高中理数课件第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；
③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
A．①③
B．②
C．②③ D．①②③
解析：命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论
互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命
题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结
论所得，因此①正确，②错误，③正确，故选A. 答案：A
(2)原命题即“若an＋1<an，n∈N *，则{an}为递减数列” 为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{an}为递 减数列，n∈N *，则an＋1<an”为真命题，所以否命题也为 真命题．
[答案] (1)B (2)A
[方法技巧]
1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项 (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若 p，则q”形式． (2)若命题有大前提，需保留大前提． 2．判断四种命题真假的方法 (1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断． (2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判 断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．
解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y 互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角 形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个 三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数 解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x ＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若 A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是 假命题．故真命题为①②③.
[基本能力]
1．判断题 (1)“x2＋2x－3<0”是命题.
(× )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( × )
2．填空题 (1)“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否 命题和逆否命题中真命题的个数是________． 解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为假 命题． 答案：2 (2)命题“若x>1，则x>0”的否命题是___________________．
(4)设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条 件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的 ________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空)
解析：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分条件， r是t的充要条件． 答案：充分 充要
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(√ )
(3)“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件． ( × )
2．填空题 (1)若x∈R ，则“x>1”是“1x<1”的____________条件． 答案：充分不必要 (2)设x>0，y∈R ，则“x>y”是“x>|y|”成立的________条件． 答案：必要不充分 (3)在△ABC中，A＝B是tan A＝tan B的________条件． 答案：充要
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[全析考法]
命题的真假判断
[例1] 下列命题中为真命题的是
()
A．若1x＝1y，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则 x＝ y
D．若x<y，则x2<y2
[解析] 取x＝－1，排除B；取x＝y＝－1，排除C；取x＝
－2，y＝－1，排除D.
[答案] A
[方法技巧]
题三个命题中，真命题只有一个．
答案：C
4.[考点一、二]有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题． 其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．
解得0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范 围是[0,3]． [答案] [0,3]
[方法技巧]
根据充分、必要条件求参数范围的思路方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条 件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于 参数的不等式(组)求解． (2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的 检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围 时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容 易出现漏解或增解的现象．
3. [考点一、二] (2018·黄冈调研)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函
数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否
命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是
()
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而
逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命
使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
() B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d ＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d， 所以d>0⇔S4＋S6>2S5.
要条件求参数范围
[例2] 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1 ＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[解析] 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则11－ －mm≤ ≥1－＋2m，， 1＋m≤10，
判断命题真假的思路方法 (1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即 它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行 判断． (2)当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这 个命题真假的方法： ①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p， 则q”是真命题； ②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．
()
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．否定
(2)原命题为“若
an＋an＋1 2
<an，n∈N
*，则{an}为递减
数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判
断依次如下，正确的是 A．真，真，真 C．真，真，假
B．假，假，真 D．假，假，假
()
[解析] (1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若 a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
p q且q p
2.充分条件与必要条件和集合的关系
p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件
A⊆B
p是q的必要条件
B⊆A
p是q的充分不必要条件
AB
p是q的必要不充分条件
BA
p是q的充要条件
A＝B
[基本能力]
1．判断题
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．
(√)
(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．
[全练题点]
1.[考点一]下列命题中为真命题的是
()
A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程
B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点
C．互相包含的两个集合相等
D．空集是任何集合的真子集 解析：A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B
中，当Δ＝4＋4a<0，即a<－1时，抛物线与x轴无交点，故是
第二节 命题及其关系、 充分条件与必要条件
本节主要包括2个知识点： 1.命题及其关系； 充分条件与必要条件.
01
突破点(一) 命题及其关系
02
突破点(二) 充分条件与必要条件
03
全国卷5年真题集中演练——明规律
04
课时达标检测
01 突破点(一) 命题及其关系
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[基本知识]
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则
1 a
≤
1 b
”，假命
题．②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝
0”，真命题．③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．
答案：②③
1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的陈述句叫做 命题．其中判断为真的语句叫做 真命题 ，判断为假的语句 叫做 假命题 ．
2．四种命题及相互关系
3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 _没__有__关__系___．
(2)∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n|2.
∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.
反之，由m ·n ＝|m ||n |cos〈m ，n 〉<0⇔cos〈m ，n 〉<0 ⇔〈m ，n 〉∈π2，π，
当〈m ，n 〉∈π2，π时，m，n不共线． 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不 必要条件．
答案：若x≤1，则x≤0 (3)设m∈R ，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆
否命题是___________________________________________． 答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
(4)有下列几个命题：
①“若a>b，则1a>1b”的否命题；
[全析考法]
充分条件与必要条件的判断
[例1] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前
n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，
假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假
命题． 答案：C
2.[考点二](2018·河北承德模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5；
命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关
于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是
()
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；
3.[考点一](2017·天津高考)设θ∈R
，则“ θ－1π2<
π 12
”是“sin
θ<12”的
()
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
答案：①②③
02 突破点(二) 充分条件与必要条件
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[基本知识]
1．充分条件与必要条件的概念
若p⇒q，则p是q的 充分条件，q是p的 必要 条件
p是q的 充分不必要 条件
p⇒q且q p
p是q的 必要不充分 条件
p q且q⇒p
p是q的 充要 条件
p⇔q
p是q的 既不充分也不必要 条件
2. [考点二]已知“x>k”是“x＋3 1<1”的充分不必要条件，则k的
取值范围是
()
A．[2，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－1]
解析：由
3 x＋1
<1，得
3 x＋1
－1＝
－x＋2 x＋1
<0，解得x<－1或
x>2.因为“x>k”是“
3 x＋1
<1”的充分不必要条件，所以
k≥2. 答案：A
[答案] (1)C (2)A
[方法技巧]
充分、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系 进行判断． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价 性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方 法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1 或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是 “xy＝1”的何种条件．
[全练题点]
1.[考点一](2018·长沙四校联考)“x>1”是“log2(x－1)<0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由log2(x－1)<0得0<x－1<1，即1<x<2，故“x>1”是 “log2(x－1)<0”的必要不充分条件，选B. 答案：B
四种命题的关系
由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的 条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与 结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进 行否定即得逆否命题．
[例2] (1)(2018·西安八校联考)已知命题p：“正数a
的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方
等于0”，则q是p的