浙江省名校协作体2020届高三下学期3月考试数学试题Word版含答案
2022年3月浙江省名校协作体2022届高三下学期3月联考数学试题及答案
【10题答案】
【答案】B
二､填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
【11题答案】
【答案】①. 1②. {1,e}##{e,1}
【12题答案】
【答案】①. 14②.
【13题答案】
【答案】①. 8②. 25
【14题答案】
【答案】①. ②.
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
（1）求抛物线C的方程；
（2）（i）求证： 为定值；
（ii）设 , 的面积分别为 ,求 的最小值.
22.已知函数 , ．
（1）当 时,求 的单调区间；
（2）设函数 ,
①若 有且只有一个零点,求实数a的取值范围；
②记函数 ,若关于x的方程 有4个根,从小到大依次为 , , , ,求证： ； ．
2022年3月浙江省名校协作体2022届高三下学期3月联考
12.我国古代数学家已经会借助三角数表来计算二阶等差数列的和,例如计算 ,把第一个数表逆时针旋转两次,得到后两个数表,再把3个数表叠在一起,每一个位置的和都是5,所以 ,我们使用类似的想法计算： ,三个数表叠加之后每一个位置的和都是___________；推广可得 的求和公式 __________．
18.在 中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知 ．
（1）若 ,求角A；
（2）求 的取值范围．
19.如图,四棱锥 中,平面 平面ABC, , , , , , ．
（1）求证： ；
（2）当 时,求直线MC与平面PAC所成角的正弦值．
20.已知数列 满足： , , ,且 ；等比数列 满足： , , ,且 ．
2022年3月浙江省名校协作体2022届高三下学期3月联考
2020届 浙江省 宁波市 十校高三下学期 3月联考数学试题(解析版)
2020届浙江省宁波市十校高三下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =I （ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】B【解析】直接根据交集的定义计算P Q I 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，所以{|01}P Q x x =<<I .故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2．双曲线22194x y -=离心率是（ ）A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】A【解析】由标准方程求出c 和a ，继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=，所以13c =. 由29a = 可知3a =.13c e a ∴==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3．若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】由约束条件画出可行域，通过平移13y x =-分析即可得最优解，代回3z x y =+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3z x y =+可知1133y x z =-+.则当1133y x z =-+过()4,2C -时，min 462z =-=-.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．343cm B ．32cmC ．383cmD ．34cm【答案】C【解析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2.所以体积为3118222333V Sh cm ==⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积的求解，考查了三视图.5．函数()()22x b af x -=的图像如图所示，则（ ）A ．0,01a b ><<B ．0,10.4a b >-<≤C ．0,10a b <-<<D ．0,01a b <<≤【答案】D【解析】由解析式及图像判断出01b <≤，结合复合函数单调性，可知0a <.【详解】解：由()()22x b af x -=可知，()()22x af x b f b x +=-= ，所以函数对称轴为x b =，由图可知01b <≤.设()2x b u a-=，则()2uf u =.由图可知，函数先增后减.因为()2uf u =单调递增，所以()2x b u a-=应先增后减，故0a <.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()f x a f b x +=-，则该函数的对称轴为2a bx +=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则.6．设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】以2a =-为条件，判断20x x a ++=有实数根是否成立；以20x x a ++=有实数根为条件，判断2a =-是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根；当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤. 故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.7．正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角PBC A -的平面角为γ，则（ ）A ．βγα<<B ．αβγ<<C ．γβα<<D ．γαβ<<【答案】A【解析】不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ,经过分析,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠，从而可求出tan ,tan ,tan αβγ，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ， 连接,,,,PO PK PC PD KO ，则PO ⊥面ABCD .设正方体的边长为2a . 由题意知,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠.KO PO a ==，2CO a =3PC CD a ==，则tan 1a a γ==；2223cos 232a aα==⋅⋅ 则tan 2α=； 2tan 22PO CO aβ===.因为tan tan tan βγα<<，所以βγα<<. 故选:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8．已知随机变量的分布列如下102a ⎛<<⎫ ⎪⎝⎭：ξ1 2Pb a - ba则（ ）A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ有最大值32C ．()D ξ有最小值0 D ．()D ξ有最大值12【答案】D【解析】由所有概率之和为1求出12b =,进而可求()122E a ξ=+，()211442D a ξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，结合102a <<，可求最值. 【详解】解：由题意知，21b a b a b -++==，即12b =.则()()113022,222b a b a a E ξ⎛⎫=⋅-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以()E ξ没有最值. ()()222111021222222a b a a D b a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111424442a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.由102a <<可知，当14a =时，()D ξ有最大值为12. 故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个.A ．576B ．1296C ．1632D ．2020【答案】B【解析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864C C A ⋅⋅=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424C C ⋅=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318A ⨯⨯=个，所以这种情况下的四位数共有2418432⨯=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10．数列{}n a 满足21121,n n n a a a a n N ++==-+∈，，则（ ）A ．存在k N +∈，使1122k k k a --<<B ．存在m ，k N +∈，m k a ka =C ．存在m ，,m k k N a ma +∈=D ．121111na a a ++⋅⋅⋅+< 【答案】D【解析】由数列单调性的定义作差可得10n n a a +->，可得{}n a 为递增数列，又()2111n n n n n a a a a a +=--=-，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知， ()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-.由于120a => ，所以()210n a ->，则10n n a a +->，所以{}n a 为递增数列. 211n n n a a a +=-+Q ，()2111n n n n n a a a a a +∴-=-=-，()11111111n n n n n a a a a a +∴==----.即111111n n n a a a +=---，则12122311111111111111 (11111111)n n n n a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=---------1111n a +=--.由{}n a 为递增数列，可得1101n a +>-，则11111n a +-<-. 即121111na a a ++⋅⋅⋅+<故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.二、填空题11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020i e π=___________【答案】1【解析】由已知可知2020cos2020sin2020i e i πππ=+，运用诱导公式可求出cos20201π=，以及sin20200π=，继而可求2020i e π.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020i e i πππ=+，()cos2020cos 021010cos01ππ=+⋅==，同理，sin2020sin00π==.故2020cos2020sin20201i e i πππ=+=.故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 12．()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________【答案】14【解析】由二项式定理写出()()421x x ++的通向，求出通项中3x ，即可求系数.【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k k x C x x x C --=+++当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=.故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.13．