图论模型基础

3) 图的矩阵表示 (以下均假设图为简单图). 邻接矩阵: 1) 对无向图 G，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中： 1, 若vi与v j 相邻, aij 0, 若vi与v j不相邻. v1 v2 v3 v4 v5
0 1 1 u2 u3 u4 0 3 7 8 u1 0 u 2 A 6 0 u3 4 0 u 4
对于无向赋权图的邻接矩阵可类似定义.
关联矩阵 1) 对无向图 G (V , E ) ，其关联矩阵 M (mij ) , 其中： 1, 若vi与e j 相关联, mij 0, 若vi与e j不关联.
e1 e2 M 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 e3 e4 0 1 1 0 0 e5 0 0 v1 0 0 v2 1 1 v3 1 0 v4 0 1 v5
2) 对有向图 G (V , E ) ，其关联矩阵 M (mij ) , 其中：
vS i
Dijkstra算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路. S 1) 置 l (u0 ) 0，对 v u0 ，(v) ，0 {u0}且 i 0 . l 2) 对每个 v Si ，用 min{l (v), l (ui ) w(ui , v)} 代替 l (v ) ，计算 min{l (v)}，并把达到这个最小值的 一个顶点记为 ui 1 ，置 Si 1 Si {ui 1}. 3) 若 i 1，则停止；若 i 1 ，则用 i+1 代 S0 {u0}, l (u j ) , j 1,2,...,7. 替i，并转2). u1 S0 l (u1) 1
uavdxcw 路或路径：
圈或回路：uavbwcxfygu
2．最短路问题及算法
最短路问题是图论应用的基本问题，很多实际 问题，如线路的布设、运输安排、运输网络最小费 用流等问题,都可通过建立最短路问题模型来求解. •最短路的定义 •最短路问题的两种方法：Dijkstra和Floyd算法 . 1) 求赋权图中从给定点到其余顶点的最短路. 2) 求赋权图中任意两点间的最短路.
图论模型基础知识
1. 图论的基本概念 2. 最短路问题及算法 3. 最小生成树及算法
回
4. 旅行售货员问题
停 下
1.图论的基本概念
1) 图的概念 2) 赋权图与子图 3) 图的矩阵表示 4) 图的顶点度 5) 路和连通
1) 图的概念
定义 一个图G是指一个二元组(V(G),E(G))，其中: 1) V (G) {v1, v2 ,, v }是非空有限集，称为顶点集， 其中元素称为图G的顶点. 2) E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对 (vi , v j ) 组成的集合，即称为边集,其中元素称为边. 定义 图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用 v 来表示； 图的边的数目|E(G)|用 来表示. 用 G (V (G ), E (G )) 表示图，简记 G (V , E ). 也用 vi v j 来表示边 (vi , v j ).
（见图 2）
定义 若一个图的顶点集和边集都是有限集，则称 其为有限图. 只有一个顶点的图称为平凡图，其他的
所有图都称为非平凡图.
定义若图G中的边均为有序偶对 (vi , v j ),称G为有向 图. 称边 e (vi , v j ) 为有向边或弧,称 e (vi , v j )是从vi 连接 v j ，称 vi为e的尾，称 v j为e的头. 若图G中的边均为无序偶对 vi v j ，称G为无向图.称 边 e vi v j 为无向边，称e连接 vi 和 v j，顶点 vi 和 v j 称 为e的端点. 既有无向边又有有向边的图称为混合图.
4) 图的顶点度
定义 1) 在无向图G中，与顶点v关联的边的数目(环 算两次),称为顶点v的度或次数，记为d(v)或 dG(v). 称度为奇数的顶点为奇点，度为偶数的顶点为偶点. 2) 在有向图中，从顶点v引出的边的数目称为顶点 v的出度，记为d+(v)，从顶点v引入的边的数目称为 v的入度，记为d -(v). 称d(v)= d+(v)+d -(v)为顶点v的 度或次数． 定理 d (v) 2 .
定义 1) 途径 W v0e1v1...ek vk 中由相继项构成子序列 vi ei 1vi 1...e j v j 称为途径W的节. 2) 起点与终点重合的途径称为闭途径. 3) 起点与终点重合的的路称为圈(或回路)，长 为k的圈称为k阶圈，记为Ck. 4) 若在图G中存在(u,v)路，则称顶点u和v在图G 中连通. 5) 若在图G中顶点u和v是连通的，则顶点u和v之 之间的距离d(u,v)是指图G中最短(u,v)路的长；若没 没有路连接u和v，则定义为无穷大.
