理：4sin 45sin 30sin 2B B B =⇒=⇒=︒︒或135︒故答案选B【点睛】本题考查了正弦定理，属于简单题. 3.已知tan 3θ=-，则22cos sin sin cos θθθθ-=（ ）A. 83-B. 43C. 83D.103答案及解析：3.C 【分析】利用齐次式，上下同时除以2cos θ得到答案.【详解】222cos sin 1tan 8sin cos tan 3θθθθθθ--==故答案选C【点睛】本题考查了三角函数值的计算，上下同时除以2cos θ是解题的关键. 4.已知向量1a =r ，b =r a r ，b r 的夹角为45°，若c a b =+r r r ，则a c ⋅=r r （ ）A.B.C. 2D. 3答案及解析：4.C 【分析】利用向量乘法公式得到答案.【详解】向量1a =r ，b =r a r ，b r 的夹角为45°第3页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………22()11222a c a ab a a b ⋅=⋅+=+⋅=+⨯⨯=r r r r r r r r故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力. 5.已知向量(2,tan )a θ=r ，(1,1)b =-r .且//a b r r ，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 2B.－3C. 3D. 13-答案及解析：5.B 【分析】通过//a b r r得到tan 2θ=-，再利用和差公式得到答案.【详解】向量(2,tan )a θ=r ，(1,1)b =-r .且//tan 2a b θ⇒=-rrtantan 4tan 341tan tan 4πθπθπθ-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭+故答案为B【点睛】本题考查了向量平行，正切值的计算，意在考查学生的计算能力. 6.某中学举行英语演讲比赛，如图是七位评委为某位学生打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的中位数和平均数分别为（ ）A. 84，85B. 85，84C. 84，85.2D. 86，85答案及解析：6.A 【分析】答案第4页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………剩余数据为：84.84,86,84,87，计算中位数和平均数. 【详解】剩余数据为：84.84,86,84,87 则中位数为：84 平均数为：8484848687855++++=故答案为A【点睛】本题考查了中位数和平均数的计算，属于基础题型. 7.在△ABC 中，若sin2sin2A C =，则△ABC 的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形答案及解析：7.D 【分析】sin 2sin 2sin 2sin(2)A C A C π=⇒=-，两种情况对应求解.【详解】sin 2sin 2sin 2sin(2)A C A C π=⇒=- 所以A C =或2A C π+=故答案选D【点睛】本题考查了诱导公式，漏解是容易发生的错误. 8.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,π]上的图象大致为（ ）A. B.第5页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C. D.答案及解析：8.B 【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x = 1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B 故答案选B【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力. 9.已知单位向量OA u u u r ，OB uuu r ，满足0OA OB ⋅=u u u r u u u r.若点C 在AOB ∠内，且60AOC ∠=︒，(,)OC mOA nOB m n =+∈R u u u r u u u r u u u r，则下列式子一定成立的是（ ）A. 1m n +=B. 1mn =C. 221m n +=D.33m n =答案及解析：9.D 【分析】设OC r =u u u r ，1322OC rOA rOB =+u u u r u u u r u u u r 对比得到答案.【详解】设OC r =u u u r ，则1313(,),2222OC rOA rOB mOA nOB m n m r n r =+=+∈⇒==R u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r答案第6页，总17页m n =故答案为D【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力. 10.19sin6π=（ ） A.12B. 12-C.D. 答案及解析：10.B 【分析】利用诱导公式得到答案. 【详解】191sin sin(3)sin 6662ππππ=+=-=- 故答案选B【点睛】本题考查了诱导公式，属于简单题. 11.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（ ） A. 50%B. 30%C. 10%D. 60%答案及解析：11.A 【分析】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加，计算得到答案. 【详解】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加 甲、乙下成平局的概率为：90%40%50%P =-= 故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件的概率，意在考查学生对于概率的理解. 12.函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，可将()f x 的图象第7页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移12π个单位C. 向左平移12π个单位D. 向左平移6π个单位 答案及解析：12.A 【分析】 函数过7(,1)12π- 代入解得ϕ，再通过平移得到()sin 2g x x =的图像. 【详解】()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，函数过7(,1)12π- 71sin()63ππϕϕ-=+⇒= ()sin(2)3f x x π=+向右平移6π个单位得到()sin 2g x x =的图象故答案选A【点睛】本题考查了三角函数图形，求函数表达式，函数平移，意在考查学生对于三角函数图形的理解. 评卷人 得分一、填空题 本大题共4道小题。