设向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，记1212*a b x x y y =-r r ，若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三点123A A A ，，，且1223A A A A ⊥，则1223**OA OA OA OA +u u u r u u u u r u u u u r u u u u r的最大值是___________【答案】16【解析】设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ,根据条件得13131,222x x y y ++==-,则 ()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v,所以当直线240x y b ++= 与圆相切时,24x y + 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()()22125x y -++=，则圆心()1,2C -，半径5r =.设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223AA A A ⊥得13A A 为直径， 由此可得13131,222x x y y ++==-，即13132,4x x y y +=+=-. 则()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v，2A 为圆上的一点，当直线240x y b ++=与圆相切时，24x y + 有最大值.则圆心到直线的距离28520b d -+==，解得16b =或4-.则当16b =时，24x y + 有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24x y +的最值问题转化为直线与圆相切的问题.三、双空题14．在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________7 2114-【解析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=o ，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值.【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠即21422cos1207AC =+-⨯⨯=o ，7AC ∴=又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=o.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 147ACB ∠==o . ()21cos cos 90sin BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=o 故答案为:7;21. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=o .在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.15．已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF V 周长是___________，ABF V 的重心纵坐标的最大值是___________【答案】83【解析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224a a a +=；设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，消去y ，即可求出122643ky y k +=+，进而可知重心纵坐标为1202334y y y k k+==+，分0,0k k >< 两种情况，结合基本不等式，即可求出033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F .则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF V 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k > 时，3424343k k+≥⨯=，当且仅当34k k =，即3k = 时，等号成立，此时03643y ≤=； 当k 0<时，()333442443k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=---≤--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当34k k-=-，即3k =时，等号成立，此时0343y ≥=. 综上所述：033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF V 的重心纵坐标的最大值是36. 故答案为: 83【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等.16．()121f x x x =--+的值域为___________；若函数()()g x f x a =-的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤-≤，则实数a 的取值范围是___________【答案】(],2-∞ 15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意，()f x a =的零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或者(],1-∞-和[)1,+∞上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(],2-∞.由()0g x =得()f x a =，显然，零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或(],1-∞-和[)1,+∞上，令12331x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得12313x a a x =-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，又12210x x ≤-≤，则111719,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由121,11x x ≤--≤≤，可得14,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；令1233x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得1233x a x a =-⎧⎨=--⎩，又12210x x ≤-≤，则[][]5,11,5a ∈--⋃，同时121,1x x ≤-≥，得[]5,4a ∈--. 综上所述：15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：(],2-∞;15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.17．已知双曲线221:1C x y -=，曲线222:x yC x y y x+=-，则曲线12,C C 的交点个数是___________个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是___________【答案】0 2【解析】联立曲线12,C C 的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221x y x y x y y x ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，整理可得，22x y xy +=，即2213024x y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 由0xy ≠可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C 上的点为(),x y ，则原点与2C 上的点之间的距离为22r x y =+设cos ,sin x r y r αα==，02απ≤<，代入2C 得()()()222222cos sin cos sin cossin r r r r r r αααααα+=⋅-整理得24411sin 2cos2sin 424r r r ααα==.由sin41α≤，可得241r≤，解得2r ≥ 当sin41α= 时，r 取最小值为2.故答案为: 0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.四、解答题18．设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；（2）若()2f α=3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）34πθ=或74π（2）23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】（1）由三角恒等变换求得()24f x x πθθ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值.（2）由()2f α可求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则所求26344f a πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求出值.【详解】解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+，()24f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为()f x θ+为奇函数，所以,4k k Z πθπ+=∈，解得,4k k Z πθπ=-+∈∵02θπ≤≤∴当0k =或1 时，34πθ=或74π. （2）因为()2f α=，所以22sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭所以262sin sin cos 34344f a πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当3cos 4πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sin f x A x ωϕ=+ 为奇函数，则,k k Z ϕπ=∈；若已知()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈.19．如图，三棱锥P ABC -中，PAC V 是正三角形，ABC V 是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（211【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OB OP ，，通过证明OP AC OB AC ⊥⊥，，则可证AC ⊥面PBO ，从而证明线线垂直.（2）由AC ⊥面PBO 可知二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥ 平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠ 是AD 和平面PAC 所成的角，由此能求出AD 和平面PAC 所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB △和CPB △中，∵APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==，，，∴APB CPB △≌△，∴AB CB =.∴ABC V 为等腰直角三角形 取AC 的中点O ，连接OB OP ，，则OP AC OB AC ⊥⊥，， ∴AC ⊥面PBO ，PB ⊂面PBO ，∴PB AC ⊥（2）∵AC ⊥面PBO ，∴二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角. 设2PB =，则PAC V 的边长为4，22BA BC ==PBO V 中，12232PB OB OP DT ====，，APB △中，4222PA AB BP ===，，，D 为PB 的中点，∴11AD =在Rt ADT △中，11sin DT DAT AD ∠==AD 与平面PAC 11【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记,n n nn a c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W ，证明：13n W n <.