2017_2018学年八年级数学下册 第1章三角形的证明课题7线段的垂直平分线当堂检测 ppt课件 北师大版
第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的的性质与判定北师大版八年级数学下册
无数 种.
3. 下列说法：
① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，则 EA＝
EB，PA＝PB； ② 若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB； ③ 若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的 点；
④ 若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB． 其中正确的有 ①②③ （填序号）.
A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三边高线的交点 D.没有这样的点
3. 在△ABC 中，AB 的中垂线与 AC 边所在直线相交所得的锐角为 50°，则∠A 的
度数为（ C）
A. 50°
B. 40°
C. 40°或140°
D. 40°或50°
4. 已知：如图，在△ABC 中，边 AB、
P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系． P3
P1A _＝___P1B
P2 P1
P2A __＝__ P2B
A
B
P3A __＝__ P3B
l
活动探究 将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l
是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB.
l
证明：∵ l⊥AB，
P
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = CB，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB (SAS)． A
C
B
∴ PA = PB．
微课——证明线段垂直平分线的性质
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总结归纳
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等.
练习
AA′ 沿直线 l 折叠，则点 A 与点 A′ 重合，AD = A′D，
北师大版八年级下册第一章：三角形证明专题五【线段的垂直平分线】知识点+经典例题+变式训练(无答案)
第一章 证明（二） 专题五：线段的垂直平分线知识点一：线段垂直平分线的性质例1：如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90C ，︒=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D 。
求证：D 在AB 的垂直平分线上。
例2：如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。
求证：BF CF 2=。
例3：如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。
求证：CAF B ∠=∠。
例4：如图，已知直线l 和点A ，点B ，在直线l 上求作一点P ，使PB PA =。
挑战自我，勇攀高分1.如图，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm2.如图，在△ABC 中，AB=AC ， BC=12，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ， AC 的垂直平分线交BC 边于点N 。
(1) 求△AEN 的周长。
(2) 求∠EAN 的度数。
(3) 判断△AEN 的形状。
3.如图，已知线段CD 垂直平分线AB ，AB 平分问AD 与BC 平行吗？请说明理由。
CADABCDEMN4.如图，已知和内两点M、N画一点P使它到的两边距离相等，且到点M和N的距离相等。
知识点二：线段垂直平分线的判定例1：如图，ABC∆中，D为BC上一点，E、F为AD上两点，若EB=EC，FB=FC，求证：AB=AC。
例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，BD=BC。
过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。
问BE垂直平分CD吗？为什么？挑战自我，勇攀高分1．已知点C垂直于线段AB，且CA＝CB，则点C是线段AB的（）A．中点 B．延长线上的点 C．垂线上的点D．垂直平分线上的点2．下列说法中错误的是（）AOB∠AOB∠AOB∠A．线段的对称轴是它的垂直平分线 B．线段垂线上的点到线段两端点的距离相等C．到线段两端距离相等的点都在一条直线上D．轴对称图形的两个对称点到对称轴的距离相等3．如图，已知∠MON＝450，角的内部有一点P，设点P关于OM的对称点为A，点P关于ON 的对称点为B，（1）求证：OA⊥OB；（2）若AB交OM于E，交ON于F，且AB=8cm，求△PEF的周长。
八年级数学下册第一章三角形的证明线段的垂直平分线教案新版北师大版
3 线段的垂直平分线一、教学目标1.知识与技能（1）要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题；（2）能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理.2.过程与方法（1）经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力；（2）体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神；（3）学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．3.情感态度及价值观（1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；（2）在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.二、教学重点、难点重点：能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论．难点：（1）写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它．（2）用尺规作线段垂直平分线．三、教具准备教师准备：课件.学生准备：练习本.四、教学过程1．创设现实情境，引入新课教师用多媒体演示：如图3-1，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？图3-1[生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上．[师]同学们认同他的看法吗？[生]认同．[师]认为对的说说你的理由是什么呢？[生](回忆定理)我们以前曾学过线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．[师]这位同学分析得很好，我们在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一简单事实，但是用这种观察的方式是很难说服别人的，你能用公理或学过的定理来证明这一结论吗？教师演示线段垂直平分线的性质：定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．2．