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湛江市2018年普通高考测试题（一）数学2018.3.26一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在下列不等式中,一定成立的是A.54-<-x xB.031>⎪⎭⎫ ⎝⎛xC.a a 212>+ D.1sin 3sin >2.设函数()x x x f 33-=,则()x f 是A.偶函数,且在()()+∞⋃-∞-,11,上是减函数B.奇函数,且在()()+∞⋃-∞-,11,上是增函数C.偶函数,且在()1,-∞-、(),1∞+上是减函数D.奇函数,且在()1,-∞-、(),1∞+上是增函数 3.给出下列结论,其中正确的是A.等轴双曲线的离心率是2B.抛物线221x y -=的准线方程是21=x C.渐近线方程为()0,0>>±=b a x a b y 的双曲线的标准方程一定是12222=-by a xD.椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的焦点坐标是()(),,0,222221n mF n m F ---4.不等式组⎨⎧≤+y x2表示的平面区域是A B C D5.已知()()+∈-=+N n n n f 121,则()()=-∞→n f n f Lim n 31A.2B.23 C.43 D.346 6.已知函数()x f 的图象如图所示,给出下列结论 （1）.()x f 在点1=x 处极限存在. （2）.()x f 在点1-=x 处极限存在. （3）. ()x f 在点1=x 处连续. （4）. ()x f 在点2=x 处连续.其中正确结论有A.1个B.2个C.3个D.4个 7.若()()()()4542332411111x a x a x a x a x a =+-+-+-+-,则=++432a a aA.32B.16C.15D.14 8.在以O 为原点的平面直角坐标系中,(),2,,3,4π>=<-==,则的坐标是A.()8,6--B.()6,8或()6,8--C. ()8,6-- 或()8,6D. ()8,6 或 ()6,8 9.若直线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,3且被圆2522=+y x 截得的弦长为8,则此直线方程是 A.3-=x B. 3-=x 或 23-=y C.01543=++y x D. 3-=x 或01543=++y x10.从5名男生、四名女生中各选3人坐成一排进行电脑培训,要求男女相间,那么不同的坐法有A.5760种B.2880种C.2480种D.1440种 11.如图,1AC 是棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的一条对角线,给出下列命题:A. 1AC 与1BB 所成的角的正切值是22B. 1AC ⊥平面BD A 1.C.点1C 到平面BD A 1的距离为332.BB111D.若1AC 与三条棱AD AB AA ,,1所成角分别为γβα,,,则1sin sin sin 222=++γβα其中正确的命题是 A.（1）（2） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（1）（4）12.如图是半径为3米的水轮,水轮圆心O 距离水面2米.已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上一点P 到水面的距离Y （米）与时间X （秒）满足函数关系式()()R K x K y ∈>>++=φωφω,0,02sin ,则有A.3,152==K πω B.3,215==K πω C.5,152==K πω D.5,215==K πω 二、填空题（本大题共4小题,每小题4分,共16分.）13.数列{}n a 的首项i a 521-=（i 是虚数单位）,且对于任意+∈N n ,满足21=++n n na a a ,则它的通项公式是 .14.一个盒子装有10个红、白两色同一型号的乒乓球,已知红色乒乓球有3个,若从盒子里随机取出3个乒乓球,则其中含有红色乒乓球个数的数学期望是 . 15.如图,在半径为13cm 的球面上有A 、B 、C 三点,已知 AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,O 为球心,则=∠ABC度,BO 与截面ABC 所成角的正弦值是 . 16.现有直径为d 的园木,要把它加工成横断面为矩形的梁（如图）,根据材料力学知道,横断面为矩形的梁的抗拉强度为2Kbh Q =,（b=AB,h=AD,K 为常数）,以⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=∠20πθθBAC 为参数,则抗拉强度Q 关于θ的表达式是 ,Q 的最大值 是 .三、解答题（本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）（以下各题只给出一种解法,其他的解法由读者自已研究）17.（本题满分12分）解不等式组()()⎪⎩⎪⎨⎧-∈><-+ππ,.120lg ,213cos 2x x x x18. （本题满分12分）已知()()sin ,cos ,sin ,cos =+==ββαα求()βα-cos 的值.19. （本题满分12分）在三棱锥A-BCD 中,侧面ABC ⊥底面BCD,AB=BC=BD=1,120=∠=∠CBD CBA .AA（Ⅰ）求二面角A-BD-C 的大小; （Ⅱ）求点B 到平面ADC 的距离. 20. （本题满分12分）据市场分析,粤西某海鲜加工公司,当月产量 在10吨至25吨时,月生产总成本y （万元）可 以看成月产量x （吨）的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元. （Ⅰ）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数关系;（Ⅱ）已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润; （Ⅲ）当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元? 21. （本题满分12分）如图,在Rt △ABC 中，∠CAB=90，AB=2，AC=22。