【答案】（1）n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】（1）结合基本量法，将已知4324,a a S ==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1n n T b +=推出111n n T b --+=，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）求出n c ，分别讨论n 为奇数和偶数，结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324a a S ==，∴111a d ==，，∴n a n =∵1n n T b +=，∴111n n T b --+=，两式相减得112b =，112n n b b -=，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）①当2n m =时，则形211421kmmn mk k W W k ==⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭∑∵111144111111434314mkm mk =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑，当2k ≥21232121212123k k k k k k k =<=----+--+-∴(2121232121mmk k k k m k ==<+--=--∑112133n W m n <-.②当21n m =-时，21213n m m W W W n -=<<成立.综上①②得：13n W n 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n 取奇数和偶数进行讨论.21．已知点()0,A a ，0a >，抛物线()220x py P =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一个点C ，过点C 作AP 的平行线x 轴于点Q .（1）证明：//AQ BP ；（2）记直线BP ，CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC V的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值若不存在，请说明理.【答案】（1）证明见解析（2）存在；12λ= 【解析】（1）设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则可知直线BC 的方程，由()0,A a 在BC 可知012a t t p=，求出22x Py =在B 处的切线的方程可得()0,0P pt ，从而可求出直线CQ的方程，继而可得()1,0Q pt ，由012AQ BP ak t k pt =-==可证明平行. （2）设直线,BP CQ 相交于点T ，则1PQT S S ∆= ,四边形AQTP 为平行四边形，由此推导出存在12λ=使得12S S λ=. 【详解】解：（1）证明：设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则直线BC 的方程为()01012y t t x pt t =+-由()0,A a 在BC 可知，012a t t p=，又22x Py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =-， 令0y =可得0p x Pt =即()0,0P pt ∴0AP ak pt =-.直线CQ 的方程为 ()()2111102222ay pt x pt t x pt pt -=--=-，令0y =可得1Q x pt =即()1,0Q pt ∴012AQ BP ak t k pt =-==即AQ BP ∥ （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S =△，由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形∴1101122PQT AQP Q P S S S OA x x ap t t ===-=-V V ， ∵21011222OBC B C S S OA x x a p t t ==-=⋅-V ，∴1212=S S ，即存在12λ=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22．已知函数()()2112xf x x e x -=+-，其中 2.71828e ≈为自然对数的底.（1）试求函数()f x 的单调区；（2）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：1325b e <.（参考数据：1.64 1.65e <） 【答案】（1）函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减（2）①()1,4a ∈②证明见解析【解析】（1）求出导数为()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()f x f x 随x 的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R 可知220x x a ++≠恒成立，所以440a =-<△，可求出1a >，求出()()()()22222212x x a e x g x x x a +--+'=++，令()0g x '=得()22a f x -=，结合第一问的单调性可知()2202a f -<=，即14a <<.②由()2112f a -=-<-及3359222 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭可知存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使()0g x '=，则极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.结合导数可证明()()21x e h x x =+在302x <<上递增，从而可求13255e b e e <【详解】（1）求导得()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，由()0f x '=，解得0x =.当0x <时，()0f x '≥；当0x >时，()0f x '<.又因为函数()f x 的定义域为R ， 故函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减. （2）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立故440a =-<△，即1a >又()()()()()()()()2222222221122122x x x x x a x e x a e x g x xx a xx a e ++-+++--+'==++++则()0g x '=等价于()()22212x a x e x f x --=+-=，由（1）知()2y f x =在(,0]-∞上递增，在(0,)+∞上递减， 故函数()g x 存在极小值，必有()2202a f -<=，即14a <<.②又()2112f a -=-<-，339592224 1.644f a e e⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，故对任意()1,4a ∈， 存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，即()22,1,2i a f x i -==，因此，()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减，所以，极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.记函数()()21x e h x x =+，302x <<，则()()2021x xe h x x '=>+，即()h x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 故()()320h h x h ⎛<<⎫⎪⎝⎭，即13255e b e e <1325b e <.【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.。
2020年浙江省名校协作体高考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析)
2020年重庆市直属校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <3}，B ={x|x <1}，则A ∩B =( )A. {x|x <1}B. {x|x <3}C. {x|−3<x <1}D. {x|−3<x <3}2. 已知i 为虚数单位，则|3+2i|=( )A. √5B. √7C. √13D. 33. 已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=8，a 8=9，则a 5=( )A. 4√2B. 5C. 7D. 3√24. 设x ，y 满足约束条件{y +2≥0,x −2≤0,2x −y +1≥0,则z =x +y 的最大值与最小值的比值为( )A. −1B. −32C. −2D. −525. “算经十书”是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》，其中《九章算术》是最重要的一部．现从这10部算经中任取两部，取到《九章算术》的概率为( )A. 110B. 15C. 19D. 2156. 四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ∈PC ，F ∈PB ，PE⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AF//平面BDE ，则λ的值为( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 47. 函数y =cos3x+13x −3−x的图象大致为( )A. B. C. D.8.在(x+3y)(x−2y)5的展开式中，x2y4的系数为()A. −320B. −160C. 160D. 3209.函数的部分图象如图所示，则()A. f(x)=2cos(2x−π3)B. f(x)=2cos(2x+π3)C. f(x)=2cos(2x−π6)D. f(x)=2cos(2x+π6)10.已知PC为球O的直径，A，B是球面上两点，且AB=6，∠APC=∠BPC=π4，若球O的表面积为64π，则棱锥A−PBC的体积为()A. 8√7B. 24√7C. 4√33D. 2√21511.已知F1为双曲线C:x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B.若AB的中点为M(1,8)，则此双曲线C的离心率为() A. √3 B. 2 C. √5 D. √612.设函数f(x)={log2(−x),x<0,2x,x≥0,若关于x的方程f2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. [0,+∞)B. (0,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量p⃗=(2,−3)，q⃗=(x,2)，且p⃗⊥q⃗，则|p⃗+q⃗|的值为______ ．14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−2)=f(x+2)，且当x∈[−2,0]时，f(x)=3x−1，则f(9)=_____________．15.在数列{a n}中，a1=3，(a n+1−2)(a n−2)=2(n∈N∗)，则该数列的前2014项的和是______ ．16.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点F的直线l交C于A、B两点，交C的准线于点M，若F为AM的中点，则|AB|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a−c．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b=√3，求2a+c的最大值．18.如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=π，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，2O是AC与BE的交点，以BE为折痕把△ABE折起使点A到达点A1的位置，且A1C=1，如图2．(1)证明：平面A1BE⊥平面BCDE；(2)求二面角C−A1B−E的余弦值．19.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x−和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差s2．(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ,σ2)，令Y=X−μ，σ).