9.1_2 多元函数的基本概念

2 2
例1. 设
(x + y ≠ 0)
2 2
x→0 y→0
要证
证:
<ε
∴ ∀ε > 0, ∃δ = ε ,当0 < ρ = x2 + y2 <δ 时 总有 ,
≤ x2 + y2
故
x→0 y→0
lim f (x, y) = 0
xsin 1 + y sin 1 , xy ≠ 0 y x f (x, y) = 例2. 设 0 , xy = 0 lim 求证： f (x, y) = 0.
xy , 2 2 x + y ≠0 2 2 f (x, y) = x + y 2 2 0 , x + y =0 在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
又如, 又如, 函数
例如, 例如 函数
在圆周 x2 + y2 =1上间断. 结论: 结论 一切多元初等函数在定义区域内连续.
闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 定理
(有界性定理)
(2) f (P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
(最值定理)
(3) 对任意
∃ Q∈D，
(介值定理) (一致连续性定理)
* (4) f (P) 必在D 上一致连续 . (证明略)
第2节
多元函数的极限和连续性
2.1 多元函数的极限 2.2连续性 2.2连续性
2.1多元函数的极限 2.1多元函数的极限
定义1. 定义 设 n 元函数 f (P), P∈D ⊂ Rn , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 ε , 总存在正数δ , 对一 切 P∈D ∩U(P ,δ ) , 都有 0 记作
P→P 0
则称 A 为函数
lim f (P) = A (也称为 n 重极限)
2 2
当 n =2 时, 记 ρ = PP = (x − x0 ) + ( y − y0 ) 0 二元函数的极限可写作：
ρ →0
lim f (x, y) = A = lim f (x, y) = A
x→x0 y→y0
1 f (x, y) = (x + y )sin 2 2 x +y 求证：lim f (x, y) = 0.
E
1.4 区域、闭区域 区域、
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集 开集； 开集 • E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作∂E ; • 若点集 E ⊃∂E , 则称 E 为闭集； • 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 则称 D 是连通的 ; D • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 简称区域 简称 。 • 开区域连同它的边界一起称为闭区域 闭区域. 。 闭区域 定理1.1 （1）空集∅与全集R2是开集； 定理1.1. 1.1 任意个开集之并是开集；有限个开集的交是开集； （1）空集∅与全集R2是闭集； 有限个闭集之并是闭集；任意个闭集的交集是闭集。
x→0
α >3
3. 证明 在全平面连续. 证: 又 为初等函数 , 故连续.
0≤
xy x2 + y2
由夹逼准则得
= f (0,0)
故函数在全平面连续 .
2
2 2
2
z
定义域为 圆域 { (x, y) x + y ≤1} 图形为中心在原点的上半球面.
o
x
z
1 y
又 , z = sin(xy) , (x, y) ∈R 如
的图形一般为空间曲面 Σ .
2
说明: 说明 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ∈ D
x
y
三元函数 u = arcsin( x2 + y2 + z2 ) 定义域为 单位闭球 图形为 空间中的超曲面.
o
2 2
x
内容小结
1. 区域 • 邻域 : U(P ,δ ) , U(P ,δ ) 0 0 • 区域 • Rn 空 间 2. 多元函数概念 n 元函数 u = f (P) = f (x1, x2 ,⋯, xn ) 连通的开集
P∈D ⊂ Rn
常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数
3. 多元函数的极限 lim f (P) = A 0 ， ∀ε > 0,∃δ > 0, 当 < PP <δ 时 0 P→P 0 有 f (P) − A <ε 4. 多元函数的连续性 1) 函数 f (P) 在P 连 续 0 有界定理 ; 最值定理 ;
xy 例3. 讨论函数 f (x, y) = 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x +y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx k lim f (x, y) = lim 2 = 2 2 x→0 x→0 x + k x 1+ k 2
y=kx 2
k 值不同极限不同 !
x→0 y→0
∵ 证： f (x, y) − 0
≤ x+ y
要证
<ε
∴ ∀ε > 0, ∃δ =ε 2,当0 <ρ = x2 + y2 <δ 时 总有 ，
lim f (x, y) = 0
故
x→0 y→0
, • 若当点 P(x, y)以不同方式趋于 P (x0 , y0 ) 时 函数 0
则可以断定函数极限 趋于不同值或有的极限不存在， 不存在 .
Rn 中 点x = (x1, x2,⋯, xn )与零元 O 的距离为 的
2 2 2 x = x1 + x2 +⋯+ xn
当n =1, 2, 3时 x 通 记 x . , 常 作
作 R 中 变 x 与 元 a 满 x −a →0 记 x →a. 的 元 定 足
n
1. 2 邻域
点集 例如, 例如,在平面上, δ 邻域. PP < δ 称为点 P0 的δ-邻域. 0
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
2.3 多元函数的连续性 定义3 定义 . 设 n 元函数 f (P) 定义在 D 上, 聚 P ∈D, 点0 如果存在
P→P 0
lim f (P) = f (P ) 0
点0 则称 n 元函数 f (P) 在 P 连续, 否则称为不连续, 此时
称为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 连续.
U( P , δ ) = {(x, y) 0
}(圆邻域)
U( P ,δ ) = {(x, y, z ) 0
在空间中,
}
(球邻域)
说明： 说明：若不需要强调邻域半径δ ,也可写成 U( P ). 0 点 P0 的去心邻域 去心邻域记为 去心邻域
0 < PP < δ 0
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
E
聚点 若对任意给定的δ , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点 聚点. 聚点 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . 导集 孤立点 点P∈ E ，但不是聚点，称P为孤立点 孤立点. 孤立点
故 f (x, y)在 (0,0) 点极限不存在 .
例4. 求
此函数定义域 不包括 x , y 轴
2 2 2 2 2 解: 因 x y ≤ 1 (x + y ) ,令 r 2 = x2 + y2 , 则 4
4(1− cos r ) ≥ r6
2
4(1− cos r 2 ) 2 r4 而 lim = lim 6 = ∞ 6 r →0 r→0 r r
即
y2 2 +y 2 x
ln(1+ xy) 是否有极限？ 2. lim x x→0 x+ y
y→0
解： 用ln(1+ x y) ~ x y , 取 y = xα − x 利
ln(1+ xy) x y lim x = lim x→0 x→0 x + y x+ y
2
y→0
所以极限不存在.
−1, 2 3−α = lim(x − x ) = 0 , x→0 ∞,
例如， 例如，在平面上 ♣ { (x, y) x + y > 0 } ♣ { (x, y) 1 < x2 + y2 < 4 } ♣ { (x, y) x + y ≥ 0} ♣ { (x, y) 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 } 闭区域 开区域
y
o
y
x
o 1 2x
y
y
o
x
o 1 2x
♣ 整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域； ♣ 点集 { (x, y) x >1 是开集， } 但非区域 .
Rn = R× R×⋯× R
n 维空间中的每一个元素 一个点, 点 当所有坐标 O. 称为该点的第 k 个坐标 . 坐标 称该元素为 Rn中的零元, 记作 称为空间中的
Rn 中 点x = (x1, x2 ,⋯, xn ) 与 y = ( y1, y2 ,⋯, yn ) 的 点
的距离 距离记作 距离 规定为
P→P 0
lim f (P) = f (P ) 0
2) 闭域上的多元连续函数的性质: 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
备用题 1. 设 解法1 解法 令
求
y2 u = , v = xy x 2 y2 y 2 = 2 +y f ( , x y) = x x