讲述新课【第一部分】线段垂直平分线的性质定理．[师]我们得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．那么如何证明呢？[师](引导)问题一：①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？(强调)我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．(开始让学生有这样的数学思想)②你能根据定理画图并写出已知和求证吗？③谁能帮老师分析一下证明思路？[生](思考回答)[师生共析]已知：如图3-2，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．求证：PA＝PB．图3-2分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA ≌△PCB(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．【第二部分】线段垂直平分线的判定定理．教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现：想一想：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？[师](引导、并提问两学生)问题二：①这个命题是否属于“如果……，那么……”的形式？②你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……，那么……”的形式吗？③最后再把它的逆命题写出来.[生A](思考分析)原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．[师]有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．[生B]如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．[师]很好，能否把它描述得更简捷呢？[生B]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．[师]非常好！当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．若为真，则需证明它；若为假，则需用反例说明．请同学们类比原命题自己独立写出已知、求证．(给学生思考时间)已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB．求证：点P在AB的垂直平分线上．(分组讨论，鼓励学生多想证明方法，并派代表上黑板写写本组的证明过程)[师]看学生的具体情况，做适当的引导．证明：（证法一）过点P作已知线段AB的垂线PC，如图3-3．∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC ≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即点P在AB的垂直平分线上．图3-3（证法二）取AB的中点C，过PC作直线，如图3-4．∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB．∴点P在AB的垂直平分线上．图3-4（证法三）过P点作∠APB的角平分线，如图3-5．∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．∴点P在线段AB的垂直平分线上.图3-5[师]先肯定学生的思考，再对证明过程严谨的小组加以表扬，不足的加以点评和纠正．[师]从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称为线段垂直平分线的判定定理．【第三部分】做一做：用尺规作线段的垂直平分线．（教师多媒体演示）[师](边演示图边讲讲作图有关的数学史)大家知道这些图是用什么工具作出来的吗？(资料：古希腊以来，平面几何中的作图工具习惯上限用直尺和圆规两种，其中，直尺假定直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如．作图工具的这种限制，最先大概是恩诺皮德斯(Oenopides，约公元前465年)提出的，以后又经过柏拉图(Plato，公元前427—347)大力提倡．柏拉图非常重视数学，强调学习几何对训练逻辑思维能力的特殊作用，主张对作图工具要有限制，反对使用其他机械工具作图．之后，欧几里得(Euclid，约公元前330—275)又把它总结在《几何原本》一书中，于是，限用尺规进行作图就成为古希腊几何学的金科玉律．)[师]其实同学们也能用圆规、直尺画出优美的图形，下面咱们就一起来学用尺规作线段的垂直平分线．(分析：要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．)类似于证明题要写出已知、求证和证明，作图题也要根据条件写出已知、求作和作法，下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．[教师示范，请学生同时练习]已知：线段AB ，如图3-6.图3-6求作：线段AB 的垂直平分线．作法：①分别以点A 和B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ． ②作直线CD ，如图3-7.直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．图3-7[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD 为什么是AB 的垂直平分线吗？请与同伴进行交流．[生]从作法的第一步可知：AC ＝BC ，AD ＝BD ．∴C 、D 都在AB 的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)．∴CD 就是线段AB 的垂直平分线(两点确定一条直线)．[师]我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB 的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．3. 练习：(1)已知直线 l 和 l 上一点 P ，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P .学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由.(2)拓展：如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.4.课堂小结：本节课你都掌握了哪些内容？5.教学反思。
八年级数学下册第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线教案3新版北师大版