则Y～N(0,1)，且P(X≤a)=P(Y≤a−μσ利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)．(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望．,0.773419≈0.0076.若Y～N(0,1)，则P(Y≤0.75)=0.7734．参考数据：√178≈40320.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−1,0)、F2(1,0)，上、下顶点分别为B1、B2，且△B1F1F2为等边三角形．(1)求椭圆E的方程；(2)设点M(4,0)，直线B1M与椭圆E相交于另一点A，证明：A，F2，B2三点共线．21.设函数f(x)=e x−1−x，求f(x)的单调区间．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54. (1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −a 2|+|x +2|，其中a ∈R ．(1)当a =−1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若∀x ∈R ，使得f(x)>3a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查描述法表示集合的定义，以及交集的运算．属于基础题．进行交集的运算即可．解：A∩B={x|−3<x<1}．故选：C．2.答案：C解析：本题考查了复数的模长概念，根据模长计算公式，即可得到结果．解：|3+2i|=2+22=√13．故选C．3.答案：D解析：本题主要考查等比数列的性质及通项公式，属于基础题．利用等比数列的性质及通项公式即可求解．解：依题，等比数列{a n}各项均为正数，则q>0，∵a1a2a3=a23=8，∴a2=2，∵a8=9，∴a8a2=q6=92，∴q3=3√22，∴a5=a2·q3=2×3√22=3√2．故选D．4.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：A(2,5)，B(−32,−2)由z=−x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+ z的截距最大，此时z最大值为7，经过B时取得最小值：−72则z=x+y的最大值与最小值的比值为：7−72=−2．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．5.答案：B解析：本题考查古典概型概率计算，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=9×(9+1)2=45，选择到《九章算术》包含的基本事件个数m=9，由此能求出选择到《九章算术》的概率．解：从十部书中随机选择两部书，基本事件总数n=9×(9+1)2=45，选择到《九章算术》包含的基本事件个数m=9，则选择到《九章算术》的概率是p=mn =945=15．故选B．6.答案：C解析：解：∵AF//平面BDE ，∴过点A 作AH//平面BDE ，交PC 于H ， 连结FH ，则得到平面AFH//平面BDE ，平面AFH ∩平面PBC =FH ， 平面BDE ∩平面PBC =BE ，由面面平行的性质得FH//BE ， ∵E ∈PC ，F ∈PB ，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OCOA =ECHE =1，∴EC =EH ，又PE =3EC ，∴PH =2HE ， 又∵PFFB =PHHE =2，∴λ=2． 故选：C ．通过证明面面平行，及面面平行的性质能求出λ的值．本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意面面平行的性质的灵活运用．7.答案：A解析： 【试题解析】考查函数奇偶性，利用特殊点即可选出答案． 本题考查了函数图象变换，是基础题． 解：函数y =cos3x+13x −3−x，由y =cos3x +1是偶函数，y =3x −3−x 是奇函数． 那么原函数就是奇函数，排除B 选项； 当时，y 的函数值是正，且变小，当x =π3时，函数值为0． 故选：A ．8.答案：B解析：解：(x −2y)5的展开式中第r +1项为T r+1=C 5r⋅(−2)r ⋅x 5−r ⋅y r ，令5−r =1，得r =4；令5−r =2，得r =3．∴在(x+3y)(x−2y)5展开式中x2y4的系数为C54⋅(−2)4+3×C53×(−2)3=−160．故选：B．利用展开式的通项公式求得x2y4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.答案：A解析：本题考查由函数y=Acos(ωx+φ)的图象求解析式，属于基础题．由f(x)的图象得周期，求得ω，代入特殊值求φ．解：由函数f(x)的图象可知：周期为4×(5π12−π6)=π，ω>0,所以，可得ω=2；代入(5π12,0)，可得，则，|φ|<π2，解得，所以，故选A．10.答案：A解析：本题考查三棱锥的体积的求法，线面垂直的判定，是中档题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运用．由题意知OP=OC=OA=OB=4，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=π4，∠PAC=∠PBC=π2，由此求出棱锥A−PBC的体积．解：如图，因PC为直径，则∠PAC=∠PBC=π2，则∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=π4，又O为PC中点，则AO⊥PC，BO⊥PC，又AO∩BO=O，AO⊂平面AOB，BO⊂平面AOB，∴PC⊥平面AOB，因球O的表面积为64π，则，可得球的半径为R=4，知OP=OC=OA=OB=4，AB=6，BP=BC=4√2，∴S△OAB=12×AB×ℎ=12×6×√42−32=3√7，∴棱锥A−PBC的体积V=13×PC×S△OAB=13×3√7×8=8√7．故选：A．11.答案：C解析：本题考查双曲线的性质及几何意义，求双曲线的离心率，考查运算化简的能力，属于中档题．由题意，不妨设F1A的方程为y=ab(x+c)，与双曲线的渐近线方程联立求得点A，B的坐标，再由AB的中点为M(1,8)可解得离心率．解：由题意，不妨设A在渐近线y=−bax上，则F1A的方程为y=ab(x+c)，与y=−ba x联立解得A(−a2c,abc)，与y=ba x联立解得B(−a2ca2−b2,−abca2−b2)，∵AB的中点为M(1,8)，∴{−a2c−a2ca2−b2=2①abc−abca2−b2=16②,结合a2+b2=c2，由①×8=②化简得b=2a，∴b2=4a2，则c2−a2=4a2，解得e=ca=√5．故选C．12.答案：D解析：本题考查了分段函数的应用及方程与函数的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用．由题意作函数f(x)的图象，由f2(x)−af(x)=0得f(x)=0或f(x)=a；从而解得．解：由题意作函数f(x)的图象如下，，∵f2(x)−af(x)=0，∴f(x)=0或f(x)=a；∵f(x)=0有且只有一个解，∴f(x)=a有且只有两个解，故a∈[1,+∞)；故选：D．13.答案：√26解析：解：∵p⃗⊥q⃗，∴p⃗⋅q⃗=0，即2x−3×2=0，解得x=3，∴q ⃗ =(3,2)，∴p ⃗ +q ⃗ =(5,−1)，∴|p ⃗ +q ⃗ |=√52+(−1)2=√26．由p⃗ ⊥q ⃗ ，得出p ⃗ ⋅q ⃗ =0，求出q ⃗ ，再求出p ⃗ +q ⃗ 和|p ⃗ +q ⃗ |即可． 本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用两向量垂直，它们的数量积为0，利用坐标求向量的模长，是基础题．14.答案：23解析：本题考查函数性质的应用，根据已知条件得到周期性，结合奇函数的性质即可求解，属于基础题.由题意可得函数f(x)的周期是4，结合f (x )为定义在R 上的奇函数，即可求得f(9).解：由f(x −2)=f(x +2)可得f[(x −2)+2]=f(x −2−2)，即f(x)=f(x −4)，所以函数f(x)的周期是4，因为函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ∈[−2,0]时，f(x)=3x −1，所以f(9)=f(1)=−f(−1)=−(3−1−1)=23．故答案为23． 15.答案：7049解析：解：在数列{a n }中，∵a 1=3，(a n+1−2)(a n −2)=2(n ∈N ∗)，∴(a n −2)(a n−1−2)=2，n ∈N ∗，n ≥2，以上两式相除，得a n+1−2a n−1−2=1，∴a n+1−2=a n−1−2，n ∈N ∗，n ≥2，∴数列{a n }是一个周期为2的周期数列，∵a 2−2=2a 1−2，a 1=3，∴a 2=4，∴S 2014=1007×(a 1+a 2)=1007×(3+4)=7049．故答案为：7049．由已知条件推导出a n+1−2a n−1−2=1，从而得到数列{a n }是一个周期为2的周期数列，由此能求出S 2014．本题考查数列的前2014项的和的求法，是中档题，解题时要关键是判断出数列{a n}是一个周期为2的周期数列．16.答案：323解析：解：如图，由抛物线C：y2=8x，得p=4，∵F为AM的中点，∴AE=2FG=2p=8，则x A=8−p2=6．由x A x B=p24=4，得x B=46=23，∴BF=x B+p2=23+2=83．∴|AB|=|AF|+|BF|=8+83=323．故答案为：323．由题意画出图形，结合已知求得AF，得到A的横坐标，进一步得到B的横坐标，得到BF，则答案可求．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．17.答案：解：(I)由已知以及正弦定理可得2sinBcosC=2sinA−sinC=2sin(B+C)−sinC=2sinBcosC+2cosBsinC−sinC，所以：2cosBsinC−sinC=0，由于：0<C<π，cosB=12，解得：B=π3．(II)∵b =√3，B =π3，A +C =π−B =2π3，则0<C <2π3， ∴由正弦定理可得：a =2sinA ，c =2sinC =2sin(2π3−A)，∴2a +c =4sinA +2sin(2π3−A)=5sinA +√3cosA =2√7sin(A +φ)≤2√7，其中tanφ=√35， 则2a +c 的最大值为2√7．解析：(Ⅰ)直接由已知条件和正弦定理求出B 的值；(Ⅱ)由已知可得2a +c =2√7sin(A +φ)，其中tanφ=√35，由正弦函数的性质即可求得2a +c 的最大值．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．18.答案：证明：(1)在图(1)中，∵AD//BC ，AB =BC =1，AD =2，E 是AD 的中点，∠BAD =π2，∴四边形ABCE 为正方形，∴BE ⊥AC ，AO =OC ，即在图2中，A 1O ⊥BE ，BE ⊥OC ，A 1O =OC =√22， ∵A 1C =1，∴在△A 1OC 中，A 1O 2+OC 2=A 1C 2，∴A 1O ⊥OC ，OC ∩BE =O,OC,BE ⊂平面BCDE ，∴A 1O ⊥平面BCDE ，∵A 1O ⊂平面A 1BE ，∴平面A 1BE ⊥平面BCDE ．解：(2)由(1)知OA 1，OB ，OC 互相垂直，分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵A 1B =A 1E =BC =ED =1，∴O(0,0，0)，B(√22,0，0)，A 1(0,0，√22)，C(0,√22,0)， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,−√22)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,0)， 设平面A 1BC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +√22y =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√22y −√22z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,1，1)， 易知OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,0)是平面A 1BE 的法向量， 设二面角C −A 1B −E 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√223⋅√22=√33． ∴二面角C −A 1B −E 的余弦值为√33．解析：(1)推导出BE ⊥AC ，AO =OC ，A 1O ⊥BE ，A 1O ⊥OC ，从而A 1O ⊥平面BCDE ，由此能证明平面A 1BE ⊥平面BCDE ．