一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持+PA PB 的值不变，直线m ⊥AB 于O ，AO=BO. （Ⅰ）建立适当的坐标系,求曲线E 的方程; （Ⅱ）设D 为直线m 上一点,AC OD =,过 点D 引直线l 交曲线E 于M 、N 两点,且保持直线l 与AB 成45角,求四边形MANB 的面积. 22. （本题满分14分）给定正整数n,对于满足条件102121≤++n a a 的等差数列 ,,,321n a a a a .记1221++++++=n n n a a a S .求证:（Ⅰ）211nd n S a n -+=+（其中d 为公差）; （Ⅱ）()15+≤n S .AB CD ABCOm参考答案一、选择题1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.D8.C9.D 10.B 11.B 12.A 二、填空题13.1213-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=n n a 14.109 15.90, 1312 16.323932,sin cos Kd Kd Q θθ= 三、解答题17.解:由1,015213<∴>--⇒<-+x x x x x 或5>x 由()⎩⎨⎧<<->.,120lg cos 2ππx x 得⎩⎨⎧<<->ππx x 0cos 得22ππ<<-x∴ 原不等式组的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-12x x π18.解:-=+2-=+即b b a b b a -+=⋅++6322222故225+=⋅又1sin cos ,1sin cos 222222=+==+=ββαα故286=⋅ 823=⋅∴ 而()()()βαβαβαββαα-=+==⋅cos sin sin cos cos sin ,cos sin ,cos ∴()823cos =-βα 19.（Ⅰ）解:过A 在平面ABC 内作AE ⊥CB ，交CB 延长线于E ，连结ED.因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD.作EG ⊥BD 于G ，连AG ，由三垂线定理得AG ⊥BD.∴∠AGE 二面角A-BD-C 的平面角的补角 BE=21AB=21，ED=EA=23AB=23，BD=1. 在Rt △BED 中，∵EG ·BD=EB ·ED,∴EG=43=⨯BD ED EB 在Rt △AEG 中，24323tan ===∠EG AEAGE ∴二面角A-BD-C 的大小为2arctan -π.（Ⅱ）以E 为原点，建立如图所示空间直角坐标系E-xyz ，设AD 中点为F ，连结EF ，CF ，则AD ⊥EF ，AD ⊥CF.∴AD ⊥平面EFC.又∵AD 在平面ADC 上，∴平面ADC ⊥平面EFC ，作BK ⊥CF ，垂足为K ，则BK 为点B 到平面ADC 的距离.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∴43,0,43,0,23,0,0,21,0F C B ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==43,23,43,0,1,0设CF CK λ=，则()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=λλλ43,23,430,1,0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-λλλ43,231,43由,0=⋅CK BK 得043,23,4343,231,43=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλλ 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴=73,71,73,74BK λ77=，即B 到平面ADC 的距离为77. 20．解：（Ⅰ）()5.17152+-=x a y （0,≠∈a R a ） 将x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得101=a ()5.17151012+-=∴x y （ 2510≤≤x ） （Ⅱ）设最大利润为()x Q 则()⎪⎭⎫⎝⎛+--=-=4031016.16.12x x x y x x Q()9.12231012+--=x ()2510≤≤x 因为[]25,1023∈=x ，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.（Ⅲ）13401023401014031012=-⋅≥-+=+-=xx x x x x x x y 当且仅当xx 4010=，即[]25,1020∈=x 时上式“=”成立. 故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元.21．解：（Ⅰ）以AB 、m 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点建立直角坐标系.22223222222222=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=+CB CA PB PA ∴动点的轨迹是椭圆，设其半长轴、半短轴长分别为a 、b ，半焦距为c ，则1,1,222=-===c a b c a∴曲线E 方程为1222=+y x （Ⅱ）由题设知，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0D ， 由直线l 与AB 成45角，可设直线方程为22+=x y ，代入椭圆方程整理得012232=-+x x设()()2211,,,y x N y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+31,3222121x x x x 所以，四边形MANB 的面积2121y y AB S -⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=222222121x x ()21221214x x x x x x -+=-=x=3523143222=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 22．（Ⅰ）证明：()()21,21111ndn S a d n n a n S n n -+=∴+++=++ （Ⅱ）由（Ⅰ）得()11321a a n S n -+=+ 又,102121≤++n a a 设()R r a r a n ∈==+θθθsin ,cos 11，其中10≤r ， 则，()()101010sin 10cos sin 3311=≤-=-=-+φθθθr r a a n . （式中31arctan =φ）， ()()15102132111+=⋅+≤-+=∴+n n a a n S n。