《线段的垂直平分线》第1课时教学目标1、经历线段垂直平分线性质的发现过程，初步掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，体会辨证思想；2、能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题；3、通过从操作实验到演绎推理的数学活动，认识实验归纳和演绎推理的作用.教学重点及难点重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理；难点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用.教学过程设计一、情景引入1、引例:区政府为了方便居民日常生活，计划开一家大超市，为了使该超市到A, B, C三个居民小区的距离相等，请同学们设计一下，这个超市应该建在哪里呢？B小区C小区A小区2、回顾，导入：提问1 :线段是不是轴对称图形？如果是，那么请说明它的对称轴在哪里？提问2:如图，线段人咲于直线Ml对称，在直线M上任取一点P,分别联结PA PB那么线段PA 与PB-定相等吗？揭示课题：线段的垂直平分线二、学习新知（一）探究新知1、线段的垂直平分线的性质定理.操作：以直线M!为折痕将这个图形翻折，观察点P的位置动不动？点A与点B是否重合？你得到哪些线段相等？归纳：如果一个点在一条直线的垂直平分线上，那么分别联结这点与线段两个端点所得的两条线段相等.验证：证明这个命题，写出已知和求证.已知：如图，直线M是线段AB的垂直平分线，垂足为点C,点P在直线MNb.求证：PA= PB.分析：如图，当点F不在线段ABh时，要证明PA= PB只需要证厶PCA^A PCB由直线M N是线段AB勺垂直平分线，可知CA=CB / PCA/ PCB再加上P（为公共边，三角形全等即可得到.特别地，当点P在线段ABh时，P点与C点重合，此时PA=PE当然也成立.证明：略.T MN是线段AB的垂直平分线（已知）••• MN丄AB, AC=BC （线段垂直平分线的定义）设点P在线段AB外时，••• MN丄AB （已证）• Z PCA= Z PCB=90 ?（垂直的定义）在厶PCA和厶PCB中，AC=BC （已证）Z PCA = Z PCB （已证）PC=PC （公共边）△ PCA PCB （S.A.S）• PA=PB （全等三角形对应边相等）当点P在线段ABh时，点P与点C重合，即PA F PB归纳线段垂直平分线的性质定理：文字语言：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.符号语言：•••点P在线段AB的垂直平分线上••• PA=PB2、逆定理.提问：线段垂直平分线的逆命题是什么？逆命题正确吗？原命题：如果有一个点为线段垂直平分线上的任意一点，那么这个点到线段的两个端点距离相等.逆命题：如果一个点到线段的两个端点距离相等，那么这个点是这条线段垂直平分线上的一点.简写为：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.符号语言：••• PA=PB•••点P在线段AB勺垂直平分线上验证：已知：如图，PA=PB证明：点P在线段AB勺垂直平分线上.分析：为了证明点P在线段AB勺垂直平分线上，可以先经过点P乍线段AB勺垂线MN然后证明直线M平分线段AB证明：过点P乍MNL AB垂足为点C•/ PA=PE（已知）PC丄AB已作）•AOBQ等腰三角形底边上的高平分底边）•PC是线段AB的垂直平分线即点P在线段AB勺垂直平分线上.特别地，当P就在AB勺中点上时，结论正确吗？综上所述，这条逆命题是正确的，也就是说，线段的垂直平分线有它的逆定理.3、线段的垂直平分线性质定理和逆定理的区别：性质定理是归纳线段垂直平分线上点到线段两端点的距离的数量关系.逆定理是归纳和一条线段两端点距离相等的点与线段的位置关系.（二）应用新知，尝试反馈已知：如图，ABAC DB=DC E是ADt—点.求证：BE=CED证明：联结BC.••• AB= AC DB= DC•••点A D在线段BC勺垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）•AD是线段BC的垂直平分线•/点E在AQt•BE=CE线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）.三、课堂小结这节课我们学习了线段垂直平分线定理和逆定理的知识，请同学们谈一下你对本节课学习的体会.学生活动：谈这节课的主要内容或注意问题等等.第2课时教学目标1、探索尺规方法作线段垂直平分线的思路与过程以及体验其中的演绎思维过程.2、能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题. 教学重难点教学重点：用尺规作线段的垂直平分线；线段垂直平分线性质定理及其逆定理.教学难点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用.教学过程一、用尺规作线段的垂直平分线要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线.下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据.［师生共析］已知：线段AQ如图），求作：线段AB勺垂直平分线.C*----------- «A BX D1作法：1分别以点A和B为圆心，以大于2 AB勺长为半径作弧，两弧相交于点C和D,2、作直线CD则直线是线段AB勺垂直平分线.［师］根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB勺垂直平分线吗？请与同伴进行交流.［生］从作法的第一步可知A（=BC AD=BD•••C D都在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）.•••CC就是线段AB勺垂直平分线（两点确定一条直线）.［师］我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB勺中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.活动效果及注意事项：活动时可以先让学生讨论，然后点名学生板演，下面学生可以模仿着做，最后教师进行归纳和总结.二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用已知：如图，在△ AB（中, OM ON分别是AB AC勺垂直平分线，01与0F相交与点0.求证：点C在BC勺垂直平分线上.A分析：要引导学生想到本例的关键在于分别联结OB OA OC证明：分别联结OB OA OC•/ OM O分别是AB AC勺垂直平分线（已知）••• OA=OB OA=OC线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）••• OB=OC等量代换）•••点O在BC勺垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）•归纳：三角形三条边的垂直平分线交于同一点，且这点到三角形三个顶点的距离相等.。
第1章三角形的证明 题型解读7 有关角平分线题型-北师大版八年级数学下册
《三角形的证明》题型解读7 有关角平分线题型【知识梳理】 1.概念-----平分角； 2.性质①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ②三角形的三条角平分线分交于一点（内心）；3.判定---在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；4.尺规作图------要求：会识别；依据：全等判定SSS 作法：①在OA 和OB 上分别截取OD ，OE 使OD=OE ；②分别以D ，E 为圆心，以大于以大于12 DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内相交于点C ；③作射线OC ，则OC 就是∠AOB 的角平分线 【方法梳理】1.利用“角平分线的轴对称性”来构造全等三角形：(角分线，分两边，对称全等要记全) 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。
思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形2.利用角平分线的性质构造全等三角形来解题(分线点，垂两边)121221C OABOA BC C BA O图3图2图1基础图形：∠1=∠2，若OA=OB 或还有一组对应角相等，则OAC≌OBCC E DA BOOBA3.构造等腰三角形来解题：角平分线＋垂线，角平分线＋平行线，等腰三角形要呈现，线段和差倍分都实现。