(2)分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −A 1B −E 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)x −=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9，s 2=(6−9)2×0.03+(7−9)2×0.1+(8−9)2×0.2+(9−9)2×0.35+(10−9)2×0.19+(11−9)2×0.09+(12−9)2×0.04=1.78；(2)(i)由题知μ=9，σ2=1.78，∴X ～N(9,1.78)，σ=√1.78=√17810≈43． ∴P(X ≤10)=P(Y ≤10−943)=P(Y ≤0.75)=0.7734；(ⅱ)由(i)知P(X >10)=1−P(X ≤10)=0.2266，可得Z ～B(20,0.2266)，P(Z ≥2)=1−P(Z =0)−P(Z =1)=1−0.773420−C 201×0.2266×0.773419=1−(0.7734+20×0.2266)×0.0076≈0.9597．∴Z 的数学期望E(Z)=20×0.2266=4.532．解析：(1)直接由平均数公式及方差公式求解；(2)(i)由题知μ=9，σ2=1.78，则X ～N(9,1.78)，求出σ，结合已知公式求解P(X ≤10)．(ⅱ)由(i)知P(X>10)=1−P(X≤10)=0.2266，可得Z～B(20,0.2266)，由P(Z≥2)=1−P(Z= 0)−P(Z=1)求解P(Z≥2)，再由正态分布的期望公式求Z的数学期望E(Z)．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．20.答案：解：(1)由题设知c=1，因为△B1F1F2为等边三角形，则a=2c=2，又a2=b2+c2，所以b=√3，则E的方程为x24+y23=1．(2)由(1)知B1(0,√3)，B2(0,−√3)，又M(4,0)，所以直线B1M：x4+√3=1，B1M与椭圆E的另一个交点A(85,3√35)，直线B2F2：x3=1，因为853√353=1，故点A在直线B2F2上．所以A，F2，B2三点共线．解析：本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用题设条件得a=2c，再结合a2=b2+c2，求得a，b即可；(2)由(1)得直线B1M的方程及直线B2F2的方程，即可得证．21.答案：解：由f(x)=e x−1−x，可得f′(x)=e x−1，当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0．故f(x)的单调减区间是(−∞,0)，单调增区间是(0,+∞)．解析：求出函数的导数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．本题考查函数的导数的应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数)， 转化为直角坐标方程为x 2−4y 2=1，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54， 转化为直角坐标方程为：12x −√32y =√54． (2)由于直线与x 轴的交点坐标为(√52,0)， 所以直线的参数方程为{x =√52+√32t y =12t (t 为参数)，代入x 2−4y 2=1得到：t 2−2√15t −1=0，所以t 1+t 2=2√15，t 1⋅t 2=−1，则1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2| =√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=8．解析：【试题解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换;(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)不等式f(x)≥6，即为|x +2|+|x −1|≥6，当x ≥1时，x +2+x −1≥6，可得x ≥52，即x ≥52；当x ≤−2时，−2−x −x +1≥6，解得x ≤−72，即x ≤−72；当−2<x <1时，2+x −x +1≥6，解得x ∈⌀．综上可得原不等式的解集为{x|x ≥52或x ≤−72}；(2)∀x ∈R ，使得f(x)>3a 恒成立，即有f (x )min >3a ，由|x−a2|+|x+2|≥|x−a2−x−2|=a2+2，当且仅当−2≤x≤a2时，等号成立，可得a2+2>3a，解得a>2或a<1．即实数a的取值范围是(−∞,1)∪(2,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(1)讨论当x≥1时，当x≤−2时，当−2<x<1时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min>3a，运用绝对值不等式的性质可得最小值，由二次不等式的解法可得a的范围．。
2020届浙江省高三新高考名校联考信息卷(三)数学试题(解析版)
由题意，作出不等式组 所以表示的平面区域如图中阴影部分，如图所示，
由图可知目标函数 在点 处取得最小值 ，
所以 ，解得 ，
作出直线 ，并平移该直线，当直线经过点 时， 取得最小值1，
当直线经过点 时， 取得最大值4，
因为方程 无解，即直线 与不等式组表示的平面区域没有交点，所以 或 ，
即实数 的取值范围是 ．
【详解】
设 的中点为 ，则 为该圆的圆心，
因为点 ，点 ，所以 的中点 ，即圆心为 ，
又该圆的直径 ，所以该圆的半径为 ，
所以该圆的标准方程为 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程是解答的关键，着重考查分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想．
5．浙江新高考的要求是“七选三”，即考生从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理和技术这七个科目中选三个．已知某大学某专业对选考科目的要求是物理和化学这两个科目至少选一个，若考生甲想就读该专业，则他的选考方法的种数为（ ）
2．已知 在 上单调递增， ，那么 是 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】先求得命题 为真命题时，求得实数 的范围，再结合充分、必要条件的判定，即可求解．
【详解】
由命题 在 上单调递增，可得 ，
对于命题 ：由 ，解得 或 ，
因此 是 的充分不必要条件．
14．若实数 满足 ，目标函数 的最小值为 ，则实数 的值为_________，若方程 无解，则实数 的取值范围为_________．
【答案】1
【解析】作出不等式组 所以表示的平面区域如图中阴影部分，由目标函数 在点 处取得最小值得到k，方程 无解，即直线 与不等式组表示的平面区域没有交点，结合图象即可.
浙江省名校协作体高三下学期3月联考数学(理)答案.docx
2015学年第二学期浙江省名校协作体参考答案高三年级数学学科（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．A 3．D 4．B5．D 6．B 7．C 8．C二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分, 共36分．9．13，1 10．6π，1211．403，28+ 12．23，4513．15 14．8-或28- 15．2019三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，已知tan cos cos a A c B b C -=．（I ）求角A 的大小；（II ）设AD 是BC 边上的高，若12AD a =，求b c的值． （I ）由正弦定理知：sin tan sin cos sin cos sin A A C B B C A =+=……3分又sin 0A ≠，故tan 1,4A A π==…………………………………………7分（II ）ABC ∆的面积111sin 222S a a bc A =⋅=，故2a =，…………………………………………………………10分又2222cos a b c bc A =+-故220b c +-=，……………………………………………12分求得1b c=…………………………………………………………14分 17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，090ADC BCD ∠=∠=，2BC =，CD =4PD =，60PDA ∠=o ，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（I ）求证：AD PB ⊥；（II ）在线段PA 上是否存在一点M ，使二面角M BC D --的大小为300，若存在，求PM PA的值；若不存在，请说明理由．【解析】（I ）过B 作BO//CD ，交AD 于O ，连PO ，则AD ⊥BO ，-----------------2分在△PDO 中，PD ＝4，DO ＝2，∠PDA ＝600，则PO ⊥AD ，-----------------4分则AD ⊥面POB ，所以AD ⊥PB-----------------6分（II ）由（1）可建立如图坐标系，若存在满足条件的点(,0,)M m n -------------------7分(),(2,0,0)0,1---------100,0,1--------12cos(,1----------------------141-------15MB m n BC MBC n ABCD n PM PO PA PO μνμν=--=-====∴=-∴===u u u r u u u r u u u r r u r r 平面的一个法向量（，分又平面的一个法向量（）分）分分法二：假设存在点M ，过M 作AD 平行线交PO 于N ，连BN ，则∠NBO 就为二面角M －BC －D 的平面角，------------------9分133tan 23cos =⇒==∠⇒=∠ON OBNO NBO NBO ------------------12分 PN ＝PO －NO ＝132－，所以63132132-=-＝＝PO PN PA PM ------------------15分 18.（本小题满分15分）已知R a ∈，函数2()||2f x x x a x a =--+．（I ）若2a >，解关于x 的方程2()2f x a a =-；（II ）若]4,2[-∈a ，求函数()f x 在闭区间[]3,3-上的最小值． 【解析】（I ）由题得：22||22x x a x a a a --+=-， 即||2()x x a x a -=-，显然x a =是方程的解。
【数学原稿】2020年3月浙江高三名校协作体数学试题卷(含答案)
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
1．若全集U = 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7 ，集合 A = 3, 4,5, 6 ，集合 B = 1,3, 4 ，则集合 ( U A) ( U B) =
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
11．若复数 z = 2 + i ( i 为虚数单位)，则 z = ▲ ． 1−i
12．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难； 次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为“某人行路，
= π ，则 6
BG
=
3
3 , PG = 3 ,所以 PO =
21 ,
…………12 分
c= os ∠BPO
3= 6 + 21− 3 2× 6× 21
2
9 21
, sin ∠BPO
= 7 ， 14
B1H
=
37 14
，
…………14 分
故 sin ∠B1A1H
=B1H B1 A1
=3 7 14
．
法二：延长 AA1, BB1, CC1, DD1 交于点 P ，
19．（Ｉ）连接 AC, BD 交于 O ，
因为 BC = BA , ∠B1BA = ∠B1BC ， B1B = BB1 ,
所以 ∆B1BC ≅ ∆B1BA ,故 B1A = B1C …………………2 分
第 19 题图
又因为 O 为菱形对角线交点，即是线段 AC 的中点，所以 B1O ⊥ AC ……4 分 又四边形 ABCD 为菱形，故 AC ⊥ BD 而 B1O I BD = O ,所以 AC ⊥ 平面 BDB1 …………………………………………6 分
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三第三次联考试题 数学 答案
0，
0
3k 2k +1 −
2
1 ，则不可能为整数.