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凌源市2018～2019学年第二学期高一年级第二次联考数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由并集的计算求解即可【详解】由题故选：D【点睛】本题考查集合的简单运算，并集的定义，是基础题2.命题“，”的否定为（）A.， B. ，C.， D. ，【答案】B【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P“∀x∈N，x2＞1，则￢P为∃x0∈N，1．故选：B．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由不等式的性质逐项分析判定即可【详解】对A,,则,故A错误；对B,，∴. ，又，∴,故B正确；对C,则又，则,故C错误；对D,，∴. ∴,故D错误故选：B【点睛】本题考查不等式性质，熟记基本性质，准确推理是关键，是基础题4.若函数的图象向右平移个单位，则得到的图象所对应的函数解析式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三角函数图像平移求解即可【详解】由题函数图象向右平移个单位，即故选：D【点睛】本题考查三角函数图像平移变换，考查诱导公式，熟记平移变换是关键，是基础题5.若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（）A. 1B. C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】先求的解析式，再利用二次函数求最值【详解】设f（x）＝xα，∵f（x）的图象过点（2，），∴f（2）＝2α，则α，则f（x），故其最大值为.故选：B【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，二次函数求值域，考查计算能力，是基础题6.已知、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】A【解析】【分析】由空间线面的位置关系及基本定理逐项分析即可【详解】对于选项，因为，所以可以在任取两条相交的直线，，所以，，又因为，所以，，所以.A正确；对B, 若，，则或，B错误；对C, 若，，则,C错误；对D, 若，，则或a,c相交或a,c异面，D错误故选：A【点睛】本题考查空间线面的位置关系，熟记基本定理是关键，是基础题7.海水养殖场收获时随机抽取了100个养殖网箱，测量各网箱水产品产量（单位：），其频率分布直方图如图，则估计此样本中位数为（）A. 50.00B. 51.80C. 52.35D. 52.50【答案】C【解析】【分析】由中位数的公式求解即可【详解】由图可知，七个组的频率依次为：0.02，0.10，0.22，0.34，0.23，0.05，0.04，因此中位数位于第4组，设为，则，解得.故选：C【点睛】本题考查频率分布直方图，中位数的运算，熟记公式是关键，考查计算能力，是基础题8.若，，，则的最小值为（）A. 5B. 6C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】把看成（）×1的形式，把“1”换成，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．详解】∵（）（a+2b）＝(312)≥×(15+29等号成立的条件为，即a=b=1时取等所以的最小值为9．故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题9.已知函数满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得.因为，所以，所以.故选B.10.函数的定义域为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质以及正切函数的性质求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：≥0，故≥1，故kπx kπ，解得：x∈k∈z，故选：A．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数的性质，是一道基础题．11.若，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论即可求出． 【详解】log a （4a ﹣1）＜1＝log a a ， 当a ＞1时，0＜4a ﹣1＜a ，解得a，此时无解，当0＜a ＜1时，4a ﹣1＞a 且4a ﹣1＞0，解得a ，即a ＜1，综上所述a 的范围为（，1）． 故选：C ．【点睛】本题考查了对数函数的单调性，解对数不等式问题，考查分类讨论思想，属于基础题． 12.若函数的定义域为，且是奇函数，则满足的实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可得m=1，再根据f （x ）的单调性、定义域可得，由此求得x 的取值范围．【详解】由得，在上是增函数，y=在上是增函数，故在是增函数∴，∴.故选：A【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数的定义域及单调性的应用，准确判断函数的单调性是关键，注意定义域，属于中档题．