4.出现两条角平分线时的解题思路①利用典型数学模型求角度：两条角平分线与第三角的角度关系②.利用三条角平分线相交于一点添辅助线解题【典型例题】BA OC 21BA OC 21BAOC2112C O A B图3图2图1基础图形：∠1=∠2，有、补或作垂线，则OAC≌OBC2BA OC 21B AOC 211ABD C 图3图2图1基础图形：∠1=∠2，①若AB ⊥OC ，则AOB 是等腰三角形，如图1； ②若AC//OB ，则AOC 是等腰三角形，如图2； ③若OC//AB ，则AOC 是等腰三角形，如图3；(3)“两外角角平分线”∠P=90° - 12∠A(1)“两内角角平分线”∠P=90°+12∠A(2)“一内一外角角平分线”∠P=12∠AABCPABCPPCBA G FE DC AB DC A B 图1图2基础图形：若AD 、BD 是角平分线，①连CD ，则CD 也是角平分线，如图1； ②作垂线，则DE=DG=DF ，如图2；例1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S∆DAC：S∆ABC=1：3A. 1B. 2C. 3D. 4解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=AC•AD：AC•AD=1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D例2.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）A. a=bB. 2a+b=﹣1C. 2a﹣b=1D. 2a+b=1解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a+b+1=0，整理得：2a+b=﹣1，故选B例3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是____解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=12AB•DE=12×15×4=30．例4．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD等于．解析：考查角平分线性质、30度角直角三角形边角关系，数学典型模型“角平分线+平行线=等腰”，过点P作PM⊥OB于M，∵PC∥OA，∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，∴∠BCP＝30°，∴PM＝12PC＝2，∵PD＝PM，∴PD＝2．例5.证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出不完整的已知和求证。
北师大版八年级下册数学《线段的垂直平分线》三角形的证明说课教学课件复习
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作 几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几 个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如 果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线
八年级数学下册第一章三角形的证明1.3.2线段垂直平分线的性质与判定的应用学案新版北师大版
八年级数学下册第一章三角形的证明1.3.2线段垂直平分线的性质与判定的应用学案新版北师大版1、3、2 线段垂直平分线的性质与判定的应用课题内容1、3、2 线段垂直平分线的性质与判定的应用学习目标1、运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。
2、已知底边及底边上的高，会用尺规作等腰三角形。
会用尺规过一点作已知直线的垂线。
学习重点掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理。
学习难点会用所学知识按要求作图。
学法指导一、预习案1、用心想一想，马到功成利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?2、放开手脚做一做剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流、列出我的疑惑二、探究案探究1：证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O、求证：O点在AC的垂直平分线上、CBAP 议一议(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?探究2：放开手脚做一做已知底边及底边上的高，求作等腰三角形、 a已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h h例题：已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点P、我的知识网络三、训练案1、到平面上三点A，B，C距离相等的点( )A、只有一个B、有两个C、三个或三个以上D、一个或没有2、点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，OA＝8，则OA＋OB＋OC的值是( )A、11B、16C、24D、643、如果三角形两条边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是( )A、锐角三角形B、等腰三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形4、如图，在△ABC中，∠BAC＝80，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，求∠EAF的度数、5、在如图的网格上，能找出几个格点，使每一个格点与A，B两点构成以AB为底边的等腰三角形( )A、1个B、2个C、3个D、4个6、如图，在墙角O处有一个老鼠洞，小猫在A处发现一只老鼠正在B处准备往洞口方向逃窜，于是立即前去捕捉，假设小猫与老鼠的速度相同，你能确定小猫抓住老鼠的位置吗？请在图中通过作图的方法标出、(保留作图痕迹)7、拓展、如图，在△ABC中，DE，MN是边AB，AC的垂直平分线，垂足分别为点D，M，分别交BC于点E，N，且DE和MN交于点F、(1)若∠B＝20，求∠BAE的度数；(2)若∠EAN＝40，求∠F的度数；(3)若AB＝8，AC＝3，求△AEN的周长的范围、。
线段的垂直平分线(课件)-八年级数学下册同步精品课堂(北师大版)
随堂练习
1.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确 的是( D ) A.AO＝BO B.PO⊥AB C.PO是AB的垂直平分线 D.P点在AB的垂直平分线上
随堂练习
2.如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于 点E，垂足为D.若ED＝5，则CE的长为( C ) A．7 B．8 C．10 D．12
线MN上任意一点。
M
求证：PA=PB
P
证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°，
A
∵AC=BC，PC=PC。 ∴△PCA≌△PCB（SAS）
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
思考：当点P与点C重合时，上面结论成立吗？
C
B
N如果点P与点 C重合，那么 结论显然成立
探究新知
归纳总结 线段垂直平分线的性质定理：
随堂练习
3.如图，AB＝AD，则添加一个条件_C_B_＝__C__D__，即可得到AC是 BD的垂直平分线.