……（13 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 3 页 共 5 页
②
S2k −1 a2k −1
=
Ak + Bk −1 a2k −1
=
2k+2 − 3k − 4 2k −1
=
4−
3k ，则 k 2k −1
32
2
2
则最小正周期 T = ，
……（4 分） ……（6 分）
f () = − 3 .（直接带入也可） 34
……（8 分）
（Ⅱ） | f (x + ) + 3 |= a sin(2x + ) = −2a或2a .
12 2
6
……（10 分）
x
[0,
3 ] 4
2x
+
6
[
6
,
5 ] 3
，考虑要有
②当 t ( 4 , 3] ， a t + 5 − 1 或 a t − 5 − 1 .
5e
4t
4t
对于 m(t) = t + 5 − 1 ，易得 m(t) 在 ( 4 , 3] 单调递增，故 a [ 5 − e + 3 , +) .
4t
5e
43 e
……（12 分）
对 于 n(t) = t − 5 − 1 ， 求 导 n(t) = 1 − 1
5
5
……（11 分）
由（Ⅰ）得 AP 为角平分线.由余弦定理得 AP = 6 15 , PH == 2 15 .
7
2021年3月浙江省名校协作体(G12)高三下学期联考数学试及答案题
题目要求的
1．设全集U = {1, 2,3, 4,5, 6} ，集合 A = {2,3,5} ， B = {1,3, 4, 6} ，则集合 A U B = （ ▲ ）
A． {3}
B． {2, 5}
4
2020 学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案
命题：学军中学
高三年级数学学科
嘉兴一中（审校） 审核：衢州二中
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
答案 B C D D B A A C D D
【解析】由点 P 的唯一性知 OP OA ，所以 OP OA OA OB OA OA OB 0 ，
2
又 OP
OA OB
2
得2
2 OA OB
2
4
.两式联合得 2
4
2
，所以
2
2 4
4 ，等号当且仅当
2 时等号成立.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(a2015 −1)3 + 2019 (a2015 −1) =−1，则下列结论正确的是
（▲）
A． S2020 = 2020 ， a2015 < a6
B． S2020 = 2020 ， a2015 > a6
C． S2020 = −2020 ， a2015 ≤ a6
D． S2020 = −2020 ， a2015 ≥ a6
精品解析：浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三下学期第三次联考数学试题
__________ 姓名：__________ 班级：__________评卷人 得分一、选择题1．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R|1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{－1,2,3} D ．{1,2,3,4}2．如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是（ ）A.l ⊂αB.l ⊥αC.l ∥αD.l ⊂α或l ∥α3．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a 、b 、i 的值分别为6、8、0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A. 0，3B. 0，4C. 2，3D. 2，44．等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，公差0d >，6a 和8a 是函数()2151ln 842f x x x x =+-的极值点，则8S =（ ） A. 38-B. 38C. 17-D. 17 5．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为 A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆6．设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与圆C'：x 2＋(y 32＝3交于M ，N 两点.若MN =MNF 的面积为A.8B.38C.8D.4二、填空题7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =________.三、解答题8．已知函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图像相邻两个对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像与x y sin =的图像有一个横坐标为4π的交点. （1）求()f x 的解析式； （2）当7[0,]8x π∈时，求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的值. 9．已知函数ln ()xf x x a=+（a R ∈），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=垂直.（1）试比较20172016与20162017的大小，并说明理由；（2）若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，证明：212•x x e >.10．已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+满足()()24f f <．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若函数()()()[]2,1,9g x fx mf x x =+∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由．11．(本小题满分12分)第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三年级第三次联考数学试题卷
__________ 姓名：__________ 班级：__________一、选择题1．已知复数34z i=-，则zz= ( )A.3455i+ B.3455i-C. 1i+D. 1i-2．若对于函数()()2ln1f x x x=++图象上任意一点处的切线1l，在函数()sincos22x xg x x=-的图象上总存在一条切线2l，使得12l l⊥，则实数a的取值范围为( )A. (),-∞⋃+∞ B. 11,2⎡--⎢⎣⎦C.21,⎛⎡⎤--∞+∞⎢⎥⎝⎦⎣⎦D.⎤⎥⎣⎦3．若函数()9cos20,48f x x a xππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭恰有三个不同的零点321,,xxx，则123x x x++的取值范围是（）A.511[,)48ππB.97[,)42ππC.511(,]48ππD.97(,]42ππ4．数列121231231,,,,,,...,,,,...,,...22333nn n n n的前25项和为（）A.20714B.20914C.21114D.10675．在等比数列{}n a中，若()57134a a a a+=+，则62aa=( )A.14B.12C. 2D. 4 6．若ln2ln3ln5,,235a b c===,则( )A．a b c<< B．c b a<< C．c a b<< D．b a c<<7．三角形ABC 中，2,22AB AC ==,45BAC ︒∠=，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC 的取值范围是（ ）A. 1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦评卷人 得分二、填空题8．从11,14(12),149123,14916(1234),=-=-+-+=++-+-=-+++，概括出第n 个式子为_______。
9．某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图为正方形，则该三棱锥的体积为______.评卷人 得分三、解答题10．已知函数2()ln 2()f x x x mx m R =+-∈．（1）若函数()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的最大值；（2）若存在正实数对(,)a b ，使得当()()1f a f b -=时，1a b -=能成立，求实数m 的取值范围．11．已知正项数列{a n }首项为2，其前n 项和为S n ，满足2S n －S n-1＝4 (n ∈N *，n ≥2)． （1）求2a ,3a 的值； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）设212log n n b a =- (n ∈N *)，数列{b n ·b n ＋2}的前n 项和为T n ，求证：T n <34.12．在△ABC 中，a b c 、、分别为三个内角A 、B 、C的对边，且222sin .b A c a -+= (1)求角A ；(2)若4sin sin 3B C ，=且2a ，=求△ABC 的面积。
浙江省五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考试题 数学含答案