二、填空题.13.已知，则________.【答案】【解析】【分析】已知等式左边分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理即可求出tanα的值．【详解】，解得故答案为【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是基础题14.已知集合，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】先化简集合，再由x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，A是B的一个真子集求解．【详解】由题解得，∵成立的一个充分不必要条件是，∴，∴，∴.故答案为【点睛】本题主要通过简易逻辑来考查集合间的关系，考查充分不必要条件的应用，是基础题15.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.【答案】【解析】试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为．考点：正四棱柱外接球表面积．16.已知函数图象上的一个最高点与相邻的最低点之间的距离为5，若，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，所以T＝6，进而求出再利用正弦函数性质求值域即可．【详解】因为函数f（x）图象上的一个最高点与相邻一个最低点之间的距离是5，即，所以T＝6．因为T，所以ω．故，又则则的取值范围是故答案为【点睛】本题考查三角函数图象的应用，三角函数的最值、周期的应用，正确理解一个最高点与相邻一个最低点之间的距离求得是解题关键．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17.已知角终边经过点，且，求，，.【答案】，【解析】【分析】根据三角函数的定义，利用正弦函数的定义求出m,再求，即可【详解】∵，∴，，解得，∴，.【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是正确运用定义，属于基础题．18.已知函数，.（1）若，求关于的不等式的解集；（2）若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围.【答案】(1) {，或}，(2)【解析】【分析】（1）化为即可求解（2）即，利用求解即可【详解】（1）化为，因为，所以，所以的解集为{，或}，（2）即，，因为对任意都成立，所以，，故.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题，考查计算能力，是基础题19.如图，在三棱锥中，，分别为棱，上的三等份点，，.（1）求证：平面；（2）若，平面，求证：平面平面.【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）由，，得，进而得即可证明平面. （2）平面得，由，，得，进而证明平面，则平面平面【详解】证明：（1）因为，，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为，，所以，又，所以平面.又平面，所以平面平面.【点睛】本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，考查空间想象及推理能力，熟记判定定理是关键，是基础题20.某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应该在高三年级抽取多少名？（3）已知，，求高三年级中女生比男生多的概率.【答案】(1) (2) 12人(3)【解析】【分析】（1）先根据抽到高二年级女生的概率是0.19，求出高二女生的人数，可求出x值；（2）用全校的人数减去高一和高二的人数，得到高三的人数，全校要抽取48人，由每个个体被抽到的概率，得出高三被抽到的人数．（3）设高三年级女生比男生多的事件为A，高三年级女生，男生数记为（y，z），由y+z＝500，且y，z∈N，列举出基本事件空间包含的基本事件及事件A 包含的基本事件数，得到结果． 【详解】（1）∵，∴.（2）高三年级人数为：，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：人.（3）设高三年级女生比男生多的事件为，高三年级女生、男生数记为，由（2）且，基本事件有：，，，…，共11个， 事件包含的基本事件有：，，，，，共5个，∴.【点睛】本题考查分层抽样的应用，古典概型的应用，列举法，考查计算能力，是基础题21.已知函数的图象过点.（1）求的值；（2）当时，方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)【解析】 【分析】 (1)由题得，则可求；（2）分析的单调性求其最值即可求解 【详解】（1）由题知，∴，又，∴，∴.（2）∵当即在区间上f(x)为增函数;即在区间上f(x)为减函数，又，，，∴当方程恰有两个不同实根时，.【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，三角函数的单调性及最值，函数与方程的思想，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题题．22.已知函数（，且）.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，①求证：的零点在上；②求证：对任意，存在，使在上恒成立.【答案】(1) (2) ①见解析；②见解析【解析】【分析】（1）讨论a的范围，得出f（x）的单调性，利用单调性和定义域列出不等式组解出a的范围；（2）①利用零点的存在性定理证明；②利用f（x）的单调性和时，即可得出结论．【详解】（1）定义域为，当时，是增函数，由得∴，当时，）是减函数，由得∴，综上，.（2）①证明：∵在上是增函数，且，，∴的零点在上.②由①知的零点，又在上为增函数，∴时，，∴对任意，存在，使在上恒成立.【点睛】本题考查了指数函数，对数函数的性质，函数单调性的应用，零点的存在性定理，属于中档题．。