随堂练习
4.如图，CD是AB的垂直平分线，垂足为D. (1)AD＝____B_D___，∠ADC＝___9_0____°，AC＝___B_C____； (2)若AD＝3，AC＝5，则△ABC的周长为___1_6____.
证明：①若点P在线段AB上，
P
A
B
则点P为线段AB中点，结论显然成立.
P
②若点P不在AB上，取AB中点M，连接PM .
∵PA=PB，AM=BM，
∴PM⊥AB（等腰三角形三线合一）.
A
M
B
综上所述，原命题成立.
探究新知
归纳总结 线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 条件：点到线段两端点距离相等； 结论：点在线段垂直平分线上． 几何语言：∵PA＝PB，
线段的垂直平分线课件数学北师大版八年级下册
EF， PQ 相交于一点 O，且 OA=OB=OC.
拓展 几种三角形三条边的垂直平分线交点
的情况如图 1-3-6 所示 .
知3－讲
感悟新知
知3－练
例3 如图 1-3-7， OE， OF 所在 直线分 别是 △ ABC 中
AB， AC 边的垂直平分线，∠ OBC，∠ OCB 的平分
线相交于点 I，试判断 OI 与 BC 的位置关系，并给予
感悟新知
知2－练
(2)∠ ABE= ∠ ADE.
证明：易知四边形ABCD是以直线AC为对称轴的
轴对称图形，∴∠ABE＝∠ADE.
感悟新知
知3－讲
知识点 3 三角形三条边的垂直平分线的性质定理
性质定理
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这
一点到三个顶点的距离相等 .
感悟新知
知3－讲
特别解读
因为三角形任意两条边的垂直平分线一定交
第一章
三角形的证明
1.3
线段的垂直平分线
学习目标
1 课时讲授
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的判定定理
三角形三条边的垂直平分线的性质
2 课时流程
逐点
导讲练
定理
用尺规作已知直线(或线段)的垂线
课堂
小结
作业
提升
感悟新知
知识点 1 线段垂直平分线的性质定理
1. 性质定理
知1－讲
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
线上，思路有两种：
一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直 .
2. 用判定定理证明线段的垂直平分线，必须证
明两个点在线段的垂直平分线上 .
感悟新知
例2
八年级数学下册第一章三角形的证明131线段的垂直平分线学案北师大版
1.3 线段的垂直平分线一、知识点链接：1、已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上.2、如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.3、如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM.4、如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在____（1）（2）二、自学导读1、先把课本P24____P26通读一遍。
2、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O，连接AO，BO，CO．求证：O点在AC的垂直平分线上且OA=OB=OC．证明：三、议一议：1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等）2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形课题：1.3 线段的垂直平分线课型：新授编号：主备人：审核：小主人：学习目标：1、能够证明三角形三边垂直平分线交于一点且这一点到三个顶点的距离相等.2、能够用尺规作出线段的垂直平分线和以a为底，h为高的等腰三角形．可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。
例3：已知一个等腰三角形底边及底边上的高，求作等腰三角形。
已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.作法：四、做一做已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.按照例3的步骤，写出已知、求作、作法（独立完成）四、自学检测：1、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。
八年级数学下册第一章三角形的证明1.3.1线段的垂直平分线教案1(新版)北师大版
3 线段的垂直平分线一、教材分析线段的垂直平分线是几何中的重要概念，求作已知线段的垂直平分线是几何中的基本作图。
在几何证明、计算中，线段的垂直平分线的性质也有着重要的地位。
二、学情分析在知识掌握上，学生已经学习了全等三角形，对轴对称图形的性质有所认识，因此在知识的过渡上不会有困难，只是对该结论的正确性会产生质疑。
在心理上，八年级学生独立性和表现欲较强，希望得到老师和同伴的认可与肯定，体现自身价值，教师要抓住这一心理特征，积极鼓励，增强学生学习的主动性。
三、教学目标分析（一）教学目标根据本节课的内容、学情分析和课程标准，我设计本节课的教学目标为：知识技能：（1）经历线段的轴对称性质的探究过程，理解线段垂直平分线的概念（2）探索线段垂直平分线的性质（3）能用尺规完成基本作图：作一条已知线段的垂直平分线。
了解作图的道理，保留作图痕迹，不要求写出作法。
数学思考：（1）在探究线段垂直平分线性质的过程中，感受分类的必要性。
（2）在探究问题中，发展演绎推理能力。
解决问题：初步学会在具体情境中从数学角度发现问题和提出问题，并运用垂直平分线的性质解决简单的实际问题。
情感态度：通过研究解决问题的过程，积极参与数学活动，培养学生合作交流意识与探究精神。
（二）教学重难点根据教学内容和学情我把“线段垂直平分线的概念；探索线段垂直平分线的性质；用尺规作出线段的垂直平分线”作为本节课的教学重点。
“探索线段的垂直平分线的性质”确定为本节课的难点四、教法学法分析（一）教学方法：《新课标》指出“学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者、和合作者。
”本课以学生的实验探究活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主，讲授法、启发式教学、多媒体辅助教学等多种方法相结合。
注重培养学生动手操作，主动探究及合作交流的能力。
通过数学活动的经验，培养合情推理与初步的逻辑推理能力。
注重学生的个性差异，因材施教，分层教学。
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.3 线段的垂直平分线(第1课时)课件
③∠A=∠B;④∠ACD=∠BCD;
⑤∠ADC=∠BDC=90°.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
第二十九页，共四十五页。
பைடு நூலகம்
★3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,世纪金榜(jīnbǎng)导学 号 (1)作边AB的垂直平分线MN.(保留作图 痕迹,不写作法) (2)在已知的图中,若MN交AC于点D,连接BD,求∠DBC的 度数.
