2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷 文科数学含精品解析

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷文 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ∈R ，ia 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】则10a -=，即1a =，故选C ． 2，则sin 2a 的值为（）ABC．9D．9【答案】A【解析】 又因为sin 0α<，所以A ． 3．某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17530．，，样本数据分组为[]17520．，，(]20225，．，(]22525．，，(]25275，．，(]27530．，．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是（ ） A ．68 B ．72C ．76D ．80【答案】B【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是()3200020072572⨯+⨯=．．．人．选B ．4．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF =（ ）A ．11+22AB ADB ．1122AB AD --C ．1122AB AD -+D ．1122AB AD - 【答案】 D【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-， 所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选D ． 5．已知双曲线()222210,0x ya b a b-=>>F ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，若O M N △的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．22128x y -=B ．22148x y -=C ．22182x y -=D ．22184x y -=此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】A 【解析】由c a=225c a =，∴2225a b a +=，故224ba =．∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，由题意得(),2M c c -，(),2N c c --， ∴14202OMN S c c =⋅⋅=△，解得210c =，∴22a =，28b =， ∴双曲线的方程为22128x y -=．选A ． 6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．42π+B ．26π+C ．4π+D ．24π+【答案】D【解析】由三视图可得，该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体(如图所示）， 其体积2π21224πV =⨯+⨯=+．7．执行如下图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.9D ．4.9【答案】C【解析】运行框图中的程序可得 ①1k =，2122S =+=，不满足条件，继续运行； ②2k =，282=33S =+，不满足条件，继续运行； ③3k =，8219+=346S =，不满足条件，继续运行； ④4k =，1921076530S =+=，不满足条件，继续运行； ⑤=5k ，1072117=+==3930630S ．，满足条件，停止运行，输出=39S ．．选C ． 8．函数3y =）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数满足()()33x f x f x --===-，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ，又由102f ⎛⎫<⎪⎝⎭且()20f >，排除B 、D ，故选A ． 9．已知函数()()πcos 20,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移π6个单位后得函数()cos2g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于直线2π3x =对称 B ．关于直线π6x =对称 C ．关于点2π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．关于点5π012⎛⎫-⎪⎝⎭，对称 【答案】D【解析】由题意得2ππ2ω=，故1ω=，∴()()cos 2f x x ϕ=+， ∴()ππcos 2cos 2cos 263g x x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴π3ϕ=，∴()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∵2π2ππ5π1cos 2cos 133332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ2π1cos 2cos 166332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==-≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴选项A ，B 不正确． 又()2π2ππcos 2cos π10333f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=-≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 5π5πππcos 2cos 0121232f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴选项C 不正确，选项D 正确．选D ．10．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，①m n ∥，m α⊥n α⇒⊥；②αβ∥，m α⊂，n β⊂//m n ⇒； ③αβ∥，m n ∥，m α⊥n β⇒⊥；④若m αγ=，n βγ=，m n ∥，则αβ∥；则以上说法中正确的有（ ）个． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：对于①，m n ∥，m α⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故①正确；对于②，αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故②错误；对于③，αβ∥，m n ∥，m α⊥，由线面垂直的判定定理得n β⊥，故③正确；对于④，若m αγ=，n βγ=，m n ∥，则α与β相交或平行，故④错误．故选B ．11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB △的面积为22-，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]12，B．C ．⎤⎦D ．[]14，【答案】D【解析】由已知得22b =，故1b =；∵1F AB △的面积为22-∴()12ac b -=，∴2a c -=-()()2221a c a c a c b -=-+==，∴2a =，c =()12212121111112444PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+，又122PF ≤≤，∴211144PFPF ≤-+≤，∴121114PF PF ≤+≤．即1211PF PF +的取值范围为[]14，．选D ． 12．已知函数()()()211e 2x f x ax x a =--∈R 若对区间[]01，内的任意实数1x、2x 、3x ，都有()()()123f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]e,4C ．[]1,4D ．[)[]1,2e,4【答案】C【解析】由题得()()()e 1e e e x x x xf x ax x ax x x a '⎡⎤=-+-=-=-⎣⎦， 当1a <时，()0f x '<，所以函数()f x 在[]0,1单调递减，因为对区间[]0,1内的任意实数1x 、2x 、3x ，都有()()()123f x f x f x +≥，所以()()()110f f f +≥，所以11122a a +≥，故1a ≥，与1a <矛盾，故1a <不成立． 当1e a ≤<时，函数()f x 在[]0,ln a 单调递增，在(]ln ,1a 单调递减．所以()()2max 1ln ln ln 2f x f a a a a a a ==-+， 因为对区间[]0,1内的任意实数1x 、2x 、3x ，都有()()()123f x f x f x +≥，所以()()()01ln f f f a +≥，所以2111ln ln 22a a a a a a +≥-+，即211ln ln 1022a a a a a -+-≤， 令()211ln ln 122g a a a a a a =-+-，()1e a ≤<，所以()()21ln 102g a a '=-<，所以函数()g a 在()1,e 上单调递减，所以()()max 10ga g ==，所以当1e a ≤<时，满足题意．当e a ≥时，函数()f x 在()0,1单调递增，因为对区间[]0,1内的任意实数1x 、2x 、3x ，都有()()()123f x f x f x +≥，所以()()()001f f f+≥，故1112a +≥，所以4a ≤，故e 4a ≤≤；综上所述，[]1,4a ∈；故选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设变量x ，y 满足约束条件00 34x y x y x y +⎧≥-≥+≤⎪⎨⎪⎩，则32x y +的最大值为__________．【答案】5【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示， 设目标函数32z x y =+，化简得322z y x =-+， 由图象可知，当直线322zy x =-+过点A 点时，直线在纵轴的截距最大， 此时目标函数取得最大值，由034x y x y -=+=⎧⎨⎩，解得11x y ==⎧⎨⎩，即()1,1A ，所以目标函数的最大值为31215⨯+⨯=．14．若函数()f x 是偶函数0x ≥时，()()lg 1f x x =+，则满足()211f x +<的实数x 取值范围是________．【答案】()54-，【解析】∵函数()f x 是偶函数，且0x ≥时，()()lg 1f x x =+， ∴0x ≥时，()f x 单调递增，∴0x <时，()f x 单调递减．又()()9lg 911f =+=，∴不等式()211f x +<可化为()()219f x f +<， ∴219x +<，∴9219x -<+<，解得54x -<<，∴实数x 取值范围是()54-，． 15．在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2C B =，则cb的取值范围是________．【答案】【解析】由正弦定理得sin sin 22cos sin sin c C B B b B B ===，由于三角形为锐角三角形，所以π02C <<，所以π022B <<，π04B <<，而π32B C B +=>，π6B >2cos B < 16．数列{}n a 的前n 项和()212n n n S +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，数列{}nb 满足2n n a b n =，则对于任意的正整数n ，下列结论正确的是__________． ①112231n n n nb b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+=； ②12112n b b bn++⋅⋅⋅+<； ③122225124n b b b n ++⋅⋅⋅+<； ④12111112n n n b b b b b +++⋅⋅⋅+=．【答案】①③④．【解析】由题可知，11b =，()2222121122n n n n b b b +⎡⎤++⋯+=⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，()()22221211112 +2n n n n b b b ---⎡⎤++⋯=⎢⎥⎣⎦，两式相减得1nb n =， 112231 +1n n n nb nb b b b b b n b ++++⋯==+成立，①正确；当1n =时，②不正确； ()()122223333111111+1212112311n b b b n n n n n ++⋯=++⋯<++⋯+⋅⋅-+ ()5154214n n =-<+，③正确； ()12111111+22n n n n n b b b b b ++++⋯==成立，④正确． 就答案为①③④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。