浙江省五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考数学试卷（答案在最后）命题:一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.若全集U ,集合A,B 及其关系如图所示,则图中阴影部分表示的集合是()A.()U A B ⋂ðB.()U A B ⋃ðC.()U A B⋂ð D.()U A B⋂ð2.已知(1,2),||2a b == ,且a b ⊥ ,则a b - 与a的夹角的余弦值为()A.5B.3C.4D.63.设b ,c 表示两条直线,,αβ表示两个平面,则下列说法中正确的是()A.若//,b c αα⊂,则//b cB.若//,b c b α⊂,则//c αC.若,//c αβα⊥,则c β⊥ D.若//,c c αβ⊥,则αβ⊥4.已知角α的终边过点(3,2cos )P α-,则cos α=()A.2B.2-C.2±D.12-5.设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,则“2q =”是“{}1n S a +为等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知实数x ,y 满足3x >,且2312xy x y +-=,则x y +的最小值为()A.1+B.8C. D.1+7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点A 为双曲线的左顶点,以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ,Q 两点,且23PAQ π∠=,则该双曲线的离心率为()C.2138.在等边三角形ABC 的三边上各取一点D ,E ,F ,满足3,90DE DF DEF ︒==∠=,则三角形ABC 的面积的最大值是()A. B.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在学校组织的《青春如火,初心如炬》主题演讲比赛中,有8位评委对每位选手进行评分(评分互不相同),将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分,则下列说法中正确的是()A.剩下评分的平均值变大B.剩下评分的极差变小C.剩下评分的方差变小D.剩下评分的中位数变大10.在三棱锥A BCD -中,已知3,2AB AC BD CD AD BC ======,点M ,N 分别是AD ,BC 的中点，则()A.MN ⊥ADB.异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是78C.三棱锥A BCD -的体积为3D.三棱锥A BCD -的外接球的表面积为11π11.已知函数()(sin cos )xf x e x x =⋅+,则()A.()f x 的零点为,4x k k Z ππ=-∈B.()f x 的单调递增区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时,若()f x kx ≥恒成立,则22k e ππ≤⋅D.当10031005,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,过点1,02π-⎛⎫⎪⎝⎭作()f x 的图象的所有切线,则所有切点的横坐标之和为502π三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.直线3430x y -+=的一个方向向量是.13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军,比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为.14.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,记()()g x f x '=,若(21),(2)f x g x --均为偶函数,且当[1,2]x ∈时,3()2f x mx x =-,则(2024)g =.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)如图,斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形,90ACB ︒∠=,点1B 在底面ABC 内的射影恰好是BC 的中点,且2BC CA ==.(I)求证:平面11ACC A ⊥平面11B C CB ;(II),求平面1ABB 与平面11AB C 夹角的余弦值.16.(本小题满分15分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.17.(本小题满分15分)记复数的一个构造:从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复n 次这样的构造,可得到n 个复数,将它们的乘积记为n z .已知复数具有运算性质:|()()||()||()|a bi c di a bi c di +⋅+=+⋅+,其中,,,a b c d R ∈.(I)当2n =时,记2z 的取值为X ,求X 的分布列;(II)当3n =时,求满足32z ≤的概率;(III)求5n z <的概率n P .18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy 中,我们把点*(,),,x y x y N ∈称为自然点.按如图所示的规则,将每个自然点(,)x y 进行赋值记为(,)P x y ,例如(2,3)8P =,(4,2)14,(2,5)17P P ==.(I)求(,1)P x ;(II)求证:2(,)(1,)(,1)P x y P x y P x y =-++;(III)如果(,)P x y 满足方程(1,1)(,1)(1,)(1,1)2024P x y P x y P x y P x y +-+++++++=,求(,)P x y 的值.19.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy 中,过点(1,0)F 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于M ,N 两点(M在第一象限).(I)当||3||MF NF =时,求直线l 的方程;(II)若三角形OMN 的外接圆与曲线C 交于点D (异于点O ,M ,N ),(i)证明:△MND 的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;(ii)求凸四边形OMDN 的面积的取值范围.参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.题号12345678答案CBDBCACA二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案BCABDACD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.31,4⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一)13.2514.-6四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)(第I 问,6分;第II 问,7分)解:(I)取BC 中点为M ,连接11,B M B 在底面内的射影恰好是BC 中点,1B M ∴⊥平面ABC ,又AC ⊂ 平面1,ABC B M AC ∴⊥,又90,ACB AC BC ︒∠=∴⊥ ,1,B M BC ⊂ 平面111,,B C CB B M BC M AC ⋂=∴⊥平面11B C CB ,又AC ⊂ 平面11,ACC A ∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB .(II)以C 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,2BC CA == ,11(2,0,0),(0,2,0),(0,1,0),(0,A B M B C ∴-,111((2,2,0),(0,2,0)AB AB B C =-=-=-,设平面1BAB 的法向量为(,,)n x y z =,100n AB n AB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩则有20220x y x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩,令z =,则3,x y n ==∴= ,设平面1BAB 的法向量为(,,)m a b c =,11100m AB m B C ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩则有2020a b b ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩,令a =则0,2,b c n ==∴=,||5|cos ,||||7| n m n m n m ⋅∴<〉==,平面1ABB 与平面11AB C 夹角的余弦值为57.16.(本小题满分15分)(第I 问,6分;第II 问,9分)(I)1()f x a x'=-,则(1)1,(1)f a f a '=-=-,故曲线()y f x =在1x =处的切线为(1)(1)y a a x +=--,即(1)1y a x =--,当1a =时,此时切线为1y =-,不符合要求当1a ≠时,令0x =,有1y =-,令0y =,有11x a =-,故111a=--,即2a =,故2a =(II)11()ln ,()axf x x ax f x a x x-=-∴=-= ,①当0a ≤时,()f x 在(0,e]上单调递增,()f x ∴的最大值是(e)1e 3f a =-=-,解得40ea =>,舍去;②当0a >时,由11()0ax f x a x x -=-==,得1x a=,当10e a <<,即1a e >时,10,a x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时,1()0;,e f x x a ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭时,()0f x <,()f x ∴的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间是1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,又()f x 在(0,e]上的最大值为2max 13,()1ln 3,e f x f a a a ⎛⎫-∴==--=-∴= ⎪⎝⎭;当1e a ≤,即10ea <≤时,()f x 在(0,e]上单调递增,max ()(e)1e 3f x f a ∴==-=-,解得41e ea =,舍去.综上,存在a 符合题意,此时2e a =17.(本小题满分15分)(第I 问,6分;第II 问,4分;第III 问,5分)(I)由题意可知,可构成的复数为{1,,1}i i +,|1|||1,||||||| 2.i i =====+=且X的可能取值为,111111224242111111666666122(1),(,(2)999C C C C C C P X P X P X C C C C C C ⋅⋅⋅=========⋅⋅⋅，112211661(3)9C C P X C C ⋅===⋅111142221111666621(,(4)99C C C C P X P X C C C C ⋅⋅======⋅⋅，所以分布列为:(II)共有111666216CC C ⋅⋅=种,满足32z ≤的情况有:①3个复数的模长均为1,共有1112228C C C ⋅⋅=种;②3个复数中,2个模长均为1,1或者2,共有2111322448C C C C ⋅⋅⋅=种;所以()38487221627P z +≤==.