B.9 cm
C.10 cm D.11 cm
第十六页，共四十五页。
★2.(2019·黄石(huánɡ shí)模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则 DE的长为 ( B )
A .1 5 B .1 0 C .2 5 D .1 2 8 3 1 2 5
★★4.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,EF垂直平分BD. 求证(qiúzhèng):AB∥DF.
第三十三页，共四十五页。
证明(zhèngmíng):∵EF垂直平分BD,
∴FB=FD,∴∠FBD=∠BDF,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠FBD, ∴∠ABD=∠BDF,∴AB∥DF.
个端点的距离相等是解题的关键.
第十四页，共四十五页。
【题组训练】
1.(2019·昆山一模)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平
分线,分别交BC,AC于点D,E,连接(liánjiē)AD,若△ABD的周长为
16 cm,AB=5 cm,则线段BC的长度等于 (
)D
第十五页，共四十五页。
A.8 cm
第十页，共四十五页。
3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,将AB 边沿AD折叠,发现(fāxiàn)B点的对应点E正好在AC的垂直平分线 上,则∠C=_____3_0_°__.
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.3 线段的垂直平分线(第2课时)课件
【火眼金睛】 在△ABC中,点D为BC上一点(yī diǎn),连接AD,点E在线段AD上,并 且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.
第三十六页，共四十七页。
第三十七页，共四十七页。
正解:∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
第二十六页，共四十七页。
上述(shàngshù)作法的四个步骤中,你认为有错误的一步是
( C)
A.①
B.②
C.③
D.④
第二十七页，共四十七页。
★2.如图所示,A,B是直线(zhíxiàn)l外两点,在l上求作一点P,使 PA+PB最小,其作法是 ( D )
A.连接BA并延长与l的交点为P B.连接AB,并作线段AB的垂直平分线与l的交点为P
角和即可推出结论.
第十五页，共四十七页。
【题组训练】
1.(2019·菏泽牡丹区期中(qī zhōnɡ))如图,有A,B,C三个居民小
区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市
到三个小区的距离相等,则超市应建在 (
)B
第十六页，共四十七页。
A.AC,BC两边高线的交点(jiāodiǎn)处 B.AC,BC两边垂直平分线的交点处
第二页，共四十七页。
【新知预习】 阅读教材(jiàocái)P24-25,解决以下问题
1.三角形三条边的垂直平分线的性质
探究:利用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形、钝 角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置, 并测量各个交点到三角形顶点的距离.
第三页，共四十七页。
结论(jiélùn):①锐角三角形三边的垂直平分线交点在三__角__(s_ān_ji_ǎo) __形__内___;直角三角形三边的垂直平分线交点在_______ 斜边
八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.3《线段的垂直平分线》教学课件
北京师范大学出版社 八年级(niánjí) | 下册
P23问题
答案还有其他证法.
证明∵AB=AC,OB=OC,AO=AO,
∴△AOB≌△AOC(SSS).
∴∠BAO=∠CAO,即AO平分∠BAC.
∴AO垂直平分BC(等腰三角形顶角的角平分线、底边(dǐ biān)上的中线及底边(dǐ biān)上的高线
(1)过点P作已知线段AB的垂线段PC,再证明点C平分AB;
(2)取AB的中点C,再证明PC⊥AB;
(3)作∠APB的平分线PC,证明PC⊥AB,且AC=BC.
下面给出第(1)种思路的完整证明过程,其他证明过程由同学(tóng xué)们自己完成.