1, 若vi是e j的尾, mij 1, 若vi是e j的头, 0, 若v 不是e 的头与尾. i j
e1 e2
e3 e4
e5
1 0 1 1 0 u1 1 1 0 0 0 u 2 M 0 1 1 0 1 u3 0 0 0 1 1 u 4
例 设 H (V ( H ), E ( H )) ，其中：
V ( H ) {u1, u2 , u3 , u4 , u5}，
E ( H ) {a1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 }， a1 (u1, u2 ) ， a2 (u2 , u2 ) ， a3 (u4 , u2 ) ，
u1 u2 u3 u4 0 0 A 0 0 1 1 1 u1 0 0 0 u2 1 0 0 u3 0 1 0 u4
3) 对有向赋权图 G (V , E ) , 其邻接矩阵 A (aij ) , 其中： wij , 若(vi , v j ) E , 且wij为其权， aij 0， i j, , 若(vi , v j ) E.
1) 赋权图中从给定点到其余顶点的最短路
最短路是一条路，且最短路的任一节也是最短路． 求下面赋权图中顶点u0到其余顶点的最短路．
假设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均非 负．若 (u , v) E (G ) ，则规定 w(u , v) .
Dijkstra算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路. S 1) 置 l (u0 ) 0，对 v u0 ，(v) ，0 {u0}且 i 0 . l 2) 对每个 v Si ，用 min{l (v), l (ui ) w(ui , v)} 代替 l (v ) ，计算 min{l (v)}，并把达到这个最小值的 一个顶点记为 ui 1 ，置 Si 1 Si {ui 1}. 3) 若 i 1，则停止；若 i 1 ，则用 i+1 代 S0 {u0}, l (u j ) , j 1,2,...,7. 替i，并转2). u1 S0 l (u1) min{,0 1}
例设 G (V (G ), E (G )) ， 其中：V (G) {v1, v2 , v3 , v4}，
E (G ) {e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6} ， e1 v1v1，e2 v2v3，e3 v1v3，
e4 v1v4 ， 5 v3v4 ， 6 v3v4 . e e
G[{v1, v2 , v3}]
G[{e3 , e4 , e5 , e6}]
3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 均在 V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[V ] . 4) 若E E ，且 E ，以 E 为边集，以 E 的端点 集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由 E 导出的 边导出的子图，记为 G[E] .
，
K6
Y : y1 y2 y3 y4 Y : y1 y2 y3 y4 K3,4 二部图
K1,4
2) 赋权图与子图
定义 若图 G (V (G ), E (G )) 的每一条边e 都赋以 一个实数w(e)，称w(e)为边e的权，G 连同边上的权 称为赋权图. 定义 设 G (V , E )和 G (V , E) 是两个图. 1) 若V V , E E ,称 G 是 G 的一个子图,记 G G. E 2) 若 V V， E ，则称 G 是 G 的生成子图. 3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 均在 V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[V ] . 4) 若E E ，且 E ，以 E 为边集，以 E 的端点 集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由 E 导出的 边导出的子图，记为 G[E] .
4) 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边 称为重边．
5) 既没有环也没有重边的图，称为简单图．
常用术语 6) 任意两顶点都相邻的简单图,称为完全图. 记为Kv.
X 7) 若 V (G ) X Y， Y ，且X 中任意两顶点不 相邻，Y 中任意两顶点不相邻，则称为二部图或 偶图；若X中每一顶点皆与Y 中一切顶点相邻,称为 完全二部图或完全偶图,记为 Km,n (m=|X|,n=|Y|)． 8) 图 K1,n 叫做星. X : x1 x2 x3 X : x1 x2 x3
1 1 0 1 1
0 0 v1 0 0 v2 1 1 v3 0 0 v4 0 0 v5
2) 对有向图 G (V , E ) ,其邻接矩阵 A (aij ) ,其中：
1, 若(vi , v j ) E , aij 0, 若(vi , v j ) E.
6) 图G中任意两点皆连通的图称为连通图． 7) 对于有向图G，若W v0e1v1e2 ek vk ，且 ei 有 头 vi 和尾 vi 1 ，则称W为有向途径.