(III)当1n =或2时,显然都满足,此时1n P =;当3n ≥时,满足5n z <共有三种情况:①n 个复数的模长均为1,则共有()122nn C =;②1n -个复数的模长为1,剩余1或者2,则共有()11111242n n n n C C C n --+⋅⋅=⋅;③2n -个复数的模长为1,剩余2个模长为2,则共有()221111244(1)2n n n nCCC C n n --+⋅⋅⋅=-⋅.故()()()2112621222(1)212563n n n n n nn nn n n n n P z C ++++⋅+-⋅+<===,此时当1,2n =均成立.所以()21253n nn P z +<=.18.(本小题满分17分)(第I 问,4分;第II 问,7分;第III 问,6分)解:(I)根据图形可知(1)(,1)1232x x P x x +=++++=,(II)固定x ,则(,)P x y 为一个高阶等差数列,且满足(,1)(,)1,(1,)(,),P x y P x y x y P x y P x y x y +-=+-+-=+所以(1)(,1)(,1)12(1)(1)2y y P x y P x y y x y x ++-=++++-=+- (1)(1)(,1)(1)22y y x x P x y y x +++=+-+所以(1)(1)(,)(1)(1)22x x y y P x y x y +-=++--,(1)(1)(1,)(2)(1)22x x y y P x y x y ---=++--,所以(1)(1)(1)(1)(,1)(1,)(2)(1)(1)2222x x y y y y x x P x y P x y x y y x --++++-=++--++-+222322(,)x y xy y x P x y =++--+=(III)P(x +1,y -1)+P(x ,y +1)+P(x +1,y )+P(x +1,y +1)=2024等价于(,)(,1)(1,)(1,1)2023P x y P x y P x y P x y +++++++=,等价于(,1)3(1,)2023P x y P x y +++=即13[(1)(21)][(1)(2)(1)(2)]202322x x y y x x x y y x +++-++++-+=,化简得2221010(1)()21010y xy x y x x y x y x ++-+=⇔+-++=,由于x y +增大,(1)()x y x y +-+也增大,当31x y +=时,(1)()29921010x y x y x +-++<<,当33x y +=时,(1)()210561010x y x y x +-++>>,故当32x y +=时,(1)()210109,23x y x y x x y +-++=⇒==,即9102322(9,23)82247422P ⨯⨯=++⨯=19.(本小题满分17分)(第I 问,4分;第II 问,5分;第III 问,8分)解:(I)设直线()()1122:1,,,,MN X my M x y N x y =+联立214x my y x=+⎧⎨=⎩,消去x ,得2440y my --=,所以12124,4y y m y y +=⋅=-,||3||MF NF =,则123y y =-122212224,34y y y m y y y +=-=∴⋅=-=-,则213m =,又由题意0,3m m >∴=,直线的方程是y =;(II)(i)方法1:设()()()112233,,,,,M x y N x y D x y 因为O ,M ,D ,N 四点共圆,设该圆的方程为220x y dx ey +++=,联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩,消去x ,得42(416)160y d y ey +++=,即()3(416)160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程3(416)160y d y e +++=的3个根,则()()()3123(416)16y d y e y y y y y y +++=---,因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-,由2y 的系数对应相等得,1230y y y ++=,所以MND 的重心的纵坐标为0.方法2:设()()()112233,,,,,M x y N x y D x y ,则1213234444,,,OM ON MD ND k k k k y y y y y y ====++,因为O,M,C,N 四点共圆,所以MON MDN π∠+∠=,即tan tan 0MON MDN ∠+∠=,()21124tan 116OM ONOM ON y y k k MON k k y y --∠==+⋅+()()()1213234tan ,116ND MDND MD y y k k MDN k k y y y y --∠==+⋅+++化简可得:312y y y =--,所以MND 的重心的纵坐标为0.(ii)记,OMN MND 的面积分别为12,S S ,由已知得直线MN 的斜率不为0设直线:1MN x my =+,联立214x my y x=+⎧⎨=⎩,消去x ,得2440y my --=,所以12124,4y y m y y +=⋅=-,所以11211||22S OF y y =⋅⋅-==由(i)得,()3124y y y m =-+=-,所以2223311(4)444x y m m ==⨯-=,即()24,4D m m -,因为()21212||2444MN x x m y y m =++=++=+,点D 到直线MN的距离d =所以()22211||448122S MN d m m =⋅⋅=⋅+⋅-,所以)221281181S S S m m =+=+-=+-M 在第一象限,即1230,0,40y y y m ><=-<,依次连接O,M,D,N 构成凸四边形OMDN ,所以()3122y y y y =-+<,即122y y -<,又因为122244,2y y y y ⋅=-<,即222y <,即20y <<,所以122244m y y y y =+=->+=,即24m >,即218m >,所以)218116S m m =+-=,设t =,则4t >,令()2()161f t t t =-,则()()222()1611614816f t t t t t ''=-+-=-,因为4t >,所以2()48160f t t '=->,所以()f t在区间4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增,所以()42f t f ⎛⎫>=⎪⎝⎭,所以S的取值范围为,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
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2017学年第二学期浙江省名校协作体试题
高三年级数学学科
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D. .
2．在复平面内，复数和表示的点关于虚轴对称，则复数=( )
A. B. C. D.
3．已知，，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.若不等式组表示的平面区域经过四个象限，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
5.已知函数，下列图像一定不能表示的图像的是( )
A. B. C. D.
6.已知袋子中装有若干个标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，若随机抽取一个小球，取到标有数字2的小球的概率为，若取出小球上的数字的数学期望是2，则的方差为( )
A. B. C. D.
7.设函数，则“”是“为偶函
数”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 设为两个非零向量的夹角且，已知对任意实数，无最小值，则以下说法正确的是( )
A. 若和确定，则唯一确定
B. 若和确定，则有最大值
C. 若确定，则
D. 若不确定，则的大小关系不确定
9.如图所示，在棱长为1的正方体中，分别为上的动
点，则周长的最小值为（）
A. B. C. D.
10.已知偶函数满足，当时，，若函数在上有400个零点，求的最小值（）
A. 5
B.8
C.11
D.12
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________，体积
为_________．
12. 已知是公差为的等差数列，为其前项和，则,,成
等比数列，则，当时，有最大值.
13.在二项式的展开式中，所有有理项系数之和为，把所有项进行重新排列，则有理项互不相邻的排法有种.
14．在中，角所对的边分别为．若，，则
，若，则面积的最大值是______.
15. 设集合，
，若，则实数的取值范围是 . 16．已知双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线的渐近线交于
两点，且与期中一条渐近线垂直，若，则此双曲线的离心率为.
17．空间单位向量向量满足.空间区域是由所有满
足的点构成，且区域的体积为，则
的最小值为_________.
三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.（14分）函数的图像过点，且相邻个最高点与最低点的距离为.
(1)求函数的解析式和单调增区间；
(2)若将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图像，求在上的值域.
19.（15分）在如图所示几何体中，平面平面，四边形为等腰梯形，四边形
为菱形.已知，∠，.
（1）线段上是否存在一点,使得平行于平面？证明你的结论；
（2）若线段在平面上的投影长度为，求直线与平面所成角的正弦值.
20.（15分）已知实数满足，设函数.
(1)当时，求在上的最小值；
(2)已知函数的极小值点与的极小值点相同，求极大值的取值范围.
21.（15分）已知抛物线:,且抛物线在点处的切线斜率为. 直线与抛物线交于不同的两点，且直线垂直与直线.
(1)求证：直线过定点，并求出定点坐标；
(2)直线交轴于点，直线交轴于点,求的最大值.
22.（15分）已知数列中，，.
（1）证明：是等比数列；
（2）当是奇数时，证明：；
（3）证明：.
首命题：长兴中学次命题兼审校：温岭中学审核：嘉兴市第一中学2017学年第二学期浙江省名校协作体参考答案
高三年级数学学科
首命题：长兴中学次命题兼审校：温岭中学审核：嘉兴市第一中学
二、
11. ，；12. ，10 ；
13. 32 ，144 ；14. ，；
15. ；16. ；
17. 8
三、解答题（18题14分，19-22题每题15分，共74分）
18. （14分）（1）由已知相邻的两个最高点和最低点的距离为，
可得，解得 2 ……（2分）
∵∴。