已知:如图所示,PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
点.(2)这里的距离是指线段垂直平分线上的点与线段两个端点间线段的长度.
第二页，共二十三页。
北京师范大学出版社 八年级(niánjí) | 下册
知识点一
知识点二
例1 如图,在△ABC中,线段BC的垂直平分线DE交AC于点D.
(1)若AB=5,AC=8,求△ABD的周长;
(2)若△ABD的周长为13,△ABC的周长为20,求BC的长.
知识点一
知识点二
第七页，共二十三页。
北京师范大学出版社 八年级 | 下册
拓展(tuò zhǎn)
点一
拓展点一
拓展(tuò zhǎn)
点二
三角形三边的垂直平分线
例1 如图所示,已知△ABC,你能找一点O,使它到其三个顶点的距离相等吗?若能,请说明理由.
分析(fēnxī):由线段垂直平分线的性质知,这样的点O在边AB,BC,AC的垂直平分线上.
3
∵ 3a<a+ 2 a<2a,∴选方案(3).
2020春北师大版八年级数学下第一章三角形的证明第7课时 线段的垂直平分线(1)
cm,BD=3 cm,那么 DC 的长是( A )
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm D.5 cm
数学
5.如图,在△ABC 中,DE 垂直平分 AC 交 AB 于 E,∠A=30°,∠ ACB=80°,则∠BCE= 50 °.
数学
6.如图,AB 垂直平分 CD,AC=6,BD=4,则四边形 ADBC 的周长 是 20 .
则 PB( A ) A.等于 1
B.小于 1
C.大于 1 D.不能确定
数学
3.三角形纸片 ABC 上有一点 P,量得 PA=3 cm,PB=3 cm,则点
P 一定( D ) A.是边 AB 的中点
B.在边 AB 的中线上
C.在边 AB 的高线上
D.在边 AB 的垂直平分线上
数学
4.如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线交 AC பைடு நூலகம் D,如果 AC=5
数学
第一章 三角形的证明
第7课时 线段的垂直平分线(1)
数学
▶ ▶ 关键视点 1.(1)线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点 的距 离相等. (2)到一条线段两个端点的距离 相等 的点,在这条线段的 垂直平分线上.
数学
2.如图,已知直线 l 垂直平分线段 AB,P 是 l 上一点,已知 PA=1,
谢谢观看
北师大版八年级数学下册线段垂直平分线线段垂直平分线的性质与判定-讲练课件-
3.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC的延长线于
点E，连接AE，若∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．
解：∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC.
∴∠CAE＝∠ECA.
∵∠B＝50°，∠BAC＝21°，
∴∠ECA＝∠B＋∠BAC＝71°.
∴∠CAE＝71°.
线段垂直平分线的判定
4.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分
线 上.
几何语言：ห้องสมุดไป่ตู้
∵ AP＝BP ，
∴点P在AB的垂直平分线上．
5.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是
（D）
A.AO＝BO
B.PO⊥AB
C.PO是AB的垂直平分线
D.点P在AB的垂直平分线上
例2
如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝
∠ = ∠，
证明：在△ABM和△ABN中，ቐ = ，
∠ = ∠，
∴△ABM≌△ABN( ASA )．
∴AM＝AN，BM＝BN.
∴点A，B都落在MN的垂直平分线上．
∴AB垂直平分MN.
7．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分
线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12.
点．已知PA＝4，则线段PB的长为 4 ．
2．如图，若AC＝AD，BC＝BD，则（ B ）
A．CD垂直平分AB
B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB
D．以上均不对
3．如图，AD⊥BC于点D，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，
则AB，AC，CE的长度关系为（ D ）
八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线线段垂直平分线的几种应用讲义(新版)北师大版
线段垂直平分线的几种应用【名师点睛】线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系—垂直，数量关系—平分，利用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度。
角的度数等，还可以解决试剂生活中的选址等问题。
[类型1]线段垂直平分线的性质在求线段中的应用1.如图，△ABC中，AB.AC的垂直平分线交BC于点D. E，已知△ADE的周长为12cm，则BC=______.解答：∵DF、EG分别是线段AB.AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为12cm，即AD+DE+AE=12cm，∴BC=12cm.故答案为：12cm.2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，DE垂直平分AB于点E，交AC于点D.若BC=2cm，求AD的长.解答：连接BD，∵DE垂直平分AB于点E，交AC于点D，∴AD=BD，∠A=∠ABD.∵∠A=15°，∴∠ABD=15°.在△BDC中，∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°.∵∠C=90°，BC=2cm，∴BD=2CD=4cm，∴AD=4cm.[类型2]线段垂直平分线的性质在求角中的应用3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= °.解答：∵AB=AC，DE垂直平分AB，∠ADE=40°，∴∠ADE=∠EDB=40°，AE=BE，∴∠A=∠ABD=50°.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=12(180°-∠A)=65°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角∠1，∠2，且∠1:∠2=2:5，求∠ADC的度数.解答：设∠1=2x，则∠2=5x.∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠2=5x，∴∠ADC=∠B+∠2=10x.∵∠C=90°，∴∠ADC+∠1=90°，即10x+2x=90°，∴x=7.5°，∴∠ADC=10x=75°.5.已知：如图，在△ABE中，AB，AE边上的垂直平分线m1，m2分别交BE于点C，D，且BC=CD=DE. （1）求证：△ACD是等边三角形；（2）求∠BAE的度数.解答：（1）证明：∵m1，m2是AB.AE的垂直平分线，∴BC=AC，AD=DE.又∵BC=CD=DE，∴AC=CD=AD，∴△ACD是等边三角形.（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠CAD=∠ACD=∠ADC=60°.∵BC=AC，AD=DE，∴∠ACD=2∠BAC，∠ADC=2∠EAD，∴∠BAC=∠EAD=30°，∴∠BAE=30°+30°+60°=120°.[类型3]线段垂直平分线的性质在实际中的应用6.如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？解答：如图，连接AB.BC，分别作AB.BC的垂直平分线DE.GF，两直线的交点M即为所求.[类型4]线段垂直平分线的判定在判断两线位置关系中的应用7.如图，AD为△ABC的角平分线，AE=AF，请判断线段AD所在的直线是否是线段EF的垂直平分线.如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解答：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.理由如下：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD.在△AED 和△AFD 中，∵AE=AF ，∠BAD=∠CAD ，AD=AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴DE=DF ，∴D 在EF 的垂直平分线上.∵AE=AF ，∴A 在EF 的垂直平分线上，∴线段AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线.[类型7]利用线段垂直平分线的性质探究角之间的变化规律8.如图①，在△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于N,交BC 的延长线于M,∠A=40°.（1）在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 的延长线于点M ，∠A=40°，求∠NMB 的大小；（2）如果将（1）中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小；（3）你发现了什么样的规律？试证明你发现的规律；（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改？（不需说明理由） 解答：（1）∵AB=AC ，∴∠ABM=∠ACB.∵∠BAC=40°，∠ABM=∠ACB ，∴∠ABM=21×(180°-∠BAC)=70°.∵∠MNB=90°，∠ABM=70°，∴∠NMB=90°-∠ABM=90°-70°=20°.（2）与（1）同理可得∠B=21×(180°-∠BAC)=55°，∴∠NMB=90°-55°=35°.（3）规律：∠NMB=21∠A.理由如下：∵AB=AC ，∴∠ABM=∠ACB.∴∠ABM=21×(180°-∠A).∵∠ABM=21×(180°-∠A)，∠BNM=90°，∴∠BMN=90°-∠ABM=21∠A.（4）如果将∠A 改为钝角，这个规律性的认识也无需修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所形成的锐角等于顶角的一半.[类型8]利用线段垂直平分线的判定证明线段的垂直平分线9.如图，四边形ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD ，CB=CD.（1）八年级王建同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD 的两条对角线AC ⊥BE ，垂足为E ，并且BE=ED ，你同意王建同学的判断吗？请说明理由；（2）设对角线AC=a ，BD=b ，请用含a ，b 的式子表示四边形ABCD 的面积.解答：（1）王建同学的判断是正确的．理由：∵AB=AD ，∴点A 在BD 的垂直平分线上．∵CB=CD ，∴点C 在BD 的垂直平分线上．∴AC 为BD 的垂直平分线，BE=DE ，AC ⊥BD ．（2）由（1）得AC ⊥BD ．∴S 四边形ABCD=S △CBD+S △ABD=21BD·CE+21BD·AE=21BD·AC=21ab ．[类型9]利用线段垂直平分线的性质和判定探究线段垂直平分线的条件10.如图,在四边形ABCD 中,已知AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F.(1)求证：CF=AD ；(2)若AD=2，AB=8，当BC 为多少时，点B 在线段AF 的垂直平分线上?为什么?解答：(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠F=∠DAE.又∵∠FEC=∠AED ，∴∠ECF=∠ADE ，∵E 为CD 中点，∴CE=DE ，在△FEC 与△AED 中，∵∠FEC=∠AED ，CE=DE ，∠ECF=∠ADE ，∴△FEC ≌△AED ，∴CF=AD ；(2)当BC=6时，点B 在线段AF 的垂直平分线上，其理由是：∵BC=6，AD=2，AB=8，∴AB=BC+AD ，又∵CF=AD ，BC+CF=BF ，∴AB=BF，∴△ABF是等腰三角形，∴点B在AF的垂直平分线上。